高考文科数学总复习课件椭圆及其性质

x

1 2

,
将C(x1,y1),D(x2,y2)代入2x2+y2=2(x≠±1)得
2 x12 + y12=2, ① 2 x22 + y22=2, ②
①-②整理得k=
y1 x1

y2 x2
=-
2(x1 x2 ) y1 y2
=- 2 2
21
1 2
=-1,
∴直线l的方程为y-1=-1×
(x1 x2 )2 4x1x2 =
2
·


8t 5
2

16(t 2 5
1)
=4 2
5
·5 t2
,∴当t=0时,|AB|max=
4 10 ,故选C.
5
答案 C
方法技巧
方法1 求椭圆的标准方程的方法
1.定义法:根据椭圆的定义确定2a,2c,然后确定a2,b2的值,再结合焦点位 置写出椭圆的标准方程. 2.待定系数法:根据椭圆焦点的位置设出相应形式的标准方程,然后根据 条件列出关于a,b的方程组,解出a,b,从而写出椭圆的标准方程.
a2 b2
a2 b2Байду номын сангаас
4.a+c与a-c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值.
5.设P,A,B是椭圆上不同的三点,其中A,B关于原点对称,则直线PA与PB
的斜率之积为定值- b2 .
a2
考向突破
考向一 椭圆的离心率
例3
(2019届河北百校联盟10月联考,5)已知圆O:x2+y2=4经过椭圆C:
x2 9
+
y2 4
=1相交,故
选A.
答案 A
考向二 直线与椭圆相交的弦长问题
例6 (2019届辽宁大连双基测试,9)斜率为1的直线l与椭圆 x2 +y2=1相交
4
于A,B两点,则|AB|的最大值为 ( )
A.2 B. 4 5
5
C. 4 10
5
D. 8 10
5
解析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由
考向基础
1.直线与椭圆的位置关系的判断
把椭圆方程
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)与直线方程y=kx+h联立消去y,整理成Ax2+
Bx+C=0(A≠0)的形式,则:
2.直线被椭圆截得的弦长公式:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两 点,则
|AB|= (1 k 2 )(x1 x2 )2 = 1 k 2 · (x1 x2 )2 4x1x2
解析
解法一:由

x
2
y2
得4x2+9(kx-k+1)2-36=0,即(9k2+4)x2+9(2k-
9 4 1
2k2)x+9(k2-2k-3)=0.
∵9k2+4≠0,∴Δ=18×18(k-k2)2-36(k2-2k-3)(9k2+4)=36(32k2+8k+12)=72(16k2+
4k+6)=72
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的短轴端点和两个焦点,则椭圆C的离心率为
(
)
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 2
3
2
2
3
解析 由题意知(±c,0)与(0,±b)在圆O:x2+y2=4上,则(±c)2=4且(±b)2=4,解 得b=c=2,∴a= b2 c2 =2 2 ,∴椭圆C的离心率e= c = 2 = 2 ,故选C.
x
y
1
·
x
y 1
=-2(x≠±1),
化简得2x2+y2=2(x≠±1),即为动点M的轨迹方程.
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2).
解法一:当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=
1 2
,则C

1 2
,
6 2



,D

1 2
,

6 2


,此
时CD的中点不是N,不合题意.
故设直线l的方程为y-1=k
2 5, 由b2=a2-c2,得b2=4.所以所求椭圆的标准方程为 y2 + x2 =1,故选C.
20 4
解法二:设所求椭圆的方程为 y2 + x2 =1(k<9),将点( 3 ,- 5 )的坐标
25 k 9 k
代入可得 5 + 3 =1,解得k=5或21(舍),所以所求椭圆的标准方程为
25 k 9 k
A. x2 + y2 =1
20 4
C. y2 + x2 =1
20 4
解题导引
B. x2 + y2 =1
25 4
D. x2 + y2 =1
4 25
解析 解法一:椭圆 y2 + x2 =1的焦点为(0,-4),(0,4),故c=4.
25 9
由椭圆的定义知,2a= ( 3 0)2 ( 5 4)2 + ( 3 0)2 ( 5 4)2 ,解得a=
y x

x2

4
y
t, 2
4

0
消去y得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-
8t 5
,x1x2=
4(t
2 1) 5
,∴|AB|
= (x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 = (x1 x2 )2 [x1 t (x2 t)]2 = 2(x1 x2 )2 = 2 ·
例4 已知点A、B的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线AM、BM相交于点M, 且它们的斜率之积为-2. (1)求动点M的轨迹方程;
(2)若过点N
1 2
,1
的直线l交动点M的轨迹于C、D两点,且N为线段CD的
中点,求直线l的方程.
解题导引
解析 (1)设M(x,y),
因为kAM·kBM=-2,所以
考向一 椭圆定义的应用
例1
(2018广东清远一模,8)曲线C1:
x2 m
+
y2 n
(m>n>0),曲线C2:
x2 a
-
y2 b
=1(a>
b>0).若C1与C2有相同的焦点F1、F2,且P同在C1、C2上,则|PF1|·|PF2|=
()
A.m+a B.m-a C.m2+a2 D.m2-a2
解析 由题设条件可知|PF1|+|PF2|=2 m ,|PF1|-|PF2|=2 a , ∴|PF1|= m + a ,|PF2|= m - a , ∴|PF1|·|PF2|=m-a.故选B.
94
解析
依题意设椭圆G的方程为
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0),
∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为12,∴2a=12,∴a=6,∵椭圆的离心
率为
3 ,∴e= c =
2
a
1
b2 a2
=
3 ,即
2
1 b2 =
36
3 ,解得b2=9,∴椭圆G的方程为
2
x2 + y2 =1,故选A.
36 9
答案 A

