九年级数学韦达定理应用复习
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a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
为
。
③以x12、x2 2为两根的方程
为
。
3.分解因式； ①-3m3+4m2+5m ②3(x+y)2-4x(x+y)-x2
4.如果2-√3是方程2x2-8x+c=0的一 个根，则方程的另一个根为 .
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
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啪声挥开.她发出一声轻微痛呼,握住手腕.“华华！”忽然从旁边林子里窜出一人,快步来到康荣荣身边扶着她の手仔细端详,“你手没事吧？”“没事,这是旧伤.”康荣荣挣开,看他一眼,“辉哥,你怎么来了？不是出远差吗？”赖正辉眉头深锁,“现在交通发达,去哪儿都快.”眼神复杂地 看着
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2024年九年级中考数学压轴题—韦达定理及参考答案
韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-112且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3k=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2=-1，∵k >-112且k ≠0，∴k =14．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，解得：m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2=2m-2，x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2，即5m2-8m-4=0，解得：m1=-25，m2=2(舍去)，∴实数m的值为-25.3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，∴x1+x2=--41=4，x1∙x2=51=5.(2)∵x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1∙x2=-3，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42，1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2．(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4m+8≥0，即m≥5+43，或m≤5-43，∵x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，∴x1+x2=m-3，x1∙x2=m+8，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13，即m-32-2m+8=13，解得，m=-2或m=10．即m的值是-2或10．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．【答案】解：(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a，2a，由根与系数的关系，得a+2a=3，a×2a=c，解得a=1，则2a=2．∴c=2．(2)由方程x-2mx-n=0m≠0，解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，∴n m =1或nm=4，当nm=1时，2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1；当nm=4时，2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5，变形，得ax2+bx+c-5=0，由根与系数的关系，得k+1+3-k=-ba，即-ba=4.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，∴x1+x2=4，假设x1=2x2，则3x2=4，解得x2=43，则x1=83，故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k的值．【答案】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0，∴k<512．(2)∵k<512，∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3，得-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=-2，k2=1.又∵k<5 12，∴k=-2．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．【答案】解：(1)根据题意得：Δ=-22-4×2×m+1≥0解得：m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得：x1+x2=1，x1∙x2=m+12，∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解：(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k．∵方程有两个不相等的实数根，∴20-8k>0，∴k<52．(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k=1或2，根据配方法可得：x+12=4-2k+1=5-2k，解得x=-1±5-2k；∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，舍去；当k=2时，5-2k=1；∴k=2．(3)已知x1，x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根，则x1+x2=-2，x1∙x2=2k-4，则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6，解得k=-2，即x1x2=2×-2-4=-8，所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，∴k≤0，∵方程是一元二次方程，∴4k≠0，即k≠0，∴k的取值范围为k<0；(2)不存在，理由如下：∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，且4k≠0，解得k<0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k，若-k-94k=-32成立，则k=9 5，∵k<0，则k=95不成立，∴不存在这样k的值．