分离变量法——数学物理定解问题PPT课件
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数学物理方法课件-9 分离变量法
(
p)
pTk
(0)
Tk(0)
ka
l
2
Hk
(
p)
Fk
(
p)
Hk
( p)
Fk
( p) pTk (0)
p2 ka
Tk(0)
2
l
Tk
(t)
Tk
(0)
cos
ka
l
t
Tk(0)
l
ka
sin
ka
l
t
l
ka
t 0
fk
(
)
sin
ka
l
(t
)d
即
Tk
(t)
Fk
cos
ka
l
t
Gk
l sin ka t l ka l ka
C1 0, C2 0
u(x,t) 0
无意义
ii) 0
X (x) C0 D0x 代入边界条件得
D0 0 X (x) C0
§9.2 齐定解问题的本征函数展开法 1. 定解问题的本征函数系
用分离变量法求解定解问题 齐方程 齐边界条件
得到的本征函数系，称为定解问题
0)
u t0 (x), ut t0 (x),
(0 x l)
的本征函数系.
例：用分离变量法求解问题
ut a2uxx 0, (0 x l, t 0)
u x0 0,
u 0, xl
(t 0)
得到的本征函数系
sin
n
l
x , 1
就是定解问题
uut
a2uxx 0,
x0
0, u
xl
a. 分离变量 化偏微为常微
b. 解本征值问题 求偏微特解 对λ进行讨论 λ < 0, λ = 0, λ > 0
偏微分课件分离变量法
将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。
*
物理意义
其中 对任意时刻 这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波， 其振幅 随不同的时间 而不同。
*
01
02
03
04
05
对任意一点
这表示在任意一点
处都作简谐振动。
节点
固有频率
例 令 是齐次方程和齐次边界条件的非零解 则有
故有 其中
偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
分离变量法
许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。
01
在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。
02
分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）
2.有界弦的强迫振动
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
方法一
方法二
齐次化原理
分离变量法
*
若
混合问题
的解，则
(2.6)
(2.5)
5
齐次化原理: 就是混合问题（2.1）-（2.4）的解。
6
混合问题（2.5）就化为
令
(2.7)
由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节的结论即得
其中
(2.8)
特解的叠加
(III)
为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。
*
物理意义
其中 对任意时刻 这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波， 其振幅 随不同的时间 而不同。
*
01
02
03
04
05
对任意一点
这表示在任意一点
处都作简谐振动。
节点
固有频率
例 令 是齐次方程和齐次边界条件的非零解 则有
故有 其中
偏微分方程 PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION (P.D.E)
分离变量法
许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的叠加原理。
01
在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的叠加原理。
02
分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的机械振动和电磁振动（总可分解为一些简谐振动的叠加）
2.有界弦的强迫振动
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
方法一
方法二
齐次化原理
分离变量法
*
若
混合问题
的解，则
(2.6)
(2.5)
5
齐次化原理: 就是混合问题（2.1）-（2.4）的解。
6
混合问题（2.5）就化为
令
(2.7)
由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节的结论即得
其中
(2.8)
特解的叠加
(III)
为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。
《分离变量法》课件
