第6章 声波的辐射

(0 r , 0 2 , 0 )
1 p 2 p 0 2 c0 t 2
2
1 2 1 1 2 2 2 r 2 sin 2 2 r r r r sin r sin 2
l l r r ; r r 2 2
分母上： 1
1 1 ; r r l / 2 r
1 1 1 r r l / 2 r
指数里：kr kr kl ; kr kr kl ——不能够忽 2 2 略！
A p (r , t ) exp[i (t kr )] exp(ikl / 2) exp(ikl / 2) r 2iA kl exp[i (t kr )]sin r 2 27
2
2
(ka) 1
u0 0 c0 (ka)au0
2、高频ka>>1 2 0 c0 ka | A |H u0 0 c0 au0 2 ( ka ) 1
| A |L ka 1 | A |H
3、频率一定，球面越大，辐射声压越大；球面 大小一定，频率越高，辐射声压越大。
10
| A| | A| SPL1 SPL 2 20log 20log 10 pr 11 pr 20log10 20log11 0.8dB
22
声强和辐射功率
1 T I Re( p) Re(v )dt T 0
| A| p (r , t ) exp[i (t kr )] r | A| 1 1 vr 1 exp[i(t kr )] 0c0 r ikr
25
声压 两个相同振动小球（反相）在r处产生的声压
A A p(r , t ) exp[i(t kr )] exp[i(t kr )] r r
两个特殊方向： 1、=/2，即两个振动球的连线的垂直线上的点
r r
p(r , t ) 0
26
2、=0，即两个振动球的连线上的点，并且r>>l
脉动球源，辐射与方向无关，单极子辐射
——音箱中扬声器，低频辐射，可看作单极声 源！
11
声场对脉动球源的反作用——辐射阻抗
球面在外力F作用下 作振动，如果忽略向 周围媒质中的声辐射， 振动方程
d 2 d M m 2 Rm K m F dt dt
——球面径向位移
d u dt
Fr S0 p r a
——前一项：向外辐射解；后一项：向原点会聚波。
A p(r , t ) exp[i (t kr )] r
7
速度场
v 0 p t
1 p vr i 0 r
A 1 1 vr 1 exp[i(t kr )] 0c0 r ikr
边界条件 球面上媒质的速度等于球面振动速度！
辐射声功率
2 | A |2 2 2 W I r dS I r r 2 sin dd kl S S 30c0
29
单极子与偶极子辐射功率比较
W单极 2 | A |2 2 | A |2 2 2 ； W偶极子 kl 0c0 30c0
kl<<1
W单极 W偶极子
4
z
(r,,) •
er