10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值；②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2，那么S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)证明：当k =1时，原方程可化为2x +2=0，解得：x =-1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根.综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：①由根与系数关系可知，x 1+x 2=-2k k -1，x 1x 2=2k -1；②若S =2，则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2，即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2，将x 1+x 2，x 1x 2代入整理得：k 2-3k +2=0，解得：k =1(舍)或k =2，∴S 的值能为2，此时k =2．韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1=39，求m的值；b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k 的值．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．48已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值；②若S=x2x1+x1x2+x1+x2，那么S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．6。
九年级数学韦达定理应用复习
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[单选]参加教师资格证考试有作弊行为的，其考试成绩作废，（）年内不得再次参加教师资格考试。A．2B．3C．4D．5 [单选]对于手工切割编织袋的长度确定，要从（）点开始测量，在规定的长度处划线标记。A.切割B.调整C.校验D.试验 [单选]具有设计任务书和总体设计，经济上实行独立核算，行政上具有独立组织形式的工程被称为()。A.单位工程B.建设项目C.分部工程D.分项工程 [单选]建筑内部因采用大量可燃材料装修、使用可燃家具，将（）。A、延长轰燃出现的时间B、增加火灾荷载C、降低耐火等级D、影响防火间距 [单选]生油气层主要有暗色的（）和富含有机质的碳酸盐岩。A.生物灰岩B.沉积岩类C.礁块灰岩D.碎屑岩 [单选]对个人购买自用普通住房发放的按揭贷款最长不得超过（）年。A.30B.35C.40D.45 [问答题,简答题]地方政府的类型 [问答题,简答题]在什么情况下需要同时启动两台膨胀机，操作时应该注意什么？ [填空题]国内外普遍使用的罐藏容器为（）、（）、（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]理中丸证若见渴欲得水者，当作如下的化裁：（）A.加重白术用量至四两半B.去术，加桂四两C.加茯苓二两D.加天花粉三两E.加人参至四两半 [问答题,简答题]口罩的应用指征 [单选]Inmarsat通信系统主要是以（）为通信对象。A.航空电台B.海岸电台C.MESD.LES [单选]某医疗设备公司保存有大量设备档案，秘书应根据设备档案的特点，选择（）进行档案分类结构的是（）。A、壳体B、支座C、开孔接管D、封头 [单选]公民、法人或其他组织对具体行政行为在法定期限内不提起诉讼又不履行的，行政机关可以申请人民法院强制执行其具体行政行为，由下列（）法院受理执行。A.申请人所在地的基层人民法院B.被执行人所在地的基层人民法院C.一审人民法院D.终审人民法院 [单选]沿绝缘子串进入法只适用于（）kV及以上电压等级的输电线路。A、110B、220C、330D、500 [填空题]客运经营者在旅客运输途中擅自变更运输车辆或者将旅客移交他人运输的，由（）责令改正，处1000元以上3000元以下的罚款；情节严重的，由原许可机关吊销《道路运输经营许可证》。 [单选]公路隧道围岩分为()级。A.3B.4C.5D.6 [单选]招标采购合同规划的主要目的是（）。A.确定招标合同单元，完成招标方案的编制，从而指导整个招标采购实践活动B.将项目分成若干个最小合同单位进行招标，从而最大程度节约时间C.确定各个招标合同单元，完成招标方案的编制，从而计算出整个项目的资金预算D.约定合同有效期，以 [单选]（）是指由业主向物业服务企业支付固定物业服务费用，盈余或者亏损均由物业服务企业享有或者承担的物业服务计费方式。A.包干制和酬金制B.物业管理费用包干制C.物业服务费用包干制D.物业管理费用酬金制 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者右面神经周围性瘫，双眼不能向右侧凝视，左侧偏瘫，左侧Babinski征阳性，病变在（）。A.左侧内囊B.右侧内囊C.左侧脑桥D.右侧脑桥E.内囊病变延及桥脑 [单选]（）是一种由此及彼，由已知到未知或未来的研究方法。通过它可以对事物获得新的认识。A、比较B、分析与综合法C、推理D、数据整合方法 [单选]支气管扩张时，下列哪两个并发症最为多见（）A.脓胸及肺脓肿B.肺脓肿及肺纤维化C.肺气肿及肺脓肿D.肺源性心脏病及肺纤维化E.脑膜炎及肾炎 [多选]某项目，建设单位甲公司在银行办理了在建工程抵押，银行同时要求建设单位提供保证人。保证方式没有约定。工程竣工后，甲建设单位无力偿还贷款5000万元，则银行有权（）。A．直接与甲建设单位协议折价B．向法院起诉拍卖该工程项目后优先受偿C．直接变卖该工程项目D．直接转移 [单选]下列情形中，适合采取卖出套期保值策略的是（）。A．加工制造企业为了防止日后购进原材料时价格上涨的情况B．供货方已签订供货合同，但尚未购进货源，担心日后购进货源时价格上涨C．需求方仓库已满，不能买入现货，担心日后购进现货时价格上涨D．储运商手头有库存现货尚未出 [单选]体的压力、密度<ρ>、温度<T>三者之间的变化关系是（）.A、ρ=PRTB、T=PRρC、P=Rρ/TD、P=RρT [单选,A1型题]肝颈静脉回流征阳性主要见于（）。A.左心衰B.肝硬化C.心包积液D.急性心肌梗死E.肾功能不全 [单选]下列哪项不是CT模拟定位技术的优势（）A.有更高的精度和更广的应用范围B.经济、可靠，时间短C.其图像有较高的组织对比度D.可在三维空间上清楚显示靶区与周围器官之间的关系E.可以更精确勾画靶区及正常组织和器官 [多选]通航安全水上水下施工作业涉及的范围包括（）。A.设置、拆除水上水下设施B.架设桥梁、索道，构筑水下隧道C.救助遇难船泊，或紧急清除水面污染物、水下污染源D.渔船捕捞作业E.清除水面垃圾 [填空题]PN结的单向导电性就是：加正向电压时，PN结（）；加反向电压时，PN结（）。 [单选,A2型题,A1/A2型题]急性粒细胞白血病的骨髓象不具有下列哪些改变（）A.原始粒细胞胞浆中有Auer小体B.有白血病裂孔现象C.过氧化酶染色呈阳性反应D.常有Ph染色体E.非特异性酯酶染色阳性不可被氟化钠所抑制 [单选]当边际产量大于平均产量时（）A.