人教版初三数学下册三角函数及其应用
人教版九年级数学下册精品教学课件 第二十八章 锐角三角函数 解直角三角形及其应用 第一课时
新课讲解
归纳：（1）在直角三角形的六个元素中，除直角 外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一 条边），就可以求出其余的三个元素． （2）定义：在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程就是解直角三角形． （3）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边 和一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和 一个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
2
课堂小结
1．解直角三角形的概念 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的 过程，叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的类型及方法 （1）解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和 一条直角边；②已知两条直角边；③已知斜边和一 个锐角；④已知一条直角边和一个锐角．
课堂小结
（2）在解直角三角形时，可以用勾股定理确定直角 三角形的三边关系，由锐角三角函数得到边角关系． 在选择关系时，应遵循以下基本原则：有斜（斜边） 用弦（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）， 宁乘勿除，尽量采用原始数据．
第28章：锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用（1）
人教版·九年级下册
导入新课
导入新课
意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜，其塔 顶中心点偏离垂直中心线2.1 m．1972年比萨地区发 生地震，这座高54.5 m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然 屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2 m，而 且还以每年增加1 cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌 的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维 修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心 线的距离比纠偏前减少了43.8 cm．
导入新课
C 垂 直 中 心 线Ө
A
B
如果要求你根据
塔 身
上述信息，用
中 “塔身中心线与
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
（2）实际问题中的数学建模：学生在解决实际问题时，往往不知道如何构建数学模型，将实际问题转化为数学问题。
突破方法：教师可以引导学生通过分析实际问题，找出其中的关键信息，然后运用正弦、余弦、正切函数构建数学模型。同时，通过举例讲解，让学生了解这一过程。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
一、教学内容
本节课选自人教版初中九年级数学下册，章节为《正弦、余弦、正切函数的简单应用》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在直角三角形中的应用。
-正弦函数：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。
-余弦函数：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。
五、教学反思
在本次教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解正弦、余弦、正切函数的简单应用。从导入新课到实践活动，再到小组讨论，我发现学生们在这些环节中的表现各有亮点，也有一些需要改进的地方。
首先，在导入新课环节，通过提出与日常生活密切相关的问题，成功引起了学生的兴趣。他们积极参与，提出了很多有关测量物体高度和距离的想法。这说明实际情景的引入有助于激发学生的学习热情，使他们更愿意投入到新知识的学习中。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共24张PPT)
本节课你有什么收获呢？
本节课你有什么收获呢？
3.正弦的定义
如图 28-1-2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,我们把锐角 A
的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作 sin A,
即
sin
A=
A的对边 斜边
a c
.
1
当∠A=30°时,有 sin A=sin 30°= 2 ;
2
当∠A=45°时,有 sin A=sin 45°= 2 .
图 28-1-8
A. 3
B. 3
C. 4 D. 4
4
5
5
3
4.如图 28-1-9,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的中线,已知 CD=2,AC=3,则 sin B 的值是( C )
图 28-1-9
A. 2
B. 3
C. 3
D. 4
3
2
4
3
5.(江苏中考)如图 28-1-10 所示,△ABC 的顶点都在方格纸的格点上,
九年级(下) 人民教育 数学
意大利的伟大科学家C 伽俐 ．略，曾在斜塔的顶
层做过自由落体运动的实 验.
B
“斜而未倒” AB=54.5m BC=5.2m
α
A
1.理解正弦的含义.(难点) 2.会求某个锐角的正弦值,能根据正弦概念进行计算.(重点)
一、知识回顾 1.如图 28-1-1,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,若 BC=10 m, 则 AB= 20m;若 AB=20 m,则 BC= 10 m.