r O
e
e
y

x
5
球对称
p ( r , , , t ) p( r , t )
1 2 p 1 2 p 2 r 0 2 2 c0 t r r r
时间简谐解
p(r , t ) p(r ) exp(it )
k=/c0
15
1. Rr——声辐射产生振动阻尼——力学系统的 能量耗损——转变成声能；
2. Xr——声辐射产生质量抗，增加的等效质量 为 0 a Xr Mr S0 2 (ka) 1
——好象有质量为Mr的媒质粘附在球上一切 振动！
16
1、低频ka<<1
——辐射很小， 同振质量很大，
Rr 0c0 (ka) 2 S0 0; Mr Xr
| A| | A| 20log pr 2 pr
20log 2 6dB
21
1、r=10m处，r=1m
pa r 1 10% pa r 10
pa
r 10
| A| | A| SPL1 20log 10 10 pr
| A| | A| pa r r 11 SPL2 20log 11 11 pr
pe2 | A |2 声强 I r 2 2 0c0 r 0c0
1 | A | p0 pe 2 r 2
通过任意球面的能量——即声功率为 2 | A |2 W 4 r 2 I r 0c0 ——与r无关！
24
6.2 反向小球源的远场辐射—偶极子声源
声偶极子是由两个相距很近，并有相同的振幅 而相位相反（即相差180度）的小脉动球源所组 成的声源。
新的力阻抗
Z m Z r Rm i ( M m K m / ) Z r ( Rm Rr ) i ( X r M m K m / ) Xr Km ( Rm Rr ) i Mm
vr
r a
u r a
A 1 1 1 u0 0c0 a ika
8
u0 0c0 a u0 0c0 ka 2 A ika (i ka) | A | exp(i ) 2 ika 1 (ka) 1
1 | A | u0 ; tan ka (ka) 2 1
远场r>>l
l l r1 r sin ; r2 r sin 2 2
A p(r , t ) exp[i (t kr )]2 cos(k ) r
l sin ——声程差的一半！ 2
33
A sin(2k ) p(r , t ) exp[i(t kr )] r sin(k )
udt
12
考虑向周围媒质中的声辐射，振动球受到 声压 p|r=a ——声场的反作用力
Fr S0 p r a
新的振动方程
d 2 d M m 2 Rm K m F Fr dt dt
A p(r , t ) exp[i (t kr )] r u0 0c0 ka 2 A (i ka) 2 (ka) 1
裸扬声器的辐射，可看偶极声源——前后振动 反向辐射！辐射功率很小，因此，利用音箱把 向后与向前振动产生的声场隔离。
30
偶极子辐射
31
6.3 同相小球源的远场辐射和声柱
设有两个相距为l的小脉动球源，它们振动的频 率、振幅及相位均相同——构成声柱和声阵的 基本单元。
32
叠加声场声压
A A p(r , t ) exp[i(t kr1 )] exp[i(t kr2 )] r1 r2
1 d 2 dp 2 r k p (r ) 0 2 r dr dr
令
p(r )
(r )
r
6
得到
d 2 (r ) k 2 (r ) 0 dr 2
(r ) A exp(ikr ) B exp(ikr )
A B p(r , t ) exp[i (t kr )] exp[i (t kr )] r r
一般
l l r r cos ; r r cos 2 2
2iA kl cos p(r , , t ) exp[i(t kr )]sin r 2
因为两小球相距很近，当频率不很高，kl<<1
klA p(r , , t ) i exp[i(t kr )]cos r
1
0 c0 ka 2
声场和速度场
| A| p (r , t ) exp[i (t kr )] r | A| 1 1 vr 1 exp[i(t kr )] 0c0 r ikr
9
结论： 1、低频ka<<1
| A |L
0 c0 ka
第6章 声波的辐射
6.1 脉动球的辐射—单极子声源 6.2 反向小球源的远场辐射—偶极子声源 6.3 同相小球源的远场辐射和声柱 6.4 点声源和活塞辐射 6.5 镜象原理
1
反作用
物体振动 声 源
产生声波 辐射场
1、辐射场的各种规律：声源与辐射场的关系； 声压随距离的变化关系；声源的指向性…… 2、辐射场反过来对声源振动状态的影响：由于 辐射声波而附加于声源的辐射阻抗……
2
6.1脉动小球的辐射——单极子声源
——最基本的声源
小球表面振动速度 为了方便
u r a u0 exp i(t ka)
基本方程 球坐标中的声波方程
2 p 2 2 c p 0 2 t
3
球坐标
x r sin cos y r sin sin z r cos
近场：小的距离变化能引起大的声压变化！ 1、r=1m处，r=1m
pa r 100% pa r
20
| A| pa r 1 | A | SPL1 20log pr
pa
r r 2
| A| | A| SPL2 20log 2 2 pr
SPL1 SPL2 20log
13
Fr S0 p r a S0u0 0 c0 ka (i ka ) exp[i (t ka )] 2 (ka ) 1 0 c0 ka (i ka ) S0u (t ) 2 (ka ) 1
令
Rr
0c0 k 2 a 2
(ka) 1
2
S0 ; X r

0 aS0 0 a(4 a 2 )
4 3 3 a 0 3M 0 3
2、高频ka>>1
——同振质量 很小，辐射极 大。
Rr 0 c0 S0 ; M r
Xr


0 c0
ka
S0 0
17
18
辐射声场的特性
| A| p (r , t ) exp[i (t kr )] r
v, v=0, 声强只有径向分量，即声能只沿径向 传播
23
1 | A |2 Ir T 0 c0 r 2

T
0
cos(t kr )
sin(t kr ) cos(t kr ) dt kr | A |2 2 0 c0 r 2
等相位面
t kr 常数
kr t 常数
在时刻t，等相位面方程
——球面方程——球面波！！
19
振幅随距离的变化
| A| pa r
远场：
| A| dpa 2 dr r
dpa dr pa r
pa r 0 ——远场的声压变化 很小，近似平面波！ pa r
0c0 ka
(ka) 1
2
S0
d Fr ( Rr iX r ) Z r u (t ) Z r dt
14
du Mm ( Rm Z r )u K m udt F dt
பைடு நூலகம்
特解——时间简谐解
F F u Rm i(M m K m / ) Z r Z m Z r
指向性
sin(2k ) D( ) 2sin(k )
定义指向性
p(r , , t ) D( ) | cos | p(r , 0, t )
28
速度场
kAl 1 1 vr i 1 cos exp[i(t kr )] 0c0 r ikr
声强
1 T | A |2 k 2l 2 I r Re( p) Re(vr )dt cos2 T 0 20c0 r 2