离散数学第四章
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《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
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5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
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3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学第四章谓词演算的推理理论归结推理系统
证明：令 P(e)表示“e为人”； W(e)表示“e喜欢步行”； D(e)表示“e喜欢乘汽车”； R(e)表示“e喜欢骑自行车”
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
证明(续)
则已知知识可以翻译为： （1） ∀x(P(x) →(W(x) → D(x))) （2） ∀x(P(x) →(D(x) ∨ R(x))) （3） ∃x(P(x) ∧ R(x)) 结论为：
例 设有 P(x，g(a))Q(y) P(z，g(a))Q(z)
可得归结式如下：
Q(y) Q(z)
{ z/x}
Q(y) Q(x) P(x，g(a))P(z，g(a))
{ x/z} { z/y}
归结反演系统——产生式系统
子句集看作为一个综合数据库， 而规则表就是归结，表中的规则用到数据库中的
子句对，产生一个新的子句，把新子句加入数据 库中产生新的数据库，形成新的归结，重复此过 程，观察数据库中是否含有空子句。
三、归结反演算系统的应用
在人工智能领域中的规划生成问题。
例(p48)给机器人r 编制一程序，使它能够登 上一只椅子c以取下挂在房顶的香蕉b。
4.3.3 霍恩子句逻辑程序
一、子句的蕴含表示形式 二、霍恩子句逻辑程序
超逻辑的控制信息
许多人工智能系统中使用的知识是由一般的蕴 含表达式来表示的。如果把蕴含式
(PQ)R 化为等价的析取式
P Q R ， 往往会丢失可能包含在蕴含式中的重要的超逻 辑的控制信息。
基于规则的演绎系统
将知识分为两类：
一类是规则，其由蕴含式表示，它表达了有关领
域的一般知识，且可作为产生式规则来使用；
另一类是事实，其由不包含蕴含式的陈述组成，
它们用来表达某一领域专门的知识。
{ a/x1} (3)(1)归结 { a/x2} (4)(2)归结 { a/y} (5)(6)归结
屈婉玲离散数学第四章
2
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
9
实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
10
4.2 一阶逻辑公式及解释
14
封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
15
公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x具有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间的关系 如, L(x,y)：x与 y 有关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项 或命题变项
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实例5
例5 设个体域为实数域, 将下面命题符号化 (1) 对每一个数x都存在一个数y使得x<y (2) 存在一个数x使得对每一个数y都有x<y 解 L(x,y):x<y (1) xyL(x,y) (2) xyL(x,y)
注意: 与不能随意交换 显然(1)是真命题, (2)是假命题
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4.2 一阶逻辑公式及解释
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封闭的公式
定义4.6 若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭 的公式，简称闭式. 例如，xy(F(x)G(y)H(x,y)) 为闭式， 而 x(F(x)G(x,y)) 不是闭式
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公式的解释
定义4.7 设L 是L生成的一阶语言, L 的解释I由4部分组成： (a) 非空个体域 DI . (b) 对每一个个体常项符号aL, 有一个 aDI, 称 a 为a在I 中的解释. (c) 对每一个n元函数符号fL, 有一个DI上的n元函数 f : DIn DI , 称 f 为f在I中的解释. (d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上的n元谓词常项F , 称 F 为F在I中的解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中的个体常项符号a、函数符 号f、谓词符号F分别替换成它们在I中的解释 a、 f 、F , 称 所得到的公式A为A在I下的解释, 或A在I下被解释成A.
