刚体的复合运动2011
第2章 刚体运动与复合运动
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动 过程中， 过程中， 其上所有 点的运动 始终平行 于某一固 定平面。 定平面。
刚体的运动 — 平面运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的运动 —定点运动 第 2章
第2 章
刚体运动与复合运动
2010年12月10日
目录 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体的定义及其运动形式 第1节 刚体运动的向量-矩阵描述 第2节 刚体定点运动 第3节 刚体平面运动 第4节 点的复合运动 第5节 刚体复合运动
刚体的定义 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体是质点间距离始终保持不变 距离始终保持不变的质 距离始终保持不变 点系。 刚体是抽象的力学模型 力学模型。 力学模型 真实物体受力以后都会变形。 当物体的变形和运动尺度相比小的多 时，则可简化为刚体。
刚体的运动 — 平动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，其上 刚体运动过程中， 任一条直线始终保持与 其自身原位置平行。 其自身原位置平行。
刚体的运动 — 定轴转动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过 程中， 程中，刚体 或其延拓部 或其延拓部 分上有一直 线始终保持 不动。 不动。
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
刚体运动过程中，刚体或 刚体运动过程中， 其延拓部分上某一点始终 保持不动。 保持不动。
刚体的运动 — 定点运动 第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
第 2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
返回
工程力学-刚体的复合运动
（平面运动的分解）
现在用复合运动的方法来研究平面图形的运动。 平面图形的运动分解成平动和转动
EXAMPLE
y
y′
x′
O′
x
车轮的平面运动可以分解成两个运动：随动系 O′x′y′ 的平动---牵连运动；绕动系 O′x′y′ 的转动----相对运动。
GENERAL IDEA:
求：轮 IV 角速度 ω4 。
解：建立动系 Oxy 与曲柄固结
ωe = ω 0 ωr1 = ω 0
ω r4 = ω r4 ⋅ ω r2 = R3 ⋅ R1 ω r1 ω r3 ω r1 R4 R2
ωr4
=
R3 R1 R4 R2
ω0
ω4
= ωr4
−ωe
=
R3 R4
R1 R2
− 1ω 0
b
=
R1 + R2 R3 R1
R2 R4
平面图形的运动分解成转动和转动，绕平行轴转动的合成
1.用转动坐标系将平面运动分解为两个绕平行轴的转动
若平面图形S在运动过程中，其上有一点A到定系中某一固 定点O的距离始终保持不变，则点A在定系中的轨迹是以点O为 圆心，OA为半径的圆周曲线。对于满足上述条件的平面运动，
引入一与O、A两点连线固连的动系。动系相对定系绕O轴作定
3. 转动偶的概念
(1) 刚体作绕两平行轴转动的合成，若 ωe = Const. , ωr = Const., ,
ωr = −ωe 则合成运动 ωa =0，即两个转动合成一个平动，
此平动称为转动偶。
(2) 在下图中，I轮固定，II轮与I轮用皮带传动，曲柄角速度， ω = Const. 研究II轮的运动
第3章复合运动
dA dt
~ dA dt
(3.2)
8
§3.4
点的复合运动的矢量解法
M
r
O
3.4.1 动点的运动方程
(1) 确定参考点：
O 定系中任一确定点 O 动系中任一确定点
r
O
(2) 动点M的变化规律：
绝对运动方程 相对运动方程
牵连运动方程 rO rO (t ) 点O 相对点O 的矢径 在任意时刻t r t rO t r t
ve vN vO e r
(3.33) (3.34)
于是
va ve vr
速度合成定理
（矢量方程式，在任意瞬时均成立）
