中考几何中的类比探究解题方法分析
几何类比探究题型-2024年中考数学答题技巧与模板构建(解析版)
几何类比探究题型题型解读|模型构建|通关试练几何的类比探究题型是近年中招解答题的必考题型，该题型往往以压轴题的形式出现，有一定的难度。
探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类。
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．模型01图形旋转模型模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转手拉手模型是有两个等腰的三角形或者两个等边的三角形，他们有一个共同的顶点，且两个等腰三角形的顶角是相等的，那么就可以用角的和差求得共顶点的另外两个角相等等，然后利用等腰的边对应相等，可证明两个三角形全等(边角边)组成这样的图形模样的我们就说他是手拉手模型。
在类比探究题型中，往往会对等腰三角形或者等边三角形进行演变，变成一般三角形进行旋转，通常全等三角形变为相似三角形。
模型特征：双等腰；共顶点；顶点相等；绕着顶点作旋转解题依据：等腰共顶手拉手，旋转全等马上有；左手拉左手，右手拉右手，两根拉线抖一抖，它们相等不用愁；拉线夹角与顶角，相等互补答案有。
模型02图形平移模型探究1.四边形平移变换四边形的平移变换题型中主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平移几何性质、三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等或相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．2.三角形平移变换三角形平移变换主要利用三角形全等和三角形相似的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，平移性质、平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法.3.其它图形平移类比探究问题综合考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论.模型03动点引起的题型探究动点型问题是指题设中的图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线、直线、抛物线、双曲线、弧线等上运动的一类非常具有开放性的题目。
三角形与四边形类比探究题(中考专题)
类比研究解决类比研究问题的一般方法：1、依据题设条件，联合各问条件，先解决第一问；2、用解决第一问的方法类比解决下一问，假如不可以，两问综合进行剖析，找出不可以类比的原由和不变特色，依照不变的特色，研究新的方法。
类比研究：图形构造近似、问题近似、常含研究、类比等重点词。
类比研究解题方法和思路1、找特色（中点、特别角、折叠等），找模型：相像（母子型、 A 型、非 A 型、X 型、非 X 型）三线合一、面积、全等三角形等；2、借助几问之间的联系，找寻条件和思路。
3、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬协助线、照搬全等、照搬相像等。
4、找构造：找寻不变的构造，利用不变构造的特色解决问题。
常有不变构造及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相像；②中点：作倍长、经过全等转移边和角；③平行：找相像、转比率。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没实用，如何进行转变，找寻能够类比的方法和思路。
1．以下图，在正方形上连结等腰直角三角形和正方形，无穷重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S1，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2，，第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和为S n．（1）计算 S1、 S2、 S3、 S4．（2）总结出S n与 S n﹣1的关系，并猜想出S1+S2+S3+S4++S n与 n 的关系．2．（淄博）分别以 ? ABCD （∠ CDA≠ 90°）的三边 AB ，CD， DA 为斜边作等腰直角三角形，△ABE ，△CDG ，△ ADF ．（1）如图 1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外面时，连结GF， EF．请判断GF 与 EF 的关系（只写结论，不需证明）；（2）如图 2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，（ 1）中结论还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，说明原由．3．将两个用钢丝设计成的能够完整重合的直角三角形模型ABC 和直角三角形DEF 按如图所示的地点摆放，使点 B、 F、 C、 D 在同一条直线上，且 AB 和 DE、EF 分别订交于点 P、 M ，AC 和 DE 订交于点 N．（1）试判断线段 AB 和 DE 的地点关系，并说明原由；（2）若 PD=AC ，线段 PE 和 BF 有什么数目关系，请说明你的原由．4．如图，四边形 ABCD 为正方形，△ BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=90°，点 B、 E、F按逆时针摆列），点 P 为 DE 的中点，连 PC，PF（1）如图①，点 E 在 BC 上，则线段 PC、PF 的数目关系为 ________，地点关系为 _________（不证明）．（2）如图②，将△BEF 绕点 B 顺时针旋转 a（ O＜ a＜ 45°），则线段 PC，PF 有何数目关系和地点关系？请写出你的结论，并证明．（3）如图③，△AEF 为等腰直角三角形，且∠ AEF=90°，△ AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，能使点 F 落在 BC 上，且 AB 均分 EF，直接写出AE 的值是_________．5．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 E 为 BC 边上一动点（不与点 B、 C 重合），过点 E 作射线EF 交 AC 于点 F，使∠ AEF= ∠ B．（1）判断∠ BAE 与∠ CEF 的大小关系，并说明原由；（2）请你研究：当△ AEF为直角三角形时，求∠AEF 与∠ BAE 的数目关系．CE 6．如图，△ ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°， BC=2 ， E 为 AB 上随意一动点，以为斜边作等腰直角△CDE ，连结 AD ，（1）当点 E 运动过程中∠ BCE 与∠ ACD 的关系是 ________．（2） AD 与 BC 有什么地点关系？说明原由．（3）四边形 ABCD 的面积能否有最大值？假如有，最大值是多少？假如没有，说明原由．7．直角三角形ABC 中，∠ C=90°， AC=BC ，点 P 是三角形 ABC 内一点，且知足∠P AB= ∠PBC= ∠ PCA ，（1）判断 PC 与 PB 的地点关系，并对你的判断加以说明．（2）△ ABP 与△ APC 的面积比．8．（内江）如图，△ACD和△ BCE都是等腰直角三角形，∠ACD= ∠ BCE=90°， AE 交 CD 于点 F，BD 分别交 CE、AE 于点 G、H．试猜想线段 AE 和 BD 的数目和地点关系，并说明原由．9．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°， D 为 BC 的中点， DE ⊥ AB ，垂足为 E，过点 B作 BF∥ AC 交 DE 的延伸线于点 F，连结 CF．（1）证明：△ BDF 是等腰直角三角形．（2）猜想线段 AD 与 CF 之间的关系并证明．10．如图，等腰直角三角形 ABC 中，AC=BC ，将△ ABC 绕斜边 AB 的中点 O 旋转至△ DEF 的地点， DF 交 AB 于点 P， DE 交 BC 于点 Q．请猜想 OQ 与 OP 有如何的数目关系？并证明你的结论．11．（ 1）如图甲，直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，分别以 AB ，AC ，BC 为边作正方形 ABEF ，ACMN ， BCGH ，面积分别设为 S， P， Q，则 S， P， Q 知足如何的等量关系？（直接写出结果，不需证明）（2）如图乙，直角三角形 ABC 中，∠ C=90°，分别以 AB ，AC ，BC 为边作等边三角形 ABE ，ACM ，BCH ，面积分别设为 S，P， Q，则 S，P， Q 知足如何的等量关系？并证明；（3）如图丙，锐角三角形ABC 中，分别以 AC ，BC 为边作随意平行四边形ACMN ，BCGH ，面积分别设为 P，Q，NM 和 HG 的延伸线订交于点 D ，连结 CD，在 AB 外侧作平行四边形ABEF ，使得 BE， AF 平行且等于 CD ，面积设为 S，则 S， P， Q 知足如何的等量关系？并证明．12．以下图，四边形 ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠ BFE=90°，点 B、E、 F 按逆时针次序），P 为 DE 的中点，连结 PC、PF．（1）如图（ 1），E 点在边 BC 上，则线段 PC、PF 的数目关系为________，地点关系为 _________（不需要证明）．（2）如图（ 2），将△ BEF 绕 B 点顺时针旋转α°（ 0＜α＜ 45），则线段 PC、PF 有何数目关系和地点关系？请写出你的结论并证明．（3）如图（ 3）， E 点旋转到图中的地点，其余条件不变，达成图（3），则线段PC、 PF 有何数目关系和地点关系？直接写出你的结论，不需要证明．13．（富宁县）将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 如图①方式摆放，此中∠ACB= ∠ DEB=90°，∠ A= ∠ D=30°，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F．（1）求证： AF+EF=DE ；（2）若将图①中的直角三角形ABC 绕点 B 顺时针方向旋转，且∠ABD=30°，其余条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（1）中猜想的结论能否仍旧建立；（3）若将图①中的直角三角形DBE 绕点 B 顺时针方向旋转，且∠ABD=65°，其余条件不变，如图③，你以为（ 1）中猜想的结论还建立吗？若建立，写出证明过程；若不建立，请写出 AF 、 EF 与 DE 之间的关系，并说明原由．14．（营口）如图 1，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F 是 AC 边上的一个动点（点F 与 A、 C 不重合），以 CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连结 BF 、 AD ．（1）①猜想图 1 中线段 BF、 AD 的数目关系及所在直线的地点关系，直接写出结论；②将图 1 中的正方形CDEF ，绕着点 C 按顺时针（或逆时针）方向旋转随意角度α，获得如图 2、图 3 的情况．图 2 中 BF 交 AC 于点 H，交 AD 于点 O，请你判断①中获得的结论能否仍旧建立，并选用图 2 证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形 ABC ，∠ ACB=90°，正方形 CDEF改为矩形 CDEF ，如图 4，且 AC=4 ， BC=3 ，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连结 BD 、 AF，求 BD 2+AF2的值．15．（石家庄）在图 1 到图 3 中，点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点，△ MPN 为直角三角形，∠ MPN=90° ．正方形 ABCD 保持不动，△ MPN 沿射线 AC 向右平移，平移过程中 P 点一直在射线 AC 上，且保持 PM 垂直于直线 AB 于点 E， PN 垂直于直线 BC 于点 F．（1）如图 1，当点 P 与点 O 重合时， OE 与 OF 的数目关系为_________；（2）如图 2，当 P 在线段 OC 上时，猜想 OE 与 OF 有如何的数目关系与地点关系？并对你的猜想结果赐予证明；（3）如图 3，当点 P 在 AC 的延伸线上时，OE关系为_________．与 OF 的数目关系为_________；地点16．己知：正方形ABCD ．（1）如图①，点E、点 F 分别在边AB 和 AD 上，且 AE=AF ．此时，线段BE、DF 的数目关系和地点关系分别是什么？请直接写出结论．（2）如图②，等腰直角三角形 FAE 绕直角极点 A 顺时针旋转∠α，当 0°＜α＜ 90°时，连结BE 、 DF，此时（ 1）中的结论能否建立，假如建立，请证明；假如不建立，请说明原由．（3）如图③，等腰直角三角形 FAE 绕直角极点 A 顺时针旋转∠α，当 90°＜α＜ 180°时，连结 BD 、 DE 、 EF、 FB，获得四边形 BDEF ，则按序连结四边形 BDEF 各边中点所构成的四边形是什么特别四边形？请直接写出结论．17．（葫芦岛）已知：△ ABC 和△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ ABC= ∠ADE=90°，点 M 是CE 的中点，连结 BM ．（1）如图①，点 D 在 AB 上，连结 DM ，并延伸 DM 交 BC 于点 N ，可研究得出BD 与 BM 的数目关系为_________；（2）如图②，点 D 不在 AB 上，（1）中的结论还建立吗？