第八章分式典型例题

合集下载

新人教版八年级数学分式典型例题

分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .⑴275x x -+； ⑵ 123x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹222xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？5a -； 234x +；3y y； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+.2、分式有，无意义，总有意义：例1：当x 时，分式51-x 有意义；例2：分式xx -+212中，当____=x 时，分式没有意义例3：当x 时，分式112-x 有意义。

例4：当x 时，分式12+x x有意义例5：x ，y 满足关系时，分式x yx y-+无意义；例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A ．122+x x B.12+x x C.133+x xD.25x x - 例7：使分式2+x x有意义的x 的取值范围为（）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2<x例8：要是分式)3)(1(2-+-x x x 没有意义，则x 的值为（）A. 2 B.-1或-3 C. -1 D.33、分式的值为零：例1：当x 时，分式121+-a a的值为0 例2：当x 时，分式112+-x x 的值为0例3：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例4：能使分式122--x xx 的值为零的所有x 的值是（）A 0=xB 1=xC 0=x 或1=xD 0=x 或1±=x例5：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2例6：若01=+aa,则a 是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：例1：aby a xy = ； z y z y z y x +=++2)(3)(6 ；如果75)13(7)13(5=++a a 成立,则a 的取值范围是________；例2：)(1332=ba ab )(cb acb --=+-例3：如果把分式ba ba ++2中的a 和b 都扩大10倍，那么分式的值（） A 、扩大10倍 B 、缩小10倍 C 、是原来的20倍 D 、不变例4：如果把分式yx x+10中的x ，y 都扩大10倍，则分式的值（） A ．扩大100倍 B ．扩大10倍 C ．不变 D ．缩小到原来的101 例5：如果把分式yx xy+中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例6：如果把分式yx yx +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例7：如果把分式xyyx -中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小21倍例8：若把分式xyx 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍例9：若x 、y 的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）A 、y x 23B 、223y xC 、y x 232D 、2323yx 例10：根据分式的基本性质，分式ba a--可变形为（） A b a a -- B ba a + Cb a a -- D b a a +-例11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ；例12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， 211xx x-+--= 。

初二数学分式练习题及答案

初二数学分式练习题及答案分式是数学中的重要概念，也是初中数学的基础知识之一。

在初中数学学习中，分式的运算是一个关键的内容。

为了帮助同学们更好地掌握分式的运算，以下将提供一些初二数学分式练习题及答案。

一、基础练习题1. 计算下列分式的值：(1) $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}$(2) $\frac{5}{7}-\frac{2}{7}$(3) $\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}$(4) $\frac{6}{13}\div\frac{2}{3}$2. 按照要求变换下列分式：(1) 化简：$\frac{4x^2-2x}{2x}$(2) 分解：$\frac{5}{xy}-\frac{7}{yx}$(3) 合并：$\frac{a}{b}\times\frac{b}{c}$(4) 变形：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$3. 求解方程：(1) $\frac{7}{10}x=\frac{35}{4}$(2) $\frac{5}{6}+\frac{x}{4}=\frac{7}{8}$(3) $\frac{3}{x}-\frac{2}{x-1}=\frac{5}{x(x-1)}$二、提高练习题1. 小明在旅行中用一辆摩托车以每小时40千米的速度行驶，计划经过$\frac{2}{5}$小时后休息10分钟，然后以每小时50千米的速度行驶到终点。

