数学方法之换元法篇

数学方法之换元法篇

通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.

一、整体换元

例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 解析：设

••

t x x •y x x t .21

cos sin ),22(cos sin 2-=•≤≤-+=则

•

t t t y .1)1(2

12122-+=+-=故 当.22

1

,2max

+==

••y

•t 时

二、三角换元

例2：求函数2

5x x y -+=的值域. 解析：令••••x ],2

,2[,sin 5π

πθθ-

∈=

).

4

sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5π

θθθθθ+=+=+•=y 则 因为

2

2

π

θπ

≤

≤-

，所以

.4

34

4

π

π

θπ

≤

+

≤-

所以1)4

sin(22≤+≤-

πθ，得

10

)4

sin(105≤+

≤-π

θ

所以函数的值域为[10

,5•-

]. 三、平均数换元法

例3：

已知

正

数

.4

25

)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x•求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为2

1，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<2

1）, 则

.4

11625

23)

1)(1()1)(1(22422θθθ-+

+=

++=++xy

y x y y x x 显然分子

的值大于等于1625

，

分母的值大于0小于等于4

1，从而得证. 四、比值换元

例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3

2

21-=

+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最

小值

解析：由比例可以设t z y x =-=+=-32

2111，则 222z y x ++2

2)12()1(-++=t t +.

61014)

23(22

++=+t t t 当14

5

-=t 时，即149=x ，712-=y ，2

22

,14

13

z y ••x

z ++=时达到最小

值.

五、根式换元

例5：求函数y =2x +x

21-的值域.

解析：设t =x

21-≥0，则x =2

12

t -，f

(t )=)

0(2

1

2

12

≥++-t t t

，由二次函数的图象可以知

f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••

∞- 六、不等量换元

例6：求证：4

7)

1(113121112

2

3

2

2

<

++++++n n Λ.

证明：对通项公式进行变形

)1

111(21)1)(1(111122+--•=+-=-

n ，n +1

，则

47)2111211(211)1(113121112

2322<

+-+-++<++++++n n n n Λ.