数值分析.(误差分析)
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
数值分析例题和知识点总结
数值分析例题和知识点总结数值分析是一门研究如何用计算机求解数学问题数值解的学科，它在科学计算、工程技术、金融经济等领域都有着广泛的应用。
为了更好地理解和掌握数值分析的知识，下面将通过一些例题来对常见的知识点进行总结。
一、误差分析误差是数值分析中一个非常重要的概念。
误差分为绝对误差、相对误差和有效数字。
绝对误差：设某量的准确值为$x$，近似值为$x^＄，则绝对误差为$｜x x^｜＄。
相对误差：相对误差是绝对误差与准确值的比值，即$＼frac{｜xx^｜｝｛｜x|｝＄。
有效数字：若近似值$x^＄的绝对误差限是某一位的半个单位，该位到$x^＄的第一位非零数字共有$n$位，则称$x^＄有$n$位有效数字。
例如，＄＼pi$的近似值为 314，准确值约为 31415926，绝对误差为$｜31415926 314| ＝ 00015926$，相对误差为$＼frac{00015926}｛31415926} ＼approx 0000507$，314 有 3 位有效数字。
二、插值法插值法是数值分析中的一种基本方法，用于通过已知的数据点来构造一个函数。
1、拉格朗日插值已知$n ＋ 1$个互异节点$（x_0, y_0)，（x_1, y_1)，＼cdots, （x_n, y_n)＄，拉格朗日插值多项式为：＄L_n(x) ＝＼sum_{i ＝ 0}＾n y_i l_i(x)＄其中，＄l_i(x) ＝＼frac{＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x x_j)｝｛＼prod_{j ＝ 0, j ＼neq i}＾n （x_i x_j)｝＄例如，已知点$（1, 2)＄，＄（2, 3)＄，＄（3, 5)＄，求插值多项式。
设$L_2(x) ＝ y_0 l_0(x) ＋ y_1 l_1(x) ＋ y_2 l_2(x)＄＄l_0(x) ＝＼frac{（x 2)（x 3)｝｛（1 2)（1 3)｝＝＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3)＄＄l_1(x) ＝＼frac{（x 1)（x 3)｝｛（2 1)（2 3)｝＝（x 1)（x 3)＄＄l_2(x) ＝＼frac{（x 1)（x 2)｝｛（3 1)（3 2)｝＝＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄则$L_2(x) ＝ 2 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 2)（x 3) ＋ 3 ＼times （x1)（x 3) ＋ 5 ＼times ＼frac{1}｛2}（x 1)（x 2)＄2、牛顿插值牛顿插值多项式为：＄N_n(x) ＝ fx_0 ＋ fx_0, x_1(x x_0) ＋ fx_0, x_1, x_2(x x_0)（xx_1) ＋＼cdots ＋ fx_0, x_1, ＼cdots, x_n(x x_0)（x x_1) ＼cdots （xx_{n 1}）＄其中，均差$fx_0, x_1, ＼cdots, x_k ＝＼frac{fx_1, x_2, ＼cdots, x_k fx_0, x_1, ＼cdots, x_{k 1}｝｛x_k x_0}＄三、数值积分数值积分用于计算定积分的近似值。
数值积分算法误差分析
实验名称：数值积分算法误差分析1.实验原理1) 欧拉法原理在数学和计算机科学中，欧拉方法(Euler method)命名自它的发明者莱昂哈德•欧拉，是一种一阶数值方法，用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)求解。
它是一种解决常微分方程数值积分的最基本的一类显型方法(Explicit method) 。
微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。
实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。
欧拉(Euler)算法是数值求解中最基本、最简单的方法，但其求解精度较低，一般不在工程中单独进行运算。
所谓数值求解，就是求问题的解y(x)在一系列点上的值y(xi)的近似值yi。
对于常微分方程：J = f (x,y),x [a,b]dxy(a) = yO可以将区间[a,b]分成n段，那么方程在第X i点有y'( X i)=f(X i,y(xJ)，再用向前差商近似代替导数则为：(血1叮皿))"阳畑)) h，在这里，h是步长，即相邻两个结点间的距离。
因此可以根据xi点和yi点的数值计算出y i+1来：洪门—②”九亍93沁二i=0,1,2丄这就是欧拉格式，若初值y +1是已知的，则可依据上式逐步算出数值解屮,y2丄。
1)龙哥库塔法原理数值分析中，龙格—库塔法(Runge-Kutta )是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家卡尔•龙格和马丁•威尔海姆•库塔于1900年左右发明。
龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“ RK4或者就是“龙格库塔法”。
该方法主要是在已知方程导数和初值信息，利用计算机仿真时应用，省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题表述如下。