求小明旅行一段的总时间。

2. 甲，乙两个工程队共同进行一项工程，甲队完成全工程的$\frac{2}{5}$，乙队完成剩下的部分。

如果两队同时施工，还需6天可以完成全工程；如果只由甲队自行施工，需要10天完成全工程。

请问乙队自行施工需要多少天才能完成全工程？3. 甲、乙两人一起做一件工作，甲独立完成全工作需要8小时，乙独立完成全工作需要12小时。

他们两人合作完成全工作，需要多少小时？三、答案基础练习题答案：1.(1) $\frac{2}{3}+\frac{1}{6}=\frac{4}{6}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$(2) $\frac{5}{7}-\frac{2}{7}=\frac{3}{7}$(3)$\frac{3}{4}\times\frac{2}{5}=\frac{3\times2}{4\times5}=\frac{3}{10}$(4)$\frac{6}{13}\div\frac{2}{3}=\frac{6}{13}\times\frac{3}{2}=\frac{6}{13 }\times\frac{3}{2}=\frac{9}{13}$2.(1) 化简：$\frac{4x^2-2x}{2x} = \frac{2x(2x-1)}{2x}=2x-1$(2) 分解：$\frac{5}{xy}-\frac{7}{yx}=\frac{5}{xy}-\frac{7}{xy}=\frac{5-7}{xy}=-\frac{2}{xy}$(3) 合并：$\frac{a}{b}\times\frac{b}{c}=\frac{a\times b}{b\timesc}=\frac{a}{c}$(4) 变形：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{x+y}{xy}$ 通过分数的通分，两边同乘以$xy$得到等式$\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}=x+y$，化简得到$x+y=x+y$3.(1) $\frac{7}{10}x=\frac{35}{4}$，两边同乘以$\frac{10}{7}$得到等式$x=\frac{35}{4}\times\frac{10}{7}=\frac{25}{2}$(2) $\frac{5}{6}+\frac{x}{4}=\frac{7}{8}$，先通分得到等式$\frac{10}{12}+\frac{3x}{12}=\frac{7}{8}$，化简得到$\frac{10+3x}{12}=\frac{7}{8}$，两边同乘以12得到$10+3x=12\times\frac{7}{8}$，解方程得到$x=\frac{63}{8}$(3) $\frac{3}{x}-\frac{2}{x-1}=\frac{5}{x(x-1)}$，先通分得到等式$\frac{3(x-1)-2x}{x(x-1)}=\frac{5}{x(x-1)}$，化简得到$\frac{3x-3-2x}{x(x-1)}=\frac{5}{x(x-1)}$，整理得到$\frac{x-3}{x(x-1)}=\frac{5}{x(x-1)}$，可以得到方程$x-3=5$，解方程得到$x=8$。

《分式》典型练习题

分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义2、下列分式中，最简分式有（）题型二：考查分式有意义的条件1、当x有何值时，下列分式有意义题型三：考查分式的值为0的条件1、当x取何值时，下列分式的值为（1）（2）先0.(3)2x 2x 3~2x 5x 61、下列代数式中: x 1-，2x是分式的有:2 2 2 2 2 7 2223x x y m n m 1 a2ab bA • 2个B• 3个 C •4个D3、下列各式： a b x 3 5 y •3 2 1x 12x4 A.1个 B.2个 C.3个• 5个a b 1，电上,丄（x y）中，是分式的共有（）(1) (2) 3xx22 (3) 2x2 1(4)(5)1、、a b x2y2x ya3x y m2n2m 1 a22ab b2题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、( 1)当x 为何值时，分式—为正；8 x(2) 当X 为何值时，分式一5 % 2为负;3 (x 1)2(3) 当x 为何值时，分式—为非负数•x 3(二) 分式的基本性质及有关题型1 •分式的基本性质：A —B B M B M2 •分式的变号法则：二二 2 ab b b b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1)亠x y(2)(3)(1)(2)0.2a 0.03b 0.04 a b(3)0.4a -b5题型三：考查分式的性质1、若分式—y中X、y的值都增加到原来的3倍，则分式的值（）xA、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的- D 、是原来的-3 92 22、若分式-一匕中x、y的值都增加到原来的3倍，则分式的值（）xyA、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的- D 、是原来的-3 9题型三：化简求值题1、已知：--5，；x y求2x 3xy 2y的值.2 x 2xy y、已知：畀3，求2a 3ab 2b的值. b ab a3、已知：X 12，求}<x2厶的值. 4x、若|x y 1| (2x 3)20，求1的值4x 2y5、已知与互为相反数，代数式的值6、若a2 2a b 2 6b 10 0，求詐的值.7 、如果1 x 2，试化简泊月弓（三）分式的运算1 •确定最简公分母的方法：① 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ② 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕2.确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幕.题型一：通分1、将下列各式分别通分.（1） ____ b ____ ； ⑵ ____________________________ b —；2ab ，3a 2c ，5『c 'a b ，2b 2a ，题型二：约分 1、约分:22 2 2（1）；(2) ；(3) x 2 X 220 xym nx x 6(3)1 x2~2 ， 2， 2 x x12xxx x 2(4) a2,题型三：分式的混合运算 1、计算:（1）（乜）3 （―）2 （竺）4;c ab a题型四：化简求值题 1、先化简后求值2（1）已知：x 1，求分子1 -8 ［（Z 4 1）（丄丄）］的值; X 2 4 4x2 x(3)m 2n n mn 2m m n n m2(4)旦 a 1 ；a 1(5 )1 (x 1)(x 1)1 (X 1)(x 3)1 (x 3)(x 5)(6) x 2 4(x 2 4x 4x 2)x 2 2x (TT )求xy 2x2yz V 3xzz 2的值; (2)(x3a l)3(x 2 y题型五：求待定字母的值例、若12^X ——，试求M,N 的值.x1 x 1 x 1（四）、整数指数幕与科学记数法题型一：运用整数指数幕计算计算：（1）（a 2） 3 （be 1）3（ 2）（3x 3y 2z 1） 2 （5xy 2z 3）2题型二：化简求值题题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：(1)(3 10 3) (8.2 10 2)2 ； (2) (4 10 3)2 (2 10 2)3.(3)35[(a b) (a b) ]2 [2 4 ](a b) (a b)3(4) [(x y) (x2 2y) ] (xy)(5)(15) (5) 2 1 11 (1 -3)0(0.25)2007 42008【例2】已知x x5，求（1）x 2 x 2的值；（2）求x 4 x 4的值.（五）、分式中的变形求值x 2y 3 2y 3xy x已知2x 3xy 2y—，则——的值为x 2xyy5x y3 13、x — 型的: 变形x①若1 x 3，2则4 %2。