假如建立，请证明；假如不建立，说明原由．18．（南通）如图 1，O 为正方形 ABCD 的中心，分别延伸 OA 、OD 到点 F、E，使 OF=2OA ，OE=2OD ，连结 EF．将△ EOF 绕点 O 逆时针旋转α角获得△E1OF1（如图 2）．（1）研究 AE 1与 BF 1的数目关系，并赐予证明；（2）当α=30°时，求证：△AOE 1为直角三角形．19．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记录．如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，能够用其面积关系考证勾股定理．图 2 是由图 1 放入矩形内获得的，∠BAC=90°， AB=3 ， AC=4 ，点 D， E，F， G， H ， I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为多少？20．如图，等腰直角三角形 ABC 中，∠ BAC=90°，D、E 分别为 AB 、AC 边上的点， AD=AE ，AF ⊥BE 交 BC 于点 F，过点 F 作 FG⊥ CD 交 BE 的延伸线于点 G，交 AC 于点 M ．（1）求证：△ EGM 为等腰三角形；（2）判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数目关系并证明你的结论．21．（辽阳）已知直角梯形ABCD ，AB ∥ CD，∠ C=90°， AB=BC=CD ， E 为 CD 的中点．（1）如图（ 1）当点 M 在线段 DE 上时，以 AM 为腰作等腰直角三角形 AMN ，判断 NE 与 MB 的地点关系和数目关系，请直接写出你的结论；（2）如图（ 2）当点 M 在线段 EC 上时，其余条件不变，（ 1）中的结论能否建立？请说明原由．22．如图，△ ABC 与△DEC 是两个全等的直角三角形，∠ ACB= ∠ CDE=90°，∠ CAB= ∠DCE ，AB=4 ， BC=2 ，△DEC 绕点 C 旋转， CD 、 CE 分别与 AB 订交于点 F、 G（都不与 A 、B 点重合），设 BG=x ．回答以下问题：（1）设 CG=y1，请研究y1与 x 的函数关系，并直接写出y1的最小值；（2）设 AF=y 2，请研究y2与 x 的函数关系．23．（丰台区）已知：△ ABC和△ ADE是两个不全等的等腰直角三角形，此中BA=BC ，DA=DE ，连结 EC，取 EC 的中点 M ，连结 BM 和 DM ．（1）如图 1，假如点 D、E 分别在边AC 、AB 上，那么 BM 、DM 的数目关系与地点关系是_________；（2）将图 1 中的△ADE 绕点 A 旋转到图 2 的地点时，判断（ 1）中的结论能否仍旧建立，并说明原由．24．若直角三角形三边长为正整数，且周长与面积数值相等，则称此三角形为角形”，求“完满直角三角形”的三边长．“完满直角三25．以△ ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰Rt △ ABD 和等腰 Rt△ ACE ，∠B AD= ∠ CAE=90°，连结 DE，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点．研究： AM 与 DE 的地点关系及数目关系．（1）如图①当△ ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的地点关系是_________，线段AM 与 DE 的数目关系是_________；（2）将图①中的等腰 Rt△ ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ°（0＜θ＜ 90）后，如图②所示，（1）问中获得的两个结论能否发生改变？并说明原由．26．（邯郸）（ 1）如图 1，四边形直线上，连结DE 并延伸交线段求证： AB=DE ，AB ⊥ DE ；ACDGAB 于点与四边形F．ECBH都是正方形，且B， C，D在一条（2）假如将（1）中的两个正方形换成两个矩形，如图2，且==，则AB与DE的数目关系与地点关系会发生什么变化？请说明你的见解和原由．（3）假如将（1）中的两个正方形换成两个直角三角形，如图3，∠ BCE= ∠ ACD=90°，且=k ，且请直接写出AB 与 DE 的数目关系与地点关系．27．锐角为 45°的直角三角形的两直角边长也相等，这样的三角形称为等腰直角三角形．我们常用的三角板中有一块就是这样的三角形，也可称它为等腰直角三角板．把两块全等的等腰直角三角板按如图 1 搁置，此中边BC、 FP 均在直线 l 上，边 EF 与边 AC 重合．（1）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的地点时， EP 交 AC 于点 Q，连结 AP， BQ．猜想并写出 BQ 与 AP 所知足的数目关系和地点关系，请证明你的猜想；（2）将△EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的地点时， EP 的延伸线交 AC 的延伸线于点Q，连接 AP， BQ ．你以为（ 1）中所猜想的 BQ 与 AP 的数目关系和地点关系还建立吗？若建立，给出证明；若不建立，请说明原由．28．如图1，E 是等腰Rt△ABC 边AC 边在Rt△ABC 作等腰Rt △CDE，连结长度关系及所在直线的地点关系：上的一个动点（点 E 与 A、C 不重合），以 CE 为一AD ， BE．我们研究以下图中线段AD 、线段 BE 的（1）①猜想如图 1 中线段 AD 、线段 BE 的长度关系及所在直线的地点关系；②将图 1 中的等腰 Rt△ CDE 绕着点 C 按顺时针方向旋转随意角度a，获得如图2、如图 3情况．请你经过察看、丈量等方法判断①中获得的结论能否仍旧建立，并选用图 2 证明你的判断．（2）将原题中等腰直角三角形改为直角三角形（如图6），且AC=a，BC=b，CD=ka，CE=kb （a≠b， k＞0），第（ 1）题①中获得的结论哪些建立，哪些不建立？若建立，以图 5 为例简要说明原由．（3）在第（2）题图 5 中，连结BD、AE ，且a=4， b=3， k=，求 BD 2+AE 2的值．29．如图1，在△ ABC中，∠ ACB为锐角，点 D 为射线BC上一动点，连结AD ，以AD 为直角边且在AD 的上方作等腰直角三角形ADF ．（1）若 AB=AC ，∠ BAC=90° ．①当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），尝试讨CF 与 BD 的数目关系和地点关系；②当点 D 在线段 BC 的延伸线上时，①中的结论能否仍旧建立，请在图 2 中画出相应图形并说明原由；（2）如图 3，若 AB≠AC ，∠ BAC≠90°，∠ BCA=45°点 D 在线段 BC 上运动，尝试究CF 与BC 地点关系．30．已知△ ABC 和△ ADE 分别是以 AB ．AE 为底的等腰直角三角形，以CE，CB 为边作平行四边形 CEHB ，连 DC， CH．（1）如图 1，当 D 点在 AB 上时，则∠ DEH 的度数为_________；CH与CD的数目关系是_________，并说明原由；（2）将图 1 中的△ ADE 绕 A 点逆时针旋转45°得图 2：则∠ DEH 的度数为_________，CH 与 CD 之间的数目关系为_________；（3）将图 1 中的△ADE 绕 A 点顺时针旋转α（O°＜α＜ 45°）得图 3，请研究 CH 与 CD 之间的数目关系，并赐予证明．类比找规律专题训练题1、以以下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状相同的小正方形，而后将此中的一个小正方形再按相同的方法剪成四个小正方形，再将此中的一个小正方形剪成四个小正方形，这样循环进行下去；（1）填表：剪的次数12345正方形个数（2）假如剪 n 次，共剪出多少个小正方形？（3）假如剪了 100 次，共剪出多少个小正方形？（4）察看图形，你还可以得出什么规律？2、现有黑色三角形“▲”和“△ ”共200个，依照必定规律摆列以下：▲▲△ △▲△▲▲ △△ ▲△▲▲则黑色三角形有个，白色三角形有个。
中考数学复习考点知识专题讲解18---几何变式探究和类比变换综合类问题
（1）求证：DE∥AB； （2）当 x＝1 时，求点 E 到 AB 的距离；
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（3）将△DCE 绕点 E 逆时针方向旋转，使得点 D 落在 AB 边上的 D′处．在旋转的过程 中，若点 D′的位置有且只有一个，求 x 的取值范围． 5．在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，作 AP⊥AB，交 BC 于 P 点． （1）如图 1，若 AB＝3 ，求 BC 的长； （2）点 D 是 BC 边上一点，连接 AD，将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90°，得到线段 AE． ①如图 2，当点 E 落在 AC 边上时，求证：CE＝2BD；
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PC = 1，直接写出 PA 长的最大值．
【变式 1-2】（2018•亭湖区二模）如图，在等腰 Rt∆ABC 与等腰 Rt∆ADE 中，∠BAC = ∠DAE = 90° ． （1）连接 BD ， CE （如图① ) ，请直接写出线段 BD ， CE 的数量关系____； （2）在（1）的基础上，延长 BD 交 CE 于点 F ，连接 AF （如图② ) ，试探究线段 AF ， BF ，
全等．
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【达标检测】 1．如图 1，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，D、E 是斜边 BC 上两动点，且∠DAE＝45°，将△ABE
绕点 A 逆时针旋转 90 后，得到△AFC，连接 DF． （1）试说明：△AED≌△AFD； （2）当 BE＝3，CE＝9 时，求∠BCF 的度数和 DE 的长； （3）如图 2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D 是斜边 BC 所在直线上一点，BD＝3，BC＝8，求 DE2 的长．
中考几何中的类比探究解题方法分析
（2）作 EH⊥CD，EQ⊥AB，先证△EFQ∽△EGH，易得 EF EQ ， EG EH
再证△AQE∽△EHC，那么 EA EQ 2 ， EC EH 1
CD m
∴=
CG 2
（3）拓展迁移
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如图 3，梯形 ABCD 中，DC//AB，点 E 是 BC 的延长线上一点，AE 和 BD 相交于点 F。
若
AB
a
BC
，
b(a
0,b 0) ，则
AF
的值是
AF
ab（用含 a，b
的代数式表示）。
CD
BE
EF
EF
E
【解析】过 E 作 EH∥AB，交 BD 延长线于点 H
∴ EA EQ 2 EG EH 1
∴ EF 2 EG
∴EF=2EG；
（3）EF=kEG．
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【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。】
中考数学类比探题思维误区： 第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，
基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考， 而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一 道题当成三道题来做了。
H
由题意可知:EH∥DC∥AB
∴ BC CD BE EH
∴CD = b EH
D
C
F
又∵ AB a CD
∴AB=a CD
中考数学压轴几何综合中类比法解决问题
几何综合中类比思想问题：1.已知：E 是边长为1的正方形ABCD 对角线BD 上一动点，点E 从D 点向B 点运动（与点B 、D 不重合），过点E 的直线MN ∥DC ，交AD 于点M ，交BC 于点N ，EF ⊥AE 于点E ，交CB （或CB 的延长线）于点F ．（1）如图甲，线段EM 与FN 之间有怎样的大小关系？请证明你的结论．（2）点E 在运动过程中（如图乙），线段EM 与FN 之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由。
（3）点E 在运动的过程中（图甲、图乙），四边形AFNM 的面积是否发生变化？请说明理由．2.如图，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点E 与正方形ABCD 的顶点A 重合。
三角板的一边交CD 于点F ，另一边交CB 的延长线于点G 。
（1）求证：EF=EG（2）移动三角板，使顶点E 始终在正方形ABCD 的对角线AC 上，其它条件不 变，（1）中的结论“EF=EG ”是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（3）若将（2）中的“正方形ABCD ”改为“矩形ABCD ”，其使三角板的一边经过点B,其它条件不变，若AB=2，BC=3，求EGEF的值。
3.一直角三角尺的直角顶点P在正方形ABCD的对角线AC上滑动（P与A、C两点不重合），且它的一条直角边始终经过点D,另一条直角边与射线BC交于点E.（1）如图1，当点E在BC边上时，①判断△PBE的形状，并说明理由；②过点E作EF⊥BC交AC所在的直线于点F,求证：CP-AP=2EF.（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，判断（1）中的①、②这两个结论是否任然成立？若不成立，请写出你认为正确的结论。
