刚体的复合运动2011

3-23曲柄III 连接定齿轮I 的1O 轴和行星齿轮II 的2O 轴，齿轮的啮合可为外啮合（图a ）也可为内啮合（图b ）。曲柄III 以角速度3ω绕1O 轴转动。如齿轮半径分别为1r 和2r ，求齿轮II 的绝对角速度2ω和其相对曲柄的角速度23ω。

解：取曲柄III 为为动系，牵连角速度为3e ωω=。齿轮I 和II 的相对运动均为定轴转动。 对于图(a)，两个齿轮的相对角速度分别为：

133ωω=-，112313322

r r r r ωωω=-=

（逆时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 1222332

e r r r ωωωω+=+=（逆时针） 对于图(b)，两个齿轮的相对角速度分别为：

133ωω=-，112313322

r r r r ωωω=

=-（顺时针） 因此齿轮II 的绝对角速度为： 2122332

e r r r ωωωω-=+=（顺时针）

3-27差动齿轮构造如图所示，曲柄III 可绕固定轴AB 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮IV ，此行星齿轮由两个半径各为51=r cm ，22=r cm 的锥齿轮牢固地叠合而成，两锥齿轮又分别与半径为101=R cm 和52=R cm 的两个锥齿轮I 和II 啮合；齿轮I 和II 可绕AB 轴转动，但不与曲柄相连。今两齿轮I 和II 的角速度分别为1ω＝4.5rad/s 及92=ωrad/s ，且转

向相同，求曲柄III 的角速度3ω及行星齿轮对于曲柄的相对角速度43ω

解：齿轮II 与齿轮IV 啮合处速度为 2232432R R r ωωω=+。

齿轮I 与齿轮IV 啮合处速度为 1131431R R r ωωω=-。

联立以上方程，可得 37 rad/s ω=，43 5 rad/s ω=。 1

ω2ω3

43

ω

3－28正方形框架以2 r/min 绕轴AB 转动。圆盘以2 r/min 绕着与框架对角线相重合的轴BC 转动。求此圆盘的绝对角速度和角加速度。

解：取框架为动系，圆盘的相对运动为定轴转动，则

2 r/min 0.21 rad/s e ω==

2 r/min 0.21 rad/s r ω==

所以：

3.7 r/min 0.39 rad/s ω==

20.210.21cos450.031 rad/s e r εωω=⨯=⨯⨯=

3-37圆盘绕杆AB 以角速度100=Ωrad/s 转动，AB 杆及框架则绕铅垂轴以角速度

10=ωrad/s 转动。已知140=R mm ，当︒=90θ，5.2=θ

rad/s ，0=θ 时，试求圆盘上两相互垂直半径端点C 点及D 点的速度和加速度。

解：圆盘的运动是由三个定轴转动组成的复合运动，且三个轴交于O 点。取O 点为基点，建立动坐标系Oxyz ，Oxyz 绕铅垂轴以角速度ω转动，则牵连角速度e ω=-ωk 。圆盘相对于动坐标系的运动是由框架绕Ox 轴的转动和圆盘绕Oy 轴的转动组成，则圆盘的相对角速度为：

r θ

=-+Ωωi j 所以圆盘的绝对角速度为：

r θ

ω'=-+Ω-e ω=ω+ωi j k C 点及D 点的矢径分别为：

0.140.5 m C =-+r i j

0.50.14 m D =+r j k

由公式=⨯v ωr 可得C 点及D 点的速度：

5 1.412.75 m/s C C '=⨯=++v ωr i j k

190.35 1.25 m/s D D '=⨯=+-v ωr i j k

下面来求加速度。首先求圆盘相对于动系的相对角加速度r ε，在动系中，我们可以步将

框架绕Ox 轴的转动看作牵连运动，牵连加速度为1e θ=-ωi ，牵连角加速度为1

e =εθ ；将圆盘绕Oy 轴的转动看作相对运动，相对角速度为1r =Ωωj ，相对角加速度为10r ==εΩ

。则根据角加速度合成公式e e r r =+⨯+εεωωε并由此时0θ

= 可得： 211250 rad/s r e r θ

=⨯=-⨯Ω=-εωωi j k

接下来求圆盘的绝对角加速度，再次利用角加速度合成公式，并由0e =ε可得：

2100025250 rad/s e r r '=⨯+=+-εωωεi j k

利用公式()=⨯+⨯⨯a εr ωωr 可得C 点及D 点的加速度 ：

2141416.875 m/s C =+a i j

27333.1252400.875 m/s D =--a i j k