5-1向量的内积、长度及正交性
第一讲：向量的内积、长度和正交性
主讲人：同济大学殷俊锋向量的内积、长度和正交性是线性代数中基本的概念，不仅包含内积、范数等概念，还包括正交向量组、正交规范基、正交矩阵等基本概念，以及将一组线性无关向量组转化为正交规范基的施密特正交化过程。
这些概念对于今后学习矩阵的特征值，以及线性空间等具有非常重要的作用.一、知识要点1、内积、正交定义:给定n 维列向量，定义x 与y 的内积.•内积的性质有交换性、正定性、保持线性运算•施瓦茨不等式•当，则称向量x 与y 是正交的.2(,)(,)(,)≤x y x x y y (,)0=x y 1212(,,,),(,,,)==T T n n x x x x y y y y 1122(,)=+++n n x y x y x y x y2、向量的长度（或范数)定义令称为n 维向量x 的长度（或范数).22212(,),n x x x x x x ==+++x •向量长度的性质有非负性、齐次性和三角不等式•n 维非零向量x 与y 的夹角•当，则称向量x 为单位向量.1=x (),arccos θ=x y x y3、正交向量组、正交基定义正交向量组是一组两两正交的非零向量.定理设n 维向量是一组两两正交的非零向量，则线性无关。
定义设n 维向量是向量空间V 的一个基，如果是两两正交，且都是单位向量，则称是V 的一个规范正交基.12,,,r a a a 12,,,r a a a 12,,,r e e e 12,,,r e e e 12,,,r e e e4、施密特正交化过程设n 维向量是向量空间V 的一个基，则可按照如下步骤将其化为V 的一个规范正交基.步骤：1，正交化令11βα=()()2122111,,αββαβββ=-12,,,r a a a()()()()313233121122,,,,αβαββαββββββ=--()()()()()()121121112211,,,,,,αβαβαββαβββββββββ----=----r r r r r r r r r 121212, , , ,r r r e e e ββββββ===则是V 的一个规范正交基.2：单位化，令12,,,r e e e5、正交矩阵定义设A是一个n阶方阵，如果A T A=E，则称A是正交矩阵，简称正交阵.n 阶方阵A 是正交矩阵A-1=A T;A 的列向量是两两正交的单位向量，即A 的列向量组是R n的标准正交基；A 的行向量是两两正交的单位向量.定义设P是一个正交阵，则线性变换y=Px称为正交变换.6、正交矩阵的性质（1）若A为正交矩阵，则A-1=A T 也为正交阵，且|A|=1或-1；（2）若A和B是正交阵，则AB也是正交阵；（3）正交变换x=Py（P是正交矩阵）保持向量的长度不变.二、教学要求1、理解向量正交、正交基的概念，正交矩阵的概念和性质2、掌握施密特正交化过程的步骤三、例题精讲例1、设140,2,.23λλ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭与正交，且，求和a b c a b a c c解：由正交性因此()()()()() ,,,,,λλλ=+=+=a b a a c a a a c a a所以()(),102,5λ-===-a ba a4122(2)02321λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=--=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭c b a例2、试用施密特正交化过程把向量组正交化.()123111,,124139⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭a a a 解：先作正交化()()()()()()111222111132333121122,111,6210,,331113111,,1482410,,,32391113=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭b a b a b a b b b b a b a b a b b b b b b再把它们单位化，111222333111,31110,21112.61⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭b e b b e b b e b例3、判断矩阵是否为正交阵，并说明理由111231112211132⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭A 解：由于正交矩阵列向量为单位向量且相互正交，而111111,1124913⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭a a 因此，该矩阵不是正交矩阵.例4、设为维向量，，令，证明是对称的正交阵.x 证明：首先证明对称性，()()222,=-=-=-=T T T T T TH E xx E xx E xx H n 1=T x x 2=-T H E xx H ()()()()()2222444444.=--=--=-+=-+=-+=T T T T T T TT T T T TT T H H E xx E xx E xx E xx E xx xx xx E xx x x x x E xx xx E 再证明正交性例5、设都是正交阵，证明也是正交阵.,A B 证明：由题意()===T T T T AB AB B A AB B B E AB ,,==T TA A EB B E AB 所以因此，也是正交矩阵.谢谢！。