平均产量增加；B.平均产量减少；C.平均产量不变；D.平均产量达到最低点。 [单选]（）是实现旅游发展目的的环境支撑。A.充分利用旅游地资源B.满足旅游者的利益C.满足旅游地居民的利益D.满足当地政府和开发商的利益 [单选]人体内的循环系统包括（）.A.血液循环系统和体循环系统B.血液循环系统和淋巴系统C.淋巴系统和体循环系统 [单选]下列关于类风湿关节炎药物治疗正确的是（）。A.早期应用快作用抗风湿病药B.大部分患者用一种慢作用药就可以阻止关节破坏C.可以常规应用糖皮质激素D.非甾体抗炎药是改善关节症状的一线药物E.不能使用中枢性镇痛药 [单选]车站装车前，要认真核对待装货物品名、件数，检查标志、标签和（）。A、货物质量B、货物体积C、货物形状D、货物状态 [单选]1：500比例尺地形图上0.2mm，在实地为（）。A、10米B、10分米C、10厘米 [填空题]表面处理的对象可分为两大类：（）和（）。 [单选,B1型题]常用来评估个体维生素D营养状况的是（）A.麦角骨化醇B.胆骨化醇C.维生素DD.25-（OH）DE.1，25-（OH）D [问答题,简答题]离心机开车准备如何操作？
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 引言韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常出现在初三的考试中。
它是一种用于解决三角形中的边长和角度关系的工具，通过利用正弦定理和余弦定理来推导出未知量之间的关系。
在本文中，我们将介绍韦达定理的基本概念、推导过程以及常见的应用题型。
2. 韦达定理的定义与推导2.1 定义韦达定理，也称作三角形法则，是指在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：a² = b² + c² - 2bc * cosA b² = a² + c² - 2ac * cosB c² = a² + b² - 2ab * cosC2.2 推导过程我们可以通过正弦定理和余弦定理来推导出韦达定理。
#### 正弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：sinA/a = sinB/b = sinC/c余弦定理：在任意三角形ABC中，设边长a、b、c分别对应角A、B、C，则有以下关系成立：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc cosB = (a² + c² - b²) / 2ac cosC = (a² + b² - c²) / 2ab通过将正弦定理和余弦定理结合起来，我们可以推导出韦达定理的三个公式。
3. 韦达定理的应用题型3.1 已知两边和夹角，求第三边这是韦达定理最常见的应用题型之一。
当我们已知一个三角形的两边长度和它们之间的夹角时，可以利用韦达定理来求解第三边的长度。
例如，已知一个三角形ABC，其中AB = 5cm，AC = 8cm，∠BAC = 60°，求BC的长度。
根据韦达定理公式b² = a² + c² - 2ac * cosB，代入已知条件计算得到：BC² = 5² + 8² - 2 * 5 * 8 * cos60° BC = √(25 + 64 -80cos60°) BC ≈ √(89 -40) BC ≈ √49 BC ≈ 7cm3.2 已知三边，求夹角另一个常见的应用题型是已知一个三角形的三边长度，求解它们之间的夹角。
韦达定理的应用专题(供初三复习用)
韦达定理的应用专题训练★热点专题诠释1．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理及逆定理）． 2．能够灵活运用一元二次方程根与系数关系确定字母系数的值；求关于两根的对称式的值；根据已知方程的根，构作根满足某些要求的新方程．★典型例题精讲考点1 求待定字母的值或范围【例1】关于x 的一元二次方程2210x x k +++=的实数解是1x 、2x ．如果12121x x x x +-<-，且k 为整数，求k 的值．解：由韦达定理，得122x x +=-，121x x k =+． ∵12121x x x x +-<-，∴2(1)1k --+<-，∴2k >-． 又∵原方程有实数解，∴224(1)0k -+≥，0k ≤． ∴20k -<≤．而k 为整数，∴1,0k =-．【方法指导】当运用一元二次方程的根与系数的关系时，前提条件是方程有根，即判别式△≥0． 【例2】（2012·包头）关于x 的一元二次方程25(5)0x mx m -+-=的两个正实数根分别为1x 、2x ，且1227x x +=，则m 的值是（ B ）A ．2B ．6C ．2或6D ．7解：由韦达定理，得12125(5)x x mx x m +=⎧⎨=-⎩ ，消去m ，得121255250x x x x --+=，∴12(5)(5)0x x --= ，∴15x =或25x =．又∵1227x x +=，∴1253x x =⎧⎨=-⎩或1215x x =⎧⎨=⎩．又∵原方程有两个正实根，12125(5)0x x m x x m +=>⎧⎨=->⎩，∴5m >．∴126m x x =+=．【方法指导】对一元二次方程的根与系数的关系要善于从方程（组）的角度来把握．【例3】已知方程22(2)430x m x m ++++=，根据下列条件求m 的取值范围或值． （1）方程两根互为相反数； （2）方程有两个负根；（3）方程有一个正根，一个负根．解：（1）2(2)0430m m -+=⎧⎨+≤⎩，∴2m =-．（2）2[2(2)]4(43)02(2)0430m m m m ⎧+-+≥⎪-+<⎨⎪+>⎩，∴34m >-．（3）430m +<，∴34m <-． 【方法指导】一元二次方程：有两个正根：△≥0且120x x +>，120x x >；有两个负根：△≥0且120x x +<，120x x >； 一正一负根：120x x <；两根互为相反数：120x x +=，120x x ≤； 两根互为倒数：△≥0且121x x =．考点2 求两根的对称式的值【例4】设1x 、2x 是方程2310x x +-=的两个实数根，求下列代数式的值：（1）2221x x +； （2）2112x x x x +； （3）212()x x - 解：由韦达定理，得123x x +=-，121x x =-．（1）2212x x +=21212()2x x x x +-=11（2）2112x x x x +=2121212()2x x x x x x +-=-11 （3）212()x x -=21212()4x x x x +-=13【方法指导】只要代数式符合两根的对称式，经过适当的变形可得到只含“两根和”、“两根积”的代数式，代入求值即可．考点3 利用根与系数的关系及根的定义求代数式的值【例5】已知m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根．求下列代数式的值． （1）222441m n n +--； （2）35m n +．解：（1）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，1mn =-，221n n -=． ∴222441m n n +--=2222()2(2)1m n n n ++-- =222[()2]2(2)1m n mn n n +-+-- =2(42)211++⨯-=13．