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离散数学 第四章 一阶逻辑基本概念
18
§4.1 一阶逻辑命题符号化
（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 ┐x(M(x)∧H(x))。 命题真值为真。 （4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。 令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化 ┐x(F(x)→G(x)) 命题真值为真。
个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在 联系和数量关系。
4
§4.1 一阶逻辑命题符号化
一阶逻辑命题符号化的三个基本要素
个体词
谓词
量词
5
个体词及相关概念
个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体的 或抽象的客体。
举例
命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。 命题：他是三好学生。 个体词：他。
个体域为全总个体域
令 M(x):x是人 , F(x):x呼吸 , G(x):x用左手写字
能否将”凡人都呼吸”符号化为 (∀x) (M(x)∧F(x) ) ？ 不可以。 (∀x) (M(x)∧F(x) )表示宇宙中的万物都是人并 且会呼吸 能否将”有的人用左手写字”符号化为 (x)( M(x)→G(x) ) ？ 不可以。(x)( M(x)→G(x) ) 表示在宇宙万物中存在某个 个体x,”如果x是人则x会用左手写字”
6
个体词及相关概念
个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b, c,…表示。 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x, y, z,… 表示。 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。 可以是有穷集合，如{a, b, c}, {1, 2}。 可以是无穷集合，如N，Z，R，…。 全总个体域（universe）——宇宙间一切事物组成 。
自考离散数学第4章
例：设集合A={a,b,c,d},在A上定义两个运算*和
，如表所示： 解：b,d是A中关于*运算的左幺元，而a是A中关于运算的右幺元。
a d a a a b a b b b c b c c c d c d c d a b c
* a b c d
a a b c
b b a d
c d c a
定义4.3.7 设<G,*>为群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都由a
例：设A={a,b,c,d}，*为A上的二元运算，
* a b c d
a a b c d
b b d a a
c c a b c
d d c b d
可以看出a为单位元。由a*a=a,b*c=a,c*b=a,d*b=a, 故a有逆元a；b有左逆元c，d；c有左逆元b；b有右逆元c；c有右逆元b；d有
定义4.3.2 设<G,*> 为一个群，如果G是有限集合，则称<G,*> 是有限群。G中
元素的个数通常称为有限群的阶数，记为|G|。
定义4.3.3 若群G中，只含有一个元素，即G={e},|G|=1,则称G为平凡群。 例：设G={e,a,b,c},运算*如表所示：
* e a b c
e e a b c
4.2 半群与独异点
4.3 群与子群
定义4.3.1 设<G,*>为一个代数系统，其中G是非空集合，*是G上一个二元运算，
① 如果*是封闭的； ② 运算*是可结合的； ③ 存在幺元e； ④ 对于每一个元素x G，存在它的逆元x-1； 则称<G,*>是一个群。
4.3 群与子群
4.3 群与子群
4.1 代数系统
离散数学第四章等价关系和偏序关系
20
偏序集的特定元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A)) 满足下面条件：
2 覆盖 1, 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
4 和 6 覆盖 2. 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下 界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 fห้องสมุดไป่ตู้ 最小上界为 d.
25
18
哈斯图实例
例4 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
19
哈斯图实例（续）
例5 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
偏序集的特定元素
定义 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x) 成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x (x∈B∧x ≺ y) 成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x (x∈B∧y ≺ x) 成立, 则称 y 为B的极大元.
定义 设A为非空集合, 若A的子集族π(π P(A)) 满足下面条件：
2 覆盖 1, 称 [x]R 为 x 关于R 的等价类, 简称为 x 的等价类, 简
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、最小元、极大元、最大元. 例2 给出A＝{1,2,3}上所有的等价关系
4 和 6 覆盖 2. 设 A={1,2,…,8}, R={ <x,y>| x,y∈A∧x≡y(mod 3) }
例6 设偏序集<A,≼>如下图所示，求 A 的极小元、 最小元、极大元、最大元. 设 B＝{b,c,d}, 求 B 的下 界、上界、下确界、上确界.
极小元：a, b, c, g； 极大元：a, f, h； 没有最小元与最大元. B的下界和最大下界都 不存在, 上界有d 和 fห้องสมุดไป่ตู้ 最小上界为 d.
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哈斯图实例
例4 <{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, R整除> <P({a, b, c}), R>
19
哈斯图实例（续）
例5 已知偏序集<A,R> 的哈斯图如右图所示, 试求出集合A和关系 R的表达式.
A={a, b, c, d, e, f, g, h} R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>, <c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪IA
离散数学第四章
第四章
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
代数系统
从这一章起到第七章涉及到的是近世代数的内容,本章介 绍的是代数系统的内容,后三章介绍的是几个重要的代数系统:
群,环,域,格.这些理论在计算机及物理,化学等学科都有重要应用.
