用与指数函数、对数函数有关的最值问题
指数函数及对数函数综合题目和答案解析
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较，指数函数和对数函数综合指数函数、幂函数、对数函数增长的比较【要点链接】1．指数函数、幂函数、对数函数增长的比较：对数函数增长比较缓慢，指数函数增长的速度最快．2．要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像，并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题． 【随堂练习】 一、选择题1．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是（ ）A ．1100xy e =B ．100ln y x =C ．100y x =D ．1002x y =⨯ 2．若1122a a -<，则a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．0a >C ．01a <<D ．01a ≤≤3．x x f 2)(=，x x g 3)(=，xx h )21()(=，当x ∈（-)0,∞时，它们的函数值的大小关系是（ ）A ．)()()(x f x g x h <<B ．)()()(x h x f x g <<C ．)()()(x f x h x g <<D ．)()()(x h x g x f <<4．若b x <<1，2)(log x a b =，x c a log =，则a 、b 、c 的关系是（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．b a c <<二、填空题5．函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,32在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________． 6．若a ＞0，b ＞0，ab ＞1，a 21log =ln2，则log a b 与a 21log 的关系是_________________．7．函数2x y =与xy 2=的图象的交点的个数为____________．三、解答题8．比较下列各数的大小： 52)2(－、21)23(－、3)31(－、54)32(－．9．设方程222xx =-在(0,1)内的实数根为m ，求证当x m >时，222xx >-．答案1．A 指数增长最快．2．C 在同一坐标系内画出幂函数21x y =及21-=xy 的图象，注意定义域，可知10<<a ．3．B 在同一坐标系内画出x x f 2)(=，xx g 3)(=，xx h )21()(=的图象，观察图象可知．4．D b x <<1，则0log log 1b b x b <<=，则10<<a ，则01log log =<a a x ， 可知b a c <<<<10．5．x y e = 指数增长最快．6．log a b ＜a 21log 由a 21log =ln20>，则10<<a ，而ab ＞1，则1>b ，则0log <b a ，而0log 21>a ，则log a b ＜a 21log ．7．3 在同一坐标系内作出函数2x y =与x y 2=的图象，显然在0<x 时有一交点， 又2=x 时，2222=，3=x 时，3223>，4=x 时，4224=，而随着x 的增大，指数函数增长的速度更快了，则知共有3个不同的交点．8．解： 52)2(－＝522、21)23(－＝21)32(、3)31(－＝－271、54)32(－＝54)32(．∵52)2(－＞1、3)31(－＜0，而21)23(－、54)32(－均在0到1之间．考查指数函数y ＝x )32(在实数集上递减，所以21)32(＞54)32(．则52)2(－＞21)23(－＞54)32(－＞3)31(－．9．证明：设函数2()22x f x x =+-，方程222x x =-在(0,1)内的实数根为m ， 知()f x 在(0,1)有解x m =，则()0f m =．用定义容易证明()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以()()0f x f m >=，即2()220x f x x =+->，所以当x m >时，222xx >-．备选题1．设7210625.0=y ，74203.0=y ，7832.0=y ，则（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．213y y y >>D ．123y y y >>1．B 74125.0=y ，74304.0=y ，而幂函数74x y =在0>x 上为增函数，则132y y y >>．2．图中曲线是对数函数y =log a x 的图象，已知a 取101,53,54,3四个值，则相应于C 1， C2， C 3，C 4的a 值依次为（ ）A ．101,53,34,3 B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,342．C 作直线1=y ，与四个函数的图象各有一个交点，从左至右的底数是逐渐增大的，则知则相应于C 1，C 2， C 3，C 4的a 值依次为101,53,3,34．指数函数复习【要点链接】1．掌握指数的运算法则；2．熟练掌握指数函数的图像，并会灵活运用指数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于指数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题1．函数a y x +=2的图象一定经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知三个实数a ，ab a =，bc a =，其中10<<a ，则这三个数之间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b << 3．设1()()2xf x =，x ∈R ，那么()f x 是（ ）A ．奇函数且在(0,)+∞上是增函数B ．偶函数且在(0,)+∞上是增函数C ．奇函数且在(0,)+∞上是减函数D ．偶函数且在(0,)+∞上是减函数 4．函数121xy =-的值域是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1)(0,)-∞-+∞ C ．(1,)-+∞ D ．(,0)(0,)-∞+∞二、填空题5．若函数()f x =_______________．6．函数x a a a x f )33()(2+-=是指数函数，则a 的值为_________．7．方程2|x |=2－x 的实数解有_________个．三、解答题8．已知()2x f x =，()g x 是一次函数，并且点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上，求()g x 的解析式．9．若函数y ＝1212·－－－xx aa 为奇函数． （1）确定a 的值；（2）求函数的定义域；（3）讨论函数的单调性．答案1．A 当0=a ，图象不过三、四象限，当1-=a ，图象不过第一象限．而由图象知函数a y x+=2的图象总经过第一象限．2．C 由10<<a ，得101=<<a a a a ，则1<<b a ，所以1a a ab a >>，即ac b <<．3．D 因为函数1()()2x f x ==⎪⎩⎪⎨⎧≥)0(,2)0(,)21(＜x x x x，图象如下图．由图象可知答案显然是D ．4．B 令12-=x t ，02>x，则12->x ，又作为分母，则1->t 且0≠t ，画出ty 1=的图象，则1->t 且0≠t 时值域是(,1)(0,)-∞-+∞． 5．(,0]-∞ 由1-2x 0≥ 得2x≤1，则x ≤0.6．2 知1332=+-a a ， 0>a 且1≠a ，解得2=a ．7．2 在同一坐标系内画出y=2|x |和 y=2－x 的图象，由图象知有两个不同交点． 8．解：∵()g x 是一次函数，可设为)0()(≠+=k b kx x g ， 则[()]f g x bkx +=2，点(2,2)在函数[()]f g x 的图象上，可得bk +=222，得12=+b k ．又可得[()]g f x b k x+⋅=2，由点(2,5)在函数[()]g f x 的图象上， 可得b k +=45．由以上两式解得3,2-==b k ， ∴()23g x x =-．9．解：先将函数y ＝1212·－－－x x aa 化简为y ＝121－－x a ．（1）由奇函数的定义，可得f （－x ）＋f （x ）＝0，即121－－－x a ＋121－－x a ＝0，∴2a ＋xx2121－－＝0，∴a ＝－21．（2）∵y ＝－21－121－x ，∴x2－1≠0．∴函数y ＝－21－121－x 定义域为{x |x ≠0}．（3）当x ＞0时，设0＜x 1＜x 2，则y 1－y 2＝1212－x －1211－x ＝)12)(12(221221－－－x x x x ． ∵0＜x 1＜x 2，∴1＜12x ＜22x．∴12x－22x＜0，12x －1＞0，22x－1＞0．∴y 1－y 2＜0，因此y ＝－21－121－x 在（0，＋∞）上递增． 同样可以得出y ＝－21－121－x 在（－∞，0）上递增．备选题1．函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上的最大值是4，则a 的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．51．C 函数(1)xy a a =>在区间[0,1]上为增函数，则最大值是=1a 4，则4=a ．2．函数y ＝xx a 22－（a ＞1）的定义域___________，值域___________． 2． {x |x ≥2，或x ≤0} {y |y ≥1}由022≥-x x ，得定义域为{x |x ≥2，或x ≤0}； 此时022≥-x x ，则值域为{y |y ≥1}．对数函数【要点链接】1．掌握对数的运算法则；2．熟练掌握对数函数的图像，并会灵活运用对数函数的性质，会解决一些较为复杂的 有关于对数函数复合的问题． 【随堂练习】 一、选择题1．4123log =x，则x 等于（ ） A ．91=x B ．33=x C ．3=x D ．9=x2．函数y ＝lg （x－12－1）的图象关于（ ）A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．已知log 0log log 31212>==+x x x a a a， 0<a<1，则x 1、x 2、x 3的大小关系是（ ）A ．x 3<x 2<x 1B ．x 2<x 1<x 3C ．