（2）∵m 、n 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，∴2m n +=，221m m =+．∴35m n +=(21)5m m n ++=225m m n ++ =2(21)5m m n +++=5()2m n ++=522⨯+=10． 【方法指导】此类代数式不属于对称式,仅仅用根与系数的关系是不够的．常常需要结合根的定义，将式中的高次降低,直至出现对称式，再利用根与系数的关系求值．考点4 构造一元二次方程求值【例6】 （1）已知21550a a --=，21550b b --=，求a bb a+的值； （2） 已知22510m m --=，21520nn +-=，且m n ≠，求11m n+的值．解：（1）当a b =时，2a bb a+=； 当a b ≠时，由已知可把a 、b 看作是一元二次方程21550x x --=的两根．∴15a b +=，5ab =-．∴222()2a b a b a b ab b a ab ab ++-+===2152(5)5-⨯--=47-． （2）由21520n n +-=，得22510n n --=，而22510m m --=，m n ≠，∴可把m 、n 看作是一元二次方程22510x x --=的两根．∴52m n +=，12mn =-． ∴11m n +=m nmn+=5-． 【方法指导】构造一元二次方程的依据是方程根的定义，能用此法解题，必须是题目中两个方程的形式相同，或经过适当的变形后可变成形式相同的两个方程，便可利用根与系数的关系．考点5 韦达定理与抛物线的结合 【例7】若1x 、2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则方程的两个根1x 、2x 和系数a 、b 、c 有如下关系：12b x x a +=-，12cx x a=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB=12||x x -=21212()4x x x x +-=24()bc a a--=24||b aca -．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴的两个交点A （1x ，0），B （2x ，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求24b ac -的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求24b ac -的值．解：（1）当△ABC 为直角三角形时，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB =2CE ．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴240b ac ∆=->，则22|4|4ac b b ac -=-．∵0a >，∴2244b ac b acAB --==又∵2244||44ac b b acCE a a--==， ∴224424b ac b aca--=⨯， ∴22442b ac b ac --，∴222(4)44b ac b ac --=，而240b ac ->，∴244b ac -=．（2）当△ABC 为等边三角形时，由（1）知3CE AB =， ∴224344b ac b ac a --=240b ac ->， ∴2412b ac -=．★解题方法点睛一元二次方程根与系数关系作为升学考试的考点之一，在试卷中频频出现，只要同学们掌握了根与系数的关系的常见应用，就能化难为易迅速找到解题的方法．运用中： 1．要善于运用整体思想求两根的对称式的值； 2．已知两根的有关代数式的值求待定字母的值时，一定别忘了判别式的限制作用； 3．要注意从方程（组）的角度看待韦达定理．4．注意由此及彼的思维方法的运用．★中考真题精练1．（2014·玉林）1x 、2x 是关于x 的一元二次方程220x mx m -+-=的两个实数根，是否存在实数m 使12110x x +=成立？则正确的结论是（ A ） A ．0m =时成立 B ． 2m =时成立 C ．0m =或2时成立 D ．不存在2．（2014·呼和浩特）已知函数1||y x =的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c +1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程20ax bx c ++=的两根1x 、2x 判断正确的是（ C ） A ．121x x +>，120x x > B ．120x x +<，120x x > C ．1201x x <+<，120x x >D ．12x x +与12x x 的符号都不能确定 3．（2015·泸州）设1x 、2x 是一元二次方程2510x x --=的两实数根，则2212x x +的值为 27 ．4．（2015·江西）已知一元二次方程2430x x --=的两根是m ，n ，则22m mn n -+= 25 ．5．（2014·德州）方程222210x kx k k ++-+=的两个实数根1x 、2x 满足22124x x +=，则k 的值为 1 ．6．（2014·济宁）若一元二次方程2(0)ax b ab =>的两个根分别是1m +与24m -，则ba= 4 ． 7．已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=．（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若1x 、2x 是原方程的两根，且12||22x x -=，求m 的值．（1）证明：△=2(3)4(1)m m +-+=225m m ++ =2(1)4m ++．无论m 取何值，2(1)440m ++≥>，即0∆>． ∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根． （2）由韦达定理，得12(3)x x m +=-+，121x x m =+， ∴2121212||()4x x x x x x -=+-=2[(3)]4(1)m m -+-+=225m m ++，而12||22x x -=，∴22522m m ++=，即2230m m +-=， ∴1m =或3m =-．8．已知关于x 的方程222(1)0x k x k --+=有两个实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）若1212||1x x x x +=-，求k 的值． 解：（1）由已知，得0∆≥，即22[2(1)]40k k ---≥，∴12k ≤． （2）∵12k ≤，∴122(1)10x x k +=-≤-<，∴1212||()2(1)x x x x k +=-+=--．而212x x k =，1212||1x x x x +=-， ∴2221k k -+=-，即2230k k +-= ， ∴1k =或3k =-．而12k ≤，∴3k =-． 9．