中考数学专题训练--函数综合题

合集下载

中考数学专题五函数应用问题综合题(解析版全国适用)

函数实际问题综合题一、一次函数+二次函数应用问题例题（2020·湖北随州·中考真题）2020年新冠肺炎疫情期间.部分药店趁机将口罩涨价.经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天1 2 3 4 5 销售价格p （元/只）2 3 4 5 6 销量q （只）7075808590店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计.该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤.且x 为整数）.已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式. （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式.并判断第几天的利润最大.（3）物价部门为了进一步加强市场整顿.对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款.若罚款金额不低于2000元.则m 的取值范围为______．【答案】（1）1p x =+.15x ≤≤且x 为整数.565q x =+.15x ≤≤且x 为整数.（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数.第5天时利润最大.（3）85m ．【解析】【分析】（1）根据表格数据.p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数.分别求出解析式即可. （2）根据题意.求出利润w 与x 的关系式.再结合二次函数的性质.即可求出利润的最大值．（3）先求出前5天多赚的利润.然后列出不等式.即可求出m 的取值范围．【详解】（1）观察表格发现p 是x 的一次函数.q 是x 的一次函数. 设p=k 1x+b 1.将x=1.p=2.x=2.p=3分别代入得：1111232k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：1111k b =⎧⎨=⎩. 所以1p x =+.经验证p=x+1符合题意. 所以1p x =+.15x ≤≤且x 为整数. 设q=k 2x+b 2.将x=1.q=70.x=2.q=75分别代入得：222270752k b k b =+⎧⎨=+⎩. 解得：22565k b =⎧⎨=⎩. 所以565q x =+.经验证565q x =+符合题意. 所以565q x =+.15x ≤≤且x 为整数. （2）当15x ≤≤且x 为整数时.(10.5)(565)W x x =+-+213565522x x =++. 当630x ≤≤且x 为整数时.()2(10.5)280200W x x =--+-240100x x =-+-.即有22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数. 当15x ≤≤且x 为整数时.售价.销量均随x 的增大而增大. 故当5x =时.495W =最大（元）当630x ≤≤且x 为整数时.2240100(20)300W x x x =-+-=--+ 故当20x时.300W =最大（元）.由495300>.可知第5天时利润最大．（3）根据题意.前5天的销售数量为：7075808590400q =++++=（只）. ∴前5天多赚的利润为：(270375480585690)140016504001250W =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯=-=（元）.∴12502000m ≥. ∴85m. ∴m 的取值范围为85m ．【点睛】此题考查二次函数的性质及其应用.一次函数的应用.不等式的应用.也考查了二次函数的基本性质.另外将实际问题转化为求函数最值问题.从而来解决实际问题．练习题1．（2021·山东青岛·中考真题）科研人员为了研究弹射器的某项性能.利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升.此时.在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力）.在1秒时.它们距离地面都是35米.在6秒时.它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度1y （米）与小钢球运动时间x （秒）之间的函数关系如图所示.小钢球离地面高度2y （米）与它的运动时间x （秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出1y 与x 之间的函数关系式. （2）求出2y 与x 之间的函数关系式.（3）小钢球弹射1秒后直至落地时.小钢球和无人机的高度差最大是多少米？【答案】（1）1530y x =+.（2）22540y x x =-+.（3）70米【解析】【分析】（1）先设出一次函数的解析式.再用待定系数法求函数解析式即可. （2）用待定系数法求函数解析式即可.（3）当1＜x ≤6时小钢球在无人机上方.因此求y 2-y 1.当6＜x ≤8时.无人机在小钢球的上方.因此求y 1-y 2.然后进行比较判断即可．【详解】解：（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1=kx +b'. ∵函数图象过点（0.30）和（1.35）.则'35'30k b b +=⎧⎨=⎩. 解得5'30k b =⎧⎨=⎩. ∴y 1与x 之间的函数关系式为1530y x =+．（2）∵6x =时.1563060y =⨯+=. ∵2y 的图象是过原点的抛物线.∴设22y ax bx =+.∴点()1,35.()6,60在抛物线22y ax bx =+上．∴3536660a b a b +=⎧⎨+=⎩.即35610a b a b +=⎧⎨+=⎩. 解得540a b =-⎧⎨=⎩. ∴22540y x x =-+．答：2y 与x 的函数关系式为22540y x x =-+．（3）设小钢球和无人机的高度差为y 米. 由25400x x -+=得10x =或28x =. ①16x <≤时.21y y y =-2540530x x x =-+-- 253530x x =-+-27125524x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. ∵50a =-<.∴抛物线开口向下. 又∵16x <≤. ∴当72x =时.y 的最大值为1254. ②68x <≤时.12y y y =-2530540x x x =++- 253530x x =-+27125524x ⎛⎫=--⎪⎝⎭. ∵50a =>.∴拋物线开口向上. 又∵对称轴是直线72x =. ∴当72x >时.y 随x 的增大而增大. ∵68x <≤.∴当8x =时.y 的最大值为70． ∵125704<. ∴高度差的最大值为70米．答：高度差的最大值为70米．【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的应用.关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．2．（2021·辽宁盘锦·中考真题）某工厂生产并销售A .B 两种型号车床共14台.生产并销售1台A 型车床可以获利10万元.如果生产并销售不超过4台B 型车床.则每台B 型车床可以获利17万元.如果超出4台B 型车床.则每超出1台.每台B 型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B 型车床x 台．（1）当4x >时.完成以下两个问题： ①请补全下面的表格：A 型B 型车床数量/台 ________ x每台车床获利/万元10________70万元.问：生产并销售B 型车床多少台？（2）当0＜x ≤14时.设生产并销售A .B 两种型号车床获得的总利润为W 万元.如何分配生产并销售A .B 两种车床的数量.使获得的总利润W 最大？并求出最大利润．【答案】（1）①14x -.21x -.②10台.（2）分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元【解析】【分析】（1）①由题意可知.生产并销售B 型车床x 台时.生产A 型车床（14-x ）台.当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元.所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元. ②根据题意可得根据题意：(21)10(14)70x x x ---=然后解方程即可. （2）当0≤x ≤4时.W ＝10(14)x -＋17x ＝7140x +.当4＜x ≤14时. W ＝2( 5.5)170.25x --+.分别求出两个范围内的最大值即可得到答案. 【详解】解：（1）当4x >时.每台就要比17万元少（4x -）万元所以每台获利17(4)x --.也就是（21x -）万元 ①补全表格如下面：A 型B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -由B 型可获得利润为(21)x x -万元.根据题意：(21)10(14)70x x x ---=. 2312100x x -+=.(21)(10)0x x --=.∵0≤x ≤14. ∴10x =.即应产销B 型车床10台. （2）当0≤x ≤4时. 当0≤x ≤4 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元 1017 利润10(14)x -17x该函数值随着x 的增大而增大.当x 取最大值4时.W 最大1＝168（万元）. 当4＜x ≤14时. 当4＜x ≤14 A 型 B 型车床数量/台 14x -x每台车床获利/万元1021x -利润10(14)x - (21)x x -则＝＋＝211140x x -++＝( 5.5)170.25x --+.当5x =或6x =时（均满足条件4＜x ≤14）.W 达最大值W 最大2＝170（万元）. ∵W 最大2＞ W 最大1.∴应分配产销A 型车床9台、B 型车床5台.或产销A 型车床8台、B 型车床6台.此时可获得总利润最大值170万元．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用.一次函数和二次函数的实际应用.解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.3．（2021·辽宁锦州·中考真题）某公司计划购进一批原料加工销售.已知该原料的进价为6.2万元/t .加工过程中原料的质量有20%的损耗.加工费m （万元）与原料的质量x （t ）之间的关系为m ＝50＋0.2x .销售价y （万元/t ）与原料的质量x （t ）之间的关系如图所示．（1）求y 与x 之间的函数关系式.（2）设销售收入为P （万元）.求P 与x 之间的函数关系式.（3）原料的质量x 为多少吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是多少万元？（销售利润＝销售收入﹣总支出）．【答案】（1）1y 204x =-+.（2）21165P x x =-+.（3）原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式.（2）根据销售收入＝销售价×销售量列出函数关系式.（3）设销售总利润为W .根据销售利润＝销售收入﹣原料成本﹣加工费列出函数关系式.然后根据二次函数的性质分析其最值．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b +＝. 将（20.15）.（30.12.5）代入. 可得：20153012.5k b k b +=⎧⎨+=⎩. 解得：1420k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y 与x 之间的函数关系式为1y 204x =-+.（2）设销售收入为P （万元）.∴()2411120%2016545P xy x x x x ⎛⎫=-=⨯-+=-+ ⎪⎝⎭.∴P 与x 之间的函数关系式为21165P x x =-+.（3）设销售总利润为W .∴()216.216 6.2500.25W P x m x x x x =--=-+--+.整理.可得：()22148132650245555W x x x =-+-=--+. ∵﹣15＜0.∴当24x ＝时.W 有最大值为3265. ∴原料的质量为24吨时.所获销售利润最大.最大销售利润是3265万元．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.涉及了数形结合的数学思想.熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键．4．（2021·湖北荆门·中考真题）某公司电商平台.在2021年五一长假期间.举行了商品打折促销活动.经市场调查发现.某种商品的周销售量y （件）是关于售价x （元/件）的一次函数.下表仅列出了该商品的售价x .周销售量y .周销售利润W （元）的三组对应值数据． x 40 70 90 y1809030W 3600 4500 2100.（2）若该商品进价a （元/件）.售价x 为多少时.周销售利润W 最大？并求出此时的最大利润.（3）因疫情期间.该商品进价提高了m （元/件）（0m >）.公司为回馈消费者.规定该商品售价x 不得超过55（元/件）.且该商品在今后的销售中.周销售量与售价仍满足（1）中的函数关系.若周销售最大利润是4050元.求m 的值．【答案】（1）3300y x =-+.（2）售价60元时.周销售利润最大为4800元.（3）5m = 【解析】【分析】（1）①依题意设y=kx+b.解方程组即可得到结论.（2）根据题意得(3300)()W x x a =-+-.再由表格数据求出20a =.得到2(3300)(20)3(60)4800W x x x =-+-=--+.根据二次函数的顶点式.求出最值即可.（3）根据题意得3(100)(20)(55)W x x m x =----.由于对称轴是直线60602mx =+>.根据二次函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）设y kx b =+.由题意有401807090k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得3300k b =-⎧⎨=⎩. 所以y 关于x 的函数解析式为3300y x =-+. （2）由（1）(3300)()W x x a =-+-.又由表可得： 3600(340300)(40)a =-⨯+-.20a ∴=.22(3300)(20)336060003(60)4800W x x x x x ∴=-+-=-+-=--+．所以售价60x =时.周销售利润W 最大.最大利润为4800. （3）由题意3(100)(20)(55)W x x m x =----. 其对称轴60602mx =+>.055x ∴<时上述函数单调递增. 所以只有55x =时周销售利润最大.40503(55100)(5520)m ∴=----． 5m ∴=．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用.重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践.用于实践.在当今社会市场经济的环境下.应掌握一些有关商品价格和利润的知识.总利润等于总收入减去总成本.然后再利用二次函数求最值．5．（2021·辽宁营口·中考真题）某商家正在热销一种商品.其成本为30元/件.在销售过程中发现随着售价增加.销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时.改变销售策略.此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系.（其中4070x ≤≤.且x 为整数）（1）直接写出y 与x 的函数关系式.（2）当售价为多少时.商家所获利润最大.最大利润是多少？【答案】（1）10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩.（2）当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元【解析】【分析】（1）利用待定系数法分段求解函数解析式即可.（2）分别求出当4060x ≤≤时与当6070x <≤时的销售利润解析式.利用二次函数的性质即可求解．【详解】解：（1）当4060x ≤≤时.设11y k x b =+. 将()40,300和()60,100代入.可得11113004010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得1110700k b =-⎧⎨=⎩.即10700y x =-+. 当6070x <≤时.设22y k x b =+. 将()70,150和()60,100代入.可得22221507010060k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得225200k b =⎧⎨=-⎩.即5200y x =-. ∴10700406052006070x x y x x -+≤≤⎧=⎨-<≤⎩. （2）当4060x ≤≤时.销售利润()()22301010002100010504000w y x x x x =⋅-=-+-=--+.当50x =时.销售利润有最大值.为4000元. 当6070x <≤时.销售利润()()()2230150605500150005502500w y x x x x x =⋅---=-+=-+.该二次函数开口向上.对称轴为50x =.当6070x <≤时位于对称轴右侧. 当70x =时.销售利润有最大值.为4500元. ∵45004000>.∴当售价为70元时.商家所获利润最大.最大利润是4500元．【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的性质.根据图象列出解析式是解题的关键． 6．（2021·湖南郴州·中考真题）某商店从厂家以每件2元的价格购进一批商品.在市场试销中发现.此商品的月销售量y （单位：万件）与销售单价x （单位：元）之间有如下表所示关系：x… 4.0 5.0 5.5 6.5 7.5 … y…8.06.05.03.01.0…（1）根据表中的数据.在图中描出实数对(,)x y 所对应的点.并画出y 关于x 的函数图象. （2）根据画出的函数图象.求出y 关于x 的函数表达式. （3）设经营此商品的月销售利润为P （单位：万元）． ①写出P 关于x 的函数表达式.②该商店计划从这批商品获得的月销售利润为10万元（不计其它成本）.若物价局限定商品的销售单价不得超过．．．．进价的200%.则此时的销售单价应定为多少元？【答案】（1）图象见详解.（2）216y x =-+.（3）①222032P x x =-+-.②销售单价应定为3元．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行作图.（2）由图象可得y 与x 满足一次函数的关系.所以设其关系式为y kx b =+.然后任意代入表格中的两组数据进行求解即可.（3）①由题意易得()2P x y =-.然后由（2）可进行求解.②由①及题意可得22203210x x -+-=.然后求解.进而根据销售单价不得超过进价的200％可求解．【详解】解：（1）y 关于x 的函数图象如图所示：（2）由（1）可设y 与x 的函数关系式为y kx b =+.则由表格可把()()4,8,5,6代入得：4856k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：216k b =-⎧⎨=⎩. ∴y 与x 的函数关系式为216y x =-+. （3）①由（2）及题意可得：()()()22221622032P x y x x x x =-=--+=-+-.∴P 关于x 的函数表达式为222032P x x =-+-. ②由题意得：2200x ≤⨯％.即4x ≤. ∴22203210x x -+-=. 解得：123,7x x ==.∴3x=.答：此时的销售单价应定为3元．【点睛】本题主要考查二次函数与一次函数的应用.熟练掌握二次函数与一次函数的应用是解题的关键．7．（2021·四川南充·中考真题）超市购进某种苹果.如果进价增加2元/千克要用300元.如果进价减少2元/千克.同样数量的苹果只用200元．（1）求苹果的进价．（2）如果购进这种苹果不超过100千克.就按原价购进.如果购进苹果超过100千克.超过部分购进价格减少2元/千克．写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之间的函数关系式．（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克.且购进苹果当天全部销售完．据统计.销售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为112100z x=-+．在（2）的条件下.要使超市销售苹果利润w（元）最大.求一天购进苹果数量．（利润＝销售收入-购进支出）【答案】（1）苹果的进价为10元/千克.（2）10(100)8200(100)x xyx x≤⎧=⎨+>⎩.（3）要使超市销售苹果利润w最大.一天购进苹果数量为200千克．【解析】【分析】（1）设苹果的进价为x元/千克.根据等量关系.列出分式方程.即可求解.（2）分两种情况：当x≤100时. 当x＞100时.分别列出函数解析式.即可.（3）分两种情况：若x≤100时.若x＞100时.分别求出w关于x的函数解析式.根据二次函数的性质.即可求解．【详解】解：（1）设苹果的进价为x元/千克.由题意得：30020022x x=+-.解得：x=10.经检验：x=10是方程的解.且符合题意.答：苹果的进价为10元/千克.（2）当x≤100时.y=10x.当x＞100时.y=10×100+（10-2）×（x-100）=8x+200.∴10(100)8200(100)x x y x x ≤⎧=⎨+>⎩. （3）若x ≤100时.w =zx -y =21112102100100x x x x x ⎛⎫-+-=-+ ⎪⎝⎭=()21100100100x --+. ∴当x =100时.w 最大=100. 若x ＞100时.w =zx -y =()2111282004200100100x x x x x ⎛⎫-+-+=-+- ⎪⎝⎭=()21200200100x --+. ∴当x =200时.w 最大=200.综上所述：当x =200时.超市销售苹果利润w 最大.答：要使超市销售苹果利润w 最大.一天购进苹果数量为200千克．【点睛】本题主要考查分式方程、一次函数、二次函数的实际应用.根据数量关系.列出函数解析式和分式方程.是解题的关键．8．（2021·湖北十堰·中考真题）某商贸公司购进某种商品的成本为20元/kg .经过市场调研发现.这种商品在未来40天的销售单价y （元/kg ）与时间x （天）之间的函数关系式为：0.2530(120)35(2040)x x y x +≤≤⎧=⎨<≤⎩且x 为整数.且日销量()kg m 与时间x （天）之间的变化规律符合一次函数关系.如下表：时间x （天） 1 3 6 10 …日销量()kg m 142 138 132 124 …（1）m 与x 的函数关系为___________.（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？（3）在实际销售的前20天中.公司决定每销售1kg 商品就捐赠n 元利润（4n <）给当地福利院.后发现：在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.求n 的取值范围．【答案】（1）2144m x =-+.（2）第16天销售利润最大.最大为1568元.（3）1.75＜n ＜4 【解析】【分析】（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入.利用待定系数法即可求解. （2）分别写出当120x ≤≤时与当2040x <≤时的销售利润表达式.利用二次函数和一次函数的性质即可求解.（3）写出在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润表达式.根据二次函数的性质可得对称轴16220n +≤.求解即可．【详解】解：（1）设m kx b =+.将()1142,.()3138,代入可得： 1421383k b k b =+⎧⎨=+⎩.解得2144k b =-⎧⎨=⎩. ∴2144m x =-+. （2）当120x ≤≤时.销售利润()()()212021440.2530201615682W my m x x x =-=-++-=--+. 当16x =时.销售利润最大为1568元. 当2040x <≤时.销售利润20302160W my m x =-=-+. 当21x =时.销售利润最大为1530元.综上所述.第16天销售利润最大.最大为1568元. （3）在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润为：()()()21'200.2510214416214401442W my m nm x n x x n x n =--=+--+=-+++-.对称轴为直线x ═16+2n .∵在前20天中.每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x 的增大而增大.且x 只能取整数.故只要第20天的利润高于第19天. 即对称轴要大于19.5 ∴16+2n ＞19.5. 求得n ＞1.75.又∵n ＜4. ∴n 的取值范围是：1.75＜n ＜4. 答：n 的取值范围是1.75＜n ＜4．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的实际应用.掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键．9．（2021·江苏扬州·中考真题）甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租.下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元.那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元.那么将少租出1辆汽车．另外.公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元.无论是否租出汽车.公司均需一次性支付月维护费共计1850元．．．②月利润=月租车费-月维护费.③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润．在两公司租出的汽车数量相等的条件下.根据上述信息.解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是_______元.当每个公司租出的汽车为_______辆时.两公司的月利润相等. （2）求两公司月利润差的最大值.（3）甲公司热心公益事业.每租出1辆汽车捐出a 元()0a >给慈善机构.如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.且当两公司租出的汽车均为17辆时.甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大.求a 的取值范围．【答案】（1）48000.37.（2）33150元.（3）50150a << 【解析】【分析】（1）用甲公司未租出的汽车数量算出每辆车的租金.再乘以10.减去维护费用可得甲公司的月利润.设每个公司租出的汽车为x 辆.根据月利润相等得到方程.解之即可得到结果. （2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y .同（1）可得y 甲和y 乙的表达式.再分甲公司的利润大于乙公司和甲公司的利润小于乙公司两种情况.列出y 关于x 的表达式.根据二次函数的性质.结合x 的范围求出最值.再比较即可.（3）根据题意得到利润差为()25018001850y x a x =-+-+.得到对称轴.再根据两公司租出的汽车均为17辆.结合x 为整数可得关于a 的不等式180016.517.5100a-<<.即可求出a 的范围．【详解】解：（1）()50105030001020010-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦=48000元.当每个公司租出的汽车为10辆时.甲公司的月利润是48000元. 设每个公司租出的汽车为x 辆.由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦. 解得：x =37或x =-1（舍）.∴当每个公司租出的汽车为37辆时.两公司的月利润相等.（2）设两公司的月利润分别为y 甲.y 乙.月利润差为y . 则y 甲=()50503000200x x x -⨯+-⎡⎤⎣⎦. y 乙=35001850x -.当甲公司的利润大于乙公司时.0＜x ＜37. y =y 甲-y 乙=()()5050300020035001850x x x x -⨯+---⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x -++. 当x =1800502--⨯=18时.利润差最大.且为18050元. 当乙公司的利润大于甲公司时.37＜x ≤50. y =y 乙-y 甲=()3500185050503000200x x x x ---⨯++⎡⎤⎣⎦ =25018001850x x --. ∵对称轴为直线x =1800502--⨯=18. 当x =50时.利润差最大.且为33150元. 综上：两公司月利润差的最大值为33150元.（3）∵捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润.则利润差为25018001850y x x ax =-++-=()25018001850x a x -+-+.对称轴为直线x =1800100a-. ∵x 只能取整数.且当两公司租出的汽车均为17辆时.月利润之差最大. ∴180016.517.5100a-<<. 解得：50150a <<．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用.二次函数的图像和性质.解题时要读懂题意.列出二次函数关系式.尤其（3）中要根据x 为整数得到a 的不等式．10．（2018·湖北荆门·中考真题）随着龙虾节的火热举办.某龙虾养殖大户为了发挥技术优势.一次性收购了10000kg 小龙虾.计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同.放养10天的总成本为166000.放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t 天后的质量为akg.销售单价为y 元/kg.根据往年的行情预测.a 与t 的函数关系为a=()()1000002010080002050t t t ⎧≤≤⎪⎨+<≤⎪⎩.y 与t 的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m 元.收购成本为n 元.求m 与n 的值. （2）求y 与t 的函数关系式.（3）如果将这批小龙虾放养t 天后一次性出售所得利润为W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本.利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）m=600.n=160000.（2）()()316020513220505t t y t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩.（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大.最大利润是108500元. 【解析】【详解】【分析】（1）根据题意列出方程组.求出方程组的解得到m 与n 的值即可. （2）根据图象.分类讨论利用待定系数法求出y 与P 的解析式即可.（3）根据W=ya ﹣mt ﹣n.表示出W 与t 的函数解析式.利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得1016600030178000m n m n +=⎧⎨+=⎩ . 解得：600160000m n =⎧⎨=⎩. （2）当0≤t≤20时.设y=k 1t+b 1.由图象得：111162028b k b =⎧⎨+=⎩. 解得：113516k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴y=35t+16.当20＜t≤50时.设y=k 2t+b 2.由图象得：222220285022k b k b +=⎧⎨+=⎩.解得：221532k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩. ∴y=﹣15t+32.综上.()()3160t 205y 13220t 505t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩. （3）W=ya ﹣mt ﹣n.当0≤t≤20时.W=10000（35t+16）﹣600t ﹣160000=5400t.∵5400＞0.∴当t=20时.W 最大=5400×20=108000.当20＜t≤50时.W=（﹣15t+32）（100t+8000）﹣600t ﹣160000=﹣20t 2+1000t+96000=﹣20（t ﹣25）2+108500. ∵﹣20＜0.抛物线开口向下. ∴当t=25.W 最大=108500. ∵108500＞108000.∴当t=25时.W 取得最大值.该最大值为108500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用.具体考查了待定系数法确定函数解析式.利用二次函数的性质确定最值.熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．二、一次函数+反比例函数应用问题例题（2021·广东深圳·中考真题）探究：是否存在一个新矩形.使其周长和面积为原矩形的2倍、12倍、k 倍．（1）若该矩形为正方形.是否存在一个正方形.使其周长和面积都为边长为2的正方形的2倍？_______（填“存在”或“不存在”）．（2）继续探究.是否存在一个矩形.使其周长和面积都为长为3.宽为2的矩形的2倍？同学们有以下思路：设新矩形长和宽为x 、y .则依题意10x y +=.12xy =.联立1012x y xy +=⎧⎨=⎩得210120x x -+=.再探究根的情况：根据此方法.请你探究是否存在一个矩形.使其周长和面积都为原矩形的12倍.如图也可用反比例函数与一次函数证明1l ：10y x =-+.2l ：12y x=.那么.①是否存在一个新矩形为原矩形周长和面积的2倍？_______． ②请探究是否有一新矩形周长和面积为原矩形的12.若存在.用图像表达. ③请直接写出当结论成立时k 的取值范围：．【答案】（1）不存在.（2）①存在.②不存在.见解析.③2425k 【解析】【分析】（1）直接求出边长为2的正方形周长与面积.再求出周长扩大2倍即边长扩大2倍时正方形的面积.比较是否也为2倍即可.（2）①依题意根据一元二次方程根的情况判断即可.②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立.求出关于x 、y 的一元二次方程.判断根的情况.③设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =.同样列出一元二次方程.利用根的判别式进行求解即可．【详解】（1）边长为2的正方形.周长为8.面积为4.当周长为其2倍时.边长即为4.面积为16.即为原来的4倍.故不存在. （2）①存在.∵210120x x -+=的判别式0∆>.方程有两组正数解.故存在. 从图像来看.1l ：10y x =-+.2l ：12y x=在第一象限有两个交点.故存在. ②设新矩形长和宽为x 、y .则依题意52x y +=.3xy =.联立523x y xy ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得25302x x -+=. 因为∆<0.此方程无解.故这样的新矩形不存在.从图像来看.1l ：52y x =-+.2l ：3y x =在第一象限无交点.故不存在.③2425k. 设新矩形长和宽为x 和y .则由题意5x y k +=.6xy k =. 联立56x y k xy k +=⎧⎨=⎩得2560x kx k -+=.225240k k ∆=-.故2425k ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.根的判别式．需要认真阅读理解题意.根据题干过程模仿解题．练习题1．（2021·浙江台州·中考真题）电子体重科读数直观又便于携带.为人们带来了方便．某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R 1. R 1与踏板上人的质量m 之间的函数关系式为R 1＝km ＋b （其中k .b 为常数.0≤m ≤120）.其图象如图1所示.图2的电路中.电源电压恒为8伏.定值电阻R 0的阻值为30欧.接通开关.人站上踏板.电压表显示的读数为U 0 .该读数可以换算为人的质量m . 温馨提示：①导体两端的电压U .导体的电阻R .通过导体的电流I .满足关系式I ＝UR. ②串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压．（1）求k .b 的值.（2）求R 1关于U 0的函数解析式. （3）用含U 0的代数式表示m .（4）若电压表量程为0~6伏.为保护电压表.请确定该电子体重秤可称的最大质量．【答案】（1）2402b k =⎧⎨=-⎩.（2）1024030R U =-.I （3）0120135m U =-.（4）该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【解析】【分析】（1）根据待定系数法.即可求解.（2）根据“串联电路中电流处处相等.各电阻两端的电压之和等于总电压”.列出等式.进而即可求解.（3）由R 1＝12-m ＋240.1024030R U =-.即可得到答案. （4）把06U =时.代入0480540m U =-.进而即可得到答案．【详解】解：（1）把（0.240）.（120.0）代入R 1＝km ＋b .得2400120bk b =⎧⎨=+⎩.解得：2402b k =⎧⎨=-⎩. （2）∵001830U U R -=. ∴1024030R U =-. （3）由（1）可知：2402b k =⎧⎨=-⎩. ∴R 1＝2-m ＋240. 又∵1024030R U =-. ∴024030U -=2-m ＋240.即：0120135m U =-. （4）∵电压表量程为0~6伏. ∴当06U =时.1201351156m =-= 答：该电子体重秤可称的最大质量为115千克．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的实际应用.熟练掌握待定系数法.是解题的关键． 2．（2021·安徽·中考真题）已知正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （m .2）．（1）求k .m 的值.（2）在图中画出正比例函数y kx =的图象.并根据图象.写出正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围．【答案】（1）,k m 的值分别是23和3.（2）30x -<<或3x > 【解析】【分析】（1）把点A （m .2）代入6y x=求得m 的值.从而得点A 的坐标.再代入(0)y kx k =≠求得k 值即可.（2）在坐标系中画出y kx =的图象.根据正比例函数(0)y kx k =≠的图象与反比例函数6y x=图象的两个交点坐标关于原点对称.求得另一个交点的坐标.观察图象即可解答．【详解】（1）将(,2)A m 代入6y x=得62m =.3m ∴=.(3,2)A ∴.将(3,2)A 代入y kx =得23k =.23k ∴=. ,k m ∴的值分别是23和3．（2）正比例函数23y x =的图象如图所示.∵正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象都经过点A （3.2）. ∴正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数6y x=的图象的另一个交点坐标为（-3.-2）. 由图可知：正比例函数值大于反比例函数值时x 的取值范围为30x -<<或3x >．【点睛】本题是正比例函数与反比例函数的综合题.利用数形结合思想是解决问题的关键． 3．（2020·广西柳州·中考真题）如图.平行于y 轴的直尺（部分）与反比例函数my x=（x ＞0）的图象交于A 、C 两点.与x 轴交于B 、D 两点.连接AC .点A 、B 对应直尺上的刻度分别为5、2.直尺的宽度BD ＝2.OB ＝2．设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ．（1）请结合图象.直接写出： ①点A 的坐标是 . ②不等式mkx b x+>的解集是 . （2）求直线AC 的解析式．。

