第二章——自动控制系统的数学模型(4)

除去后所余下的部分，称余子式；
所有各回路的“ 递函数” ∑ L : 所有各回路的“回路传 递函数”之和；
i
∑LL
i
i j
j
: 两两互不接触的回路， 其“回路传递函数”乘 积之和； 两两互不接触的回路， 回路传递函数” 积之和；
k
∑LL L
: 所有三个互不接触的回 路，其“回路传递函数 ”乘积之和； 乘积之和；
= L2 L3 = ( −G2G3 H 2 )( −G4G5 H 3 ) = G2G3G4G5 H 2 H 3
k
= −G1G2G3G4G5G6 H 1 − G2G3 H 2 − G4G5 H 3 − G3G4 H 4
i j
∑LL
i j
∑ L L L 不存在
利用梅森公式求传递函数
∆ =1−
4
∑
= 1+ G1G2G3G4G5G6 H1 + G2G3 H2 + G4G5 H3 + G3G4 H4 + G2G3G4G5 H2 H3
1 n L4 = −G1G2 P = ∑ PK ∆ K ∆ k =1 G1G2G3 ×1 + G1G3 (1 + G2 ) + G2G3 (1 + G1 ) − G1G2G3 = 1 + G1 + G2 + G3 + G1G2 + G1G2 + G2G3 + G1G3 + G1G2G3 + G1G2G3 = G1G3 + G2G3 + 2G1G2G3 1 + G1 + G2 + G3 + 2G1G2 + G2G3 + G1G3 + 2G1G2G3
∑ L L L —在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。 5. ∆ K —余因子式，即在信号流图中，把与第K条前向通路相接触的回路去掉以后的Δ值。
e f
例 用梅森增益公式从系统信号流图求传函
1 1
R(s)
1
x1
1
x2
源自文库
G1 x3
-1
1
x4 G2
-1
x5
1
x6
G3 C (s)
-1
回路4 回路4： L 4 = - G 3 G 4H 4
H4
4 R(s) C(s)
G1
-
G2 H2
G3
2
G4 H3
G5
3
G6
1
H1
利用梅森公式求传递函数
1 .求 ∆
∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + L
i =1
4
4
∑L
i =1
i
= L1 + L2 + L3 + L4
Φ( s) = G( s) 1 m G( s) H ( s) G( s) Φ( s ) = 前向通道传函Ｘ 前向通道传函 ) 1 m G ( s) H ( sＸ反馈通道传函
前向通道传函
2.结构图的等效变换 2.结构图的等效变换
4.引出点的前后移动 4.引出点的前后移动
pp39-表2-1
引出点后移除以经过的传函， 引出点后移除以经过的传函，前移乘以经过的传函
⇒ P4 = − G1G 2 G 3 ( 4 ) R ( s ) → x 4 → x 5 → x1 → x 2 → x 3 → x 6 → C ( s ) L1 = −G1 La = −G1 − G2 − G3 − G1G2 ∆ = 1 − La + Lb Lc − Ld Le L f + L L2 = −G2 Lb Lc = G1G2 + G2G3 + G1G3 + G1G2G3 L3 = −G3
互不接触回路：在各回路中， 互不接触回路：在各回路中，没有同一信号 流过，这种回路叫作互不接触回路。 流过，这种回路叫作互不接触回路。
举例说明（梅森公式） 举例说明（梅森公式）
• 例2-11：试求如图所示系统的传递函数 ：试求如图所示系统的传递函数C(s)/R(s)
求解步骤之一
• 找出前向通道数 找出前向通道数n
5.相邻引出点之间的移动 5.相邻引出点之间的移动
相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。 相邻引出点交换位置，不改变信号的性质。
6.综合点前后移动 6.综合点前后移动
综合点后移乘以经过的传函， 综合点后移乘以经过的传函，前移除以经过的传函
7.相邻综合点之间的移动 7.相邻综合点之间的移动
多个相邻的综合点可以随意交换位置。 多个相邻的综合点可以随意交换位置。
3 1
C(s)
图中不再有回路，故 1=1
∆
利用梅森公式求传递函数
3. 求总传递函数 C
C R = P1∆1
R
∆
G1G2G3G4G5G6 = 1 + G1G2G3G4G5G6 H 1 + G2G3 H 2 + G4G5 H 3 + G3G4 H 4 + G2G3G4G5 H 2 H 3