《分离变量法》 ppt课件
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
目 录
• 分离变量法简介 • 分离变量法的步骤 • 分离变量法的应用实例 • 分离变量法的优缺点 • 分离变量法的改进方向 • 分离变量法的未来展望
01
分离变量法简介
定义与特点
定义
分离变量法是一种求解偏微分方 程的方法，通过将多变量问题转 化为多个单变量问题，从而简化 求解过程。
交叉学科应用
探索分离变量法在交叉学 科中的应用，如生物医学 工程、环境科学等。
与其他方法的结合使用
与数值方法的结合
将分离变量法与其他数值方法（如有限元法、有限差分法等）结 合使用，形成更有效的数值计算方法。
与机器学习算法的结合
将分离变量法与机器学习算法相结合，用于数据分析和模式识别等 领域。
与优化算法的结合
工程与技术领域
分离变量法在解决工程与技术领域中的偏微 分方程问题方面具有优势，如结构分析、电 磁波传播、信号处理等。随着工程与技术的 不断发展，分离变量法有望在解决实际问题 中发挥更大的作用。
THANK YOU
感谢观看
立。
近似解
分离变量法得到的解是近似解，而 不是精确解。因为这种方法忽略了 各个变量之间的相互作用和影响。
数值稳定性
分离变量法在数值计算中可能存在 数值稳定性问题，例如数值误差的 累积和传播可能导致计算结果失真 或误差较大。
05
分离变量法的改进方向
算法优化
01
02
03
算法效率提升
通过改进算法结构，减少 计算复杂度，提高分离变 量法的计算速度。
精度控制
优化算法中的数值计算方 法，提高结果的精度和稳 定性，减少误差。
自适应调整
根据不同问题的特性，自 适应地调整算法参数，提 高分离变量法的适用性和 可靠性。
《分离变量法》课件
法的计算效率。
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
06
总结与展望
总结
内容回顾
详细梳理了分离变量法的基本概 念、应用场景、实施步骤和注意 事项，帮助学习者全面理解这一
方法。
案例分析
通过具体的案例分析，展示了分离 变量法在解决实际问题中的应用， 加深学习者对方法的理解和掌握。
互动问答
鼓励学习者在课程结束前提出疑问 ，并对常见问题进行了解答，有助 于巩固学习效果。
展望
新应用领域
实践应用建议
探讨分离变量法在未来可能的应用领 域，如人工智能、大数据分析等，为 学习者提供新的思路和方向。
为学习者提供将分离变量法应用于实 际问题的建议和指导，帮助他们更好 地实现学以致用。
方法改进
介绍分离变量法的最新研究进展和可 能的改进方向，激发学习者进一步探 索和研究。
谢谢您的聆听
02
分离变量法的原理
原理概述
分离变量法是一种求解偏微分方程的 方法，通过将多个变量分离，将复杂 的偏微分方程简化为一系列简单的常 微分方程，从而求解。
该方法适用于具有多个变量的偏微分 方程，特别是当各变量之间相互独立 时。
数学模型建立
首先，需要建立偏微分方程，并确定变量 的个数。
然后，通过适当的变换，将偏微分方程转 化为全微分方程。
求解过程
通过分离变量法，可以将 $u(x, t) = X(x) T(t)$，从而将波动方程 转化为 $X''(x) = -lambda X(x)$ 和 $T''(t) = -omega^2 T(t)$， 其中 $lambda$ 和 $omega$ 是常数。
应用实例二：化学反应动力学模型
总结词
描述化学反应速率
THANKS
《数学物理方程》分离变量法-精PPT共29页
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
《数学物理方程》分离变量法-精
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
数学物理方程分离变量法研究生高校本科生PPT课件
l n , (n 1, 2,.....)
从而得到了固有值为
n
n2 2
l2
,
(n 1, 2,.....)
相应的固有函数为
(11) 固有值问题
Xn (x)
B sin
n
l
x
,
(n 1, 2,.....)
X ''(x) X (x) 0 (6)
(12)
X
(0)
0,
X
(l)
0
(10)
第12页/共97页
ut |t0
x)
Cn sin
n1
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
第14页/共97页
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
u
ut
|t0 ( |t0
x)
Cn
n1
sin
n
l
x
n a
(x) Dn
n1
l
sin
n
l
x
这两式正好是(x)和 (x)关于 sin
n
l
x的正弦展开。
根据Fourier级数展开法则(见下页附录)，便可得到
§2.2.1 齐次方程定解问题的解法
iii)求方程满足边界条件的特解。
设u(x,t) X (x)T (t) (4)