§4.1 运 算
一 . 概念 本节将函数的讨论局限在集合An到集合A上. 定义1 设有非空集合A,函数f: An→A 称为A上的一个n元运算. n称为运算的阶. 若f: A2→A 则f是A上的一个二元运算
常用表格来表示一元运算和二元运算: ai a1 o(ai) o(a1) o a1 a2 … an o(a1,an)
a1 o(a1,a1) o(a1,a2)
.
. an 三
.
. o(an)
.
.
…
… o(an,an)
an o(an,a1) o(an,a2)
.关于运算的封闭性
定义2: 如果作用在一个集合A的元素的运算,其运算结果也
（4）单位元：加法有单位元；乘法有单位元；
（5）加法有逆元；
（6）消去律： 如果 i ≠0，任意 j，k∈I 由i · i · k= j, 称<J,+,· >是一个整环. 可以有 k= j ；
前述的<I,+ ,· <B,+,· <R,+,· <Q,+, · > > > >均为整环.再看一例:
例: 证明代数系统<Z3 , 3 , ⊙3 >是整环.其中 ⊙3 , 3的 定义如下:
=i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
i* ( j*k )=i*(k+j- k.j)=i+ (k+j- k.j)-i (k+j- k.j) =i+j- i.j+k- i k -j + i.j . k
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
离散数学课件第四章 关系
Discrete Mathematics
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
关系的性质
例 2 (1) A上的全域关系EA,恒等关系IA及空关系都是A 上的对称关系;IA和 同时也是A上的反对称关系. (2)设A={1,2,3},则 R1={<1,1>,<2,2>}既是A上的对称关系,也是A上 的反对称关系; R2= {<1,1>,<1,2>,<2,1>}是对称的,但不是反对 称的; R3 ={<1,2>,<1,3>}是反对称的,但不是对称的; R4= {<1,2>,<2,1>,<1,3>}既不是对称的也不是 反对称的.
❖ 二、关系的表达方式 1. 集合表达式：列出关系中的所有有序对。 例 1 设A={1,2,3,4},试列出下列关系R的元素。 (1) R={<x,y> | x是y的倍数} (2) R={<x,y> | (x-y)2 A } (3) R={<x,y> | x/y是素数}
Discrete Mathematics
关系
第四章 二元关系
第一节 有序对与笛卡尔积
❖ 定义 1 由两个元素x和y（允许x＝y）按顺序排列成 的二元组叫做一个有序对，记为<x, y>。
❖ 有序对的性质： 1.当 x ≠ y时，<x, y> ≠ <y, x>。 2.<x, y>＝<u, v>的充分必要条件是 x=u且y=v。
Discrete Mathematics
笛卡尔积
❖ 定义 2 设A, B是集合。由A中元素作为第一元素，B 中元素作为第二元素组成的所有有序对的集合，称 为集合A与B的笛卡尔积（或直积），记为A×B。 即 A×B={<x,y>|x A y B}
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
17
第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
18
第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
[离散数学]第四章
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第四章代数代数又称为代数结构或代数系统，是用代数方法构造的数学模型。
代数系统对于研究各种数学问题和许多实际问题是很有用的，对计算机科学研究也有很大的实用意义，例如，在程序设计语言的语义研究中，数据结构的研究中，编码理论的研究中，系统生成与结构，语言代数，计算理论以及逻辑电路设计中均有重要的理论和实际意义。
§4.1 一般代数结构这一节开始讨论系统及系统的结构。
第一章与第二章着重讨论了一些集合，一般来讲，不论是什么系统，都是若干个集合按一定的条件构成。
构成的条件可以用列举法给出，更多的是由命题法和归纳法给出。
如果结出的若干个集合不是一些具体的集合，这些不具体的集合概念完全由命题来决定通用的概念，则这种构成系统的方法称为公理的方法。
所以这一节还有一个任务是向公理方法过渡。
4.1.1 代数运算关系是集合，函数是关系，函数是“单值”的关系也是集合。
下面定义的代数运算是一个特殊的函数。