x 1<x 3<x 2D ．x 2<x 3<x 14．若函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a 等于（ ）A ．12B ．2二、填空题5．函数23log 12-=-x y x 的定义域是 ．6．设函数()f x 满足21()1()log 2f x f x =+⋅，则(2)f = ． 7．已知3log 21=a ，31log 21=b ，21log 31=c ，则a 、b 、c 按大小关系排列为___________．三、解答题8．若)(x f 3log 1x +=， )(x g 2log 2x =，试比较)(x f 与)(x g 的大小．9．若不等式0log 2<-x x m 在（0，21）内恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．A 2log 24123-==x，则2log 3-=x ，则9132==-x ． 2．C y ＝lg （x －12－1）＝xx－＋11lg ，易证)()(x f x f -=-，所以为奇函数，则图象关于原点对称．3．D ∵0<a<1，∴a<1<a+1<a2，∴x 2<1<x 3<x 1． 4．A 10≤≤x 时，11121≤+≤x ，要使值域也是[0，1]，就有0)(≥x f ，则10<<a ， 则)(x f 在[0，1]为增函数，则01log =a ，121log =a ，解得=a 12．5．2(,1)(1,)3+∞ 可知023>-x ，012>-x 且112≠-x ，解得32>x 且1≠x ．6．23由已知得2log )21(1)21(2⋅+=f f ，则21)21(=f ，则x x f 2log 211)(⋅+=，则=⋅+=2log 211)2(2f 23．7．b c a <<03log 2<-=a ，13log 2>=b ，2log 3=c ，则10<<c ，那么有b c a <<．8．解：43log 4log )3(log )()(xx x g x f x x x =-=-．当10<<x 时，1430<<x ，则043log >x x ，则)()(x g x f >； 当34=x 时，143=x，则)()(x g x f =； 当341<<x 时，1430<<x ，则043log <xx ，则)()(x g x f <； 当34>x 时，143>x ，则043log >xx ，则)()(x g x f >．9．解：由0log 2<-x x m 得x x m log 2<.在同一坐标系中作2x y =和x y m log =的图象．要使x x m log 2<在（0，21）内恒成立， 只要x y m log =在（0，21）内的图象在2x y =的上方，于是0<m<1．∵x=21时y=x 2=41，∴只要x=21时21log m y =≥41． ∴21≤m 41，即161≤m. 又0<m<1，∴所求实数m 的取值范围161≤m<1．备选题1．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）A ．1()2xy = B ．xy 1=C ．)(log 3x y -=D ．3x y -= 1．D A 、C 是非奇非偶函数，B 是奇函数，但在定义域内不为减函数，则选D ．2．10002.11=a ，10000112.0=b，则=-ba 11（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．A2.11log 11000=a ，0112.0log 11000=b ， 则11000log 0112.02.11log 1110001000===-b a ．3．如果函数()(3)x f x a =-，()log a g x x =它们的增减性相同，则a 的取值范围 是______________．3．21<<a由03>-a 且13≠-a ，及0>a 且1≠a ，得10<<a ，或21<<a ，或32<<a ．当10<<a 或32<<a 时，)(x f 与)(x g 一增一减，当21<<a 时，)(x f 与)(x g 都为增函数．同步测试题 A 组一、选择题1．已知32a=，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ）A ．2a -B ．52a -C ．23(1)a a -+ D ．23a a -2．若函数)(log b x y a +=（0>a 且1≠a ）的图象过两点)0,1(-和)1,0(，则 ( )A ． 2,2==b a B ．2,2==b aC ．1,2==b aD ．2,2==b a3．已知(),()log x a f x a g x x ==，(01)a a >≠且，若(3)(3)0f g ⋅< ， 则()f x 与()g x4．若函数xx f 211)(+=，则)(x f 在R 上是（ ） A ．单调递减，无最小值 B ．单调递减，有最小值 C ．单调递增，无最大值 D ．单调递增，有最大值5．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（ ）A ．f (x +y )=f(x )·f (y )B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈= D ．)()]([·)]([])[(+∈=N n y f x f xy f nn n6．函数f (x )=log a 1+x ，在（－1，0）上有f (x )>0，那么（ ）A ．f (x )(－ ∞,0)上是增函数B ．f (x )在（－∞，0）上是减函数C ．f (x )在（－∞，－1）上是增函数D ．f (x )在（－∞，－1）上是减函数二、填空题7．已知函数⎩⎨⎧=x x x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则1[()]4f f = ．8．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ，y=(21)x ，y=2x ，y=10x的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次序是 ．9．已知)23(log )(221x x x f --=，则值域是 ；单调增区间是 ．三、解答题10．求函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f x x 且）最小值．11．已知函数),()(,0|,lg |)(b f a f b a x x f ><<=且如果证明：1<ab ．12．已知函数()m mx x x f --=221log )(．（1）若m ＝1，求函数)(x f 的定义域；（2）若函数)(x f 的值域为R ，求实数m 的取值范围；（3）若函数)(x f 在区间()31,-∞-上是增函数，求实数m 的取值范围．B 组一、选择题1．已知函数y=kx 与y=12log x 图象的交点横坐标为2，则k 的值为（ ）A ． 12- B ．14 C ．12 D ．14-2．已知函数b a y x+=的图象不经过第一象限，则下列选项正确是（ ）A ．2,21-==b a B ．3,2-==b a C ．1,21==b a D ．0,3==b a3．若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ )A ．14 B ．12 4．若函数()11x mf x e =+-是奇函数，则m 的值是（ ）A ．0B ．21C ．1D ．2二、填空题5．如图，开始时桶1中有a 升水，t 分钟后剩余的水符合指数衰减曲线1nt y ae -=，那么桶2中水就是2nt y a ae -=-． 假设过5分钟时桶1和桶2的水相等，则再经过______ 分钟桶1中的水只有8a ．6．已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数， 则a 的取值范围是__________．三、解答题7．已知函数xxa b y 22++=(a 、b 是常数且a>0，a ≠1)在区间[－23，0]上有y max =3， y min =25，试求a 和b 的值．8．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--．)1(>p （1）求()f x 的定义域；（2）()f x 是否存在最大值或最小值？如果存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由．答案A 组1．A 32a=，则2log 3=a ，33log 82log 6-=+-=)2log 1(22log 3332a -． 2．B 由已知可得)1(log 0-=b a ，则2=b ，又2log log 1a a b ==，则2=a ． 3．C (3)(3)0f g ⋅<，则(3)0g <，则10<<a ，则()f x 与()g x 都为减函数．4．A 121>+x，则12110<+<x，则)(x f 无最大值，也无最小值，而显然)(x f 为减函数5．D 逐个验证可知D 不正确6．D 01<<-x 时，110<+<x ，而f (x )>0，则10<<a ，画出f (x )=log a 1+x 的图象，知f (x )在（－∞，－1）上是减函数．7．91 241log )41(2-==f ，则913)]41([2==-f f ． 8．D 、C 、B 、A 画出图象可知．9．[)+∞-,2，[)1,1-有0232>--x x ，则13<<-x ，在1-=x 时223x x --有最大值4， 令223x x t --=，则40≤<t ，则24log log 2121-=≥t ，则值域是[)+∞-,2，在[)1,1-上，223x x t --=递减，则)23(log )(221x x x f --=单调增区间是[)1,1-．10．解：当1>a 时，⎩⎨⎧<≥-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ．当10<<a 时，⎩⎨⎧>≤-=)0(,1)0(,12)(x x a x f x 画出图象，知此时1)(min =x f ．由以上讨论知函数10(|1|)(≠>-+=a a a a x f xx且）最小值为1． 11．证明：画出函数x x f lg )(=的图象，可以看出在]1,0(上为减函数，在),1[+∞上为增函数， ∵b a <<0时有)()(b f a f >，则不可能有b a <≤1， 则只有10≤<<b a 及b a ≤<<10这两种情况． 若10≤<<b a ，显然1<ab ；若b a ≤<<10，则)()(b f a f >化为b a lg lg >，则b a lg lg >-，则0lg lg <+b a ，0)lg(<ab ，可得1<ab ． 由以上讨论知，总有1<ab ．12．