为了求出T (t)，把(11)式代入(7)式，得 T ''(t) a2T(t) 0 (7)
T
''(t)
n2 2a2
l2
T
(t)
0
其通解为一对共轭复根，即
n
分离变量-PPT精选文档
第1部分 直角坐标系中的 分离变量法
适用条件
• 奇次问题 • 只有一个边界条件是非奇次的问题 • 超过一个非奇次边界条件的问题
主要内容
• • • • • 分离变量法 直角坐标系中热传导方程的分离 有限大物体的一维奇次问题 半无限大物体的一维奇次问题 非奇次问题分解成简单问题
2.1 分离变量法
数学模型 物理模型
d Γ 2 a Γ 0 d
2 d X x 2 X x 0 2 x
时间变量函数T（τ）满足微分方程
d Γ 2 a Γ 0 d
求解
Γ e
a 2
物理意义：
Γ 0
L x
TF (x )
0
求解
T x , X x Γ x
空间变量函数X(β，x) 特征值问题 时间变量函数(τ)的解：
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
Γ e
a 2
k 1
X h 0 1X x
L 0
2
1 ' T x , e X , x X , x x 'dx ' m m F N m 1 m
2 a m
2.4 半无限大物体的一维奇次问题
物理模型
数学模型
h1 , 0
x TF
T x , T 1 T x , T x a
空间变量函数X（x）满足微分方程
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
X 0 x
k
X hX0 x
适用条件
• 奇次问题 • 只有一个边界条件是非奇次的问题 • 超过一个非奇次边界条件的问题
主要内容
• • • • • 分离变量法 直角坐标系中热传导方程的分离 有限大物体的一维奇次问题 半无限大物体的一维奇次问题 非奇次问题分解成简单问题
2.1 分离变量法
数学模型 物理模型
d Γ 2 a Γ 0 d
2 d X x 2 X x 0 2 x
时间变量函数T（τ）满足微分方程
d Γ 2 a Γ 0 d
求解
Γ e
a 2
物理意义：
Γ 0
L x
TF (x )
0
求解
T x , X x Γ x
空间变量函数X(β，x) 特征值问题 时间变量函数(τ)的解：
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
Γ e
a 2
k 1
X h 0 1X x
L 0
2
1 ' T x , e X , x X , x x 'dx ' m m F N m 1 m
2 a m
2.4 半无限大物体的一维奇次问题
物理模型
数学模型
h1 , 0
x TF
T x , T 1 T x , T x a
空间变量函数X（x）满足微分方程
2 d X x 2 X x 0 2 x
0 x L
x 0
X 0 x
k
X hX0 x
分离变量法——数学物理定解问题
分离变量法是求解偏微分方程最基本和 常用的方法。
理论依据：线性方程的叠加原理和 Sturm-Liouville 理论。 基本思想：将偏微分方程的求解化为对 常微分方程的求解
2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定均匀的自由振动. 定解问题为：
2 2u u 2 0, 0 x l 2 a 2 t x t0 u x 0 0, u x l 0, u u t 0 ( x ), ( x ), 0 x l t t 0
④ 成立 X (0) 0, X ( l ) 0
2.1 有界弦的自由振动
则
X '' X 0 ⑤ X ( 0 ) 0, X ( l ) 0
参数
特征值问题 称为特征值.
函数X(x)称为特征函数 分三种情形讨论特征值问题的求解
2. 1 有界弦的自由振动
则无穷级数解 n at n at n x u( x , t ) ( An cos l Bn sin l ) sin l 为如下混合问题的解
n1
utt a 2 uxx 0 0 xl u xl 0 u x 0 0 0 xl u t 0 ( x ) u 0 xl t t 0 ( x )
特征方程 r 2 pr q 0
p 4q r1, 2 , 2 (1) 有两个不相等的实根 ( p 2 4q 0) r 1 , r2
特征根
2
p
两个线性无关的特解
得齐次方程的通解为
y1 e ,
r1 x
y2 e ,
r2 x
y C1e
r1 x
数学物理方程课件：8.1分离变量法介绍
X (0) 0 和 X '(l) 0.
C1 0 和
C2 cos l 0
(k
1)2 2 2 l2
(2k
1)2 4l 2
2
k 0,1,2,3
X
(x)
C2
sin
(2k
1)x 2l
C.
(2k 1)2 2a2
T ''
4l 2
T 0;
T (t) Acos (2k 1)at B sin (2k 1)at ,
nat l
Bn
sin
nat l
) cos
nx l
.
n0 n 1,2,3
D.
u(x,t) A0 B0t
n1
(
An
cos
na l
t
Bn
sin
na l
t
)
cos
nx l
.