定义4.1.1设X为非空集合，n∈I+，n→称为X上的n元运算，其中n为运算ω的阶(类型)，记为n ω。
①函数ω：X X②X中的每一个元素称为X上的0元运算。
当n ω＝1时，称ω为一元运算，例如实数集合R上的“负”运算；当n ω＝2时，称ω为二元运算，例如R上的“＋”和“*”运算。
二元运算在许多方面的研究中有着重要的意义，在后面二元运算用一个字母θ来表示。
实际上用的0元运算只是集合X中的某些特定的元素，例如R中的0和1。
在上一节中所定义的运算是一元运算。
由定义可以看出，所谓集合X上的n元运算，乃是指某种规则，对于X上的每一个n元序偶，规定了X中唯一的元素与之对应。
,,...,∈S，都有ω定义4.1.2设ω为X上的n元运算，S∈X，如果对于任意a a a n12,,...,‡)∈S，则称S关于ω封闭的。
(†a a a n12例如，考察自然数集合N上的加法运算“＋”，显然非负偶数集合关于“＋”是封闭的，但非负奇数关于“＋”是不封闭的。
离散数学 第四章
∴函数的复合运算不满足交换律。
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
f g
§2逆函数和复合函数
《定理》：函数的复合运算是可结合的，即如果f,g,h 均为函数，则有：
h ( g f ) (h g ) f
证明：函数也是一种二元关系， ∵二元关系的复合是满足结合律的， ∴函数的复合也是满足结合律的。
§2逆函数和复合函数
例：设 I
是负整数集合，定义二个双射函数f和g， f(x)= - x ={<-1,1><-2,2>…}， g(x)= x-1={<1,0><2,1>…}，
f : I I
( f ( x)) (( x) 1) { 1,0 2,1 }
§2逆函数和复合函数
《定理》：若f是一双射函数，则 ( f 1 ) 1 f 证明：设任一 x, y f
y, x f 1
则
x, y ( f 1 ) 1 f
《定理》：设f: X→Y和g:Y→Z,且f和g均为双射函数，则有
( g f ) 1 f 1 g 1
（3）一个函数的反函数如果存在的话，则此函数一定是双 射函数，而入射，满射函数的逆关系均不满足函数的定义.
（4）为了和逆关系相区别，函数f的 “逆函数” 用1 来表示 f
1 f : X Y 是一双射函数，称 f : Y X 《定义》：设
为f的逆函数。 《定理》：如果f: X→Y是双射函数，则有： 1 : Y X f
§2逆函数和复合函数
《定理》：设f:X→Y和g:Y→Z是二个函数，于是复合函数
g f 是一个从X到Z的函数，对于每一个 x X 有：
( g f )( x) g ( f ( x))
证明：由定义可知 g f 是从X→Z的函数，即
离散数学第四章
26
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
27
说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
1
基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
27
说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学第四章
使用特性谓词M（x），所给命题就可以符号化为： （1）∀x（M（x）→F（x）） （2）∃x（M（x）∧ G（x））
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
14
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
13
例 在个体域限制为（a）和（b）条件时，将下列命题 符号化：
（1）对于任意的数x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2) （2）存在数x，使得x+5=3
其中：（a）个体域D1=N（自然数集合） （b）个体域D2=R（实数集合）
10
量词
量词是表示个体常项或变项之间数量关系的词。
量词分为两种： （1）全称量词：对应日常语言中的“一切”，“所有的”，
“任意的”，“每一个”等等，用符号“∀”表示。 用∀x表示对个体域里的所有个体，∀xF(x)表示个体
域里的所有个体都有性质F。 ∀x∀yG(x, y)表示个体域里的任意两个个体都有关系G。
不带个体变项的谓词称为0元谓词。 例如：F（a），G（a，b），P（a1，a2，…，an） 都是0元谓词。
8
例 将下面命题用0元谓词符号化。 （1）只有2是素数，4才是素数 （2）如果5大于4，则4大于6