5-1 向量的内积、长度及正交性
向量的长度 令
2 2 2 || x || [ x, x] x1 x2 xn
||x||称为n维向量x的长度(或范数)
向量的长度的性质 设x y为n维向量 为实数 则 (1)非负性 当x0时 ||x||0 当x0时 ||x||0 (2)齐次性 ||x||||x|| (3)三角不等式 ||xy||||x||||y|| >>>
容易验证b1 b2 br两两正交 且b1 b2 br与a1 a2 ar 等价 把b1 b2 br单位化 即得V的一个规范正交基
e1 1 1 1 b1 e2 b2 er br || b1|| || b2 || || br ||
e1 1 1 2 2 1 1 e2 e3 2 2 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 e4 2 2 1 1 2 2
例2 设a1(1 2 1)T a2(1 3 1)T a3(4 1 0)T 试用施 密特正交化过程把这组向量规范正交化 解 令b1a1
1 1 1 4 5 b2 a2 b1 3 2 1 1 6 1 3 1 [b1, b1] [b1, a2 ] 4 1 1 1 1 5 b3 a3 b1 b2 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1 [b1, b1] [b2, b2 ] [b1, a3] [b2, a]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
说明 要找一组两两正交的单位向量e1 e2 er 使e1 e2 er与a1 a2 ar等价 这样一个问题 称为把a1 a2 ar这个 基规范正交化
两个向量内积和正交的定义
两个向量内积和正交的定义向量是在数学中经常用到的概念，向量的运算方式有点类似于数的运算，但是向量有很多特殊的性质，因此需要了解向量的内积和正交的定义。
一、向量的内积向量的内积是指两个向量的数量积，也被称为点积或标量积，它的定义如下：设有两个n维向量a = (a1, a2, …, an)和b = (b1, b2, …, bn)，它们的内积表示为：a·b = a1b1 + a2b2 + … + anbn。
通过这个公式得到的结果是一个数字，而不是向量，这个数字表示了两个向量的夹角和它们的长度的乘积。
如果a·b = 0，那么这两个向量就被称为正交向量。
二、向量的正交两个向量的正交是指它们之间的夹角为直角，这种关系被称为正交关系。
在三维空间中，我们可以看到两个正交的向量表示的向量平面是一个矩形。
这个矩形的长度是两个向量长度的乘积，宽度则是它们的夹角的正弦值所乘。
在二维空间中，当两个向量垂直时，它们就正交了。
例如，在平面直角坐标系中，两个向量a = (1, 0)和b = (0, 1)是正交向量，它们的内积为0。
三、向量的应用向量的内积和正交在实际应用中有着广泛的应用，例如：1. 在三维计算机图形学中，可以利用向量的内积来计算光照效果。
2. 在机器学习中，向量的内积和正交用于向量的相似性度量，这是非常重要的一个概念。
3. 在物理学中，向量的正交关系被用来计算施加在物体上的力的大小和方向。
四、总结向量的内积和正交是向量的两个重要的概念。
这些概念有着广泛的应用，需要掌握这些概念才能更好地理解一些数学和物理学问题。
我们在应用和研究中，可以通过向量内积和正交，更细致地分析和解决问题，也可以更深入地了解向量及其运算特性。
向量的内积
说明: 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 用 矩阵记号表示, 当x与y都是列向量时, 有 [x, y]=xTy.
向量的内积 设有n维向量x=(x1, x2, , xn)T, y=(y1, y2, , yn)T, 令 [x, y]=x1y1+x2y2+ +xnyn, [x, y]称为向量x与y的内积. 内积的性质 设x, y, z为n维向量, λ为实数, 则 (1)[x, y]=[y, x]; (2)[λx, y]=λ[x, y]; (3)[x+y, z]=[x, z]+[y, z]; (4)当x=0时, [x, x]=0; 当x≠0时, [x, x]>0; (5)[x, y]2≤[x, x][y, y]. ——施瓦茨不等式.
|| y||= yT y = xT PT Px = xT x =|| x|| .
这说明, 经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的 形状保持不变), 这是正交变换的优良特性.
第五章 相似矩阵及二次型
§5.2 方阵的特征值与特征向量
数 学 与 计 算 机 科 学 系
工程技术中的一些问题, 如振动问题和稳定性 问题, 常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量 的问题. 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组 的问题, 也都要用到特征值的理论.