解：（1）方程012=--x x 的根为251±=x ， 所以012>--x x 的解为251-<x 或251+>x ，于是函数的定义域为),251()251,(+∞+⋃--∞．（2）因为函数的值域为R ，所以(){}m mx x u u --=⊆+∞2,0，故04042≥-≤⇒≥+=∆m m m m 或．（3）欲使函数在区间()31,-∞-上是增函数，则只须()()⎪⎩⎪⎨⎧≥----≤-031312312m m m ⎩⎨⎧≤-≥⇒2322m m ， 所以2322≤≤-m ．B 组1．A 由y=12log x ，当2=x 时，1-=y ，代入y=kx 中，有k 21=-，则21-=k ． 2．A 当2,21-==b a 时，2)21(-=x y ，其图象是x y )21(=的图象向下平移了2个 单位，则就不会经过第一象限了．3．C 知)(x f 在]2,[a a 上为减函数，则最大值是1log =a a ，最小值是2log 1)2(log a a a +=，则)2log 1(31a +=，则322log -=a ， 23log 2-=a ，42223==-a ． 4．D 由)()(x f x f -=-，得1111---=-+-x x e m e m ，则112--=-+x x x e m e me ， 可得112---=x x x e m e me ，则2=m ． 5．10 根据题设条件得：55n n ae a ae --=-，所以512n e -=． 令8nt a ae -=，则18nt e -=，所以3151()2nt n e e --==， 所以t=15．15－5=10（分钟），即再经过10分钟桶1中的水就只有8a ． 6．a ∈（1，2）a ＞0且a ≠1⇒μ（x ）＝2－ax 是减函数，要使y ＝a log （2－ax ）是减函数，则a ＞1，又2－ax ＞0⇒a ＜x2（0＜x 1≤）⇒a ＜2，所以a ∈（1，2） 7．解：令u =x 2+2x =(x +1)2－1 x ∈[－23，0] ， ∴当x =－1时，u min =－1 ； 当x =0时，u max =0 ．.233222233225310)2222531)10110⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+<<⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+>--b a b a b a a b a b a b a a b a b a 或综上得解得时当解得时当 8．解：（1）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->->-+001011x p x x x 得1x x p >⎧⎨<⎩， 所以f (x )的定义域为（1，p ）．（2）∵22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+． ∴当112p -≤，即13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，当12p x -=时，()f x 有最大值22(1)log 4p +， 但没有最小值．综上可知：当13p <≤时，()f x 既无最大值又无最小值； 当3p >时，()f x 有最大值22(1)log 4p +，但没有最小值．备选题1．若log 4［log 3（log 2x ）］＝0，则21－x 等于（ ）A ．42B ．22C ．8D ．41．A 依题意可得x ＝8，则21－x ＝42．2．函数|,12|)(-=x x f 若a ＜b ＜c ，且)()()(b f c f a f >>，则下面四个式子中成立的是（） A ．0,0,0<<<c b a B ．0,0,0>≥<c b aC ．c a 22<-D ．222<+a c2．D 画出函数|12|)(-=x x f 的图象，可知a ＜0，c ＞0，所以2a -1<0, 2c -1>0,又由)()(c f a f >，得1-2a >2c -1，所以222<+a c ．3．比较log 20.4，log 30.4，log 40.4的大小．3．解：∵对数函数y ＝log 0.4x 在（0，＋∞）上是减函数， ∴log 0.44＜log 0.43＜log 0.42＜log 0.41＝0．又反比例函数y ＝x 1在（－∞，0）上也是减函数．所以2log 14.0＜3log 14.0＜4log 14.0，即log 20.4＜log 30.4＜log 40.4．4．已知函数x x f 2)(=．（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）把)(x f 的图像经过怎样的变换，能得到函数22)(+=x x g 的图像； (3)在直角坐标系下作出函数)(x g 的图像．4．解：（1）函数)(x f 定义域为R ，又 ()22()x x f x f x --===，∴函数)(x f 为偶函数．（2）把)(x f 的图像向左平移2个单位得到．(3)函数)(x f 的图像如右图所示．。
指数函数与对数函数的应用题
指数函数与对数函数的应用题指数函数与对数函数是高中数学中的重要内容，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将通过几个应用题的分析来探讨指数函数与对数函数的实际运用。
应用题一：物质的放射性衰变物质的放射性衰变是指由于放射性核的不稳定性，使核发生自发性变化的过程。
假设某种物质的衰变速率符合指数函数规律，即每个单位时间内剩余的物质量与当前的物质量成比例关系，如何求解衰变物质的半衰期？解析：设物质的初始质量为P0，经过时间t后的质量为P(t)，假设衰变常数为k。
由指数函数的性质可得：P(t) = P0 * e^(kt)当t = T (半衰期) 时，物质的质量减少了一半，即：P0 / 2 = P0 * e^(kT)化简后可得：e^(kT) = 1/2由此可以得到半衰期T的解。
应用题二：质量-时间关系某物质在一定条件下的质量随时间的变化满足指数函数的规律。
已知该物质在开始时间时的质量为M0，经过3小时后，质量降低为M0的1/4，求解质量随时间变化的指数函数关系。
解析：设物质的质量随时间t的变化满足指数函数：M(t) = M0 * e^(kt)已知M(3) = M0 * (1/4)，带入上述指数函数公式得：M0 * e^(3k) = M0 * (1/4)化简可得：e^(3k) = 1/4由此可以求得k的解，进而得到质量随时间变化的指数函数关系。
应用题三：货币贬值问题某国货币贬值的速度与该国的物价水平及其他因素有关。
假设某国的年物价水平p以指数函数形式增长，即p = p0 * e^(kt)，其中p0是初始物价水平，k是贬值系数。
求解该国货币的贬值率。
解析：货币贬值率是指货币购买力下降的速度，可以用物价水平的增长率来近似表示。
设t时刻物价水平为p(t)，t+1时刻物价水平为p(t+1)，则贬值率为：贬值率 = (p(t+1) - p(t)) / p(t)将p(t) = p0 * e^(kt)，p(t+1) = p0 * e^((k+k')t+1)带入上述公式，化简可得贬值率的解。
高中数学最值问题12种
高中数学最值问题12种高中数学最值问题是指在一定条件下，找出某个函数的最大值和最小值的问题。
这些问题需要通过一定的方法来求解，涉及到导数、不等式、二次函数、三角函数等数学知识。
下面我们将介绍12种高中数学最值问题的解法和相关概念。
1.函数的最大值和最小值：函数的最大值和最小值是指函数的各个值中最大和最小的值。
一元函数的最大值和最小值通常可以通过求解导数为0的点来获得。
多元函数的最大值和最小值可能需要使用拉格朗日乘数法等方法。
2.二次函数的最值：二次函数的最值可以通过求解顶点坐标来获得。
二次函数的最大值发生在开口向下的情况下，最小值发生在开口向上的情况下。
3.三角函数的最值：三角函数的最值可以通过研究函数的周期性和对称性来获得。
一般情况下，三角函数的最值为1和-1。
4.不等式的最值：不等式的最值是指不等式的解集中最大和最小的值。
不等式的最值可以通过求解方程来获得。
需要注意确定不等式边界的方式。
5.绝对值函数的最值：绝对值函数的最值可以通过研究函数的分段性质来获得。
需要考虑绝对值函数的参数取值范围。
6.对数函数的最值：对数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
对数函数的最大值和最小值通常发生在底数小于1的情况下。
7.指数函数的最值：指数函数的最值可以通过研究函数的定义域和值域来获得。
指数函数的最大值和最小值通常发生在指数大于1的情况下。
8.等式的最值：等式的最值是指满足等式的变量的最大和最小的值。
等式的最值通常可以通过求解方程组来获得，在求解过程中需要注意排除无解的情况。
9.不定积分的最值：不定积分的最值可以通过求导和临界点的方式来获得。
需要注意确定积分的上下界。
10.定积分的最值：定积分的最值可以通过函数在积分区间上的最值来获得。
需要注意确定积分的上下界和积分变量的取值范围。
11.矩形面积的最值：矩形面积的最值可以通过求解矩形的边长和面积关系来获得。
需要注意确定矩形的条件和限制条件。
12.三角形面积的最值：三角形面积的最值可以通过求解三角形的边长和高的关系来获得。
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
对数函数最值问题及解题技巧
对数函数最值问题及解题技巧介绍本文将讨论对数函数的最大值和最小值问题，并提供解题技巧。
对数函数是数学中常见的函数之一，它在各种应用领域中起着重要的作用。
对数函数的定义对数函数是以某个正实数为底的指数函数的反函数。
一般地，对数函数可以表示为：$$y = \log_{a}x$$其中，$a$ 是底数，$x$ 是实数。
对数函数的定义域为正实数，值域为实数。
最值问题最值问题是数学中常见的问题之一。
对数函数的最大值和最小值问题是在特定条件下确定对数函数的取值范围。
最大值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最大值的特定条件。
根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最大值。
- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最大值。
- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最大值。
根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最大值。
最小值问题对于对数函数 $y = \log_{a}x$，我们需要找到使函数取得最小值的特定条件。
根据对数函数的特性，我们可以得出以下结论：- 当 $0 < a < 1$：当 $x$ 趋近于正无穷时，$y$ 趋近于正无穷，即函数无最小值。