4k

1 2
2

23 4

>0恒成立,

∴直线y=kx-k+1与椭圆
x2
+
9
y2 4
=1相交,故选A.
解法二:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1).因为12 + 12=13 <1,所以点
9 4 36
(1,1)在椭圆
x2 9
+
y2 4
=1的内部,所以直线y=kx-k+1与椭圆
y2 + x2 =1,故选C.
20 4
答案 C
方法2 求椭圆的离心率(或取值范围)的方法
1.求解椭圆离心率常用的方法:①若给定椭圆的方程,则根据椭圆的焦点
位置确定a2,b2,求出a,c的值,从而利用公式e=
c a
直接求解;②若椭圆的方
程未知,则根据条件及几何图形建立关于a,b,c的等式,化为关于a,c的齐
x

1 2
所以椭圆的离心率e= c = 2 = 3 -1.故选D.
a 3 1
答案 D
例3
(2015福建,11,5分)已知椭圆E:
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴
的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到
直线l的距离不小于 4 ,则椭圆E的离心率的取值范围是 ( )
考点清单
考点一 椭圆的定义及其标准方程
考向基础 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹 叫做椭圆. 椭圆定义中的常数2a>|F1F2|,即对椭圆上任意一点M都有|MF1|+|MF2|= 2a>|F1F2|.这个条件是必要的,否则其轨迹就不是椭圆.事实上,若2a=|F1F2|, 其轨迹是① 线段F1F2 ;若2a<|F1F2|,其轨迹不存在. 2.(1)椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义,通过建立恰当的坐标系求
x2 y2
3.当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时,可设为 m + n =1(m>0,
n>0,m≠n),也可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).
例1 (2018宁夏银川一中月考,5)过点( 3 ,- 5 ),且与椭圆 y2 + x2 =1有相
25 9
同焦点的椭圆的标准方程为 ( )
答案 B 考向二 求椭圆的标准方程
例2 (2017甘肃兰州联考,6)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴
上,离心率为 3 ,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为12,则椭圆
2
G的方程为 ( )
A. x2 + y2 =1
36 9
C. x2 + y2 =1
49
B. x2 + y2 =1
9 36
D. x2 + y2 =1
出的,参数b=② a2 c2 ,它是因为化简方程的需要而引入的,它具有
明确的几何意义:b表示短半轴的长. (2)求椭圆的标准方程应从“定形”“定式”和“定量”三个方面去思 考.“定形”是指对称中心在原点,以坐标轴为对称轴的情况下,焦点在 哪条坐标轴上;“定式”是根据“形”设椭圆方程的具体形式;“定 量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值. 考向突破
5
4b ≥ 4 ,即b≥1.所以e2= c2 = a2 b2 = 4 b2 ≤ 3 ,又0<e<1,所以e∈
32 (4)2 5
a2
a2
44
0,
3 2

,故选A.
答案 A
方法3 解决弦中点问题的方法
涉及直线与圆锥曲线相交弦的中点和弦所在直线的斜率问题时,常用 “点差法”“设而不求法”,并借助一元二次方程根的判别式、根与系 数的关系、中点坐标公式及参数法求解,但在求得直线方程后,一定要 代入原方程进行检验.
次方程,进而转化为关于e的方程进行求解,最后注意e的取值范围.
2.求椭圆离心率的取值范围与求离心率类似,也是根据几何图形建立关
于a,c的齐次不等式进行求解.
例2 (2018课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上
的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为 ( )
5

A. 0,

3
2

B.
0,
3 4


C.

3 2
,1

D.

3 4
,1
解题导引
解析 直线l:3x-4y=0过原点,从而A,B两点关于原点对称,于是|AF|+|BF|=
2a=4,所以a=2.不妨令M(0,b),则由点M(0,b)到直线l的距离不小于4 ,得
=
1
1 k2

(
y1

y2 )2
=
1
1 k2
· ( y1

y2 )2

4 y1 y2
(k为直线斜率,k≠0).
考向突破
考向一 直线与椭圆的位置关系的判定 例5 直线y=kx-k+1与椭圆 x2 + y2 =1的位置关系是 ( )
94
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
y kx k 1,
a 22 2
答案 C
考向二 焦点三角形问题
例4
(2019届四川成都顶级名校9月调研,6)已知F1,F2是椭圆C:
x a
2 2
+
y2 b2
=1


(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且PF1 ⊥ PF2 ,若△PF1F2的面积为
9,则b的值为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析
根据椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,又∵
考向基础
考点二 椭圆的几何性质
【知识拓展】 1.如图,过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB|= 2b2 ,称为通径.
a
2.如图,P为椭圆上的点,F1,F2为椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=θ,则△F1PF2 的面积为b2·tanθ .
2
3.椭圆 x2 + y2 =1与 x2 + y2 =k(其中a>b>0,k>0)有相同的离心率.

PF1
⊥

PF2
,∴
1 2
|PF1||PF2|
=9,|PF1|2+|PF2|2=4c2.由(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|,得4a2=4c2+2
×18.∴a2-c2=9,即b2=9,又知b>0,∴b=3,故选C.
答案 C
考点三 直线与椭圆的位置关系
A.1- 3
2
B.2- 3
C. 3 1
2
D. 3-1
解题导引
解析
不妨设椭圆方程为
x a
2 2
+
y2 b2
=1(a>b>0).
在Rt△F1PF2中,因为∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,
所以|PF2|=c,|PF1|= 3 c.
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即 3 c+c=2a,