速度合成定理：
在任一瞬时，动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。 速度合成定理的适用范围：
速度合成定理虽然是在牵连运动为平面运动时推导所得，但当牵连运动为其 12 他形式的刚体运动时，依然成立。
方向由 vr 顺 e 的转向转 90 得到。
aC
vr
15
当 0 或 180 时， e // vr aC 0 (3) 综合上述：
e
一般情况下，
将 vr 正交分解，得到 vr ，vr ， 大小
vr
vr
aC
其方向为 vr 顺 e 的转向转过 90 (如
4. 运动合成与分解的应用
（1）某些工程机构，只有用上述方法才能求出机构中各构件的运动关系； （2）实际问题需要在不同的参考空间研究物体的运动。
这种利用动系和定系来分析运动的方法（或运动的合成与分解），不仅在 工程技术上有广泛应用，而且还是在非惯性参考系中研究动力学问题的基 础。
6第六章刚体基本运动与点的复合运动资料
由于转速n与w 有如下关系：
w 2n
60
w1 n1 成正比 w 2 n2
齿轮传动比
i1,2
2018年11月2日 理论力学CAI
w1 n1 r2 z2 w2 n2 r z1 1
25
2018年11月2日 理论力学CAI
26
减速箱由四个齿轮构成， 如图所示。齿轮Ⅱ和Ⅲ安装
2018年11月2日 理论力学CAI 1
6.1 刚体的平移和定轴转动
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
2
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
3
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
4
观察平移刚体
2018年11月2日 理论力学CAI
5
1. 平移 —— 刚体运动过程中，其上任意直线始终平 行于这一直线的初始位置。
代入t = 0和t = 2，就可求得这两瞬时A点的速度和加速度，亦即点C在
这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：
t (s)
(rad)
0
v (m/s)
π （水平向右） 0 4
at (m/s2)
an (m/s2)
π2 2 （铅直向上） 0l 16
0
2
理论力学CAI
0
π 0l 16
0
0
30
航母以 20 节的速度前进，直升飞机以每小时 10km 的速 度垂直降落。求直升飞机相对于航母的速度。
2018年11月2日 理论力学CAI
31
2018年11月2日 理论力学CAI
32
振动仪中纪录振动的笔尖 M 沿铅直固定轴 Oy 作
第三章刚体力学(2)
J 00 ( J 0 mR )
2
J 00 ( J 0 0)
0
J 00 J 0 mR2
R
O’ Cபைடு நூலகம்
B
（2） 球与环及地球为系统，机械能守恒
势能零点
1 1 2 1 2 2 J 00 mg 2 R mv J 00 2 2 2
v 2 gR
环上C点处对惯性系的速度为零
d A M d
1 2 Ek J 2
A Md
1
2
定轴转动动能定理 势能 刚体的机械能
1 1 2 A J 2 J 12 2 2
E p mghc
1 2 E E p Ek mghc J 2 A外 A非保 E
A外+A非保=0 ΔE=0
*
机械能守恒
三、定轴转动定理定律 力矩 角动量
M r F
L J L J z
dLz M z J dt
定轴转动定律
分析问题：对刚体列出定轴转动定律方程
对质点列出牛顿定律方程 线量与角量的关系 M = 0 L = 常量——角动量守恒 J = 常量
力（力矩）对刚体的功 定轴转动动能
各质点的位置和速度 某点的位矢 = 质心的位矢 + 该质点相对质心的位矢 某点的速度 = 质心的平动速度 + 该质点相对质心的速度
y
ri rc ri
vi vc vi vc ri
mi
ri
ri′ rc
x
质心系
ω是该质点相对质心做转动时的角速度
O
八．细杆长l,质量m.从水平位置释放后与物 体碰撞,物体质量m,与地面摩擦系数u，撞后 滑行S停止,求碰后杆质心C上升的最大高度. 解: 分三阶段考虑 杆机械能守恒
工程力学(第二版)PPT吴玉亮主编-第12章 点和刚体的复合运动
1
绝对运动
2