- 当 $a = 1$：函数恒为 $0$，即函数无最小值。
- 当 $a > 1$：当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$y$ 趋近于负无穷，即函数无最小值。
根据以上结论，对数函数在不同条件下可能没有最小值。
解题技巧当解决对数函数最值问题时，我们需要考虑底数 $a$ 的取值范围，以及函数定义域的限制条件。
下面是解题时的一些建议：1. 了解底数的取值范围：不同的底数会有不同的取值范围，这对确定最值问题至关重要。
2. 确定函数定义域的限制条件：对于对数函数，定义域为正实数，因此可能存在一些限制条件，需要在解题过程中注意。
高考数学重难点第11讲 指数函数、对数函数与幂函数10大题型(原卷版)(全国通用)(新高考)
重难点第11讲指数函数、对数函数与幂函数10大题型——每天30分钟7天掌握指数函数、对数函数与幂函数10大题型【命题趋势】指数函数、对数函数与幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位，从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推论，能运用它们的性质解决具体的问题。
考生在复习过程中要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、指数幂运算的一般原则1、指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；2、先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；3、底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；4、运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。
二、对数运算常用方法技巧1、对数混合运算的一般原则（1）将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式log log m n a a nM b m=化简合并；（2）利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；（3）将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；（4）如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；（5）对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式。
2、对数运算中的几个运算技巧（1）lg 2lg 51+=的应用技巧：在对数运算中如果出现lg 2和lg 5，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现lg 2lg 5+，再应用公式lg 2lg 51+=进行化简；（2）log log 1a b b a ⋅=的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式log log 1a b b a ⋅=化简；（3）指对互化的转化技巧：对于将指数恒等式x y z a b c ==作为已知条件，求函数(),,f x y z 的值的问题，通常设(0)x y z a b c k k ===>，则log a x k =，log b y k =，log c z k =，将,,x y z 值带入函数(),,f x y z 求解。
指数函数最值问题及解题技巧
指数函数最值问题及解题技巧
指数函数是数学中常见的一种函数形式，其最值问题也是数学研究中较为基础的内容。
本文将介绍指数函数最值问题的一些常见形式和解题技巧。
1. 最值问题的常见形式
在指数函数最值问题中，常见的形式包括：
- 求指数函数的最大值或最小值；
- 求满足某种条件的最值。
2. 解题技巧
在解决指数函数最值问题时，可以采用以下几种常见的技巧：
2.1 利用导数求解最值
我们可以通过求函数的导数来解决最值问题。
具体步骤如下：- 求出指数函数的导数；
- 解出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点；
- 计算这些极值点处的函数值，得出最大值或最小值。
2.2 利用对数函数求解最值
对于指数函数问题，我们可以通过取对数转化为对数函数来求解最值。
具体步骤如下：
- 取指数函数的对数，得到一个对数函数；
- 通过对数函数的求导来解决最值问题，可以利用导数为零的点求出最值。
2.3 利用不等式求解最值
对于一些特殊的指数函数问题，我们可以通过利用不等式来解题。
具体步骤如下：
- 根据函数的性质，设置不等式的条件；
- 解出这个不等式，得到特定的数值区间；
- 根据函数在这个区间的变化情况，确定最值的取值范围。
总结
指数函数最值问题是数学研究中的基础内容，通过利用导数、对数函数和不等式等技巧，我们可以有效地解决这类问题。
掌握这些解题技巧，对于提高数学能力和解决实际问题都有积极的作用。
以上内容希望能够对你的学习有所帮助，如果有任何疑问，请随时向我提问。
指数和对数的复合函数的单调性奇偶性最值问题主要内容
x
+4
1 2
x
-1，+
+5的递减区间是_______.
青苗辅导1
14
例：已知函数f (x) loga(3 ax)在x 0, 2
上单调递减，求a的取值范围。
青苗辅导1
15
例：已知函数f (x) loga ax 1 a 0且a 1，
（1）求函数的定义域； （2）讨论函数f (x)的单调性.
x
log5
x2
3
0.
(1)x1
1 5
,
x2
125.
（2）11+33xx 3;
.(2)x 1;
(3) log4 3x 1 log4 x 1 log4 3 x;
（4）log3 1 2 3x 2x 1. (4)x 1
(3)经检验知x 2是方程的根，x 1舍去。
青苗辅导1
9
例：根据下列条件，求出ｘ的值： (1)4 4x 5 2x 6 0; (2)9x 6x 22x1
（1）判断函数f (x)的奇偶性 （2）求函数f (x)的值域； （3）证明函数f (x)是区间（ ， ）
上的单调函数
青苗辅导1
19
指数与对数的值域及最值问题
例：求函数f(x) 13x(x1, 2)的值域。
青苗辅导1
20
例：求函数y
1 2
2x
4
1 2
x
+5的值域.
-，5
青苗辅导1
21
例：求函数y=22x -2x-1+1的最值， 并求出相应的x的值
log2
1 3x
2
;函数的定义域为.
（1）当a 1时，函数的定义域为loga
与指数函数、对数函数有关的最值（值域）问题
求与指数函数㊁对数函数有关的最值(值域)问题的关键是转化与化归思想的应用,下面归类举例说明此类问题的求解方法㊂一㊁求函数的最值例1 设函数f (x )=l o g ax (a >0且a ʂ1)的图像经过点(2,1),当2ɤx ɤ4时,求函数h (x )=f (2x )fx8的最值㊂解:由函数f (x )=l o g ax (a >0且a ʂ1)的图像经过点(2,1),可得l o g a2=1,解得a =2,所以函数f (x )=l o g 2x ,且定义域为{x |x >0}㊂所以函数h (x )=f (2x )fx8=l o g 2(2x )㊃l o g 2x 8=(l o g 2x +1)(l o g 2x -3),且x ɪ[2,4]㊂令t =l o g 2x ,t ɪ12,2,则函数h (x )等价于g (t )=(t +1)㊃(t -3)=t 2-2t -3,其对称轴为t =1㊂因为函数g (t )在t ɪ12,1上单调递减,在t ɪ[1,2]上单调递增,所以h (x )m i n =g (t )m i n =g (1)=-4㊂又因为g 12=-154,g (2)=-3,所以h (x )m a x =g (t )m a x =g (2)=-3㊂故函数h (x )的最大值为-3,最小值为-4㊂评注:解答本题的关键是通过换元变形,将原问题转化为熟悉的一元二次函数在区间上的最值问题,再借助 配方 变形即可得到最值㊂二㊁求函数的值域例2 已知函数f (x )=l o g 3x +1,x ɪ[1,9],求函数h (x )=[f (x )]2+f (x 2)的值域㊂解:因为函数f (x )的定义域为[1,9],所以1ɤx ɤ9,1ɤx 2ɤ9,解得1ɤx ɤ3,即x ɪ[1,3],所以函数h (x )=[f (x )]2+f (x 2)的定义域为[1,3]㊂h (x )=[f (x )]2+f (x 2)=(l o g 3x +1)2+l o g 3x 2+1=(l o g 3x )2+4l o g 3x +2㊂设t =l o g 3x ,因为x ɪ[1,3],所以t ɪ[0,1],所以函数h (x )等价于函数φ(t )=t 2+4t +2=(t +2)2-2,且φ(t )在t ɪ[0,1]上单调递增㊂当t =0,即x =1时,h (x )取得最小值,可得h (x )m i n =φ(0)=2;当t =1,即x =3时,h (x )取得最大值,可得h (x )m a x =φ(1)=7㊂故函数h (x )的值域是[2,7]㊂评注:求函数y =[f (x )]2+f (x 2)的定义域时,容易忽视1ɤx 2ɤ9的情况㊂在复合函数中,外层函数的定义域是内层函数的值域,若已知f (x )的定义域为[a ,b ],其复合函数f [g (x )]的定义域可由不等式a ɤg (x )ɤb 解出;若已知f [g (x )]的定义域为[a ,b ],求g (x )的定义域,相当于x ɪ[a ,b ],求g (x )的值域(即f (x )的定义域)㊂三㊁由给定的最值,求参数的值例3 设函数f (x )=a x -a -x(a >0且a ʂ1)㊂已知f (1)=83,函数g (x )=a 2x+a-2x-2m f (x )在区间[1,+ɕ)上的最小值为-2,求实数m 的值㊂解:依题意得f (1)=a -1a =83㊂因为a >0且a ʂ1,所以a =3,所以函数f (x )=3x -3-x ,所以函数g (x )=32x +3-2x -2m (3x-3-x )=(3x -3-x )2-2m (3x -3-x)+2,且x ɪ[1,+ɕ)㊂令t =3x -3-x ,由函数t =3x -3-x在[1,+ɕ)上单调递增,可得t ȡ83,即t ɪ83,+ɕ㊂83 创新题追根溯源 高一数学 2023年11月函数g (x )等价于函数h (t ),且h (t )=t 2-2m t +2在83,+ɕ上的最小值为-2㊂函数h (t )=t 2-2m t +2的图像的对称轴为t =m ,当m >83时,h (t )m i n =h (m )=-m 2+2,由-m 2+2=-2,解得m =ʃ2,不符合题意;当m ɤ83时,函数h (t )=t 2-2m t +2在83,+ɕ上单调递增,h (t )m i n =h 83=829-163m ,由829-163m =-2,解得m =2512㊂因为2512<83,所以实数m =2512,符合题意㊂故实数m =2512㊂评注:利用恒等式(a x -a -x )2=a 2x+a-2x-2进行转化是解题的关键㊂四㊁由给定的值域,求参数的取值范围例4已知函数f (x )=2x-a ,x <4,l o g 2x ,x ȡ4,若f (x )存在最小值,则实数a 的取值范围是( )㊂A.