概率论与数理统计答案,祝东进

习题

1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止.

(4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或

检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2,

,6}i j i j Ω===;

(2){|0,1,

,9}i i Ω==;

(3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … };

(4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次,

正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)};

(5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤.

2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”.

(2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”.

解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=;

(2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =;

(3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =.

3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

(1) 事件“,,A B C 中至少有一个事件发生”. (2) 事件“,,A B C 中至少有两个事件不发生”. (3) 事件“,,A B C 中至多有一个事件不发生”. (4) 事件“,,A B C 中至少有一个事件不发生”. (5) 事件“,A B 至少有一个发生,而C 不发生”. 解:(1)A B C ; (2)()()()A B

A C

B

C 或 ()()()()A B C A B C AB C A B C ;

(3)()

()()()ABC A BC AB C AB C 或()

()()AB AC BC ;

(4)A B C ; (5)()A B C 或(

)()()ABC

ABC ABC .

4. 指出下列命题哪些成立,哪些不成立 (1) ()

A B AB B =. (2) ()A B A

AB =.

(3) ()

()A AB AB =. (4) ()A B C A B C =.

(5) A B A B =. (6) ()

()AB AB =∅.

(7) A B ⊂等价于A B B =或AB A =或B A ⊂. (8) 若AB =∅,则A B ⊂.

解:(1)正确;(2)正确;(3)正确;(4)正确;(5)错误;(6)正确;(7)正确;(8)正确.

5. 在数学系的学生中任选一名学生,令事件A 表示被选学生是女生, 事件

B 表示被选学生是三年级学生, 事件

C 表示被选学生是运动员. (1)叙述ABC 的意义.

(2)在什么条件下ABC A =成立 (3)什么时候A C =成立

解: (1)被选学生是三年级男运动员;

(2)因为ABC A =等价于A BC ⊂,即数学系的女生全部都是三年级运动员; (3)数学系的男生全部都是运动员,且运动员全部都是男生.

6. 试用维恩图说明,当事件A ,B 互不相容,能否得出A ,B 也互不相容 解: 不能.

7. 设样本空间{}010x x Ω=≤≤, 事件{}27A x x =≤≤,{}15B x x =≤≤,试求: ,,,A B AB B A A B -.

解:{}17A B x x =≤≤;{}25AB x x =≤≤;{}12B A x x -=≤<;

[0,2)(5,10]A B AB ==.

习题

(6) 设

A B ⊂,

()()0.2,0.3,

P A P B ==求(1)()P A B ; (2)

()P BA ;(3)()P A B -. 解: ()()0.3P A B P B ==;

()()()0.1P B A P B P A =-=;

()()0P A B P -=∅=.

(7) 设()(),P AB P A B = 且()2

,3

P A =求()P B .

解:注意到()()1()1()()()P A B P A B P A B P A P B P AB ==-=---. 从而由()()P AB P A B =得()()1P A P B +=.

于是1

()1()3

P B P A =-=.

(8) 设,,A B C 为三个随机事件, 且1()()(),2

P A P B P C ===1

()(),3P AB P BC ==

()0P AC =,求()P A B C .

解: 由()0P AC =知()0P ABC =. 于是由广义加法公式有

()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+

325

236

=

-=.