命题的谓词符号化步骤： （a）找出谓词、个体词常项 （b）符号化谓词和个体词常项 （c）使用符号化了的谓词和个体词以及逻辑运算符
解：令 F(x) : x2-3x+2=(x-1)(x-2)；G(x) : x+5=3 在个体域限制为（a）和（b）条件时 命题（1）的符号化均为：∀xF（x） 命题（2）的符号化均为：∃xG（x） 个体域为（a）时，（1）为真命题，（2）为假命题 个体域为（b）时，（1）为真命题，（2）为真命题
14
第四章 一阶逻辑的基本概念
1
4.1 一阶逻辑命题符号化
在一阶逻辑中，个体词、谓词、量词是命 题符号化的三个基本要素。
离散数学(一阶逻辑的基本概念)
27
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
21
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
多个量词的使用
xyG(x,y)：对于每一个x，都存在一个y， 真命题 x与y能配成一对。
yxG(x,y)：存在一个y，对于每一个x，x 假命题 与y能配成一对。
28
小结
一元谓词用以描述某一个个体的某种特性， 而n元谓词则用以描述n个个体之间的关系； 如有多个量词，则读的顺序按从左到右的顺 序；另外，量词对变元的约束，往往与量词 的次序有关，不同的量词次序，可以产生不 同的真值，此时对多个量词同时出现时，不 能随意颠倒它们的顺序，颠倒后会改变原有 的含义。
20
实例
例 2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 人都爱美 (2) 有人用左手写字 个体域分别为 (a) D为人类集合 (b) D为全总个体域 解：(a) D为人类集合 (1) xG(x), G(x)：x爱美 (2) xG(x), G(x)：x用左手写字
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 实例
(b) D为全总个体域 F(x)：x为人，G(x)：x爱美 (1) x(F(x)G(x)) (2) x(F(x)G(x)) 1. 引入特性谓词F(x) 2. (1),(2)是一阶逻辑中两个“基本”公式
29
小结
根据命题的实际意义，选用全称量词或存在 量词。全称量词加入时，其刻划个体域的特 性谓词将以蕴涵的前件加入，存在量词加入 时，其刻划个体域的特性谓词将以合取项加 入； 有些命题在进行符号化时，由于语言叙述不 同，可能翻译不同，但它们表示的意思是相 同的，即句子符号化形式可不止一种。
30
22
实例
例3 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1) 正数都大于负数 (2) 有的无理数大于有的有理数 解： 注意：题目中没给个体域，一律用全总个体域 (1) 令F(x)：x为正数，G(y)：y为负数, L(x,y)：x>y x(F(x)y(G(y)L(x,y))) 或者 xy(F(x)G(y)L(x,y))
离散数学第四章 有限集与无限集
可列集。
第四章 有限集与无限集
④ 定理： 两个可列集的并集是可列集。
证明： 设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …， 所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是 可列集。
0
2、定理：实数集R是不可列集。实数集的基数为 1 3、：对任意集合A，有 |A| < |ρ(A)| 由此可得： (1) 无限集也有大小，最小的无限集是 可列集，其 次是实数集。 (2) 对任一无限集，总存在一个基数大于这个集合
的集合，即无限集的“大小”也是无限的，没有最
大的无限集。
有限集a的元素个数称为a的基数记为2基数的有关定义设有集合ab第四章有限集与无限集则称集合a的基数小于等于b的基数记为若从a到b存在单射但不存在满射则称集合a的基数小于b的基数记为第四章有限集与无限集43无限集的性质1定义
第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
则 f 是一一对应的关系，所以A B。
第四章 有限集与无限集
例2：设N = { 0, 1, 2, 3, … }，其子集A = { 1, 3, 5,
7, … }，B = { 2, 4, 6, 8, … }均为无限集且N A，
N B。 因为它们间存在一一对应的关系： N：0 1 2 3 …… f： A：1 3 5 7 …… N：0 1 2 3 …… g： B：2 4 6 8 ……
第四章 有限集与无限集
④ 定理： 两个可列集的并集是可列集。
证明： 设 S1={a0, a1, a2, a3, a4, …}, S2={b0, b1, b2,
