初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)
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________． 3．1998 年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是_________
岁．
(“希望杯”邀请赛试题)
3 / 11
4．已知 a ，b ， c 为整数，且 a + b = 2006 ， c − a = 2005 ．若 a ＜ b ，则 a + b + c 的最大 值为_____．
初中七年级数学知识点专题讲解与练习 专题 18 简单的不定方程、方程组
阅读与思考 如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯
一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)． 对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制
后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不
，②-①×15 得 5( z-x)=50，解得 z-x=10.
② 10x +15y + 20z = 500
例 3 设此 8 位数为 abcdefgh ，将 abc 记为 x， d 记为 y， efgh 记为 z. x，y，z 均为自然数.
即电话号码是 100 000 x+10 000 y +z，且 100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，
入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
6 / 11
解题思路：设原先租客车 x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k 人，根据题意列出 方程求解，注意排除不符合题设条件的解．
能力训练
A级 1． 若 a2 + 4b2 − a + 4b + 5 = 0 ，则 ab ＝__________．
4
2x2 + 3y2 + 6z2 2． 已知 4x − 3y − 6z = 0 ， x + 2 y − 7z = 0 ( xyz ≠0)，则 x2 + 5y2 + 7z2 的值等于
2 / 11
人有 31 个核桃，三组的核桃总数是 365 个．问：三个小组共有多少名同学? (海峡两岸友谊赛试题)
解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．
【例 6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 22 人，就会 余下 1 人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车． 问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于 32 人)
(全国初中数学竞赛试题) 5． x ， y 都是质数，则方程 x + y = 1999 共有( )． A．1 组解 B．2 组解 C．3 组解 D．4 组解
(北京市竞赛试题) 6．如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔 4 千米设一个速度限制标志，而且从 10 千米处开 始．每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( )．
5 / 11
3．一个四位数与它的四个数字之和等于 1 991．这个四位数是__________．
(重庆市竞赛试题)
4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，
每个盒中只装一种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是 3，6，9，14，18．现在知道其中
银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的 2 倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，
例 1 3 提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)与(n+m)奇偶性相同，对 3995
的任一正整数分解均可得到一个 (m，n).
例 2 C 设 购 买 10 元 ， 15 元 ， 20 元 的 电 影 票 分 别 为 x ， y ， z 张 . 则
① x + y + z = 30
铜牌_____枚．
5．若正整数 x ， y 满足 x2 − 72 = y2 ，则这样的正整数对( x ， y )的个数是(
)．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．有甲、乙、丙 3 种商品，单价均为整数，某人若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24
元；若购甲 4 件、乙 10 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各 1 件共需( )
元．
A．6 元 B．8 元 C．9 元 D．10 元
x + y + z = 0
7．在方程组
x3
+
y3
+
z3
=
−36
中，
x
，
y
，
z
是不相等的整数，那么此方程组的解的
组数为( )．
A．6 B．3 C．多于 6 D．少于 3
(“希望杯”邀请赛试题)
8．一个两位数中间插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插
10x + y + z = 14405
则
y =1
，得
1111
y
–
x=285，由
100≤x≤999，y≥0，得
x
=
826
，
x +10000 y + z = 16970
z = 6144
故电话号码是 82616144.
例 4 提示：设盒子里共有 x(x≤200)粒棋子，
则 12a-1=11b=x(a、b 为正整数)，
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
4 / 11
邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
A级
1. − 1 . 2.1
4
3.
18
提示：设某人出生于19xy
，则1998
⋅19xy
=
10
+
x
+
y
，即
11x+2y=88，解得
x
=
8
.
y =0
4. 5013 提示：由题中条件得 a+b+c=a+4011，又因为 a+b=2006，a＜b.故 2a＜2006，
a＜1003.又因为 a 为正整数，故 a 的最大值为 1002，于是 a+b+c 的最大值为 5013.
电话号码．
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．
【例 4】一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒，3 粒，4 粒或 6 粒地取出， 最终盒内都剩一粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒 棋子?