(-ɕ,4] B .[-2,+ɕ)C .(-ɕ,-2)D .(-ɕ,-2]解:已知函数f (x )=2x-a ,x <4,l o g 2x ,x ȡ4,当x <4时,f (x )=2x-a 的值域是(-a ,16-a );当x ȡ4时,由f (x )=l o g 2x ,可得f (x )m i n =2㊂由题意知,f (x )存在最小值,所以-a ȡ2,解得a ɤ-2,即实数a ɪ(-ɕ,-2]㊂应选D ㊂评注:准确理解指数函数和对数函数的图像与性质,有助于顺利破解与指数函数和对数函数有关的最值(值域)问题㊂已知函数f (x )=9x+m ㊃3x+19x +3x+1㊂(1)若对任意的x ɪR ,f (x )>0恒成立,求实数m 的取值范围㊂(2)若函数f (x )的最大值为2,求实数m 的值㊂(3)若对任意的x 1,x 2,x 3ɪR ,均存在以f (x 1),f (x 2),f (x 3)为三边长的三角形,求实数m 的取值范围㊂提示:(1)因为对任意的x ɪR ,f (x )>0恒成立,所以9x+m ㊃3x+19x +3x+1>0,可得9x+m ㊃3x +1>0,即-m <3x+13x 恒成立㊂因为3x >0,所以3x+13x ȡ2,当且仅当x =0时取等号,所以-m <2,可得m >-2,即实数m ɪ(-2,+ɕ)㊂(2)函数f (x )=9x +m ㊃3x+19x +3x+1=1+(m -1)㊃3x9x +3x +1=1+m -13x +3-x+1㊂因为3x +3-x ȡ2,所以3x +3-x+1ȡ3㊂当m -1<0,即m <1时,1>f (x )ȡ1+m -13,不符合题意;当m =1时,f (x )=1,不符合题意;当m -1>0,即m >1时,1<f (x )ɤ1+m -13,可得1+m -13=2,所以m =4㊂综上可得,实数m =4㊂(3)由题意知,f (x 1)+f (x 2)>f (x 3)对任意的x 1,x 2,x 3ɪR 恒成立㊂当m >1时,2<f (x 1)+f (x 2)ɤ2m +43,且1<f (x 3)ɤm +23,所以m +23ɤ2,可得1<m ɤ4;当m =1时,f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=1,符合题意;当m <1时,2m +43ɤf (x 1)+f (x 2)<2,且m +23ɤf (x 3)<1,所以2m +43ȡ1,可得-12ɤm <1㊂综上所述,实数m ɪ-12,4㊂作者单位:1.江苏省无锡市第六高级中学2.江苏省无锡市青山高级中学(责任编辑 郭正华)93创新题追根溯源高一数学 2023年11月。
与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题
与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题基本初等函数的值域。
（1） b kx y += )0(≠k 的值域为（2） y =a 2x +bx +c ()0≠a 的值域为（3） (0)ky k x=≠的值域为（4） y = xa )1,0(≠>a a 的值域为（5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为 （6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为例题：1函数)10(122≠>-+=a a a a y x x 且在区间]1,1[-上有最大值14，则a 的值是 。
例题：2已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．1、 函数)176(log 221+-=x x y 的值域是（ ）A.RB.),8[+∞C.)3,(--∞D.),3[+∞2、 若指数函数x a y =在]1,1[-上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于（ ）A.215+ B.215- C.215± D.251± 3、 函数||2)(x x f -=的值域是（ ）A.]1,0(B.)1,0(C.),0(+∞D.R 4、 定义运算⎩⎨⎧>≤=⊗)()(b a b b a a b a ，则函数x x x f -⊗=22)(的值域为 。
5、 已知3)41(2-≤x x，求函数xy )21(=的值域。
6、 函数log a y x =在[2,)+∞上恒有1y >，则a 的取值范围是 。
7、 已知21≤≤-x ，求函数x x x f 9323)(1-⋅+=+的最大值和最小值。
8、 设函数)(log )(2xx b a x f -=且12log )2(,1)1(2==f f ，（1）求b a ,的值；（2）当]2,1[∈x 时，求)(x f 的最大值。
高中数学中的指数与对数函数实际问题
高中数学中的指数与对数函数实际问题在我们的日常生活和许多实际应用中，指数与对数函数扮演着十分重要的角色。
它们不仅是高中数学中的重要知识点，更是解决实际问题的有力工具。
先来说说指数函数。
想象一下银行存款的利息计算，如果是按照复利的方式，那么就会用到指数函数。
假设你在银行存了一笔本金 P ，年利率为 r ，存了 t 年。
如果利息每年复利一次，那么到期后的本利和A 就可以用指数函数 A ＝ P(1 ＋ r)＾t 来计算。
这个公式清晰地展示了随着时间的推移，资金的增长情况。
比如，你存了 10000 元，年利率为 5%，存了 5 年，那么到期后的本利和就是 10000×（1 ＋ 005)＾5 元。
再看人口增长问题。
在一定条件下，人口的增长可能呈现指数增长的趋势。
假设一个地区初始人口为 P₀，人口年增长率为 r ，经过 t 年后，人口数量 P 可以用指数函数 P ＝ P₀×（1 ＋ r)＾t 来估算。
这对于政府规划城市基础设施、教育资源、医疗资源等都有着重要的参考价值。
还有放射性物质的衰变。
放射性物质的质量会随着时间的推移而减少，其衰变过程可以用指数函数来描述。
比如某种放射性物质的初始质量为 m₀，其衰变常数为λ ，经过时间 t 后，剩余的质量 m 可以表示为 m ＝ m₀×e^（λt) 。
说完指数函数，咱们再聊聊对数函数。
对数函数在测量声音强度、地震震级等方面有着广泛的应用。
比如，声音的强度通常用分贝（dB）来衡量。
假设 I 为某声音的强度，I₀为基准声音强度，那么声音的强度级 L 可以用对数函数 L ＝10×log₁₀(I ／ I₀) 来计算。
这使得我们能够直观地比较不同声音的强度大小。
在地震学中，地震的震级也是通过对数函数来表示的。
假设 E 为某次地震释放的能量，E₀为标准地震释放的能量，那么地震震级 M 可以用公式 M ＝ log₁₀(E ／ E₀) 来确定。
指数和对数的复合函数的单调性、奇偶性、最值问题
信号处理
在信号处理中，指数和对数的复合函数被用来进行 信号的调制和解调，以及滤波和频谱分析等操作。
控制工程
在控制工程中，指数和对数的复合函数可以 用来描述系统的动态响应和稳定性，以及进 行系统分析和设计。
THANKS
感谢观看
偶函数与偶函数的复合仍为偶函 数。
03
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的最值问题
最值的定义
最值定义
函数在某个区间内的最大值或最小值。
极值点
函数取得最值的点。
端点值
函数在区间端点的函数值。
求最值的方法
导数法
通过求导找到函数的极值点，然后比较极值点和端点 值，确定最大值和最小值。
不等式法
利用不等式性质，通过比较函数在不同点的函数值来 求最值。
导数法
通过求导数并判断导数的正负来判断函数的单调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0 ，函数单调递减。
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来判断函数的单调性。如果任意两点之间的函数值满足递增或递减关 系，则函数在该区间内单调。
复合函数的单调性
同增异减：如果内外层函数单调性相 同（都递增或都递减），则复合函数 单调递增；如果内外层函数单调性不 同，则复合函数单调递减。
判断复合函数单调性的关键则进行判断。
02
CATALOGUE
指数和对数的复合函数的奇偶性
奇偶性的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函 数。
VS
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意$x$ ，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数 。
指数函数与对数函数的增减性与极限性质
指数函数与对数函数的增减性与极限性质指数函数与对数函数是数学中常见的两种函数类型，它们在数学以及实际问题中具有重要的应用价值。
本文将重点讨论指数函数与对数函数的增减性与极限性质，并给出相应的证明和解释。
一、指数函数的增减性与极限性质指数函数是以某个正数a（a>0且a≠1）为底的函数 f(x) = a^x。
首先讨论指数函数的增减性。
1. 指数函数的增减性考虑指数函数 f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
根据指数函数的定义，我们知道当x1 < x2时，a^x1 < a^x2，即指数函数在其定义域上是递增的。
2. 指数函数的极限性质对于指数函数f(x) = a^x，其中a>0且a≠1，我们来讨论其极限性质。
当x趋向于负无穷时（记为x→-∞），指数函数 f(x) = a^x 的极限为0（记为lim(x→-∞) a^x = 0）；当x趋向于正无穷时（记为x→+∞），指数函数 f(x) = a^x 的极限为正无穷（记为lim(x→+∞) a^x = +∞）。
证明：对于第一种情况，即当x趋向于负无穷时，我们需要证明lim(x→-∞) a^x = 0。
假设对于任意的正数ε（ε>0），存在一个实数M，使得当x < M时，有|a^x| < ε。
根据指数函数的性质，我们可以得到a^x < 1，即1/a^x > 1。
我们可以将指数函数 f(x) = a^x 转化为1/f(x)，即1/a^x，求其极限。
由于lim(x→-∞) 1/a^x = +∞，即当x趋向于负无穷时，1/a^x的值会无限增大。