相对运动
3
牵连运动
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.1.3 点的速度合成定理 如图12-4所示，设一运动平面S上有一曲线槽AB，槽内有动点M沿槽运动。将动
参考系o′x′y′固结在平面S上，静参考系oxy固结在地面上。
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.2 刚体的平面运动
平面图形在其平面上的位置可以用图形内的任意直线段o′M的位置来确定，如图 12-11所示。
第12章 点和刚体的复合运动
12.3 平面图形上各点的运动分析
如图12-12所示，在平面图形上任取一点O′，称为平面图形的基点。将动坐标系 O′x′y′固结在这点上，并随O′点作平动，而平面图形又相对于动坐标系绕基点O′转动。
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.1.2 绝对运动、相对运动及牵连运动 在工程中，把固定于地面的坐标系称为静参考系，把固结于相对于地面运动的物
体上的坐标系称为动参考系。在图12-1的例子中，动参考系固结在车厢上。用点的合 成运动分析点的运动时，除了要选定两个参考系外，还应区分三种运动：
12.1.1 点的合成运动的概念 如图12-2所示，桥式起重机在起吊重物时，假设起重机的横梁不动，起重机小车
沿横梁作水平运动，同时，小车上悬挂的重物M向上运动。站在地面上观察重物M时， 重物M的运动轨迹为曲线。
第12章 点和刚体的复合运动
12.1 点的合成运动
12.1.1 点的合成运动的概念
从图12-1中可看出：如果以车厢作为参考系，则点M对于车厢的运动是简单的圆 周运动，车厢相对于地面的运动是简单的平动。这样，轮缘上一点的运动就可以看成 两个简单运动的合成，也就是点M相对于车厢作圆周运动，同时，车厢相对地面作平 动。
刚体运动的基本原理
刚体运动的基本原理刚体运动是物体在空间中做整体性的运动，不发生形变的运动。
刚体运动的基本原理可以通过以下几个方面来解释：一、质点的运动质点可以看作是质量无限大的一个点，它不发生形变，仅产生平移运动。
质点的平移运动可以用牛顿第一定律来描述，即物体在不受外力作用时将保持静止或者匀速直线运动。
这是因为质点不受力的影响，所以它的速度和位置都不会改变。
二、刚体的自由度刚体在空间中的运动由其自由度决定。
自由度是指刚体能够独立运动的最小数量。
对于一个刚体而言，它的自由度取决于它的维度。
在三维空间中，一个刚体有6个自由度，分别为三个平移自由度和三个转动自由度。
三、刚体的平移运动刚体的平移运动是指它在空间中沿着直线运动，整体上保持不变。
刚体的平移运动可以由质点的运动来描述。
当一个刚体受到一个外力时，该外力会作用在刚体的重心上，使得刚体产生平移运动。
刚体的平移加速度与作用在刚体上的合力成正比，与刚体的质量成反比。
四、刚体的转动运动刚体的转动运动是指它在空间中绕轴线旋转，整体上保持不变。
刚体的转动运动可以由刚体的转动惯量来描述。
转动惯量是刚体旋转惯性的量度，与刚体的质量分布以及轴线的位置有关。
当一个刚体受到一个力矩时，该力矩会使刚体产生转动运动。
刚体的转动加速度与作用在刚体上的合力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
五、刚体的复合运动刚体可以进行平移和转动的复合运动。
当一个刚体受到既有平移又有转动的外力时，刚体既会发生平移运动，也会发生转动运动。
刚体的平移和转动是相互独立的，但它们会同时发生。
六、刚体碰撞的基本原理当两个刚体碰撞时，根据动量守恒定律和动能守恒定律，可以得到碰撞前后刚体的动量和动能之间的关系。
在完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中既满足动量守恒定律，也满足动能守恒定律。
在非完全弹性碰撞中，刚体在碰撞过程中会发生能量损失，动能不守恒。
总结：刚体运动的基本原理包括质点的运动、刚体的自由度、刚体的平移和转动运动，以及刚体碰撞的原理。
3-1点的复合运动
R RE A
R0
sin x cos y
S
et 0
et 0
R0 cos et r0 cos mt cos r0 sin mt sin
A B
x
cos e sin t R
O
C t