4.正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．图③图②图①AAEFFEAA5.如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF∠= ，且EF交正方形外角DCG∠的角平分线CF于点F。
中考数学类比研究(二)(讲义及答案)
A D
D
A
A
P
P
E
E
B
CB 图1
图2
CB
C 备用图
2. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E 是 AB 边的中点，以 AE 为边作正方形 AEFG，连接 DE，BG． （1）发现 ①线段 DE，BG 之间的数量关系是__________； ②直线 DE，BG 之间的位置关系是__________． （2）探究 如图 2，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成 立，请说明理由． （3）应用 如图 3，将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转一周，记直线 DE 与 BG 的交点为 P，若 AB=4，请直接写出点 P 到 CD 所在直线距离的最大值和最小值．
2. 作图 作图既是理解题意的体现，也是辅助思考，分析问题的一种手段． ①往往需要先画草图理解题意，然后根据分析题目得到的特征不断精准作图． ②精准作图，往往需要先辨识特征，然后依据不变特征分析运动轨迹，设计作图方案． 常见作图特征 （1）与作圆相关 ①一定点一动点，两点间距离确定，则动点在圆上； ②两定点一动点，满足以动点为顶点的角为 90°，则动点在圆上； ③直角三角形中，直角顶点固定，斜边运动但长度不变，则斜边中点在圆上． （2）与折叠相关 ①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上； ②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线． （3）与旋转相关 ①注意旋转中心、旋转方向、旋转角度； ②旋转作图时往往只需保留研究目标即可． （4）与平移相关 根据平移方向和平移距离画出点的运动路径（平移通道）．
把△DEA 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AC= 10 ，AD=2，请直接写出当点 B，D，E 在一条直线上时 CE 的长．
几何难点突破之类比探究讲义及答案
几何难点突破之类比探究（讲义）一、知识点睛识别类比探究题型特征：1.题目中一般有三问或者更多，每小问的条件和图形相似度很高，因此可以“照搬”第一问的方法；2.每一问的图形或点的位置会有所变化（通常条件从特殊走向一般），但可以在这些变化过程中按照第一问的思路和对应关系找角、找边、找全等．二、精讲精练1. 如图1所示，在△ABC 和△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，M 、N 分别为BE 、CD 的中点．（1）求证：①BE =CD ；②△AMN 是等腰三角形．（2）在图1的基础上，将△ADE 绕点A 按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图2所示的图形．（1）中的两个结论是否仍然成立，若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．图2ME CBNDA图1CBMN ED A2. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边作菱形ADEF （A 、D 、E 、F 按逆时针排列），使∠DAF ＝60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时，求证：①BD ＝CF ；②AC ＝CF ＋CD ；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC ＝CF ＋CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时，探究AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系．图1AFECDB图2ABC DFEABCD F3. 如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．且90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平分线CF 于点F ．（1）求证：AE =EF ；（2）如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；（3）如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”是否成立？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由．图1GFE DC B A图2A B CDE FG图3GFE DCBA4.如图1，在△ABC 中，点P 为BC 边的中点，直线a 绕顶点A 旋转，若B 、P 在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接PM 、PN ；（1）求证：PM =PN ；（2）若直线a 绕点A 旋转到图2的位置时，点B 、P 在直线a 的同侧，其它条件不变．此时PM =PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变．请判断四边形MBCN 的形状及此时PM =PN 还成立吗？图1ABCP aMN图2ABCP aM N图3NMaP CBA5.如图1所示,已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC 、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.(1)如图2，当点E恰好在直线l上时(此时E1与E重合)，试说明DD1=AB；(2)在图1中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当点E在直线l的下方时，请探究三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.DA BGEFCl D1E1图1GEBACFD1DE1()l图2图3lFGEBACD1DE16. 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE ＝PB ，连接PD ，O 为AC 中点． （1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；（3）如图3，当点P 在AC 的延长线上时，判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．图1BB图2三、课后作业1．已知：如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA、NB分别相交于点D、E．（1）如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD、BE、AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E都在AB的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明：如果不成立，请说明理由；（3）如图3所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD、BE、AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请写出它们之间的数量关系．【几何难点突破之类比探究参考答案】二、精讲精练图1A lCEBDNM图2M NDBElACMNDBEClA图3(1)lCENM1.提示：（1）①证△CAD≌△BAE（SAS）；②证△ACN≌△ABM（SAS）；或证△MEA≌△NDA（SAS）；（2）成立，同（1）可证．2.证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠BAD+∠DAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAC+∠CAF=60°∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BC=BD+DC∴ BC=CF+CD即AC= CF+CD（2）此时AC=CF+CD不成立，CF = AC +CD.理由如下：如图2，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF∴ ∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD∴ ∠BAD=∠CAF∴ △ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF∵ BD=BC+CD∴ CF= BC+CD即CF = AC +CD（3）CF = CD-AC.理由如下：如图3，在等边△ABC中，AB=AC=BC，∠BAC=60°∴ ∠CAF+∠BAF=60°∵ 在菱形ADEF中，∠DAF=60°∴ AD=AF，∠DAB+∠BAF=60°∴ ∠DAB+∠BAF =∠CAF+∠BAF∴ ∠DAB=∠F AC∴△ABD≌△ACF（SAS）∴ BD=CF图1AFECDB图2AB C DFE图3AB CDEF∵ BD=CD-CB∴ CF= CD-CB即CF = CD-AC3.提示：（1）在AB上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）；（2）成立，同（1）可证；（3）成立，在BA的延长线上取点M，使得AM=CE，证△AME≌△ECF（ASA）．4.提示：（1）延长MP交CN于点E，证△BPM≌△CPE（ASA），直角三角形斜边中线等于斜边一半；（2）延长MP交NC的延长线于点E，同（1）可证；（3）四边形MBCN为矩形；成立，同（1）可证．5.提示：（1）△ADD1≌△CAB；（2）AB＝DD1＋EE1，过点C作CM⊥AB于点M，证△ADD1≌△CAM，△EBE1≌△BCM；（3）DD1=AB＋EE1，同（2）可证．6.提示：（1）过P作PM⊥BC于点M，PN⊥DC于点N．证△APB≌△APD（SAS），△PME≌△PND（HL）即可；（2）成立，同（1）可证；（3）作图略；成立，过P分别作BC，DC的垂线，交BE于点M，DC的延长线于点N，同（1）可证．四、课后作业1．解：（1）AD+BE＝AB（2）成立．证明：（方法一）：在AB上截取AG=AD，连接CG．∵ ∠1＝∠2，AC＝AC∴△ADC≌△AGC（SAS）∴∠5＝∠6∵ AM∥BN∴ ∠1+∠2+∠3+∠4=180°图1A lCEBDNM876541C lEDNM∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ ∠2+∠3=90°∴ ∠ACB＝90°即∠6＋∠7＝90°∵ ∠5+∠6+∠7+∠8=180°∴ ∠5＋∠8＝90°∴∠7＝∠8∵∠3＝∠4，BC＝BC∴△BGC≌△BEC（ASA）∴BG＝BE∴AG+BG＝AD+BE∴AD+BE＝AB（方法二）：过点C作直线FG⊥AM，垂足为点F，交BN于点G．作CH⊥AB，垂足为点H．由（1）得AF+BG=AB∵AM∥BN，∠AFG＝90°∴ ∠BGF＝∠FGE＝90°∵∠1＝∠2，∠3＝∠4∴ CF＝CH，CH＝CG∴ CF＝CG∵ ∠FCD＝∠GCE∴△CFD≌△CGE（ASA）∴DF＝EG∴ AD+BE=AF-DF+GE+BG=AF+BG=AH+BH=AB （方法三）：延长BC，交AM于点F．∵AM∥BN∴∠5＝∠4∵ ∠3＝∠4∴∠5＝∠3HFG1234CAlEBDNM图2方法二51234FCAlEBDNM∴ AF =AB∵ ∠1＝∠2，∴ CF ＝CB∵∠FCD ＝∠BCE∴ △FCD ≌△BCE （ASA ）∴ DF ＝BE∴ AD +BE =AD +DF =AF =AB（3）不成立．存在．当点D 在射线AM 上，点E 在射线BN 的反向延长线上时（如图3（1）），AD -BE =AB当点D 在射线AM 的反向延长线上，点E 在射线BN 上时（如图3（2）），BE -AD =AB图3(2)图3(1)A l C E B D N M MN DBEClA。
九年级数学寒假专题六动态几何—类比探究
专题六动态几何—类比探究★河南近9年中招热点命题规律探究性问题见年来每年必考，考查类型包含两种：1.动态探究题；2.类比探究题。
主要考察对矩形、菱形、直角三角形的判定；涉及到的知识点有三角形的旋转、平行四边形的性质、相似、矩形折叠、勾股定理等。
近两年还出现了，线段的比例问题，以及运动路程问题。