中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合

中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合1．如图，二次函数y＝- 34x2+94x+3的图象与x轴交于点A、B（B在A右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）求△ABC的面积．2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A （1，0），C（0，3）两点，与x轴相交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．3．如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△P AB=6，并求出此时P点的坐标．4．如图，抛物线y1=a(x-1)2+4与x轴交于A(-1，0)。

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2=x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x 轴于点B，求△ABC的面积。

5．如图，已知直线y=-3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和点C，对称轴为直线I：x=-1，该抛物线与x轴的另一个交点为B。

（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上且位于第二象限，求△PBC的面积最大值及点P的坐标。

（3）点M在此抛物线上，点N在对称轴上，以B、C、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，写出所有满足要求的点M 的坐标；若不能，请说明理由。

6．如图，直线y=-x+2与抛物线y=ax 2交于A ，B 两点，点A 坐标为(1，1)。

（1）水抛物线的函数表达式：（2）连结OA ，OB ，求△AOB 的面积。

7．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点P(1，-1)，且过Q(5，3)。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数与一元二次方程

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数与一元二次方程一、综合题1．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=x2+bx+a，y2=ax2+bx+1(a，b是实数，a≠0)。

（1）若函数y1的对称轴为直线x=3，且函数y1的图象经过点(a，b)，求函数y1的表达式。

（2）若函数y1的图象经过点(r，0)，其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点( 1r，0)。

（3）若函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n=0，求m，n的值。

2．已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．（1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；（3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．3．如图，抛物线y=ax2+bx−4a(a≠0)经过A(−1，0)，C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）平行于x轴的直线y=−14与抛物线分别交于点D，E，求线段DE的长．4．如图1，抛物线C1：y＝ax2+bx+1的顶点坐标为D（1，0）且经过点（0，1），将抛物线C1向右平移1个单位，向下平移1个单位得到抛物线C2，直线y＝x+c，经过点D交y轴于点A，交抛物线C2于点B，抛物线C2的顶点为P．（1）求抛物线C1的解析式；（2）如图2，连结AP，过点B作BC△AP交AP的延长线于C，设点Q为抛物线上点P至点B 之间的一动点，连结BQ并延长交AC于点F，①当点Q运动到什么位置时，S△PBD×S△BCF＝8？②连接PQ并延长交BC于点E，试证明：FC（AC+EC）为定值．5．十一黄金周期间，某商场销售一种成本为每件60元的服装，规定销售期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=-x+120（1）销售单价定为多少元时，该商场获得的利润恰为500元？（2）设该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少？6．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（－1，0），B（3，0）.请解下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长.7．已知二次函数y=x2−2mx+2m−1．（1）求证：二次函数的图象与x轴总有交点；（2）若二次函数的图象与x轴的一个交点为原点，求方程x2−2mx+2m−1=0的解．8．某运动器材批发市场销售一种篮球，每个篮球进价为50元，规定每个篮球的售价不低于进价，经市场调查，每月的销售量y（个）与每个篮球的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：（1）求y与x之间的函数关系式；（不需求自变量x的取值范围）（2）该批发市场每月想从这种篮球销售中获利8000元，又想尽量多给客户实惠，应如何给这种篮球定价？（3）物价部门规定，该篮球的每个利润不允许高于进货价的50%，设销售这种篮球每月的总利润为w（元），那么销售单价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？9．如图，已知：P（-1，0），Q（0，-2）.（1）求直线PQ的函数解析式；（2）如果M（0，m）是线段OQ上一动点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点M和点P，①求抛物线y=ax2+bx+c与x轴另一交点N的坐标（用含a，m的代数式表示）；②若PN= 12是，抛物线y=ax2+bx+c有最大值m+1，求此时a的值；③若抛物线y=ax2+bx+c与直线PQ始终都有两个公共点，求a的取值范围.10．已知二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的最小值为1，图象上一点的坐标为(2，3)。

初三中考数学函数综合题含答案

初三中考数学函数综合题含答案一、单选题1．函数32x y x +=-中，自变量x 的取值范围是（） A ．3x >-B ．3x ≥-且2x ≠C ．2x ≠D ．3x >-且2x ≠2．如图，函数y ax b =+和y kx =的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组0ax y b kx y -+=⎧⎨-=⎩的解是（）A ．42x y =-⎧⎨=-⎩B ．42x y =⎧⎨=⎩C ．24x y =-⎧⎨=-⎩D ．24x y =⎧⎨=⎩3．若反比例函数1k y x-=，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（） A ．1k >B ．1k <C ．1k >-D ．1k <-4．将抛物线()2321y x =-+先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后所得的抛物线解析式是（） A ．()2341y x =-- B ．()2343y x =-+ C ．233y x =+D ．231y x =-5．抛物线213y x =的开口方向、对称轴分别是（）A ．向上，x 轴B ．向上，y 轴C ．向下，x 轴D ．向下，y 轴 6．二次函数y ＝x 2＋6x ＋4的对称轴是（） A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝47．下列y 关于x 的函数中，一次函数为（） A ．()2y a x b =-+B ．()211y k x =++C ．2y x=D ．221y x =+8．一次函数y kx b =+的图象与直线23y x =+平行，且与y 轴的交点为(0,2)，则一次函数的表达式为（） A ．23y x =+B ．22y x =+C ．23y x =-+D ．22y x =-+9．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点为（2，4），有以下结论：①当a >0时，b 2－4ac >0；②当a >0时，ax 2＋bx ＋c≥4；③若点（-2，m ）,（3，n ）在抛物线上，则m <n ；④若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一根为－1，则另一根为5．其中正确的是（） A ．①②B ．①④C ．②③D ．②④10．已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）都在反比例函数y kx=（k ＜0）的图象上，且x 1＜x 2＜0＜x 3，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 3＞y 1＞y 211．已知y =kx +b ，当x =2时，y =-2；当x =3时，y =0．则（）A ．k =2，b =-6B ．k =-6，b =2C ．k =-2，b =6D ．k =-2，b =-612．抛物线y ＝﹣2（x ﹣3）2﹣4的顶点坐标是（）A ．（﹣3，4）B ．（﹣3，﹣4）C ．（3，﹣4）D ．（3，4）13．将一次函数23y x =-的图象沿y 轴向上平移3个单位长度后，所得图象的函数表达式为（） A ．2y x = B ．26y x =- C ．53y x =- D ．3y x =-- 14．二次函数22(3)1y x =-+-的顶点坐标是（）A ．(31)， B ．(13)-， C ．(3,1)-D ．(3,1)--15．已知A （﹣11,3y ），B （﹣21,2y ），C （1，y 3）是一次函数y ＝b ﹣3x 的图象上三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（） A ．y 3＜y 1＜y 2B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 1＜y 2＜y 3D ．y 2＜y 1＜y 3二、填空题16．一次函数(27)2y k x =-+中，y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________． 17．将直线213y x =-+向上平移3个单位后所得直线解析式为_______．18．已知点(2,)A m 在一次函数53y x =+的图象上，则m 的值是__．19．已知一次函数(1)2y m x m =-+-的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m 的取值范围是______．20．若函数y ＝（m ﹣2）x +|m |﹣2是正比例函数，则m ＝_____．三、解答题21．如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A (﹣1，0)，B (4，0)两点，并且与y 轴交于点C ．(1)求此抛物线的解析式； (2)直线BC 的解析式为；(3)若点M 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t ，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N ，设MN 的长为h ，求h 与t 之间的函数关系式及h 的最大值；(4)在x 轴的负半轴上是否存在点P ，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形？如果存在；如果不存在，说明理由．22．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)设点P 是直线l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求PA +PC 长；(3)已知点N （0，﹣1），在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N 、Q 为顶点的三角形与△BCM 相似？若存在；若不存在，请说明理由．23．已知二次函数222y x x m =-+-的图象与x 轴有交点，求非负整数m 的值． 24．已知抛物线y ＝12x 2﹣x ﹣32与x 轴交于点A ，点B （点A 在点B 左侧）． (1)求点A ，点B 的坐标；(2)用配方法求该抛物线的顶点C 的坐标，判断△ABC 的形状，并说明理由；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使以点O 、点C 、点P 为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知抛物线222y x mx m =--．(1)求证：对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点． (2)若该抛物线与x 轴交于1,0A ，求m 的值．【参考答案】一、单选题 1．B 2．A3．A 4．A 5．B 6．C 7．B 8．B 9．D 10．A 11．A 12．C 13．A 14．D 15．A 二、填空题16．72k < 17．243y x =-+18．1319．2m >20．-2三、解答题21．(1)234y x x =-++ (2)4y x =-+(3)h 与t 之间的函数关系式为：()2404h t t t =-+<<，h 的最大值为4(4)在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由见解析【解析】【分析】（1）把A (﹣1，0)，B (4，0) 代入抛物线解析式，即可求解；（2）根据抛物线解析式求出点C 的坐标，再利用待定系数法，即可求解；（3）根据题意可得点()2,34M t t t -++，点(),4N t t -+，从而得到24MN t t =-+，再根据二次函数的性质，即可求解；（4）分三种情况：当PC =BC 时，当PB =BC 时，当PC =PB 时，即可求解． (1)解：∵抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过A (﹣1，0)，B (4，0)两点，∴3016340a c a c -+=⎧⎨+⨯+=⎩，解得：14a c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为234y x x =-++； (2)解：当0x =时，4y =， ∴点()0,4C ，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠，把点B (4，0)，()0,4C 代入得：404k b b +=⎧⎨=⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为4y x =-+； (3) 解：如图，∵点M 是第一象限的抛物线上的点，且横坐标为t ，∴点()2,34M t t t -++，∵MN ⊥x 轴， ∴点(),4N t t -+，∴()()223444MN t t t t t =-++--+=-+，∴()()2242404h t t t t =-+=--+<<， ∴当2t =时，h 的值最大，最大值为4； (4)解：在x 轴的负半轴上存在点P ，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形，理由如下：当PC =BC 时， ∵OC ⊥BP ， ∴OP =OB ，∵点B (4，0)，点P 在x 轴的负半轴上， ∴点()4,0P -；当PB =BC 时， ∵B (4，0)，()0,4C ， ∴OC =4，OB =4，∴BP BC ==∴4OP BP OB =-=， ∵点P 在x 轴的负半轴上，∴点()4P -；当PC =PB 时，点P 位于BC 的垂直平分线上， ∵OB =OC =4，∴点O 位于BC 的垂直平分线上， ∴此时点P 与点O 重合，不合题意，舍去；综上所述，在x 轴的负半轴上存在点()4,0P -或()4P -，使以B ，C ，P 三点为顶点的三角形为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 22．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)PA +PC 的长为(3)存在，点Q 的坐标为()0,2或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由见解析【解析】【分析】（1）当x ＝0时，y ＝3，可得C （0，3）．再设设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）（a ≠0），利用待定系数法，即可求解；（2）连接PA 、PB 、PC ，根据轴对称性可得PA ＝PB ．从而得到PA +PC ＝PC +PB ．进而得到当点P 在线段BC 上时，PC +AP 有最小值．即可求解；（3）先求出抛物线的对称轴，可得点()1,0M ，再由点N （0，﹣1），B （3，0），C （0，3）．可得2,45,45MN BC BM CBM MNO ===∠=︒∠=︒，可得∠CBM =∠MNO ，然后分三种情况讨论，即可求解． (1)解：把x ＝0代入得：y ＝3， ∴C （0，3）．设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3）（a ≠0），将点C 的坐标代入上式得：3＝﹣3a ，解得：a ＝﹣1．∴抛物线的解析式为y ＝-（x +1）（x -3）=﹣x 2+2x +3． (2)解：如图，连接PA 、PB 、PC ，∵点A 与点B 关于直线l 对称，点P 在直线l 上， ∴PA ＝PB ． ∴PA +PC ＝PC +PB ． ∵两点之间线段最短，∴当点P 在线段BC 上时，PC +AP 有最小值． ∵OC ＝3，OB ＝3， ∴BC ＝32∴PA +PC 的最小值＝32 (3)解：存在，理由：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1． ∵抛物线的对称轴l 与x 轴交于M 点． ∴点()1,0M ，∵点N （0，﹣1），B （3，0），C （0，3）． ∴OM =ON =1，OB =OC =3，∴2,32,2,45,45MN BC BM CBM MNO ===∠=︒∠=︒， ∴∠CBM =∠MNO ，当点Q 在点N 下方时，∠MNQ =135°，不符合题意， ∴点Q 在点N 上方，设点Q 的坐标为（0，n ）．则QN =n +1， ∵以M 、N 、Q 为顶点的三角形与△BCM 相似， ∴∠QMN =∠CMB 或∠MQN =∠CMB ，当1Q MN CMB ∠=∠时，1Q MNCMB ，如图（2），∴1Q N MNBC BM=， ∴12232n +=，解得：2n =， ∴点()10,2Q ；当2MQ N CMB ∠=∠时，2MQ NCMB ，如图（3），∴2Q N MN MB BC=， ∴12232n +=13n =-，∴点210,3Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，点Q 的坐标为()0,2或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，相似三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，待定系数法求二次函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 23．0或1或2或3 【解析】【分析】根据二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点，根据Δ≥0列出m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点， ∴Δ=4-4（m -2）≥0， ∴m ≤3， ∵m 为非负整数， ∴m =0或1或2或3．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是根据二次函数y =x 2-2x +m -2的图象与x 轴有交点列出m 的不等式，此题难度不大． 24．(1)A （-1，0），B （3，0）(2)点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由见解析(3)点P 的坐标为（1，2），2)，(1,2)或3(1,)4-【解析】【分析】（1）把0y =代入到21322y x x =--得，213022x x --=，解得13x =，21x =-，又因为点A 在点B 的左侧，即可得；（2）21322y x x =--配方得21(1)22y x =--，即可得点C 的坐标为（1，-2），根据点A ，B ，C 的坐标得4AB =，AC ，BC =AC =BC ，又因为2224+=，所以222AC BC AB +=，即可得90ACB ∠=︒，从而得出ACB △是等腰直角三角形；（3）当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形，即可得点P 的坐标（1，2），当CO CP =时，CP =，即可得点P 的坐标为2)或(1,2)，当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，解得34a =-，即可得点P 的坐标为3(1,)4-，综上，即可得． (1)解：把0y =代入到21322y x x =--得， 213022x x --= 2230x x --= (3)(1)0x x -+=解得13x =，21x =-， ∵点A 在点B 的左侧，∴A （-1，0），B （3，0）． (2) 解：21322y x x =-- =21(3)2x x -- =21(1)22x x -+- =21(1)22x --∴点C 的坐标为（1，-2），ABC 为等腰直角三角形，理由如下：∵A （-1，0），B （3，0），C （1，-2）， ∴3(1)4AB =--=，22(11)(02)8AC =----=， 22(31)(02)8BC =---=，∴AC =BC ， ∵222(8)(8)4+=， ∴222AC BC AB +=， ∴90ACB ∠=︒，∴ACB △是等腰直角三角形． (3)解：当点P 与点C 关于x 轴对称时，OC =OP ，OCP △为等腰三角形， ∴点P 的坐标为（1，2）；当CO CP =时，22(10)(20)5CP =-+-=， ∴点P 的坐标为(1,52)-或(1,52)--；当OP CP =时，点P 在OC 的垂直平分线上，设点(1,)P a ，如图所示，点P 交x 轴于点D ，在Rt ODP 中，根据勾股定理得，222(2)1a a +=+，22441a a a ++=+34a =- ∴点P 的坐标为3(1,)4-；综上，点P 的坐标为（1，2），2)，(1,2)或3(1,)4-．【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质．25．(1)见解析(2)122,1m m =-=【解析】【分析】（1）令0y =，得到关于x 的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式判断即可；（2）令1x =，0y =，解一元二次方程即可求得m 的值(1)令0y =，则有2220x mx m --=222890m m m ∆=+=≥即，对于任意实数方程2220x mx m --=总有两个实数根，∴对任意实数m ，抛物线与x 轴总有交点．(2)解：∵抛物线222y x mx m =--与x 轴交于1,0A ，∴202m m =--解得122,1m m =-=【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，掌握一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程是解题的关键．。

(中考试题)初中数学专题训练-函数

函数一．选择题（共20小题）1．（2014•射阳县校级模拟）若点P（a，a﹣b）在第四象限，则点Q（b，﹣a）在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．（2012•翁源县校级模拟）函数的自变量x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥﹣1或x≠﹣3C．x≥﹣1 D．x≥﹣1且x≠﹣33．（2017春•姜堰区校级月考）如图，在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块A 从完全置身水槽外，到匀速向下放入盛有水的水槽中，直至铁块完全浸入水面下的一定深度，则图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（）A．B ．C．D．4．（2012•山西模拟）一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示．则下列结论错误的是（）初中数学A．摩托车比汽车晚到1h B．A，B两地的路程为20kmC．摩托车的速度为45km/h D．汽车的速度为60km/h 5．（2011•大同校级模拟）有一个附有进出水管的容器，每单位时间进、出的水量都是一定的．设从某一时刻开始5分钟内只进水不出水，在接着的2分钟内只出水不进水，又在随后的15分钟内既进水又出水，刚好将该容器注满．已知容器中的水量y升与时间x分之间的函数关系如图所示．则在第7分钟时，容器内的水量为（）升．A．15B．16C．17D．18 6．（2016•阳泉模拟）如图1，E为矩形ABCD边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s．若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm）2．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的是（）A．AE=6cmB．sin∠EBC=0.8C．当0＜t≤10时，y=0.4t2D．当t=12s时，△PBQ是等腰三角形7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，D是AB边上的一个动点（不与点A，B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．8．（2016春•新洲区期末）若一次函数y=（1﹣m）x|m|﹣1+3的函数值y随x的增大而增大，则m的取值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1 9．（2014•泗县校级模拟）函数y=（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，那么m的取值范围是（）A．B．C．m＜﹣1D．m＞﹣110．（2014•永嘉县校级模拟）已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较11．（2012春•翠屏区校级期中）直线y=kx+3与x轴的交点是（1，0），则k的值是（）A．3B．2C．﹣2D．﹣312．（2014•泗县校级模拟）如果是方程组的解，则一次函数y=mx+n的解析式为（）A．y=﹣x+2B．y=x﹣2C．y=﹣x﹣2D．y=x+2 13．（2014•白云区校级模拟）根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x﹣21y3pA．3B．1C．﹣2D．﹣614．一次函数y=kx+b（b＞0）与反比例函数y=在同一直角坐标系下的大致图象为（）A．B．C．D．15．（2014•泗县校级模拟）若反比例函数y=（2m﹣1）的图象在第二，四象限，则m的值是（）A．﹣1或1B．小于的任意实数C．﹣1D．不能确定16．（2014•泗县校级模拟）如图，A为反比例函数图象上一点，AB⊥x轴于=3，则k的值为（）点B，若S△AOBA．3B．6C．D．无法确定17．（2014•鼓楼区校级模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①因为a＞0，所以函数y有最大值；②该函数的图象关于直线x=﹣1对称；③当x=﹣2时，函数y的值等于0；④当x=﹣3或x=1时，函数y的值都等于0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1 18．（2014•磐石市校级模拟）已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么能正确反映函数y=ax+b图象的只可能是（）A．B．C．D．19．（2014•溧水县校级模拟）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；（2）若y＜0，则x的取值范围为0＜x＜2；（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．320．对二次函数进行配方，其结果及顶点坐标是（）A．B．C．D．二．填空题（共20小题）21．根据点所在位置填表（图）点的位置横坐标符号纵坐标符号第一象限第二象限第三象限第四象限22．（2015秋•灯塔市期末）坐标平面内的点与是一一对应的．23．（2017秋•昌平区校级期中）从甲地向乙地打长途电话，按时间收费，3分钟内收费2.4元，每加1分钟加收1元，若时间t≥3（分）时，电话费y（元）与t（分）之间的函数关系式是．24．（2014•新泰市校级模拟）函数y=中，自变量x的取值范围是；函数中，自变量x的取值范围是．25．（2012秋•合肥期末）根据图中所示的程序计算变量y的值，若输入自变量x 的值为，则输出的结果是．26．（2016春•西和县校级月考）用描点法画函数图象的一般步骤是、、．27．（2014•无棣县校级模拟）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．则y 与x 的关系式为，当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动时间是．28．（2015秋•深圳校级期中）函数的三种表示方式分别是．29．（2017•和平区校级模拟）当m=时，函数y=（m +3）x 2m +1+4x ﹣5（x≠0）是一次函数．30．（2014•泗县校级模拟）已知函数y=2x ﹣3，当x 时，y ≥0；当x时，y ＜5．31．一次函数y=kx +b 的图象与性质k 、b 的符号k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，b ＜0图象的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限性质y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而y 随x 的增大而32．（2014•射阳县校级模拟）如图，点A （﹣3，4）在一次函数y=﹣3x ﹣5的图象上，图象与y 轴的交点为B ，那么△AOB 的面积为．33．（2014秋•路北区期末）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y=的图象上，则图中阴影部分的面积等于．34．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．35．（2008春•通城县期中）反比例函数y=的图象经过点（﹣，5）和（a，﹣3），则a=．36．（2014•泗县校级模拟）已知y﹣2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x 的函数关系式为．37．二次函数y=2x2﹣4x+5的对称轴方程是x=；当x=时，y有最小值是．38．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣1，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，1）的下方．下列结论：①a﹣b+c=0，②0＜b＜﹣a，③a+c＞0，④a﹣b+1＞0，其中正确结论的个数是个．39．（2014•射阳县校级模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，且经过点（﹣1，y1），（2，y2），试比较y1和y2的大小：y1y2．（填“＞”，“＜”或“=”）40．（2014•大石桥市校级模拟）将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为．三．解答题（共10小题）41．已知点M（3a+8，﹣1﹣a），分别根据下列条件求出点M的坐标．（1）点M在x轴上；（2）点M在一、三象限角平分线上；（3）点M在第四象限，并且a为最小自然数；（4）N点坐标为（﹣3，6），并且直线MN∥y轴．42．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，4），点B（﹣1，﹣2），点C（1，2），O是坐标原点．（1）求△AOB的面积；（2）求△ABC的面积．43．求下列函数自变量x的取值范围．（1）y=﹣x2﹣5x+6；（2）y=；（3）y=；（4）y=．44．已知一次函数y=（m+2）x+2﹣n，求：（1）y随x的增大而增大，m的取值范围；（2）函数的图象与y轴的交点在x轴的下方时，m，n的取值范围；（3）m，n为何值时图象与坐标轴交于原点；（4）函数的图象经过第一、二、三象限，m，n的取值范围．45．（2016•阳泉模拟）已知方程x2+mx+n=0的两根是直角三角形的两个锐角的余弦．（1）求证：m2=2n+1；（2）若P（m，n）是一次函数y=x﹣图象上的点，求点P的坐标．46．（2014•浙江模拟）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B （0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S=2，求点C的坐标．△OBC47．（2016•阳泉模拟）如图所示，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（6，n）在边AB上，反比例函数y=（k ≠0）在第一象限内的图象经过点D，E，且tan∠BOA=．（1）求边AB的长；（2）求反比例函数的表达式和n的值．48．如图所示，直线y=2x+3与双曲线y=相交于A，B两点，与轴交于点C，且△OCA的面积为1.5．（1）求双曲线y=的解析式；（2）若点D，B关于原点对称，一动点P沿着x轴运动，则|PA﹣PD|是否有最大值？如果有，请确定点P的位置；如果没有，请说明理由．49．（2014•溧水县校级模拟）已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中的x，y满足下表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求m的值；（2）根据上表求y＞0时的x的取值范围；（3）若A（p，y1），B（p+1，y2）两点都在该函数图象上，且p＜1，试比较y1与y2大小．50．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC四个顶点的坐标分别为O（0，0），A（0，3），B（6，3），C（6，0），抛物线过y=ax2+bx+c（a≠0）点A．（1）求c的值；（2）若a=﹣1，且抛物线与矩形有且只有三个交点，A，D，E，求△ADE的面积S的最大值．第11页（共11页）。

中考数学函数实际应用综合题(解析版)