请阅读下列材料：问题：已知方程210x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x = ，∴2y x =． 把2y x =代入已知方程，得2()1022y y+-=，化简，得2240y y +-=．故所求方程为2240y y +-=．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： （1）已知方程220x x +-=，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： ；（2）己知关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解：（1）设所求方程的根为y ，则y x =-，∴x y =-． 把x y =-代入已知方程，得220y y --=，∴所求方程为220y y --=；（2）设所求方程的根为y ，则1y x=（0x ≠）， ∴1x y=（0y ≠ ） 把1x y =代入方程20ax bx c ++=，得20a bc y y++=，∴20cy by a ++=．若0c =，有20ax bx +=，∴方程20ax bx c ++=有一个根为0，不符合题意，∴0c ≠．∴所求方程为20cy by a ++=（0c ≠）． 10．（2014•孝感）已知关于x的方程22(23)10x k x k --++=有两个不相等的实数根1x 、2x ．（1）求k 的取值范围；（2）试说明10x <，20x <；（3）若抛物线22(23)1y x k x k =--++与x 轴交于A 、B 两点，点A 、点B 到原点的距离分别为OA 、OB ，且23OA OB OA OB +=⋅-，求k 的值． 解：（1）由题意，得0∆>，即22[(23)]4(1)0k k ---+> ，解得512k <． （2）∵512k <，∴12230x x k +=-<， 而21210x x k =+>，∴10x <，20x <．（3）由题意，不妨设A （1x ，0），B （2x ，0）． ∴OA +OB =1212|||()(23)x x x x k +=-+=--，21212||||1OA OB x x x x k ⋅===+．∵23OA OB OA OB +=⋅-，∴2(23)2(1)3k k --=+-，解得1k =或2k =-．而512k <，∴2k =-． ★课后巩固提高1．已知方程23(4)10x m x m ++++=的两根互为相反数，则m = -42．关于x 的方程222(1)0x m x m +++=的两根互为倒数，则m = 1 ．已知12x x ≠，且满足211320x x +-=，222320x x +-=，则12(1)(1)x x -- = 2 ．3．（2014·呼和浩特）已知m ，n 是方程2250x x +-=的两个实数根，则23m mn m n -++= 8 ． 4．（2015·荆门）已知关于x 的一元二次方程2(3)10x m x m ++++=的两个实数根为1x ，2x ，若22124x x +=，则m 的值为 -1或-3 ．5．（2014•襄阳）若正数a 是一元二次方程250x x m -+=的一个根，a -是一元二次方程250x x m +-=的一个根，则a的值是 5 ．6．设2210a a +-=，42210b b --=，且210ab -≠，则22531()ab b a a+-+= -32 ．7．（2014·扬州）已知a 、b 是方程230x x --=的两个根，则代数式32223115a b a a b ++--+的值为 23 ．8．已知方程230x x k ++=的两根之差为5，则k = -4 ．9．已知抛物线2y x px q =++与x 轴交于A 、B 两点，且过点（-1，-1），设线段AB 的长为d ，当p = 2 时，2d 取得最小值，最小值为 4 ．10．已知1x 、2x 是关于x 的方程22(21)(1)0x m x m ++++=的两个实数根．（1）用含m 的代数式表示2212x x +； （2）当221215x x +=时，求m 的值．解：由韦达定理，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+． ∴2212x x +=21212()2x x x x +-=22[(21)]2(1)m m -+-+ =2241m m +-．（2）由（1）得，224115m m +-=，解得14m =-，22m =． 当4m =-时，原方程无实根；当2m =时，原方程有实根． ∴2m =．11．（2014·鄂州）一元二次方程2220mx mx m -+-=． （1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实数根为1x 、2x ，且12||1x x -=，求m ． 12．已知方程23730x x -+=的两根1x 、2x （12x x >）．求下列代数式的值． （1（2）2212x x -．解：由韦达定理，得1273x x +=，121x x =． （1． （2）∵12x x >，∴120x x ->．∴12x x -=∴2212x x -=1212()()x x x x +-=73=13．（2015·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程：2(3)0x m x m ---=．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线2(3)y x m x m =---与x轴交于1(,0)A x ，2(,0)B x 两点，则A ，B 两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． 解：（1）22[(3)]4()29m m m m ∆=----=-+ ＝2(1)8m -+ ∵2(1)m -≥0，∴2(1)80m ∆=-+> ∴原方程有两个不相等的实数根． （2）存在．由题意知1x 、2x 是原方程的两根． ∴12123,x x m x x m +=-=- ∵12||AB x x =-∴222121212()()4AB x x x x x x =-=+- 22(3)4()(1)8m m m =---=-+ ∴当1m =时，2AB 有最小值8 ∴AB有最小值，即AB =14．（2014·荆门）已知函数2(31)21y ax a x a =-+++（a 为常数）．（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a 的值； （2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x 轴相交于点A （1x ，0），B （2x ，0）两点，与y 轴相交于点C ，且212x x -=． ①求抛物线的解析式；② 作点A 关于y 轴的对称点D ，连结BC 、DC ，求sin DCB ∠的值．解：(1)①当a ＝0时，1y x =-+，其图象与坐标轴有两个交点(0，1)，(1，0)；②当a ≠0且图象过原点时，210a +=，∴12a =-，有两个交点(0，0)，(1，0)；③当a ≠0且图象与x 轴只有一个交点时，令y ＝0，则有0∆=，即2[(31)]4(21)0a a a -+-+=．解得a ＝－1，有两个交点(0，－1)，(1，0)；综上：a ＝0或12-或1-时，函数图象与坐标轴有两个交点． (2)①由题意令y ＝0时，123a x x a ++=，1221a x x a+=．∵212x x -=，∴221()4x x -=，∴21212()44x x x x +-= ，则(24(21)31()4a a a a ++-=，解得113a =-，21a =由题意，得00a >⎧⎨∆>⎩，即20[(31)]4(21)0a a a a >⎧⎨-+-+>⎩， ∴13a =-应舍去．1a =符合题意． ∴抛物线的解析式为243y x x =-+．②令y ＝0得2430x x -+=，解得1x =或3x =．w W∴A (1，0)，B (3，0)．由已知可得，D (－1，0)，C (0，3)． ∴OB ＝OC ＝3，OD ＝1，BD =4． 如图，过D 作DE ⊥BC 于E ，则有∴sin 45DE BD =⋅︒=而CD∴在Rt △CDE 中，sin ∠DCB ＝DE CD．。