分式经典题型分类练习题

分式的运算（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x （3）x111+2．当x 为何值时，下列分式的值为零：（1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式（1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：化简求值题【例3】已知：511=+y x，求yxy x yxy x +++-2232的值. 提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出yx11+. 【例4】已知：21=-xx ，求221xx +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. 练习：1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.（1）yx yx 5.008.02.003.0+-（2）b a ba 10141534.0-+ 2．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.3．已知：311=-b a ，求aab b bab a ---+232的值.4．若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---. （三）分式的运算1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--；（2）a b b b a a 22,--；（3）22,21,1222--+--x x xx xx x ；（4）aa -+21,2题型二：约分【例2】约分：（1）322016xy y x -；（3）n m m n --22；（3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(xy x y y x y x a +-÷-⋅+；（3）mn mn m n m n n m ---+-+22；（4）112---a a a ；（5）874321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；（6）)5)(3(1)3)(1(1)1)(1(1+++++++-x x x x x x ；（7）)12()21444(222+-⋅--+--x x x x x x x 题型四：化简求值题【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值；（2）已知：432z y x ==，求22232zy x xzyz xy ++-+的值；（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值. 题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x ，试求N M ,的值. 练习：1．计算（1）)1(232)1(21)1(252+-++--++a a a a a a ；（2）a b abb b a a ----222；（3）ba c cb ac b c b a c b a c b a ---++-+---++-232；（4）b a b b a ++-22；（5）)4)(4(ba abb a b a ab b a +-+-+-；（6）2121111x x x ++++-；（7）)2)(1(1)3)(1(2)3)(2(1--+-----x x x x x x . 2．先化简后求值（1）1112421222-÷+--⋅+-a a a a a a ，其中a 满足02=-a a . （2）已知3:2:=y x ，求2322])()[()(yxx y x y x xy y x ÷-⋅+÷-的值.3．已知：121)12)(1(45---=---x Bx A x x x ，试求A 、B 的值. 4．当a 为何整数时，代数式2805399++a a 的值是整数，并求出这个整数值.（四）、整数指数幂与科学记数法题型一：运用整数指数幂计算【例1】计算：（1）3132)()(---⋅bc a（2）2322123)5()3(z xy z y x ---⋅（3）24253])()()()([b a b a b a b a +--+-- （4）6223)(])()[(--+⋅-⋅+y x y x y x题型二：化简求值题【例2】已知51=+-x x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.题型三：科学记数法的计算【例3】计算：（1）223)102.8()103(--⨯⨯⨯；（2）3223)102()104(--⨯÷⨯. 练习：1．计算：（1）20082007024)25.0()31(|31|)51()5131(⋅-+-+-÷⋅-- （2）322231)()3(-----⋅n m n m （3）23232222)()3()()2(--⋅⋅ab b a b a ab（4）21222)]()(2[])()(4[----++-y x y x y x y x2．已知0152=+-x x ，求（1）1-+x x ，（2）22-+x x 的值. 第二讲分式方程（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程（1）xx 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程（1）4441=+++x x x x ；（2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，61167++=++x x x .【例3】解下列方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+)3(4111)2(3111)1(2111x z z y y x 题型三：求待定字母的值【例4】若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：032>-=ax 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a . 题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c . 题型五：列分式方程解应用题练习：1．解下列方程：（1）021211=-++-x xx x ；（2）3423-=--x x x ；（3）22322=--+x x x ；（4）171372222--+=--+x x x x xx （5）2123524245--+=--x x x x（6）41215111+++=+++x x x x（7）6811792--+-+=--+-x x x x x x x x2．解关于x 的方程：（1）bxa211+=)2(a b ≠；（2）)(11b a x b b x a a ≠+=+. 3．如果解关于x 的方程222-=+-x x x k 会产生增根，求k 的值.4．当k 为何值时，关于x 的方程1)2)(1(23++-=++x x kx x 的解为非负数. 5．已知关于x 的分式方程a x a =++112无解，试求a 的值. （二）分式方程的特殊解法解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法例1．解方程：231+=x x 二、化归法例2．解方程：012112=---x x 三、左边通分法例3：解方程：87178=----xx x 四、分子对等法例4．解方程：)(11b a xb b x a a ≠+=+五、观察比较法例5．解方程：417425254=-+-x x x x六、分离常数法例6．解方程：87329821+++++=+++++x x x x x x x x七、分组通分法例7．解方程：41315121+++=+++x x x x（三）分式方程求待定字母值的方法例1．若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

