小学数学六年级奥数《定义新运算(二)》练习题(含答案)

小学数学六年级奥数《定义新运算（二）》练习题（含答案）

一、填空题

1.规定:a ※b =(b+a )×b ,那么(2※3)※5= .

2.如果a △b 表示b a ⨯-)2(,例如3△444)23(=⨯-=,那么,当a △5=30时, a= .

3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1

4.根据上面定义的运算,18△12= .

4.已知a ,b 是任意有理数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2-=⊗ab b a ,那么[]=⊗⊕⊕⊗)53()86(4 .

5.x 为正数,表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .

6.如果a ⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, x = .

7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= .

8.我们规定:符号○表示选择两数中较大数的运算,例如:5○3=3○5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3.

请计算:=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛••25.210623799343.03323625.026176.0 .

9.规定一种新运算“※”: a ※b =)1()1(++⨯⋅⋅⋅⨯+⨯b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么x = .

10.对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y=cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m=x (m ≠0),则m 的数值是 .

○ △ △ ○

二、解答题

11.设a ,b 为自然数,定义a △b ab b a -+=22.

(1)计算(4△3)+(8△5)的值;

(2)计算(2△3)△4;

(3)计算(2△5)△(3△4).

12.设a ,b 为自然数,定义a ※b 如下:如果a ≥b ,定义a ※b=a -b ,如果a

13.设a ,b 是两个非零的数,定义a ※b a

b b a +=. (1)计算(2※3)※4与2※(3※4).

(2)如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值.

14.定义运算“⊙”如下:

对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b . 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)说明,如果c 整除a 和b ,则c 也整除a ⊙b ;如果c 整除a 和a ⊙b ,则c 也整除b ;

(3)已知6⊙x =27,求x 的值.

———————————————答 案——————————————————————

1. 100.

因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.

2. 8.

依题意,得305)2(=⨯-a ,解得8=a .

3. 42.

18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42.

4. 98.

原式]1313[4)]253()186[(4⊕⊗=-⨯⊕-+⊗=

98

2254254]11313[4=-⨯=⊗=-+⊗=

5. 11.

<19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以

原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.

6. 6.

x ⊙5-5⊙x=(3 x -2×5)-(3×5-2 x )=5 x -25,由5 x -25=5,解得x=6.

7. 45678.

8. 2

1. 因为•6.0○322617=○322617=,0.625△853323=△8

53323=, •3.0△319934=△319934=,106237○10623725.2=○4

949=, 所以,原式214

9318532=++=.

9. 2.

令x ※3=y ,则y ※4=421200,

又4212002726252413532244⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=,

所以y=24,即x ※3=24.

又24=432323⨯⨯=⨯,故x =2.

10. 4.

由题设的等式x ※y=cxy by ax -+及x ※m=x (m ≠0),得

000=⋅⋅-+⋅m c bm a ,

所以bm=0,又m ≠0,故b=0.因此x ※y=ax -cxy.

由1※2=3,2※3=4,得⎩

⎨⎧=-=-46232c a c a 解得a =5,c =1. 所以x ※y =5x -xy ,令x =1,y=m 得5-m=1,故m =4.

11. (1)原式()()62585834342222=⨯-++⨯-+=;

(2)原式()323222⨯-+=△4=7△4=37474722=⨯-+;

(3)原式()525222⨯-+=△()19434322=⨯-+△13

2831319131922=⨯-+=.

12. (1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;

(2)因为表示a ※b 表示较大数与较小数的差,显然a ※b= b ※a 成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※

9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.

13. (1)按照定义有2※36132332=+=,3※412

253443=+=. 于是(2※3)※46

13=※4=312745132424136

1344613

=+=+. 2※(3※4)=2※600

12012425252421225

12

2521225=+=+=. (2)由已知得233=+a

a ① 若a ≥6,则3

a ≥2,从而233>+a a 与①矛盾.因此a ≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a =3符合要求.

14. (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.

(2)如果c 整除a 和b ,那么c 是a 和b 的公约数,则c 整除a ,b 的最大公约数,显然c 也整除a ,b 最小公倍数,所以c 整除最小公倍数与最大公约的差,即c 整除a ⊙b .

如果c 整除a 和a ⊙b ,由c 整除a 推知c 整除a ,b 的最小公倍数,再由c 整除a ⊙b 推知, c 整除a ,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除b ,所以 c 整除b .

(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.

因为6与x 的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x 的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.

由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到