3
图 28-1-5
A.3
B.4
C.5
D.6
6.如图 28-1-6,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6 cm,sin A= 3 ,
九年级数学三角函数的应用
其他领域应用举例
工程学
在工程学中，三角函数可用于计算角度、长度等参数，解决各种实际问题。例如，在建筑 设计中，利用三角函数可以计算出建筑物的角度和高度等关键参数。
物理学
在物理学中，三角函数可用于描述简谐振动、波动等现象。例如，利用正弦和余弦函数可 以描述弹簧振子的振动过程，以及波动在介质中的传播情况。
波动现象描述与预测
波动率建模
在金融领域，三角函数可用于建模波动率。例如，利用正弦和余弦函数构建波动 率模型，可以描述股票价格的波动情况，并用于预测未来的波动趋势。
周期性波动预测
对于具有周期性波动的现象，如电力负荷、交通流量等，可以利用三角函数进行 预测。通过历史数据的分析和拟合，可以预测未来一段时间内的波动情况，为决 策提供支持。
已知一边一角求其他两边
在直角三角形中，如果我们知道一条边的长度和一个锐角的大小，可以利用三角函数求出另外两条边 的长度。具体方法包括利用正弦、余弦函数求出未知边的长度，以及利用正切或余切函数求出另一个 锐角的大小。
03
三角函数在物理中的应用
简谐振动与正弦函数关系
简谐振动的定义
振幅、周期和频率
物体在一定范围内周期性地来回运动， 称为简谐振动。
指导学生运用三角函数知识，建立 与实际问题相符的数学模型，如通 过设立坐标系、确定角度和边长等 方式构建几何图形。
模型求解与验证
引导学生运用数学方法求解模型， 得出数学结论，并将结论与实际问 题进行比对，验证模型的合理性。
跨学科知识融合，提高综合解决问题能力
1 2
物理背景中的三角函数
结合物理学科中的振动、波动等知识点，让学生 理解三角函数在描述周期性现象中的应用。
倍角公式
sin2a=2sinacosa，cos2a=cos²a-sin²a。这些公式用于将二倍角的 三角函数转化为基础角的三角函数。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共32张PPT)
C 30°
1.5
D
10
B
例 操场有一旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.小明站在 离旗杆底部10米的位置,目测旗杆的顶部,视线与水平线的 夹角为30度,并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆 的高度了.你知道小明怎样算出的吗？
A
C 30°
1.5
D
10
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
你知道小明怎样算出的吗？ ∵CD⊥DB，AB⊥DB
三角形
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.
初三的学习既是机遇也是挑战，只有团结一致，相互帮助，互相追赶，才能到达理想的彼岸。
过点C作CH⊥AB于点H
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
锐角三 ∴CH=DB=10,HB=CD=1.
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
作业布置：课本78页 7、8、9
谢谢聆听！
∠ACH＝30°，CD=1.5
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
∠ACH＝30°，CD=1.5
过点C作CH⊥AB于点H
？
H
B
A
解：由题意可知：DB＝10，
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
∠ACH＝30°，CD=1.5
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.Leabharlann C1.53300°°
D
10
A
？
H B
解：由题意可知：DB＝10， ∠ACH＝30°，CD=1.5
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共13张PPT)
4．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanB＝________．
【解析】（1）cos²60°+sin²60°
仔细观察右 （2011·黄冈中考）cos30°=（ ）
tanA·tan(90° ∠A)=1
表，回答下 一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
1
仔细观察右表，回答下面问题.
sinA=cos(90°∠A); 思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值.
一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值.
一个锐角的正弦值等于这个角余角的余弦值. cos²60°表示（cos60°）²，即cos60°的平方.
2、能熟练计算三角函数的运算式. sinA=cos(90° ∠A);
由三角函数c的o定s义A知=coss30i°n=(90°∠A)
cos²60°表示（cos60°）²，即cos60°的平方. 【例】求下列各式的值.
cos²60°表一示（个cos6锐0°）角²，的即cos余60°弦的平值方.等于这个角余角的正弦值.
锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的应用
tanA·tan(90°∠A)=1 =（ ）²+（ ）²
1、能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应锐角度数； cosA=sin(90° ∠A)
仔细观察,说一说你个发现锐这张角表有的哪些正规律切? 值与这个角ห้องสมุดไป่ตู้角的正切值互为倒数.