初二分式练习题及答案

初二分式练习题及答案初二分式练习题及答案初二是学生们学习生涯中的一个重要阶段，也是他们逐渐进入高中阶段的过渡期。

为了帮助初二学生提高数学能力，下面将提供一些分式练习题及答案。

练习题一：1. 计算：$\frac{2}{3} + \frac{3}{4}$。

2. 计算：$\frac{5}{6} - \frac{1}{3}$。

3. 计算：$\frac{2}{5} \times \frac{3}{4}$。

4. 计算：$\frac{7}{8} \div \frac{2}{3}$。

5. 计算：$\frac{2}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{2}$。

答案一：1. $\frac{17}{12}$2. $\frac{1}{2}$3. $\frac{3}{10}$4. $\frac{21}{16}$5. $\frac{11}{30}$练习题二：1. 计算：$\frac{3}{5} + \frac{2}{7}$。

2. 计算：$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$。

3. 计算：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}$。

4. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{2}{3}$。

5. 计算：$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{3}$。

答案二：1. $\frac{29}{35}$2. $\frac{1}{4}$3. $\frac{1}{2}$4. $\frac{5}{4}$5. $\frac{7}{12}$练习题三：1. 计算：$\frac{4}{5} + \frac{3}{8}$。

2. 计算：$\frac{2}{3} - \frac{1}{6}$。

3. 计算：$\frac{1}{4} \times \frac{3}{5}$。

4. 计算：$\frac{5}{6} \div \frac{1}{2}$。

5. 计算：$\frac{2}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6}$。

人教版八年级数学分式知识点及典型例题

分式的知识点及经典题型1、分式的定义：例：下列式子中，y x +15、8a 2b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、y x +3、ma 1+中分式的个数为（）（A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 (D) 8 2、分式有，无意义，总有意义：注意：（12+x ≠0）例1：当x 时，分式51-x 有意义；例3：当x 时，分式112-x 有意义。

例4：当x 时，分式12+x x 有意义；例5：x ，y 满足关系时，分式x y x y -+无意义； 3、分式的值为零：例1：当x 时，分式112+-x x 的值为0 例2：如果分式22+-a a 的值为为零,则a 的值为( ) A. 2± B.2 C. 2- D.以上全不对例3：能使分式122--x x x 的值为零的所有x 的值是（） A 0=x B 1=x C 0=x 或1=x D 0=x 或1±=x例4：要使分式65922+--x x x 的值为0，则x 的值为（）A.3或-3 B.3 C.-3 D 2 例5：若01=+aa ,则a 是( ) A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数 4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

例1:c b c b --=+- C B C A B A ⋅⋅=C B C A B A ÷÷=()0≠C例2：如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例3：如果把分式yx y x +-中的x 和y 都扩大2倍，即分式的值（） A 、扩大2倍； B 、扩大4倍； C 、不变； D 缩小2倍例4：若把分式x y x 23+的x 、y 同时缩小12倍，则分式的值（）A ．扩大12倍B ．缩小12倍C ．不变D ．缩小6倍例5：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，=---05.0012.02.0x x ； 5、分式的约分及最简分式：例1：下列式子（1）y x y x y x -=--122；（2）ca b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ；（4）y x y x y x y x +-=--+-中正确的是（）A 、1个 B 、2 个 C 、 3 个 D 、 4 个例2：约分： =--2)(y x y x =-+22y x ay ax ；=++-1681622x x x ；=+-6292x x 23314___________21a bc a bc -= 232()3y x = （3222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛a b = 例3：分式3a 2a 2++，22b a b a --，)b a (12a 4-，2x 1-中，最简分式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6、分式的乘，除，乘方：乘法法测：b a ·d c =bd ac . 除法法则：b a ÷d c =b a ·c d =bcad 分式的乘方：求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(b a )n .分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：(ba )n =n nb a (n 为正整数) 7、分式的化简、求值12.，其中2m =-．3．然后从22x -≤≤范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．45x=26范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．7.化简，再求值：x 满足2320x x -+=．8、已经两未知量的关系求代数式的值1.已知：43=y x ，求xyx y xy y xy x y x -+÷+--2222222的值。

