第31讲___容斥原理

第31讲容斥原理

例题与方法

例1 在1～100的自然数中，不能被3也不能被5整除的数有多少个？

例2 某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？

例3 100名学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂两种外语的有多少人？

例4 在1～143这143个自然数中，与143互质的自然数共有多少个？

例5 某班学生参加语文、数学、英语三科考试，语文、数学、英语都得满分的分别有21人、19人、20人。语文、数学都得满分的有9人；数学、英语都得满分的有7人；语文、英语都得满分的有8人；另有5人三科都未得满分。这个班最多能有多少人？

思考与练习

1．某班有学生46名，其中爱好音乐的有17人，爱好美术的有14人，既爱好音乐又爱好美术的有5人。问：两样都不爱好的有多少人？

2．分母是105的最简真分数共有多少个？

3．一个家电维修站有80%工人精通修彩电，有70%的人精通修空调，10%的人两项不熟悉。问：两项都精通的人占白分之几？

4．在1～100的自然数中，既不能被5整除也不能被9整除的数的和是多少？

5．在1～200的自然数中，能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的数共有多少个？

6．在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？

7．64人订A、B、C三种杂志，订A杂志的有28人，订B杂志的有41人，订C杂志的有20人，订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人。三种杂志都订的有多少人？

8．有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，有83人懂俄语，那么这100位旅客中既懂英语懂俄语的有多少人？

9．70名学生参加体育比赛，短跑得奖的31人，投掷得奖的36人，跳远得奖的29人，短跑与投掷两项都得奖的12人，跑、跳、投三项都得奖的有5人，只得跳远奖的7人，只得投掷奖的15人，求：（1）只得短跑奖的人数；（2）得两项奖的人数；（3）一项奖都未得的人数。

10．如下图所示，甲、乙、丙三个正方形的面积分别为25平方厘米、16平方厘米和9平方厘米，它们叠在一起，盖住的面积为32平方厘米，且甲、乙公共部分为10平方厘米，乙、丙公共部分为6平方厘米，甲、丙公共部分为7平方厘米，求阴影部分的面积。

第30讲列表法和图解法

例题与方法

例1 甲、乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，共有多少种可能呢？

例2 从甲地到乙地，可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船。某人从甲地经乙地到丙地，共有几种走法？

例3 甲、乙、丙、丁、戊5人参加晚会后将帽子拿混了，没有人拿到自己的帽子。现在知道甲拿的不是乙的，也不是丁的；乙拿的不是丙的，也不是丁的；丙拿的不是乙的，也不是戊的；丁拿的不是丙的，也不是戊的；戊拿的不是丁的，也不是甲的。而且，没有两人互相拿错。问：丙拿了谁得帽子，谁拿了丙的帽子？

例4 将一个正整数分成若干个小于它的正整数之和，这叫分拆，例如：4 = 1 + 1 + 2，4 = 1 + 3。如果加数只有顺序不同，不算一种分拆。请问：6一共有多少种不同的拆法？

例5 一根绳子对折三次，然后每隔一定的长度剪一刀，共剪了6刀，这样，原来的绳子被剪成了多少段？

思考与练习

1．有144颗糖块，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不得多于40颗，共有几种分法？

2．新学期开学了，10名同学见面，如果每2名同学都握一次手，那么共握手几次？

3．从甲村到乙村有3条路可走，从乙村到丙村有2条路可走，从甲村经过乙村再到丙村，有几条不同的路可走？

4．甲、乙、丙三人照相，如果乙一定要站在中间，可以照多少种不同的照片？

如果没有规定，可照几种不同的照片？

5．有一张表，写有从1～500的所有自然数。在这张表里数字“5”共出现多少次？

6．小军买了6张电影票（见下图），他想撕下相连的4张，共有几种不同的方法？

7．一根绳子对折三次，然后每隔一定的长度剪一刀，共剪了5刀，这样，原来的绳子被剪成了多少段？

8．如右图，等腰梯形的下底是上底的2倍，两个底角都是60度，如何将这个梯形分成大小、形状完全相同的4块？

9．把边长是10厘米的正方形卡片按下图重叠起来（下一个正方形的顶点恰好在上一个正方形的中心），10张这样的卡片重叠之后，所组成的图形周长是多少厘米？

10．一块长方形布，长27分米，宽10分米，把它裁成直角边分别是5分米、2分米的三角巾，最多能裁多少块？怎样裁？

第29讲数值代入法和玫举法

例题与方法

例1 有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？

例2 有5、6。现从中取出3张卡片，并排放

在一起，组成一个三位数，如

例3 从3名男生、2名女生中选出3名值日生，其中至少要有1名女生，一共有多少种不同的选法？

例4 对于任意自然数ｎ，当ｎ为奇数时加上121，当ｎ为偶数时除以2，这算一次操作。现在对231连续进行操作，在操作的过程中是否可能出现100？为什么？

例5 同一平面内的1988条直线，最多有多少个不同的交点？

思考与练习

1．从1～100的自然数中，每次取出2个不同的自然数想加，使其和大于100，共有几种不同的取法？

2．把六个字母A、A、E、E、F、F排成一行，使同一字母不相邻，并且自左至右前三个字母各不相同，这样的排法有几种？

3．由数字1、2、3、4、6、7，共可组成多少个没有重复数字的四位数？

4．从3、5、7、13、17、19这六个数中，每次取两个数组成真分数，这样的真分数有多少个？

5．黑板上有5和7两个数，现在规定：将黑板上任意两个数相加的和写在黑板上。问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？

6．广州至上海的某次列车，除起点和终点外，还要停靠4个站，应准备多少种不同的车票？若再考虑上海至广州的列车，总共应准备多少种不同的车票？7．书架上有6本不同的画报和10种不同的故事书，请你每次从书架上取出一本画报和一本故事书，共有多少种不同的取法？