(重庆市竞赛试题) 解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不 定方程的正整数解． 【例 5】 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每
5. B
6. C 设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为 3+4x，10+9y（x、y 为自然数），
将问题转换为求不定方程 3+4x=10+9y 的正整数解，则 x = 7 + 9y = 2y +1+ y + 3 ，4｜（y+3），
4
4
x
=
13
为所求的解.
y =5
7. A 8.A 9.大小盒子分别为 2 个，15 个.
解得 a=10，b=11，x=121.
例 5 设甲组学生 a 人，乙组学生 b 人，丙组学生 c 人，由题意得 28a+30b+31c=365. 因 28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得 a+b+c＜ 365 ＜13.04，所以 a+b+c≤13.
28
因 31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365. 得 a+b+c＞ 365 ＞11.7，所以 a+b+c≥12
对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
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【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
x −1
x −1
x −1
x −1
自然数，但 23 是质数，因数只有 1 和 23，且 x≥2，∴x-1=1 或 x-1=23.如果 x-1=1，则
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x=2，k=45，不符合 k≤32 的题设条件. 如果 x-1=23，则 x=24，k=23，符合题意.这时旅
客人数等于 k(x-1)=23×23=529 人.
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
31
因此 a+b+c=12 或 13.
当 a+b+c=13 时，得 2b+3c=1，此方程无正整数解；当 a+b+c=12 时，符合题意.
例 6 设原先租客车 x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k 人，显然 x≥2，23≤k≤32.依题
意有：22x+1=k(x-1).则 k = 22x +1 = 22x − 22 + 23 = 22 + 23 .因为 k 为自然数，所以 23 必是
解题思路：设购买 10 元，15 元，20 元的电影票分别为 x ， y ， z 张．根据题意列 方程组，整体求出的 z － x 值． 【例 3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相 加得 14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16 970，求此人家中的
4x + 5y = k 解．问：这样的整数 k 有多少个？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
B级
1．如果 a ，b ，c 满足 a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 6c + 9 = 0 ，那么 (a + bc)2 ＝__________．
(“祖冲之杯”邀请试题) 2．已知 x ， y 为正偶数，且 x2 y + xy2 = 96 ，则 x2 + y2 ＝_________．
10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为
定方程求其整数解． 解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整
除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据 方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思 路．
例题与求解 【例 1】满足19982 + m2 = 19972 + n2 (0＜ m ＜ n ＜1 998)的整数对( m ， n )共有_______
李林将其款花去 3．50 元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将 多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?
(“五羊杯”邀请赛试题)
Biblioteka Baidu
10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时 起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再 过一小时。他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三 位数，问这三块里程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛试题)
11．已知四位数 abcd 满足 a3 + b3 + c3 + d 3 +1 = 10c + d ，求这样的四位数．
12．求方程 1 + 1 + 1 = 5 的正整数解． xyz6
(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
(“希望杯”邀请赛试题)
7 / 11
专题 18 简单的不定方程、方程组_答案
共有 99 颗，所用大小盒子多于 10 个，问这两种盒子各有多少个?
10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百 鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算经》) 11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．
(“希望杯”邀请赛试题) 12．已知 k 是满足1910 p k p 2010 的整数，并且使二元一次方程组 5x − 4 y = 7 有整数
岁．
(“希望杯”邀请赛试题)
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4．已知 a ，b ， c 为整数，且 a + b = 2006 ， c − a = 2005 ．若 a ＜ b ，则 a + b + c 的最大 值为_____．
初中七年级数学知识点专题讲解与练习 专题 18 简单的不定方程、方程组
阅读与思考 如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯
一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)． 对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制
后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解． 二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不
，②-①×15 得 5( z-x)=50，解得 z-x=10.
② 10x +15y + 20z = 500
例 3 设此 8 位数为 abcdefgh ，将 abc 记为 x， d 记为 y， efgh 记为 z. x，y，z 均为自然数.