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型1. 韦达定理的基本概念：韦达定理，也称为乘法定理，是指对于一个多项式函数，如果其两个根分别为a和b，那么可以通过这两个根来表示该多项式的一个因式。
具体而言，如果多项式的根为a和b，那么可以将多项式表示为(x-a)(x-b)的形式。
2. 韦达定理的应用：韦达定理在初三数学中常常用于解多项式方程和因式分解。
通过韦达定理，我们可以根据已知的根来确定多项式的因式，进而解出方程或进行因式分解。
在考试中，常常会给出一个多项式的根，然后要求解出该多项式的其他根或进行因式分解。
3. 韦达定理的相关题型：a) 解多项式方程，考题可能给出一个多项式的一个根，然后要求解出该多项式的其他根。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后通过求解方程得到其他根。
b) 因式分解，考题可能给出一个多项式的一个根，然后要求进行因式分解。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后将多项式进行因式分解。
c) 综合运用，考题可能给出一个多项式的两个根，然后要求解出该多项式的其他根或进行因式分解。
解题思路是使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式，然后通过求解方程或进行因式分解。
4. 解题步骤：a) 根据题目给出的已知条件，确定多项式的一个或多个根。
b) 使用韦达定理，将已知的根代入(x-a)(x-b)的形式。
c) 根据题目要求，进行方程求解或因式分解，得到其他根或多项式的因式。
总结：韦达定理是初中数学中的一个重要定理，常常在初三的数学考试中出现。
通过韦达定理，我们可以根据已知的根来确定多项式的因式，进而解出方程或进行因式分解。
解题时需要注意题目给出的已知条件，正确运用韦达定理，并根据题目要求进行方程求解或因式分解。
希望以上解答能够帮助到你，如果还有其他问题，请继续提问。
九年级数学韦达定理应用复习
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变速器油正常的工作温度是82度-93度，如果温度超过121度，应当立即关闭发动机。A.正确B.错误 怎样防治熊蛔虫病？ 正常生产时，炉内至少剩多少铁水才能化冷料？为何？ 城市电网的建设与改造应如何进行？ 某轮排水量为15000t，全船垂向重量力矩∑pizi=92763×9.81kN•m，船舶稳心距基线高度KM=7.28m，则其初稳性高度为m。A．0.60B．0.80C．1.10D．1.36 下列传染过程哪种感染类型增多，会造成该疾病的传播流行A.病原体被消灭或排出体外B.潜在性感染C.隐性感染D.病原携带状态E.显性感染 列车在发车前应确认制动主管的压力，按规定每分钟漏泄不得超过千帕。 下列各项，不属法定特殊管理药品的是。A.生化药品B.放射性药品C.医疗用毒性药品D.麻醉药品E.精神药品 下列公路工程进度计划的主要形式中，论述正确的是。A.横道图是以时间为纵坐标，以各工作内容为横坐标的进度图B."S"曲线是以时间为横轴，以累计完成的工程费用为纵轴的图表化曲线C.垂直图的斜率越陡进度越慢，斜率越平坦进度越快D.垂直图是以时间为横轴，以公路里程为纵轴的进度图 对春季结膜炎临床特征的描述中，不正确的是A.上睑结膜乳头增生呈扁平的铺路石样B.结膜分泌物涂片中大量嗜碱性粒细胞C.部分患者可在角膜缘见到白色的Hornei-Trantas结节D.局部使用免疫抑制剂有效E.寒冷环境对病情缓解有帮助 “组织文化区别于组织其他内容的根本点”描述的是组织文化的A.文化性B.实践性C.自觉性D.整合性E.综合性 女，40岁，子宫全切术后7天，发现不自主漏尿，下列较为适宜的检查是A.尿动力学、膀胱尿道造影、亚甲蓝试验B.亚甲蓝试验、膀胱镜、尿路超声，必要时再行膀胱尿道造影或IVU检查C.亚甲蓝试验、盆腔CT、尿路超声D.膀胱镜检查、尿路超声、同位素肾图E.尿动力学、盆腔MRI 咯血时垂体后叶素的止血机制是A.凝血B.减少肺血管收缩C.加强肺小动脉收缩D.对血小板的影响E.对病人有镇静作用 罪犯是社会的败类，相关报道中可以用“恶霸”、“禽兽”、“畜生”等词语。A.正确B.错误 麝香和石菖蒲均能治疗的疾病是A.心绞痛B.跌打损伤C.骨质增生D.高血压E.昏迷 男性，26岁。糖尿病病程10年，胰岛素治疗。血糖未监测，时有低血糖症。近3个月眼睑及下肢浮肿，血糖300mg/L，尿蛋白排泄率1801μg/min，WBC0～3/HP，颗粒管型少许，血尿素氮、肌酐正常。诊断考虑()A．胰岛素性水肿B．肾动脉硬化C．肾盂肾炎D．急性肾炎E．糖尿病肾病 我国地方性碘缺乏病的流行特征是A.城市少于乡村，内陆少于沿海，山区少于平原B.成年男性高于女性C.生育期妇女和青少年为高发人群D.愈是病情严重的地区，甲状腺肿发病的年龄愈晚E.重病区患病率性别差异较大 由于犬的生理结构特点，植物性饲料在饲喂前必须经过外理。A、晾干B、熟化和膨化C、脱酸D、去碱 诺廷根暖床养猪系统在德国得到推广的原因主要是什么？有什么优点？ 严重的产褥感染可形成冰冻骨盆的是A.急性子宫内膜炎B.急性子宫肌炎C.急性输卵管炎D.急性盆腔结缔组织炎E.急性盆腔腹膜炎 某企业外部融资占销售增长的百分比为5%，则若上年销售收入为1000万元，预计销售收入增加到1200万，则相应外部应追加的资金为()万元。A.50B.10C.40D.30 深Ⅱ度烧伤创面处理不正确的是。A.1：2000氯己定清洗创面，去除异物B.去除水泡皮C.油质纱布包扎创面D.面部创面不包扎E.创面使用抗生素预防全身感染 根据反垄断法律制度的规定，下列表述中，正确的是。A.国家发改委负责经营者集中行为的反垄断审查工作B.商务部负责经营者滥用市场支配地位的反垄断审查工作C.反垄断执法机构可依职权对涉嫌垄断的行为主动立案调查D.反垄断执法机构依职权对涉嫌垄断行为主动立案调查的，不得中止调查 垂体大腺瘤指瘤体直径大于A.＞8mmB.＞10mmC.＞12mmD.＞14mmE.＞16mm 慢性肝炎的原因不包括A.甲型肝炎B.乙型肝炎C.丙型肝炎D.丁型肝炎E.自身免疫性肝炎 产后4天的产褥妇女，有下列主诉，何项不是正常产褥现象A.出汗多B.低热C.乳房胀痛，双腋窝硬结D.腹部阵发性绞痛，伴呕吐E.阴道流血量少于月经 下列因素引起的风险，企业可以通过投资组合予以分散的是。