根据极限的定义，对于任意的正数M，当x < M时，有|1/a^x| > N，其中N为一个正数。
此时，我们可以将1/a^x写为|a^x|/a^x，即|a^x|/(a^x)^2。
我们可以取N = 1/(Ma)，那么当x < M时，就有|a^x|/(a^x)^2 > N。
指数函数与对数函数在学中的应用
指数函数与对数函数在学中的应用指数函数和对数函数是高中数学中重要的概念，它们在多个学科领域中有广泛的应用。
本文将重点探讨指数函数和对数函数在数学、物理和经济学等学科中的应用，以及它们对日常生活中一些实际问题的解决帮助。
一、指数函数的应用指数函数通常可以表示为y=a^x的形式，其中a是底数，x是指数。
指数函数在数学中有着广泛的应用，包括增长模型、复利计算、微积分中的极限等等。
指数函数在增长模型中的应用：指数函数可以用来模拟某些现象的增长过程。
比如，人口增长、细菌繁殖等。
通过观察和收集数据，我们可以找到合适的指数函数来描述这些现象的增长情况，并进行预测和分析。
指数函数在复利计算中的应用：指数函数可以用来计算复利利息。
复利即利息再生利，通过指数函数可以计算出在一定时间内的复利利息。
这在金融领域中经常应用，比如银行存款、投资理财等。
指数函数在微积分中的极限应用：指数函数也在微积分中有重要的应用。
在求解极限问题时，指数函数的性质可以用来简化计算。
例如，利用指数函数的无穷趋近性质可以求解一些复杂的极限问题。
二、对数函数的应用对数函数通常可以表示为y=loga(x)的形式，其中a是底数，x是实数。
对数函数在数学、物理和经济学等领域中有着广泛的应用。
对数函数在解决指数问题中的应用：对数函数与指数函数互为逆运算，因此可以用对数函数来解决指数问题。
例如，当我们需要求解a^x=b时，可以通过计算对数函数来得到结果。
这在数学解题中起到了重要的作用。
对数函数在物理学中的应用：对数函数在物理学中有着重要的应用，特别是在测量和模型建立方面。
比如，声强的分贝表示就是用对数函数计算的；在电路中，电阻对数变化可以用来计算分压或分流的情况。
对数函数在经济学中的应用：对数函数在经济学中也有着重要的应用。
经济学中的许多指标和模型，比如经济增长率、收入分布等，都使用对数函数来进行计算和描述。
对数函数可以将数据进行转化和归一化，便于分析和研究。
高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析
高中数学中的指数与对数函数在实际问题中的应用解析引言：数学是一门抽象的学科，然而它的应用却无处不在。
在高中数学中，指数与对数函数是一种重要的数学工具，它们不仅仅是纸上的符号，更是实际问题中的解析工具。
本文将通过探讨指数与对数函数在实际问题中的应用，展示它们在解决现实生活中的难题中的重要性和价值。
一、指数函数的应用指数函数是一种以指数为自变量的函数，通常表示为y=a^x，其中a是底数，x 是指数。
指数函数在实际问题中的应用非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。
1. 生物学中的指数增长模型生物学中的许多现象都可以用指数函数来描述。
例如，人口增长模型中，假设每年的人口增长率是一个固定的百分比，那么人口数量的增长可以用指数函数来表示。
指数函数可以帮助我们预测未来的人口数量，为制定合理的人口政策提供依据。
2. 经济学中的复利计算在经济学中，复利计算是非常重要的。
复利是指在一定时间内，利息不仅仅是基于本金，还是基于之前的利息。
复利计算可以用指数函数来表示，通过指数函数的运算，我们可以计算出未来的资金增长情况，帮助我们做出理性的投资决策。
3. 物理学中的指数衰减在物理学中，指数衰减是一种常见的现象。
例如，放射性物质的衰变速度可以用指数函数来描述。
指数函数可以帮助我们计算出物质的衰变速度，并预测未来的衰变情况，为核能的应用提供理论依据。
二、对数函数的应用对数函数是指数函数的逆运算，通常表示为y=loga(x)，其中a是底数，x是真数。
对数函数在实际问题中的应用也非常广泛，下面将以几个具体例子来说明。
1. 音乐和声音的测量在音乐和声学中，声音的强度可以用对数函数来测量。
由于人类对声音的感知是以对数的方式进行的，因此使用对数函数可以更准确地描述声音的强度。
对数函数的应用使得我们能够更好地理解和控制声音的特性。
2. 化学中的pH值计算在化学中，pH值是用来表示溶液酸碱性的指标。
pH值的计算是基于对数函数的，通过对数函数的运算，我们可以准确地计算出溶液的酸碱性，为化学实验和工业生产提供准确的数据。
与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题
与指数函数与对数函数相关的值域与最值问题与指数函数和对数函数相关的值域和最值问题对于基本初等函数，它们的值域如下：1）对于函数y=kx+b(k≠0)，它的值域为整个实数集。
2）对于函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，它的值域取决于a的正负性。
当a>0时，值域为[y0,∞)，其中y0为函数的最小值；当a<0时，值域为(−∞,y0]，其中y0为函数的最大值。
3）对于函数y=k/x(k≠0)，它的值域为(−∞,0)∪(0,∞)。
4）对于函数y=ax(a>0且a≠1)，它的值域也取决于a的正负性。
当a>1时，值域为(0,∞)；当0<a<1时，值域为(0,y]；当a<0时，值域为(−∞,0)。
5）对于函数y=loga x(a>0且a≠1)，它的值域为整个实数集。
6）对于三角函数y=sinx，y=cosx和y=tanx，它们的值域分别为[−1,1]，[−1,1]和整个实数集。
例题1：已知函数y=a^2x+2ax−1(a>0且a≠1)在区间[−1,1]上有最大值14，则a的值为2.例题2：已知函数f(x)=log4(ax^2+2x+3)。
1）若f(1)=1，则f(x)的单调区间为x∈(−∞,−1)∪(−1,−1/2]∪[−1/2,−1/3)∪(−1/3,∞)。
2）存在实数a使得f(x)的最小值存在，且a=1/2.练题：1.函数y=log1/2(x^2−6x+17)的值域为[8,∞)。
2.指数函数y=ax在[−1,1]上的最大值与最小值的差为1，底数a=5−1/2.3.函数f(x)=2−|x|的值域为(0,2]。
4.定义运算a⊕b={a(a≤b),b(a>b)}，则函数f(x)=2x⊕(2−x)的值域为[2,∞)。
5.已知2x≤(1/x−3)/4，函数y=1/2的值域为[1/2,2]。
6.函数y=loga x在区间[2,∞)上恒有y>1，则a的取值范围为a>y。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数典型例题单选题1、如图所示，函数y =|2x −2|的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：B分析：将原函数变形为分段函数，根据x =1及x ≠1时的函数值即可得解. ∵y =|2x −2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0. 故选：B.2、函数f(x)=2x −1x 的零点所在的区间可能是（ ） A ．(1,+∞)B ．(12，1)C ．(13，12)D ．(14，13)答案：B分析：结合函数的单调性，利用零点存在定理求解.因为f(1)=2−11=1>0,f(12)=√2−2<0,f(13)=√23−3<0f(14)=√24−4<0， 所以f(12)⋅f(1)<0，又函数f(x)图象连续且在(0,+∞)单调递增， 所以函数f(x)的零点所在的区间是(12，1)， 故选：B ．小提示：本题主要考查函数的零点即零点存在定理的应用，属于基础题.3、已知函数f (x )={−2x,x <0−x 2+2x,x ≥0 若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解，则m 的取值范围是（ ） A ．[0,34]B ．(0,34) C ．[0,916]D ．(0,916) 答案：D分析：根据题意，作出函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0 与y =12x +m 的图像，然后通过数形结合求出答案.函数f (x )={−2x, x <0,−x 2+2x,x ≥0的图像如下图所示：若关于x 的方程f (x )=12x +m 恰有三个不相等的实数解， 则函数f (x )的图像与直线y =12x +m 有三个交点，若直线y =12x +m 经过原点时，m ＝0，若直线y =12x +m 与函数f (x )=12x +m 的图像相切，令−x 2+2x =12x +m ⇒x 2−32x +m =0，令Δ=94−4m =0⇒m =916. 故m ∈(0,916). 故选：D ．4、函数y =2x −2−x （ ）A ．是R 上的减函数B ．是R 上的增函数C ．在(−∞,0)上是减函数，在(0,+∞)上是增函数D ．无法判断其单调性 答案：B分析：利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.因为指数函数f (x )=2x 为R 上的增函数，指数函数g (x )=2−x =(12)x为R 上的减函数， 故函数y =2x −2−x 是R 上的增函数. 故选：B.5、若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，且y =a −x 也为增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(√33,1)B ．(0,12)C ．(√33,√63)D ．(√63,1) 答案：D分析：根据函数单调性，列出不等式组{3a 2−1>10<a <1求解，即可得出结果. 若y =log 3a 2−1x 在(0,+∞)内为增函数，则3a 2−1>1，由y =a −x 为增函数得0<a <1．解不等式组{3a 2−1>10<a <1，得a 的取值范围是(√63,1)．故选：D.小提示：本题主要考查由对数函数与指数函数的单调性求参数，涉及不等式的解法，属于基础题型. 6、将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（ ） A ．90<a <100B ．90<a <110C ．100<a <110D ．80<a <100 答案：A分析：首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据y >0，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，则a =x +90,y =(10+x)⋅(400−20x)−10×400=−20x 2+200x .要使商家利润有所增加，则必须使y >0，即x 2−10x <0，得0<x <10,∴90<x +90<100，所以a 的取值为90<a <100. 