y = /(t.y), y(to) = yo则，对于该问题的RK曲如下方程给出：hVn^-l = Vn+ 詁局I 4 2鬲+ 如其中^1 == f(bl i Urt + gkj血3 = f £n + £, Un I £爲)呛=f (tn + k伽+ h如这样，下一个值(y n+i)由现在的值(y n)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。
数值分析 误差知识与算法知识
一、误差的来源与分类 二、 绝对误差、相对误差与有效数字
三、误差估计的基本方法
四、算法的计算复杂性 五、数值运算中的一些原则
1.2误差知识与算法知识
一、误差的来源与分类 模型误差 (描述误差 ) ( 测量误差) (方法误差 ) ( 计算误差 )
观测误差
截断误差 舍入误差
建模过程中 产生的误差
三、误差估计的基本方法 （一）误差估计的一般运算 一元函数：
e( f (a)) f (a) e(a)
二元函数：
( f (a)) f (a) (a)
f (a, b) f (a, b) e( f (a, b)) e(a) e(b) x y
f (a, b) f (a, b) ( f (a, b)) ( a) (b) x y
Tn an 秦九韶算法 Tk xTk 1 ak , k n 1, n 2,,1,0 p ( x) T 0 n
加法次数： n
n(n 1) 乘法次数： 2
pn ( x) a0 x(a1 x(a2 x(an1 xan ) )
有效数字=可靠数字+存疑数字
（3）有效数字 有效数字的定义： 设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即
则称近似值a准确到小数点后第k位。 从这个小数点后第k位数字直到最左边非零数 字之间的所有数字都叫有效数字。
1 k x a 10 2
1 1 2 (2.18) 10 (2.1200) 10 4 2 2
例8 设有三个近似数
a=2.31, b=1.93, c=2.24 它们都有三位有效数字,试计算 p a bc, ( p), r ( p), 并问:p的计算结果能有几位有效数字? 教材例4
数值分析中的复化梯形法误差分析
数值分析中的复化梯形法误差分析数值分析中的复化梯形法误差分析在数值分析中，复化梯形法是一种常用的数值积分方法。
它使用梯形规则进行近似求解定积分，通过将定积分区间分割成若干个小区间，并在每个小区间上使用梯形规则进行求解，最后将各个小区间上的积分结果相加得到整个定积分的近似值。
本文将对复化梯形法进行误差分析。
1. 复化梯形法原理复化梯形法的原理是将定积分区间[a, b]等分为n个小区间，令h=(b-a)/n为小区间长度，梯形法的近似结果T可以表示为：T = h/2 * (f(a) + 2*f(x1) + 2*f(x2) + ... + 2*f(x(n-1)) + f(b))其中，f(x)为被积函数在x点处的取值。
2. 复化梯形法误差分析复化梯形法的误差主要包括局部误差和全局误差。
2.1 局部误差在每个小区间上，我们使用梯形规则进行积分计算，其误差可以通过泰勒展开进行推导。
设f(x)在[a, b]区间上具有充分高阶连续导数，则对于每个小区间[xk, x(k+1)]，我们有如下局部误差公式：E_local = - (h^3/12) * f''(ξ)其中，ξ为[xk, x(k+1)]上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。
2.2 全局误差全局误差是指整个区间[a, b]上的积分近似与真实积分之差。
复化梯形法的全局误差可以通过对各个小区间上的局部误差进行累加得到。
假设积分的真实值为I，则全局误差E_global可以表示为：E_global = (b-a) * (h^2/12) * f''(ξ)其中，ξ为[a, b]区间上的某点，f''(ξ)为f(x)的二阶导数在ξ点的取值。
3. 误差分析实例为了更好地理解复化梯形法的误差特点，我们以一个具体的例子进行分析。
考虑定积分∫(0, 1)sin(x)dx的近似求解，将积分区间等分为4个小区间进行计算。
数值分析第一章实验 误差分析
1. 计算11n x nI ex e dx -=⎰(n=0,1,2,……)并估计误差。
由分部积分可得计算n I 的递推公式111101,1,2,e 1.nn x I nI n I e dx e ---=-=⎧⎪⎨==-⎪⎩⎰……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 12,,I I …的值。
要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和21(1)(1)1(1),2!!ke k ---≈+-+++…并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差14711|0.3679|108!4R e --=-≤<⨯.计算过程中小数点后第5位的数字按四舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。
当初值取为000.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 010.6321A 1nn I I nI -⎧=⎨=-⎩ （），n=1,2，…。
计算结果见表1的n I 列。
用0I 近似0I 产生的误差000E I I =- 就是初值误差，它对后面计算结果是有影响的.表1 计算结果从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。
实际上，由积分估值得111110001011(im )(max)11x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++⎰⎰ （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。