1 a2 =ξ1= 0 , 1
0 1 1 1 1 a2 =ξ 2 ξ1 = 1 0= 2 . 1 2 1 2 1 [ξ1, ξ1] [ξ1, ξ 2 ]
正交阵 如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A1=AT), 那么称A为正交矩 阵, 简称正交阵. 方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量都是单 位向量, 且两两正交. n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn 的一个规 范正交基. 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 正交矩阵举例: P = 2 2 2 2 . 1 1 0 0 2 2 0 0 1 1 2 2
本_第17讲_向量的内积、长度及正交性 二次型基本知识
一、向量的内积
2. 内积的性质 ⑴ [α , β ] = [ β , α ]; ⑵ [ kα , β ] = k[α , β ], k ∈ R; ⑶ [α + β , γ ] = [α , γ ] + [ β , γ ];
[ ⑷ 当 α = 0 时， α ,α ] = 0,
当 α ≠ 0 时，[α ,α ] > 0;
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三、向量的正交性
一定线性无关． 定理 正交向量组 α1 ,α2 ,⋯,αr 一定线性无关． 证 设存在 k1 , k2 ,⋯, kr 使
(＊) ＊
k1α1 + k2α2 + ⋯+ krαr = 0, 两两正交， 由α1 ,α2 ,⋯,αr 两两正交，知
T 以α 1 左乘(＊)式两端，得 ＊ 式两端，
二次型基本知识
二次型的概念； 二次型的概念； 二次型的矩阵表示. 二次型的矩阵表示.
一、二次型的概念
含有n个变量 含有 个变量x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn的二次齐次函数 个变量 f(x1, x2, ⋅ ⋅ ⋅, xn) = a11x12+a22x22+ ⋅ ⋅ ⋅ +annxn2 +2a12x1x2+2a13x1x3+ ⋅ ⋅ ⋅ +2an−1,, nxn−1xn − − 称为二次型.
两个向量之间的一种运算，其结果是一个数 两个向量之间的一种运算，其结果是一个数， 用矩阵记号表示有 [α , β ] = α T β = β Tα . n≥3维向量的内积是 维向量数量积的推广， 维向量的内积是3维向量数量积的推广 维向量的内积是 维向量数量积的推广， 但是没有3维向量直观的几何意义 维向量直观的几何意义． 但是没有 5. 施密特 施密特(Schimidt)正交化 正交化
向量的内积、长度及正交性
在多维空间中，向量长度可以通过欧几里得范数计算，即 $||vec{a}|| = sqrt{sum_{i=1}^{n} a_i^2}$。
向量模的计算
在数学软件中，如Matlab或Python的NumPy库，可以直接使 用内置函数计算向量长度，如`numpy.linalg.norm()`。
03
02
CHAPTER
向量的长度
向量长度的定义
定义
向量长度是指向量从原点到终点所经 过的距离，通常用符号“||”表示。
几何意义
向量长度等于向量在欧几里得空间中 的模，即以原点为起点、终点为终点 的有向线段的长度。
向量长度的性质
非负性
向量长度总是大于等于0，即对于任意向量$vec{a}$，有 $||vec{a}|| geq 0$。
CHAPTER
向量的正交性
向量正交的定义
两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$正交，当且仅当它们的 内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
正交意味着两个向量在所有方向上都 相互垂直，没有共同的行或列。
向量正交的性质
1
正交向量之间的内积为零，即$mathbf{a} cdot mathbf{b} = 0$。
2
正交向量的点积为零，但不意味着它们的长度为 零。
3
正交向量之间没有共同的行或列，即它们是垂直 的。
向量正交的判断方法
01
检查向量的点积是 否为零
如果$bf{a}$和$mathbf{b}$正 交。
02
检查向量的模长是 否为零
向量的内积、长度及正交性
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的长度 • 向量的正交性 • 向量的应用
第10讲：向量的内积与正交矩阵
正交矩阵的性质: 设A, B 为 n 阶正交矩阵, 则 (1) A－1 = AT 也为正交矩阵 , 且 |A|=1 或－1. (2) AB 也为正交矩阵.
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
定义: 若 P 为正交阵, 正交变换.
4.1 向量的内积与正交矩阵
§1 向量的内积、长度及正交性
一、内积的定义及性质
定义: n 维向量 x ( x1 , x2 ,L , xn )T , y ( y1 , y2 ,L , yn )T 的内积
[ x, y] x1 y1 x2 y2 xn yn;
若 x, y为列向量, 则 [x, y] xT y.
a2 b1
] ]
b1
,
统计软件分析与应用
线性代数A
4.1 向量的内积与正交矩阵
b3
a3
[b1 , [b1 ,
a3 b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
,
br
ar
[b1 , ar ] [b1 , b1 ]
b1
[b2 , ar ] [b2 , b2 ]
b2
L
[br 1 [br1 ,
, ar ] br1 ]
二、向量的长度及性质
定义: n 维向量 x 的长度 ( 或范数 )
x [ x, x] x12 x22 xn2 .
长度的性质： 1. 非负性: x 0; x 0 x 0.