由初始条件：
u t0 (x)
A0
n1
An
sin
nx l
(x),
A0
1 l
l 0
(
)d ,
An
2 l
l 0
( ) cos n l
X
(
x)
C2
sin
nx l
：本征值
：本征函数
C2是积分常数。
X ''X 0;
：本征值方程
C.
T ''
n2 2a2 l2
T
0;
T (t) Acos nat B sin nat ,
l
l
A、B 是积分常数。
un (x,t)
( An
cos
nat l
《分离变量法》PPT课件 (2)
第十章 分离变量法
1
简介
前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问 题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解 定解问题的一种最常用、最基本的方法. 分离变 量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件 的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用 另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解 问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系 下的分离变量法.
X (x) C2;
若 0,则X (x) C1 cos x C2 sin x代入齐次边界条件(27),得
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
23
只有当 0时的本征值问题才具有有意义的解,其中本征值为
n2 2
l2 相应的本征函数为
n 0,1,2,
（30）
X n (x)
n
A0 n1 An cos l
x (x),
B0
n1
Bn
n
l
a
cos n
l
x (x).
An
2 l
l(x) cos n
0
l
xdx
Bn
2
n a
l
(
x)
c
os
n
0
l
xdx
（37）
将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问 题的确定解.
26
物理意义
一般解(36)中A0 B0t描写杆的整体移动,其余部分描写杆的纵振动, 而且从系数表达式(37)中可以看出,A0和B0分别表示平均初始位移 和平均速度,由于不受外力作用,杆以不变的速度B0移动.
,
un
(x,
t)
(
An
cos
n
l
1
简介
前面介绍的通解法只适用于很少的一类定解问 题求解，而本章将要介绍的分离变量法则是求解 定解问题的一种最常用、最基本的方法. 分离变 量法是一种先求出满足泛定方程及部分定解条件 的全部特解，然后把这些特解叠加起来，再利用 另一部分定解条件求出叠加系数，从而求出定解 问题的解的方法.本章主要介绍几种常见坐标系 下的分离变量法.
X (x) C2;
若 0,则X (x) C1 cos x C2 sin x代入齐次边界条件(27),得
C2 0
(C1 sin l C2 cos l) 0
23
只有当 0时的本征值问题才具有有意义的解,其中本征值为
n2 2
l2 相应的本征函数为
n 0,1,2,
（30）
X n (x)
n
A0 n1 An cos l
x (x),
B0
n1
Bn
n
l
a
cos n
l
x (x).
An
2 l
l(x) cos n
0
l
xdx
Bn
2
n a
l
(
x)
c
os
n
0
l
xdx
（37）
将系数表达式（37）代入一般解（36）就得到了原定解问 题的确定解.
26
物理意义
一般解(36)中A0 B0t描写杆的整体移动,其余部分描写杆的纵振动, 而且从系数表达式(37)中可以看出,A0和B0分别表示平均初始位移 和平均速度,由于不受外力作用,杆以不变的速度B0移动.
,
un
(x,
t)
(
An
cos
n
l
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二阶常系数非齐次线性方程
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
y( x) Y ( x) y*( x),
按同一方式随时间振动，可统一表示为 ;T (t) (2) 各点振幅X 随点 x 而异，而与时间无关，用
X(x) 表示,所以驻波可用 X ( x)T (t) 表示。
2. 1 有界弦的自由振动
设 u( x, t) X ( x)T (t) 且u( x, t)不恒为零，代入
方程和边界条件中得
XT '' a2 X ''T 0 ①
由u( x, t)不恒为零，有： X ''( x) T ''(t ) X ( x) a2T (t )
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
取参数
T '' a2T
X '' X
2.1 有界弦的自由振动
X ('' x) X ( x) 0 ②
T ''(t ) a2T (t ) 0…..…….. ③
2.1 有界弦的自由振动
2. 1 有界弦的自由振动
➢ 分离变量法是求解偏微分方程最基本和 常用的方法。
➢ 理论依据：线性方程的叠加原理和 Sturm-Liouville 理论。
➢ 基本思想：将偏微分方程的求解化为对 常微分方程的求解
2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定均匀的自由振动.