这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n nE I I =- 满足关系1,1,2,n n E nE n -=-=….由此容易推得0(1)!n n E n E =-，这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。
例如，n=8，若401||102E -=⨯，则80||8!||2E E =⨯>。
数值分析实验 误差分析
数值分析实验误差分析一、引言数值分析是研究用数值方法处理数学问题的学科。
在数值计算中，由于测量误差、近似误差、截断误差和舍入误差等因素的影响，计算的结果与实际值可能存在一定程度的误差。
因此，在进行数值分析实验时，正确评估误差是非常重要的。
本文将从误差类型、误差分析方法等方面进行详细介绍。
二、误差类型1.测量误差。
由于测量仪器的制造、使用环境等因素的影响，测量结果与实际值之间存在偏差，这就是测量误差。
常见的测量误差有系统误差和随机误差。
其中，系统误差是由测量仪器本身的固有误差造成的偏差，随机误差则是由于测量仪器使用条件的不同而产生的偏差。
2.近似误差。
由于迫于计算机存储空间和运算精度的限制，数值计算中通常采用有限的、近似的算法来求解问题。
因此，近似误差是计算方法本身的误差所引起的。
3.截断误差。
因为在有限步数之内求解无限级数或积分等问题是不可能的，所以在实际计算中只能取一定的计算级数或增量来作为代替。
这样，在运算的过程中，我们总是保留最后一位是四舍五入到一定的位数。
这样，由于省略了无限级数的其余项，计算结果与实际值之间产生的误差就是截断误差。
4.舍入误差。
计算机表示数字的位数是有限的，当我们将一个实数舍入到有限的位数时，就会导致计算结果与实际值之间的差距，这就是舍入误差。
三、误差分析方法误差分析是数值分析实验中最基本的计算过程之一，而误差分析所依据的便是数学中的数值分析的基本原理。
对于数值分析实验中所产生的误差而言，目前主要有以下几种误差分析方法：维恩积分估计法、泰勒展开法、拉格朗日插值法等。
1.维恩积分估计法。
利用维恩积分估计法，可以粗略地估计出误差大小的上下限。
该方法的基本思想是：先根据计算结果求出解析解，然后在得到的解析解处求出其导数或高阶导数，再根据误差项的表达式，得到误差估计表达式，从而计算误差的上下界。
2.泰勒展开法。
利用泰勒展开法，可以把计算值的误差展开成某一阶导数之差的形式。
通过泰勒展开公式对计算结果做二阶近似展开，然后把相应的二阶导数用实际值代替即可。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
原题目：讨论数值分析第五版中的误差分析方法
数值分析是解决实际问题中的数学方法，但由于测量仪器的不确定性、四舍五入误差、截断误差等因素造成了误差。
本文将讨论数值分析第五版中的误差分析方法。
误差主要分为绝对误差和相对误差。
- 绝对误差表示为 $E_a = |x - x_0|$
- 相对误差表示为 $E_r = |x - x_0|/|x_0|$
而数值分析中的误差主要分为舍入误差和截断误差：
- 舍入误差：计算时需要将无限小数缩小，所得的有限小数即为舍入误差。
- 截断误差：数值分析方法需要将所选的计算公式在某些地方进行近似，所得结果与精确解之差即为截断误差。
在实际数值分析中，误差的控制非常重要，因为误差可能会对
最终的计算结果产生很大影响。
数值分析中有很多减小误差的方法，比如增加小数位数、选择合适的计算公式和算法等等。
在实际应用中，要注意以下事项：
- 尽量避免使用不同原理的仪器测量或者使用测量范围不同的
仪器测量。
- 合理判断和控制误差对计算结果的影响。
- 遵循科学测量的要求，确保测量结果真实可靠，如果实验数
据存在异常，应根据科学理论和实验规律分析异常产生的原因，选
择合适的方法处理。
因此，在数值分析中，通过合理分析误差因素的影响，在实验
设计、计算方法选择等方面坚持精益求精，不断提高数值分析水平，是获取精确结果的重要途径。
数学中的数值分析近似计算与误差分析的数学方法
数学中的数值分析近似计算与误差分析的数学方法近似计算和误差分析是数值分析中的重要部分，它们在解决实际问题和验证数学理论的过程中起着关键的作用。
本文将介绍数值分析中常用的近似计算方法和误差分析方法。
一、近似计算方法近似计算方法是数值分析中常用的技术，用于求解无法直接得到精确解的数学问题。
下面将介绍几种常见的近似计算方法。
1.1 泰勒级数展开法泰勒级数展开法是一种常用的近似计算方法，它基于泰勒公式，通过对函数进行级数展开来逼近函数的近似值。
泰勒级数展开法在数学物理问题中得到广泛应用，尤其在求解微分方程和积分问题时表现出很好的效果。
1.2 插值法插值法是一种通过已知数据点建立一个函数，使得该函数通过这些数据点，从而在未知数据点处获得近似值的方法。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值，它们在数值逼近和函数逼近的问题中起着重要作用。
1.3 数值积分法数值积分法是一种近似计算定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间，然后采用数值求和的方法来近似计算积分结果。
数值积分法有梯形法则、辛普森法则等多种形式，可以用于求解一维和多维积分问题。
二、误差分析方法误差分析是数值分析中的重要内容，用于分析近似计算所引入的误差以及影响问题解的因素。
下面将介绍几种常用的误差分析方法。
2.1 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差是常用的误差表示方法。
绝对误差是近似值与精确值之间的差值，而相对误差则是绝对误差与精确值之间的比值。
这两种误差表示方法能够客观地评估近似计算的准确性。
2.2 截断误差和舍入误差截断误差和舍入误差是数值计算中常见的误差类型。