八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析

八年级数学分式章节知识点总结及典型例题解析1.分式的定义：分式是由分子、分母两个整式组成的表达式，分母不能为零。

例：下列式子中，有分式的是：$\frac{2x+1}{3xy^3a^{-b}5a^{-b}159a^{2}15xy^{11}}$、$\frac{8a^2b}{2}$、$\frac{1}{x-y}$、$\frac{4x-3y}{2x+y}$、$\frac{2}{b^2-5a^2}$、$\frac{-x-2xy^2}{x-7}$。

2.分式有意义和无意义：1）使分式有意义：令分母不等于零，解方程求解；2）使分式无意义：令分母等于零，解方程求解；注意：$(x+1)^2 \neq 0$ 有意义。

例如：分式$\frac{x-5}{2-x}$，当$x=2$时，分式无意义；当$x=5$时，分式有意义。

3.分式的值为零：使分式的值为零：令分子等于零且分母不等于零。

注意：当分子等于使分母等于零时，要舍去。

例如：分式$\frac{x^2-11}{x-2a}$，当$x=\sqrt{11}$时，分式的值为零。

4.分式的基本性质的应用：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于零的整式，分式的值不变。

例如：$\frac{A}{B}=\frac{AC}{BC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A/C}{B/C}$。

没有明显问题的段落，无需删除或改写。

1.如果成立，那么a的取值范围是什么？2.例2：求出33/(ab)的值。

3.例3：将分式(1-b+c)/(a(b-c))中的a和b扩大10倍后，分式的值会怎样变化？4.例4：将分式10x/(x+y)中的x和y都扩大10倍后，分式的值会怎样变化？5.例5：将分式xy/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？6.例6：将分式(x-y)/(x+y)中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？7.例7：将分式(x-y)/xy中的x和y都扩大2倍后，分式的值会怎样变化？8.例8：将分式2x/(x+3y)中的x和y都缩小12倍后，分式的值会怎样变化？9.例9：将分式3x^3/(2y^2)中的x和y都扩大2倍后，分式的值保持不变的是什么？10.根据分式的基本性质，分式(ABC-D)/(a-b)可变形为(a+b)(D-ABC)/(a-b)。

分式经典例题及答案

分式的性质一、知识回顾1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。

2、分式有意义、无意义的条件：①分式有意义的条件：分式的分母不等于0；②分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3、分式值为零的条件：当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0。

4、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

5、分式的通分：和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

6、分式的约分：和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。

约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

二、典型例题A．x=-2 B．x= 0 C．x=1或2 D．x=1分析：先根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．这种题一定要考虑到分母不为0.解答：∴{ x-1=0 ①{ x+2≠0 ②，解得x=1．故选D．___________________________________________________________ __________________________A．x=1B．x=-1 C．x=±1 D．x≠1分析：要使分式的值为0，一定要分子的值为0并且分母的值不为0．解答：由x2-1=0解得：x=±1，又∵x-1≠0即x≠1，∴x=-1，故选B．___________________________________________________________ __________________________A．x≠5 B．x≠-5 C．x＞5D．x＞-5分析：要使分式有意义，分式的分母不能为0．解答：∵x-5≠0，∴x≠5；故选A．___________________________________________________________ __________________________A．x＜2 B．x＜2且x≠-1 C．-1＜x ＜2 D．x＞2分析：易得分母为非负数，要使分式为正数，则应让分子大于0，分母不为0．解答：根据题意得：2-x＞0，且（x+1）2≠0，∴x＜2且x≠-1，故选B．___________________________________________________________ __________________________A．x＞0 B．x≥0 C．x≥0且x≠1 D．无法确定分析：分母x2-2x+1=（x-1）2，为完全平方式，分母不为0，则：x-1≠0时，要使分式的值为非负数，则3x≥0，由此列不等式组求解．解答：依题意，得{ 3x≥0 ①{ x-1≠0 ②，解得x≥0且x≠1，故选C．___________________________________________________________ __________________________例6：下列说法正确的是（）A．只要分式的分子为零，则分式的值为零B．分子、分母乘以同一个代数式，分式的值不变C．分式的分子、分母同时变号，其值不变分析：根据分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．解答：A、分式的分子为零，分母不为0，则分式的值为零，故错误；B、分子、分母乘以同一个不等于0的代数式，分式的值不变，故错误；C、正确；D、当x取任意实数时，分式（|2-x|+x）/2 有意义，故错误．故选C．___________________________________________________________ __________________________A．-7/2 B．7/2 C．2/7 D．-2/7分析：先把分式的分子、分母都除以xy，就可以得到已知条件的形式，再把1/x-1/y=3代入就可以进行计算．解答：根据分式的基本性质，分子分母都除以xy得，故选B．___________________________________________________________ __________________________分析：根据已知条件求出（a-b）与ab的关系，再代入所求的分式进行求值．___________________________________________________________ __________________________分析：设恒等式等于一个常数，求出x，y，z与这个常数的关系式，再进行证明．解答：解：则x=ka-kb，y=kb-kc，z=kc-ka，x+y+z=ka-kb+kb-kc+kc-ka=0，∴x+y+z=0．三、解题经验本节题目变化多端，我们要多做练习以积累经验，牢记分式有无意义的条件。