专题03 函数实际应用综合题1.（2019•常德中考）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【解析】（1）设y甲=k1x，根据题意得5k1=100，解得k1=20，∴y甲=20x；设y乙=k2x+100，根据题意得：20k2+100=300，解得k2=10，∴y乙=10x+100．（2）①y甲<y乙，即20x<10x+100，解得x<10，当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；②y甲=y乙，即20x=10x+100，解得x=10，当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；③y甲>y乙，即20x>10x+100，解得x>10，当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．2.（2019•山西中考）某游泳馆推出了两种收费方式．方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元．方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1（元），选择方式二的总费用为y2（元）．（1）请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式．（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．【解析】（1）当游泳次数为x时，方式一费用为：y1=30x+200，方式二的费用为：y2=40x．（2）由y1<y2得：30x+200<40x，解得x>20时，当x>20时，选择方式一比方式二省钱．3．（2019•台州中考）如图1，某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯．甲、乙两人从二楼同时下行，甲乘自动扶梯，乙走步行楼梯，甲离一楼地面的高度h （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）之间具有函数关系3610h x =-+，乙离一楼地面的高度y （单位：m ）与下行时间x （单位：s ）的函数关系如图2所示．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）请通过计算说明甲、乙两人谁先到达一楼地面．【解析】（1）设y 关于x 的函数解析式是y kx b =+，6153b k b =⎧⎨+=⎩，解得，156k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，即y 关于x 的函数解析式是165y x =-+．（2）当0h =时，30610x =-+，得20x ，当0y =时，1065x =-+，得30x =， ∵2030<， ∴甲先到达地面．4．（2019•天门中考）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折．设一次购买量为x 千克，付款金额为y 元．（1）求y 关于x 的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？【解析】（1）根据题意，得①当0≤x ≤5时，y =20x ； ②当x >5，y =20×0.8（x -5）+20×5=16x +20．（2）把x =30代入y =16x +20，∴y =16×30+20=500； ∴一次购买玉米种子30千克，需付款500元．5.（2019•天津中考）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50 kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50 kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x >．（1）根据题意填表：（2）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式；（3）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为__________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120 kg ，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的__________批发店购买数量多．【解析】（1）当x =30时，1306180y =⨯=，2307210y =⨯=，当x =150时，11506900y =⨯=，2507515050850y =⨯+-=（），故答案为：180，900，210，850．（2）16y x =(0)x >．当050x <≤时，27y x =；当50x >时，27505(50)y x =⨯+-，即25100y x =+．（3）①∵0x >∴6x 7x ≠， ∴当21y y =时，即6x =5x +100，∴x =100，故答案为：100． ②∵x =12050>，∴16120720y =⨯=；25120100=700y =⨯+， ∴乙批发店购买花费少，故答案为：乙．③∵当x =50时乙批发店的花费是：350360<， ∵一次购买苹果花费了360元，∴x >50， ∴当1360y =时，6x =360，∴x =60， ∴当2360y =时，5x +100=360,∴x =52， ∴甲批发店购买数量多．故答案为：甲．6.（2019•湖州中考）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米.甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校.已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米.设甲步行的时间为x （分），图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s （米）与甲步行时间x （分）的函数关系的图象（不完整）.根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：（1）求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；（2）求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；（3）在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上）【解析】（1）由题意，得：甲步行的速度是24003080÷=（米/分）， ∴乙出发时甲离开小区的路程是8010800⨯=（米）．（2）设直线OA 的解析式为:(0)y kx k =≠， ∵直线OA 过点()30,2400A ， ∴302400k =，解得80k =，∴直线OA 的解析式为:80y x =， ∴当18x =时，80181440y =⨯=，∴乙骑自行车的速度是()14401810180÷-=（米/分）． ∵乙骑自行车的时间为251015-=（分）， ∴乙骑自行车的路程为180152700⨯=（米）．当25x =时，甲走过的路程是8080252000y x ==⨯=（米），∴乙到达还车点时，甲、乙两人之间的距离是27002000700-=（米）．（3）乙步行的速度为：80-5=75（米/分），乙到达学校用的时间为：25+（2700-2400）÷75=29（分），当25≤x ≤30时s 关于x 的函数的大致图象如图所示．7.2019•河南中考）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元；购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元．（1）求A ，B 两种奖品的单价；（2）学校准备购买A ，B 两种奖品共30个，且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13．请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【解析】（1）设A 的单价为x 元，B 的单价为y 元，根据题意，得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩，∴3015x y =⎧⎨=⎩，∴A 的单价30元，B 的单价15元；（2）设购买A 奖品z 个，则购买B 奖品为（30-z ）个，购买奖品的花费为W 元，由题意可知，z ≥13（30-z ）， ∴z ≥152， W =30z +15（30-z ）=450+15z ， ∵15＞0，W 随z 的减小而减小 ∴当z =8时，W 有最小值为570元，即购买A 奖品8个，购买B 奖品22个，花费最少．8.（2019•宿迁中考）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x 元，每天售出y 件．（1）请写出y 与x 之间的函数表达式；（2）当x 为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利w 元，当x 为多少时w 最大，最大值是多少？【解析】（1）根据题意得，1502y x =-+．（2）根据题意得，()140(50)22502x x +-+=，解得：150x =，210x =， ∵每件利润不能超过60元， ∴10x =，答：当x 为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元．（3）根据题意得，()21140(50)30200022w x x x x =+-+=-++()213024502x =--+， ∵102a =-<， ∴当30x <时，w 随x 的增大而增大，∴当20x时，2400w =增大，答：当x 为20时w 最大，最大值是2400元．9．（2019•潍坊中考）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克，设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计）【解析】（1）由题意，设这种水果今年每千克的平均批发价是x 元，则去年的批发价为()1x +元，今年的批发销售总额为()10120%12-=万元， ∴12000010000010001x x -=+，整理得2191200x x --=，解得24x =或5x =-（不合题意，舍去），故这种水果今年每千克的平均批发价是24元．（2）设每千克的平均售价为m 元，依题意由（1）知平均批发价为24元，则有()4124(180300)3mw m -=-⨯+260420066240m m =-+-，整理得()260357260w m =--+， ∵600a =-<， ∴抛物线开口向下，∴当35m =元时，w 取最大值，即每千克的平均销售价为35元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7260元．10．（2019•南充中考）在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元．（1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售，笔记本一律按原价销售，学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？【解析】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意可得23384570x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：106x y =⎧⎨=⎩．答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元．（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元， ①当30≤b ≤50时，100.1(30)0.113a b b =--=-+，w =b （-0.1b +13）+6（100-b ）20.17600b b =-++20.1(35)722.5b =--+， ∵当30b =时，W =720，当b =50时，W =700， ∴当30≤b ≤50时，700≤W ≤722.5． ②当50＜b ≤60时， a =8，86(100)2600W b b b =+-=+，∵700720W <≤，∴当30≤b ≤60时，W 的最小值为700元，∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元．11．（2019•梧州中考）我市某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（x ≥6，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【解析】（1）由题意，y =（x -5）（100-60.5x -×5）=-10x 2+210x -800，故y与x的函数关系式为：y=-10x2+210x-800．（2）要使当天利润不低于240元，则y≥240，∴y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5=240，解得，x1=8，x2=13，∵-10<0，抛物线的开口向下，∴当天销售单价所在的范围为8≤x≤13．（3）∵每件文具利润不超过80%，∴50.8xx-≤，得x≤9，∴文具的销售单价为6≤x≤9，由（1）得y=-10x2+210x-800=-10（x-10.5）2+302.5，∵对称轴为x=10.5，∴6≤x≤9在对称轴的左侧，且y随着x的增大而增大，∴当x=9时，取得最大值，此时y=-10（9-10.5）2+302.5=280，即每件文具售价为9元时，最大利润为280元．12．（2019•云南中考）某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售．已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的函数关系如图所示：（1）求y与x的函数解析式（也称关系式）；（2）求这一天销售西瓜获得的利润W的最大值．【解析】（1）当6≤x≤10时，设y与x的关系式为y=kx+b（k≠0），根据题意得1000620010k bk b=+⎧⎨=+⎩，解得2002200kb=-⎧⎨=⎩，∴y=-200x+1200，当10<x≤12时，y=200，故y 与x 的函数解析式为：y =2002200(610)200(1012)x x x -+≤≤⎧⎨<≤⎩．（2）由已知得：W =（x -6）y ，当6≤x ≤10时，W =（x -6）（-200x +1200）=-200（x -172）2+1250， ∵-200<0，抛物线的开口向下， ∴x =172时，取最大值， ∴W =1250，当10<x ≤12时，W =（x -6）•200=200x -1200， ∵y 随x 的增大而增大，∴x =12时取得最大值，W =200×12-1200=1200，综上所述，当销售价格为8.5元时，取得最大利润，最大利润为1250元．13．（2019•成都中考）随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可以用p =12x +12来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？【解析】（1）设函数的解析式为：y =kx +b （k ≠0），由图象可得，700055000k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得5007500kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x之间的关系式：y=-500x+7500．（2）设销售收入为w万元，根据题意得，w=yp=（-500x+7500）（12x+12），即w=-250（x-7）2+16000，∴当x=7时，w有最大值为16000，此时y=-500×7+7500=4000（元）．答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．14．（2019•武汉中考）某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如表：售价x（元/件）50 60 80周销售量y（件）100 80 40周销售利润w（元）1000 1600 1600 注：周销售利润=周销售量×（售价-进价）（1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；②该商品进价是__________元/件；当售价是__________元/件时，周销售利润最大，最大利润是__________元．（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1400元，求m的值．【解析】（1）①依题意设y=kx+b，则有50100 6080k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2200 kb=-⎧⎨=⎩，所以y关于x的函数解析式为y=-2x+200．②该商品进价是50-1000÷100=40，设每周获得利润w=ax2+bx+c，则有2500501000 3600601600 6400801600a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得22808000 abc=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴w=-2x2+280x-8000=-2（x-70）2+1800，∴当售价是70元/件时，周销售利润最大，最大利润是1800元；故答案为：40，70，1800；（2）根据题意得，w=（x-40-m）（-2x+200）=-2x2+（280+2m）x-8000-200m，∵对称轴x=1402m+，∴①当1402m+<65时（舍），②当1402m+≥65时，x=65时，w求最大值1400，解得：m=5．。

初三中考数学函数综合题含答案

初三中考数学函数综合题含答案一、单选题1．已知点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y =（x +1）2+2上，则下列结论正确的是（）． A ．122y y >> B ．212y y >> C ．122y y >>D ．212y y >>2．抛物线y ＝14（x ﹣6）2+3的顶点坐标是（）A ．（6，﹣3）B ．（6，3）C ．（﹣6，3）D ．（﹣6，﹣3） 3．抛物线y =2（x -1）2-3的顶点坐标是（） A ．()1,3-- B ．()1,3- C ．()1,3- D ．()1,3 4．一次函数y ＝－2x ＋5的图像不经过的象限是（）A ．一B ．二C ．三D ．四 5．将函数y ＝2x 的图象向上平移4个单位后，下列各点在平移后的图象上的是（） A ．()1,5 B ．()0,4 C ．()1,3- D ．()2,3- 6．在直角坐标系的x 轴的负半轴上，则点P 坐标为（）A ．()4,0-B ．()0,4C ．()0,3-D ．()1,0 7．直线7y x =--一定不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．下列各点中，在反比例函数2y x=-图象上的是-（）A ．(21)，B ．233⎛⎫⎪⎝⎭， C ．(21)--， D ．(12)-，9．已知点()11,A x y ，()22,B x y 在直线()0y kx b k =+≠上，当12x x <时，12y y >，且0kb <，则直线()0y kx b k =+≠在平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10．下列一次函数中，y 随x 的增大而减小的是（） A ．y ＝x ﹣3 B ．y ＝1﹣x C ．y ＝2x D ．y ＝3x +2 11．下列二次函数中，对称轴是直线1x =的是（）A ．21y x =+B ．()221y x =+C ．()21y x =-+D ．()231y x =--12．反比例函数y ＝2x的图象位于（）A ．第一、三象限B ．第二、三象限C ．第一、二象限D ．第二、四象限13．如图，△ABC 中，点B ，C 是x 轴上的点，且A （3，2），以原点O 为位似中心，作△ABC 的位似图形△A ′B ′C ′，且△ABC 与A ′B ′C ′的相似比是1：2，则点A ′的坐标是（）A ．（﹣6，﹣4）B ．（﹣1.5，﹣1）C ．（1.5，1）或（﹣1.5，﹣1）D ．（6，4）或（﹣6，﹣4）14．已知点P （a ，a ﹣1）在平面直角坐标系的第四象限，则a 的取值范围在数轴上可表示为（） A ．B ．C ．D ．15．要得到抛物线()2321y x =-++可以将抛物线232y x =-+（） A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题16．已知点(),P m n 在一次函数1y x =+的图象上，则n m -=______．17．已知某函数图像过点（－1，1），写出一个符合条件的函数表达式：______．18．将一次函数123=+y x 向上平移5个单位长度后得到直线AB ，则平移后直线AB 对应的函数表达式为______．19．将抛物线22(3)y x m =-+向右平移3个单位，再向上平移1个单位后恰好经过点(2,3)，则m 值是 __．20．若抛物线y =x 2+bx +经过点A （0，5），B （4，5），则其对称轴是直线______三、解答题21．已知抛物线y ＝－（x －m ）2＋1与x 轴的交点为A ，B （B 在A 的右边），与y 轴的交点为C ．(1)写出m ＝1时与抛物线有关的三个正确结论．(2)当点B 在原点的右边，点C 在原点的下方时，是否存在△BOC 为等腰三角形的情形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． (3)请你提出两个对任意的m 值都能成立的正确命题．22．在平面直角坐标系xOy 中，点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线()2210y ax ax a =-+>上，其中12x x < (1)求抛物线的对称轴；(2)若122x x a +=-，比较1y 与2y 的大小关系，并说明理由．23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数243y ax x =+-图象的顶点是A ，与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点D ．点B 的坐标是()1,0．(1)求A ，C 两点的坐标，并根据图象直接写出当0y >时x 的取值范围；(2)将图象向上平移m 个单位后，二次函数图象与x 轴交于E ，F 两点，若6EF =，求m 的值．24．一抛物线以()1,9-为顶点，且经过x 轴上一点()4,0-，求该抛物线解析式及抛物线与y 轴交点坐标．25．已知抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与y 轴相交于点A (0，﹣3)，点P 为抛物线上的一点． (1)求此抛物线的解析式；(2)若点P 的横坐标为2，则点P 到x 轴的距离为．【参考答案】一、单选题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．D 9．C 10．B 11．D 12．A 13．D 14．C 15．D 二、填空题 16．117．y ＝-x （答案不唯一） 18．y =13x +719．-3020．2x = 三、解答题21．(1)抛物线的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下 (2)存在，2(3)无论m 为何值，函数的始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点【解析】【分析】（1）当m =1时，y =-（x -1）2+1，根据()2y a x h k =-+的性质写出三个结论即可；（2）求得C （0，1-m 2），根据点B 在原点的右边，点C 在原点的下方，可得m ＞1，根据等腰三角形的性质可得1+m =m 2-1，解方程求解即可；（3）根据()2y a x h k =-+的性质，可知无论m 为何值，函数的始终有最大值1；无论m为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点． (1)解：当m =1时，y =-（x -1）2+1， ∴抛物线的对称轴为直线x =1，令0y =，-（x -1）2+1=0，解得120,2x x ==，抛物线与x 轴的两个交点为（0，0），（2，0），抛物线开口向下； (2)存在，理由如下：令x =0，则y =1-m 2， ∴C （0，1-m 2），令y =0，则x =1+m 或x =m -1， ∴B （1+m ，0），∵点B 在原点的右边，点C 在原点的下方， ∴1+m ＞0，1-m 2＜0， ∴m ＞1，∵△BOC 为等腰三角形， ∴1+m =m 2-1，解得m =2或m =-1（舍）， ∴m =2； (3)无论m 为何值，函数始终有最大值1；无论m 为何值，函数始终与x 轴有两个不同的交点．【点睛】本题考查了()2y a x h k =-+的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次函数与坐标轴交点问题，掌握()2y a x h k =-+的性质是解题的关键． 22．(1)直线1x = (2)12y y >，见解析【解析】【分析】（1）将解析式整理成顶点式，直接写出对称轴；（2）方法一：利用作差法，将12y y -表示出来，再进行判断正负，据此判断大小即可；方法二：判断12,y y 距离对称轴的大小，根据函数增减性判断． (1)解：∵()222111y ax ax a x a =-+=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x = (2)方法一：()()221211222121y y ax ax ax ax -=-+--+，()()22122122ax ax ax ax =-+-，()()12122a x x x x =-+-， ()212a x x =--，∵0a >，12x x <， ∴120y y ->，即12y y >，方法二：∵0a >，122x x a +=-， ∴122x x +<， ∴1212x x +<，又∵抛物线对称轴是直线1x =，开口向上，且12x x <， ∴1211x x ->-， ∴12y y >．【点睛】本题主要考查二次函数中系数的运用，以及比较函数值的大小，熟练掌握二次函数的基础运算是解题的关键．23．(1)(2,1)A ，(3,0)C ，当0y >时，13x <<． (2)8m = 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出a ，再求出点C 的坐标即可解决问题．（2）由题意得抛物线的解析式为243y x x m =-+-+，设二次函数图象与x 轴交于1(E x ，0)，2(F x ，0)两点，则124x x +=，123x x m =-，由12|6|x x -=可得出答案．(1)解：把(1,0)B 代入243y ax x =+-，得043a =+-，解得1a =-，2243(2)1y x x x ∴=-+-=--+，)1(2,A ∴，对称轴为直线2x =，B ，C 关于2x =对称，(3,0)C ∴，∴当0y >时，13x <<．(2)解：抛物线向上平移m 个单位，可得抛物线的解析式为243y x x m =-+-+，设二次函数图象与x 轴交于1(E x ，0)，2(F x ，0)两点，则124x x +=，123x x m =-，12||6x x ∴-=，212()36x x ∴-=，21212()436x x x x ∴+-=，164(3)36m ∴-⨯-=，8m ∴=．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是能够把二次函数的一般形式化为顶点式． 24．y =﹣x 2-2x ＋8；抛物线与y 轴交点为()0,8 【解析】【分析】知道顶点和抛物线上一点，可以用抛物线的顶点式求答；【详解】解：设抛物线解析式为()2y a x h k =-+，依题意1h =-，9k =，将()4,0-代入()219y a x =++中，得099a =+，解得1a =-，∴抛物线解析式为()219y x =-++，即y =﹣x 2-2x ＋8；令0x =，则8y =，∴抛物线与y 轴交点为()0,8．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式；在知道顶点坐标的时候，利用顶点式求二次函数解析式十分方便． 25．(1)223y x x =-- (2)3 【解析】【分析】（1）把点A (0，﹣3)，代入抛物线解析式，即可求解；（2）根据抛物线()214y x =--的对称轴为直线1x =，可得点P 和点A (0，﹣3)关于直线1x =对称，从而得到点的纵坐标为-3，即可求解．(1)解：∵抛物线y ＝（x ﹣1）2+k 与y 轴相交于点A (0，﹣3)， ∴()2301k -=-+，解得：4k =-，∴此抛物线的解析式为()221423y x x x =--=--； (2)解：∵抛物线()214y x =--的对称轴为直线1x =， ∴点P 和点A (0，﹣3)关于直线1x =对称， ∴点的纵坐标为-3， ∴点P 到x 轴的距离为3．【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，利用抛物线的对称性求函数值，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．。

2021年中考数学专题-训练：《反比例函数综合》(含答案详解)

2021年九年级中考数学一轮复习专题《反比例函数综合》1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y＝交于点A（1，m）和B （﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．2．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F 和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+n（n＜0）与坐标轴交于A、B两点，与y ＝（x＞0）交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且△OAB∽△FEB，相似比为．（1）若，求m的值；（2）连接OE，试探究m与n的数量关系，并直接写出直线OE的解析式．4．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．6．如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，a），点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交一次函数的图象于点D．（1）求a的值及一次函数y＝kx+1的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求BN的长．（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G 落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，简述你的理由．9．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）求这两个函数的表达式．（2）直接写出关于x的不等式的解．（3）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且30°≤∠CED≤60°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．10．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝2x都经过点A（2，m）．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B（n，2），点C是y轴的负半轴上的一点，且点C到x轴的距离是2，联结AB、AC、BC，①求△ABC的面积；②点E在y轴上，△ACE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．参考答案1．解：（1）①∵点B（﹣2，﹣1）在双曲线y＝上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵点A（1，m）在双曲线y＝上，∴m＝2，∴A（1，2），∵点A关于x轴的对称点为点C，∴C（1，﹣2）；②∵直线l：y＝ax+b经过点A（1，2）和B（﹣2，﹣1），∴，∴，Array∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图，∵点A关于x轴的对称点为点C，∴AC∥y轴，∵BD⊥y轴，∴∠BDC＝90°，D（1，﹣1），∵C（1，﹣2），∴CD＝1，①当点E在点D左侧时，当∠CED＝45°时，DE＝CD＝1，∴t＝0，当∠CE'D＝30°时，DE'＝CD＝，∴t＝1﹣，∵30°≤∠CED≤45°，∴1﹣≤t≤0；②当点E在点D右侧时，同①的方法得，2≤t≤1+，即：1﹣≤t≤0或2≤t≤1+．2．（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，∴k＝1×3＝3．故答案为：3．（2）证明：∵反比例函数解析式为，∴设A点坐标为（a，）．∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴，，∴．又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB．（3）解：∵四边形ABCD 的面积和△PCD 的面积相等，∴S△PAB ＝2S △PCD ，∴×（3﹣）×（1﹣a ）＝2××1×（﹣），整理得：（a ﹣1）2＝2，解得：a 1＝1﹣，a 2＝1+（舍去），∴P 点坐标为（1，﹣3﹣3）．3．解：（1）当时，直线方程是y ＝﹣，当x ＝0时，y ＝﹣，即A （0，﹣），则OA ＝．当y ＝0时，x ＝1，即B （1，0），则OB ＝1．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝1，BF ＝2OB ＝2，OF ＝OB +BF ＝1+2＝3，∴点E 的坐标为（3，1）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝3×1＝3；（2）∵直线y ＝+n （n ＜0）与坐标轴交于A 、B 两点，∴当x ＝0时，y ＝n ，即A （0，n ），则OA ＝﹣n ．当y ＝0时，x ＝﹣2n ，即B （﹣2n ，0），则OB ＝﹣2n ．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝﹣2n ，BF ＝2OB ＝﹣4n ，OF ＝OB +BF ＝﹣6n ，∴点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝（﹣6n ）•（﹣2n ）＝12n 2；由点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）得到直线OE 的解析式为：y ＝x ．4．解：（1）当x ＝2时，y ＝×2＝，∴点A 坐标为（2，），∵点A 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，∴k ＝2×＝3，（2）①∵k ＝12，∴反比例函数解析式为y ＝，联立方程组可得：，解得：或，∴点A（4，3），点B（﹣4，﹣3），∴AO＝BO＝5，又∵∠ACB＝90°，∴CO＝AO＝BO＝5，∴点C（0，5），∴△ACB的面积＝×5×4+×5×4＝20；②设点D坐标为（x，y），若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，∴AB与CD互相平分，∴，，∴x＝0，y＝﹣5，∴点D（0，﹣5）；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，，∴x＝8，y＝11，∴点D（8，11）；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴，＝，∴x＝﹣8，y＝﹣1，∴点D（﹣8，﹣1），综上所述：点D坐标为（0，﹣5）或（8，11）或（﹣8，﹣1）．5．解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，Array∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D （8，4），由（2）知，C （2，4），∴直线CD 的解析式为y ＝4，∵点M 的横坐标为m ，则M （m ，4），N （m ，），∴MN ＝|4﹣|，∵A （1，2），B （4，2），∴AB ＝3，∵MN ≥AB ，∴|4﹣|≥3，∴m ≥8或m ≤，即0＜m ≤或m ≥8．6．解：（1）把点A （2，a ）代入反比例函数得，a ＝＝4， ∴点A （2，4），代入y ＝kx +1得，4＝2k +1，解得k ＝∴一次函数的表达式为；（2）∵BD ＝10，∴D 的纵坐标为10，把y ＝10代入得，x ＝6，∴OB ＝6，当x ＝6代入y ＝得，y ＝，即BC ＝，∴CD ＝BD ﹣BC ＝10﹣＝，∴S △ACD ＝×（6﹣2）＝．7．解：（1）依题意，得：点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（3，3）．当x ＝3时，y ＝x ﹣1＝2，∴点D 的坐标为（3，2）．将D （3，2）代入y ＝，得：2＝，解得：m ＝6，∴反比例函数解析式为y ＝．当y ＝3时，＝3，解得：x ＝2，∴点N 的坐标为（2，3），∴BN ＝3﹣2＝1．（2）当y ＝0时，x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点M 的坐标为（1，0），∴AM ＝2，∴S 梯形ABNM ＝（BD +AM ）•AB ＝．设点P 的坐标为（x ，x ﹣1）（x ≠1，x ≠3），∴S △BCP ＝BC •|3﹣y P |＝|4﹣x |＝，解得：x 1＝1（舍去），x 2＝7，∴点P 的坐标为（7，6）．（3）过点C 作CF ⊥CP ，交DM 于点F ，如图2所示．设点F 的坐标为（n ，n ﹣1）．∵点C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（7，6），∴PC 2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF 2＝（n ﹣0）2+（n ﹣1﹣3）2＝2n 2﹣8n +16，PF2＝（n ﹣7）2+（n ﹣1﹣6）2＝2n 2﹣28n +98．∵∠PCF ＝90°，∴PF 2＝PC 2+CF 2，即2n 2﹣28n +98＝58+2n 2﹣8n +16，解得：n ＝，∴点F 的坐标为（，）．又∵点G 为线段PF 的中点，∴点G 的坐标为（，）．8．解：（1）将A （，1）代入y ＝，得：1＝，解得：k ＝，∴反比例函数的表达式为y ＝．（2）∵点A 的坐标为（，1），AB ⊥x 轴于点C ，∴OC ＝，AC ＝1，∴OA ＝＝2＝2AC ，∴∠AOC ＝30°．∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠B ＝∠AOC ＝30°，∴AB ＝2OA ＝4，∴S △AOB ＝AB •OC ＝×4×＝2．（3）在Rt △AOB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，∠ABO ＝30°，∴OB ＝＝2．分三种情况考虑：①当OP ＝OB 时，如图2所示，∵OB ＝2，∴OP ＝2，∴点P 的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）；②当BP ＝BO 时，如图3，过点B 做BD ⊥y 轴于点D ，则OD ＝BC ＝AB ﹣AC ＝3， ∵BP ＝BO ，∴OP ＝2OC ＝2或OP ＝2OD ＝6，∴点P 的坐标为（2，0），（0，﹣6）；③当PO ＝PB 时，如图4所示．若点P 在x 轴上，∵PO ＝PB ，∠BOP ＝60°，∴△BOP 为等边三角形，∴OP ＝OB ＝2，∴点P 的坐标为（2，0）；若点P 在y 轴上，设OP ＝a ，则PD ＝3﹣a ， ∵PO ＝PB ，∴PB2＝PD2+BD2，即a2＝（3﹣a）2+12，解得：a＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2），（0，﹣6），（0，﹣2）．9．解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y＝；当x＝1时，m＝＝2，∴点A的坐标为（1，2）．将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x+1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解为x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2）．∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴点D的坐标为（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cot∠CED＝，∴≤DE≤，∴1﹣≤t≤1﹣或1+≤t≤1+．10．解：（1）∵直线y ＝2x 经过点A （2，m ），∴m ＝2×2＝4，∴点A 的坐标为（2，4）．∵双曲线经过点A （2，4）， ∴4＝，∴k ＝8．（2）①由（1）得：双曲线的表达式为y ＝．∵双曲线y ＝经过点B （n ，2），∴2＝，∴n ＝4，∴点B 的坐标为（4，2）．∵点C 是y 轴的负半轴上的一点，且点C 到x 轴的距离是2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴AB ＝＝2，BC ＝＝4，AC ＝＝2．∵（2）2+（4）2＝（2）2，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×2×4＝8．②设点E 的坐标为（0，a ），∴AE 2＝（0﹣2）2+（a ﹣4）2＝a 2﹣8a +20，CE 2＝[a ﹣（﹣2）]2＝a 2+4a +4，AC 2＝40．分三种情况考虑，如图2所示．（i ）当AE ＝AC 时，a 2﹣8a +20＝40，解得：a 1＝﹣2（舍去），a 2＝10，∴点E 1的坐标为（0，10）；（ii ）当CE ＝AC 时，a 2+4a +4＝40，解得：a 3＝﹣2+2，a 4＝﹣2﹣2，∴点E 2的坐标为（0，﹣2+2），点E 3的坐标为（0，﹣2﹣2）；（iii ）当CE ＝AE 时，a 2+4a +4＝a 2﹣8a +20，解得：a ＝，∴点E 4的坐标为（0，）．综上所述：点E 的坐标为（0，10），（0，﹣2+2），（0，﹣2﹣2）或（0，）．。