截断误差来源于近似计算公式中的截断项，而舍入误差是由计算机对浮点数进行舍入所引入的误差。
对于复杂的数值计算问题，需要综合考虑截断误差和舍入误差的影响。
2.3 稳定性和条件数稳定性和条件数是评估数值算法性能的重要指标。
稳定性评估算法对输入数据扰动的敏感性，而条件数则是评估问题本身对输入扰动的敏感性。
数值分析中的误差分析
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
E ( x) = x − X x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效数字 为了能给出一种数的表示法，使之能表示其 大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析与收敛性
数值分析中的误差分析与收敛性数值分析是一门研究使用计算机进行数值计算的学科，它广泛应用于工程、科学和金融等领域。
在数值计算中，误差分析和收敛性是两个重要的概念。
本文将深入探讨数值分析中的误差分析和收敛性，并介绍它们的应用和意义。
一、误差分析在数值计算中，由于使用的是有限的计算机资源和近似的计算方法，无法得到完全准确的结果。
因此，误差分析成为一项必不可少的工作。
误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指数值计算的结果与真实值之间的差别，常用符号表示为Δx。
相对误差是指绝对误差与真实值之比，常用符号表示为εx。
绝对误差和相对误差可以通过以下公式计算：绝对误差：Δx = |x - x*|相对误差：εx = |(x - x*)/x*|其中，x表示近似值，x*表示真实值。
误差分析的目的是评估数值计算的精度和稳定性。
当误差较小且符合预期范围时，可以认为数值计算结果是可靠的。
二、收敛性在数值分析中，收敛性是指使用逼近方法得到的数值序列逐渐接近于准确值的性质。
收敛性分析是评估逼近方法有效性的重要手段。
常见的收敛性准则包括绝对收敛和相对收敛。
绝对收敛是指逼近序列的差值趋近于零，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，对于所有n>N，有|xn+1 - xn| < ε。
相对收敛是指逼近序列的比值趋近于一，即对于任意给定的正数ε，存在正整数N，对于所有n>N，有|(xn+1 -xn)/xn| < ε。
收敛性分析可以帮助我们评估数值计算方法的有效性和稳定性。
当逼近序列满足收敛准则时，可以认为该方法是可靠且收敛的。
否则，需要重新评估和改进计算方法。
三、误差分析与收敛性的应用误差分析和收敛性是数值分析中不可或缺的工具，其应用广泛且重要。
1. 误差分析在数值模拟中的应用数值模拟是利用数值方法来模拟和求解物理问题的过程。
在数值模拟中，误差分析可以帮助我们判断计算结果的可靠性，评估模拟的精度和稳定性。
通过分析误差来源和大小，可以优化计算方法，提高模拟结果的准确性。
误差分析基础
如3.14159…，当四舍五入后，有3.14,半单位有效值为0.005= ×10-2大于等于0.000159…，固有3位有效数字，m=3，n=2。
相对误差限公式
x*具有n为有效数字，εr*≤ ×10-（n-1）。
若εr*≤ ×10-（n-1），则x*至少具有n为有效数字。
【例】
要使 近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
ε（A*）≈ 。
εr（A*）≈
【例】
l*=110m,d*=80m,εl*≤0.2m，εd*≤0.1m，s=ld，
有εs≈ εl*+ εd*=d*εl*+l*εd*=27m2
εrs≈εs/s*=27/8800=0.3*，误差为 ，函数值f（x*）的相对误差=
数值分析，第一章
1，相对误差和绝对误差
e*=x*-x;
er*= 估计值
2，误差限和相对误差限
ε*≥
εr*=
3，有效数字
官方定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零有效数字共有n位，就说x*有n位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an×10-（n-1））=±a1.a2a3…an。其中ai为0至9中之一，a1不为0，m，n都是整数。
4，数值运算的误差估计
ε（x1*± x2*）≤ε（x1*）+ε（x2*）
ε（x1*x2*）≤ ε（x2*）+ ε（x1*）
ε（x1*/x2*）≤ ，x2*≠0
泰勒展开f（x*）的误差限ε（f（x*））≈ ε（x*）
多元函数误差限：A=f（x1， x2，…，xn）当x1，x2，…，xn取近似值x1*，x2*，…，xn*时，f（x1*， x2*，…，xn*）=A*，e（A*）≈ (xk*-xk)= *ek*。
《数值分析》第一章 数值计算中的误差
值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。
14
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y 经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝 对误差限、相对误差限各是多少？
解： (a) 0.005 0.5 102
(b) 0.00005 0.5104
n位
≤ 0 . 0 … 0 999... < 0 . 0 … 0 1=1×10－n
n位
n-1位
• 截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位 的1个单位。
11
§2 舍入方法与有效数字
2.2 舍入方法
2.2.2四舍五入法
• 四舍情况，
A=a0 a1 … am . am+1 … am+n