当
OCA π 2
时， t
R cos e2 R2
e R
2 2
e sin e2 R2
R
e t
vAB x e R2 e2 / R
2013-11-20
34
第1节 点的复合运动
R
R*
x
第1节 点的复合运动
R RO r RO A
P
z
Z
R
RO
Z
y
r
O
r A(t ) ρ
Y
X
x
Y
r Aρ Aρ AAT r Aρ
dr ω r + dr dt dt
Aρ 和 ρ
同一个向量在不 同坐标系的列阵
O0
X
y
Y
o
cos sin
复合运动知识如何得到月球的复杂轨迹？
R RE r
R cos e t RE E 0 E R0 sin e t
动点、定系、动系选择？
cos A sin sin cos
e
y
m
E
r0
M
x
x r0 cos m t y r0 sin mt
刚体的复合运动
mgh
1 2
m
v
2 C
1 1 2 2
mR 2
vC R
2
3 4
mv
2 C
vC
4 gh 3
解法二 请同学们自学 (P46)
4
3.3 刚体的复合运动
M
dL
dt
Mdt dL
L
M r
M
r
mg 不旋转的陀螺
mg
旋转的陀螺 进动！
L
dL
L
俯视图
5
ri Fi 在质心系：
d mrdC t
L
M = J
i
mi ri 0
注意： 实验室中质心 系 一般为非惯性系
ω mvC m ivi 0
零动量参照系 P44
2
d
惯性系中
质心系中
ri Fi
ri
Fi
d
t
mi a C
L i
(2.19)
d
L
dt
i
惯性力矩
其中
ri mi aC
d ri Fi d t
L
i
mi ri aC 0 Cf:重力矩 cf : P 44 3.25
对于 刚体
二、 柯尼 希定 理
M = J α cf : P 38 3.12 : M = Jα
质心系中过质心的某定轴
E
121mmivvi22
1 2mi m v
vC
vi
v
2
1m
12mi v2
vC2
12mivi2
2 iC
iC i
2
质i i点组 轨道动能
质点组 内动能
3
例3.5 质量为m半径为R的圆柱体，沿斜面向下无滑动滚
复合运动
理论力学
——复合运动
李俊峰
第三章 复合运动
A 2 vr ) ac 2 vr (ac A
称为科氏加速度。
第三章 复合运动
例题 3.1
点的复合运动
一根直管 OP 在 oxy 平面内绕 o 转动，其运动 方程为 (t ) 。一小球 M 在管内沿 OP 运动，其运动 方程为 (t ) 。求 M 的速度和加速度。 y 解：取与管子固联的坐标系 e1 ， e2为 P 动参考系，则小球的相对运动是直线 运动，相对运动的速度和加速度分别 M e1 和 ar e1 为： vr e1 牵连运动是假想把小球在某瞬时冻结 在管子壁上，由管子拖带着它一起运 动。这个牵连运动是定轴转动，因此
~ 可得绝对导数与相对导数的关系： dr d r r 其中 是动系相对定系的角速度。dt dt
A A1 r A A r A A r
第三章 复合运动
速度合成公式
设 p 点为运动物体上的一个点，其相 对 O 和 o 向径满足下面关系式
Z
点的复合运动
p
z
R
R0
r
o x
y
R R0 r R0 A
对时间求导得 p 点的绝对速度： O
Y
R r A R X 0 ~ 向量形式为： d r v p v0 r ve vr dt ~ dr 其中 vr 称为相对速度，ve v0 r 称为牵连速度。
复合运动
对于动系 S ' , 1
v1
e
=v
1
,
v 1r
只能沿直线
1
方向。
对于动系 S ' , 2
v
2
e=
v
2
,
v 2r
只能沿直线
2
方向。
v 1e
v
P
v
2e
v
1
2
1
P 点速度 v=v1ev1r 矢端只能沿图示平行于直线 1 的虚线方向滑动 P 点速度 v=v2ev2r 矢端只能沿图示平行于直线 2 的虚线方向滑动 只有图示虚线交点才能使等式同时成立，此即求得的 P 点速度 v
(2). S' 中观察者只能观测到 v 和 a , 观测不到 v, v ,a, a 和 a .
r
r
e
e
c
S 中观察者只能观测到 v 和 a , 无法区分 v 中的 v 和 v ,
e
r
a 中的 a , a 和 a . 只有站在理论工作者的角度 , 同时考虑
er
c
到 S 系和 S' 系 , 才能把 v 和 a 理性地分解出来 .