2. 齐次性: 对 R 有 x x .
3. 三角不等式: x y x y .
统计软件分析与应用
【线代课件】5.1向量的内积、长度及正交性
（2）齐次性：lx l x ;
[l x, l x] l[x, l x] l[l x, x] l 2[x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l | || x ||
向量的长度
定义：令 || x || [ x, x] x12 x22 xn2
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0；
当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． 施瓦兹（Schwarz）不等式
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
证明：设 x (x1, x2 ,, xn ), y ( y1, y2 ,, yn ) 由(xi z yi )2 0(i 1,2,, n)可得(x1z y1)2 (x2 z y2 )2 (xn z yn )2 0 即(x12 x22 xn2 )z2 2(x1y1 x2 y2 xn yn )z ( y12 y22 yn2) 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
[ x, y] x1 y1 x2 y2 y1 x1 y2 x2 [ y, x]
xn yn yn xn
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
线性代数第五章128
b1 b2 br e1 , e2 , , e r , || b1 || || b2 || || br ||
则e1, e2, · · · , en是向量空间V的一组规范正交基. 由线性无关向量组a1, a2, · · · , ar 构造出正交向量组 b1, b2, · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)正交化过程.
1 0 0 0 0 1 0 0 设 1 0 , 2 0 , 3 1 , 4 0 . 0 0 0 1
又设
1 2 1 2 0 0 0 0 1 2 1 2 , e4 . e1 , e2 , e3 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0 ij ( i , j 1, 2, 3, 4). 由于 [e i , e j ] ij 1 i j
2 2 2 [x, x] = x = x1 + x2 + + xn
当|| x ||=1时, 称x为单位向量
3.当|| x || 0, || y || 0 时, n维向量 x 与 y 的夹角： [ x, y] arccos 规定0 . || x || || y || 4.向量 x 与 y 正交定义为： π 当[x, y]=0，也即 θ = .
向量的长度及性质
(1) 非负性: || x || 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0;
(2) 齐次性: || x|| = | | || x ||;
(3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.
向量的内积与正交
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
线代第五章1
由定义知 , 若 x = 0, 则 x 与任何向量都正交 . 正交向量组 2 正交向量组的性质 定理 1 若 n 维向量 α 1 ,α 2 ,L ,α r 是一组两两正交的 非零向量, 线性无关. 非零向量, 则 α 1 ,α 2 ,L ,α r 线性无关. 3 向量空间的正交基 若 α 1 , α 2 ,L , α r 是向量空间 V 的一个基 , 且 α 1 , α 2 ,L , α r 是两两 正交的非零向量组 , 则称 α 1 , α 2 ,L , α r 是向量空间 V 的正交基 .
1 例3 已知 a = 1 , 求一组非零向量 2,a3,使a1,a2,a3两两正交. 求一组非零向量a 两两正交. 1 1
解
1 0 它的基础解系为 ξ1 = 0 , ξ 2 = 1 . 1 1 [ξ 1 ,ξ 2] ξ 1. 把基础解系正交.亦即取 a 2 = ξ 1 , a 3 = ξ 2 把基础解系正交. [ξ 1 ,ξ 1] 其中 [ξ 1 , ξ 2 ] = 1, [ξ 1 , ξ 1 ] = 2 , 于是得
设y = Px为正交变换 ,
则有 y =
y y=
T
T T x P Px =
T x x = x.
判别下列矩阵是否为正交阵. 例5 判别下列矩阵是否为正交阵.
1 2 1 3 1 (1) 1 2 1 1 2 , 13 1 2 1
1 9 8 (2 ) 9 4 9 8 9 1 9 4 9 4 9 4 . 9 7 9
内积的运算性质 (其中 x , y , z 为n维向量 , λ为实数 ) : (1) [ x , y ] = [ y , x ] ; ( 2 ) [λ x , y ] = λ [ x , y ];
(4)[ x , x ] ≥ 0, 且当x ≠ 0时有[ x , x ] > 0.
线性代数5-1
− 1 1 b2 = e2 = 1 , 3 b2 1
b3 e3 = b3
1 1 = 0 . 2 1
e1 , e 2 , e 3即合所求 .
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1 例3 已知 a 1 = 1 , 求一组非零向量 a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交 .
[ei , e j ] = 0, i ≠ j且i , j = 1, 2, 3,4. 由于 [ei , ei ] = 1, i = 1, 2, 3,4.
所以 e1 , e2 , e 3 , e4为R 4的一个规范正交基 .