• 当am+n+1 =0,1,2,3,4时，
4
§2 舍入方法与有效数字
5
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 近似数a的绝对误差 ， 简称误差 设a是精确值A的近似值，
=a－A
• 绝对误差限 ||=|a－A|<(上界)
• 由上式可推知 a－ <A<a+，也可表示为A=aAFra biblioteka-a
a+
6
§2 舍入方法与有效数字
2.1 绝对误差与相对误差
• 相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 • 实际计算/a。
代替后误差
a A 1 2
A a Aa
Aa
• 相对误差限 ||=|/a |< /|a|＝ (上界)
• 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时 亦用百分比、千分比表示。
数值分析中的误差分析方法
数值分析中的误差分析方法数值分析是一门研究离散数据逼近和连续函数求解的学科，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值计算过程中，误差是不可避免的，因此准确评估和分析误差是至关重要的。
本文将介绍数值分析中常用的误差分析方法，以帮助读者更好地理解误差来源和影响，从而提高数值计算的准确性和可靠性。
一、绝对误差和相对误差绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的差异。
在数值分析中，我们往往无法得知真实值，因此无法直接计算绝对误差。
相对误差则是相对于近似值的误差，它可以更好地反映计算结果的准确性。
二、截断误差截断误差是由于采用有限的计算步骤或取舍了一些无限级数的项而引入的误差。
在数值计算中，我们通常使用近似方法，如级数展开和数值积分等。
由于截断误差的存在，我们得到的结果与真实值之间会有一定的差距。
截断误差的大小取决于所采用的数值方法和步长，可以通过逐步减小步长来减小截断误差。
三、舍入误差舍入误差是由于对无限精度数进行有限舍入导致的误差。
计算机中的数值表示是有限的，而真实数值通常是无限的。
因此，在计算机中进行数值计算时，会存在一定程度的舍入误差。
舍入误差可以通过采用更高精度的数据类型或者使用舍入误差分析技术来减小。
四、传播误差传播误差是由于输入数据的不确定性或测量误差在数值计算过程中扩散而引入的误差。
在实际问题中，输入数据通常带有不确定性，例如测量误差或近似值。
这些不确定性会随着计算的进行而传播，影响到计算结果的准确性。
传播误差需要通过敏感性分析等方法来进行评估和控制。
五、误差估计误差估计是通过数值分析方法来评估近似解与真实解之间的误差。
常用的误差估计方法包括残差估计、收敛性分析和算例分析等。
残差估计法通过计算数值解与原方程的残差来估计误差的大小。
收敛性分析则通过逐步减小步长和比较不同精度下的数值解来判断数值方法是否收敛。
算例分析是通过计算实际问题的已知解或近似解来评估数值方法的误差。
六、误差限制和误差控制误差限制和误差控制是保证数值计算结果准确性和可靠性的重要手段。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
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第一章 绪论与误差分析
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本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
数值分析误差及分析
数值分析误差及分析数值分析是一种通过数学方法和计算机模拟来处理和解决实际问题的方法。
然而，由于计算机的运算能力和存储能力有限，以及问题本身的复杂性，数值分析往往会引入一定的误差。
误差是指数值计算结果与真实值之间的差异，它分为截断误差和舍入误差两种类型。
截断误差是由于在数值分析过程中对无限小量和无限级数的截取而产生的误差。
无限小量是指小到可以忽略不计的量，无限级数是指由无限多个项相加的数列。
在实际计算过程中，为了获得可计算的结果，人们往往只考虑有限项的计算，这就导致了截断误差的出现。
截断误差的大小与问题本身的性质以及截止条件的选择有关。
舍入误差是由于计算机内部的浮点数表示方式而引入的误差。
计算机内部使用有限的位数来表示实数，这就不可避免地导致了浮点数的精度问题。
当计算结果需要表示的位数超过了计算机所能表示的范围时，就会发生舍入误差。
舍入误差的大小与计算机的表示精度以及计算过程中的计算次数有关。
为了减小误差，提高数值分析的精度，可以采取以下方法：1.增加计算机的位数：增加计算机的位数可以扩大浮点数的表示范围，从而减小舍入误差的发生概率。
2.使用更高精度的数据类型：在一些特殊情况下，为了提高计算结果的精度，可以使用更高精度的数据类型，如使用双精度浮点数代替单精度浮点数。
3.改进算法：优化算法可以减小截断误差的影响，例如使用数值积分的自适应算法、迭代法等。
4.选择合适的截止条件：在数值分析过程中，需要选择适当的截止条件。
截止条件的选择既不应过于严格，以免造成大的截断误差，也不应过于宽松，以免在计算机内部引入较大的舍入误差。
5.进行误差分析：在数值分析过程中，应该对误差进行分析和估计。
可以通过理论方法、数值试验和统计方法等途径来估计误差的上界或下界，从而评估计算结果的可靠性。
总而言之，数值分析误差是不可避免的，但可以通过增加计算机位数、改进算法、选择合适的截止条件、使用高精度数据类型和进行误差分析等方法来减小误差，提高数值分析的精度和可靠性。
数值分析的名词解释
数值分析的名词解释数值分析是一门研究使用数值方法解决数学问题的学科。