苏科版八年级数学下册：第八章分式(8.5).docx

2013.12一、选一选，看完四个选项再做决定！1．下列方程中是分式方程的有【】 ①54580-=x x ；②23231-=+x x ；③0)141(31=+x ；④x x 221=-. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．分式方程：xx 325=-的解是【】 A ．－3 B ．3 C ．2 D ．0 3．如果解分式方程14132=+--+x x x 出现了增根，那么增根可能是【】 A ．-2 B ．3 C ．3或－4 D ．-44．下列判断正确的是【】A ．解分式方程必定产生增根B ．若分式方程的根是零，则必是增根C ．解分式方程必须要验根D ．3=x 是方程3323-+=-x x x 的根 5．把分式方程xx x -=+-2122化为整式方程正确的是【】 A ．12-=+x B ．1)2(2=-+x xC ．1)2(2-=-+x xD ．12=+x6．解分式方程2236111x x x +=+--,分以下四步,其中,错误的一步是【】 A.方程两边分式的最简公分母是)1)(1(+-x xB.方程两边都乘以)1)(1(+-x x ,得整式方程6)1(3)1(2=++-x xC.解这个整式方程,得1=xD.原方程的解为1=x7．某食堂有煤a 吨，原计划每天用煤x 吨，实际每天用煤量是原计划的2倍，这样食堂的煤比原计划少用了4天，则所列方程为【】A ．42=-x a x aB ．42=-x a x aC ．42=+x a x aD ．42=+xa x a 8．在正数范围内定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝ba 11+，根据这个规则:x ☆23)1(=+x 的解为【】A ．32=xB ．1=xC ．32-=x 或1D ．32=x 或1- 二．填一填，要相信自己的能力！1． 2=x 方程452111=++-x x 的根（填是或不是）. 2．如果22)(b a x b a -=-的解是b a x +=，那么a 、b 的关系是 .3．若分式方程21=++ax x 的一个解是1=x ，则=a . 4．已知121--=t s s u )0(≠u ，t=____________________. 5．当=x 时，两分式44-x 与13-x 的值相等. 6．若1233k x x-=--有增根，则增根是，_________k =. 7．用换元法解方程134208222=+-+xx x x ，若设y x x =+42，则原方程可化为关于y 的整式方程为______________________.8．用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x 元，•则根据题意可列方程为________.2．设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？3．要使关于x 的方程)1)(2(121-+=--++x x a x x x x 的解是正数，求a 的取值范围.4．某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？四、探索创新，再接再厉！进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务.这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:你们是用9天完成4800米长的大坝加固任务的? 我们加固600米后,采用新的加固模式,这样每天加固长度是原来的2倍。

分式运算典型例题精解

分式性质及运算【基础精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例1】有理式（1）x 1；（2）2x ；（3）y x xy +2；（4）33yx -；（5）11－x ；（6）π1中，属于整式的有：；属于分式的有：。

. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零. (1) 例如，当x 为时，分式()()()322-++x x x 有意义．错解：3≠x 时原分式有意义． (2) 不要随意用“或”与“且”。

例如当x____时，分式有意义？错解：由分母，得3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制．当x 时，分式11－x x +有意义．当x 时，分式11－x x +无意义．当x 时，分式112－x x -值为0．二、分式的基本性质：1、分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. (1) 分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要正确理解分式的基本性质，并能熟练的运用它．理解分式的基本性质时，必须注意：①分式的基本性质中的A 、B 、M 表示的都是整式． ②在分式的基本性质中，M ≠0．③分子、分母必须“同时”乘以M (M ≠0)，不要只乘分子（或分母）．④性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。