★解题技巧：类型一、图形旋转变化探究1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α=0°时，=；②当α=180°时，=．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．2．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．3．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，①求此时CN的长；②写出AC2、CN2、BN2满足的数量关系；（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），①猜想图②中AM2、CM2、CN2、BN2这四条线段满足的数量关系：；②说明你得出此结论的理由．（1）若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你利用图③并联系上述结论，求出此时BN的长．4．（1）发现问题如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展研究如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E三点在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之前的数量关系，并说明理由．（3）探究发现图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转中当点A，D，E在不同一直线上时，设AD与BE相交于点O，旋转角θ（0°＜θ＜180°）尝试在图3中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．5．在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．类型二、动点及图形变化探究1．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，填空：当点A位于时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（7，0），点P为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．2．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF （A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．3．（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD，BE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE 中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离．4．（1）问题发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，连接CE．请填空：①∠ACE的度数为；②线段AC、CD、CE之间的数量关系为．（2）拓展探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D在边BC上，连接CE．请判断∠ACE 的度数及线段AC、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）解决问题如图3，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=2，CD=1，AC与BD交于点E，请直接写出线段AC 的长度．5．【问题提出】在△ABC中，AB=AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，且α+β=120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α=90°，β=30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD 的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α=90°，β=30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC=7，AD=2．请直接写出线段BE的长为．6．问题发现：如图1，在△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC为边向外侧作正方形ACDE和正方形BCFG．（1）△ABC与△DCF面积的关系是；（请在横线上填写“相等”或“不相等”）（2）拓展探究：若∠C≠90°，（1）中的结论还成立吗？若成立，请结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，在四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC与BD的和为10，分别以四边形ABCD的四条边为边向外侧作正方形ABFE、正方形BCHG、正方形CDJI、正方形DALK，运用（2）的结论，图中阴影部分的面积和是否有最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．1．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD=1，OB=，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．2．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．3．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．填空：当点A位于时，线段AC的长取得最大值，且最大值为（用含a，b的式子表示）（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；②直接写出线段BE长的最大值．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．。
中考类比探究解题方法和思路
襄垣县五阳矿中学九年级数学中考复习（教）学案编写人：郑威斌审核人：郑威斌201 年月课题类比探究解题方法和思路班级姓名组别【类比探究解题方法和思路】1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；②中点：作倍长、通过全等转移边和角；③平行：构造全等三角形证明线段相等或找相似求比例。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
【探究发现】如图1，△ABC是等边三角形，∠AEF=60°，EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F，当点E是BC的中点时，有AE=EF成立；【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE、EF的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，通过验证得出如下结论：当点E是直线BC上（B，C除外）任意一点时（其它条件不变），结论AE=EF仍然成立．[来假如你是该兴趣小组中的一员，请你从“点E是线段BC上的任意一点”；“点E时线段BC延长线上的任意一点”；“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时，若CE=BC，在图3中画出图形，并运用上述结论求出S△ABC：S△AEF的值．已知：在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到已知：在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系．（1）如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么；（2）如图2,若AB=BC,你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出猜想,并加以证明；（3）如图3,若AB=kBC,你在（1）中得到的结论是否发生变化?写出猜想不用证明．在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1 = ∠2 = 45°．（1）如图15-1，若AO = OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO = OB．求证：AC = BD，AC ⊥BD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值已知，在等腰△ABC中，AB＝AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连结DE，DE所在直线交直线BC于点M.请探究(1)、如图①，当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD＝CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论(2)、如图②，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD＝CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由(3)、如图③，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝mBD，（m＞1），请你判断线段MD与线段ME的数量关系，并说明理由。
中考热点,类比探究问题求解策略
中考热点，类比探究问题求解策略类比拓展探究问题，近几年来在中考中越来越频繁出现。
这种题型只所以受到各大城市的追捧，就是因为利用它既能很好地考查学生对课程标准要求知识的掌握情况，也能更好地考查学生活学活用的能力，考查学生把书本知识能否很好地迁移拓展到新的清净之中。
这样的题型一般多以解答题大题出现，涉及知识多与图形变换或特殊图形知识有关．对学生的自学能力要求较高．1．（2019秋•永州期末）如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）若C，D，E三点在同一直线上，连接BD交AC于点F，求证：△BAD ≌△CAE．（2）在第（1）问的条件下，求证：BD⊥CE；（3）将△ADE绕点A顺时针旋转得到图2，那么第（2）问中的结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论：若不成立，请说明理由．【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，对顶角的性质，垂直的判定，判断出△BAD≌△CAE是解本题的关键.（1）先判断出∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS判断出△BAD≌△CAE，即可得出结论；（2）由△BAD≌△CAE，得出∠ABD＝∠ACE，再判断出∠ACE+∠CFD＝90°，即可得出结论；（3）先同（1）的方法判断出△BAD≌△CAE，再同（2）的方法判断出BD⊥CE，即可得出结论．【解答】：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）；（2）由（1）知，△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFD，∴∠ACE+∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°，∴BD⊥CE；（3）BD⊥CE仍然成立，理由：如图2，延长BD交CE于点M，交AC于点F，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°,∴∠ABD+∠AFB＝90°，∵∠AFB＝∠CFM，∴∠CMF＝90°，∴BD⊥CE．2.（2019•兰山区二模）如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC 边的中点连接AD，则易证AD＝BD＝CD，即AD＝1/2BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于1/2BC．理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，即可证得AH＝BC，此时AD＝1/2BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法．（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．【分析】（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB ≌△HDC（SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．【解答】（1）证明：如图2中，∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，∴AB∥CH，∴∠BAC+∠ACH＝180°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACH＝∠BAC＝90°，∵AC＝CA，∴△BAC≌△HCA（SAS），∴AH＝BC，∴AD＝DH＝BD＝DC，∴AD＝1/2BC．结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（2）解：有这样分关系式．理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，∴△EDB≌△HDC（SAS），∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠HCD＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CF2+CH2，∵DF⊥EH，ED＝DH，∴EF＝FH，∴EF2＝BE2+CF2．（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．证明方法类似（2）．3.