它通过将数学问题转化为数值计算的形式，利用计算机进行求解。
数值分析常被应用于物理学、工程学、经济学等领域，它在实际问题的建模与求解中发挥着重要的作用。
一、插值与外推在数值分析中，插值与外推是重要的概念。
插值是指通过已知数据点来估计未知数据点之间的值。
对于一些实际问题，我们无法直接得到连续函数的所有取值，而只能通过有限个数据点进行估计。
通过插值方法，我们可以根据已知数据点推算出两个数据点之间的值。
外推则是将已知数据点的估计结果延伸到未知数据点的估计。
插值和外推可以帮助我们在有限数据条件下获得更完整的信息，进而做出准确的预测。
二、数值积分数值积分是数值分析中常见的任务之一。
积分是数学中一个重要的概念，用于描述曲线和曲面的面积、曲线的长度等。
在实际问题中，我们往往需要对复杂的函数进行积分，而解析求解往往困难重重。
此时，数值积分的方法就可以派上用场了。
数值积分使用离散的点来近似曲线下的面积，从而获得积分的近似值。
不同的数值积分方法在精度和计算复杂度上有所不同，根据不同的问题需求选择合适的数值积分方法非常重要。
三、线性代数方程组求解线性代数方程组是数值分析中的重要问题之一。
在许多科学和工程领域中，我们常常需要解决大规模的线性方程组。
然而，直接求解线性方程组往往需要巨大的计算量和内存空间，因此，数值分析中研究如何高效地求解线性方程组就显得尤为重要。
常用的方法包括直接法和迭代法。
直接法包括高斯消元法、LU分解等，而迭代法可以通过迭代逼近的方式不断优化解的精度，例如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
在实际求解中，我们常常需要根据问题的特点选择最适合的方法。
四、数值微分方程微分方程是描述自然现象变化规律的重要数学工具。
数值分析中的数值微分方程求解问题是研究如何使用计算机近似求解微分方程。
这在许多科学和工程领域中具有重要应用。
常见的数值微分方程求解方法包括欧拉方法、龙格-库塔方法等。
数值分析知识点总结
数值分析知识点总结一、绪论数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。
它广泛应用于科学、工程、医学等领域。
在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。
数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。
二、误差分析误差分析是数值分析中的一个重要概念。
它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。
在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。
常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。
三、插值与拟合插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。
插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。
拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。
常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。
对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。
迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。
直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。
在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。
五、微分方程求解微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。
在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。
常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。
对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。
六、总结数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。
在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。
在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。
随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。
因此，数值分析的学习和应用具有重要意义。