A.市场利率上升?B.社会经济衰退C.技术革新?D.通货膨胀 穿、脱隔离衣适用范围 关于气管的分支顺序，下列叙述正确的是()A．主支气管一段支气管－肺叶支气管－呼吸性细支气管－肺泡管－肺泡B．肺叶支气管一段支气管－主支气管－呼吸性细支气管－肺泡管－肺泡C．主支气管－肺叶支气管一段支气管－呼吸性细支气管－肺泡管－肺泡D．主支气管－肺叶支气管一段支气管 头面部检查包括哪些内容？ 下列关于阿片类镇痛药用于慢性癌痛治疗时错误的观念是。A.度冷丁口服吸收利用率差，多采用肌肉注射给药B.度冷丁是最安全有效的镇痛药C.代谢产物去甲哌替啶的清除半衰期长，而且具有潜在神经毒性及肾毒性D.度冷丁的镇痛强度仅为吗啡的1/10E.度冷丁不推荐用于癌性患者的长期镇痛 病毒悬液的初步浓缩方法不包括A.红细胞吸附浓缩法B.聚乙二醇浓缩法C.干燥法D.超过滤法E.密度梯度离心法 蓝氏贾第鞭毛虫检查，下述哪种是不正确的A.粪便查滋养体B.粪便查包囊C.十二指肠引流液检查D.小肠活组织检查E.粪便查虫卵 对于有冠心病危险因子的患者以下血脂水平应考虑调脂药物治疗A.TC>6.24mmol／L（240mg／d1）；LDL-C>4.16mmol／L（160mg／d1）B.TC>5.20mmol／L（200mg／d1）；LDL-C>3.12mmol／L（120mg／d1）C.TC>5.72mmol／L（220mg／d1）；LDL-C>3.64mmol／L（140mg／d1）D. 以下哪条是中医的辨证论治基础A.望B.闻C.问D.切E.以上都是
韦达定理应用(资料)复习进程
韦达定理的应用一、典型例题例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。
解：设另一个根为x1，则相加，得x例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和.解：∵又∴代入得，∴新方程为例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为∴，。
∴以为根的一元二次方程即为.例4：解方程组解：设∴.∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6.∴解方程组∴可解得例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。
又a，b为方程两根。
∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且∴∴∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S.例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数解：①∵∴m>7②∵∴不存在这样的情况。
③∴m<7④∴m=7⑤∴m=15.但使∴不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q=3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（）A．±8 B.8 C.－8 D.±44. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值范围。
6. 已知方程组的两组解分别为，，求代数式a1b2+a2b1的值。
7. ABC中，AB=AC， A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,b和c是关于x 的方程x＋mx＋2－m=0的两个实数根，求ABC的周长。
【试题答案】1. －12. 4，13. A4. a=1或135. －3≤a≤－2 提示：分a=－3以及a≠－3讨论求解6. 13例1 已知p＋q＝198，求方程x2＋px＋q＝0的整数根．(’94祖冲之杯数学邀请赛试题)解：设方程的两整数根为x1、x2，不妨设x1≤x2．由韦达定理，得x1＋x2＝－p，x1x2＝q．于是x1x2－(x1＋x2)＝p＋q＝198，即x1x2－x1－x2＋1＝199．∴(x1－1)(x2－1)＝199．注意到x1－1、x2－1均为整数，解得x1＝2，x2＝200；x1＝－198，x2＝0．例2 已知关于x的方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两个根都是正整数，求m 的值．解：设方程的两个正整数根为x1、x2，且不妨设x1≤x2．由韦达定理得x1＋x2＝12－m，x1x2＝m－1．于是x1x2＋x1＋x2＝11，即(x1＋1)(x2＋1)＝12．∵x1、x2为正整数，解得x1＝1，x2＝5；x1＝2，x2＝3．故有m＝6或7．例3 求实数k，使得方程kx2＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数．解：若k＝0，得x＝1，即k＝0符合要求．若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，由韦达定理得∴x1x2－x1－x2＝2，(x1－1)(x2－1)＝3．因为x1－1、x2－1均为整数，所以例4 已知二次函数y＝－x2＋px＋q的图像与x轴交于(α，0)、(β，0)两点，且α＞1＞β，求证：p＋q＞1．(’97四川省初中数学竞赛试题)证明：由题意，可知方程－x2＋px＋q＝0的两根为α、β．由韦达定理得α＋β＝p，αβ＝－q．于是p＋q＝α＋β－αβ，＝－(αβ－α－β＋1)＋1＝－(α－1)(β－1)＋1＞1(因α＞1＞β)．一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
九年级数学韦达定理应用复习
韦达定理初三常考题型
韦达定理初三常考题型
【原创版】
目录
1.韦达定理的概述
2.初三阶段韦达定理的常考题型
3.应对韦达定理题型的解题技巧
4.总结
正文
【1.韦达定理的概述】
韦达定理，又称 Vieta 定理，是由法国数学家弗朗索瓦·韦达（Franois Viète）提出的一种有关多项式的定理。
该定理主要描述了多项式的系数与其根之间的关系。
简单来说，韦达定理就是一个关于多项式方程根与系数的性质定理。
【2.初三阶段韦达定理的常考题型】
在初三数学阶段，韦达定理常常出现在各类题型中，主要包括以下几种：
1) 求解多项式方程的根
2) 根据多项式的根与系数关系，判断多项式的性质
3) 利用韦达定理解决有关多项式的最大值、最小值问题
4) 结合其他数学知识点，如代数余子式、韦达定理与行列式的关系等
【3.应对韦达定理题型的解题技巧】
面对韦达定理相关题型，同学们可以运用以下技巧来解题：
1) 熟练掌握韦达定理的基本内容，了解多项式系数与根之间的关系
2) 学会利用韦达定理快速求解多项式方程的根
3) 对于涉及多项式性质判断的题目，要善于运用韦达定理进行分析
4) 对于求解多项式的最值问题，可以利用韦达定理将问题转化为求解线性方程组
【4.总结】
韦达定理是初三数学阶段的一个重要知识点，同学们需要掌握其基本内容和应用技巧。
九年级数学韦达定理应用复习
是
.
9.当m为何值时，方程 3x2+(m+1)x+m-4=0有两个负 数根.
10.*已知实数a、b满足2a2-a = 2b2-b=2,
求
a b
+
b a
的值.