信号流图： 信号流图：是描述多元一次方程组的图形,它由节点和支路组成的一种信号传递网络。 （一）组成 节点： 1 节点： “o”表示变量,即信号。 支路： 2 支路： 联结两个变量的定向线段，在支路上要标明两个信号之间的增益。
求解步骤之一
• 前向通路数：n＝1 前向通路数： ＝
P1 = G1G2G3G4G5G6
求解步骤之二
• 确定系统中的独立回路数
1.寻找独立回路之一 1.寻找独立回路之一
H4
R(s)
-
C(s)
G1
-
G2 H2
G3
-
G4 H3
G5
G6
1
H1
回路1 回路1： L1 = －G1G2G3G4G5G6H1
1.寻找独立回路之二 1.寻找独立回路之二
第二章 自动控制系统的数学模型
主要内容 控制系统微分方程的建立 非线性微分方程的线性化 传递函数 动态结构图 系统的脉冲响应函数 典型反馈系统传递函数
2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
基本要求
1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。 2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。 3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。 4.掌握传递函数的概念及性质。 掌握传递函数的概念及性质。 5.掌握典型环节的传递函数形式。 掌握典型环节的传递函数形式。 6.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。 7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传 递函数的方法。 递函数的方法。 掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数， 8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和 对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。 对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。
2－4 动态结构图
G(s)方法 方法： 求G(s)方法： 1.定义式 1.定义式 2.结构图的等效变换 pp392.结构图的等效变换 pp39-表2-1 3.梅森公式 3.梅森公式
1.串联连接 1.串联连接：前一个环节的输出是后一个环节的输入 串联连接
G ( s ) = G1 ( s )G2 ( s )
G (s) =
∑P∆
k =1 k
n
k
∆
∆称为特征式， ∆ = 1 − ∑ Li + ∑ Li L j − ∑ Li L j Lk + L 且
n : 前向通道数。
Pk : 从 输 入 端 到 输 出 端 第 k 条 前 向 通 道 的 总 传 递 函 数 ；
∆k : 在∆中，将与第k 条前向通道相接触的回路所在项
∆1 = 1 ∆ 2 = 1 − (−G2 ) = 1 + G2 ∆ 3 = 1 − (−G1 ) = 1 + G1 ∆4 = 1
∑
∑
∑
∑ ∑ ∑ Ld Le L f
= −G1G2G3
例2-11
R( s)
1
− H4
④
x1 G 1 x2 G x3 G x4 2 3
1
x5 G x6 G x7 G 5 4 6
简化：遵循变换前后变量关系保持等效原则。 简化：遵循变换前后变量关系保持等效原则。
五、用梅森（S.J.Mason）公式求传递函数 用梅森（S.J.Mason）
• 梅森公式的一般式为
G (s) =
∑P∆
k =1 k
n
k
∆
梅森公式参数解释： 梅森公式参数解释：
G ( s ) : 待求的总传递函数； 待求的总传递函数；
回路2 回路2： L 2 = - G 2G 3 H 2
H4
R(s)
-
C(s)
G1
-
G2 H2
G3
2
G4 H3
G5
G6
1
H1
1.寻找独立回路之三 1.寻找独立回路之三
回路3 回路3： L3 = - G4 G5H3
H4
R(s)
-
C(s)
G1
-
G2 H2
G3
2
G4 H3
G5
3
G6
1
H1
1.寻找独立回路之四 1.寻找独立回路之四
G ( s ) = G1 ( s ) ± G2 ( s )
串联相乘
2.并联连接 输入信号相同，输出信号是各环节输出的代数和。 2.并联连接：输入信号相同，输出信号是各环节输出的代数和 并联连接
并联相加