（2019秋•常德期末）操作发现：如图1，D是等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF，易证AF＝BD（不需要证明）；类比猜想：①如图2，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图1相同，猜想AF与BD在图1中的结论是否仍然成立．深入探究：②如图3，当动点D在等边△ABC边BA上的一动点（点D与点B 不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，你能发现AF，BF′与AB有何数量关系，并证明你发现的结论．③如图4，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与图3相同，猜想AF，BF′与AB在上题②中的结论是否仍然成立，若不成立，请给出你的结论并证明．【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理呵呵性质定理是解题的关键．类比猜想：①根据等边三角形的性质得到CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD ＝60°，证明△BCD≌△ACF，根据全等三角形的性质证明结论；深入探究：②根据△BCD≌△ACF，得到BD＝AF，根据△BCF′≌△ACD，得到BF′＝AD，结合图形解答；③仿照②的证明过程解答即可．【解答】：类比猜想：①图1中的结论仍然成立，理由如下：∵△ABC和△FDC都是等边三角形，∴CB＝CA，CD＝CF，∠ACB＝∠FCD＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠FCD+∠ACD，即∠BCD＝∠ACF，易证△BCD≌△ACF（SAS）,∴BD＝AF；深入探究：②AF+BF′＝AB，理由如下：如图3，由①可知，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF+BF′＝BD+AD＝AB；③AF，BF′与AB在上题②中的结论不成立，AF﹣BF′＝AB，理由如下：如图4，同理可证，△BCD≌△ACF，∴BD＝AF，同理，△BCF′≌△ACD，∴BF′＝AD，∴AF﹣BF′＝BD﹣AD＝AB．4．（2020•长葛市一模）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【解答】：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠GAF＝∠BAD，∴∠GAF﹣∠BAF＝∠BAD﹣∠BAF，即∠GAB＝∠FAD，∴易证△GAB≌△FAD（ASA），∴AG＝AF，即EF＝EG，故答案为：EF＝EG；（2）成立，证明如下：如图2，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH＝EI，∠HEI＝90°，∵∠GEH+∠HEF＝90°，∠IEF+∠HEF＝90°，∴∠IEF＝∠GEH，∴易证△FEI≌△GEH（ASA），∴EF＝EG；（3）如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN＝90°，∴EM∥AB，EN∥AD，∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴NE/AD=CE/CA,，EM/AB=CE/CA，∴NE/AD=EM/AB，即NE/EN=AD/AB=b/a，∵∠NEF+∠FEM＝∠GEM+∠FEM＝90°，∴∠GEM＝∠FEN，又∠GME＝∠FNE＝90°，∴△GME∽△FNE，∴EF/EG=EN/EM＝b/a．方法总结类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单到复杂）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主----“条件类似、图形结构类似、问法类似”.类比探究问题的处理思路类比是解决类比探究问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、类比思路；即整体类比上一问思路，迁移解决下一问。
中考试题的类比推理能力考法分析
中考试题的类比推理能力考法分析类比推理能力是人类发现和创新的一种重要的思维方式，因此，我国新一轮数学课程改革给予类比推理能力极大地关注。
在《课程标准》中明确指出：设计适当的学习活动，引导学生通过类比活动发现一些规律，猜测某些结论。
与此相应在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”的内容安排中都要尽可能地位学生提供进行类比推理活动的机会，发展学生的类比推理能力。
由于《课程标准》的影响，全国各地中考试题都对这一推理能力做出了积极的响应。
（本文探讨了体现类比推理试题的特点，辨识这类能力的考法，为日常数学课堂教学和中考备考复习提出建议）一、什么是类比推理《数学辞海》中是这样定义的：根据两个或两类对象在一系列属性上都相同或相似，从而推出它们在其它属性上也相同或相似的推理，简称类推或类比。
显然，类比推理是以两个对象之间的相同或相似为基础的，通过对比，鉴别相同或相似的特点及程度，进而推测其中一个对象的其它特点在另一个对象上也存在。
两个对象，相对来说，可以是同一类的数学对象，也可以不是同一类的数学对象。
例如，在空间中研究三个平面的位置关系时，我们可以利用平面内的直线与空间里的平面的相似性进行类比推理。
表1：直线和平面的相似性直线平面直线是向两端无限延伸的平面是向四周无限延展的直线是构成平面图形的基本元素平面是构成空间几何体的基本元素两条不重合的直线相交有一个交点两个不重合的平面相交有一条交线若平面内不重合的直线没有交点，则它们平行若空间里不重合的平面没有交线，则它们平行……………………在平面中，三条直线的位置关系可以按照交点个数进行分类讨论、；没有交点，有一个交点，有两个交点，有三个交点。
（图略）对照平面中三条直线之间的位置关系，可以推测空间中三个平面之间的位置关系，即可以得到这样的结论：没有交线，有一条交线，有两条交线，有三条交线。
（图略）二、考查类比推理能力的常见角度一道数学题是由已知条件、解决办法、欲证（求）结论三个要素组成，这些要素都可以看着是数学试题的属性。
奥之星中考数学类比探究类
奥之星中考数学类比探究类动态几何常考类型 动点问题：速度已知的几何问题。
解题方法 1.研究基本图形；2.分析起点、终点、状态转折点，确定分段；3.根据几何特征表达线段长，建等式求解。
几何综合问题：常以三角形、四边形为背景，结合几何变换、几何模型、几何结构等进行考查。
1.找特征（中点、特殊角、折叠等）、找模型（相似结构、三线合一、面积等）；2.借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
类比探究一1．问题解决 如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AM BN 的值．方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若14CE CD =，则AM BN 的值等于 ；若1CE CD n=（n 为整数），则AM BN 的值等于 ．（用含n 的式子表示）联系拓广 如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n=>=，，则AMBN的值等于 ．（用含m n ，的式子表示）问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，．图（2）NA B CD EF M图（1） N图（1-1）ABCEF M∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+． ∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． 在Rt ABM△和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ∴15AM BN =． 方法二：同方法一，54BN =．如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形． ∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，． 在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，．∵114AM AG MG AM =--=5，=．4∴15AM BN =． 类比归纳：25（或410）；917； ()2211n n -+联系拓广：2222211n m n n m -++例题二 .在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．原问题：如图1，已知△ABC ，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE ，且DA=DB ，EB=EC ，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE 交AB 于点F ．探究线段DF 与EF 的数量关系． 小慧同学的思路是：过点D 作DG ⊥AB 于G ，构造全等三角形，通过推理使问题得解． 小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°． 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况． 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系； （2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC ，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．N图（1-2）ABC DEFM G答案：（1）DF=EF．（2）猜想：DF=FE．证明：过点D作DG⊥AB于G，则∠DGB=90°．∵DA=DB，∠ADB=60°．AG=BG，△DBA是等边三角形．∴DB=BA．∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴AC=AB=BG．∴△DBG≌△BAC．∴DG=BC．∵BE=EC，∠BEC=60°，∴△EBC是等边三角形．∴BC=BE，∠CBE=60°．∴DG=BE，∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．∵∠DFG=∠EFB，∠DGF=∠EBF，∴△DFG≌△EFB．∴DF=EF．（3）猜想：DF=FE．证明：过点D作DH⊥AB于H，连接HC，HE，HE交CB于K，则∠DHB=90°．∵DA=DB ，∴AH=BH ，∠1=∠HDB ．∵∠ACB=90°，∴HC=HB ．∵EB=EC ，HE=HE ，∴△HBE ≌△HCE ．∴∠2=∠3，∠4=∠BEH ．∴HK ⊥BC ．∴∠BKE=90°．∵∠ADB=∠BEC=2∠ABC ∴∠HDB=∠BEH=∠ABC ．∴∠DBC=∠DBH+∠ABC=∠DBH+∠HDB=90°，∠EBH=∠EBK+∠ABC=∠EBK+∠BEK=90°．∴DB ∥HE ，DH ∥BE ．∴四边形DHEB 是平行四边形．∴DF=EF ．解题思路：本题的解题思路是通过构建全等三角形来求解．先根据直角三角形的性质，等边三角形的性质得到一些隐含的条件，然后根据所得的条件来证明所构建的三角形全等；再根据全等三角形的对应边相等得出DF=EF ． 例题三情境观察:将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C ′D ，如图1所示.将△A′C ′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D 、A (A′)、B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是 ，∠CAC ′= °．问题探究:如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB 、AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E 、F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P 、Q . 试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸:如图4，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，分别以AB 、AC 为一边向△ABC 外作矩形ABME和矩形ACNF ，射线GA 交EF 于点H . 若AB =k AE ，AC =k AF ，试探究HE 与HF 之间的数量关系，并说明理由. 【答案】情境观察:AD （或A′D ），90 问题探究:结论：EP =FQ .证明：∵△ABE 是等腰三角形，∴AB =AE ，∠BAE =90°. ∴∠BAG +∠EAP =90°.∵AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°，∴∠ABG =∠EAP .∵EP ⊥AG ，∴∠AGB =∠EP A =90°，∴Rt△ABG ≌Rt △EAP . ∴AG =EP . 同理AG =FQ . ∴EP =FQ .图1 图2C'A'BADCABCDBCDA (A')C'图3ABCEFGPQ 图4MNGFECBAH拓展延伸:结论： HE =HF .理由：过点E 作EP ⊥GA ，FQ ⊥GA ，垂足分别为P 、Q . ∵四边形ABME 是矩形，∴∠BAE =90°，∴∠BAG +∠EAP =90°.AG ⊥BC ，∴∠BAG +∠ABG =90°， ∴∠ABG =∠EAP .∵∠AGB =∠EP A =90°，∴△ABG ∽△EAP ，∴AG EP = ABEA.同理△ACG ∽△F AQ ，∴AG FP = ACF A .