【例】求下列各式的值. 思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 思考 两块三角板中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值. 一个锐角的正切值与这个角余角的正切值互为倒数.
数学人教版九年级下册锐角三角函数及应用
几何图形初步与三角形 锐角三角函数及其应用
鱼塘中学 鲍晓丽
一、知识要点梳理
概念定理
1. 锐角三角函数的定义 假设在Rt△ABC中，∠C=90°，则有： （1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的
正弦，记作sinA.
即 （2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦， 记作cosA. 即
解：（1）如答图6-3-3，过点M作MD⊥AB于点D. ∵∠AME=45°， ∴∠AMD=∠MAD=45°. ∵AM=180海里， ∴MD=AM·cos45°= （海里）. 答：渔船从A到B的航行过程中与小岛 M间的最小距离是 海里. （2）在Rt△DMB中， ∵∠BMF=60°，∴∠DMB=30°. ∵MD= 海里，∴MB=
∴ ÷20= =3×2.45=7.35≈7.4（小时）. 答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.
试一试
1. （2012广东）如图6-3-7，小山岗的斜坡AC的坡度是
tanα =
，在与山脚C距离200 m的D处，测得山顶A的仰角
为26.6°，求小山岗的高AB.（结果取整数，参考数据：
sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）
（2）三边之间的关系：a2+b2=c2.
（3）边角之间的关系：sinA= ，
cosA=
，tanA=
.
（a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边）
二|、中考考点精讲精练
考点1 锐角三角函数
考点精讲
【例1】（2013广东）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，
BC=4，则sinA=
.
考题再现 1. （2014汕尾）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=
九年级数学人教版下册第二十八章锐角三角函数 解直角三角形及其应用 解直角三角形课件
＝20，解这个直角三角形(结果保留小数点后一位)．
解： A ＝ 9 0 º － B ＝ 9 0 º － 3 5 º ＝ 5 5 º ，A
∵ tanB＝b ,
c
b
a
20
∴ a ＝ tan bB ＝ tan 20 35°≈ 28. 6 ． C
35° a
B
二、探究新知
∵ sinB＝b , c
A． b＝a·tan A
B． b＝c·sin A
C． b＝c·cos A
D． a＝c·cos A
四、课堂训练
3．如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC＝4， sin B＝ 4 ，则菱形的周长是( C )．
5 A．10 B．20 C．40 D．28
A
D
B
EC
四、课堂训练
4．如图，已知 AC＝4，求 AB 和 BC 的长．
一般地，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形．
二、探究新知
(1)在直角三角形中，除直角外还有哪几个元素？ (2)结合右图说一说这几个元素之间有哪些关系？ (3)知道这几个元素中的几个，就可以求其余元素？ 解：(1)在 Rt△ABC 中除直角外还有五个元素，三边： AB，AC，BC 或 a，b，c 两锐角：∠A ，∠B．
∴ c＝ sin bB ＝ sin 23 05°≈ 34. 9． 注意：选取函数关系求值时尽可能用原始数据，减少因 为近似产生的累积误差．
二º，∠B＝72º，c＝14，解这个
直角三角形． A
解： A ＝ 9 0 º － 7 2 º ＝ 1 8 º ，
， B
二、探究新知
在 Rt△ABC 中，∠C＝90º，a＝30，b＝20．解这个直 角三角形． 在 Rt△ACD 中，
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用
它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B 处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？
60°80
A
P C
30°
B
当堂检测
如图，在数学活动课中，小敏为了测量旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处 测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°.若旗杆与教学楼 的水平距离CD为9 m，则旗杆的高度是多少？
在Rt△ADC中， AD
∵ tan∠DCA=-----DC
∴AD= tan600x= x 3
在Rt△ADB中，
∵
tan30˚=
AD
----
=
-√-----3--
x
BD X+24 X=12
AD≈12×1.732 =20.784 > 20
答：货轮无触礁危险。
A
N1