2022年九年级中考复习数学函数综合试题

中考试题之函数综合题1. 如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．（1）若二次函数y ＝－x 2－25kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗？请说明理由．2．已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值．（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．yxN3．如图9，抛物线y=ax 2+8ax+12a 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC. (1) 求线段OC 的长.(2) 求该抛物线的函数关系式．(3) 在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.4．已知函数y=x2和y=kx+l(k≠O)． (1)若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a 和k 的值；(2)当k 取何值时，这两个函数的图象总有公共点?5．已知如图，矩形OABC 的长OA=3，宽OC=1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC 。

（1）填空：∠PCB=____度，P 点坐标为（，）；（2）若P ，A 两点在抛物线y=－34 x 2+bx+c 上，求b ，c 的值，并说明点C 在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.6.如图，二资助函数c bx x y ++=2的图象经过点M （1，—2）、N （—1，6）. （1）求二次函数c bx x y ++=2的关系式.（2）把Rt △ABC 放在坐标系内，其中∠CAB = 90°，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC = 5。

【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)

冲刺中考数学压轴之满分集训专题02函数图像与性质综合题（四大类）【类型一：分析函数图像】【典例1】（锦州）已知A，B两地相距10千米，上午9：00甲骑电动车从A 地出发到B地，9：10乙开车从B地出发到A地，甲、乙两人距A地的距离y（千米）与甲所用的时间x（分）之间的关系如图所示，则乙到达A地的时间为．【答案】9：20【解答】解：因为甲30分走完全程10千米，所以甲的速度是千米/分，由图中看出两人在走了5千米时相遇，那么甲此时用了15分钟，则乙用了（15﹣10）分钟，所以乙的速度为：5÷5＝1千米/分，所以乙走完全程需要时间为：10÷1＝10分，因为9：10乙才出发，所以乙到达A地的时间为9：20；故答案为9：20．【变式1-1】（2022•潍坊）如图，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，AD＝1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点F作FH⊥AB于H，当0≤x≤1时，如图1，在Rt△FAH中，AF＝x，∠A＝60°，则FH＝AF•sin A＝x，∴线段EF扫过区域的面积y＝x•x＝x2，图象是开口向上的抛物线，当1＜x≤2时，如图2，过点D作DP⊥AB于P，则DP＝AD•sin A＝，∴线段EF扫过区域的面积y＝×（x﹣1+x）×＝x﹣，图象是y 随x的增大而增大的线段，当2＜x≤3时，如图3，过点E作EG⊥CD于G，则CE＝CF＝3﹣x，∴EG＝（3﹣x），∴线段EF扫过区域的面积y＝2×﹣×（3﹣x）×（3﹣x）＝﹣（3﹣x）2，图象是开口向下的抛物线，故选：A．【变式1-2】（2022•齐齐哈尔）如图①所示（图中各角均为直角），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，△AFP的面积y随点P运动的时间x（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（）A．AF＝5B．AB＝4C．DE＝3D．EF＝8【答案】B【解答】解：由图②的第一段折线可知：点P经过4秒到达点B处，此时的三角形的面积为12，∵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→D→E路线匀速运动，∴AB＝4．∵×AF•AB＝12，∴AF＝6，∴A选项不正确，B选项正确；由图②的第二段折线可知：点P再经过2秒到达点C处，∴BC＝2，由图②的第三段折线可知：点P再经过6秒到达点D处，∴CD＝6，由图②的第四段折线可知：点P再经过4秒到达点E处，∴DE＝4．∴C选项不正确；∵图①中各角均为直角，∴EF＝AB+CD＝4+6＝10，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式1-3】（2022•宜昌）如图是小强散步过程中所走的路程s（单位：m）与步行时间t（单位：min）的函数图象．其中有一时间段小强是匀速步行的．则这一时间段小强的步行速度为（）A．50m/min B．40m/min C．m/min D．20m/min【答案】D【解答】解：由函数图象知，从30﹣70分钟时间段小强匀速步行，∴这一时间段小强的步行速度为＝20（m/min），故选：D．【变式1-4】（2022•辽宁）如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF 中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：过点A作AM⊥BC，交BC于点M，在等边△ABC中，∠ACB＝60°，在Rt△DEF中，∠F＝30°，∴∠FED＝60°，∴∠ACB＝∠FED，∴AC∥EF，在等边△ABC中，AM⊥BC，∴BM＝CM＝BC＝2，AM＝BM＝2，＝BC•AM＝4，∴S△ABC①当0＜x≤2时，设AC与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△CDG，由题意可得CD＝x，DG＝x∴S＝CD•DG＝x2；②当2＜x≤4时，设AB与DF交于点G，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为四边形AGDC，由题意可得：CD＝x，则BD＝4﹣x，DG＝（4﹣x），﹣S△BDG＝4﹣×（4﹣x）×（4﹣x），∴S＝S△ABC∴S＝﹣x2+4x﹣4＝﹣（x﹣4）2+4，③当4＜x≤8时，设AB与EF交于点G，过点G作GM⊥BC，交BC于点M，此时△ABC与Rt△DEF重叠部分为△BEG，由题意可得CD＝x，则CE＝x﹣4，DB＝x﹣4，∴BE＝x﹣（x﹣4）﹣（x﹣4）＝8﹣x，∴BM＝4﹣x在Rt△BGM中，GM＝（4﹣x），∴S＝BE•GM＝（8﹣x）×（4﹣x），∴S＝（x﹣8）2，综上，选项A的图像符合题意，故选：A．【类型二：判断函数图像】【典例2】（2020•铜仁市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：由题意当0≤x≤4时，y＝×AD×AB＝×3×4＝6，当4＜x＜7时，y＝×PD×AD＝×（7﹣x）×4＝14﹣2x．故选：D．【变式2-1】（2022•湖北）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为S1，小正方形与大正方形重叠部分的面积为S2，若S＝S1﹣S2，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由题意得：当0≤t＜1时，S＝4﹣t，当1≤t≤2时，S＝3，当2＜＜t≤3时，S＝t+1，故选：A．【变式2-2】（2022•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y＝ax+b2﹣4ac与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象顶点在x轴下方，开口向上，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0，∴一次函数y＝ax+b2﹣4ac的图象位于第一，二，三象限，由二次函数y＝ax2+bx+c的部分函数图象可知，点（2，4a+2b+c）在x轴上方，∴4a+2b+c＞0，∴y＝的图象位于第一，三象限，据此可知，符合题意的是B，故选：B．【变式2-3】（2022•广西）已知反比例函数y＝（b≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵反比例函数y＝（b≠0）的图象位于一、三象限，∴b＞0；∵A、B的抛物线都是开口向下，∴a＜0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的右侧，故A、B都是错误的．∵C、D的抛物线都是开口向上，∴a＞0，根据同左异右，对称轴应该在y轴的左侧，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0由a＞0，c＜0，排除C．故选：D．【类型三：反比例函数综合】【典例3】（2022•十堰）如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y＝（k1＞0）和y＝（k2＞0）的图象上．若BD∥y轴，点D的横坐标为3，则k1+k2＝（）A．36B．18C．12D．9【答案】B【解答】解：连接AC交BD于E，延长BD交x轴于F，连接OD、OB，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AE＝BE＝CE＝DE，设AE＝BE＝CE＝DE＝m，D（3，a），∵BD∥y轴，∴B（3，a+2m），A（3+m，a+m），∵A，B都在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，∴k1＝3（a+2m）＝（3+m）（a+m），∵m≠0，∴m＝3﹣a，∴B（3，6﹣a），∵B（3，6﹣a）在反比例函数y＝（k1＞0）的图象上，D（3，a）在y＝（k2＞0）的图象上，∴k1＝3（6﹣a）＝18﹣3a，k2＝3a，∴k1+k2＝18﹣3a+3a＝18；故选：B【变式3-1】（2021•鄂州）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为．【答案】8【解答】解：连接OA、OB，∵AC⊥x轴，∴AC∥y轴，＝S△APB，∴S△AOB＝2，∵S△APB＝2，∴S△AOB由反比例函数系数k的几何意义可得：S△AOC＝6，S△BOC＝，∴6﹣＝2，解得：k＝8，故答案为8．【变式3-2】（2021•荆州）如图，过反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上的四点P1，P2，P3，P4分别作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，A3，A4，再过P1，P2，P3，P4分别作y轴，P1A1，P2A2，P3A3的垂线，构造了四个相邻的矩形．若这四个矩形的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，则S1与S4的数量关系为．【答案】S1＝4S4【解答】解：∵过双曲线上任意一点、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积S 是个定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案为：S1＝4S4．【变式3-3】（2022•毕节市）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴、y轴上，对角线交于点E，反比例函数y＝（x＞0，k＞0）的图象经过点C，E．若点A（3，0），则k的值是．【答案】4【解答】解：设C（m，），∵四边形ABCD是正方形，∴点E为AC的中点，∴E（，），∵点E在反比例函数y＝上，∴，∴m＝1，作CH⊥y轴于H，∴CH＝1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠OBA＝∠HCB，∵∠AOB＝∠BHC，∴△AOB≌△BHC（AAS），∴BH＝OA＝3，OB＝CH＝1，∴C（1，4），∴k＝4，故答案为：4．【变式3-4】（2022•雁塔区校级模拟）如图，正方形ACBE的边长是，点B，C分别在x轴和y轴正半轴上，BO＝2，ED⊥x轴于点D，ED的中点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则k＝．【答案】3【解答】解：∵正方形ACBE的边长是，BO＝2，∴BC＝BE＝，∴OC＝＝＝1，∵∠ABC＝90°，∴∠OBC+∠EBD＝90°，∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠EBD，在△OBC和△DEB中，，∴△OBC≌△DEB（AAS），∴BD＝OC＝1，DE＝OB＝2，∴OD＝3，∴E（3，2），∵点F是ED的中点，∴F（3，1），∵点F在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴k＝3×1＝3，故答案为3．【变式3-5】（2021•广元）如图，点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，点M在x轴的正半轴上，点N在y轴的负半轴上，且OM＝ON＝5．点P（x，y）是线段MN上一动点，过点A和P分别作x轴的垂线，垂足为点D和E，＜S△OPE时，x的取值范围是．连接OA、OP．当S△OAD【答案】1＜x＜4【解答】解：过点B作BF⊥ON于F，连接OB，过点C作CG⊥OM于点G，连接OC，如图，∵点A（﹣2，2）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣4．∴y＝．∵点A（﹣2，2），∴AD＝OD＝2．∴．设B（a，b），则ab＝﹣4，OF＝﹣b，BF＝a．∴＝＝2．＝2．同理：S△OCG＞S△OBF，从图中可以看出当点P在线段BC上时，S△OPE＜S△OPE．即当点P在线段BC上时，满足S△OAD∵OM＝ON＝5，∴N（0，﹣5），M（5，0）．设直线MN的解析式为y＝mx+n，则：，解得：．∴直线MN的解析式为y＝x﹣5．∴，解得：，．∴B（1，﹣4），C（4，﹣1）．∴x的取值范围为1＜x＜4．【变式3-6】（2021•荆门）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB斜边上的高为1，∠AOB＝30°，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C恰好在函数y＝（k≠0）的图象上，若在y＝的图象上另有一点M使得∠MOC＝30°，则点M的坐标为．【答案】（，1）【解答】解：作AE⊥OB于E，MF⊥x轴于F，则AE＝1，∵∠AOB＝30°，∴OE＝AE＝，将Rt△OAB绕原点顺时针旋转90°得到Rt△OCD，点A的对应点C为（1，），∵点C在函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝1×＝，∴y＝，∵∠COD＝∠AOB＝30°，∠MOC＝30°，∴∠DOM＝60°，∴∠MOF＝30°，∴OF＝MF，设MF＝n，则OF＝n，∴M（n，n），∵点M在函数y＝的图象上，∴n＝，∴n＝1（负数舍去），∴M（，1），故答案为（，1）．【变式3-7】（2021•达州）如图，将一把矩形直尺ABCD和一块等腰直角三角板EFG摆放在平面直角坐标系中，AB在x轴上，点G与点A重合，点F在AD上，EF交BC于点M，反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，若直尺的宽CD＝1，三角板的斜边FG＝4，则k＝．【答案】﹣12【解答】解：过点M作MN⊥AD，垂足为N，则MN＝CD＝1，在Rt△FMN中，∠MFN＝45°，∴FN＝MN＝1又∵FG＝4，∴NA＝MB＝FG﹣FN＝4﹣1＝3，设OA＝a，则OB＝a+1，∴点F（﹣a，4），M（﹣a﹣1，3），又∵反比例函数y＝（x＜0）的图象恰好经过点F，M，∴k＝﹣4a＝3（﹣a﹣1），解得，a＝3，∴k＝﹣4a＝﹣12，故答案为：﹣12．【类型4：二次函数综合】【典例4】（2021•广安）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b≥x（ax+b），④3a+c＜0，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x＝﹣1，即，∴b＝2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故①正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，则与x轴的另一个交点在﹣2和﹣3之间，∴当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故②错误；∵x＝﹣1时，y＝ax2+bx+c的最大值是a﹣b+c，∴a﹣b+c≥ax2+bx+c，∴a﹣b≥ax2+bx，即a﹣b≥x（ax+b），故③正确；∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，b＝2a，∴a+2a+c＝3a+c＜0，故④正确；故选：C．【变式4-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝kx+c与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①ab＞0；②4a+c＞0；③若（﹣2，y1）与（，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1；⑤当x＝﹣1时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0．∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，b＜0．∵a＜0，b＜0，∴ab＞0，∴①的结论正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣3，0），∴9a﹣3b+c＝0，∴9a﹣3×2a+c＝0，∴3a+c＝0．∴4a+c＝a＜0，∴②的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1对称的对称点为（0，y1），∵a＜0，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．∵＞0＞﹣1，∴y1＞y2．∴③的结论不正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0），∴抛物线一定经过点（1，0），∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为﹣3，1，∴方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣3，x2＝1，∴④的结论正确；∵直线y＝kx+c经过点（﹣3，0），∴﹣3k+c＝0，∴c＝3k．∵3a+c＝0，∴c＝﹣3a，∴3k＝﹣3a，∴k＝﹣a．∴函数y＝ax2+（b﹣k）x＝ax2+（2a+a）x＝ax2+3ax＝a﹣a，∵a＜0，∴当x＝﹣时，函数y＝ax2+（b﹣k）x有最大值，∴⑤的结论不正确．综上，结论正确的有：①④，故选：A．【变式4-2】（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③B．②④C．③④D．②③【答案】D【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【变式4-3】（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x ＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8aB．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bmC．3a﹣2＞0D．当y＞﹣2时，x1•x2＜0【答案】C【解答】解：根据函数图象可知a＞0，根据抛物线的对称轴公式可得x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴b2＞0，﹣8a＜0，∴b2＞﹣8a．故A正确，不符合题意；∵函数的最小值在x＝﹣1处取到，∴若实数m≠﹣1，则a﹣b﹣2＜am2+bm﹣2，即若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm．故B正确，不符合题意；∵l∥x轴，∴y1＝y2，令x＝0，则y＝﹣2，即抛物线与y轴交于点（0，﹣2），∴当y1＝y2＞﹣2时，x1＜0，x2＞0．∴当y1＝y2＞﹣2时，x1•x2＜0．故D正确，不符合题意；∵a＞0，∴3a＞0，没有条件可以证明3a＞2．故C错误，符合题意；故选：C．【变式4-4】（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有下列结论：①2a+b＜0；②当x＞1时，y随x的增大而增大；③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），∴a+b+c＝0，∵a＜c，∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，∴b＜0，∴对称轴x＝﹣＞1，∴当1＜x＜﹣时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；③∵a+b+c＝0，∴b+c＝﹣a，对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；故选：C．【变式4-5】（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【解答】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【变式4-6】（2021•恩施州）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），则以下结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③若y≥c，则x≤﹣2或x≥0；④b+c＝m．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故结论①错误；②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣3，0），顶点是（﹣1，m），∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∵抛物线开口向上，∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故结论②正确；③由题意可知对称轴为：直线x＝﹣1，∴x＝，∴b＝2a，把y＝c，b＝2a代入y＝ax2+bx+c得：ax2+2ax+c＝c，∴x2+2x＝0，解得x＝0或﹣2，∴当y≥c，则x≤﹣2或x≥0，故结论③正确；④把（﹣1，m），（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝m，a+b+c＝0，∴b＝，∵b＝2a，∴a＝，∵抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），∴a+b+c＝0，∴c＝，∴b+c＝，故选：B．。

中考数学真题- 函数与几何综合问题

函数与几何综合问题一、解答题1．（2021·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(，点B 在直线8:3l y x =上，过点B 作AB 的垂线，过原点O 作直线l 的垂线，两垂线相交于点C ．（1）如图，点B ，C 分别在第三、二象限内，BC 与AO 相交于点D ． ①若BA BO =，求证：CD CO =．①若45CBO ∠=︒，求四边形ABOC 的面积．（2）是否存在点B ，使得以,,A B C 为顶点的三角形与BCO 相似？若存在，求OB 的长；若不存在，请说明理由．2．（2021·浙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 经过原点O ，分别交x 轴、y 轴于()2,0A ，()0,8B ，连结AB ．直线CM 分别交M 于点D ，E （点D 在左侧），交x 轴于点()17,0C ，连结AE ．（1）求M 的半径和直线CM 的函数表达式．（2）求点D ，E 的坐标．（3）点P 在线段AC 上，连结PE ．当AEP ∠与OBD 的一个内角相等时，求所有满足条件的OP 的长．3．（2021·黑龙江中考真题）如图，一次函数y kx b =+的图象与y 轴的正半轴交于点A ，与反比例函数4y x=的图像交于,P D 两点．以AD 为边作正方形ABCD ，点B 落在x 轴的负半轴上，已知BOD 的面积与AOB 的面积之比为1:4．（1）求一次函数y kx b =+的表达式：（2）求点P 的坐标及CPD △外接圆半径的长．4．（2021·江苏中考真题）已知四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线BC 上的动点，以AE 为直角边在直线BC 的上方作等腰直角三角形AEF ，90AEF ∠=︒，设BE m =．（1）如图1，若点E 在线段BC 上运动，EF 交CD 于点P ，AF 交CD 于点Q ，连结CF ， ①当13m =时，求线段CF 的长；①在PQE ¢V 中，设边QE 上的高为h ，请用含m 的代数式表示h ，并求h 的最大值；（2）设过BC 的中点且垂直于BC 的直线被等腰直角三角形AEF 截得的线段长为y ，请直接写出y 与m 的关系式．5．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M -、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B 、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______；（2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围；（3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．6．（2021·广东中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:42l y x =+分别与x 轴，y 轴相交于A 、B 两点，点(),P x y 为直线l 在第二象限的点（1）求A、B两点的坐标；（2）设PAO的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；（3）作PAO的外接圆C，延长PC交C于点Q，当POQ△的面积最小时，求C的半径．7．（2021·广西梧州市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B （0，3），顶点为C．平移此抛物线，得到一条新的抛物线，且新抛物线上的点D（3，﹣1）为原抛物线上点A的对应点，新抛物线顶点为E，它与y轴交于点G，连接CG，EG，CE．（1）求原抛物线对应的函数表达式；（2）在原抛物线或新抛物线上找一点F，使以点C，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，并求出点F 的坐标；（3）若点K是y轴上的一个动点，且在点B的上方，过点K作CE的平行线，分别交两条抛物线于点M，N，且点M，N分别在y轴的两侧，当MN＝CE时，请直接写出点K的坐标．8．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数33y x42=+的图象与反比例函数()0ky x x=>的图象相交于点(),3A a ，与x 轴相交于点B ．（1）求反比例函数的表达式；（2）过点A 的直线交反比例函数的图象于另一点C ，交x 轴正半轴于点D ，当ABD △是以BD 为底的等腰三角形时，求直线AD 的函数表达式及点C 的坐标．9．（2021·湖南中考真题）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，一次函数2y x =的图像l 与函数()0,0ky k x x=>>的图像（记为Γ）交于点A ，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，且1AB =，点C 在线段OB 上（不含端点），且OC t =，过点C 作直线1//l x 轴，交l 于点D ，交图像Γ于点E ．（1）求k 的值，并且用含t 的式子表示点D 的横坐标；（2）连接OE 、BE 、AE ，记OBE △、ADE 的面积分别为1S 、2S ，设12U S S =-，求U 的最大值． 10．（2021·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 为矩形，点C 、A 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，点D 为AB 的中点已知实数0k ≠，一次函数3y x k =-+的图像经过点C 、D ，反比例函数()0ky x x=>的图像经过点B ，求k 的值．11．（2021·山东中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在坐标轴上，且2OA =，4OC =，连接OB ．反比例函数1k y x=（0x >）的图象经过线段OB 的中点D ，并与AB 、BC 分别交于点E 、F ．一次函数2y k x b =+的图象经过E 、F 两点．（1）分别求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）点P 是x 轴上一动点，当PE PF +的值最小时，点P 的坐标为______．12．（2021·广西中考真题）如图①，在ABC 中，AD BC ⊥于点D ，14BC =，8AD =，6BD =点E 是AD 上一动点（不与点A ，D 重合），在ADC 内作矩形EFGH ，点F 在DC 上，点G ，H 在AC 上，设DE x =，连接BE ．（1）当矩形EFGH 是正方形时，直接写出EF 的长；（2）设ABE △的面积为1S ，矩形EFGH 的面积为2S ，令12S y S =，求y 关于x 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）如图①，点(,)P a b 是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P 的直线l 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴交于M ，N 两点，求OMN 面积的最小值，并说明理由．13．（2021·江苏中考真题）通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．（理解）（1）如图1，,AC BC CD AB ⊥⊥，垂足分别为C 、D ，E 是AB 的中点，连接CE ．已知AD a =，()0BD b a b =<<．①分别求线段CE 、CD 的长（用含a 、b 的代数式表示）；①比较大小：CE __________CD （填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a 、b 的代数式表示该大小关系．（应用）（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点M 、N 在反比例函数()10y x x=>的图像上，横坐标分别为m 、n ．设11,p m n q m n =+=+，记14l pq =． ①当1,2m n ==时，l =__________；当3,3m n ==时，l =________；①通过归纳猜想，可得l 的最小值是__________．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立． 14．（2021·四川中考真题）已知反比例函数my x=的图象经过点(2,3)A ．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数my x=的图象上点A 的右侧取点C ，作CH ①x 轴于H ，过点A 作y 轴的垂线AG 交直线CH 于点D ．①过点A ，点C 分别作x 轴，y 轴的垂线，交于B ，垂足分别为为F 、E ，连结OB ，BD ，求证：O ，B ，D 三点共线；①若2AC OA =，求证：2AOD DOH ∠=∠．15．（2021·内蒙古中考真题）如图，矩形ABCD 的两边,AB BC 的长分别为3，8，C ，D 在y 轴上，E 是AD 的中点，反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点E ，与BC 交于点F ，且1CF BE -=．（1）求反比例函数的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使得23CEPABCD SS =矩形，求此时点P 的坐标．16．（2021·湖南中考真题）如图，抛物线22y ax bx =++经过()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，直线l ：3y kx =+经过点A ，点P 为直线l 上的一个动点，且位于x 轴的上方，点Q 为抛物线上的一个动点，当//PQ y 轴时，作QM PQ ⊥，交抛物线于点M （点M 在点Q 的右侧），以PQ ，QM 为邻边构造矩形PQMN ，求该矩形周长的最小值；（3）如图3，设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，当矩形PQMN 的周长取最小值时，抛物线上是否存在点F ，使得CBF =∠DQM ∠若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2021·湖北中考真题）抛物线21y x =-交x 轴于A ，B 两点（A 在B 的左边）．（1）ACDE 的顶点C 在y 轴的正半轴上，顶点E 在y 轴右侧的抛物线上． ①如图（1），若点C 的坐标是()0,3，点E 的横坐标是32，直接写出点A ，D 的坐标； ①如图（2），若点D 在抛物线上，且ACDE 的面积是12，求点E 的坐标；（2）如图（3），F 是原点O 关于抛物线顶点的对称点，不平行y 轴的直线l 分别交线段AF ，BF （不含端点）于G ，H 两点，若直线l 与抛物线只有一个公共点，求证FG FH +的值是定值． 18．（2021·湖南中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++>．（1）若12a =，2b c ==-，求方程20ax bx c ++=的根的判别式的值；（2）如图所示，该二次函数的图像与x 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且120x x <<，与y 轴的负半轴交于点C ，点D 在线段OC 上，连接AC 、BD ，满足 ACO ABD ∠=∠，1bc x a-+=． ①求证：AOC DOB ≅；①连接BC ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，点()120,F x x -在y 轴的负半轴上，连接AF ，且ACO CAF CBD ∠=∠+∠，求1cx 的值．19．（2021·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y x x =-+经过坐标原点，与x 轴正半轴交于点A ，点(,)M m n 是抛物线上一动点．（1）如图1，当0m >，0n >，且3n m =时， ①求点M 的坐标： ①若点15,4B y ⎛⎫⎪⎝⎭在该抛物线上，连接OM ，BM ，C 是线段BM 上一动点（点C 与点M ，B 不重合），过点C 作//CD MO ，交x 轴于点D ，线段OD 与MC 是否相等？请说明理由；（2）如图2，该抛物线的对称轴交x 轴于点K ，点7,3E x ⎛⎫⎪⎝⎭在对称轴上，当2m >，0n >，且直线EM 交x 轴的负半轴于点F 时，过点A 作x 轴的垂线，交直线EM 于点N ，G 为y 轴上一点，点G 的坐标为180,5⎛⎫⎪⎝⎭，连接GF ．若2EF NF MF +=，求证：射线FE 平分AFG ∠．20．（湖南省永州市2021年中考真题数学试卷）已知关于x 的二次函数21y x bx c =++（实数b ，c 为常数）．（1）若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为1x =，求此二次函数的表达式；（2）若20b c -=，当3b x b -≤≤时，二次函数的最小值为21，求b 的值；（3）记关于x 的二次函数222y x x m =++，若在（1）的条件下，当01x ≤≤时，总有21y y ≥，求实数m 的最小值．21．（2021·四川中考真题）如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，AC =，3OB OC OA ==．（1）求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P ，使四边形PBAC 的面积最大．求出点P 的坐标（3）在（2）的结论下，点M 为x 轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q ．使点P 、B 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在．请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（四川省资阳市2021年中考数学试卷）抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且()()1,0,0,3B C -．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是抛物线上位于直线AC 上方的一点，BP 与AC 相交于点E ，当:1:2PE BE =时，求点P 的坐标；（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，将抛物线沿CD 方向平移，使点D 落在点D ¢处，且2DD CD '=，点M 是平移后所得抛物线上位于D ¢左侧的一点，//MN y 轴交直线OD '于点N ，连结CN ．当5D N CN '+的值最小时，求MN 的长．23．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于除原点O 和点A ，且其顶点B 关于x 轴的对称点坐标为()2,1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F ，使得抛物线2y ax bx c =++上的任意一点G 到定点F 的距离与点G 到直线2y =-的距离总相等． ①证明上述结论并求出点F 的坐标；①过点F 的直线l 与抛物线2y ax bx c =++交于,M N 两点．证明：当直线l 绕点F 旋转时，11MF NF+是定值，并求出该定值；（3）点()3,C m 是该抛物线上的一点，在x 轴，y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQBC 周长最小，直接写出,P Q 的坐标．24．（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线()()14y x x n =-+-与x 轴交于点A 和点()(),04B n n ≥-，顶点坐标记为()11,h k ．抛物线()222229y x n n n =-+-++的顶点坐标记为()22,h k ．（1）写出A 点坐标；（2）求1k ，2k 的值（用含n 的代数式表示）；（3）当44n -≤≤时，探究1k 与2k 的大小关系；（4）经过点()229,5M n n+-和点()22,95N n n -的直线与抛物线()()14yx x n =-+-，()222229y x n n n =-+-++的公共点恰好为3个不同点时，求n 的值．25．（2021·山西中考真题）如图，抛物线21262y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．（1）求A ，B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于点D ． ①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；①设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．26．（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时． ①求c 的取值范围； ①求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．27．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，平行四边形ABCD 的AB 边与y 轴交于E 点，F 是AD 的中点，B 、C 、D 的坐标分别为()()()2,0,8,0,13,10-．（1）求过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）试判断抛物线的顶点是否在直线EF 上；（3）设过F 与AB 平行的直线交y 轴于Q ，M 是线段EQ 之间的动点，射线BM 与抛物线交于另一点P ，当PBQ △的面积最大时，求P 的坐标．28．（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．29．（2021·甘肃中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与坐标轴交于()()0,2,4,0A B -两点，直线:28BC y x =-+交y 轴于点C ．点D 为直线AB 下方抛物线上一动点，过点D 作x 轴的垂线，垂足为,G DG 分别交直线,BC AB 于点,E F ．（1）求抛物线212y x bx c =++的表达式；（2）当12GF =，连接BD ，求BDF 的面积；（3）①H 是y 轴上一点，当四边形BEHF 是矩形时，求点H 的坐标；①在①的条件下，第一象限有一动点P ，满足2PH PC =+，求PHB △周长的最小值．30．（2021·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C ：()20y ax bx c a =++≠经过点()1,1和()4,1．（1）求抛物线C 的对称轴．（2）当1a =-时，将抛物线C 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线1C ． ①求抛物线1C 的解析式．①设抛物线1C 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ，连接BC ．点D 为第一象限内抛物线1C 上一动点，过点D 作DE OA ⊥于点E ．设点D 的横坐标为m ．是否存在点D ，使得以点O ，D ，E 为顶点的三角形与BOC 相似，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．31．（2021·江苏中考真题）如图，二次函数()21y x m x m =-++（m 是实数，且10m -<<）的图像与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），其对称轴与x 轴交于点C ，已知点D 位于第一象限，且在对称轴上，OD BD ⊥，点E 在x 轴的正半轴上，OC EC =．连接ED 并延长交y 轴于点F ，连接AF ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标（用数字或含m 的式子表示）；（2）已知点Q 在抛物线的对称轴上，当AFQ △的周长的最小值等于125，求m 的值．32．（2021·贵州中考真题）如图，抛物线()2=2+0y ax x c a -≠与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线的顶点为D ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在抛物线的对称轴上，点Q 在x 轴上，若以点P 、Q 、B 、C 为顶点，BC 为边的四边形为平行四边形，请直接写出点P 、Q 的坐标；（3）已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与①BCD 相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（山东省淄博市2021年中考数学试题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线211(0)222m m y m x x -++⋅=->与x 轴交于()()1,0,,0A B m -两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）若2OC OA =，求抛物线对应的函数表达式；（2）在（1）的条件下，点P 位于直线BC 上方的抛物线上，当PBC 面积最大时，求点P 的坐标；（3）设直线12y x b =+与抛物线交于,B G 两点，问是否存在点E （在抛物线上）．点F （在抛物线的对称轴上），使得以,,,B G E F 为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点,E F 的坐标；若不存在，说明理由． 34．（2021·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．35．（2021·湖北中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A 出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ①sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．36．（2021·湖南中考真题）如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过点(2,3)C -且与x 轴交于原点及点(8,0)B ．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A 的坐标及直线AB 的表达式；（3）判断ABO 的形状，试说明理由；（4）若点P 为O 上的动点，且O 的半径为，一动点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP 匀速运动到点P ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B 后停止运动，求点E 的运动时间t 的最小值．37．（2021·黑龙江中考真题）如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，OA AB =，且线段OA 的长是方程2450x x --=的根，过点B 作BE x ⊥轴，垂足为E ，4tan 3BAE ∠=，动点M 以每秒1个单位长度的速度，从点A 出发，沿线段AB 向点B 运动，到达点B 停止．过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，以MD 为边作正方形MDCF ，点C 在线段OA 上，设正方形MDCF 与AOB ∆重叠部分的面积为S ，点M 的运动时间为()0t t >秒．（1）求点B 的坐标；（2）求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当点F 落在线段OB 上时，坐标平面内是否存在一点P ，使以M A O P 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2021·江苏中考真题）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线3y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，二次函数2y ax 2x c =++的图象过B 、C 两点，且与x 轴交于另一点A ，点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交BC 于点F ，交二次函数2y ax 2x c =++的图象于点E ．（1）求二次函数的表达式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度；（3）已知点N 是y 轴上的点，若点N 、F 关于直线EC 对称，求点N 的坐标．。