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同理可知
1 0 0 0 0, ε = 1, ε = 0, ε = 0. ε1 = 2 3 4 0 0 1 0 0 0 0 1
的一个规范正交基. 就得 V 的一个规范正交基 上述从线性无关向量组 a1 , ··· , ar 导出正交 向量组 b1 , ··· , br 的过程称为施密特(Schimidt) 施密特(Schimidt)
正交化过程. 它不仅满足 b1 , ··· , br 与 a1, ··· , ar
等价, 等价 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , ··· , bk 与 a1 , ··· , ak 等价 等价.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xn yn , [x, y] 称为向 [x 量 x 与 y 的内积. 记作： 记作： [x, y] = xTy .
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二、内积的性质
5.1向量的内积
任何非零向量都可化为单位向量:
||
||
1
例如,把向量 1 单位化:
1
||||= 12 12 12 3
1 1
|| ||
1 3
1 1
1 1
3
3
是单位向量.
3
引入许瓦兹不等式:
对任意向量,,有 , .
定义3 非零n维向量与的夹角, 规定
为
, arccos
[ , ]
或者说,n阶矩阵A为正交矩阵A的列(行) 向量组构成向量空间Rn的一个正交规范基.
例3 问矩阵
1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
P
2 1
2
0
2 1
2
0
2 0 1
2
0
1
2 2
是否是正交阵?
解: 方法一: ∵PP =E P为正交矩阵
方法二: P 的行向量是单位向量, P 的行向量两两正交. P为正交矩阵
(0≤, ≤)
|| || || ||
例如,求向量=(1,2,2,3)与=(3,1,5,1)的夹角
cos [ , ] 18 2
|| || || || 3 2 6 2
4
三、向量的正交性及其性质
若[,]=0, , , 则称与正交
(或互相垂直).
2
注: (1) [,]=0a1b1+a2b2++anbn=0
记Y
y1 y2
P csions
sin cos
X
x1 x2
则Y PX (其中P是正交矩阵）
26
返回
定义7 若P为正交阵,则线性变换Y=PX称为 正交变换.
同济版线性代数课件-1向量的内积、长度及正交性
在物理中，正交向量可以用来描述相互垂直的力、速度或加速度等物理量 ，并用于解决物理问题。
在信号处理中，正交向量可以用来表示信号的频率分量和相位信息，并用 于信号分析和处理。
04
CATALOGUE
线性无关性及向量组的秩
线性无关的定义及性质
向量长度在几何中的应用
点到点距离 线段长度 角度测量
向量模的平方
向量的长度可以用来计算两点之间的距离，即连接两点的线段 的长度。
向量的长度可以用来计算线段的长度，即线段两端点之间的距 离。
向量的长度可以用来测量两个向量之间的夹角，通过计算两个 向量的内积可以得到夹角的余弦值。
向量的长度平方等于向量与自身的内积，即$|mathbf{a}|^2 = mathbf{a} cdot mathbf{a}$。
通过行变换或列变换将向量组转化为阶梯形矩阵，然后数阶梯形矩阵中非零行的个数即 为向量组的秩。
秩的应用及意义
要点一
秩的应用
在解决线性方程组、向量空间、矩阵分解等问题中，秩的 概念具有重要应用。
要点二
秩的意义
秩是描述向量组中独立分量个数的量，反映了向量组内部 的结构特性，是线性代数中重要的概念之一。
05
CATALOGUE
特征值和特征向量
特征值和特征向量的定义及性质
特征值和特征向量的定义
对于给定的矩阵A，如果存在一个非零向量 x，使得Ax=λx成立，则称λ为矩阵A的特征 值，x为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量 。
特征值的性质
特征值是实数，特征向量是相应的特征Байду номын сангаас程 的解，特征向量与特征值是对应的。
向量内积运算法则
向量内积运算法则向量内积，也称为点积或数量积，是线性代数中的一个重要概念。
它可以用于计算向量之间的夹角、判断向量的正交性、求解投影等问题。
在本文中，我们将介绍向量内积的定义、性质以及一些常见的运算法则。
一、向量内积的定义给定两个n维向量A和B，它们的内积定义为：A·B = A1B1 + A2B2 + ... + AnBn其中，A1、A2、...、An和B1、B2、...、Bn分别表示向量A和B 的各个分量。
二、向量内积的性质1. 对称性：A·B = B·A这意味着向量内积满足交换律，不论先计算哪个向量的分量乘积，结果都是相同的。
2. 分配律：(A + B)·C = A·C + B·C这表示向量内积满足分配律，即将一个向量与两个向量的和的内积等于它分别与这两个向量的内积之和。
3. 数乘结合律：(kA)·B = k(A·B) = A·(kB)这说明向量内积满足数乘结合律，即一个向量与另一个向量的内积与一个标量的乘积可以交换位置。
4. 长度平方：A·A = ||A||^2这表示一个向量与自身的内积等于向量的模长的平方。