Oxyz-->OXYZ 动作分解 将 Oxyz 绕 Oz 轴转动 φ, Ox 转到 ON 再绕 ON 轴转动 θ, Oz 转到 OZ 再绕 OZ 轴转动 ψ, ON 转到 OX
θ
O
φ
ψ
这样我们有三个过 O 点的角速度矢量
˙ e3 ˙ N ˙ E3
根据瞬时定轴转动的合成定理，有
=˙ e3˙ N ˙ E3
⇒
dV dt
=
d'V dt
×V
也就是说这个公式不仅仅是对于不同参考系成立；对同一参考系内
刚体的复合运动(下)
L . M
r
mg 旋转的陀螺
转轴进动！
L M
dL
L
俯视图
DUT 奚 衍
2
斌
三章内容作业 题一：试问手表的秒针与分针的角速率各为多大？
题二：一个球体与一个圆柱体具有相同的质量和 半径，它们同时沿一斜面由顶端静止开始下滚。 问哪个物体先到达斜面的下端。 N
f
mg
球先到达下端。
题三：匀质细棒 (l, m) 放在水平光滑面上，在棒端
施一垂于棒的水平力 F 。棒上何处开始瞬间静止。
ac
ac
ac
.
c
F
x
3
v.i
)
x
. (vC
. ri
O . rC
v.i )
r.i
O
. rC
. Σmi ri
mБайду номын сангаас
y
Ek
1 2
mvC2
1 2
miv.i2
Ek
1 2
mvC2
1 2
miri 2 2
J
刚体的总动能＝质心的平动动能＋绕质心的转动动能
DUT 奚 衍
1
斌
三、刚体的进动
. M
dL
dt
Mdt dL
M
r
mg 不旋转的陀螺
§3.5 刚体的复合运动
复合运动 = 平质动心+平转动动+ 绕通过质心轴转动 z
一、质心系的动量
. ri
. rC
ri.
. mi ri
. mi rC
mi ri.
.
.
miri mmi r C
二、柯尼希定理
. vi
刚体复合运动
30
动轮 2 定轮 惰轮 1 0
根据角速度合成公式 得：
20 23 30 0
即动轮 2 作平动。
第三章 复合运动
作业题 11-6，11-7
刚体复合运动
第三章 复合运动
§3-2 刚体复合运动
角速度合成定理
设某刚体以角速度 r 相对参考
刚体复合运动
Z2 Y1
y
Z1
系 OX 1Y1 Z 1作定点转动， 而参考 系 OX 1Y1 Z 1相对于另一个参考系 OX 2 Y 2 Z 2 以角速度 作定点转 e 动，则刚体相对参考系OX 2 Y 2 Z 2 的角速度为 e r 。
O
Y2
X
2
x
X1
第三章 复合运动
证明：
设 p 点为刚体上的一个点，其相 对 O 的向径为 r ，则该点的相对 速度和牵连速度分别为
vr r r
Z1
刚体复合运动
Z2
r
p
Y1
O
Y2
ve e r
X1 X2 根据点的复合运动速度合成公式， p 点的绝对速度(即相对 OX 2 Y 2 Z 2 思考题：若刚体 的速度)为 v p v e v r ( e r ) r 相对运动和牵连 运动都是一般运 又根据定点运动的速度公式 v p r 动，这个结论还 正确吗？ 由以上两式得 e r
30
动轮 2
定轮 0 惰轮 1
第三章 复合运动
刚体复合运动
解：取曲柄为动系，并将其标号为3；又设用 ij 表示第 i 个刚体相对与第 j 个刚体的角速度，则 根据齿轮啮合的无滑动条件得：
分析刚体的运动学和动力学问题
分析刚体的运动学和动力学问题下载温馨提示：该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。
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点的复合运动
学习方法 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
要不要预习？
要训练 敏捷的思维能力
这也是学术交流的基本功
2-4 点的复合运动 第2章
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
工程实例 复合运动基本定义 三种运动中运动方程之间的关系 矢量的绝对导数和相对导数 速度合成公式 加速度合成公式
r
a ae ar ac
牵连加速度的物理意义 第2章
ae a0 r ( r )
牵连加速度的物理意义？ 牵连加速度ve是动参考系（刚体）上与点P 重合的点（牵连点）的瞬时加速度。 牵连加速度ve也可以看成是在该瞬时将P点 固结在动参考刚体上，跟随动参考刚体一 起运动时所具有的加速度，即受动参考刚 体的拖带或牵连而产生的加速度。
y
o
M
t
x
1 x cos t b sin 2t 2 1 y sin t b(1 cos 2t ) 2
b 2 b 2 x (y ) ( ) 2 2
2
所刻轨迹为一圆。
返回
矢量的绝对导数和相对导数 第2章
动系Oxy相对定系OXY作定轴转动
Y y O 时刻t R x R* R R O R — 绝对增量 X Y 时刻t+t R* O y