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合一、综合题1．如图，正比例函数 y x = 的图象与反比例函数 ky x=（ 0x > ）的图象交于点 ()1A a ，，在 ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， CA CB = ，点C 坐标为 ()20-，．（1）求 k 的值；（2）求 AB 所在直线的解析式．2．如图所示，直线 1y k x b =+ 与双曲线 2k y x=交于A 、B 两点，已知点B 的纵坐标为 3- ，直线AB 与x 轴交于点C ，与y 轴交于点 ()02D -，， 5OA =， 1tan 2AOC ∠= ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若点P 是第二象限内反比例函数图象上的一点， OCP 的面积是 ODB 的面积的2倍，求点P的坐标；（3）直接写出不等式 21k k x b x+≤的解集． 3．反比例函数 2m y x-=的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；（2）如图，若直线 AB 与该函数图象交于 ()61A ，、 B 两点，求此反比例函数的解析式；（3）在（2）的条件下， AOB 的面积为8，动点 P 在 y 轴上运动，当线段 PA 与 PB 之差最大时，求点 P 坐标.4．如图， Rt ABC 中， 90ACB ∠=︒ ， AC BC = ，点 ()20C ，，点 ()04B ，，反比例函数 ()0kyxx=>的图象经过点A ．（1）求反比例函数的解析式；（2）将直线 OA 向上平移m 个单位后经过反比例函数，图象上的点 ()1n ，，求m ，n 的值． 5．如图，直线y=2x 与反比例函数y=kx(k≠0，x>0)的图象交于点A(m ，8)，AB⊥x 轴，垂足为B 。

（1）求k 的值；（2）点C 在AB 上，若OC=AC ，求AC 的长；（3）点D 为x 轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S ⊥OCD =S ⊥ACD ，求点D 的坐标。

中考数学复习考点知识专题训练10---一次函数综合(基础篇)

中考数学复习考点知识专题训练10 一次函数综合（基础）1．如图，已知点A（3，0），C（﹣1，0），点B为y轴正半轴上的一点，且S△ABC＝6．（1）求直线AB的解析式；（2）在y轴上是否存在点T，将直线CB沿直线CT翻折后，点B的对称点H恰好落在x轴上．若存在，求出T点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若P、Q两点在直线AB上，且x P、x Q是方程x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两个根，当∠POQ ＝90°时，求m的值．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），点C 是x轴上一点，且满足CA＝CB（1）求直线l的解析式；（2）求点C的坐标和△ABC的面积；（3）过点C作y轴的平行线CH，借助△ABC的一边构造与△ABC面积相等的三角形，第三个顶点P在直线CH上，求出符合条件的点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA＝OC，∠AOC＝60°，且CB∥OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC的内部一点，且点P到四边形OABC四条边的距离相等．（1）直接写出点P的坐标是；（2）若一次函数y＝x+b的图象经过点P，求b的值；（3）若一次函数y＝x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围．4．如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4．（1）求AC所在直线的函数关系式；（2）求点E的坐标和△ACE的面积；（3）求点D的坐标，并判断点（8，﹣4）是否在直线OD上，说明理由．5．如图，若A （0，a ），B （b ，0），C （c ，c ），且（a ﹣5）2+|b +2|+√c −3=0．四边形ABCD 为平行四边形，点D 在第一象限，直线AC 交x 轴于点F ．（1）求点D 的作坐标；（2）求证：∠DCF ＝∠ABF +∠AFB ；（3）求CF AC 的比值．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4√3），点B 在x 正半轴上，且∠ABO ＝30°，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，在x 轴上取两点M ，N 作等边△PMN ，（1）求直线AB 的解析式；（2）求等边△PMN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上，设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，①t ＝2时，S 的值；②请求出当0≤t ≤1时S 与t 的函数关系式．7．直线y＝x+6交x轴、y轴于A、B两点，AC⊥AB交y轴于C，P为x轴正半轴上一点．（1）求直线AC的解析式；（2）过P作PM⊥BP交AC于M，求证：PM＝PB；（3）在（2）的条件下，过B任作直线BG，MG⊥BG于G，连接PG，∠PGM的度数是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．8．已知点A，B分别在x轴的负半轴和正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OA＞OB，点C的坐标为（0，﹣4），点D在y轴上，直线AD平分∠CAB．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）点P是直线BD上一点，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l，已知直线l经过点A（﹣4，0）（1）求直线l的解析式；（2）设直线l与y轴交于点B，在x轴正半轴上任取一点C（OC＞2），在y轴负半轴上取点D，使得OD＝OC，过D作直线DH⊥BC于H，交x轴于点E，求点E的坐标；（3）若点P的坐标为（﹣3，m），△ABP与△ABO的面积之间满足S△ABP=12S△ABO，求m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AB与OD交于点P，其中OA＝3，OB＝2．（1）求AB所在直线的解析式；（2）求OD所在直线的解析式；（3）求交点P的坐标．11．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）（1）求线段AB的长；（2）若已知m＝3，x轴上是否存在一点P，使得P A+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．12．如图，A（4，0），B（0，4），直线y=13x与直线AB交于点C．（1）求点C的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，若∠PCO＝3∠ABO．①求直线PB的解析式；②求点P的坐标．13．如图，直线y＝kx+6与x轴，y轴分别交于点E、点F，点E的坐标为（﹣8，0）（1）求k的值；（2）已知点A（﹣6，0），若点P（x，y）是直线上第二象限内的一个动点，试写出△OP A的面积S 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点P 运动到什么位置时，△OP A 的面积为274？并说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x 轴、y 轴分别交于点A （6，0）、点B （0，6√3），点D 是线段AB 的中点，点C （0，2√3），点E 为x 轴上一动点．（1）求直线AB 的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）联结CE 、DE ，以CE 、DE 为边作▱CEDF ，▱CEDF 的顶点F 恰好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）设点M 是直线y ＝x +4√3上一点，若以C 、D 、E 、M 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．15．已知：如图，直线y =−12x +1与x 轴、y 轴的交点分别是A 和B ，把线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得线段AB ′．（1）直接写出点B ′的坐标；（2）若点C （1，a ）在第一象限内，并且S △ABC ＝S △ABB ′，求a 的值；（3）P 在x 轴上，且△P AB 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．16．如图，点A 的坐标是（2，1），点B 的坐标是（5，1），过点A 的直线l 的表达式为y ＝2x +b ，点C 在直线l 上运动，在直线OA 上是否存在一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．17．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y =53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于272？请求出点Q的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P 使△P AB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．（1）求点A和点B的坐标；（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P．（1）求点A、B的坐标；（2）若OP＝P A，求k的值；（3）在（2）的条件下，C是线段BP上一点，CE⊥x轴于E，交OP于D，若CD＝2ED，求C 点的坐标．20．如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC ＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12√2，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，交x轴于点F，且OE＝4，∠OFE＝45°，求直线DE的解析式；（3）求点D的坐标．11 / 11。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式一、综合题1．已知二次函数y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）（1）当k= 12时，将这个二次函数的解析式写成顶点式；（2）求证：关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根．2．求二次函数的顶点坐标和对称轴．（1）用配方法：y=3x2﹣6x+2；（2）用公式法：y=﹣5x2+80x﹣319．3．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C.（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标.4．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．5．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？6．利用配方法，把下列函数写成y=a（x﹣h）2+k的形式，并写出它们图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）y=﹣x2+6x+1（2）y=2x2﹣3x+4（3）y=﹣x2+nx（4）y=x2+px+q．7．对于二次函数y= 12x2﹣3x+4，（1）配方成y=a（x﹣h）2+k的形式．（2）求出它的图象的顶点坐标和对称轴．（3）求出函数的最大或最小值．8．已知二次函数的解析式是y=x2﹣2x﹣3（1）用配方法将y=x2﹣2x﹣3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在直角坐标系中，用五点法画出它的图像；（3）利用图象求当x为何值时，函数值y＜0（4）当x为何值时，y随x的增大而减小？（5）当﹣3＜x＜3时，观察图象直接写出函数值y的取值的范围．9．如图，△M的圆心M（﹣1，2），△M经过坐标原点O，与y轴交于点A，经过点A的一条直线l解析式为：y=﹣12x+4与x轴交于点B，以M为顶点的抛物线经过x轴上点D（2，0）和点C（﹣4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：直线l是△M的切线；（3）点P为抛物线上一动点，且PE与直线l垂直，垂足为E，PF△y轴，交直线l于点F，是否存在这样的点P，使△PEF的面积最小？若存在，请求出此时点P的坐标及△PEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．10．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S△PAB=8，并求出此时P点的坐标．11．如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN△BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM△△BMD？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1＜x2与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2﹣4x﹣12=0的两个根．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN△BC，交AC于点N，连结CM，当△CMN 的面积最大时，求点M的坐标；（3）点D（4，k）在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l△x轴于H，交抛物线于点M，过点C作CF△l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时（与点M重合）①求点F的坐标；②求线段OD的长；③试探究在直线l上，是否存在点G，使△EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，连接CM，若△COD△△CFM，请直接写出线段OD的长．14．如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得SΔMAP=2SΔACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线G: y=x2−2tx+3( t为常数)的顶点为P.（1）求点P的坐标；(用含t的式子表示)（2）在同一平面直角坐标系中，存在函数图象H，点A(m,n1)在图象H上，点B(m,n2)在抛物线G上，对于任意的实数m，都有点A，B关于点(m,m)对称.①当t=1 时，求图象H对应函数的解析式；②当1≤m≤t+1时，都有n1>n2成立，结合图象，求t的取值范围.16．抛物线y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧．（1）求D点坐标；（2）若△PBA= 12△OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．答案解析部分1．【答案】（1）解：把k= 12代入y=x2﹣（2k+1）x+k2+k（k＞0）得y=x2﹣2x+ 34，因为y=（x﹣1）2﹣1 4所以抛物线的顶点坐标为（1，﹣1 4）（2）证明：△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，所以关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0有两个不相等的实数根2．【答案】（1）解：y=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，顶点坐标为（1，﹣1），对称轴为x=1（2）解：∵a=﹣5，b=80，c=﹣319，∴﹣b2a=﹣802×(−5)=8，4ac−b2 4a = 4×(−5)×(−319)−8024×(−5)=1，∴顶点坐标为（8，1），对称轴为x=83．【答案】（1）解：用交点式函数表达式得：y=(x−1)(x−3)=x2−4x+3；故二次函数表达式为：y=x2−4x+3（2）解：①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB=PF=2，则点P坐标为(4，3)，当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P(4，3)或(0，3)；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为(2，0)设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：m+2 2，即：m+22=2，解得：m=2，故点P(2，−1)；综上：点P(4，3)或(0，3)或(2，−1)；（3）解：利用待定系数法求得直线BC的表达式为：y=−x+3，设点E坐标为(x，x2−4x+3)，则点D(x，−x+3)，S四边形AEBD =12AB(yD−yE)=−x+3−x2+4x−3=−x2+3x，∵−1<0，故四边形AEBD面积有最大值，当x=32，其最大值为94，此时点E(32，−34).4．【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣2），将B（0，﹣4）代入得：﹣4=﹣8a，即a= 1 2，则抛物线解析式为y= 12（x+4）（x﹣2）=12x2+x﹣4；（2）解：过M作MN△x轴，将x=m代入抛物线得：y= 12m2+m﹣4，即M（m，12m2+m﹣4），∴MN=| 12m2+m﹣4|=﹣12m2﹣m+4，ON=﹣m，∵A（﹣4，0），B（0，﹣4），∴OA=OB=4，∴△AMB的面积为S=S△AMN+S梯形MNOB﹣S△AOB= 12×（4+m）×（﹣12m2﹣m+4）+ 12×（﹣m）×（﹣12m2﹣m+4+4）﹣12×4×4 =2（﹣12m2﹣m+4）﹣2m﹣8=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，当m=﹣2时，S取得最大值，最大值为4．5．【答案】（1）解：由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得a= 1 2．∴所求函数关系式为：S= 12（t﹣2）2﹣2，即S= 12t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S= 12t2﹣2t（2）解：把S=30代入S= 12（t﹣2）2﹣2，得12（t﹣2）2﹣2=30．解得t1=10，t2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元（3）解：把t=7代入关系式，得S= 12×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得S= 12×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．6．【答案】（1）解：y=﹣x2+6x+1=﹣（x2﹣6x）+1=﹣（x﹣3）2+10，对称轴x=3，顶点坐标为：（3，10），开口向下（2）解：y=2x2﹣3x+4=2（x2﹣32x）+4=2（x﹣34）2+ 238，对称轴x= 34，顶点坐标为：（34，238），开口向上（3）解：y=﹣x2+nx=﹣（x﹣n2）2+n24，对称轴x= n2，顶点坐标为：（n2，n24），开口向下（4）解：y=x2+px+q=（x+ p2）2+4q−p24，对称轴x=﹣p2，顶点坐标为：（p2，4q−p24），开口向上7．【答案】（1）解：y= 12x2﹣3x+4 = 12（x2﹣6x）+4= 12[（x﹣3）2﹣9]+4= 12（x﹣3）2﹣12（2）解：由（1）得：图象的顶点坐标为：（3，﹣1 2），对称轴为：直线x=3（3）解：∵a= 12＞0，∴函数的最小值为：﹣1 28．【答案】（1）解：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，即y=（x﹣1）2﹣4（2）解：由（1）可知，y=（x﹣1）2﹣4，则顶点坐标为（1，﹣4），令x=0，则y=﹣3，∴与y轴交点为（0，﹣3），令y=0，则0=x2﹣2x﹣3，解得x1=﹣1，x2=3，∴与x轴交点为（﹣1，0），（3，0）．列表：描点、连线：（3）解：由图象知，当﹣1＜x＜3时，函数值y＜0（4）解：由图象知，当x＜1时，y随x的增大而减小（5）解：当x=﹣3时，y=9+6﹣3=12，则﹣3＜x＜3时，0＜y＜129．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x+4），将点M的坐标代入得：﹣9a=2，解得：a=﹣2 9．∴抛物线的解析式为y=﹣29x2﹣49x+169（2）解：连接AM，过点M作MG△AD，垂足为G．把x=0代入y=﹣12x+4得：y=4，∴A（0，4）．将y=0代入得：0=﹣12x+4，解得x=8，∴B（8，0）．∴OA=4，OB=8．∵M（﹣1，2），A（0，4），∴MG=1，AG=2．∴tan△MAG=tan△ABO= 1 2．∴△MAG=△ABO．∵△OAB+△ABO=90°，∴△MAG+△OAB=90°，即△MAB=90°．∴l是△M的切线（3）解：∵△PFE+△FPE=90°，△FBD+△PFE=90°，∴△FPE=△FBD．∴tan△FPE= 1 2．∴PF：PE：EF= √5：2：1．∴△PEF的面积= 12PE•EF=12×2√55PF• √55PF= 15PF2．∴当PF最小时，△PEF的面积最小．设点P的坐标为（x，﹣29x2﹣49x+169），则F（x，﹣12x+4）．∴PF=（﹣12x+4）﹣（﹣29x2﹣49x+169）=﹣12x+4+29x2+ 49x﹣169=29x2﹣118x+209=29（x﹣18）2+ 7132．∴当x= 18时，PF有最小值，PF的最小值为7132．∴P（18，5532）．∴△PEF的面积的最小值为= 15×（7132）2= 5041512010．【答案】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3（2）解：∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）（3）解：设P 的纵坐标为|y P |，∵S △PAB =8，∴12AB•|y P |=8，∵AB=3+1=4，∴|y P |=4， ∴y P =±4，把y P =4代入解析式得，4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1±2 √2 ，把y P =﹣4代入解析式得，﹣4=x 2﹣2x ﹣3，解得，x=1，∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2 √2 ，4）或（1﹣2 √2 ，4）或（1，﹣4）时，满足S △PAB =8 11．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为：y=a （x ﹣1）2+4，∵点B 的坐标为（3，0）．∴4a+4=0，∴a=﹣1，∴此抛物线的解析式为：y=﹣（x ﹣1）2+4=﹣x 2+2x+3（2）解：存在．抛物线的对称轴方程为：x=1，∵点E 的横坐标为2，∴y=﹣4+4+3=3，∴点E （2，3），∴设直线AE 的解析式为：y=kx+b ，∴{−k +b =02k +b =3， ∴{k =1b =1， ∴直线AE 的解析式为：y=x+1，∴点F （0，1），∵D （0，3），∴D 与E 关于x=1对称，作F 关于x 轴的对称点F′（0，﹣1），连接EF′交x 轴于H ，交对称轴x=1于G ，四边形DFHG 的周长即为最小，设直线EF′的解析式为：y=mx+n ，∴{n =−12m +n =3，解得： {m =2n =−1， ∴直线EF′的解析式为：y=2x ﹣1，∴当y=0时，2x ﹣1=0，得x= 12，即H （ 12，0），当x=1时，y=1，∴G （1，1）；∴DF=2，FH=F′H= √(12)2+12 = √52 ，DG= √22+12 = √5 ， ∴使D 、G ，H 、F 四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+ √52 + √52+ √5 =2+2 √5（3）解：存在．∵BD= √32+32 =3 √2 ，设M （c ，0），∵MN△BD ，∴MN BD =AN AB，即 3√2= 1+c 4 ， ∴MN= 3√24（1+c ），DM= √32+c 2 ，要使△DNM△△BMD ，需 DM BD =MN DM，即DM 2=BD•MN ，可得：9+c 2=3 √2 × 3√24 （1+c ），解得：c= 32或c=3（舍去）．当x= 32 时，y=﹣（ 32 ﹣1）2+4= 154．∴存在，点T的坐标为（32，154）12．【答案】（1）解：∵x2﹣4x﹣12=0，∴x1=﹣2，x2=6．∴A（﹣2，0），B（6，0），又∵抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣6），将点C的坐标代入，求得a= 1 3，∴抛物线的解析式为y= 13x2﹣43x﹣4.（2）解：设点M的坐标为（m，0），过点N作NH△x轴于点H（如图（1））．∵点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（6，0），∴AB=8，AM=m+2，∵MN△BC，∴△MNA△△BCA．∴NHCO=AMAB，∴NH4=m+28，∴NH= m+2 2，∴S△CMN=S△ACM﹣S△AMN= 12•AM•CO﹣12AM•NH，= 12（m+2）（4﹣m+22）=﹣14m2+m+3，=﹣14（m﹣2）2+4．∴当m=2时，S△CMN有最大值4．此时，点M的坐标为（2，0）.（3）解：∵点D（4，k）在抛物线y= 13x2﹣43x﹣4上，∴当x=4时，k=﹣4，∴点D的坐标是（4，﹣4）．①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，∵D（4，﹣4），∴DE=4．∴F1（﹣6，0），F2（2，0），②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），∵点A的坐标为（﹣2，0），则平行四边形的对称中心的横坐标为：n+(−2)2，∴平行四边形的对称中心坐标为（n−22，0），∵D（4，﹣4），∴E'的横坐标为：n−22﹣4+n−22=n﹣6，E'的纵坐标为：4，∴E'的坐标为（n﹣6，4）．把E'（n﹣6，4）代入y= 13x2﹣43x﹣4，得n2﹣16n+36=0．解得n=8±2 √7．F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0），综上所述F1（﹣6，0），F2（2，0），F3（8﹣2 √7，0），F4（8+2 √7，0）．13．【答案】（1）解：把x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣5），将点C的坐标代入得：﹣5a=3，解得：a=﹣3 5．∴抛物线的解析式为y=﹣35x2+125x+3（2）解：①∵CF△l，OB△l，∴CF△x轴．∴点F的纵坐标为3．将y=3代入抛物线的解析式得：﹣35x2+ 125x+3=3，解得x=0或x=4．∴点F的坐标为（4，3）．②∵点F的坐标为（4，3），∴点H的坐标为（4，0）．∵△CDE=90°，∴△CDO+△EDH=90°．∵△OCD+△CDO=90°，∴△OCD=△EDH．由旋转的性质可知：CD=DE．在Rt△OCD和Rt△HDE中，{∠OCD=∠EDH∠COD=∠DHECD=DE，∴Rt△OCD△Rt△HDE．∴CO=DH=3．又∵OH=4，∴OD=1．③如图1所示：将CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CN，则N（3，4）且四边形CDEN为正方形．∵四边形CDEN为正方形，∴△GDE=45°．设DN的解析式为y=kx+b，将点D和点N的坐标代入得：{k+b=03k+b=4，解得：k=2，b=﹣2．∴DN的解析式为y=2x﹣2．把x=4代入得：y=6，∴G（4，6）．设直线DG′的解析式为y=﹣12x+c，将点D的坐标代入得：﹣12+c=0，解得：c=12．∴直线DG′的解析式为y=﹣12x+12．将x=4代入得：y=﹣3 2．∴点G′的坐标为（4，﹣3 2）．综上所述，点G的坐标为（4，6）或（4，﹣3 2）（3）解：如图2所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM=﹣35a2﹣65a+95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，即3a=3+a−35a2−65a+95，整理得：14a2+33a﹣27=0，解得a= 914或a=﹣3（舍去）．∴OD= 9 14．如图3所示：设点D的坐标为（a，0），则点M的坐标（a+3，﹣35a2﹣65a+245）．∴FM= 35a2+ 65a﹣95．∵△COD△△CFM，∴OCDO=CFFM，3a=a+335a2+65a−95，整理得：4a2+3a﹣27=9，解得：a=﹣3（舍去）或a=94．∴OD= 9 4．综上所述，OD 的长为 914 或 9414．【答案】（1）解：设此抛物线的解析式为： y =ax 2+bx +c ，由题意得： {a +b +c =09a +3b +c =0c =3 ∴{a =−1b =−2c =3∴所求解析式为y =−x 2−2x +3（2）解：∵点A （1，0），点C （0，3），∴OA=1，OC=3，∵DC△AC ，OC△x 轴，∴△QOC△△COA ，∴OQ OC =OC OA ，即 OQ 3=31， ∴OQ=9，又∵点Q 在x 轴的负半轴上，∴Q （﹣9，0），设直线DC 的解析式为：y=mx+n ，则 {−9m +n =0n =3，解之得： {m =13n =3， ∴直线DC 的解析式为： y =13x +3 ， ∵点D 是抛物线与直线DC 的交点，∴{y =13x +3y =−x 2−2x +3，解之得： {x 1=−73y 1=209， {x 2=0y 2=3 （不合题意，应舍去）， ∴点D (−73，209) ，（3）解：如图，点M 为直线x=﹣1上一点，连接AM ，PC ，PA ，设点M （﹣1，y ），直线x=﹣1与x 轴交于点E ，∴AE=2，∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3的顶点为P ，对称轴为x=﹣1，∴P （﹣1，4），∴PE=4，则PM=|4﹣y|，∵S 四边形AEPC =S 四边形OEPC +S △AOC ，= 12×1×（3+4）+12×1×3 = 12（3+7） =5，又∵S 四边形AEPC =S △AEP +S △ACP ，S △AEP 12AE ×PE =12×2×4=4，∴+S △ACP =5﹣4=1，∵S △MAP =2S △ACP ，∴12×2×|4−y|=2×1 ，∴|4﹣y|=2，∴y 1=2，y 2=6，故抛物线的对称轴上存在点M 使S△MAP=2S△ACP，点M（﹣1，2）或（﹣1，6）15．【答案】（1）y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)；（2）解：①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1.∴(m2−2m+3)−m=m−n1整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；①关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3由G：y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3所以，图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)配方，得yH∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1.情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132.分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132.16．【答案】（1）解：∵y= 13x2+bx+c经过点A（﹣4，0）、B（2，0）两点，∴y= 13（x+4）（x﹣2）=13（x2+2x﹣8）= 13（x+1）2﹣3．∴D（﹣1，﹣3）．（2）解：在x轴上点E（﹣2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FG△x轴，垂足为G．∵点E与点B关于y轴对称，∴△OBC=△OEC．∴△OBC=△GEF．∵△PBA= 12△OBC，∴△PBA=△EFB．∴EF=EB=4．∵OE=2，OC= 8 3，∴EC= 10 3．∵GF△OC，∴△FGE△△COE．∴FGOC=EGOE=EFEC，即FG83= EG2=4103，解得：FG= 165，EG=125，∴F（﹣225，165）．设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得：{2k+b=0−225k+b=165，解得：k=﹣12，b=1，∴直线BP的解析式为y=﹣12x+1．将y=﹣12x+1与y=13x2+ 23x﹣83联立，解得：x=﹣112，x=2（舍去），∴y= 15 4．∴P（﹣112，154）；（3）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（﹣1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，∴﹣k+b=0，∴b=k，∴y=kx+k．由{y=kx+ky=13x2+23x−83得：13x2+（23﹣k）﹣83﹣k=0∴x1+x2=﹣2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∵点M是线段PQ的中点，∴由中点坐标公式的点M（32k﹣1，32k2）．假设存在这样的N点如图2，直线DN△PQ，设直线DN的解析式为y=kx+k﹣3由{y=kx+k−3y=13x2+23x−83，解得：x1=﹣1，x2=3k﹣1，∴N（3k﹣1，3k2﹣3）．∵四边形DMPN是菱形，∴DN=DM，∴（3k）2+（3k2）2=（3k2）2+ 32k2+3）2，整理得：3k4﹣k2﹣4=0，∵k2+1＞0，∴3k2﹣4=0，解得k=± 2√33，∵k＜0，∴k=﹣2√33，∴P（﹣3 √3﹣1，6），M（﹣√3﹣1，2），N（﹣2 √3﹣1，1）．∴PM=DN=2 √7，∵PM△DN，∴四边形DMPN是平行四边形，∵DM=DN，∴四边形DMPN为菱形，∴以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（﹣2 √3﹣1，1）．。