这个性质常用于计算向量的模长。
三、向量内积的运算法则1. 夹角公式：cosθ = (A·B) / (||A||·||B||)这个公式表示两个向量的内积可以用它们的模长和夹角的余弦值表示。
通过这个公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。
2. 正交性：A·B = 0如果两个向量的内积为0，则称它们正交。
这意味着两个向量之间的夹角为90度。
正交向量在物理学、几何学等领域中有广泛的应用。
3. 投影公式：projB A = (A·B / ||B||^2) · B这个公式表示向量A在向量B上的投影可以通过向量A和向量B 的内积计算得出。
投影向量是向量A在向量B方向上的投影。
向量的内积、正交性
2 2 2 x1 x2 x3 [ x , x ]
向量的长度 定义：令
|| x || [ x , x ]
2 2 2 x1 x2 xn
称 || x || 为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量． 向量的长度具有下列性质：
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]．
回顾：线段的长度
P(x1, x2)
x2
[x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
若令 x = (x1, x2)T，则
| OP |
2 2 x1 x2 [ x , x ]
O
x1
P 若令 x = (x1, x2, x3)T，则 x3 x2 x1 O
|| e1 || [e1 , e1 ] 1
从而 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个规范正交基．
1 1 4 例：设 a1 2 , a2 3 , a3 1 ，试用施密特正交化 1 1 0 过程把这组向量规范正交化．
x1 x 3 得 x2 0
1 1 从而有基础解系 0 ，令 a3 0 ． 1 1
定义： n 维向量e1, e2, …, er 是向量空间 V R n中的向量， 满足 e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； e1, e2, …, er 两两正交； e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
说明：
• 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． • 内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y ．
5.1向量的内积
定义3 非零n维向量 的夹角〈 定义 非零 维向量α与β的夹角〈α,β 〉规定 为 [α , β ] 〈α , β 〉 = arccos (0≤〈α,β 〉≤π) ≤ || α || ⋅ || β || 例如,求向量 例如 求向量α=(1,2,2,3)与β=(3,1,5,1)的夹角 与 的夹角
M α r X = 0 ′
则方程组的一个基础解系正交单位化即可. 则方程组的一个基础解系正交单位化即可
正交矩阵 定义6 阶方阵,若 ′ 则称A为 定义 设A为n阶方阵 若A′A=E,则称 为正 为 阶方阵 则称 交矩阵. 交矩阵 正交矩阵性质: 正交矩阵性质 (1)A为正交矩阵⇔A−1=A′ 为正交矩阵⇔ 为正交矩阵 ′ (2)A为正交矩阵⇔AA′=E 为正交矩阵⇔ ′ 为正交矩阵 (3)A为正交矩阵⇒|A|=±1 为正交矩阵⇒ 为正交矩阵 ± (4)A为正交矩阵⇒A′,A−1,A*也是正交矩阵 为正交矩阵⇒ ′ 为正交矩阵 也是正交矩阵 (5)若A,B均为 阶正交矩阵⇒AB与BA也是 均为n阶正交矩阵 若 均为 阶正交矩阵⇒ 与 也是 正交矩阵. 正交矩阵
引入许瓦兹不等式 引入许瓦兹不等式: 许瓦兹不等式 对任意向量α,β,有[α,β]≤||α||⋅||β|| 有 ≤ ⋅ ∵||α+β||2 =[α+β,α+β] =[α,α]+2[α,β]+[β,β] ≤||α||2+2||α||⋅||β||+||β||2 ⋅ =(||α||+||β||)2
当||α||=1时,称α为单位向量 时 称 为单位向量.
α 都可化为单位向量: 任何非零向量α都可化为单位向量 || α ||
5-1向量的内积、长度及正交性
,
b2
，
规定 和 的内积为
a n
bn
, a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n
(即，对应分量的乘积之和)
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说明 (1) 当 和 都为列向量时(一般做法)，
A
T 1
1
T 2
1
1 2
1 ， 1
则 Ax=O 的解和 1T ,2T正交 (亦和 1, 2 正交).
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解
令
A12T T11
1 2
1 1
建立齐次线性方程组
Ax=O，
即
1 1
1 2
11
a22
a22
a2n
x2
0
am1 am2 amnxn 0
Ax=O 的每个解向量都和矩阵 A 的每个行向量正交.
