苏教版高中数学选修2-1《空间向量及其线性运算》教案

空间向量及其线性运算

学习目标：

1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； 2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质； 3．理解空间向量共线的充要条件。

学习重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质； 学习难点：空间向量的线性运算及其性质。

学习过程： 一、创设情景

1、平面向量的概念及其运算法则；

2、物体的受力情况分析（如右图）。 二、建构数学 1．空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）空间的一个平移就是一个向量。

（2）向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （3）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2．空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）

b a AB OA OB

+=+= b a

-=-=

)(R a ∈=λλ

运算律：

（1）加法交换律：a b b a

+=+

（2）加法结合律：)()(c b a c b a

++=++ （3）数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3．平行六面体

O

平行四边形ABCD 平移向量a

到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并

记作：ABCD －D C B A ''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。 4．共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向

量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作b a

//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一

直线，也可能是平行直线。 5．共线向量定理及其推论

共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a

＝λb 。

推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对于任意一点O ，

点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t OA OP +=a ，其中向量a

叫做直线l 的

方向向量。

三、数学运用

1、如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +； （2）12

1

AA +

+； （3）CB AC AA --1。

解：（1）11CA BA =+； （2）AM AA CB AC =+

+12

1

； （3）11BA CB AC AA =--。

/

B

2、如图，在长方体/

/

/B

D

CA

OADB-中，1

,2

,4

,3=

=

=

=

=

=OK

OJ

OI

OC

OB

OA，点E,F分别是/

/

,B

D

DB的中点，设=

=

=,

,，试用向量,,表示和。

解：j

i

OE4

2

3

+

=，

k

j

i

OF2

4

2

3

+

+

=。

3、课堂练习

已知空间四边形ABCD，连结,

AC BD，设,

M G分别是,

BC CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：

（1）AB BC CD

++；

（2）

1

()

2

AB BD BC

++；

（3）

1

()

2

AG AB AC

-+。

四、回顾总结

空间向量的定义与运算法则

五、布置作业

B

C

D

M G

A