最新九年级中考数学专题：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

2023年九年级中考数学专题：二次函数综合题（相似三角形问题）1．如图1，抛物线()221y x m m =--+（m 为常数）与x 轴交于A B 、两点（点B 在点A 右侧），与y 轴交于点C ．（1）下列说法：①抛物线开口向上，①点C 在y 轴正半轴上；①12m >；①抛物线顶点在直线21y x =-+上，其中正确的是_______；（2）如图2，若直线21y x =-+与该抛物线交于M N 、两点（点M 在点N 下方），试说明：线段MN 的长是一个定值，并求出这个值；（3）在（2）的条件下，设直线21y x =-+与y 轴交于点D ，连接BM BN BD 、、，当:1:2DN MN =时，求此时m 的值，判断MBN △与MDB △是否相似，并说明理由．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()260y ax ax c a =-+>与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），顶点为C ，直线AC 交y 轴于点D ，连接BD ，且ABD △与ABC 的面积之比为1：2．（1）顶点C 的横坐标为__________；（2）求点B 的坐标；（3）连接CO ，将BCO 绕点C 按逆时针方向旋转一定的角度后，点B 与点A 重合，此时点O 恰好也在y 轴上，求抛物线的表达式．3．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，过点D 作DE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点M ．当2DM ME =时，求点D 的坐标；（3）如图2，设AB 的中点为点N ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接CD 、CN ，使得以C 、D 、F 三点为顶点的三角形与CNO 相似，请直接写出点D 的坐标．4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线213442y x x =-++与两坐标轴分别相交于A ，B ，C 三点（1）求证：①ACB =90°（2）点D 是第一象限内该抛物线上的动点，过点D 作x 轴的垂线交BC 于点E ，交x 轴于点F ． ①求DE +BF 的最大值；①点G 是AC 的中点，若以点C ，D ，E 为顶点的三角形与AOG 相似，求点D 的坐标．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线L 与x 轴交于,A B 两点，且经过点(0,2)C -，抛物线的顶点D 的坐标为325,28⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求抛物线L 的函数表达式；（2）如图1，点E 为第四象限抛物线L 上一动点，过点E 作EG BC ⊥于点G ，求EG 的最大值，及此时点E 的坐标；（3）如图2，连接,AC BC ，过点O 作直线//l BC ，点,P Q 分别为直线l 和抛物线L 上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点,P Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）过点A 作AP ①CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积；（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ①x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与①PCA 相似？若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，在同一直角坐标系中，抛物线1L ：28y ax bx =++与x 轴交于()8,0A -和点C ，且经过点()2,12B -，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为'B ．（1）求抛物线2L 的表达式；（2）现将抛物线2L 向下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使MNA '与ACB '△相似？若存在，请求出抛物线的3L 表达式；若不存在，说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线26y ax bx =++与x 轴交于点(1,0),(3,0)A B -，与y 轴交于点C ，点P 是第一象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC 与OP ，交于点D ，当:PD OD 的值最大时，求点P 的坐标；（3）点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使90CMN ∠=︒，且CMN △与BOC 相似，若存在，请直接写出点M 的坐标．10．如图，已知抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于C 点，设抛物线的顶点为D ．过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ．P 为线段DE 上一动点，(),0F m 为x 轴上一点，且PC PF ⊥．（1）求抛物线的解析式：（2）①当点P 与点D 重合时，求m 的值；①在①的条件下，将COF 绕原点按逆时针方向旋转90︒并平移，得到111C O F △，点C ，O ，F 的对应点分别是点1C ，1O ，1F ，若COF 的两个顶点恰好落在抛物线上，直接写出点1F 的坐标；（3）当点P 在线段DE 上运动时，求m 的变化范围．11．综合与实践如图1，抛物线y ＝﹣83x 2﹣94x +6与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线AC 的表达式；（2）点E 在抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点F ，使得以点A ，C ，E ，F 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，设点P 从点O 出发以1个单位长度/秒的速度向终点A 运动，同时点Q 从点A 出发以54个单位长度/秒的速度向终点C 运动，运动时间为t 秒，当①OPQ 的平分线恰好经过OC 的中点时，求t 的值．12．抛物线23y x bx =-++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12ACPACDSS =，求点P 的坐标；（3）在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与ACD △相似，直接写出点M 的坐标．13．如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tanB 4=，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结,AC DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF 和ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(2)3，和(312)--，．（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．15．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++经过点A 和点()10B ,，交y 轴于点()0,3C ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点P 是抛物线上A 、D 之间的一点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，PG y ⊥轴，交抛物线于点G ，过点G 作GF x ⊥轴于点F ，当矩形PEFG 的周长最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，连接AD 、BD ，点M 在线段AB 上（不与A 、B 重合），作直线MN x ⊥轴交抛物线于点N ，是否存在点M ，使得AMN 与OBC 相似？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点()0,2C -．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，求DEAE的最大值；（3）如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线//l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使PQB CAB ∽．若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图1，在平面直角坐标xoy 系中，已知抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （﹣4，0）、B（2，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，沿直线AC 平移抛物线y ＝－12x 2＋bx ＋c ，使得A 、C 两点的对应点E 、F 始终在直线AC上．①设在平移过程中抛物线与y 轴交于点M ，求点M 纵坐标的最大值；①试探究抛物线在平移过程中，是否存在这样的点E ，使得以A 、E 、B 为顶点的三角形与①ABF 相似．若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （4，0），E （1，3），与y 轴交于点C ．（1）求该二次函数表达式；（2）判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）P 为第一象限内该二次函数图象上一动点，过P 作PQ ∥AC ，交直线BC 于点Q ，作PM ∥y 轴交BC 于M ．①求证：△PQM ∽△COA ； ②求线段PQ 的长度的最大值．19．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求抛物线的解析式；（2）(m,0)E 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ． ①点E 在线段OA 上运动，若BPD ∆直角三角形，求点E 的坐标；①点E 在x 轴的正半轴上运动，若45PBD CBO ∠+∠=︒．请直接写出m 的值．20．如图，点A ，B 都在x 轴上，过点A 作x 轴的垂线交抛物线24y x x =-+于点C ，过点B 作x 轴的垂线交该抛物线于点D ，点C ，D 都在第一象限，点D 在点C 的右侧，DE AC ⊥于点E ，连结CD ，BE ，//CD EB ．（1）若2OA =，求AB 的长．（2）若点A 是线段OB 的中点，求点E 的坐标．（3）根据（2）的条件，连结OD ，动点P 在线段OB 上，作PQ OD ⊥交OD 于点Q ，当PDQ 与CDE △相似时，求OQOD的值．答案1．（1）①①①；（3）m =3，相似；m =1，不相似2．（1）3；（2）（5，0）；（3）2y 3．（1）2y x 2x 3=-++；（2）()2,3D ；（3）57,24D ⎛⎫ ⎪⎝⎭或315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭4．（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥ 5．（1）（2）①9；①(4,6)D 或25(3,)4D ．6．（1）213222y x x =--；（2）max ()=EG E 的坐标为(2,3)-；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭． 7．（1）A （-1，0），B （1，0），C （0，-1）；（2）四边形ACBP 的面积为4；（3）M 点的坐标为（-2，3）或（43，79）或（4，15）． 8．（1）抛物线2L 的解析式为21382y x x =-++．（2）函数3L 的解析式为：2121322y x x =-+-或2126323y x x =-+-． 9．（1）2 246y x x =-++；（2）点P 的坐标为315,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）存在，点M 的坐标为939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭． 10．（1）2134y x x =--；（2）①4；①1(2，9)16或13(6-，49)144；（3）748m ≤≤ 11．（1）直线AC 的表达式为364y x =+；（2）点E 1的坐标为20(3,)3--；点E 2的坐标为(3,10)-；点E 3的坐标为(3,3-+；点E 4的坐标为(3,3--；（3）t 的值为5．12．（1）223y x x =--+；(1,4)D -；（2）⎝⎭P 或⎝⎭；（3）点M 的坐标为(0,0)或(9,0)-，或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． 13．（1）16(1,)3-；（2）(2,4)-；（3）242()433y x =-++或241()4312y x =--+ 14．（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，点D 的坐标分别为3944⎛⎫ ⎪⎝⎭，或(12)，；（3）当5p x >时，锐角PCO ACO ∠<∠；当5p x =时，锐角PCO ACO ∠=∠；当25p x <<时，锐角PCO ACO ∠>∠．15．（1）223y x x =--+，()1,4-；（2）()2,3P -；（3）存在，()2,0-或2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭16．（1）213222y x x =--；（2）45；（3）存在，点P 的坐标为6834,99⎛⎫ ⎪⎝⎭或⎝⎭17．（1）2142y x x =--+；（2）①6；①存在，E (62--或(62--18．（1）二次函数表达式为：213222y x x =-++ ；（2）△ABC 为直角三角形；（3）； 19．（1）234y x x =-++；（2）①(2,0)或(3,0)；①7m =或134．20．（1；（2）1296,749E ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）2或4932。