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今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在， 今天计算在科学和工程研究中几乎已无所不在，计算 数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、 数学正是这许多交叉学科的纽带和共同基础。不同的学科、 不同的工程应用会提出不同的实际问题， 不同的工程应用会提出不同的实际问题，但他们往往又是 归结为若干类典型的数学问题。 归结为若干类典型的数学问题。 不同的计算方法可能是用于解决不同类型的科学问题。 不同的计算方法可能是用于解决不同类型的科学问题。 一方面要寻找更加有效更能发挥计算机功能的新型算法解 决老问题，另一方面， 决老问题，另一方面，针对科学研究的和工程技术不断提 出的新问题需要设计新的高性能算法。 出的新问题需要设计新的高性能算法。 各应用领域对科学计算的需求越来越多， 各应用领域对科学计算的需求越来越多，要求越来越 计算机也在不断发展、更新换代， 高，计算机也在不断发展、更新换代，这些都要求不断地 发展计算方法。 发展计算方法。 计算方法是科学和工程计算的核心， 计算方法是科学和工程计算的核心，构造好的计算方 法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要， 法与研制高性能计算机及高效率软件同等重要，计算的功 效是计算机工具的能力与计算方法的效率之乘积。 效是计算机工具的能力与计算方法的效率之乘积。
2012-3-14 第一章 绪论与误差分析 7
二、计算数学研究的对象和任务
根据数学模型提出的问题， 根据数学模型提出的问题 ， 建立求解问题的数值计算 方法并进行方法的理论分析， 方法并进行方法的理论分析，再编制出算法程序上机计算 并对计算结果进行分析， 并对计算结果进行分析，这一过程就是计算数学研究的对 象和任务。因此， 象和任务。因此，计算数学就是研究用计算机解决数学问 题的数值计算方法及其理论。 计算数学是数学学科的一个分支， 计算数学是数学学科的一个分支，但它不象纯数学那 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 样只研究数学本身的理论，而是把理论与计算紧密结合， 着重研究面向计算机的， 着重研究面向计算机的，能够解决实际问题的数值方法及 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括： 其理论,具体地说，数值分析研究的内容包括： 1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法 1.构造可在计算机上求解数学问题的数值计算方法 2.分析方法的可靠性 分析方法的可靠性， 2.分析方法的可靠性，即按此方法计算得到的解是否 可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性。 可靠，与精确解之差是否很小，以确保计算解的有效性。
§2 误差的来源和分类
在科学和工程计算中,估计计算结果的精确度是十分重要 在科学和工程计算中, 而影响精确度的是各种各样的误差。所谓误差就是一个 的,而影响精确度的是各种各样的误差。所谓误差就是一个 物理量的真实值与近似值之间的差。 物理量的真实值与近似值之间的差。误差按照它们的来源 可分为模型误差 观测误差、截断误差和舍入误差四种 模型误差、 四种。 可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。 1.模型误差 1.模型误差 在建立数学模型时，往往要忽略许多次要因素， 在建立数学模型时，往往要忽略许多次要因素，由此而 产生的误差称为模型误差。如忽略空气阻力、摩擦力等。 产生的误差称为模型误差。如忽略空气阻力、摩擦力等。 2.观测误差 2.观测误差 数学模型中包含的一些物理参数， 数学模型中包含的一些物理参数，它们的值往往是通 过观测和试验得到的，难免带有误差。 过观测和试验得到的，难免带有误差。这种观测数据与实 际数据之间的误差称为观测误差。 际数据之间的误差称为观测误差。如单摆运动的绳长 l 及 重力加速度 g等。 等
2012-3-14 第一章 绪论与误差分析 6
计算数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、 计算数学一方面是数学，其研究手段包括数学推导、 一方面是数学 分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。 分析、论证和计算，其成果将促进学科自身的发展。但另 一方面，计算数学又有广泛的应用背景， 一方面，计算数学又有广泛的应用背景，其研究对象往往 涉及许多其它学科， 涉及许多其它学科，其研究成果则可以应用于实际计算并 通常带有数值实验的结果。 通常带有数值实验的结果。 推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题 主要来自自身提出的问题， 推动纯粹数学发展的动力主要来自自身提出的问题， 计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的 而计算数学发展的主要动力则来自于解决科学和工程中的 计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机， 计算问题的需要。计算数学的发展离不开计算机，计算方 法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展， 法的改进将能使计算机的作用得到充分的发展，而计算数 学提出的要求也将对计算机的发展与更新换代提供新的推 动力。 动力。 科学和工程计算的能力与发展水平是一个国家综合国 力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域， 力的重要标志。世界发达国家都极其重视这一研究领域， 并以大量资金投入加以支持。 并以大量资金投入加以支持。美国在此领域长期处于领先 地位，目前有每秒万亿次的计算机用于科学计算。 地位，目前有每秒万亿次的计算机用于科学计算。
只有3次乘法， 次加法。这个算法称作：秦九绍算法。 只有3次乘法，3次加法。这个算法称作：秦九绍算法。
2012-3-14 第一章 绪论与误差分析 9