b3, b4, …}均为可列集。不仿设S1与S2不相交。
S1∪S2的元素可以排成无穷序列，即a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …， 所以 S1∪S2={a0, b0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, a4, …}是 可列集。
0
2、定理：实数集R是不可列集。实数集的基数为 1 3、：对任意集合A，有 |A| < |ρ(A)| 由此可得： (1) 无限集也有大小，最小的无限集是 可列集，其 次是实数集。 (2) 对任一无限集，总存在一个基数大于这个集合
的集合，即无限集的“大小”也是无限的，没有最
大的无限集。
有限集a的元素个数称为a的基数记为2基数的有关定义设有集合ab第四章有限集与无限集则称集合a的基数小于等于b的基数记为若从a到b存在单射但不存在满射则称集合a的基数小于b的基数记为第四章有限集与无限集43无限集的性质1定义
第四章 有限集与无限集
第四章 有限集与无限集
4.1 有限集与无限集基本概念
1、定义1：若集合A与集合= { 1, 2, 3, …, n }存在
则 f 是一一对应的关系，所以A B。
第四章 有限集与无限集
例2：设N = { 0, 1, 2, 3, … }，其子集A = { 1, 3, 5,
7, … }，B = { 2, 4, 6, 8, … }均为无限集且N A，
N B。 因为它们间存在一一对应的关系： N：0 1 2 3 …… f： A：1 3 5 7 …… N：0 1 2 3 …… g： B：2 4 6 8 ……
离散数学第4章 有限集和无限集
A C
B
软件学院
有限集
例：120个学生中有100个学生至少要学法、德、英三 种语言中的一种，假定有65人学法语，45人学德语， 42人学英语，20个人学法语和德语，25人学法语和 英语，15人学德语和英语，请问同时学三种语言的 有多少人？ 解：令A、B、C表示学法语学、德语和英语的人数 100＝65＋45＋42－20－25－15＋|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|＝8。
性质：可列集的无限子集仍为一可列集。
可列集是无限集中的最小集合。
软件学院
无限集的性质 例如：整数集I是可列集。 N={0,1, 2, 3, 4, 5, 6……}
I={0,1,-1, 2,-2, 3,-3……}
有理数集Q为可列集。 一切有理数都可写为m/n的形式，对于分数可以按照 分子和分母的顺序排列。 实数集R是不可列集。
软件学院
第四章 有限集与无限集 有限集S的元素的个数称为S的基数，可记为|S|。 自然数集N是无限集。 实数集R是无限集。 基数是与集合的元素数量有关的概念。在有限集中， 基数即是元素的个数，而在无限集中，集合基数就 变得复杂了。理论上讲，无限集中元素数量为无限， 但这太笼统了，因为个数中其浓度与密度是不同的。 如：实数与自然数同为无限个元素，但是实数无限浓 度高于自然数的无限浓度。
软件学院
无限集的性质 因为自然数集N不可能与某个自然数n等势。所以N的 基数不能是有限数，就用一个‚无限大‛的数 0表示（Aleph零）。 可列集是与自然数集中元素可以建立一一对应的集 合，即可列集与自然数集等势，势也为Aleph零。 所以我们可以用‘等势’来表示集合间的大小比较。 由于可列集是‘最小’的无限集，故已经没有比可 列集更小的无限集了。因此，其他无限集的势比 Aleph零要大，如实数集比可列集要大，它的基 数是Aleph。
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2014-6-12
21
*
例９ 设A={a,b,c,d}, *和是A上的两个二元运算. * a a d b a c a b a b b b c b c c c d c d c d a b c d a a b c d b b a d d c d c a b d c d b c
d a
b和d都是运算*的左单位元， a是运算的右单位元。
2014-6-12
3
代数的由来
Algebra一名来自阿拉伯文al-jabr，al为冠詞，jabr之意为恢复或 还原，解方程式时将负项移至另一边，变成正项，也可说是还原， 也有接骨术的意思。
中国在1859年正式使用代数这个名称（李善兰在《代微积拾级》 一书中的序中指出“中法之四元，即西法之代数也”），在不同 的时期有人用算术作为代数的名称，中国古书《九章算术》其实 是一本数书百科全书，代数问题分见于各章，特別是第八章方程， 主要是论述线性（一次）联立方程组的解法，秦九韶（1249） 的《数书九章》中有“立天元一”的术语，天元就是代表未知数， 用现在的术语来说就是“设未知数为x"。