故选：A7、已知a =lg2，10b =3，则log 56=（ ） A ．a+b 1+aB ．a+b 1−aC ．a−b 1+aD ．a−b 1−a答案：B分析：指数式化为对数式求b ，再利用换底公式及对数运算性质变形. ∵a =lg2, 10b =3， ∴b =lg3， ∴log 56=lg6lg5=lg2×3lg 102=lg2+lg31−lg2=a+b 1−a．故选：B ．8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、已知函数f (x )={e x −1,x ≥a,−(x +1)2,x <a (a ∈R ) ，则（ ） A ．任意a ∈R ，函数f (x )的值域为R B ．任意a ∈R ，函数f (x )都有零点C ．任意a ∈R ，存在函数g (x )满足g (−|x |)=f (x )D ．当a ∈(−∞,−4]时，任意x 1≠x 2,(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0答案：BD分析：画出分段函数图像，根据图像逐项分析即可得到结果设函数y=e x−1和y=−(x+1)2的左右两交点坐标为(x1,y1)，(x2,y2)对于选项A，由图像可知，当a<x1时，f(x)的值域不为R，故A错误对于选项B，由图像可知，无论a取何值，函数f(x)都有零点，故B正确对于选项C，当x>0时g(−|x|)=g(−x)，g(−|−x|)=g(−x)由图像可知f(−x)≠f(x)所以不存在函数g(x)满足g(−|x|)=f(x)对于选项D，若x1<a，x2<a，因为y=−(x+1)2为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立若x1>a，x2>a因为y=e x−1为增函数，所以对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立当x1，x2不在同一区间时，因为a∈(−∞,−4]，所以y=e x−1(x>a)的图像在y=−(x+1)2(x<a)的图像的上方，所以也满足对于任意x1≠x2,(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0成立故D正确故选：BD10、已知实数a，b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0<b<a；②a<b<0；③0<a<b；④b<a<0；⑤a=b=0其中有可能成立的关系式有（）A．①B．②⑤C．②③D．④答案：AB分析：画出指数函数y=2x，y=3x的图象，利用单调生即可得出答案.如图所示，数y=2x，y=3x的图象，由图象可知：( 1 ) 当时x>0，若2a=3b，则a>b；( 2 ) 当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；( 3 ) 当x<0时，若2a=3b，则a<b.综上可知，有可能成立的关系式是①②⑤ .故选：AB11、某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5000册.要该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为（）A．2.5元B．3元C．3.2元D．3.5元答案：BC分析：设每册杂志定价为x(x>2)元，根据题意由(10−x−2×0.5)x≥22.4，解得x的范围，可得答案.0.2依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，×0.5万册，设每册杂志定价为x(x>2)元，则发行量为10−x−20.2则该杂志销售收入为(10−x−2×0.5)x万元，0.2所以(10−x−2×0.5)x≥22.4，化简得x2−6x+8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2，0.2故选：BC小提示：关键点点睛：理解题意并求出每册杂志定价为x (x >2)元时的发行量是解题关键. 填空题 12、化简：(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)=________．答案：2−1263分析：分析式子可以发现，若在结尾乘以一个(1−12)，则可以从后到前逐步使用平方差公式进行计算，为保证恒等计算，在原式末尾乘以(1−12)×2即可﹒ 原式=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)(1+12)×(1−12)×2=(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)(1+122)×(1−122)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)(1+124)×(1−124)×2 =(1+1232)(1+1216)(1+128)×(1−128)×2 =(1+1232)(1+1216)×(1−1216)×2 =(1+1232)×(1−1232)×2 =(1−1264)×2 =2−1263所以答案是：2−1263﹒13、√a ⋅√a ⋅√a 3的分数指数幂表示为____________答案：a 34分析：本题可通过根式与分数指数幂的互化得出结果.√a ⋅√a ⋅√a 3=√a ⋅√a ⋅a 123=√a ⋅√a 323=√a ⋅a 12=√a 32=a 34， 所以答案是：a 34.14、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=________.①定义域为R；②值域为(−∞,1)；③对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.答案：f(x)=1−12x（答案不唯一）分析：直接按要求写出一个函数即可.f(x)=1−12x ，定义域为R；12x>0，f(x)=1−12x<1，值域为(−∞,1)；是增函数，满足对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，均有f(x1)−f(x2)x1−x2>0.所以答案是：f(x)=1−12x（答案不唯一）.解答题15、已知函数f(x)=1−2a|x|+1(a>0，a≠1)．（1）判断f(x)的奇偶性并证明；（2）若f(x)在[−1,1]上的最大值为13，求a的值．答案：（1）偶函数；证明见解析；（2）a=2．解析：（1）利用奇偶函数的定义证明；（2）讨论去绝对值，并分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的单调性，求函数的最大值，建立方程，求a的值.解：（1）f(x)的定义域为R，又f(−x)=1−2a|−x|+1=1−2a|x|+1=f(x)⇒f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数；（2）因为f(x)为偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递减，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a x+1，函数单调递增，f(x)max=f(1)=1−2a+1=13⇒a=2，当−1≤x<0，f(x)=1−2a|x|+1=1−2a−x+1，若a∈(0,1)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递增，f(x)max=f(0)=0，若a∈(1,+∞)，f(x)=1−2a−x+1，函数单调递减，f(x)max=f(−1)=1−2a+1=13⇒a=2，综上，a=2．小提示：关键点点睛：本题考查指数型复合函数证明奇偶性以及根据函数的最值，求参数的取值范围，本题的关键是求函数的单调性，关键是利用函数是偶函数，先去绝对值，再利用复合函数的单调性求函数的单调性，从而确定函数的最值.。
带答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4].类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9 当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
解决高中数学中的指数与对数问题的技巧与方法
解决高中数学中的指数与对数问题的技巧与方法高中数学中，指数与对数是一个重要的概念和知识点。
许多学生在学习过程中发现这部分内容较为抽象和难以理解，因此需要掌握一些解决问题的技巧和方法。
本文将介绍一些解决高中数学中的指数与对数问题的技巧和方法，帮助学生更好地理解与应用这一部分内容。
一、指数问题的技巧与方法1. 理解指数的意义：指数表示一个数相乘的次数。
当底数相同时，指数越大，乘积值越大；指数越小，乘积值越小。
通过这一理解，可以更好地把握指数的性质和规律。
2. 了解指数的基本性质：同底数相乘，指数相加；同底数相除，指数相减；指数为0时等于1。
这些基本性质是解决指数问题的关键，掌握好这些性质，能够简化运算过程。
3. 注意指数的化简：对于指数的运算，可以尝试化简指数，将其转换成更简单的形式。
例如，指数为负数时，可以运用倒数的概念将其转化为正指数；指数为分数时，可以运用根式的概念将其转化为合适的形式。
4. 运用指数的公式：在解决指数问题时，可以灵活运用指数的公式，如指数函数与对数函数的互逆性质、指数幂函数的性质等。
这些公式能够帮助我们更快速地解决复杂的指数问题。
二、对数问题的技巧与方法1. 理解对数的意义：对数是指数的逆运算。
对数可以帮助我们求出以某个底数为底、对数值给定的幂的值。
通过这一理解，可以更好地把握对数的含义和作用。
2. 掌握常用对数的性质：常用对数的底数为10，其对数值可以用以10为底的指数形式表示。
例如，log10(1000) = 3，可以表示为10³ = 1000。
了解常用对数的性质，可以简化对数运算。
3. 运用对数的换底公式：当计算底数不同的对数时，可以运用对数的换底公式进行转换。
换底公式为loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b、c均为正数且a≠1，b≠1。
通过换底公式，可以将计算复杂的对数转化为更简单的计算方式。
4. 解决指数方程与对数方程：指数方程与对数方程在高中数学中经常出现。
用与指数函数、对数函数有关的最值问题
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题型一、求与指数函数、对数函数有关的最值问题
设0≤x≤2,求函数
y
x1
4 2
2x1
5的最大值和最小值,并指出相应x的取值?