3.反馈连接 从输出端引出信号与输入信号相比较。 3.反馈连接：从输出端引出信号与输入信号相比较 反馈连接
1.G(s)—— G(s)——系统从输入点到输出点的传递函数。 —— 2.n——从输入节点到输出节点的前向通路总数。 —— 前向通路： 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点最多只通过一次的通路。 k——前向通道数目；k=1,2,…,n。 ——第k条前向通道 前向通道的传递函数； 3.Pk—— 前向通道 4.Δ—— 4.Δ——信号流图的特征式，（实际是传函的分母） ——
（三）由系统结构图绘制信号流图
1)节点的选择：除输入、输出量外（包括扰动量），所有的引出点前和比较点后。 在结构图中用X表示更明显。
例
R(s ) X
x1 X
x2 x3 X G1 ( s ) X
-
-
-
x5 x4 X G2 ( s) X
-
x6 C (s) G3 ( s) X X
2) 根据各节点的关系画信号流图。
C (s )
② ①
n=1
− H2
− H1
③
− H3
R ( s ) → x1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 → x 7 → C ( s )
如果增益为1，一定要标明。
（二）性质： 性质： 1) 节点标志系统的变量，是所有流向该节点信号的代数和； 2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变成另一信号； 3) 信号在支路上沿箭头单向传递； 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的。 其中节点 （1）源节点（输入节点）：只有信号输出支路而没有信号输入的支路。 （2）阱节点（输出节点）：只有信号输入的支路而没有信号输出的支路。 （3）混合节点：既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。
i =1
Li +
∑
Li L j −
∑
Li L j Lk + L
利用梅森公式求传递函数
2 . 求 Pk , ∆k
∆1 = ?
P1 = G1G2G3G4G5G6
求余子式∆1
将第一条前向通道从图上除掉后的图，再用特 征式 ∆ 的求法，计算 ∆1
求余式∆1
将第一条前向通道从图上除掉后的图
4 R(s)
2
1 1
R( s)
1
x1
1
x2
G1 x3
-1
1
x4 G2
-1
x5
1
x6
G3 C ( s)
-1
-1
注意：1，信号流图的节点只表示变量的相加。 2，信号流图的上面箭头向右下面箭头向左。
例2-11
1)节点的选择：除输入、输出量外（包括扰动量），所有的引出点前和比较点后。 在结构图中用X表示更明显。
X
x1 X
∆ = 1 − ∑ La + ∑ Lb Lc − ∑ Ld Le L f + L
∑L
a
—所有单独回路 单独回路增益之和； 单独回路 单独回路： 单独回路：起点和终点在同一节点，且信号通过每一节点不多于一次。
∑L L
b
d
c
—在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和； 不接触回路： 不接触回路：回路之间没有公共节点
x2 X
x3 X
x4 X
x5 X
x6 X
x7 X
X
2) 根据各节点的关系画信号流图。
− H4
R(s )
1
x1 G 1
x2 G x3 G x4 2 3
− H2
1
x5 G x6 G x7 G 5 4 6
C (s )
− H3
− H1
C ( s) 1 n G ( s) = = ∑ Pk ∆ k R( s ) ∆ k =1
注意事项： 注意事项：
回路：在结构图中信号在其中可以闭合流动 回路： 且经过的任一元件不多于一次的闭合回路， 且经过的任一元件不多于一次的闭合回路， 称为独立回路，简称回路。 称为独立回路，简称回路。 • 回路传递函数：是指回路中的前向通道和 回路传递函数： 反馈通道的传递函数的乘积， 反馈通道的传递函数的乘积，并且包含代 表反馈极性的正 负号。 表反馈极性的正、负号。
n=4
-1
(1) R ( s ) → x1 → x 2 → x 3 → x 4 → x 5 → x 6 → C ( s )
( 2 ) R ( s ) → x1 → x 2 → x 3 → x 6 → C ( s ) (3) R ( s ) → x 4 → x5 → x 6 → C ( s )
⇒ P1 = G1G 2 G 3 ⇒ P2 = G1G 3 ⇒ P3 = G 2 G 3