11.已知一元二次方程ax2-√2 bx+c=0的两个根满足|x1x2|=2-√2,a、b、c分别是 △ABC中∠A、∠B、∠C 的对边,并且c=√2a,试判断 △ABC是什么三角形?并证 明.
韦达定理及 其应用(一）
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）
的两根为x1、x2，则
x1·x2=
c a
.
x1+x2=
-
b a
，
如果方程x2+px+q=0（a≠0）的
两根为x1、x2，则 x1+x2= -p ，
x1·x2=q .
以x1、x2为根的一元二次方程 （二次项系数为1）是
x2-（ x1+x2 )x+ x1·x2 =0.
如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根 为x1、x2，则 ax2+bx+c可因式分解为
a（x- x1 )(x- x2）.
1.设x1、x2是方程2x2-6x+3=0的根，
则
(1)
x2
x1
x1 x2
(2)( x1 2)( x2 2)
(3) x1 x2
(4).x1 x2
2.若方程x2-3x-2=0的两根为x1、
x2；则
①以 1 ， 1 为两根的方程
为
x。1 x2
②以- x1、-x2 为两根的方程
九年级数学韦达定理应用复习
高台缝纫机开机后空转时，注意主动轮应向操作者方向。A、旋转B、转换C、转动D、移动 中年女性，呼吸困难，曾有股骨外伤手术史，胸部CT正常，行99Tcm-MAA肺灌注显像如图，诊断是。A.正常的肺灌注显像B.左肺动脉主干栓塞C.多发肺栓塞D.肺动脉高压E.以上都不是 有关展览会特征，以下说法不正确的是。A.信息高度集中B.交易选择空间小C.涉足行业前沿D.通过一定艺术形式展示产品和技术 探测站主机箱有哪几板模板组成？ 依据工程规模确定工程等别时，中型规模的水利水电的等别为等。A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅳ 舌弓指A.第一鳃弓B.第一鳃沟C.第二鳃弓D.第二鳃沟E.第三鳃弓 “以人为本，践行宗旨”的行为规范，主要体现在：A.坚持救死扶伤、防病治病的宗旨B.发扬大医精诚理念和人道主义精神C.以病人为中心，全心全意为人民健康服务D.以上都是E.以上都是 [单选,案例分析题]患者男性，78岁，1天前因右腹股沟疝嵌顿手法回纳后，即感腹痛。现因腹痛加剧、腹胀、气促、呕吐而来就诊。查体：神志淡漠，四肢厥冷。脉细速140次/分，血压60/40mmHg，腹胀，全腹压痛、反跳痛、肌紧张，以脐右最为明显，诊断肠坏死穿孔、弥漫性腹膜炎、中毒性休 用电检查工作贯穿于为电力客户服务的，同时，也担负着维护供电企业合法权益的任务。A.售前服务B.全过程C.售后服务D.部分过程 消化性溃疡患者需紧急手术治疗的情况是()A．伴胃酸减少B．年龄较大，病程长，疼痛反复发作C．有反复上消化道出血史，现大便隐血试验又强阳性D．合并幽门梗阻E．大出血停止后，1天内又有大量出血 佛教文化的建筑在我国迅速发展，是我国的建筑出现了建筑标准规范是在阶段。A.夏商到秦汉时期（公元前2000年至公元200年，约2200年）B.从三国两晋南北朝到隋唐五代（公元200年至公元1000年，约800年）C.丛宋辽到金元时期（公元960年至1400
初三数学九年级上《韦达定理》复习
初三数学九年级上《韦达定理》复习一、知识回顾1.一般地，对于关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 用求根公式求出它的两个根x 1.x 2 ，由一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的求根公式知x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---2.能得出以下结果：x 1＋x 2= 即：两根之和等于x 1•x 2= 即：两根之积等于12x x +=a ac b b 242-+-+aac b b 242--- =aac b b ac b b 24422----+- =12.x x =a ac b b 242-+-×aac b b 242--- =2224)4)(4(a ac b b ac b b ----+- =2224)()(a -=由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系为x 1+x 2=ab -， x 1x 2=a c 3.韦达定理韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么1212,b c x x x x a a+=-= 4.韦达定理前提（1）定理成立的条件0∆≥（2）注意公式重12b x x a+=-的负号与b 的符号的区别 二、知识学习（1）计算对称式的值 例1. 若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．举一反三1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2＝例2．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ; 例3．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;例4．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;例5.设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2例6．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： 2221x 1x 1（2）构造新方程例7.理论：以两个数为根的一元二次方程是。
九年级数学韦达定理应用复习
2023年中考数学专题复习 专题12 韦达定理及其应用(教师版含解析)
专题12 韦达定理及其应用1.一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：(1)验根；(2)已知方程的一根，求另一根；(3)求某些代数式的值；(4)求作一个新方程。
【例题1】(2020•泸州)已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x ﹣7＝0的两个实数根，则x 12+4x 1x 2+x 22的值是 ．【答案】2【分析】根据根与系数的关系求解．【解析】根据题意得则x 1+x 2＝4，x 1x 2＝﹣7所以，x 12+4x 1x 2+x 22＝(x 1+x 2)2+2x 1x 2＝16﹣14＝2【对点练习】(2019湖北仙桃)若方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为( )A ．12B ．10C ．4D ．﹣4【答案】A【解析】∵方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根为α，β，∴α+β＝2，αβ＝﹣4，∴α2+β2＝(α+β)2﹣2αβ＝4+8＝12【例题2】(2020•江西)若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．【答案】-2【分析】利用根与系数的关系可得出方程的两根之积为﹣2，结合方程的一个根为1，可求出方程的另一个根，此题得解．【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，∴x1•x22．∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【答案】x1=3 b=-5【解析】设方程的另一根为x1，则由方程的根与系数关系得：解得：【点拨】含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。
九年级数学韦达定理应用复习
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