但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． (2)注意：①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．②分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式【例3】下列变形正确的是（）．A ．a b a b c c -++=-; B ．a a b c b c -=--- C ．a b a ba b a b-++=--- D ．a b a b a b a b --+=-+- 【例4】如果把分式52xx y-中的,x y 都扩大3倍,那么分式的值一定( ) ．A.扩大3倍B.扩大9倍C. 扩大6倍D.不变 2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法,目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的基本性质.【例5】（1）化简222a b a ab -+的结果为（）A ．b a - B ．a b a - C ．a ba + D ．b -（2）化简2244xy y x x --+的结果（）A ．2x x + B ．2x x - C ．2y x + D ．2y x -（3）化简62962-+-x x x 的结果是（）A ．23+x B ．292+x C ．292-x D ．23-x3、通分通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积; 三、分式的运算 1、分式运算时注意：（1）注意运算顺序．例如，计算aaa a +-⋅+÷-31)3(11，应按照同一级运算从左到存依次计算的法则进行．错解：原式2)1(1)1(11a a a -=-÷-=（2）通分时不能丢掉分母．例如，计算11---x x x，出现了这样的解题错误：原式=11-=--x x ．分式通分是等值变形，不能去分母,不要同解方程的去分母相混淆；（3）忽视“分数线具有括号的作用”:分式相减时，若分子是多项式，其括号不能省略．（4）最后的运算结果应化为最简分式．2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法则. (1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解，当然有乘方运算要先算乘方，然后同其它分式进行约分；(3)再把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘； (4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式． 3、加减的加减1)同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减。

分式知识点及典型例题

分式知识点及典型例题一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

需要注意的是，分式的分母不能为 0，因为分母为 0 时，分式没有意义。

例如：＼（＼frac{x}｛y}＼），＼（＼frac{a ＋ b}｛c}＼）都是分式，而\（＼frac{3}｛5}＼）（分母不含有字母）就不是分式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。

即：对于分式\（＼frac{A}｛B}＼），当\（B ≠ 0\）时，分式有意义。

例如：对于分式\（＼frac{x ＋ 1}｛x 2}＼），要使其有意义，则\（x 2 ≠ 0\），即\（x ≠ 2\）。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0，即\（A ＝ 0\）；2、分母不为 0，即\（B ≠ 0\）。

例如：若分式\（＼frac{x 3}｛x ＋ 5}＼）的值为 0，则\（x 3 ＝ 0\）且\（x ＋5 ≠ 0\），解得\（x ＝ 3\）。

四、分式的基本性质分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

用式子表示为：＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A×C}｛B×C}＼），＼（＼frac{A}｛B} ＝＼frac{A÷C}｛B÷C}＼）（＼（C ≠ 0\））例如：＼（＼frac{2}｛3} ＝＼frac{2×2}｛3×2} ＝＼frac{4}｛6}＼），＼（＼frac{6}｛9} ＝＼frac{6÷3}｛9÷3} ＝＼frac{2}｛3}＼）五、约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子与分母的公因式。

例如：对分式\（＼frac{6x}｛9x^2}＼）进行约分，分子分母的公因式为\（3x\），约分后为\（＼frac{2}｛3x}＼）六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

苏科版八年级数学下册：第八章分式(8.3-8.4)

2013.12一、选择题：1. 化简22422b a a b b a+--的结果是（） A ．2a b --B ．2b a -C ．2a b -D ．2b a + 2. 分式111(1)a a a +++的计算结果是（） A ．11a + B ．1a a + C ．1a D ．1a a+ 3. 学完分式运算后，老师出了一道题“化简：23224x x x x +-++-” 小明的做法是：原式222222(3)(2)26284444x x x x x x x x x x x +--+----=-==----；小亮的做法是：原式22(3)(2)(2)624x x x x x x x =+-+-=+-+-=-；小芳的做法是：原式32313112(2)(2)222x x x x x x x x x x +-++-=-=-==++-+++．其中正确的是（） A ．小明 B ．小亮C ．小芳D ．没有正确的二、填空题4. 化简：224442x x x x x ++-=-- ． 5. 44-m －mm -4= 。

6. )4)(2(42+-+x x x x －422-+x x = 。

三、解答题：7. 计算：（1）b a b a 2532+＋b a b a 2532-－ba b a 252-；（2）y x y x 32--－x y x y 23--；（3）23+x ＋x -21＋422-x x （4）122-x x －x －18. 化简后求值：222y x xy y x y y x x ---++，其中2,5==y x 。

分式的乘除1. 化简2b a a a a b ⎛⎫- ⎪-⎝⎭的结果是（） A ．a b - B ．a b + C ．1a b - D ．1a b+ 2. 化简24()22a a a a a a ---+的结果是（）A ．4-B ．4C ．2aD ．2a - 3. 计算：a b a b b a a -⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭（） A ．a b b + B ．a b b - C ．a b a - D ．a b a+ 4. 化简：22221369x y x y x y x xy y+--÷--+＝_______ 5. a 、b 为实数，且ab =1，设P =11a b a b +++，Q =1111a b +++，则PQ= 。

