分离变量法——数学物理定解问题PPT课件

2.1 有界弦的自由振动
2. 1 有界弦的自由振动
➢ 分离变量法是求解偏微分方程最基本和 常用的方法。
➢ 理论依据：线性方程的叠加原理和 Sturm-Liouville 理论。
➢ 基本思想：将偏微分方程的求解化为对 常微分方程的求解
2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定均匀的自由振动.
定解问题为：
l
x
…….⑤
2. 1 有界弦的自由振动
和u(x代x=定,入lt解处)初问的始nn题第n条11的一BA1(件nnA解类s得nni是齐lnca：oF次snisoln边xunnr界lliaext条r正(件xB弦)决(n级x定s)i数n的，n。这lat是)s在inxn＝l 0x 将( x), ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
2.0 预备知识－常微分方程
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
2.0 预备知识－常微分方程
(i) 0 方程通解为
X ( x) C e x C e x
1
2
由边值条件得
CC1e1
C2 l
0 C2e
l
0
C1 =C 2=0 从而 X ( x) 0， 0 无意义.
(ii) 0 时，通解 X ( x) C1x C2
由边值条件
CC12l
0 C2
0
C1 C2 0 X ( x) 0, 0 无意义
由u( x, t)不恒为零，有： X ''( x) T ''(t ) X ( x) a2T (t )
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
取参数
T '' a2T
X '' X
2.1 有界弦的自由振动
X ('' x) X ( x) 0 ②
T ''(t ) a2T (t ) 0…..…….. ③
2.1 有界弦的自由振动
(iii） 0时，通解 X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值条件
C1 0
C2sin
l 0
得 C2 0, 从而 sin l 0
故
l n
即
n2
l2
2
,
n 1，2,3,
而 X ( x) C sin nπ x,n 1,2,
2
l
2.1 有界弦的自由振动
2u
t u
x
2 0
a2 0,
2u x 2
u
xl
0,
0,
0 xl t0
u
t
0
( x),
u ( x), 0 x l
t t0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
2.1 有界弦的自由振动
端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点 之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻 波。
驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，
按同一方式随时间振动，可统一表示为 ;T (t) (2) 各点振幅X 随点 x 而异，而与时间无关，用
X(x) 表示,所以驻波可用 X ( x)T (t) 表示。
2. 1 有界弦的自由振动
设 u( x, t) X ( x)T (t) 且u( x, t)不恒为零，代入
方程和边界条件中得
XT '' a2 X ''T 0 ①
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
n
l2
n
其解为
Tn(t )
An
cos
n
l
at
Bn sin
n at
l
两端 固定 弦本 的征 振动
所以
un
(
x,
t
)
(
An
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
l
x
叠加
n 1,2,3,
u( x, t )
( An
n1
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
y( x) Y ( x) y*( x),
第二章 分离变量法
2.0 预备知识－常微分方程
2.0 预备知识－常微分方程
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y( x) ky( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
定理 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
2.0 预备知识－常微分方程
齐次方程 y py qy 0
特征方程 r 2 pr q 0
特征根
An Bn
n
2 l
l
na
n
0l (
2
na
) sin
n
l
d
0l
(
)
sin
n
l
dຫໍສະໝຸດ Baidu
2.1 有界弦的自由振动
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
利用边界条件
X
(0)T
(t
)
0
④
X (l )T (t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X (l) 0
2.1 有界弦的自由振动
则
X '' X 0
⑤
X (0) 0, X (l) 0
参数 称为特征值.
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解
2. 1 有界弦的自由振动
特解为 y1 e r1x , y2 xer1x
齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e r1x ;
(3) 有一对共轭复根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 i , r2 i , 特解为 y1 ex cos x, y2 ex sin x,
齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
p p2 4q
r1,2
, 2
(1) 有两个不相等的实根 ( p2 4q 0) r1 ,r2
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 e r2x ,
得齐次方程的通解为
y
C e r1x 1
C 2e r2x ;
2.0 预备知识－常微分方程
(2) 有两个相等的实根 ( p2 4q 0)