刚体的复合运动2011
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3-23曲柄III 连接定齿轮I 的1O 轴和行星齿轮II 的2O 轴,齿轮的啮合可为外啮合(图a )也可为内啮合(图b )。曲柄III 以角速度3ω绕1O 轴转动。如齿轮半径分别为1r 和2r ,求齿轮II 的绝对角速度2ω和其相对曲柄的角速度23ω。
解:取曲柄III 为为动系,牵连角速度为3e ωω=。齿轮I 和II 的相对运动均为定轴转动。 对于图(a),两个齿轮的相对角速度分别为:
133ωω=-,112313322
r r r r ωωω=-=
(逆时针) 因此齿轮II 的绝对角速度为: 1222332
e r r r ωωωω+=+=(逆时针) 对于图(b),两个齿轮的相对角速度分别为:
133ωω=-,112313322
r r r r ωωω=
=-(顺时针) 因此齿轮II 的绝对角速度为: 2122332
e r r r ωωωω-=+=(顺时针)
3-27差动齿轮构造如图所示,曲柄III 可绕固定轴AB 转动,在曲柄上活动地套一行星齿轮IV ,此行星齿轮由两个半径各为51=r cm ,22=r cm 的锥齿轮牢固地叠合而成,两锥齿轮又分别与半径为101=R cm 和52=R cm 的两个锥齿轮I 和II 啮合;齿轮I 和II 可绕AB 轴转动,但不与曲柄相连。今两齿轮I 和II 的角速度分别为1ω=4.5rad/s 及92=ωrad/s ,且转
向相同,求曲柄III 的角速度3ω及行星齿轮对于曲柄的相对角速度43ω
解:齿轮II 与齿轮IV 啮合处速度为 2232432R R r ωωω=+。
齿轮I 与齿轮IV 啮合处速度为 1131431R R r ωωω=-。
联立以上方程,可得 37 rad/s ω=,43 5 rad/s ω=。 1
ω2ω3
43
ω
3-28正方形框架以2 r/min 绕轴AB 转动。圆盘以2 r/min 绕着与框架对角线相重合的轴BC 转动。求此圆盘的绝对角速度和角加速度。
解:取框架为动系,圆盘的相对运动为定轴转动,则
2 r/min 0.21 rad/s e ω==
2 r/min 0.21 rad/s r ω==
所以:
3.7 r/min 0.39 rad/s ω==
20.210.21cos450.031 rad/s e r εωω=⨯=⨯⨯=
3-37圆盘绕杆AB 以角速度100=Ωrad/s 转动,AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度
10=ωrad/s 转动。已知140=R mm ,当︒=90θ,5.2=θ
rad/s ,0=θ 时,试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。
解:圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动,且三个轴交于O 点。取O 点为基点,建立动坐标系Oxyz ,Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动,则牵连角速度e ω=-ωk 。圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成,则圆盘的相对角速度为:
r θ
=-+Ωωi j 所以圆盘的绝对角速度为:
r θ
ω'=-+Ω-e ω=ω+ωi j k C 点及D 点的矢径分别为:
0.140.5 m C =-+r i j
0.50.14 m D =+r j k
由公式=⨯v ωr 可得C 点及D 点的速度:
5 1.412.75 m/s C C '=⨯=++v ωr i j k
190.35 1.25 m/s D D '=⨯=+-v ωr i j k
下面来求加速度。首先求圆盘相对于动系的相对角加速度r ε,在动系中,我们可以步将
框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动,牵连加速度为1e θ=-ωi ,牵连角加速度为1
e =εθ ;将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动,相对角速度为1r =Ωωj ,相对角加速度为10r ==εΩ
。则根据角加速度合成公式e e r r =+⨯+εεωωε并由此时0θ
= 可得: 211250 rad/s r e r θ
=⨯=-⨯Ω=-εωωi j k
接下来求圆盘的绝对角加速度,再次利用角加速度合成公式,并由0e =ε可得:
2100025250 rad/s e r r '=⨯+=+-εωωεi j k
利用公式()=⨯+⨯⨯a εr ωωr 可得C 点及D 点的加速度 :
2141416.875 m/s C =+a i j
27333.1252400.875 m/s D =--a i j k