N
DX C
24海里
B
变式三
பைடு நூலகம்
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，
西30˚，货轮继续向西航行，
有无触礁的危险？
A
N1
N
DX C
24海里
B
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，小亮乘坐的一艘货轮由东 向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北偏西60˚.在c见岛A在北偏 西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
通过这几道习题你能发现什么？ 以4人小组为单位，分享你的发现。
我的收获
模型一
A
C
D
B
模型二
B
C
模型三
三角函数及其应用
三角函数及其应用三角函数是中学数学中的必修内容，是对于任何学习数学的人来说，都是相当重要的一部分。
三角函数指的是正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数，这四种函数的图像都是由周期的波形组成的。
在数学中，三角函数的应用十分广泛，不仅可以用于计算几何中的角度问题，还可以应用于机械、电学、天文学等各个领域。
下面将从三角函数的定义、性质、应用等方面进行论述。
一、三角函数的定义在直角三角形中，对于角度$\theta$，我们可以定义三角函数的值，正弦函数$sin\theta$、余弦函数$cos\theta$、正切函数$tan\theta$、余切函数$cot\theta$，每一种函数都可以表示角度$\theta$的某种性质。
以正弦函数为例，当我们拥有一个弧度为$\theta$的圆，该圆的半径长度为1，它的水平坐标点和纵坐标点分别为$x$和$y$，则正弦函数的值就是$y$。
这里需要注意的是，正弦函数的值是一个介于-1到1之间的实数。
二、三角函数的性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为$2\pi$，即$sin(x+2\pi)=sin x$，$cos(x+2\pi)=cos x$。
因此，当我们绘制正弦函数和余弦函数的图像时，只需要在一个周期内绘制即可，将该周期复制多次即可得到图像的全部样貌。
2.换元性：由于三角函数之间存在一些关系，所以在计算过程中，我们可以通过换元来改变函数的形式，从而简化计算。
以正弦函数和余弦函数为例，有以下换元公式：$sin(\pi-x)=sin x$$cos(\pi-x)=-cos x$$sin(-x)=-sin x$$cos(-x)=cos x$3.奇偶性：正弦函数是奇函数，即$sin(-x)=-sin x$，而余弦函数是偶函数，即$cos(-x)=cos x$。
这种奇偶性在计算中经常用到，例如将要计算的三角函数改写为正弦函数或余弦函数的形式，然后利用函数的奇偶性简化计算。
4.性质关系：三角函数与三角函数之间存在一些关系，例如下面这些公式：$sin^2 x+cos^2 x=1$$tan x=\dfrac{sin x}{cos x}$$1+tan^2 x=sec^2x$$cot x=\dfrac{1}{tan x}=\dfrac{cos x}{sin x}$三、三角函数的应用在数学中，三角函数应用十分广泛，尤其是在计算几何、机械和电学等领域。
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2017年中考数学复习解直角三角形及其应用
【课前热身】
1. 某坡面的坡度为1：3，则坡角是_______度．
【考点链接】
2．如图（1）解直角三角形的公式：
（1）三边关系：__________________．
（2）角关系：∠A+∠B ＝_____， 图1
（3）边角关系：sinA=___，sinB=____，cosA=_______．
cosB=____，tanA=_____ ，tanB=_____．
3．如图（2）仰角是____________,俯角是____________．
4．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tanα＝i ＝____．
（图2） （图3） （图4）
【典例精析】
例1 海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在
点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北
偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．
αA C B 45︒南北西东60︒A D C B 70︒O O A B C
1．升国旗时，某同学站在离旗杆24m处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m，则旗杆高度约为_______.（取3 1.73
，结果精确到0.1m）
2．已知：如图，在△ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长. (结果保留根号)
﹡3．如图，在测量塔高AB时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C、D两点，用测角仪器测得塔顶A的仰角分别是30°和60°．已知测角仪器高CE=1.5米，CD=30米，求塔高AB．（保留根号）。