即电话号码是 100 000 x+10 000 y +z，且 100≤x≤999，0≤y≤9，1000≤z≤9999，
入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
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解题思路：设原先租客车 x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k 人，根据题意列出 方程求解，注意排除不符合题设条件的解．
能力训练
A级 1． 若 a2 + 4b2 − a + 4b + 5 = 0 ，则 ab ＝__________．
4
2x2 + 3y2 + 6z2 2． 已知 4x − 3y − 6z = 0 ， x + 2 y − 7z = 0 ( xyz ≠0)，则 x2 + 5y2 + 7z2 的值等于
2 / 11
人有 31 个核桃，三组的核桃总数是 365 个．问：三个小组共有多少名同学? (海峡两岸友谊赛试题)
解题思路：根据题意，列出三元一次不定方程，从运用放缩法求取值范围入手．
【例 6】某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐 22 人，就会 余下 1 人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车． 问：原先租多少辆客车和学校师生共多少人?(已知每辆车的容量不多于 32 人)
(全国初中数学竞赛试题) 5． x ， y 都是质数，则方程 x + y = 1999 共有( )． A．1 组解 B．2 组解 C．3 组解 D．4 组解
(北京市竞赛试题) 6．如图，在高速公路上从 3 千米处开始，每隔 4 千米设一个速度限制标志，而且从 10 千米处开 始．每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志，问下一个同时设 置这两种标志的地点的千米数 是( )．
5 / 11
3．一个四位数与它的四个数字之和等于 1 991．这个四位数是__________．
(重庆市竞赛试题)
4．城市数学邀请赛共设金、银、铜三种奖牌，组委会把这些奖牌分别装在五个盒中，
每个盒中只装一种奖牌．每个盒中装奖牌枚数依次是 3，6，9，14，18．现在知道其中
银牌只有一盒，而且铜牌枚数是金牌枚数的 2 倍．则有金牌_____枚，银牌______枚，
例 1 3 提示：(n-m)(n+m)=3995=1×5×17×47，(n-m)与(n+m)奇偶性相同，对 3995
的任一正整数分解均可得到一个 (m，n).
例 2 C 设 购 买 10 元 ， 15 元 ， 20 元 的 电 影 票 分 别 为 x ， y ， z 张 . 则
① x + y + z = 30
铜牌_____枚．
5．若正整数 x ， y 满足 x2 − 72 = y2 ，则这样的正整数对( x ， y )的个数是(
)．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．有甲、乙、丙 3 种商品，单价均为整数，某人若购甲 3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24
元；若购甲 4 件、乙 10 件、丙 l 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各 1 件共需( )
元．
A．6 元 B．8 元 C．9 元 D．10 元
x + y + z = 0
7．在方程组
x3
+
y3
+
z3
=
−36
中，
x
，
y
，
z
是不相等的整数，那么此方程组的解的
组数为( )．
A．6 B．3 C．多于 6 D．少于 3
(“希望杯”邀请赛试题)
8．一个两位数中间插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插
10x + y + z = 14405
则
y =1
，得
1111
y
–
x=285，由
100≤x≤999，y≥0，得
x
=
826
，
x +10000 y + z = 16970
z = 6144
故电话号码是 82616144.
例 4 提示：设盒子里共有 x(x≤200)粒棋子，
则 12a-1=11b=x(a、b 为正整数)，
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
4 / 11
邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
A级
1. − 1 . 2.1
4
3.
18
提示：设某人出生于19xy
，则1998
⋅19xy
=
10
+
x
+
y
，即
11x+2y=88，解得
x
=
8
.
y =0
4. 5013 提示：由题中条件得 a+b+c=a+4011，又因为 a+b=2006，a＜b.故 2a＜2006，
a＜1003.又因为 a 为正整数，故 a 的最大值为 1002，于是 a+b+c 的最大值为 5013.
