三垂线定理及其逆定理

三垂线定理及其逆定理
【学习内容分析】
“三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。

它是线面垂直性质的延伸。

利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。

所以在立体几何中有核心定理的作用。

【课程目标】
一.知识与技能目标
理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。

二.过程与方法目标
1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。

三．情感、态度和价值观目标
3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。

【教学重点和难点】
一.教学重点
定理的理解和运用
二．教学难点
如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。

【教学方法】
以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。

【教学过程】
一复习引入：
1.复习提问
1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念；
设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。

）
2.有意设疑，引入新课。

平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。

那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢
学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。

经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。

启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题：
平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书）
设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力）
二、新课讲授：
由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。

PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO
⊥a，问PA与a所成的角；
显然PO⊥α⇒PO a
⊥
α
⊂
a OA a
⊥⇒a⊥平面POA ⇒PA
PO I OA=O PA⊂平面POA
即：PA与a所成的角为900
三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO，
才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。

三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。

（板书）
设计意图（1证明命题。

通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。

我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。

2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。

3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。

）
剖析命题
（1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。

（2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结：
一找垂面：即先确定平面及平面的垂线：
二找斜线：接着确定平面的斜线：
三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影；
四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。

（板书）
设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。

）
三讲解例题
例1.已知：点O 是ABC ∆的垂心，PO ABC ⊥平面，垂足为O ，求证：PA BC ⊥． 证明：∵点O 是ABC ∆的垂心，
∴AD BC ⊥
又∵PO ABC ⊥平面，垂足为O ，
PA ABC A =I 平面
所以，由三垂线定理知，PA BC ⊥．
例 2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠BAC 在α内，P ，PE AB 于E ，PF AC 于F 且PE=PF ，PO
求证：O 在∠BAC 的平分线上（即∠BAO=∠CAO ）
证明：连接OE ，OF ∵PO
∴EO ，FO 分别为PE ，PF 在上的射影
∵PE=PF ∴OE=OF ∵PE AB ，PF AC
∴OE AB ，OF AC(三垂线定理的逆定理 )
∴O 到∠BAC 两边距离相等
∴O 在∠BAC 的平分线上
变式：
已知：BAC ∠在平面α内，点,,,P PE AB PF AC PO αα∉⊥⊥⊥，垂足分别为,,,E F O PE PF =，求证：BAO CAO ∠=∠．
证明：∵,,PE AB PF AC PO α⊥⊥⊥，
∴,AB OE AC OF ⊥⊥（三垂线定理逆定理）
∵,PE PF PA PA ==，∴Rt PAE Rt AOF ∆≅∆，
∴AE AF =，又∵AO AO =，∴Rt AOE Rt AOF ∆≅∆
∴BAO CAO ∠=∠．
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3.在三棱锥P-ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，H 是△ABC 的垂心
求证:(1)PH 底面ABC (2)△ABC 是锐角三角形.
证明: (1)略
(2)设AH 与直线BC 的交点为E ，连接PE 由(1)知PH 底面ABC
∴AE 为PE 在平面ABC 的射影，
由三垂线定理：PE BC
∵PB PC 即△BPC 是直角三角形，BC 为斜边
∴E 在BC 边上 由于AE BC ，故B ∠C 都是锐角
同理可证：∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角形
设计意图（为了培养学生灵活应用定理的能力，帮助学生掌握重点，化解难点，我精选了三条有层次的、由易到难的例题，通过引导学生观察，分析后，我用设问的方法，深入浅出地引导学生寻找证题的基本思路，确定适应定理的“四线一面”，然后，由学生板书解答后，我再较正学生的证明过程，进一步培养学生的书面语言表达能力和逻辑推理能力。

）
四 小结：
知识：三垂线定理以及逆定理
问题：平面中斜线和射影的垂直问题
方法：空间垂直与平面垂直互相转化
思想：转化思想
五 作业：
1.边长为a 的正六边形ABCDEF 在平面内，PA ⊥，PA=a ，则P 到CD 的距离为 ，P 到BC 的距离为 .
是平面的斜线，且AO=a ，AO 与成60º角，OC ，AA ＇⊥于A ＇，∠A OC=45º， 则A 到直线OC 的距离是 ，∠AOC 的余弦值是 .
答案：1.a a 27,
2; 2.42,414a
3.如图，已知ABCD 是矩形，AB=a ，AD= b ，PA 平面ABCD ，PA=2c ，Q 是PA 的中点． 求（1）Q 到BD 的距离；（2）P 到平面BQD 的距离．
六 板书设计：
七 教学后记
本节课采用教师为主导学生为主体的启发式教学方式，学生反映较好，定理记得牢，理解深刻，应用灵活，不仅让学生学习了新的知识，而且培养了能力。

从学生的课后作业看，书写规范，推理正确，取得较好的教学效果，圆满完成本节课的教学任务。

A
A ′ C O H E Q
P D C B A。