定解问题为：
定理 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
2.0 预备知识－常微分方程
齐次方程 y py qy 0
特征方程 r 2 pr q 0
特征根
特解为 y1 e r1x , y2 xer1x
齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e r1x ;
(3) 有一对共轭复根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 i , r2 i , 特解为 y1 ex cos x, y2 ex sin x,
齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
2.1 有界弦的自由振动
(iii） 0时，通解 X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值条件
C1 0
C2sin
l 0
得 C2 0, 从而 sin l 0
故
l n
即
n2
l2
2
,
n 1，2,3,
而 X ( x) C sin nπ x,n 1,2,
2
l
2.1 有界弦的自由振动
p p2 4q
r1,2
, 2
(1) 有两个不相等的实根 ( p2 4q 0) r1 ,r2
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 e r2x ,
得齐次方程的e r2x ;
2.0 预备知识－常微分方程
(2) 有两个相等的实根 ( p2 4q 0)
第二章 分离变量法
2.0 预备知识－常微分方程
2.0 预备知识－常微分方程
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y( x) ky( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
l
x
…….⑤
2. 1 有界弦的自由振动
和u(x代x=定,入lt解处)初问的始nn题第n条11的一BA1(件nnA解类s得nni是齐lnca：oF次snisoln边xunnr界lliaext条r正(件xB弦)决(n级x定s)i数n的，n。这lat是)s在inxn＝l 0x 将( x), ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
An Bn
n
2 l
l
na
n
0l (
2
na
) sin
n
l
d
0l
(
)
sin
n
l
d
2.1 有界弦的自由振动
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
2u
t u
x
2 0
a2 0,
2u x 2
u
xl
0,
0,
0 xl t0
u
t
0
( x),
u ( x), 0 x l
t t0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
2.1 有界弦的自由振动
端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点 之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻 波。
驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，
2.0 预备知识－常微分方程
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
2.0 预备知识－常微分方程
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
n
l2
n
其解为
Tn(t )
An
cos
n
l
at
Bn sin
n at
l
两端 固定 弦本 的征 振动
所以
un
(
x,
t
)
(
An
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
l
x
叠加
n 1,2,3,
u( x, t )
( An
n1
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
(i) 0 方程通解为
X ( x) C e x C e x
1
2
由边值条件得
CC1e1
C2 l
0 C2e
l
0
C1 =C 2=0 从而 X ( x) 0， 0 无意义.
(ii) 0 时，通解 X ( x) C1x C2
由边值条件
CC12l
0 C2
0
C1 C2 0 X ( x) 0, 0 无意义
利用边界条件
X
(0)T
(t
)
0
④
X (l )T (t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X (l) 0
2.1 有界弦的自由振动
则
X '' X 0
⑤
X (0) 0, X (l) 0
参数 称为特征值.
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解
2. 1 有界弦的自由振动
y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
对应齐次方程 y py qy 0, 通解结构 如果 y*( x) 是方程 y py qy f ( x) 的一个特解， Y ( x) 是方程对应的齐次方程的通解，则方程的通解 为
y( x) Y ( x) y*( x),
按同一方式随时间振动，可统一表示为 ;T (t) (2) 各点振幅X 随点 x 而异，而与时间无关，用
X(x) 表示,所以驻波可用 X ( x)T (t) 表示。
2. 1 有界弦的自由振动
设 u( x, t) X ( x)T (t) 且u( x, t)不恒为零，代入
方程和边界条件中得
XT '' a2 X ''T 0 ①
由u( x, t)不恒为零，有： X ''( x) T ''(t ) X ( x) a2T (t )
这个式子的左端是x的函数, 右端是t的函数，何时恒等？
取参数
T '' a2T
X '' X
2.1 有界弦的自由振动
X ('' x) X ( x) 0 ②
T ''(t ) a2T (t ) 0…..…….. ③
2.1 有界弦的自由振动
2. 1 有界弦的自由振动
➢ 分离变量法是求解偏微分方程最基本和 常用的方法。
➢ 理论依据：线性方程的叠加原理和 Sturm-Liouville 理论。
➢ 基本思想：将偏微分方程的求解化为对 常微分方程的求解
2.1 有界弦的自由振动
研究两端固定均匀的自由振动.