∵AB =k AE ，AC =k AF ，∴AB EA = AC F A =k ，∴AG EP = AGFP. ∴EP =FQ .∵∠EHP =∠FHQ ，∴Rt △EPH ≌Rt △FQH . ∴HE =HF .综合练习1.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A ，点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP ，BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ．（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论． （3）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式，试问S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（备用图）A EBPDH GF CCFGH DPBEA2.数学课上，魏老师出示图1和下面框中条件：Q P H ABCEFGNM图1 图2（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM 的值为___________； ②在平移过程中，AMDM 的值为___________（用含x 的代数式表示）．（2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请计算AMDM 的值．（3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，090m ≤，原题中的其他条件保持不变，如图4所示，请计算AMDM 的值（用含x 的代数式表示）．图3 图43.如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点A ，B ，E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接PG ，PC ．（1）探究PG 与PC 的位置关系及PC PG的值（写出结论，不需要证明）．（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且∠ABC =∠BEF =60°．探究PG 与PC 的位置关系及PGPC 的值，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，将图2中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的边BG 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．DECGB AP F图1DEC GBA PF图2DECGBAP F图34.如图1，一副直角三角板满足AB =BC ，AC =DE ，∠ABC =∠DEF =90°，∠EDF =30°．【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 交于点Q ． 【探究】在旋转过程中，（1）如图2，当1=EA CE时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．（2）如图3，当2=EA CE时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明．图2图1A (D )BC (E )FCB AEFD图3CB AFDEPPQ Q5.已知：线段OA ⊥OB ，点C 为OB 中点，D 为线段OA 上一点．连接AC ，BD 交于点P ．（1）如图1，当OA =OB ，且D 为OA 中点时，求APPC 的值；（2）如图2，当OA =OB ，且14AD OA=时，求tan ∠BPC 的值；（3）如图3，当AD : OA :OB =1:n :时，直接写出tan ∠BPC 的值．A OCBDPA BPCDO O DCPBA图1 图2 图3补充练习1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =1，BC =2，P 为斜边AB 上一动点．PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为__________．FEPCBA第1题图 第2题图2. 如图，△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC=45°，AB =D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O ，分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为__________． 3. 如图，圆心角都为90°的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，OA =1，OC =3，将扇形OAB绕O 点旋转一定的角度得到右图（0°<∠AOC <90°），分别连接AC ，BD ，则图中阴影部分的面积为__________．AB C OODCBAC第3题图 第4题图4. 如图，矩形ABCD 中，BC =2，DC =4，以AB 为直径的半圆O 与DC 相切于点E ，则阴影部分的面积为__________．5. 如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 的中点，连接AE ，CF ．若菱形的面积是16，则图中阴影部分的面积是__________．C6. 如图，点M 是直线y =2x +3上的动点，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，y 轴上是否存在点P ，使△MNP 为等腰直角三角形？小明发现：当动点M 运动到(1,1)-时，y 轴上存在点P (0，1)，此时有MN =MP ，△MNP 为等腰直角三角形．在y 轴上是否还存在符合条件的点P ？请你写出其他符合条件的点P 的坐标______________________．1．552 2．3 3．2π4．π5．332 6．(0，0)，(0，43)，(0，-3)3。
类比在中考中的应用
初中几何中类比的类型与方法岳阳县毛田镇中心学校 李衡所谓类比，就是通过对两个相类似的数学研究对象的异同进行观察和比较，从一个已知的研究对象所具有的性质，去猜想另一个研究对象也可能具有类似的性质。
我们可由题目结构相同或类似，类比可得题目间解题的方法可能相同或类似，以此尝试并确定解题的思路。
“在几何学中它（类比）应该是最不容忽视的”（开普勒语），几何学是研究图形的形状、大小和位置关系的，从形状、大小和位置关系这几个方面都可以产生很好的类比。
一．变换图形的形状进行类比例1． (2007武汉)填空或解答：点B 、C 、E 在同一直线上，点A 、D 在直线CE 的同侧，AB ＝AC ，EC ＝ED ，∠BAC ＝∠CED ，直线AE 、BD 交于点F 。
(1)如图①，若∠BAC ＝60°，则∠AFB ＝_________；如图②，若∠BAC ＝90°，则∠AFB ＝_________；(2)如图③，若∠BAC ＝α，则∠AFB ＝_________(用含α的式子表示)；(3)将图③中的△ABC 绕点C 旋转(点F 不与点A 、B 重合)，得图④或图⑤。
在图④中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________；在图⑤中，∠AFB 与∠α的数量关系是________________。
请你任选其中一个结论证明。
解：（1）60°，45°；（2）90°-21α； （3）图4中，∠AFB=90°-21α； 图5中，∠AFB=90°+21α ∠AFB=90°-21α的证明如下： ∵AB=AC ，EC=ED ，∠BAC=∠CED ，∴△ABC ～△EDC ∴ ∠ACB=∠ECD ， ECAC DC BC ∴∠BCD=∠ACE ∴△BCD ～△ACE ∴∠CBD=∠CAE ∴ ∠AFB=180°-∠CAE-∠BAC-∠ABD=180°-∠BAC-∠ABC=∠ACBA A D D F F 图① 图② 图③ (第24题图)A AB BCD DE FF 图④ (第24题图) 图⑤∵AB=AC ，∠BAC=α ∴∠ACB=90°-21α ∴∠AFB=90°-21α ∠AFB=90°+21α的证明如下： 同上可得△BCD ～△ACE ∴∠BDC=∠AEC∴∠AFB=∠BDC+∠CDE+∠DEF=∠CDE+∠CED=180°-∠DCE∵AB=AC ，EC=ED ，∠BAC=∠DEC=α ∴∠DCE=90°-21α ∴∠AFB=180°-（90°-21α）=90°+21α 注：由（1）到（2），形状有变化，由（2）到（3），位置又通过旋转变换有了变化，但始终有△ABC ～△EDC ，再可证得△BCD ～△ACE ，方法相同。
九年级类比探究知识点
九年级类比探究知识点学习理解和应用知识点是九年级学生的重要任务之一。
在学习的过程中，掌握类比方法是一种有效的学习策略。
类比可以帮助我们更好地理解和应用知识，拓宽思维能力。
本文将通过探究九年级常见的知识点，展示类比方法的应用。
篇章一：数学类比数学是一个重要的学科，也是九年级学生需要掌握的知识点之一。
类比方法在数学学习中具有广泛的应用。
1. 等式和方程类比方法可以帮助我们理解等式和方程之间的关系。
比如，我们可以将等式看作是一个天平，两边的物体是等重的；而方程则是要求找到使天平平衡的物体重量。
通过这样的类比，我们可以更好地理解和解决各种数学方程。
2. 几何图形对于几何图形的学习，类比方法也能起到积极的作用。
例如，我们可以将平行四边形类比为铁路轨道，通过这个类比，我们可以更好地理解平行四边形的性质和特点。
篇章二：科学类比科学学科中的知识点也可以通过类比方法进行学习和理解。
1. 物质的三态物质的三态包括固体、液体和气体，我们可以通过类比方法将这三个状态与冰、水和水蒸气相对应。
通过这种类比，我们可以更好地理解三态之间的相互转换和特点。
2. 生态系统类比方法在生态学中也有广泛的应用。
生态系统可以类比为一个复杂的社会网络，各种生物相互依存和相互影响。
通过类比，我们可以更好地理解生态系统的结构和功能，进而探究其中的关联性和平衡性。
篇章三：语文类比语文学科中，类比方法可以帮助我们更好地理解文学作品和语言运用。
1. 比喻和修辞手法比喻和修辞手法是语文学习中常见的知识点。
类比方法可以帮助我们理解这些手法的运用。
比如，我们可以将比喻视为一种“化身”，通过类比，我们可以更好地理解比喻的作用和效果。
2. 文言文阅读类比方法在文言文的学习中也能够起到积极的作用。
我们可以将文言文看作是一种彩色的古代绘画，通过类比，我们可以更好地欣赏和理解文言文的美感和独特之处。
结语：类比方法作为一种有效的学习策略，可以帮助我们更好地理解和应用知识点。
河北省中考压轴题分析(类比探究)
中考压轴题分析（类比探究）1．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点P是等边三角形ABC内一点，P A=1，PB=3，PC=2.求∠BPC的度数.为利用已知条件，不妨把∆BPC绕点C顺时针旋转60︒得∆AP'C，连接PP'，则PP'的长为_______；在∆PAP'中，易证∠PAP'=90︒，且∠PP'A的度数为________，综上可得∠BPC的度数为_______；（2）类比迁移如图，点P是等腰Rt∆ABC内的一点，∠ACB=90︒，P A=2，PB=2，PC=1.求∠APC的度数；（3）拓展应用如图，在四边形ABCD中，BC=5，CD=8，A B=AC=请直接写出BD的长.12AD，∠BAC=2∠ADC，【答案】（1）2,30°，90°；（2）90°；（3）241.【解析】【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定可知△CP′P是等边三角形，由等边三角形的性质知∠CP′P=60°，根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形，继而可得答案．（2）如图2△，把BPC绕点C顺时针旋转90°△得AP'C，连接PP′，同理可得△CP′P是等腰直角三角形和△AP′P是等腰直角三角形，所以∠APC=90°；（3）如图3△，将ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，根据勾股定理求CG的长，就可以得BD的长．【详解】（1△）把BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；∴P′A=PB=3、∠CP′P=60°、P′P=PC=2，在AP′P中，∵AP2+P′A2=12+（3）2=4=PP′2；△∴△AP′P是直角三角形；∴∠P′AP=90°．∵PA=12PC，∴∠AP′P=30°；∴∠BPC=∠CP′A=∠CP′P+∠AP′P=60°+30°=90°．（2）如图2△，把BPC绕点C顺时针旋转90°△得AP'C，连接PP′．由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；∴P′C=PC=1，∠CPP′=45°、P′P=2，PB=AP'=2，△在AP′P中，∵AP'2+P′P2=（2）2+（2）2=4=AP2；∴△AP′P是等腰直角三角形；∴∠AP′P=90°．∴∠APP'=45°∴∠APC=∠APP'+∠CPP'=45°+45°=90°（3）如图3，∵AB=AC，将ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD=CG，△∵∠BAD=∠CAG，∴∠BAC=∠DAG，∵AB=AC，AD=AG，∴∠ABC=∠ACB=∠ADG=∠AGD，∴△ABC∽△ADG，∵AD=2AB，∴DG=2BC=10，过A作AE⊥BC于E，∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC，∴∠ADG+∠ADC=90°，∴∠GDC=90°，∴CG=DG2+CD2=102+82=241，∴BD=CG=241．． BD 3，∠AMB =90°；【【点睛】本题是四边形的综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质和旋转的性质等知识，解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，2 （操作发现）如图（△1），在 OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD＝45°，连接 AC ，BD 交于点 M ．