函数的单调性(定义法)

函数的单调性
知识点：
1.函数单调性定义
(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内
是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.
(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)
x1−x2
＞0⇔
f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)
x1−x2
＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.
(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)
2.复合函数的单调性：
3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+b
cx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +b
x
(ab≠0)
例1.多种方法判断下列函数的单调性：
(1).f(x)=x + 1
x x∈(0,1)(2).y=x−1
x
x∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;
(4).f(x)=
ax
x²−1
，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R
例2.(1).已知f(x)=x
（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的
x−a
在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=a
x+1
范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax
（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则
a−1
实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。