定解问题为：
定理 设 y1( x), y2( x)是方程 y py qy 0 的两个 线性无关的解，则
y( x) C1 y1( x) C2 y2( x)
是方程的通解，其中 C1, C2 为任意常数.
2.0 预备知识－常微分方程
齐次方程 y py qy 0
特征方程 r 2 pr q 0
特征根
特解为 y1 e r1x , y2 xer1x
齐次方程的通解为 y (C1 C2 x)e r1x ;
(3) 有一对共轭复根 ( p2 4q 0)
特征根为 r1 i , r2 i , 特解为 y1 ex cos x, y2 ex sin x,
齐次方程的通解为 y ex (C1 cosx C2 sinx).
2.1 有界弦的自由振动
(iii） 0时，通解 X ( x) C1 cos x C2 sin x
由边值条件
C1 0
C2sin
l 0
得 C2 0, 从而 sin l 0
故
l n
即
n2
l2
2
,
n 1，2,3,
而 X ( x) C sin nπ x,n 1,2,
2
l
2.1 有界弦的自由振动
p p2 4q
r1,2
, 2
(1) 有两个不相等的实根 ( p2 4q 0) r1 ,r2
两个线性无关的特解 y1 e r1x , y2 e r2x ,
得齐次方程的e r2x ;
2.0 预备知识－常微分方程
(2) 有两个相等的实根 ( p2 4q 0)
第二章 分离变量法
2.0 预备知识－常微分方程
2.0 预备知识－常微分方程
二阶常系数线性方程的标准形式
y py qy f ( x)
定义：设 y1( x), y2( x) 为定义在 (a,b)内的两个函数， 如果存在非零常数 k,使得 y( x) ky( x),则称y1( x), y2( x) 线性相关，否则称 y1( x), y2( x) 线性无关.
l
x
…….⑤
2. 1 有界弦的自由振动
和u(x代x=定,入lt解处)初问的始nn题第n条11的一BA1(件nnA解类s得nni是齐lnca：oF次snisoln边xunnr界lliaext条r正(件xB弦)决(n级x定s)i数n的，n。这lat是)s在inxn＝l 0x 将( x), ( x) 展开为Fourier级数，比较系数得
An Bn
n
2 l
l
na
n
0l (
2
na
) sin
n
l
d
0l
(
)
sin
n
l
d
2.1 有界弦的自由振动
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
2u
t u
x
2 0
a2 0,
2u x 2
u
xl
0,
0,
0 xl t0
u
t
0
( x),
u ( x), 0 x l
t t0
特点: 方程齐次, 边界齐次.
2.1 有界弦的自由振动
端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点 之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻 波。
驻波的特点： (1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，
2.0 预备知识－常微分方程
y py qy 0 r 2 pr q 0
特征根的情况
实根r1 r2 实根r1 r2
复根r1,2 i
通解的表达式
y C1er1 x C2er2 x y (C1 C2 x)er2 x
y ex (C1 cos x C2 sin x)
2.0 预备知识－常微分方程
再求解T：
T
"(t)
a2
n2
2
T
(t)
0
n
l2
n
其解为
Tn(t )
An
cos
n
l
at
Bn sin
n at
l
两端 固定 弦本 的征 振动
所以
un
(
x,
t
)
(
An
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
l
x
叠加
n 1,2,3,
u( x, t )
( An
n1
cos
n
l
at
Bn
sin
n
l
at
)
sin
n
(i) 0 方程通解为
X ( x) C e x C e x
1
2
由边值条件得
CC1e1
C2 l
0 C2e
l
0
C1 =C 2=0 从而 X ( x) 0， 0 无意义.
(ii) 0 时，通解 X ( x) C1x C2
由边值条件
CC12l
0 C2
0
C1 C2 0 X ( x) 0, 0 无意义
利用边界条件
X
(0)T
(t
)
0
④
X (l )T (t ) 0
④ 成立 X (0) 0, X (l) 0
2.1 有界弦的自由振动
则
X '' X 0
⑤
X (0) 0, X (l) 0
参数 称为特征值.
特征值问题
函数X(x)称为特征函数
分三种情形讨论特征值问题的求解
2. 1 有界弦的自由振动