八年级数学第八章分式典型例题

（3）：（4）．
解：由解：由
得．可知：无论取何值：．
注：“分式值为0”
注意第（4）题的解答．
3．指出下列分式变形过程的错误并改正：
（1）：
解：．
（2）：
解：．
注：添括号与去括号的方法．
4．已知：求分式的值．
解：由：
得．
注：“完全平方公式”的灵活运用：
：
等．
5．如果同时扩大到原来的10倍：
9．解分式方程：
解：
检验：把
代入：
所以是原方程的解．
注：分式方程的解的“检验”方法：不是代入
原方程的左边、右边！
1．求下列分式有意义的条件：
（1）：（2）：
（3）：（4）．
注意：与的区别．
2．求下列分式值为0的条件：
（1）：（2）：
（3）：
（4）写一个含：且无论取何值时：分式的值总不为0的分式．
则（1）分式：值不变．
（2）分式：值扩大到原来的10倍．
（3）分式：．
（4）分式：值扩大到原来的10倍．
注：分式基本性质的应用．
6．若：
求m、n的值．
解：由
∴可得
解得．
注：这种方法叫做“比较系数法”．
7．若关于x的方程无解：求m的值．
解：由题意可知：原方程有增根：且增根为：
且原方程可变形为：
7．若关于x的方程无解：求k的值．
解：
注意：“是解”或“有解”就代入的方法．
8．（1）已知：
求分式的值．
（2）若：：
求分式的值．
（3）若：
求分式的值．
注意：第（3）题用到“完全平方公式”．

2021年苏科版八年级第八章分式典型例题

(3) ；(4) ．
解:由解:由
得．可知，无论取何值，．
注:“分式值为0”
注意第(4)题的解答．
3．指出下列分式变形过程的错误并改正:
(1) ；
解: ．
(2) ；
解: ．
注:添括号与去括号的方法．
4．已知，求分式的值．
解:由，
得．
注:“完全平方公式”的灵活运用:
；
等．
5．如果同时扩大到原来的10倍，
9．解分式方程:
解:
检验:把
代入，
所以是原方程的解．
注:分式方程的解的“检验”方法，不是代入
原方程的左边、右边！
1．求下列分式有意义的条件:
(1) ；(2) ；
(3) ；(4) ．
注意: 与的区别．
2．求下列分式值为0的条件:
(1) ；(2) ；
(3) ；
(4)写一个含，且无论取何值时，分式的值总不为0的分式．
第八章分式
典型例题
相关练习
1．求下列分式有意义的条件:
(1) ；(2) ；
解:由，解:由，
得．得．
(3) ；(4) ．
解:由，解:由，
得．得为任意实数．
注:“分式有意义” “分母”≠0；
注意第(4)题的解答．
2．求下列分式值为0的条件:
(1) ；(2) ；
解:由解:由
得．得．
解:
注意:重视这种方法！
7．若关于x的方程无解，求k的值．
解:
注意:“是解”或“有解”就代入的方法．
8．(1)已知，
求分式的值．
(2)若，，
求分式的值．

八年级数学分式方程的典型例题优秀课件

速度
3x x
时间
150 3x 250 x
四、分式方程的实际应用
1、从甲到乙乘坐高铁路程为150千米，乘坐普通列车的路程为 250千米。高铁的平均速度是普通列车平均速度的3倍，高铁的乘车时间比普通列车的乘车时间缩短了2小时，高铁的平均速度是每小时多少千米？
解. 设普通列车的平均速度是 x km/h，
则高铁的平均速度是 3x km/h
由题意得
250 150 2 x 3x
解得 x 100
检验：当 x 100 时， 3x 0
所以原分式方程的解是 x 100 3x 100
答：高铁的平均速度是300km/h。
2、甲、乙两船从相距300 km的A，B两地同时出发相向而行，甲船从A地顺流航行180 km时与从B地逆流航行的乙船相遇，水流的速度为6 km/h，假设甲、乙两船在静水中的速度均为x km/h，那么求两船在静水中的速度。
x的方程
x3
k
1
x 2 (x 1)(x 2)
的解是负数，求
k 的取值范围．
解. 方程两边同时乘 (x 1)(x 2) 得 (x 1)(x 3) k (x 1)(x 2) 化简得 x2 2x 3 k x2 x 2 解得 x k 1
∵方程的解是负数，且 x 1 0、x 2 0 ∴ x 0且x 1、x 2 ∴ k 1 0且k +1 1、k 1 2 ∴解得 k 1且k 0、k 3
2400+840
3240 0.9x
由题意得 3240 2400 =30 解得 x 40 0.9x x
4、某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为
2 400元.为扩大销量减少库存，4月份在3月份的售价根底上打9折销售，结果销