牵连运动 — 动参考系对于定参考系的运动
绝对运动和相对运动是点的运动，而牵连运 动是刚体的运动（可以是五种运动之一）
动系和定系的选取是人为的，“动” 和“ 定” 是相对的
复合运动基本定义 第2章
定参考系？
刚 体 运 动 与 复 合 运 动
动参考系？
绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
第三章复合运动
dr d~ r ωe r dt dt
d~ r dx dy i j 相对导数 dt dt dt
——相对矢径 r '的绝对导数与相对导 数的关系。
于是
drO drO dr dr d~ r ωe r dt dt dt dt dt drO dr d~ r ( ωe r ) dt dt dt dr ——绝对速度 va dt drO ve ωe r ——牵连速度 dt d~ r ——相对速度 vr dt
坐标系统o?称为动系物体点或刚体的相对运动与其随同动系的牵连运动合成为物体的绝对运动或者说物体的绝对运动可分解为物体的相对运动和其随同动系的牵连运动可以用描述如下牵连运动相对运动合成分解绝对运动点的复合运动的解析分析动点m在两各不同坐标系中的描述m点在oxy中的坐标m点在o?x?y?中的坐标cossinsincos角逆时针转向为正注意都是时间t的函数对上式求一阶导数和二阶导数可得动点的速度与加速度的解析表达式
ω
vr
X
Y
解：以地球自转轴Z ' 为动系，
aa ae a r aC
大小 方向 ？ ？
R cos
2
v r2 R
2vr sin
Z
ω
取
2 7.27 10 5 rad / s 24 60 60
ae aC
vr
F
vr 33.3m / s aC 3.11 10 3 m / s 2
ωe 0 ； e 0
可得
a e a o ；a c 0
a O
M
即 a a aO a r
刚体的复合运动2011
3-23曲柄III 连接定齿轮I 的1O 轴和行星齿轮II 的2O 轴，齿轮的啮合可为外啮合（图a ）也可为内啮合（图b ）。
曲柄III 以角速度3ω绕1O 轴转动。
如齿轮半径分别为1r 和2r ，求齿轮II 的绝对角速度2ω和其相对曲柄的角速度23ω。
解：取曲柄III 为为动系，牵连角速度为3e ωω=。
齿轮I 和II 的相对运动均为定轴转动。
对于图(a)，两个齿轮的相对角速度分别为：133ωω=-，112313322r r r r ωωω=-=（逆时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 1222332e r r r ωωωω+=+=（逆时针） 对于图(b)，两个齿轮的相对角速度分别为：133ωω=-，112313322r r r r ωωω==-（顺时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 2122332e r r r ωωωω-=+=（顺时针）3-27差动齿轮构造如图所示，曲柄III 可绕固定轴AB 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮IV ，此行星齿轮由两个半径各为51=r cm ，22=r cm 的锥齿轮牢固地叠合而成，两锥齿轮又分别与半径为101=R cm 和52=R cm 的两个锥齿轮I 和II 啮合；齿轮I 和II 可绕AB 轴转动，但不与曲柄相连。
今两齿轮I 和II 的角速度分别为1ω＝4.5rad/s 及92=ωrad/s ，且转向相同，求曲柄III 的角速度3ω及行星齿轮对于曲柄的相对角速度43ω解：齿轮II 与齿轮IV 啮合处速度为 2232432R R r ωωω=+。
齿轮I 与齿轮IV 啮合处速度为 1131431R R r ωωω=-。
联立以上方程，可得 37 rad/s ω=，43 5 rad/s ω=。
1ω2ω343ω3－28正方形框架以2 r/min 绕轴AB 转动。
圆盘以2 r/min 绕着与框架对角线相重合的轴BC 转动。
求此圆盘的绝对角速度和角加速度。
解：取框架为动系，圆盘的相对运动为定轴转动，则2 r/min 0.21 rad/s e ω==2 r/min 0.21 rad/s r ω==所以：3.7 r/min 0.39 rad/s ω==20.210.21cos450.031 rad/s e r εωω=⨯=⨯⨯=3-37圆盘绕杆AB 以角速度100=Ωrad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度10=ωrad/s 转动。
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3-23曲柄III 连接定齿轮I 的1O 轴和行星齿轮II 的2O 轴，齿轮的啮合可为外啮合（图a ）也可为内啮合（图b ）。
曲柄III 以角速度3ω绕1O 轴转动。