定义在集合A上的运算在A的子集上是否封闭呢？
2014-6-12 15
例５ 定义函数*:N2N，使*(n1,n2)=n1· n2, 令S1={2k|kN}={2,22,23,24,25,…} 显然S1N, 于是S12N2
若(n1,n2)S12，则(n1,n2)N2，*(n1,n2)=n1· n2N， *(n1,n2)是否属于S1？
{a} {a} {b} {b} {a,b} {a,b}
{a} {b} {a,b} {a,b} {b} {a}
{a,b} {b} {a}
{a,b}
2014-6-12
14
二、运算的封闭性
定义２ 设*是集合 A 上的一个二元运算，SA, 若对于 每一个序偶(ai,aj)S2,都有 *(ai,aj)S, 则称运 算*在S上是封闭的。 定义在集合A上的运算在A上一定是封闭的。
第四章 代数系统
4.1 运算 4.2 代数系统
4.3 同态和同构
2014-6-12
1
本章在集合、关系和函数等概念基础上，研究更为复 杂的对象——代数系统，研究代数系统的性质和特殊的元 素，代数系统与代数系统之间的关系。如代数系统的同态、
满同态和同构，这些概念较为复杂也较为抽象，是本课程
中的难点。它们将集合、集合上的运算以及集合间的函数 关系结合在一起进行研究。
2014-6-12 22
例8 设S={|是集合A上的关系}，对于任意
1,2S，12仍是A上的关系，所以关系
的复合运算是S上的二元运算。 例10 在例8中，对任意关系S ，有 IA=IA=， 所以恒等关系IA是集合A上关系复合运算的 单位元。
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23
定理１ 设*是集合A上的二元运算， el和er分别是*的
。
求倒数的运算不能看作实数集R上的一元运算。
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例４ 集合的并、交运算可以看作是全集合U的幂集2U
上的二元运算。求补集的运算可看作是2U上的一元运算。 对任意Si,Sj2U,
(Si , S j ) Si S j
(Si , S j ) Si S j
对任意Si2U ， ( Si ) Si
左单位元和右单位元，则el=er=e ，且e是*的 唯一的单位元。
证明
因为el和er分别是*的左、右单位元，
因此，el*er=el=er， 令e=el=er，则e是*的单位元。 设e也是*的单位元，则e*e=e=e 因此e是*的唯一的单位元。
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2． 零元
定义5 设*是集合A上的二元运算，若存在一元素 zlA，使得对于任意的aA,有zl*a=zl，则 称zl是A中运算*的左零元；若存在一元素 zrA ，使得对于任意的aA, 有a*zr=zr,则称 zr是A中运算*的右零元，若存在一元素zA， 使得对于任意的aA, z*a=a*z=z,则称z是A中 运算*的零元。
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9
例２ 设有函数g:I2I，对于任意(i1,i2) I2 ，g(i1,i2)=i1-i2
g(5,3)=2, g(3,5)=-2, g(-3, 9)=-12 ,
但减法运算不是正整数集N上的二元运算.
1 例3 定义函数~:R-{0} R-{0} 为 ~ (r ) r 8 3 1 ~ ( ) 例如 ~ ( ) 2 ， 3 8 2
(3) 若对于任意的a,b,cA,有
a*(bc)=(a*b)(a*c) (bc)*a =(b*a)(c*a) 则称运算*对运算是可分配的。
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例６ 实数集R上的二元运算*定义为: r1 r2 r1 r2 r1r2
因为 r1 r2 r1 r2 r1r2 r2 r1 r2 r1 r2 r1 所以*满足交换律。
但20 S22
因此*运算在的子集S22上不封闭。
2014-6-12 17Байду номын сангаас
三、二元运算的一些常见的性质
定义３ 设A是非空集合，*和 是A上的二元运算。 (1) 若对于任意a,bA ，有a*b=b*a，则称*在 A 上是
可交换的。
(2) 若对于任意a,b,cA，有a*(b*c)=(a*b)*c,则 称*在A上是可结合。
对于任意(2i,2j)S12， 2i2j=2i+j , i+jN，2i+jS1 , 这意味着正整数集 N 上的运算 * 在 N 的子集 S1 上 也是封闭的.