因此，Ax=O 的解集(即解空间)就是与 A 的行向量都 正交的全部向量的集合.
这是Ax=O 的解空间的一个基本性质.
夹角 =90o ；反之亦然. 因此 定理 2 非零向量 , 正交(或垂直)的充要条件是
[,]0
说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也 可以说零向量与任何向量正交.
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对于齐次线性方程组 Amn x=O，即
a11 a12 a1n x1 0
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例2
已知
R3
中的两个向量
1
1 1,
2
1 2
正交，
1
1
求一个非零向量 3，使得1, 2, 3 两两正交.
河海大学《几何与代数》5-1向量的内积、长度和施密特正交化
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
(ei , e j ) 0, (ei , e j ) 1,
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
(b1 , a2 ) (b1 , b1 )
b1
1,1,0,4
11
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
b3
a3
(b1 , a3 ) (b1 , b1 )
b1
(b2 , a3 ) (b2 , b2 )
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
的一个标准正交基 , 就是要找一组两两正交
的单位向量 e1, e2 , , er , 使e1, e2 , , er与1,2 , , r等价,这样一个问题 , 称为把1,2 , ,r正交化
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
(b1 , a2 ) (b1 , b1 )
同理可得2 r 0. 故1,2 , ,r线性无关.
4 标准正交基
定 义3 设n维 向 量 e1 , e2 , , er 是 向 量 空 间V (V Rn )的 一 个 基, 如 果e1 , e2 , , er两 两 正 交 且 都 是 单 位 向 量, 则 称e1 , e2 , , er 是 V的 一 个 标 准 正 交 基.
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例4
验证
A
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 是正交矩阵.
0
1
2 2
解 A 的列向量都是单位向量，且两两正交， 故 A 是正交矩阵.
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2. 正交变换
【回顾】从变量 x1, x2, …, xn 到变量 y1, y2, …, ym的
“线性变换”可表示
为
y1 a11x1 a12x2 a1n xn ,
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例3
1
1
4
设 R3 的一组基为 1 2 , 2 3 , 3 1
1
1
0
用施密特正交化方法将这组基规范正交化.
解 首先将 1,2,3 正交化：
取
1 2
1;
2
[ 2 [1
, ,
1 1
] ]
1
1 3 1
4 6
1 2 1
5 / 3 5 / 3 ; 5 / 3
即，
是单位向量.
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1
2
例1
已知
21,
13,
0
0
计算两个向量单位化后的内积.
解 12 22 (1)2 02 6 14
,
,
1 2 2 (3) (1)1 0 0 6 14
5 2 21
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定理 1 向量的内积满足
y2
a21x1
a22x2
a2n xn ,
ym am1x1 am2 x2 amn xn .
y1 a11
即
y2 ym
a21 am1
a12 a22
am2
a1n x1
a2n x2 , 记作 y=Ax.
amn xn
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是 V 的一个规范正交基.
例如，
1 2
/ /
3 3
，
2 1/
/3 3
是
R2
的一个规范正交基.
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设 1，2， ，r 是向量空间 V 的一组规范正交基， 则向量 在这组基下的坐标向量的第 j 个分量为
[ , j ] ( j 1,2, ,r)
证
x1
设
(1， 2，
基
，
r
)
x2 xr
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二、正交向量组、规范正交基
1. 正交向量组
一组两两正交且不含零向量的向量组， 称为非零正交向量组.
定理 3 非零正交向量组是线性无关的.
证 设 1，2， ， s 是非零正交向量组，
即
(非零)
i，i iTi
0
(i, j 1,2, , s)
(正交) i， j iT j 0 (i j)
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1
0
解 Ax=O，得基础解系 1 0 , 2 1 .
1
1
1, 2 线性无关，且都与 正交.
再将1, 2 正交化：
1
取
1
1
0
,
1
2
2
[ 2 , [1,
1] 1]
1
1/ 2 1
1/ 2
于是， , 1, 2 是一个非零正交向量组.
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三、正交矩阵、正交变换
定义 6 若 A 为正交矩阵，则线性变换 y=Ax 称为正交变换.
正交变换的性质
设： n 维列向量 , 正交变换 A, A (A为正交矩阵)，
则向量的内积与长度以及向量间的夹角都保持不变.
即 A , A , ；
A ；
arccos A , A arccos ,
A A
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3. 向量的夹角
定义 3 规定 n 维向量 和 的夹角为 arccos [ , ]
根据定义，如果非零向量 , 的内积 [ , ] 0，则 夹角 =90o ；反之亦然. 因此 定理 2 非零向量 , 正交(或垂直)的充要条件是
[ , ] 0
说明 由于零向量与任何向量的内积为零，因此，也 可以说零向量与任何向量正交.