解： y 4 x 1 2 2 x 1 5 1 (2 x )2 2 2 x 5 (0 x 2 ),
的取值范围。
2
2
求
函
数
f(x)=(
log 2
x 4
) (
log 2
x 2
)的
最
大
值
和最小值
No
.
3 2 . 已 知 f ( x ) = 2 x , 其 反 函 数 为 f -1( x ) ，I若m关 于axg的 方e程
f -1( a x ) f -1( a x 2 ) = f -1( 1 6 ) 的 解 都 在 （ 0 ，1 ） 内 ， 求 实 数 a
变 题 4：
已 知 函 数 f ( x ) = 9 x - 3 x1+ c ( 其 中 c 是 常 数 ) ，
（ 1 ） 若 当 x 0 ,1时 , 恒 有 f ( x ) < 0 成 立 ，
求 实 数 c的 取 值 范 围 ；
（
2）
若
存
在
x0
0 ,1, 使
f(x )<0成 0
立
，
求 实 数 c的 取 值 范 围 ；
2alog 2
1 x
b ,No
且 x 1 时 ， f ( x ) 有 最 小 值 8 ， Image
2
（ 1） 求 a 和 b 的 值 。
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1 x 26.若 x 9，则f(x)=log 3 log 3 3x ( ) 27 27 32 A有最小值 ，最大值 3 B有最小值 4，最大值12 9 32 C有最小值 ，无最大值 D无最小值，有最大值12 9 27.已知1 x 10，且xy 2 =100，求(lgx)2 +(lgy)2的最大值 和最小值，并求其取最大值和最小值时相应的x和y的值。
注意换元引起了元的 范围的变化，因此换 元后，应立即写出元 的范围。
方法总结：通过“换元法”，转化为二次函数最值问题。
练 习
设2≤x≤8,求函数
x x f ( x)＝log 2 log 2 的最大值和最小值,并求出相应的x轴. 2 4
练 习
(2)
题型二、已知与指数函数、对数函数有关问题的最值,求参数的取值(范围) 函数y=a2x+2ax-1（a＞0且a≠1）在区间[-1，1]上有最大值14，试求a的值．
题型二、已知与指数函数、对数函数有关问题的最值,求参数的取值(范围)
练习
变题 3： 已知函数y=a +2a -1(a>0,a 1)在区间
2x x
1,1 上有最大值14,求a的值。
变题4： 已知函数f(x)=9 x -3 x 1 +c(其中c是常数)， （1）若当x 0,1时,恒有f(x)<0成立， 求实数c的取值范围； （2）若存在x 0 0,1 ,使f(x 0 )<0成立， 求实数c的取值范围； （3）若方程f(x) c 3 x在 0,1 上有唯 一实数解，求实数c的取值范围。
2 2
x x 求函数f(x)=( log 2 ) ( log 2 )的最大值和最小值. 4 2 x -1 32.已知f(x)= 2 , 其反函数为f (x)，若关于x的方程 f -1(ax)f -1(ax 2 )=f -1(16)的解都在（0，）内，求实数 1 a 的取值范围。
若函数y=lg(3-4x+x2)的定义域为M,当x∈M时,求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相 应的x的值．
练 习
已知函数f(x)=2x-4x, (1)求f(x)的值域, (2)解不等式f(x)＞16-9×2x． (3)若关于x的方程f(x)=m在[-1，1]上有解,求m的取值范围．
练 习
已知函数f(x)=2x-4x, (1)求f(x)的值域, (2)解不等式f(x)＞16-9×2x． (3)若关于x的方程f(x)=m在[-1，1]上有解,求m的取值范围．
注意换元引起了元的 范围的变化，因此换 元后，应立即写出元 的范围。
1 2 1 2 y t 2t 5 （t 2） 3， 1 t 4 2 2
∴当t=2，即x=1时，函数取最小值3,
当t=4，即Biblioteka =2时，函数取最大值5 .方法总结：通过“换元法”，转化为二次函数最值问题。
练 习
解：令t=ax ，则a2x=t2 . ∴y=t2+2t-1,其对称轴为t=-1, 1 x -1 当0＜a＜1时,则t=a 是减函数, ∴a ＞a, ∴0＜a＜t＜ , a ∴ y=t2+2t-1=(t+1)2-2 的图象都在对称轴t=-1的右边,开口向上, 并且递增.
当a＞1时,则t=ax是增函数，此时0＜ a ＜t＜a, ∴ y=t2+2t-1的图象还在对称轴t=-1的右边,还是增函数， b=a时有最大值， ymax a2 2 a 1 14. 解得a=3>1,合题意。 1 综上，a= 或a=3 。 3
题型一、求与指数函数、对数函数有关的最值问题
设0≤x≤2,求函数
y4
2
x 1
x
1 2
2
x 1
的最大值和最小值,并指出相应x的取值? 5
解： y 4
x
1 2
1 5 (2 x ) 2 2 2x 5(0 x 2), 2
令t=2x，∵0≤x≤2, 则
∴1≤t≤4,
练 习
已知函数f(x)=2x-4x, (1)求f(x)的值域, (2)解不等式f(x)＞16-9×2x． (3)若关于x的方程f(x)=m在[-1，1]上有解,求m的取值范围．
题型一、求与指数函数、对数函数有关的最值问题
1 已知函数f(x)=2+log3x,定义域为[ ,81]，求函数g(x)=[f(x)]2-f(x2)的最 81 值，并指出g(x)取得最值时相应自变量x的取值．
28.已知函数f(x)=log 3x （ 2 x 1， 9）， 求函数y= f(x) +f(x ) 的最大值
2 2
1 29.设f(x)=2（log 2x） 2alog 2 b, x 1 且x 时，f(x)有最小值 8， 2 （1）求a和b的值。
2
（2）在（1）的条件下，求f(x)>0的 解集A。 （3）设集合B= t 2, t 2 , 且A B=， 求实数t的 取值范围
1 1 3, a ∈0＜a＜1， 合题意； a 3 1
1 1 2 1 ∴t= 时有最大值. ymax ( a ) 2 a 1 14. a
1 1 ( 3)( 5) 0. a a
练 已知函数f（x）=1-2ax-a2x（0＜a＜1） 习 (1)求函数f（x）的值域； (2)若x∈[-2,1]时,函数f(x)的最小值为-7,求a的值和函数f(x)的最大值．
30.根据下列条件，求出x的值： (1)4 4 x 5 2x 6 0;( 2)9x 6x 2 2 x 1 (3)2 4 x 7 2x 3 0 ( 4) log 3 (1 2 3 ) 2x 1
x
31.已知x满足不等式2（log 1 x)2 +7 log 1 x+3 0，
定义域先行。
1 x 81 1 81 解：由 ，解得 x 9, 9 1 x 2 81 81
又y=(2+log3x)2-(2+log3x2 )=(log3x)2+2log3x+2,
1 令t=log3x，∵ x 9, 9
∴-2≤t≤2，
y=t2+2t+2=（t+1）2+1，(-2≤t≤2)， 1 当t=-1时,即log3x=-1,即x＝ 时，ymin=1， 3 当t=2时,即 log3x=2,即x=9时，ymax=10.