①AC 与 BD 之间的数量关系为；②∠AMB 的度数为 ；（类比探究）如图（△2），在 OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD＝30°，连接 AC ，交 BD 的延长线于点 M ．请计算ACBD的值及∠AMB 的度数；（实际应用）如图（3），是一个由两个都含有 30°角的大小不同的直角三角板 ABC 、DCE组成的图形，其中∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°且 D 、E 、B 在同一直线上，CE ＝1，BC ＝ 21 ，求点 A 、D 之间的距离．【答案】 操作发现】①AC =BD ；②∠AMB =45°； 类比探究】 AC【实际应用】4 3 或 5 3【解析】【分析】操作发现:如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题．类比探究:如图（2），证明△COA∽△ODB，可得AC CO==3，∠MAK＝∠OBK，已BD OD解决可解决问题．实际应用:分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【详解】解：操作发现:如图（1）中，设OA交BD于K．∵∠AOB＝∠COD＝45°，∴∠COA＝∠DOB，∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，∵∠MKA＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝45°，故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°类比探究:如图（2）中，∴OC∴AC∴EH＝1△在OAB△和OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴∠COA＝∠DOB，OC＝3OD，OA＝3OB，OA=，OD OB∴△COA∽△ODB，CO==3，∠MAK＝∠OBK，BD OD∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝90°．实际应用:如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．在△R t DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，∴∠CEH＝60°，∵∠CHE＝90°，∴∠HCE＝30°，1EC＝，22在 △Rt BCH 中，BH ＝ B C 2 - CH 2 = 21 - ⎪ = 1∴CH ＝3，2∴BE ＝BH ﹣EH ＝4，∵△DCA ∽△ECB ，∴AD ：BE ＝CD ：EC ＝ 3 ，∴AD ＝4 3 ．如图 3﹣2 中，连接 AD ，作 CH ⊥DE 于 H ．⎛ 3 ⎫2⎝ 2 ⎭ 9 2，同法可得 BH ＝ 92 1，EH ＝ ，2∴BE ＝ 9+＝5，2 2∵△DCA ∽△ECB ，∴AD ：BE ＝CD ：EC ＝ 3 ，∴AD ＝5 3 ．【点睛】（本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．3．Ⅰ）如图1，在等边∆ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B,C），连结AM，以AM为边作等边∆AMN，并连结CN．求证：AB=MC+CN．（Ⅱ）【类比探究】如图2，在等边∆ABC中，若点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，则AB=MC+CN是否还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出AB,MC, CN三者间的数量关系，并给予证明．（Ⅲ）【拓展延伸】如图3，在等腰∆ABC中，BA=BC，点M是AC上的任意一点（不含端点），连结BM，以BM为边作等腰∆BMN，使BM=BN，试探究∠AMN与∠MBC的数量关系，并说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）结论不成立（Ⅲ）∠AMN=1∠MBC2【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明ΔBAM≌ΔCAN，根据全等三角形的性质可得BM=CN，从而证得AB=BC=BM+MC=CN+MC；（Ⅱ）结论不成立，通过证明ΔBAM≌ΔCAN，根据全等三角形的性质可得B M=CN，由BM=CN=BC+CM=AB+CM，得AB=CN-CM；（Ⅲ）∠AMN=1∠MBC，设∠AMN=x,∠A=y，由∠BNM为ΔAMN的外角，可2得∠BNM=∠A+∠AMN=y+x，从而可得∠BMA=2x+y，又∠BMA为ΔBMC的外角，可得∠BMA=∠MBC+y，从而有2x+y=∠MBC+y，继而推得1∠AMN=∠MBC.2试题解析：（Ⅰ）∵ΔABC，ΔAMN都是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60︒，∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC即∠BAM=∠CAN，AB=AC在ΔBAM和ΔCAN中，{∠BAM=∠CAN，AM=AN∴ΔBAM≌ΔCAN(SAS)，∴BM=CN，∴AB=BC=BM+MC=CN+MC；（Ⅱ）结论不成立，理由：ΔABC，ΔAMN都是等边三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60︒，∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC即∠BAM=∠CAN，AB=AC在ΔBAM和ΔCAN中，{∠BAM=∠CAN，AM=AN∴ΔBAM≌ΔCAN(SAS)，∴BM=CN，∴BM=CN=BC+CM=AB+CM，即AB=CN-CM；（Ⅲ）∠AMN=1∠MBC，理由：2设∠AMN=x,∠A=y，∵BA=BC，∴∠A=∠C=y，∵∠BNM为ΔAMN的外角，∴∠BNM=∠A+∠AMN=y+x，又BM=BN，∴∠BMN=∠BNM=y+x，∴∠BMA=∠BMN+∠NMA=y+x+x=2x+y，又∠BMA为ΔBMC的外角，∴∠BMA=∠MBC+∠C=∠MBC+y，∴2x+y=∠MBC+y，∴∠MBC=2x=2∠AMN，即∠AMN=1∠MBC. 2【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，结合图形熟练运用相关性质进行解题是关键.4．（1）问题发现如图1△，在ABC△和ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝50°，连接BD，CE交于点F．填空：11/15①的值为；②∠BFC的度数为．（2）类比探究如图2，在矩形ABCD和△DEF中，AD＝3AB，∠EDF＝90°，∠DEF＝60°，连接AF交CE的延长线于点P．求AFCE的值及∠APC的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△DEF绕点D在平面内旋装，AF，CE所在直线交于点P，若DF＝3，AB＝7，求出当点P与点E重合时AF的长．【答案】（1）1，50°；（2）AF=3,∠APC=90︒，理由见解析；（3）当点P与点E重合CE时，AF的长为3或6，理由见解析【解析】【分析】（1）问题发现：由“SAS”可证△DAB≌△EAC，可得BD＝CE，∠ACE＝∠ABD，即可求解；（△2）类比探究：通过证明ADF∽△CDE，可得AF=3，∠F AD＝DCE，即可求解；CE（3）拓展延伸：过点C作CM⊥DE，由勾股定理可求CE的长，即可求AF的长．【详解】（1）问题发现：∴∠EDC＝∠ADF，且AD∵∠BAC＝∠DAE＝50°，∴∠DAB＝∠EAC，且AB＝AC，AD＝AE ∴△DAB≌△EAC（SAS）∴BD＝CE，∠ACE＝∠ABD∴BD=1 CE∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，且∠BFC+∠FBC+∠FCB＝∠BFC+∠ABC+∠ABF+∠FCB ＝∠BFC+∠ABC+∠ACB＝180°∴∠BFC＝∠BAC＝50°故答案为：1，50°（2）类比探究：AFCE=3，∠APC＝90°理由如下：∵∠DEF＝60°，∠FDE＝90°∴DF＝3DE，∵四边形ABCD是矩形∴CD＝AB，∠ADC＝90°∴AD＝3DC，∠ADC＝∠EDF＝90°DF=3=CD DE∴△ADF∽△CDE∴AF=3，∠F AD＝DCE CE∴点A，点P，点D，点C四点共圆∴CM=CE∴∠APC＝∠ADC＝90°（3）拓展延伸：如图，过点C作CM⊥DE，交ED延长线于点M，∵DF＝3，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°∴DE＝1，∠CEM＝30°∵∠CEM＝30°，CM⊥ED3,EM=CE22∵CD2＝CM2+DM2，∴7＝CE24+（EM﹣1）2，∴CE＝23∵AF=3，CE∴AF＝6如图，过点C作CM⊥DE，交DE延长线于点M，∴CM=CE∵DF＝3，∠DEF＝60°，∠AEC＝90°∴DE＝1，∠CEM＝30°∵∠CEM＝30°，CM⊥ED3,EM=CE22∵CD2＝CM2+DM2，∴7＝CE24+（EM+1）2，∴CE＝3∵AF=3，CE∴AF＝3综上所述：当点P与点E重合时，AF的长为3或6．【点睛】相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求出CE的长是本题的关键．。
类比探究(教师用)
类比探究(教师用)类比探究一）直角结构问题1：类比探究是几何综合题，类比（相似、全等、等腰）是解决此问题的主要方法，做好类比需要把握变化过程中的不变量。
若属于类比探究常见的结构类型，可以调用结构类比解决。
若不属于常见结构类型，可以先根据题干条件，结合已知条件先解决第一问，然后类比解决下一问。
如果不能，可以分析条件变化，寻找不变量。
结合所求目标，依据猜想、尝试、验证的思路大胆猜测，尝试，验证。
问题2：类比探究问题常见的不变结构有：勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理、函数背景下考虑、圆背景下考虑等。
处理方式是根据所求目标和已知条件，结合不变结构进行类比，寻找解题思路。
问题3：直角结构的思考角度有：1.边：勾股定理；2.角：直角三角形两锐角互余；3.面积：直角边看成高（等面积结构）；4.固定模型和用法：直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正、弦图结构、三等角模型、母子型相似、射影定理；5.函数背景下考虑；6.圆背景下考虑：直径所对的圆周角是直角，垂径定理。
在类比探究之直角结构中，常用的结构有勾股定理、直角三角形两锐角互余、直角边看成高（等面积结构）、直角+中点、直角+特殊角、直角+角平分线、斜直角放正等。
例如，对于Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，将一块三角板的直角顶点放在△ABC斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，可以利用不变结构进行类比解题。
为折痕EF上的任一点P，作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为G，H。
已知AD=8，CF=3，求PG+PH的值。
解题思路：根据垂足定理，PG=PE-EG，PH=PF-FH。
由于EF是折痕，所以PE=PF，EG=FC，FH=AD。
因此，PG+PH=PE+FC-AD=PE+CF-AD=PE-ED+CF。
中考数学备考技巧、方法总贴（类比探究题的特征及解题套路更新）
中考数学备考技巧、方法总贴（类比探究题的特征及解题套路更新）中考数学备考技巧、方法总贴（类比探究题的特征及解题套路更新）通过真题演练课中同学们的做题情况，我们对填空题答题规范做了总结，并把常见错误展示出来，希望大家引以为戒哦，不要因为书写而失分！如果大家还有哪些不明白的，或者自己做填空题经常犯的错误，都可以跟帖哦！填空题答题规范及注意事项：1.记得带单位遇到涉及表示线段的长度、角的度数的填空题，可一定要记得带单位。
单写数字的话是错误的。
2.正确书写方程和方程组的解3.正确使用“或”“且”“，”：“或”：表示两种或多种情况俱其一即可（答题时必须将两种或多种情况写全）“且”：二者必须同时存在，否则结论不成立“，”：表示多个结果的并列。
4.答案的书写是否符合要求（比如结果是分数或根式时是否化简、有效数字的个数等）：如果想进一步训练规范答题技巧，可学习真题演练课程，老师会把答题规范的每一个细节，渗透到讲题的过程中，会让你印象更深刻。
地址：通过真题演练课中同学们的做题情况，我们对填空题答题规范做了总结，并把常见错误展示出来，希望大家引以为戒哦，不要因为书写而失分！如果大家还有哪些不明白的，或者自己做填空题经常犯的错误，都可以跟帖哦！填空题答题规范及注意事项：1.记得带单位遇到涉及表示线段的长度、角的度数的填空题，可一定要记得带单位。
单写数字的话是错误的。
2.正确书写方程和方程组的解3.正确使用“或”“且”“，”：“或”：表示两种或多种情况俱其一即可（答题时必须将两种或多种情况写全）“且”：二者必须同时存在，否则结论不成立“，”：表示多个结果的并列。