2014-6-12 16
令S2={1,2,3,…,10} ，显然S2N，S22 N2，
任取(i,j)S22，且*是N上的二元运算，因此 *(i,j)=ijN ，但*(i,j)是否属于S2呢？ 我们取(4,5)S22，则(4,5)N2， *(4,5)=45=20N,
2014-6-12
11
~双射
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一、一元运算和二元运算的表示方法
表达式： x1x2=y ~x=y 表达方法： 解析表达式 运算表
ai a1 ~ (ai )
a1 (a1 , a1 )
a2
an
~ (a1 ) ~ (a 2 ) ~ (a n )
a1 a2 an
(a1 , a2 ) (a1 , an )
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四、集合中与二元运算相关的一些特殊的元素
１．单位元
定义４ 设*是集合A上的二元运算，若存在一元素elA， 使得对于任意的aA，有el*a=a,则称el是A中运算 *的左单位元； 若存在一元素erA，使得对于任意aA ，有a*er=a， 则称er是A中运算*的右单位元； 若存在一元素eA ，使得对于任意aA， 有e*a=a*e=a， 则称e是A中运算*的单位元。
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定理２ 设*是A上的二元运算，zl和 zr 分别 是 *的左零元和右零元，则zl=zr=z,且 z 是* 唯一的零元。
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Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
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Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.
2014-6-12
This is taken from a French stamp
r1 (r2 r3 r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 )
r1 r2 r3 r2r3 r1r2 r1r3 r1r2r3 所以 r1 (r2 r3 ) (r1 r2 ) r3 , 满足结合律。
2014-6-12 19
(r1 r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 ) r3
(r1 r2 r1r2 ) r3 (r1 r2 r1r2 )r3 r1 r2 r3 r1r2 r1r3 r2r3 r1r2r3
r1 (r2 r3 ) r1 (r2 r3 r2 r3 )
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4.1 运算
定义1 设有非空集合A，函数f：An→A称为A上的一
个 n 元运算。特别，函数 f：A2 →A称为A上 的二元运算， f：A →A 称为A上的一元运算 。 例１ 设有函数 f：N2 →N ，对于任意 (n1, n2)N2, f(n1,n2)=n1+n2 f(5,3)=8, f(3,5)=8, f(3,9)=12
2014-6-12
5
初等代数学是指19世纪上半叶以前发展的方程理论，主要研究某 一方程（组）是否可解，如何求出方程所有的根（包括近似根）， 以及方程的根有何性质等问题。 抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影 响。抽象代数的主要研究内容是研究各种代数结构, 它是在从较高 层次上, 撇开形式上很不相似的代数结构的个性, 抽象出其共性, 用统一的方法描述、研究与推理, 从而得到一些反映事物本质的结 论, 再把它们应用到那些系统中去。由于代数结构中运算个数以及 对运算要求的性质的不同, 从而产生了各种各样的代数结构, 这就 形成了抽象代数的不同分支, 其中最基本、最重要的分支是群、环 和域, 这也是离散数学课程抽象代数部分的重要研究内容 。
2014-6-12
2
什么是代数？
爱因斯坦小時候曾好奇地问他的叔叔：「代数是什么？」（那时 候他只学过算术）他的叔叔回答得很妙：「代数是一种懒惰人的 算术，当你不知道某些数时，你就暂时假设它为x、y，然后再想 办法去寻找他们。」道理一经点破，就好像「哥伦布立蛋」的故 事一样，人人都会做了。 代数是什么？以符号代替数的解題方法就是代数。 代数是从算术精炼出来的结晶，虽平凡但妙用无穷。因此它又叫 做广义算术(generalized arithmetic) 或进阶算术(advanced arithmetic)或普遍算术（universal arithmetic）。