如齿轮半径分别为1r 和2r ，求齿轮II 的绝对角速度2ω和其相对曲柄的角速度23ω。
解：取曲柄III 为为动系，牵连角速度为3e ωω=。
齿轮I 和II 的相对运动均为定轴转动。
对于图(a)，两个齿轮的相对角速度分别为：
133ωω=-，112313322
r r r r ωωω=-=
（逆时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 1222332
e r r r ωωωω+=+=（逆时针） 对于图(b)，两个齿轮的相对角速度分别为：
133ωω=-，112313322
r r r r ωωω=
=-（顺时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 2122332
e r r r ωωωω-=+=（顺时针）
3-27差动齿轮构造如图所示，曲柄III 可绕固定轴AB 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮IV ，此行星齿轮由两个半径各为51=r cm ，22=r cm 的锥齿轮牢固地叠合而成，两锥齿轮又分别与半径为101=R cm 和52=R cm 的两个锥齿轮I 和II 啮合；齿轮I 和II 可绕AB 轴转动，但不与曲柄相连。
今两齿轮I 和II 的角速度分别为1ω＝4.5rad/s 及92=ωrad/s ，且转
向相同，求曲柄III 的角速度3ω及行星齿轮对于曲柄的相对角速度43ω
解：齿轮II 与齿轮IV 啮合处速度为 2232432R R r ωωω=+。
齿轮I 与齿轮IV 啮合处速度为 1131431R R r ωωω=-。
联立以上方程，可得 37 rad/s ω=，43 5 rad/s ω=。
1
ω2ω3
43
ω
3－28正方形框架以2 r/min 绕轴AB 转动。
圆盘以2 r/min 绕着与框架对角线相重合的轴BC 转动。
求此圆盘的绝对角速度和角加速度。
解：取框架为动系，圆盘的相对运动为定轴转动，则
2 r/min 0.21 rad/s e ω==
2 r/min 0.21 rad/s r ω==
所以：
3.7 r/min 0.39 rad/s ω==
20.210.21cos450.031 rad/s e r εωω=⨯=⨯⨯=
3-37圆盘绕杆AB 以角速度100=Ωrad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度
10=ωrad/s 转动。
已知140=R mm ，当︒=90θ，5.2=θ
rad/s ，0=θ 时，试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。
解：圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动，且三个轴交于O 点。
取O 点为基点，建立动坐标系Oxyz ，Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动，则牵连角速度e ω=-ωk 。
圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成，则圆盘的相对角速度为：
r θ
=-+Ωωi j 所以圆盘的绝对角速度为：
r θ
ω'=-+Ω-e ω=ω+ωi j k C 点及D 点的矢径分别为：
0.140.5 m C =-+r i j
0.50.14 m D =+r j k
由公式=⨯v ωr 可得C 点及D 点的速度：
5 1.412.75 m/s C C '=⨯=++v ωr i j k
190.35 1.25 m/s D D '=⨯=+-v ωr i j k
下面来求加速度。
首先求圆盘相对于动系的相对角加速度r ε，在动系中，我们可以步将
框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动，牵连加速度为1e θ=-ωi ，牵连角加速度为1
e =εθ ；将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动，相对角速度为1r =Ωωj ，相对角加速度为10r ==εΩ。
则根据角加速度合成公式e e r r =+⨯+εεωωε并由此时0θ
= 可得： 211250 rad/s r e r θ
=⨯=-⨯Ω=-εωωi j k
接下来求圆盘的绝对角加速度，再次利用角加速度合成公式，并由0e =ε可得：
2100025250 rad/s e r r '=⨯+=+-εωωεi j k
利用公式()=⨯+⨯⨯a εr ωωr 可得C 点及D 点的加速度 ：
2141416.875 m/s C =+a i j
27333.1252400.875 m/s D =--a i j k。