4.答案的书写是否符合要求（比如结果是分数或根式时是否化简、有效数字的个数等）：如果想进一步训练规范答题技巧，可学习真题演练课程，老师会把答题规范的每一个细节，渗透到讲题的过程中，会让你印象更深刻。
地址：选择题答题规范：1.铅笔橡皮的选择和使用铅笔：选择2B铅笔，读卡机无法识别圆珠笔、钢笔、签字笔、非2B铅笔涂填的答题卡；铅笔要削成扁扁的鸭嘴型或楔形，宽度和答题卡上的方括号宽度一致，以便快速涂卡；橡皮擦：选择软硬适中，易擦干净的橡皮；答题卡需要更正事使用橡皮擦时用力要轻，顺着一个方向擦除，切勿来回擦和用手抹，避免因为没擦干净，造成读卡机无法识别，影响考试成绩；2.特别注意，涂卡之前看准题号排列顺序，常见的排列顺序有以下两种：3.涂卡规范注意事项：一是填涂范围以方括号为标准，切忌上下、左右连涂；二是填涂力度适中，深浅均匀，切忌过于用力导致涂点凹陷甚至弄破答题卡；三是切勿使用“√”或者圆点的方式进行填涂；四是不要留下明显的橡皮擦过的痕迹。
中考数学复习几何图形旋转中的类比探究解析版
例6．（2019•自贡）（1）如图1，E 是正方形ABCD 边AB 上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .∠线段DB 和DG 之间的数量关系是 ；∠写出线段BE ，BF 和DB 之间的数量关系.（2）当四边形ABCD 为菱形，∠ADC =60°，点E 是菱形ABCD 边AB 所在直线上的一点，连接BD 、DE ，将∠BDE 绕点D 逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC 交于点F 和点G .∠如图2，点E 在线段AB 上时，请探究线段BE 、BF 和BD 之间的数量关系，写出结论并给出证明；∠如图3，点E 在线段AB 的延长线上时，DE 交射线BC 于点M ，若BE =1，AB =2，直接写出线段GM 的长度.图1 图2 图3【答案】（1）①DB =DG②BE BF +=（2）见解析.【解析】解：（1）由旋转知：∠GDB =90°，∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线，∴∠DBG =45°，∴∠DGB =45°，∴DG =DB ，②在△DBE 和△DGF 中，BDE FDG BD DG DBE G =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△DBE ≌△DGF ，∴BE =GF ，由①知，BD =DG ，∠BDG =90°，即△BDG 是等腰直角三角形，∴BG，即BE BF +=.（2）∠BD BF BE 3=+理由如下：在菱形ABCD 中，∠ABD =∠CBD =21∠ABC =30°， 由旋转可得，∠EDF =∠BDG =120°，∴∠EDF -∠BDF =∠BDG -∠BDF ，即∠FDG =∠BDE . 在△DBG 中，∠G =180°-∠BDG -∠DBG =30°， ∴∠DBG =∠G =30°，∴BD =DG .在△BDE 和△GDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠DGF DBE DGBD BDE GDF∴△BDE ≌△△GDF （ASA ），∴BE =GF ，∴BE +BF =BF +GF =BG .过点D 作DM ⊥BG 于点M ，如下图所示，∵BD =DG ，∴BG =2BM .在Rt △BMD 中，∠DBM =30°，∴BD =2DM ，设DM =a ，则BD =2a ，BM =a 3. ∴BG =a 32， ∴3232==aa BD BG ∴BF +BE =3BD .∠GM 的长度为319. 理由：∵GF =BE =1，FC =2CD =4，CM =23BC =43, ∴GM =GF +FC +CM =1+4+43=193.。
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中考几何中的类比探究解题方法分析河南省息县城郊中学敖勇河南省中考几何中的类比探究题是中考的第22题，题型以能力立意，突出“发展性”，侧重数学思想方法、数学基本活动经验的考查，试题有一定难度。
试题特点关注知识的衔接点和交汇处，综合性较强。
由于学生没有科学正确的解题方法，得分率很低。
其原因不是学生知识的能量达不到，而是类比探究题中所隐含的数学思想和几何模型没有很好地理解与运用。
初中阶段学习的几何模型主要有：奶站模型，天桥模型，倍长中线模型，弦图模型，双垂直模型，三垂直模型……还有对称，平移，旋转，相似，折叠等知识，这些基本的数学知识学生实际上已经掌握，因不能结合已知条件的特征及结论和图形的情况，灵活把握，所以不能举一反三，触类旁通。
（这些模型都隐含在教材的例题中）因此明确解题方向，正确作辅助线是我们做好几何类比探究题的最基本的思想。
那么什么叫类比探究呢？类比探究：是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般情形（或由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主）。
解决类比探究问题的一般方法：1、根据题干条件，结合分支条件先解决第一问；2、用解决上一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问结合起来分析，找出不能类比的原因和为变特征，依据不变的特征，探索新的方法。
类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。
【类比探究解题方法和思路】1、找特征（中点、特殊角、折叠等），找模型：相似（母子型、A字型、八字型）三线合一、面积等；2、借助问与问之间的联系，寻找条件和思路。
3、照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
4、找结构：寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：①直角：作横平竖直的线，找全等或相似； ②中点：作倍长、通过全等转移边和角； ③平行：找相似、转比例。
5、哪些是不变的，哪些是变化的。
哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够类比的方法和思路。
类比转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。
（2012河南省中考数学试题第22题）原题：如图1，在□ABCD 中，点E 是BC 边的中点，点F 是线段AE 上一点，BF 的延长线交射线CD 于点G 。
若3=EF AF ，求CGCD的值。
（1）尝试探究在图1中，过点E 作EH //AB 交BG 于点H ，则AB 和EH 的数量关系是__AB=_3EH _，CG 和EH 的数量关系是__CG =_2EH_，CG CD 的值是 23（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若)0(>=m m EF AF ，则CG CD 的值是 2m （用含m 的代数式表示），试写出解答过程。
解：过E 点作EH ∥AB,交BG 于点H,则△ABF ∽△ EHF ∴m EHABEF AF == ∴AB=mEH ，在□ABCD 中，AB=CD ，∴CD=mEH ， 同理可证 △BEH ∽△ BCG ∴CG=2EH ∴CG CD = 2mE F CD BGA图1HE F CD BGA图2H（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD 中，DC //AB ，点E 是BC 的延长线上一点，AE 和BD 相交于点F 。
若a CD AB =，)0,0(>>=b a b BE BC ，则EF AF 的值是AFab EF=（用含a ，b 的代数式表示）。
【解析】过E 作EH ∥AB ，交BD 延长线于点H 由题意可知:EH ∥DC ∥AB ∴BC CDBE EH =∴CD = b EH 又∵a CD AB=∴AB=a CDAF ABEF EH =∴ab EHabEH EF AF == ( 照搬：照搬上一问的方法，思路解决问题，如照搬字母、照搬辅助线、照搬全等、照搬相似等。
也就是知识的迁移。
平行：找相似、转比例。
)案例2、操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE 。
点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图（2），将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：分析：（1）根据翻折的性质得出BE=EF ，∠B=∠EFA ，利用三角形全等的判定得△ECG ≌△EFG ，即可得出答案；（2）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D ，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D ，进而得出∠ECG=∠EFG ，再利用EF=EC ，得出∠EFC=∠ECF ，即可得出答案．解答：解：（1）猜想线段GF=GC ，证明：连接EG ，E FCD BA图3H∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，∴△ECG≌△EFG（HL），∴FG=CG；（2）（1）中的结论仍然成立．证明：连接EG，FC，∵E是BC的中点，∴BE=CE，∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∠B=∠AFE，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵矩形ABCD改为平行四边形，∴∠B=∠D，∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，∴∠ECD=∠EFG，∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，∴∠GFC=∠GCF，∴FG=CG；即（1）中的结论仍然成立．【此题主要考查了矩形的性质与平行四边形的性质以及翻折变换、全等三角形的判定等知识，根据已知得出EF=EC，∠EFC=∠ECF是解决问题的关键．】解法二：延长AE到P交DC的延长线于点P，用倍长中线的方法更简单。
口诀：倍长中线等中线，等量关系一大片。
（如下图）案例3，如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，（1）如图1：若EA=CE ，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2：若EA=2CE ，探索线段EF 与EG 的数量关系，并证明你的结论； （3）若EA=kCE ，探索线段EF 与EG 的数量关系，请直接写出你的结论．（1）作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，利用AAS 先证△AEQ ≌△ECH ，易得EQ=EH ，把EQ=EH 作为一个条件，再利用ASA 易证Rt △EFQ ≌Rt △EGH ，从而有EF=EG ； （2）作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，先证△EFQ ∽△EGH ，易得 EHEQEG EF =， 再证△AQE ∽△EHC ，那么 12==EH EQ EC EA ， 等量代换易得2=EGEF，于是EF=2EG ； （3）根据（1）（2）的结论易得EF=kEG ． 解答：证明：作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ， ∵AC=BC ，CD ⊥AB ，∠ACB=90°， ∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°，PP∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ， ∴∠AQE=∠EHC=90°， 又∵EA=CE ，∴△AEQ ≌△ECH ，∴EQ=EH ，∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，CD ⊥AB ， ∴四边形EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB ， 又∵∠EQF=∠EHG=90°，EQ=EH ， ∴Rt △EFQ ≌Rt △EGH ， ∴EF=EG ；（2）作EH ⊥CD ，EQ ⊥AB （如图2），∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，CD ⊥AB ， ∴四边形EQDH 是矩形， ∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEB ，又∵∠EQF=∠EHG=90°， ∴△EFQ ∽△EGH ， ∴EHEQEG EF =， ∵AC=BC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC=90°，∠A=∠ACD=45°， ∵EH ⊥CD ，EQ ⊥AB ，∴∠AQE=∠EHC=90°， ∴△AQE 和△EHC 是等腰直角三角形， ∴△AQE ∽△EHC ，∴12==EH EQ EG EA ∴2=EGEF ∴EF=2EG ； （3）EF=kEG ．【上题基本思路：过直角顶点，作横平竖直的线，找全等或相似。
】中考数学类比探题思维误区：第一问通常是特殊的图形，题中的条件比较充分，而且一般有提示，所以学生做的时，基本上能得心应手，但做第二、三问时，往往有部分学生，没有按照第一问的思路去思考，而且是对着题干思考第二、三问，这样就陷入了“自己布置的陷阱”结果做不出来，把一道题当成三道题来做了。
第二种情况：由于第一问，图形特殊，条件充分，所以解题方法有多种，因此，在做第二题的时候，如果不能按照第一问的思路去“照搬”，就要再重新思考，第一问是否有其它的解题方法，如果有，第二问再按照另外的解题方法去类比、迁移，自然就“水到渠成”。
二〇一四年元月十九日。