2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题

2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题1．如图，已知抛物线y=−43x2+bx+c经过A(0,4)，B(3,0)两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y= 12x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A、B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是AB上的一个动点，过点P作PE∥AC交BC于点E，连接CP，求∥PCE面积最大时P点的坐标；（3）在（2）的条件下，若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，当∥OMD为等腰三角形时，连接MP、ME，把∥MPE沿着PE翻折，点M的对应点为点N，直接写出点N的坐标．3．已知抛物线y=−12x2+mx+m+12与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，−52），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求∥PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．4．如图，抛物线y= −14x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，52）．直线y=kx−32过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y= −14x2+bx+c与直线y=kx −32的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE∥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN∥AD于点N，设∥PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x 的函数关系式，并求出l的最大值．5．如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P是直线BC下方的抛物线上一点，且S∥PBC＝2S∥ABC时，求点P的坐标；（3）点P（﹣2，﹣3），点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y=ax2+bx+2交x轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C.（1）求这个抛物线的函数表达式.（2）点D的坐标为(-1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值.（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使∥MNO为等腰直角三角形，且∥MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.7．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1，0)，且对任意实数x，都有4x−12≤ax2+bx+c≤2x2−8x+6．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，AO=AB，OB=4，tan∥AOB=2，点C是线段OA的中点.（1）求点C的坐标；（2）若点P是x轴上的一个动点，使得∥APO=∥CBO，抛物线y=ax2+bx经过点A、点P，求这条抛物线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，点M是抛物线图象上的一个动点，以M为圆心的圆与直线OA相切，切点为点N，点A关于直线MN的对称点为点D.请你探索：是否存在这样的点M，使得∥MAD∥∥AOB？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.9．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C 在x轴的下方，且OA=OC=5．（1）求抛物线对应的函数解析式；（2）点P为抛物线对称轴上的一动点，当PB+PC的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F 为顶点作四边形PEFM，当四边形PEFM为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标．10．综合与探究如图，已知抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴负半轴交于点A(−1，0)，与y轴交于点C(0，3)，抛物线的顶点为D，直线y＝x＋b与抛物线交于A，F两点，过点D作DE∥y轴交直线AF于点E．（1）求抛物线和直线AF的解析式；（2）在直线AF上方的抛物线上有一点P，使S△PAE=3S△PDE，求点P的坐标；（3）若点M为抛物线上一动点，试探究在直线AF上是否存在一点N，使得以D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，与y轴交于点A与x轴交于点E、B，且点A(0，5)，B(5，0)，过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的点，且在AC的上方，作PD平行于y轴交AB于点D．（1）求二次函数的解析式；（2）当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得以点A、C、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请写出点Q，D的坐标，如果不存在，请说明理由．12．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，满足到线段CB距离最大，求点P坐标；（3）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与线段BC相交于点F，M为线段BC上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．13．已知抛物线y=−12x2+32x+2，与x轴交于两点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A，B和点C的坐标；（2）已知P是线段BC上的一个动点．①若PQ⊥x轴，交抛物线于点Q，当BP+PQ取最大值时，求点P的坐标；②求√2AP+PB的最小值．14．已知二次函数y=﹣x2+2x+m.（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（-1，0），与y轴交于点C，求直线BC与这个二次函数的解析式；（3）在直线BC上方的抛物线上有一动点D，DE ⊥x轴于E点，交BC于F，当DF最大时，求点D的坐标，并写出DF最大值.15．如图，抛物线y=12x2+32x+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求点A、B、C的坐标．（2）点P为AB上的动点（点A、O、B除外），过点P作直线PN∥x轴，交抛物线于点N，交直线BC于点M．设点P到原点的值为t，MN的长度为s，求s与t的函数关系式．（3）在（2）的条件下，试求出在点P运动的过程中，由点O、P、N围成的三角形与Rt∥COB 相似时点P的坐标．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM∥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q.（1）求此抛物线的表达式：（2）过点P作PN∥BC，垂足为点N，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：将A(0,4),B(3,0)代入抛物线的解析式得：{c=4−12+3b+c=0，解得：b=83,c=4．∴抛物线的解析式为：y=−43x2+83x+4．（2）解：①如图1所示：∵令y=0，−43x2+83x+4=0解得：x1=−1,x2=3，∴C(−1,0)．∴BC=4,AB=√32+42=5．∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE//BC．∴ADDC=AFFO=1．∴PQ=FO=2．∵PQ⊥BC,QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．∴∠PQN=∠QBN．∴当PQQN=ABCB或POQN=CBAB时，△PQN与△ABC相似．∵当PQQN=ABCB时，2QN=54，解得：QN=8 5．∵QNQB=OAAB=45，∴QB=54QN=54×85=2．∴OQ=3−2=1．∴点P的坐标为(1,2)．当PQQN=CBAB时，2QN=45，解得：QN=2.5．∵QNQB=OAAB=45，∴QB=54QN=54×52=258．∴OB−BQ=−1 8，∴点P的坐标为(−18,2)．综上所述点P的坐标为：(1,2)或(−18,2)．②如图2所示：∵PQ=QN,PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°，∵由（2）可知OA=4,AB=5，∴sin∠ABO=4 5．∴QNQB=45，即2QB=45，解得：QB=52．∴OQ =OB −QB =3−52=12． ∴P(12,2) ．2．【答案】（1）解：根据题意得：{c =−42+2b +c =0 ，解得： {b =1c =−4，所以该抛物线的解析式为：y= 12x 2+x ﹣4；（2）解：令y=0，即 12 x 2+x ﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2=2，∴A （﹣4，0），S ∥ABC = 12 AB•OC=12设P 点坐标为（x ，0），则PB=2﹣x ． ∵PE∥BC ，∴∥BPE=∥BAC ，∥BEP=∥BCA ， ∴∥PBE∥∥BAC ，∴S △PBE S △ABC=（ PB AB ）2，即 S△PBE 12 =（ 2−x 6 ）2，化简得：S ∥PBE = 13（2﹣x ）2． S ∥PCE =S ∥PCB ﹣S ∥PBE = 12 PB•OC ﹣S ∥PBE = 12 ×（2﹣x ）×4﹣ 13 （2﹣x ）2=﹣ 13 x 2﹣ 23 x+ 83 =﹣ 13 （x+1）2+3∴当x=﹣1时，S ∥PCE 的最大值为3．（3）解：由（2）已知A （﹣4，0）， ∵点D 为0A 中点， ∴D （﹣2，0），设直线AC 的解析式为y=mx+n ，把A （﹣4，0）、C （0，﹣4）分别代入得： {−4m +n =0n =−4 ，解得 {m =−1n =−4 ，∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣4．∵PE∥AC ，所以可设直线PE 的解析式为y=﹣x+a ，将P （﹣1，0）代入y=﹣x ﹣a 得a=﹣1，所以直线PE 的解析式为y=﹣x ﹣1．设直线BC 的解析式为y=kx+a′，将B （2，0）、C （0，﹣4）代入y=kx+a′得 {2k +a′=0a′=−4 ，解得k=2，a′=﹣4．所以直线BC 的解析式为y=2x ﹣4．由2x ﹣4=﹣x ﹣1得x=1，将x=1代入y=2x ﹣4得y=﹣2， ∴E 点坐标为（1，﹣2）． ①当MD=OD 时，如图1：∵AD=MD=AD ，OA=OC ，∥DAM=∥OAC ， ∴∥ADM∥∥AOC ，∴∥ADM=∥AOC=90°，即DM∥x 轴，∴M 的横坐标为﹣2，将x=﹣2代入y=﹣x ﹣4，得y=﹣2．所以此时M 的坐标为（﹣2，﹣2）； ∵M 和E 点纵坐标相等， ∴ME∥x 轴， ∴∥PEM=45°．由翻折得∥ENM=2∥PEM=90°，即NE∥y 轴， ∴EN=ME=3， ∵E （1，﹣2）， ∴N （1，1）．②当DM=OM 时，过点M 作MG∥x 轴交于点，如图2：易知DG=OG=1，即G点与P点重合，M的横坐标为﹣1，将x=﹣1代入y=﹣x﹣4，得y=﹣3．∴M（﹣1，﹣3）．∵ME= √(−1−1)2+(−3+2)2= √5，EB= √(1−2)2+22= √5，∴ME=EB，∵PB=3，PM=3，即PB=PM，又∵PE=PE，∴∥BPE∥∥MPE，∴∥BEP=∥MEP，∴点N与点B重合，∴N（2，0）；③当OD=OM时，设点O到AC的最短距离为h，则OA•OC=h•AC∵AC= √OA2+OC2= √42+42=4 √2，∴h= 4×44√2=2 √2，∵h＞OD，∴OD≠OM．此时等腰∥OMD不存在．综上所述，N点的坐标分别为（1，1）或（2，0）．3．【答案】（1）解：将点C（0，−52）代入抛物线解析式得：m+12=−52，解得：m=−3，∴抛物线解析式为：y=−12x2−3x−52；（2）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点，∴令0=−12x2−3x−52，解得：x1=−5，x2=−1，∴A、B坐标分别为：A(−5，0)，B(−1，0)，设直线AC的解析式为：y=kx+b(k≠0)，将A(−5，0)和C(0，−52)代入得：{−5k+b=0b=−52，解得：{k=−12b=−52，∴直线AC的解析式为：y=−12x−52，如图所示，过P点作PQ∥x轴，交AC于Q点，∵P点在位于直线AC上方的抛物线上，∴设P(a，−12a2−3a−52)，则Q(a，−12a−52)，其中−5<a<0，∴PQ=y P−y Q=−12a2−3a−52−(−12a−52)=−12a2−52a，∵S△PAC=12PQ(x C−x A)，∴S△PAC=12(−12a2−52a)×[0−(−5)]=−54(a+52)2+12516，∵−54<0，∴抛物线开口向下，当a=−52时，S△PAC取得的最大值，最大值为12516，此时，将a=−52代入抛物线解析式得：y=158，∴当P(−52，158)时，S△PAC取得的最大值，最大值为12516；（3）解：如图所示，抛物线y=−12x2+mx+m+12在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G ．由（1）可知，原抛物线顶点坐标为(−3，2)，∴沿x 轴向下翻折后，图象G 的顶点坐标为(−3，−2)，图象G 的解析式为：y =12x 2+3x +52；∵图象G 沿着直线AC 平移，∴作直线BS∥AC ，交PC 于S 点，则随着平移过程，点B 在直线BS 上运动，分如下情况讨论：①当图象G 沿直线AC 平移至B 点恰好经过S 点时，如图中M 1所示，此时，平移后的图象M 恰好与线段PC 有一个交点，即为S 点，由（2）知，P(−52，158)，以及直线AC 的解析式为y =−12x −52，∴设直线BS 的解析式为：y =−12x +b ，将B(−1，0)代入得：b =−12，∴直线BS 的解析式为：y =−12x −12；设直线PC 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)，将P(−52，158)，C(0，−52)代入得：{−52k +b =158b =−52，解得：{k =−74b =−52，∴直线PC 的解析式为：y =−74x −52；联立{y =−12x −12y =−74x −52，解得：{x =−85y =310，即：S 点的坐标为S(−85，310)，∴此时点B(−1，0)平移至S(−85，310)，等同于向左平移35个单位，向上平移310个单位，即：当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向左平移35个单位，向上平移310个单位， ∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)， ∴平移后图象M 1的顶点的横坐标n =−3−35=−185； ②当图象G 沿直线AC 平移至恰好经过C 点时，如图中M 2所示，设图象G 与直线AC 的交点为R ，联立{y =12x 2+3x +52y =−12x −52，解得：{x =−5y =0或{x =−2y =−32， ∴点R 的坐标为：R(−2，−32)，由R(−2，−32)平移至C(0，−52)，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，∴当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向右平移2个单位，向下平移1各单位，∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)，∴平移后图象M 2的顶点的横坐标n =−3+2=−1；∴当图象G 在M 1和M 2之间平移时，均能满足与线段PC 有且仅有一个交点，此时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤−1； ③当图象G 沿直线AC 平移至A 点恰好经过C 点时，如图中M 3所示，此时，由A(−5，0)平移至C(0，−52)，等同于向右平移5个单位，向下平移52个单位，即：原图像G 向右平移5个单位，向下平移52个单位，得到图象M 3，∵原图像G 的顶点坐标为：(−3，−2)，∴平移后图象M 3的顶点的横坐标n =−3+5=2；综上所述，当新的图象M 与线段PC 只有一个交点时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：−185≤n ≤−1或n =2． 4．【答案】（1）解：∵y= −14x 2+bx+c 经过点A （2，0）和B （0， 52 ），∴由此得 {−1+2b +c =0c =52，解得 {b =−34c =52． ∴抛物线的解析式是y= −14x 2﹣ 34 x+ 52 ，∵直线y=kx ﹣ 32 经过点A （2，0）∴2k ﹣ 32 =0，解得：k= 34，∴直线的解析式是y= 34 x ﹣ 32（2）解：设P 的坐标是（x ， −14 x 2﹣ 34 x+ 52 ），则M 的坐标是（x ， 34 x ﹣ 32 ）∴PM=（ −14 x 2﹣ 34 x+ 52 ）﹣（ 34 x ﹣ 32 ）=﹣ 14 x 2﹣ 32 x+4，解方程 {y =−14x 2−34x +52y =34x −32得： {x =−8y =−712， {x =2y =0 ， ∵点D 在第三象限，则点D 的坐标是（﹣8，﹣7 12 ），由y= 34 x ﹣ 32得点C 的坐标是（0，﹣32）， ∴CE=﹣ 32 ﹣（﹣7 12）=6，由于PM∥y 轴，要使四边形PMEC 是平行四边形，必有PM=CE ，即﹣ 14 x 2﹣ 32 x+4=6解这个方程得：x 1=﹣2，x 2=﹣4，符合﹣8＜x ＜2，当x=﹣2时，y=﹣ 14 ×（﹣2）2﹣ 34 ×（﹣2）+ 52=3，当x=﹣4时，y=﹣ 14 ×（﹣4）2﹣ 34 ×（﹣4）+ 52= 32 ，因此，直线AD 上方的抛物线上存在这样的点P ，使四边形PMEC 是平行四边形，点P 的坐标是（﹣2，3）和（﹣4， 32）（3）解：在Rt∥CDE 中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC= √82+62 ∴∥CDE 的周长是24， ∵PM∥y 轴， ∵∥PMN=∥DCE ， ∵∥PNM=∥DEC ， ∴∥PMN∥∥CDE ，∴△PMN 的周长△CDE 的周长 = PM DC ，即 l 24 = −14x 2−32x+410，化简整理得：l 与x 的函数关系式是：l=﹣ 35 x 2﹣ 185 x+ 485，l=﹣ 35 x 2﹣ 185 x+ 485 =﹣ 35（x+3）2+15，∵﹣ 35＜0，∴l 有最大值，当x=﹣3时，l 的最大值是15．5．【答案】（1）解：∵y ＝ax 2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A （﹣1，0）、B （4，0）， ∴{a −b +2=016a +4b +2=0 ，解得 {a =−12b =32 ， ∴抛物线的解析式为：y =−12 x 2+32x+2．（2）解：∵A （﹣1，0）、B （4，0）， ∴AB ＝5，由抛物线的解析式可得，C （0，2），∴OC ＝2，l BC ：y =−12x+2．∴S ∥PBC ＝2S ∥ABC ＝2 ×12•AB•OC ＝5×2＝10．在x 轴上取点M （﹣6，0），则MB ＝10，∴S ∥MBC =12 •MB•OC =12×2×10= 10．过点M 作BC 的平行线MN ，交抛物线于点P 1，P 2，∴l MN ：y =−12 x ﹣3．联立 {y =−12x 2+32x +2y =−12x −3，解得 {x =2+√14y =−4−√142 ，或 {x =2−√14y =−4+√142，∴P 1（2 +√14 ，﹣4 −√142 ），P 2（2 −√14 ，﹣4 +√142）．（3）解：由抛物线解析式可得，抛物线对称轴为直线x =32．∵点F 是抛物线对称轴上一点， ∴设点F 的坐标为（ 32，t ）．若以点B 、P 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，需要分以下两种情况： ①当BP 为边时，如图，由平行四边形的性质可知，E1（32+6，t+3），E2（32−6，t﹣3），∵点E在抛物线y =−12x2+32x+2上，∴t+3 =−12×（32+6）2+32×（32+6）+2，解得t =−1438，t﹣3 =−12×（32−6）2+32×（32−6）+2，解得t =−1378，∴F的坐标为（32，−1438）或（32，−1378）．②当BP为对角线时，BP的中点为（1，−3 2），∵F（32，t），∴E（−12，﹣t﹣3），∴﹣t﹣3 =−12×（−12）2+32×（−12）+2，解得t =−338，∴F（32，−338）．综上，点F的坐标为（32，−1438）或（32，−1378）或（32，−338）．6．【答案】（1）解：抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3)=ax2+2ax-3a，即-3a=2，解得：a=- 2 3，故抛物线的表达式为：y=- 23x2- 43x+2，则点C(0，2)，函数的对称轴为：x=1（2）解：连接OP，设点P(x，- 23x2- 43x+2)，则S=S四边形ADCP=S∥APO+S∥CPO-S∥ODC= 12×AO×y P+ 12×OC×|x P|- 12×CO×OD = 12×3×(- 23x2- 43x+2) +12×2×(-x)- 12×2×1=-x2-3x+2，∵-1＜0，故S有最大值，当x=- 32时，S的最大值为174（3）解：存在，理由：∥MNO为等腰直角三角形，且∥MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况(∥M1N1O)：设点N1的坐标为(x，- 23x2- 43x+2)，则M1E=x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∥FN1O+∥M1N1E=90°，∥M1N1E+∥EM1N1=90°，∴∥EM1N1=∥FN1O，∥M1N1E=∥N1OF=90°，ON1=M1N1，∴∥M1N1E∥∥N1OF(AAS)，∴M1E=N1F，即：x+1=- 23x2- 43x+2，解得：x=−7±√734(舍去负值)，则点N1( −7+√734，−3+√734)；N2的情况(∥M2N2O)：同理可得：点N 2( −1−√734 ， −3+√734)； ②当点N 在x 轴下方时，点N 的位置为N 3、N 4，同理可得：点N 3、N 4的坐标分别为：( −7−√734 ， −3−√734 )、( −1+√734 ， −3−√734)；综上，点N 的坐标为：( −7+√734 ， −3+√734 )或( −1−√734 ， −3+√734 )或( −7−√734， −3−√734 )或( −1+√734 ， −3−√734). 7．【答案】（1）解：令 4x −12=2x 2−8x +6 ，解得 x 1=x 2=3 ，当 x =3 时， 4x −12=2x 2−8x +6=0 ，∴y =ax 2+bx +c 必过 (3，0) ，又∵y =ax 2+bx +c 必过 (−1，0) ，∴{a −b +c =09a +3b +c =0,⇒,{b =−2a c =−3a， ∴y =ax 2−2ax −3a ，即 4x −12≤ax 2−2ax −3a ，即可看成二次函数 y =ax 2−2ax −3a 与一次函数 y =4x −12 仅有一个交点，且整体位于 y =4x −12 的上方∴a >0 ，∴ 4x −12=ax 2−2ax −3a 有两个相等的实数根∴ Δ=0∴(2a +4)2−4a(12−3a)=0 ，∴(a −1)2=0 ，∴a =1 ，∴b =−2 ， c =−3 ，∴y =x 2−2x −3 ．（2）解：由（1）可知： A(3，0) ， C(0，−3) ，设 M(m ，m 2−2m −3)，N(n ，0) ，①当 AC 为对角线时， {x A +x C =x M +x N y A +y C =y n +y N∴{3+0=m +n 0+(−3)=m 2−2m −3+0，解得 m 1=0 （舍）， m 2=2 ， ∴n =1 ，即 N 1(1，0) ．②当AM为对角线时，{x A+x M=x C+x Ny A +yM=yC+yN∴{3+m=0+n0+m2−2m−3=−3+0，解得m1=0（舍）m2=2，∴n=5，即N2(5，0)．③当AN为对角线时，{x A+x N=x C+x My A +yN=yC+yM∴{3+n=0+m0+0=−3+m2−2m−3，解得m1=1+√7，m2=1−√7，∴n=√7−2或n=−2−√7，∴N3(√7−2，0)，N4(−2−√7，0)．综上所述：N点坐标为(1，0)或(5，0)或(√7−2，0)或(−2−√7，0)．8．【答案】（1）解：过点A作AD∥OB于点D，过点C作CE∥OB于点E，∵AO=AB，∴AD是∥AOB的中线，∴OD= 12OB=2，∵tan∥AOB=2，∴ADOD=2，∴AD=4，∵CE∥AD，点C是AO的中点，∴CE是∥AOD的中位线，∴CE= 12AD=2，OE=12OD=1，∴C的坐标为（1，2）；（2）解：由（1）可知：CE=2，BE=3，A的坐标为（2，4），∴tan∥CBE= CEBE=23，∵∥APO=∥CBO，∴tan∥APO=tan∥CBO= 23， ∴AD PD = 23， ∴PD=6，设P 的坐标为（x ，0），∵D （2，0），∴PD=|x ﹣2|，∴|x ﹣2|=6，∴x=8或x=﹣4，∴P （8，0）或（﹣4，0）；当P 的坐标为（8，0）时，把A （2，4）和（8，0）代入y=ax 2+bx ，∴{4=4a +b 0=64a +8b，解得： {a =−13b =83， ∴抛物线的解析式为：y=﹣ 13 x 2+ 83x ，当P 的坐标为（﹣4，0）时，把A （2，4）和P （﹣4，0）代入y=ax 2+bx ，∴{4=4a +2b 0=16a −4b ，解得： {a =13b =43， ∴抛物线的解析式为：y= 13 x 2+ 43x ，综上所述，抛物线的解析式为：y=﹣ 13 x 2+ 83 x 或y= 13 x 2+ 43x ；（3）解：∵M 为圆心，N 为切点，∴MN∥OA ，∵D 点是A 点关于MN 的对称点，∴∥MAD 是等腰三角形，MA=MD当∥MAD∥∥AOB 时，∵∥AOB 是等腰三角形，∴∥MAD=∥AOB ，当抛物线的解析式为y=﹣ 13 x 2+ 83x 时，如图2，①若点N在A的上方时，此时∥MAN=∥AOB，∴AM∥x轴，∴M的纵坐标为4，∴把y=4代入y=﹣13x2+ 83x，解得：x=2（舍去）或x=6，∴M的坐标为（6，4），②当点N在点A的下方时，此时∥MDA=∥AOB，∴DM∥x轴，过点A作AE∥DM于点E，交于x轴于点F，设D点横坐标为a，∴DE=2-a，∵tan∥MDA=tan∥AOB=2，∴AE=2DE=4-2a，∴点M的纵坐标为2a，∴由勾股定理可知：AD= √5（2-a），OA=2 √5，∴OADM=OBAD，解2√5DM=4√5(2−a)，∴DM= 5(2−a)2，设M的横坐标为x，∴x-a= 5(2−a)2∴x= 10−3a2，∴M（10−3a2，2a）把M（10−3a2，2a）代入y=﹣13x2+ 83x，得：2a=- 13×(10−3a2)2+ 83×(10−3a2)解得：a=2或a=- 10 3，∴当a=2时，M（2，4）舍去当a=- 103时，M（10，-203）当抛物线的解析式为y= 13x2+ 43x时，如图4，若点N在点A的上方时，此时∥MAN=∥AOB，延长MA交x轴于点F，∵∥MAN=∥OAF，∴∥AOB=∥OAF，∴FA=FO，过点F作FG∥OA于点G，∵A（2，4），∴由勾股定理可求得：AO=2 √5，∴OG= 12AO= √5 ， ∵tan∥AOB= CF OG∴GF=2 √5 ，∴由勾股定理可求得：OF=5，∴F 的坐标为（5，0），设直线MA 的解析式为：y=mx+n ，把A （2，4）和F （5，0）代入y=mx+n ，∴{4=2m +n 0=5m +n，解得： {m =−43n =203， ∴直线MA 的解析式为：y=﹣ 43 + 203，联立 {y =13x 2+43x y =−43x +203， ∴解得：x=2（舍去）或x=﹣10，把x=﹣10代入y=﹣ 43 + 203， ∴y=20，∴M （﹣10，20），若点N 在点A 的下方时，此时∥MAN=∥AOB ，∴AM∥x 轴，∴M 的纵坐标为4，把y=4代入y= 13 x 2+ 43x ， ∴x=﹣6或x=2（舍去），∴M （﹣6，4），综上所述，存在这样的点M （6，4）或（10，- 203）或（﹣10，20）或（﹣6，4），使得∥MAD∥∥AOB9．【答案】（1）解：由题意，可得A （﹣5，0），C （0，﹣5）．∵抛物线y=x 2+bx+c 过点A ，点C ，∴{25−5b +c =0c =−5，∴抛物线对应的函数解析式为y=x 2+4x ﹣5；（2）解：∵y=x 2+4x ﹣5=（x+2）2﹣9，∴对称轴是直线x=﹣2．∵抛物线y=x 2+4x ﹣5与x 轴交于点A ，B ，∴点A ，B 关于直线x=﹣2对称．连结AC ，交对称轴于点P ，此时PB+PC 的值最小．设直线AC 的解析式为y=mx+n ，则 {−5m +n =0n =−5，解得 {m =−1n =−5 ， ∴直线AC 的解析式为y=﹣x ﹣5，当x=﹣2时，y=﹣3，∴点P 的坐标为（﹣2，﹣3）（3）解：在（2）条件下，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）．设F （x ，x 2+4x ﹣5），∵四边形PEFM 为正方形，∴E （﹣2，x 2+4x ﹣5），M （x ，﹣3），PM=PE ，∴|x+2|=|x 2+4x ﹣5+3|，∴x 2+4x ﹣2=x+2，或x 2+4x ﹣2=﹣x ﹣2，整理得x 2+3x ﹣4=0，或x 2+5x=0，解得x 1=﹣4，x 2=1，x 3=0，x 4=﹣5，∴M （﹣4，﹣3）或M （1，﹣3）或M （0，﹣3）或M （﹣5，﹣3）10．【答案】（1）解：将A(−1，0)和C(0，3)代入y =ax 2+2x +c(a ≠0)，得{a −2+c =0c =3，∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，将A(−1，0)代入y＝x＋b，得：－1＋b＝0，解得b＝1，∴直线AF的解析式为y＝x＋1（2）解：y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴D(1，4)，对于直线y＝x＋1，令x＝1，则y＝2，故E(1，2)，∴DE＝4－2＝2．过点P作x轴的垂线，交AF于点H，过点P作PG∥AF于点G，过点P作PK∥DE于点K，连接PA和PD，如图所示：设P(m，−m2+2m+3)，则H(m，m+1)，∴PH=(−m2+2m+3)−(m+1)=−m2+m+2，对于直线y＝x＋1，令x＝0，则y＝1，由交点得出∥FAB＝45°，∴∥PHG＝45°，即∥PHG为等腰直角三角形，故有PG=√22PH=√22(−m2+m+2)，延长DE交x轴于点Q，则Q(1，0)，∴AQ＝2，即AE=√2AQ=2√2，∴S△PAE=12AE⋅PG=12×2√2×√22(−m2+m+2)=−m2+m+2，∵P(m，−m2+m+3)，K(1，−m2+m+3)，∴PK=|1−m|，∴S△PDE=12DE⋅PK=12×2×|1−m|=|1−m|，由S△PAE=3S△PDE，得−m2+m+2=3|1−m|，解得m1=2−√3，m2=2+√3（不合题意，舍去），m3=−1+√6，m4=−1−√6（不合题意，舍去），将m1=2−√3代入−m2+2m+3，得−m2+2m+3=2√3，则得点P的坐标为P(2−√3，2√3)；将m3=−1+√6代入−m2+2m+3，得−m2+2m+3=4√6−6，则得点P的坐标为P(−1+√6，4√6−6)；综上所述，点P的坐标为P(2−√3，2√3)或P(−1+√6，4√6−6)（3）解：存在，N1(0，1)，N2(2，3)，N3(1+√172，3+√172)，N4(1−√172，3−√172)11．【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，∴−b2a=2，∴b=−4a，∴抛物线解析式为y=ax2−4ax+c，∵点A(0，5)，B(5，0)，∴{c=525a−5b+c=0，∴{a=−1c=5，∴二次函数的解析式为y=−x2+4x+5；（2）解：∵AC//x轴，点A(0，5)，当y=5时，−x2+4x+5=5，∴x1=0，x2=4，∴C(4，5)，∴AC=4，设直线AB的解析式为y=mx+n，∵A(0，5)，B(5，0)，由点A、B的坐标得，直线AB的解析式为y=−x+5；设P(m，−m2+4m+5)，∴D(m，−m+5)，∴PD=−m2+4m+5+m−5=−m2+5m，∵AC=4，∴S四边形APCD =12AC⋅PD=2(−m2+5m)=−2(m−52)2+252∴当m=52时，四边形APCD的面积最大，∴即点P(52，354)时，四边形APCD的面积最大为252；（3）解：(3)设P(n，−n2+4n+5)则D(n，−n+5)①当AC为平行四边形的边，如图，∴AC∥DQ，AC=DQ，∴点Q的纵坐标为−n+5，又∵点Q在抛物线上，∴−x2+4x+5=−n+5，解得x=2±√4+n，∴点Q的坐标为(2+√4+n，−n+5)或(2−√4+n，−n+5)，当Q点坐标为(2+√4+n，−n+5)时，∵AC =4，∴DQ =2+√4+n −n =4， ∴4+n =(n +2)2，解得n =0或n =−3，∵点P 在第一象限，且在AC 的上方， ∴0<n <4， ∴此时不符合题意；当Q 点坐标为(2−√4+n ，−n +5)时， ∵AC =4，∴DQ =n −2+√4+n =4，∴4+n =(6−n)2，即n 2−13n +32=0解得n =13+√412或n =13−√412，∵点P 在第一象限，且在AC 的上方， ∴0<n <4，∴n =13−√412∴D 点坐标为(13−√412，√41−32)，Q 点坐标为(2−√42−2√412，√41−32)②AC 为平行四边形的对角线时，如图，连接DQ 交AC 于点M ， ∴AM =CM ，DM =QM ， ∵A(0，5)，C(4，5)， ∴M 的坐标为(2，5)，设点Q 的坐标为(t ，−t 2+4t +5)，∴{t+n2=2−t 2+4t+5−n+52=5，解得{t =1n =3或{t =4n =0，同理可得0<n <4， ∴{t =1n =3， ∴点D 的坐标为（3，2），点Q 的坐标为（1，8）；综上所述，存在Q 使得以A 、C 、D 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，此时D 、Q 的坐标分别为(13−√412，√41−32)，(2−√42−2√412，√41−32)或（3，2），（1，8）． 12．【答案】（1）解：由题意得 {a −b −4a =0−4a =4 ，解得 {a =−1b =3．∴抛物线的解析式：y ＝﹣x 2+3x+4．（2）解：由B （4，0）、C （0，4）可知，直线BC ：y ＝﹣x+4；如图1，过点P 作PQ//y 轴，交直线BC 于Q ，设P （x ，﹣x 2+3x+4），则Q （x ，﹣x+4）；∴PQ ＝（﹣x 2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x 2+4x ；S ∥PCB ＝ 12 PQ•OB ＝ 12 ×（﹣x 2+4x ）×4＝﹣2（x ﹣2）2+8；∴当P （2，6）时，∥PCB 的面积最大；（3）解：存在．抛物线y ＝﹣x 2+3x+4的顶点坐标E (32,254) ，直线BC ：y ＝﹣x+4；当 x =32 时，F (32,52) ，∴.EF =154．如图2，过点M 作MN∥EF ，交直线BC 于M ，设N （x ，﹣x 2+3x+4），则M （x ，﹣x+4）；由题意点N 在第一象限，∴MN ＝（﹣x 2+3x+4）﹣（﹣x+4）＝﹣x 2+4x ；当EF 与NM 平行且相等时，四边形EFMN 是平行四边形，由﹣x 2+4x =154时，解得 x 1=52,x 2=32 （不合题意，舍去）．当 x =52 时， y =−(52)2+3×52+4=214，∴N （ 52， 214 ）．∴点N 坐标为（ 52， 214 ）．13．【答案】（1）令 y =0 ，则 −12x 2+32x +2=0 ，解得 x 1=−1 ， x 2=4 ．∴A 点坐标为 (−1,0) ，B 点坐标为 (4,0) ．令 x =0 ，则 y =2 ． ∴C 点坐标为 (0,2) ．（2）①设： l BC :y =mx +n ，将 B(4,0) ， C(0,2) 分别代入得， {0=4m +n 2=n ，解得 {m =−12n =2，故 l BC :y =−12x +2 ．可设 P(t,−12t +2) ， 0≤t ≤4 ，则 Q(t,−12t 2+32t +2) ，且Q 在P 上方．所以 PQ =−12t 2+32t +2−(−12t +2)=−12t 2+2t ．又 BP =√(4−t)2+(−12t +2)2=√52(4−t) ．故 BP +PQ =√52(4−t)+(−12t 2+2t)=−12t 2+(2−√52)t +2√5 ．当 t =2−√52 时取得最大值，此时 P(2−√52,1+√54) ．②如图，延长AC至点D，使得CD=CB，连接BD，作DE⊥y轴于点E，过点P作PH⊥BD于点H．由AC2=12+22=5，BC2=22+42=20，AB2=(−1−4)2=25，所以AC2+BC2=AB2，∠ACB=90°．则△BDC是等腰直角三角形，∠CBD=45°．√2AP+PB=√2(AP+PBsin45°)=√2(AP+PH)，由垂线段最短可知，当A，P，H共线时(AP+PH)取得最小值．∵∠BCD=∠DEC=∠COB=90°，∵∠DCE+∠BCO=∠BCO+∠CBO=90°，∴∠DCE=∠CBO．∴△CDE≌△BCO．∴DE=CO=2，CE=BO=4．可得点D的坐标为(2,6)．∴BD=√(2−4)2+(6−0)2=2√10，=12BD⋅AH，代入可得12×5×6=12×2√10⋅AH，S△ABD=12AB⋅yD，故有√2AP+PB=√2(AP+PH)≥√2AH=3√5．解得AH=3√102所以√2AP+PB的最小值为3√5．14．【答案】（1）解：当抛物线与x轴有两个交点时，∆>0，即4+4m>0，∴m>-1；（2）解：∵点A(-1，0)在抛物线y=-x2+2x+m上，∴-1-2+m=0，∴m=3，∴抛物线解析式为y=-x 2+2x+3，且C(0，3)，当x=0时，-x 2+2x+3=0，解得x=-1，或x=3， ∴B （3,0），设直线BC 的解析式为y=kx+b ，将B(3，0)，C(0，3)代入y=kx+b 中，得: {3k +b =0b =3 ，解得 {k =−1b =3，∴直线AB 的解析式为y=-x+3;（3）解：点D 在抛物线上，设坐标为（x ，-x 2+2x+3），F 在直线AB 上，坐标为（x ，-x+3），∴DF=-x 2+2x+3-(-x+3)=-x 2+3x= −(x −32)2+94，∴当 x =32 时，DF 最大，为 94 ，此时D 的坐标为（ 32,154 ）.15．【答案】（1）解：∵点A 、B 、C 在二次函数图象上 ∴把x=0代入 y =12x 2+32x +2 ，得y=2把y=0代入 y =12x 2+32x +2 ，得x 1=﹣1，x 2=4，∴A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）；（2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+b （k≠0），把B （4，0），C （0，2）代入，得 {4k +b =0b =2 ， {k =−12b =2 ∴直线BC 的解析式为 y =12x +2∵OP=t∴P （t ，0），M （t ，﹣ 12 t+2），N （t ，﹣ 12 t 2+ 32 t+2），如图，∴S 1=N 1P 1﹣M 1P 1=﹣ 12 t 2+ 32 t+2﹣（﹣ 12 t+2）=﹣ 12t 2+2t （0＜t ＜4），S2=M2P2﹣N2P2=﹣12t+2﹣（﹣12t2+ 32t+2）= 12t2﹣2t（﹣1＜t＜0），（3）解：如图，①若∥OPN∥∥OCB，当OP与OC是对应边时，则OPOC=NPBO，即t2=−12t2+32t+24化简得：t2+t﹣4=0，解得：t1=−1+√172，t2=−1−√172（不合题意，舍去）②若∥OPN∥∥OBC，当OP与OB是对应边时，则OPOB=PNCO，即t4=−12t2+32t+24化简得：t2﹣2t﹣4=0解得：t3=1+ √5，t4=1﹣√5（不合题意，舍去）∴符合题意的点P的坐标为（−1+√172，0）和（1+ √5，0）．16．【答案】（1）解：由二次函数交点式表达式得：y＝a（x+3）（x﹣4）＝a（x2﹣x﹣12）＝ax2﹣ax ﹣12a，即：﹣12a＝4，解得：a＝﹣1 3，则抛物线的表达式为y=−13x2+13x+4，（2）设点P（m，﹣13m2+ 13m+4），则点Q（m，﹣m+4），∵OB＝OC，∴∥ABC＝∥OCB＝45°＝∥PQN，PN＝PQsin∥PQN＝√22（﹣13m2+ 13m+4+m﹣4）＝﹣√26（m﹣2）2+ 2√23，∵﹣√26＜0，∴PN有最大值，当m＝2时，PN的最大值为2√23.（3）存在，理由：点A 、B 、C 的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），则AC ＝5，AB ＝7，BC ＝4 √2 ，∥OBC ＝∥OCB ＝45°，将点B （4，0）、C （0，4）的坐标代入一次函数表达式：y ＝kx+b 得 {0=4k +b b =4 解得 {k =−1b =4∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x+4…①，设直线AC 的解析式为y=mx+n把点A （﹣3，0）、C （0，4）代入得 {0=−3m +n n =4解得 {m =43n =4∴直线AC 的表达式为：y ＝ 43x+4，设直线AC 的中点为K （﹣ 32 ，2），过点M 与CA 垂直直线的表达式中的k 值为﹣ 34 ，设过点K 与直线AC 垂直直线的表达式为y ＝﹣ 34 x+q把K （﹣ 32 ，2）代入得2=﹣ 34 ×（﹣ 32 ）+q解得q= 78∴y ＝﹣ 34 x+ 78 …②，①当AC ＝AQ 时，如图1，则AC ＝AQ ＝5，设：QM ＝MB ＝n ，则AM ＝7﹣n ，由勾股定理得：（7﹣n ）2+n 2＝25，解得：n ＝3或4（舍去4），故点Q （1，3），②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4 √2﹣5，则QM＝MB＝8−5√22，故点Q（5√22，8−5√22）.③当CQ＝AQ时，联立①②，{y=−x+4y=−34x+78，解得，x＝252（舍去），综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（5√22，8−5√22）.。

九年级数学中考复习：函数专题训练(含答案)

中考复习函数专题训练（含答案解析）1. 如图，已知A、B是反比例面数kyx=(k>0,x>0)图象上的两点，BC∥x轴,交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C．过P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N．设四边形0MPN 的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为【答案】A2.坐标平面上，二次函数362+-=xxy的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点？A． x＝50 B． x＝－50 C． y＝50 D． y＝－50【答案】Ｄ3. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A．4米B．3米 C．2米 D．1米【答案】D4. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（）A ．50mB ．100mC ．160mD ．200m【答案】C5. 一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函数关系式：61t 5h 2+--=）（，则小球距离地面的最大高度是（）A ．1米B ．5米C ．6米D ．7米【答案】C二、填空题 1. 出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8-x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.【答案】42. 如图，已知函数x y 3-=与bx ax y +=2（a>0，b>0）的图象交于点P ，点P 的纵坐标为1，则关于x 的方程bx ax +2x 3+=0的解为【答案】－3三、解答题1. 如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中考数学专题训练函数综合题专题1. 如图，一次函数y kx b y4与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式；（2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0. ACO xB2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。