对于给定的数学问题， 对于给定的数学问题，常常可以提出各种各样的数值 计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说， 计算方法。如何评价这些算法的优劣呢？一般来说，一个 好的方法应具有如下的特点： 好的方法应具有如下的特点： (1).结构简单 易于计算机实现； 结构简单， (1).结构简单，易于计算机实现； (2).有可靠的理论分析 有可靠的理论分析， (2).有可靠的理论分析，理论上可保证方法的收敛性 和数值稳定性； 和数值稳定性； (3).计算效率高 时间效率高是指计算速度快， 计算效率高， (3).计算效率高，时间效率高是指计算速度快，节省 时间，空间效率高是指节省存储量； 时间，空间效率高是指节省存储量； (4).经过数值试验检验 经过数值试验检验， (4).经过数值试验检验，即一个算法除了理论上要满 足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。 足上述三点外，还要通过数值实验来证明是行之有效的。 在学习数值分析时， 在学习数值分析时，我们要注意掌握数值方法的基本原 理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合， 理和思想，要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合， 要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外， 要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论。此外，还 要通过应用数值方法编程计算具体例子， 要通过应用数值方法编程计算具体例子，以提高使用各种 数值方法解决实际问题的能力。 数值方法解决实际问题的能力。
四、学习要求
1.掌握构造算法的基本思想和方法 1.掌握构造算法的基本思想和方法 2.掌握解决常见问题的基本算法 2.掌握解决常见问题的基本算法 3.重视算法的误差分析 重视算法的误差分析、 3.重视算法的误差分析、收敛性分析和稳定性分析 4.注重在计算机上实现算法并用于解决实际计算问题 4.注重在计算机上实现算法并用于解决实际计算问题
2012-3-14 第一章 绪论与误差分析 8
3.分析方法的效率。 3.分析方法的效率。分析比较求解同一问题的各种方 分析方法的效率 法的计算速度和存储量， 法的计算速度和存储量，以便使用者根据各自的情况采用 高效率的方法，节省人力、物力和时间， 高效率的方法，节省人力、物力和时间，这样的分析是数 值分析的一个重要部分。应当指出， 值分析的一个重要部分。应当指出，数值方法的构造和分 析是密切相关不可分割的。 析是密切相关不可分割的。 例如：计算3 例如：计算3次多项式 的函数值
2012-3-14 第一章 绪论与误差分析 4
计算克服了理论分析及实验手段的局限， 计算克服了理论分析及实验手段的局限，这是自伽利 牛顿以来科学方法论的最伟大的进步， 略、牛顿以来科学方法论的最伟大的进步，推动着科学实 践中一场深刻的不可逆转的变革。 践中一场深刻的不可逆转的变革。 在科学和工程的许多领域有了计算才能获得重大的研 究成果和完成高度复杂的工程设计。 究成果和完成高度复杂的工程设计。科学计算的方法和理 论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础， 论作为新的研究手段以及新的设计和制造技术的理论基础， 正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。 正在并将继续推动当代科学和高新技术的发展。 当前科学计算正在向大规模和高性能发展， 当前科学计算正在向大规模和高性能发展，要达到 全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟， “全物理、全系统、三维、高分辨、高逼真”的数值模拟， 发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。 发展高效的计算方法与发展高性能的计算机同等重要。 数十年来在自然科学和工程科学中， 数十年来在自然科学和工程科学中，先后产生了计算 物理、计算力学、计算化学、计算生物、 物理、计算力学、计算化学、计算生物、计算经济学等一 系列计算性的分支学科。 系列计算性的分支学科。
五、计算实习报告写法
1.实习题目 1.实习题目 3.目的意义 3.目的意义 5.算法 5.算法 7.数值算例 7.数值算例 9.参考文献 9.参考文献
2012-3-14 第一章 绪论与误差分析 12
2. 班级姓名 数学模型（数学公式） 4. 数学模型（数学公式） 6.（流程图） 6.（流程图） 程序 8. 对计算结果进行分析评价
数
值
分
析
硕士研究生学位课
主讲：胡钢讲师 西安理工大学应用数学系
二OO八年十一月
第一章 析
§1 §2 §3 §4 §5
绪论与误差分
计算数学研究的对象和内容 误差的来源和分类 误差的表示 误差的传播 算法设计的若干原则
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第一章 绪论与误差分析
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本章内容安排
目的意义：了解计算数学的背景知识； 1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 误差来源、误差表示、 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 3.难 点：有效数字 4.内容分配 内容分配： 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第