这是Ax=O 的解空间的一个基本性质.
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例2
已知 R3 中的两个向量
1
1 1,
2
1 2
正交，
1
1
求一个非零向量 3，使得1, 2, 3 两两正交.
分析 已知1, 2 相互正交，故只需求出与1, 2 都
正交的一个向量.
以1T
,
T 2
作为行向量构成矩阵
A
1T
T 2
1 1
1 2
证 a11
设
A
a22
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
，按列分块为
(1,2 ,
,n ),
ann
1T
1T1 1T2 1Tn
AT
A
2nTT (1,2,
,n)
2T1 nT1
2T 2
nT 2
2Tn
nT
n
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1
2 1
1 2
1
1
2 1
1 2 1
施密特正交化方法：
一组线性无关的非零向量 1，2， ，r
作特定的线性运算
与1，2， ，r 等价的正交单位向量组
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施密特正交化方法的基本步骤和思路：
设1，2， ，r 是一组线性无关的非零向量.
① 取 1 1
② 取 2 2 k211
求 k21，使得 2, 1 0，即 2 和 1正交.
, 2 2 2 即 , 2 [ , ][ , ]
(称为Cauchy-Schwarz不等式) 证 参见 附录 1 .
向量长度的性质：
① 0 , 等号成立当且仅当 O；(非负性) ② k k ； (齐次性) ③ (三角不等式)
性质①②显然成立，性质③的证明参见 附录 2 .
x11 x22 x2r
则 [ , j ] [x11 x坐2标2 向量x2r , j ]
x1[1, j ] x2[2, j ] xr[r , j ] 0 0 0 x j[ j , j ] 0 0 x j
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3. 施密特(Schimidt)正交化方法
b2
，
规定 和 的内积为
an
bn
, a1b1 a2b2 anbn
(即，对应分量的乘积之和)
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说明 (1) 当 和 都为列向量时(一般做法)，
b1
T
(a1,a2 ,
an
)
b2
a1b1 a2b2 anbn
bn
a1
T
(b1 , b2 ,
3
3 1
, ,
1 1
1
3 2
, ,
2 2
2
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④ 不断重复以上步骤，直到最后有
r
r
r 1
, ,
1 1
1
r 2
, ,
2 2
2
r
r,
1
r 1
, r1
r
1
通过①②③④的正交化步骤，得到正交向量组：
1，2， ，r (作为习，证明 1，2， ，r 都是非零向量)
最后，再将 1，2， ，r 单位化为 1，2， ，r ，
r
1
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再将得到的正交向量组 1，2， ，r 单位化：
1
1 1
,
2
2 2
,
,
r
r r
说明 (1) 正确的顺序是先正交化，再单位化. 这是因为：对一组线性无关的单位向量正交化后, 可能不再是单位向量.
(2) 向量空间的基一般不是规范正交基，但是可以通 过施密特正交化步骤，构造出一组规范正交基，这 称为：对基进行规范正交化.
1. 正交矩阵
定义 5 若 n 阶方阵 A 满足 ATA=E，则 A 为正交矩阵. 根据定义，容易证明如下正交矩阵的性质：
设 A, B 皆为 n 阶正交矩阵，则 ① A1 AT ; ② A1(即 AT) 也是正交矩阵； ③ AB 也是正交矩阵； ④ A 1或1;
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定理 4 A为 n 阶正交矩阵的充要条件是：A 的列向量 组是正交单位向量组.
④ [ , ] 0 ，等号成立当且仅当 0 .
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2. 向量的长度
a1
定义 2
设
n 维向量
a2 ,
an
规定 的长度(或范数)为
[ , ] a12 a22 an2
说明 (1) 若 1，则称向量 为单位向量.
(2) 任意非零向量 ，可通过长度进行单位化，
25/ 3
1/
3
3
3 3
1/ 2
3
8
0
1 /
2
返回 上页 下页
例4
已知
1 1,
1
求两个向量，与 共同构成非零正交向量组.
解 令矩阵 A T (1, 1, 1)，
建立方程组
Ax
O，即
( 1,
1,
1 )
x1 x2
0.
x3
( Ax O的解与 A 的行向量 T正交，亦即与 正交)
即
j
j j
( j 1,2, ,r)
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施密特正交化步骤 小结 ：
首先将线性无关的非零向量组 1，2， ，r 正交化：
令 1 1
2
2
2 1
, ,
1 1
1