（1）求m 的取值范围；（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。

y21-1 O-1 1 2x图 23. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线y1 / 22DA°AC 与 y 轴相交于点 D ．（ 1）求点 C 、D 的坐标；（ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．4. 如图四，已知二次函数y ax22ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC的函数关系式为 ykx b ，又 tan OBC 1．y（ 1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式；D（ 2）求 △ABC 的面积． C（图四）A OB x5. 已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB.y2 / 22Ax(1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。

y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5x 在第一象限的一支上有一点B.C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a，(1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式；(2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积.yB CDO A x第 6 题3 / 227. 在直角坐标系中，把点A（－1，a）（a 为常数）向右平移 4 个单位得到点 A ，经过点A、A 的抛物线y ax2bx c 与y 轴的交点的纵坐标为2．y（1）求这条抛物线的解析式；（2）设该抛物线的顶点为点P，点 B 的坐标为（1，m) ，且m 3 ，若△ABP 是等腰三角形，求点 B 的坐标。

O x图78. 在直角坐标平面内，O为原点，二次函数y x顶点为P。

（1）求二次函数的解析式及点P 的坐标；bx c 的图像经过A（- 1，0）和点B（0，3），（2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A、P、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。

9. 如图，在平面直角坐标系xOy y中，抛物线1x22bx c经过点A(1,3) ，B(0,1) ．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；（2）过点 A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C，①求△ABC的面积；②在y 轴上取一点P，使△ABP与△ABC相似，求满足条件的所有P 点坐标．24 / 225 / 22图 8y 6 5 4 3 B 21A- 4 - 3 - 2 - 1 - 1- 2 - 3 - 40 1 2 3 4 5 6 7 xxOy 中，将抛物线y 2 沿轴向上平移 1 个单位，再沿轴向右平移两个单2x y x10. 在平面直角坐标系3 与平移后的抛物线相交于B，与直线OA 相交于C．位，平移后抛物线的顶点坐标记作A，直线x（1）求△ABC面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC相似，求所有满足条件的P 点坐标．11. 如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3 ，3) ，向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交于点B(6 ，m) 与y 轴交于点C．（1）求直线BC 的解析式；（2）求经过 A 、B、C 三点的二次函数的解析式；（3）设经过 A 、B、C 三点的二次函数图像的顶点为 D ，对称轴与x 轴的交点为E．问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点P 的y坐标；若不存在，请说明理由．ABOxC6 / 2212．二次函数图像过 A （2，1）B（0，1）和C（1，-1）三点。

（1）求该二次函数的解析式；（2）该二次函数图像向下平移 4 个单位，向左平移 2 个单位后，原二次函数图像上的 A 、B 两点相应平移到 A 1、B1 处，求∠BB 1A 1 的余弦值。

7 / 2213. 如图，在直角坐标系中，直线y 1x24 与x 轴、y 轴分别交于 A 、B 两点，过点 A 作CA ⊥A B ，CA ＝2 5 ,并且作CD ⊥x 轴. (1) 求证:△ADC ∽△BOA (2) 若抛物线y x 2 bx c 经过B 、C 两点.①求抛物线的解析式；②该抛物线的顶点为P，M 是坐标轴上的一个点，若直线PM 与y 轴的夹角为30°，请直接写出点M 的坐标.14. 如图，已知二次函数y=ax2- 2ax+3 （a<0 ）的图像与x 轴的负半轴交于点A，与y 轴的正半轴交于点B，顶点为P，且OB=3OA，一次函数y=kx+b 的图像经过点A、点B．（1）求一次函数的解析式；（2）求顶点P 的坐标；（3）平移直线AB 使其过点P，如果点M 在平移后的直线上，且tan∠OAM= 3 ，求点M 的坐标．2yPBAB O x（第15 题图）8 / 2215. 如图16，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x 轴上的—个动点，但是点P 不与点0、点A 重合．连结CP，D 点是线段AB上一点，连结PD.(1) 求点B 的坐标；(2) 当∠C PD=∠OAB，且BD = 5 ，求这时点P 的坐标.AB 8（图16）y 16. 如图，二次函数1x 24bx c的图像经过点A 4,0 ,B 4, 4 ，且与y 轴交于点C .（1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：BAO CAO （其中O 是原点）；（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与 A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使的坐标；若不存在，请说明理由.PH 2QH ？若存在，请求出点P 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，9 / 22且AB 2，OB 2 3 ，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A落在y 轴上的E点，点 B 的对应点为点 F ，点C 的对应点为点 D .(1) 求F 、E 、D 三点的坐标；（2）若抛物线y ax2bx c 经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；（3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？yEFC ADO B x18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A、C 的坐标分别为（2，0）、（1，3 3 ）.ax 2 2 3x 经过点A，点D 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点 B 的位置，抛物线y是该抛物线的顶点.（1）求证：四边形ABCO 是平行四边形；（2）求 a 的值并说明点 B 在抛物线上；（3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD= ∠OAB ，求点P 的坐标；(4) 若点P 是x 轴上一点，以P、A、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标. yCBO A xD19. 已知，矩形 OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 的坐标2 ( 4,0) ， C 的坐标 (0， 2) ，直线 yx3 与边 BC 相交于点 D ， (1) 求点 D 的坐标； (2)抛物线ax2bx c 经过点 A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3) 在这个抛物线上是否存在点 M ，使 O 、 D 、 A 、 M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

yAOx CD By2 x 3220. 如图，在平面直角坐标系中，直线3 yx 34分别与 x 轴、 y 轴交于点 A 和点 B ．二次函数y ax4ax c 的图象经过点 B 和点 C （ -1， 0），顶点为 P.（ 1）求这个二次函数的解析式，并求出P 点坐标；（ 2）若点 D 在二次函数图象的对称轴上，且AD ∥BP ，求 PD 的长；yBCO A x2y参考答案1、解：（1）由点A 在反比例函数图像上，则y441 ，—（ 1 分）又点A 1,4 与C 3,04在一次函数图像上，则k b k3k b，—（2 分）解得b13. （1 分）∴一次函数解析式为y x 3.——（1 分）y x 3y 42（2）由x,———（2 分）消元得x3x 4 0 ,—（1 分）解得x14, x21（舍去）,——（1 分）∴点B 的坐标是4, 1.——（1 分）2. 解：（1）∵一次函数y=（1-2x）m+x+3 即y=（1-2m ）x+m+3 图像不经过第四象限且函数值y 随自变量x 的减小而减小∴1-2m>0 ，m+3≥0, (2 分）1∴ 3 m 2（2 分）m 3,0根据题意，得：函数图像与y 轴的交点为（0，m+3 ），与x 轴的交点为2m 1 （1 分）1 m 3 9则 2 1 2m m 3 2 （1 分）解得m=0 或m=-24（舍）（1 分）∴一次函数解析式为：y=x+3 （1 分）y3. 解：（1）过点 A 作AE⊥x 轴，垂足为点E．1′∵点 A 的坐标为（2，2），∴点 E 的坐标为（2，0）．1′D ∵AB=AC，BC=8，∴BE=CE，1′点B 的坐标为（-2，0），1′A点C 的坐标为（6，0）．1′设直线AC 的解析式为：y kx b （k BO E C x0 ），将点A、C 的坐标代入解析式，y 得到：1x 32 ．1′∴点D 的坐标为（0，3）．1′第 3 题（3）设二次函数解析式为：2y ax bx c （a0 ），4a∵图象经过B、D、A 三点，∴4a2b 3 0,2b 3 2.1a ,2b1.2 ′解得：21′y 1x 21x 3 131∴此二次函数解析式为： 2 2 1′顶点坐标为（ 2 ，8 ）．1′4. 解： (1)tan OBC 1，∴ OB=OC=3, ∴ B （ 3,0）（ 2 分）y将 B （ 3,0）代入 y ax22ax 30 9a 6a 3 ，∴ a1D （ 1 分）Cy x22 x3 ；∴ y(x 1)24（ 1 分） ∴ D(1,4)， A(-1,0)（ 2 分）（图将 D(1,4)代入 y kx 3 ，∴ k1， y x 3（ 2 分）八 A OB x）S (2)ABC1 4 3 62（ 4 分）∴5．解：（ 1）过点 A 作 AH ⊥ x 轴，过点 B 作 BM ⊥ y 轴，由题意得 OA=OB,∠ AOH=∠ BOM, ∴△ AOH ≌△ BOM-------------1 分∵ A 的坐标是（ -3， 1）， ∴ AH=BM=1,OH=OM=3∴ B 点坐标为（ 1， 3）---------2 分（ 2）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+ca b c 9 a 3b 则c 03 c 1 a--------3 分得5, b 6 13 , c 0 6y∴抛物线的解析式为5 x 2613 x 6-----2 分x1318,3y（ 3）对称轴为10 -------1 分∴ C 的坐标为 ( 5 )--------1 分S ABC∴1 BC 2h B C1(1 218) 2 5 23B C5 --------------2 分D6．解：（ 1）∵点 C （ 1， 5）在直线 ykx b(k0) 上，OAx第 23 题∴ 5k 1 b ， ∴ b k 5 ， 1′ ∴ ykx k 5 . 1′a5 1∵点 A （ a ， 0）在直线 ykx k 5 上，∴0 ka k 5 . 1′∴k. 1′（ 2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是 9，设点 D （ 9， y ），1′y5 5k5 ∴9 .∴点 D （ 9， 9） . 1′代入 ykx k 5 ，可解得：9 ，1′y5x 9 5050 9 .1′可得：点 A （ 10，0），点 B （ 0， 9）. 2′∴ S CODS AOBS AODS BOC1 1050 = 291 105 2 91 50 1 291′1 50 (10= 2 91 1)1 =2 50 (10 91 1)200 = 9 22 2=9 .1′7. 解：（ 1）设抛物线的解析式为2y axbx c点 A （－ 1， a ）（ a 为常数）向右平移 4 个单位得到点A （ 3，a ）（ 1 分）∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为 2∴ c2a b c （ 1 分）aa 1∵ 图像经过点 A （－ 1， a ）、 A （ 3， a ） ∴ 9a b c a 分）（ 1 分）解得 b 2（ 2y x2∴2 x 2 （ 1 分）（ 2）由 yx22 x 2 2x 13得 P(1， 3)AP 2 5（ 1 分）∵△ ABP 是等腰三角形 ,点 B 的坐标为（1， m) ,且 m 3=m（Ⅰ）当 AP=PB 时，PB 2 5 ，即 3 m 2 5 （ 1 分）∴ m3 2 5（ 1 分）（Ⅱ）当 AP=AB 时221 1 1 3221 11 m解得 m 3, m5（ 1 分）m 3 不合题意舍去，∴m 5（ 1 分）1 2222（Ⅲ）当 PB=AB 时1 1 3 m11 11 m 解得2（ 1 分）综上：当 m3 2 5 或-5 或 2 时，△ ABP 是等腰三角形 .2，1， 1 b c 08. 解：（ 1）由题意，得c 3（ 2 分）解得 b2 ， c3 （ 1 分）∴二次函数的解析式是y x22 x3 （1 分）yx22x 32x 14，∴点 P 的坐标是（ 1， 4）（ 2 分）（ 2） P （ 1， 4）， A （ -1， 0）∴ AP 2=20．（ 1 分）设点 Q 的坐标是（ x ， 0） ∠ PAQ=90 °不合题意AQ2则2x 1 ，PQ22x 116（ 1 分）22当∠ AQP =90°时， AQ 2PQ2AP 2x 1x 1 16 20，解得 x 1 1， x 2 1 （舍去）∴点 Q 的坐标是（ 1， 0）（ 2 分）当∠ APQ =90°时， APPQAQ 2202x 1162x 1，解得 x 9 ，∴点 Q 的坐标是（ 9， 0）（ 2 分）综上所述，所求点 P 的坐标是（ 1，0 ）或（ 9， 0）．9．解：（ 1）将A(1,3) ， B(0,1) y，代入1 2x bx c2 ，解得52 ， c1 ．2 分y1 x25x 15 33( ,)∴抛物线的解析式为22．1 分∴顶点坐标为 12 8 ．1 分（ 2）①由对称性得 C (4,3)．1 分∴S V ABC3 1 g4 1 3 2． 1 分②将直线 AC 与 y 轴交点记作 D ， ∵ ADBDBD CD12 ，∠ CDB 为公共角，∴ △ABD ∽ △BCD ．∴∠ ABD =∠ BCD ．1 分1°当∠ PAB=∠ ABC 时， PBAB ACBC ，∵BC 3PB(0 4)2P (0, 5)(1 3)22 5 ， AB(0 1)2(1 3)25 ， AC3∴2 ，∴ 2 ．2 分2°当∠ PAB=∠ BAC 时， PBAB BCAC ，∴ 5(0, )PB2 5(0, 13) 5PB3 ， ∴10P 2 (0,3 ，∴13 )3 ．2 分综上所述满足条件的 P 点有 2 ， 3 ．1 分10. 解：平移后抛物线的解析式为y 2( x 2) 21．2 分 ∴A 点坐标为（ 2， 1）， 1 分2bk设直线 OA 解析式为 y kx ，将 A （2， 1）代入得1y 1 x2 ，直线 OA 解析式为2 ，1yx y将 x 3代入2 得32 ，∴ C 点坐标为（ 3， 32 ）．1 分3 将 x3代入 y 2( x 2)21得 y 3 ， ∴B 点坐标为（ 3， 3）． 1 分∴S V ABC42 分（ 2）∵ PA ∥ BC ，∴∠ PAB=∠ ABC 1°当∠ PBA=∠ BAC 时， PB ∥AC ，∴四边形 PACB 是平行四边形，∴APABPA BCAP32 ． 1 分∴2AB5 P 1 (2, )2y． 1 分5 4 P3 B 22°当∠ APB=∠ BAC 时，ABBC ，∴ BC ． 1CA22AP10P (2, 13)-5 -4 -3 -2 -1 01 2 34 5x又∵AB (3 2) (3 1)5 ，∴-131 分 ∴31 分 -25 13 -3(2, ) (2, )综上所述满足条件的P 点有 2 ， 3 ．1 分-511. 解：（ 1）由直线 OA 与反比例函数的图像交于点A(3， 3)，得直线 OA 为：y x ，y9y9 m3 3双曲线为：x ，点 B(6， m)代入x 得2 ，点 B(6， 2 ) ，（ 1 分）y x b3 x 6yy x b设直线 BC 的解析式为，由直线 BC 经过点 B ，将，2 代入b9 yx 9得2（ 1 分）所以，直线 BC 的解析式为2（1 分）99y ax2bx9(2) y 由直线x2 得点 C(0， 2 )，设经过 A 、B 、C 三点的二次函数的解析式为2y ax2bx 99a 3b 9 3 12a236a 6b93b 4将 A 、B 两点的坐标代入2 ，得2 2（ 1 分）解得（ 1 分）y所以，抛物线的解析式为1 x 22 4 x9 2（ 1 分）1 291 2 7 7y（ 3）存在把x 4x2y2 配方得( x 4) 22 ，所以得点 D(4， 2 )，对称轴为直线x 4（ 1 分）得对称轴与 x 轴交点的坐标为 E(4，0). （ 1 分）由 BD= 8 ， BC= 72 ， CD= 80 ,得CD 2BC2BD 2，所以，∠ DBC=90（ 1 分）又∠ PEO=90 ，若以 O 、E 、P 为顶点的三角形与△ BCD 相似，则有：2 -414．解：（1）Q y=ax2-2ax+3，当x0时, y 3∴B(0,3) (1 分) ∴OB 3 ，又Q OB=3OA，∴AO 1 ∴ A( 1,0 )（ 2 分）设直线AB 的解析式y kx bk b 0b 3 ，解得k 3 ，b 3∴直线AB 的解析式为y 3x 3 ．(1 分)（2）Q A(1,0) ，∴0 a 2a 3，∴a 1y x2∴2 x3 ( x 1) 2 4(2 分)∴抛物线顶点P 的坐标为（1，4）．(1 分)（3）设平移后的直线解析式y 3x m 点P 在此直线上，∴4 3 m，m 1∴平移后的直线解析式y 3 x 1 (1 分)①②OE PEBC DB 即6OE PEDB BC 即242PE2 2PE4 4得 3 ，有P1(4，3 ) ，P2(4，43 )42PE6 2 得PE 12 ，4有P3(4，12) ，P4(4，12 ).（3 分）4所以，点P 的坐标为(4， 3 ) ，(4， 3 )，(4，12) ，(4，12 ).1 14aca2b c a 23 b12．（1）设y=ax2+bx+c 1’，代入A、B、C 坐标得 b c 解得 c411'1得y 2x 4x 11’（2）BB1= 2 5 1’cos∠BB1A1=55 3’13．(1) ∵CD⊥AB∵ CD⊥x 轴∴∠BAC＝90°∴∠BAO＋∠CAD＝90°（ 1 分）∴∠CDA＝90°∴∠C＋∠CAD＝90°又∵∠ CDO＝∠AOB＝90°∴△ADC∽△BOA（ 1 分）∴∠ C＝∠BAO（ 1 分）（1 分）(2) ①由题意得，A(－8，0)，B(0，4) （1 分）∴OA＝8，OB＝4，AB＝4 5 （1 分）∵△ADC∽△BOA，CA＝2 5 ∴AD＝2，CD＝4 ∴C(－10，4) （1 分）将B(0，4)，C(－10，4)代入y x 2 bx cc 4100 10bcc 4 ∴ b410 ∴ y x2 10x 4（ 1 分）③M(0 ，29 5 3 )，M(0，29 5 3 )293 53 ,0)，M(2933 5M( ,0) （4 分）设点 M 的坐标为 ( x,3x 1) ，作 MEx 轴-若点 M 在 x 轴上方时，tan MEOAM3x 1， AE x 1ME 3 3x 11 x1M ( ,2)在 Rt △AME 中，由AE2x 1 ，∴ 3(1 分)∴3 (1 分)若点 M 在 x 轴下方时，ME3x 1， AE 1 xtan OAMME 3 3x 1 55 2xM ( , ) ∴ 9 3(1 分)综上所述： M 的坐标是 ( ,2) ( , ) 3 或 9 3（ 1 分）15．解：（ 1）作 BQ ⊥ x 轴于 Q.∵四边形 OABC 是等腰梯形， ∴∠ BAQ=∠ COA=60°在 Rt △ BQA 中， BA=4，BQ=AB ·sin ∠ BAO=4× sin60°= 2 3（ 1 分）AQ=AB ·cos ∠ BAO=4× cos60° =2，（ 1 分） ∴ OQ=OA － AQ=7－ 2=5点 B 在第一象限内，∴点 B 的坐标为（ 5 ，2 3 ） (1 分)（ 2）∵∠ CPA=∠OCP+∠ COP 即∠ CPD+∠ DPA=∠ COP+∠ OCP而∠ CPD=∠ OAB=∠ COP=60° ∴∠ OCP=∠APD（ 1 分）OP∵∠ COP=∠ PAD（ 1 分）∴△ OCP ∽△ APD（ 1 分） ∴ ADOC AP ，BD5 ∴ OP · AP=OC · AD(1 分) ∵ AB85 ∴ BD= 85AB= 2 53，AD=AB － BD=4－ 2 = 23∵ AP=OA － OP=7－ OP ∴ OP （ 7－ OP ） =4× 2∴点 P 坐标为（ 1， 0）或（ 6， 0）（ 2 分）（ 1 分）解得 OP=1 或 616、解：（ 1）∵点A 4,0 与 B4, 4在二次函数图像上，∴0 4 4b c44 4b b12c ，解得 c 2 ，y∴二次函数解析式为1 x2 41 x 22.————（ 2+1+1 分）（ 2）过 B 作 BDx 轴于点 D ，由（ 1）得 C 0,2 ，———（ 1 分）则在 RtAOC 中，tan CAOCO AO2 1 42 ，又在 RtABD 中，tan BADBD 4 AD812 ，———（ 1 分）∵ tanCAO tan BAD ，—（ 1 分） ∴ CAOBAO .———（ 1 分）在 Rt △ AME 中，由AE21 x ，∴91 5 22 x（ 3）由 A 4,0 与 B4, 4y，可得直线 AB 的解析式为1 x 22，—（ 1 分）1P x, x 2 ,4x设2 14Q x, x，则 4 1 x 22，PH1 x 2∴221 x,QH21 x24 1 x 22 1 x2.∴2 2 1 x 2 4 1x 22 .——（ 1 分）1 12 xx x 4P 1,5当 2 2 1 1 2，解得x 11, x 2 4 （舍去），∴ 27 .———（ 1 分）2x x当22 x 4，解得13, x 24 （舍去），∴3,2.———（ 1 分）1,53,7综上所述，存在满足条件的点，它们是2 与2 .17. 解：（ 1）联结 AO ,Q 矩形 ABOCAB 2， OB2 3A0 4--------------- （ 1 分）Q 矩形 ABOC 绕点 O 逆时针旋转后得到矩形 EFOD , A 落在 y 轴上的点 EAO EO 4E( 0,4) ----------------(1 分)过 D 点作 DH ⊥ X 轴于 H ，DHOABO, DOHAOB ， DHO ∽ ABODH HO DO ABOB AO AB2,OB23, DO2, AO4DH1, OH3D(3 ,1) ----------------(1 分)同理求得F ( 3 ,3) -------------(1 分)（ 2）因为抛物线 yax2bx c 经过点 F 、 E 、 D3 3a 1 3a3b 4 3b 4a求得：2, b 33 , c3 4y--（ 3 分）所求抛物线为：2 x 2 33 x4 3-（ 1 分）（ 3）因为在 x 轴上方的抛物线上有点Q ，使得三角形 QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积1设三角形 QOB 的 OB 边上的高为 h ，则 22 3 h 2 2 3，所以 h4 -------------- （ 1 分）因为点 Q 在 x 轴上方的抛物线上 ,Q( x,4)42x233 x 4,3x 10.x 232 ------（1 分）所以 Q 的坐标是 (0,4) 或 (3 ,4) 2------------------ （2 分）2P18. （1）证明：∵△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点 B 的位置，∴△ACO≌△CAB. 1′ ∴A O=CB，CO=AB，1′∴四边形ABCO是平行四边形. 1′（2）解：∵抛物线y ax 2 2 3 x经过点A，点A 的坐标为（2，0）， 1 ′∴4a 4 3 0 ，解得：a 3 . 1′∴y 3 x 2 2 3 x.∵四边形ABCO是平行四边形，∴OA∥CB.∵点 C 的坐标为（1，3 3 ），1′∴点 B 的坐标为（3，3 3 ）. 1′把x 3代入此函数解析式，得：y 3 32 2 3 3 9 3 6 3 3 3.∴点 B 的坐标满足此函数解析式，点 B 在此抛物线上. 1′∴顶点 D 的坐标为（1，- 3 ）. 1′（3）联接BO，过点 B 作BE⊥x 轴于点E，过点 D 作DF⊥x 轴于点 F .ytan ∠BOE= 3 ，tan∠DAF= 3 ，∴tan∠BOE=tan ∠DAF . ∴∠BOE=∠DAF . 1′CB ∵∠APD=∠OAB，∴△APD∽△OAB. 1′AP 设点P 的坐标为（x，0），∴OA4 AD 2 xOB ，∴22 4x6 ，解得： 3 1′FO A E∴点P 的坐标为（3，0）. D（4）P1(1,0) ，P2 ( 1,0) ，P3(3,0)2′19．解：（1） D 在BC 上，BC∥x 轴，C(0，2 )第∴设25D（x ，-2）---------（1 分）y D 在直线x 22x3 上∴3x 3------（2 分）∴D（3，-2）--- （1 分）（2）抛物线y ax 2bx c 经过点A、D、O216a 4b c 0 a38c 0 b3 2 2 8∴9a 3b c c 02解得：y x------（3 分）所求的二次函数解析式为3x3 ----（1 分）（3）假设存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形①若以OA 为底，BC∥x 轴，抛物线是轴对称图形∴点M 的坐标为（②若以OD 为底，过点 A 作OD 的平行线交抛物线为点M 1，2 ）-------- （1 分）2y 2 x直线OD 为3y∴直线AM 为2x83 3 ∴1,102x83 32x 28x3 3解得：x11, x24 （舍去）∴点M 的坐标为（3）---------- （2 分）③若以AD 为底，过点O 作AD 的平行线交抛物线为点M2x2 8 x直线AD 为y 2 x8∴直线OM 为y 2 x∴2x 3 3解得：x17, x20 （舍去）∴点M 的坐标为（107,14 ）----------- （1 分）∴综上所述，当点M 的坐标为（四边形是梯形1，2 ）、（1,3 ）、（7,14 ）时以O 、D 、A 、M 为顶点的y 20.解：（1）因为直线3x 34 分别与x 轴、y 轴交于点 A 和点B．由x 0, 得y 3 ，y 0 ，得x 4 ，所以A(4,0) B(0,3) 1 分把C( 1,0) B(0,3) 代入y ax 24ax c中，得c 3c 33a y 3x212x 3a 4a c 0 ，解得5 2 分∴这个二次函数的解析式为 5 5 1 分y 3( x 2)5275 ，P 点坐标为P( 2,27)5 1 分（２）设二次函数图象的对称轴与直线y3x43交于 E 点，与x 轴交于 F 点y 3x 3 y3E(2,3) PE 27 3 39把x 2 代入 4 得， 2 ，∴ 2 ，∴ 5 2 10 1 分PD 2 P E39∵PE//OB，OF=AF，∴BE AE ∵ AD∥BP，∴PE DE ， 5 2 分2。

中考数学专题训练--函数综合题

中考数学专题五函数应用问题综合题(解析版全国适用)

中考数学专题专练--二次函数与一次函数的综合

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数与一元二次方程

初三中考数学函数综合题含答案

(中考试题)初中数学专题训练-函数

中考数学函数实际应用综合题(解析版)

初三中考数学函数综合题含答案

2021年中考数学专题-训练：《反比例函数综合》(含答案详解)

2022年九年级中考复习数学函数综合 试题

【中考压轴之满分集训】专题02 函数图像与性质综合题(四大类)(解析版)

中考数学真题- 函数与几何综合问题

2023年中考数学专题——反比例函数与三角形的综合

中考数学复习考点知识专题训练10---一次函数综合(基础篇)

2023年中考九年级数学高频考点 专题训练--二次函数的三种形式

最新九年级中考数学专题： 二次函数综合题(相似三角形问题)含答案

2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何综合题

九年级数学中考复习：函数专题训练(含答案)

2022年九年级中考复习数学函数综合试题

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--二次函数的三种形式

最新九年级中考数学专题：二次函数综合题(相似三角形问题)含答案