电话号码．
(湖北省武汉市竞赛试题)
解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．
【例 4】一个盒子里装有不多于 200 粒棋子，如果每次 2 粒，3 粒，4 粒或 6 粒地取出， 最终盒内都剩一粒棋子；如果每次 11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒 棋子?
(重庆市竞赛试题) 解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。恰当设未知数，把问题转化为求不 定方程的正整数解． 【例 5】 甲组同学每人有 28 个核桃，乙组同学每人有 30 个核桃，丙组同学每
5. B
6. C 设置限速标志、照相标志的千米数分别表示为 3+4x，10+9y（x、y 为自然数），
将问题转换为求不定方程 3+4x=10+9y 的正整数解，则 x = 7 + 9y = 2y +1+ y + 3 ，4｜（y+3），
4
4
x
=
13
为所求的解.
y =5
7. A 8.A 9.大小盒子分别为 2 个，15 个.
解得 a=10，b=11，x=121.
例 5 设甲组学生 a 人，乙组学生 b 人，丙组学生 c 人，由题意得 28a+30b+31c=365. 因 28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365.得 a+b+c＜ 365 ＜13.04，所以 a+b+c≤13.
28
因 31（a+b+c）＞28a+30b+31c=365. 得 a+b+c＞ 365 ＞11.7，所以 a+b+c≥12
对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
1 / 11
【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
x −1
x −1
x −1
x −1
自然数，但 23 是质数，因数只有 1 和 23，且 x≥2，∴x-1=1 或 x-1=23.如果 x-1=1，则
8 / 11
x=2，k=45，不符合 k≤32 的题设条件. 如果 x-1=23，则 x=24，k=23，符合题意.这时旅
客人数等于 k(x-1)=23×23=529 人.
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
31
因此 a+b+c=12 或 13.
当 a+b+c=13 时，得 2b+3c=1，此方程无正整数解；当 a+b+c=12 时，符合题意.
例 6 设原先租客车 x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐 k 人，显然 x≥2，23≤k≤32.依题
意有：22x+1=k(x-1).则 k = 22x +1 = 22x − 22 + 23 = 22 + 23 .因为 k 为自然数，所以 23 必是
解题思路：设购买 10 元，15 元，20 元的电影票分别为 x ， y ， z 张．根据题意列 方程组，整体求出的 z － x 值． 【例 3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相 加得 14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得 16 970，求此人家中的
4x + 5y = k 解．问：这样的整数 k 有多少个？
（“华罗庚金杯”竞赛试题）
B级
1．如果 a ，b ，c 满足 a2 + 2b2 + 2c2 − 2ab − 2bc − 6c + 9 = 0 ，那么 (a + bc)2 ＝__________．
(“祖冲之杯”邀请试题) 2．已知 x ， y 为正偶数，且 x2 y + xy2 = 96 ，则 x2 + y2 ＝_________．
10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为
定方程求其整数解． 解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整
除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据 方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思 路．
例题与求解 【例 1】满足19982 + m2 = 19972 + n2 (0＜ m ＜ n ＜1 998)的整数对( m ， n )共有_______
李林将其款花去 3．50 元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将 多领的款额退回，问：李林应退回的款额是多少元?
(“五羊杯”邀请赛试题)
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10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时 起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再 过一小时。他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三 位数，问这三块里程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛试题)
11．已知四位数 abcd 满足 a3 + b3 + c3 + d 3 +1 = 10c + d ，求这样的四位数．
12．求方程 1 + 1 + 1 = 5 的正整数解． xyz6
(“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题)
(“希望杯”邀请赛试题)
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专题 18 简单的不定方程、方程组_答案
共有 99 颗，所用大小盒子多于 10 个，问这两种盒子各有多少个?
10．中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百 鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何?
(出自中国数学家张丘建的著作《算经》) 11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．
(“希望杯”邀请赛试题) 12．已知 k 是满足1910 p k p 2010 的整数，并且使二元一次方程组 5x − 4 y = 7 有整数