三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理

【学习内容分析】

“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。

【课程目标】

一.知识与技能目标

理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。

二.过程与方法目标

1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三．情感、态度和价值观目标

3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】

一.教学重点

定理的理解和运用

二．教学难点

如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

【教学方法】

以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】

一复习引入：

1.复习提问

1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；

设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。）

2.有意设疑，引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢

学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角

板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：

平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）

设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）

二、新课讲授：

由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO

⊥a，问PA与a所成的角；

显然PO⊥α⇒PO a

⊥

α

⊂

a OA a

⊥⇒a⊥平面POA ⇒PA

PO I OA=O PA⊂平面POA

即：PA与a所成的角为900

三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO，

才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书）

设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。）

剖析命题

（1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。

（2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结：

一找垂面：即先确定平面及平面的垂线：

二找斜线：接着确定平面的斜线：

三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；

四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书）

设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。）

三讲解例题

例1.已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥． 证明：∵点O 是ABC ∆的垂心，

∴AD BC ⊥

又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ，

PA ABC A =I 平面

所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．

例 2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上

已知：∠BAC 在α内，P ，PE AB 于E ，PF AC 于F 且PE=PF ，PO

求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ）

证明：连接OE ，OF ∵PO

∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在上的射影

∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE AB ，PF AC

∴OE AB ，OF AC(三垂线定理的逆定理 )

∴O 到∠BAC 两边距离相等

∴O 在∠BAC 的平分线上

变式：

已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P PE AB PF AC PO αα∉⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =，求证：BAO CAO ∠=∠．

证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，

∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理）

∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ∆≅∆，

∴AE AF =，又∵AO AO =，∴Rt AOE Rt AOF ∆≅∆

∴BAO CAO ∠=∠．

推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线

例3.在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心

求证:(1)PH 底面ABC (2)△ABC 是锐角三角形.

证明: (1)略

(2)设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE 由(1)知PH 底面ABC

∴AE 为PE 在平面ABC 的射影，