计算旋转曲面面积的公式及几种证法
微分几何梅向明黄敬之编第二章课后题答案
第二章曲面论§ 1曲面的概念1.求正螺面7 ={ u cosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.解 u-曲线为 r={u cosv o ,u sin v o ,bv o }= {0,0 , bv °} + u { cosv o , sin v °,0}，为曲线的直母线；v- 曲线为?={u o cosv , U o sinv,bv }为圆柱螺线.2 .证明双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的坐标曲线就是它的直母线。
证 u-曲线为 r={ a (u+v o ) , b (u- v o ) ,2u v o }={ a v °, b v °,0}+ u{a,b,2 v o }表示过点{ a v °, b v °,0} 以{a,b,2 v o }为方向向量的直线；v-曲线为 r = {a ( u o +v ) , b ( u o -v ) ,2 u o v } = {a u °, bu o ,0 } +v{a,-b,2 u o }表示过点(a u o , bu o ,0)以｛a,-b,2 u o ｝为方向向量的直线3. 求球面r=｛acos ；：sin , a cos' sin :, asi n ；：｝上任意点的切平面和法线方程。
解 r 、={—asin 、：cos ；—asin ；sin 「，acos ：} , r .：={—acos ； sin :, acos L cos ,0}即 xcos : cos + ycos : sin + zsin 二-a = 0 x - a cos 、： cos : _ y - a cos ：： sin : _ z - a sin 二 cos 、： cos ： cos 、： sin ' sin 二2 24 .求椭圆柱面 务•岭=1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面a bx 「a cos 、： cos ‘ 任意点的切平面方程为 -a sincos :-a cos 二 sin :y -a cos ；： sin ‘ -asin 二 sin : z - a s in 9 a cos^ = 0法线方程为§2曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面r ={ a (u+v ) , b (u-v ) ,2uv }的第一基本形式 解 r u ={a,b,2v}, g 二{a,-b,2u}, E =打=a 2 b 2 4v 2,F = r u r v = a 2- b 24uv, G = r v 2二 a 2b 24u 2,1 = (a 2b 24v 2)du 22(a 2-b 24uv)dudv (a 2b 24u 2)dv 2。
旋转体曲面面积公式
旋转体曲面面积公式
求旋转曲面的面积方法如下：
1、设平面光滑曲线 C 的方程为：
（不妨设f(x) ≥0）这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面，如图3所示。
则旋转曲面的面积公式为：
2、如果光滑曲线 C 由参数方程：
给出，且 y(t) ≥0，那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积为：
旋转曲面简介
旋转曲面，也称回转曲面，是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。
该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。
曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。
例如：球面是由圆绕着其直径旋转而成；环面是由圆绕着外面的一条直线旋转而成。
定义：如图1所示，在空间，一条曲线Г绕着定直线 l旋转一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面。
曲线Г叫
做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲面的旋转轴，简称为轴。
母线上任意一点绕旋转轴旋转的轨迹是一个圆，称为旋转曲面的纬圆或纬线。
以旋转轴为边界的半平面与旋转曲面的交线称为旋转曲面的经线。
说明：
1、纬圆也可以看作垂直于旋转轴的平面与旋转曲面的交线。
2、旋转曲面可由母线绕旋转轴旋转生成，也可以由纬圆族生成，轴则是纬圆族的连心线。
3、任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。
利用形心坐标计算旋转体的体积和表面积
矩之和，即：
∑ ∑ P xc =
pi xi =
ρi gxi∆si
∑ ∫∫ ∫∫ ∴ x c =
pixi = P
xdp
S
=
dp
S
xρ gds
S
ρ gds
S
这就是重心 x 的坐标公式[1]。
y
C
pi
x P
图 1 重心坐标
同理有：
∑ ∫∫ ∫∫ y c =
pi yi = P
ydp
S
=
dp
S
yρ gds
S
ρ gds
∫ 曲线： m = ρ ( x, y)dl 。其中， ρ ( x, y) 是面密度或线密度。 L
参考文献
[1] 同济大学应用数学系．高等数学（上册）[M] ．北京：高等教育出版社，2005． [2] 邹本腾，漆毅，王奕清．高等数学辅导[M]．北京：机械工业出版社，2003.9．
-6-
再用式（4）分别求得两个侧面积，而后求和。
4. 应用举例
例 1：已知圆盘的半径为 a，圆心到 y 轴的距离为 b (b>a)。求圆盘绕 y 轴旋转一周所得 立体的体积。
y b
a x
y R
x
图 5 例 1 示意图
图 6 例 2 示意图
解：示意图如图 5，圆盘的面积为 π a 2 ，形心绕 y 轴旋转一周的周长为 2π b 。故所 求体积为：V = 2π b ⋅ π a 2 = 2π 2 a 2 b
S
在地球表面附近，我们研究对象的尺寸有限，可以认为各处的重力加速度相等，约分
后，于是有质心的坐标公式：
∑ ∫∫ x c =
m ixi = M
xρ ds
曲面面积的面积公式
曲面面积的面积公式一、旋转曲面的面积公式（以绕x轴旋转为例，人教版高中数学选修内容有涉及相关思想的引导）1. 设曲线y = f(x)在区间[a,b]上光滑（f(x)具有连续导数），将曲线y=f(x)，a≤slant x≤slant b绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积S为：- S = 2π∫_a^by√(1+(y')^2)dx，这里y = f(x)，y'是y = f(x)的导数。
2. 若曲线x = g(y)在区间[c,d]上光滑（g(y)具有连续导数），将曲线x = g(y)，c≤slant y≤slant d绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积S为：- S=2π∫_c^dx√(1+(x')^2)dy，这里x = g(y)，x'是x = g(y)的导数。
二、参数方程表示的曲线旋转所得曲面面积公式（拓展知识）1. 设曲线C的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(t) y = y(t)end{array}right.，α≤slant t≤slantβ，其中x(t),y(t)具有连续导数，且x'^2(t)+y'^2(t)≠0。
- 当曲线C绕x轴旋转一周时，旋转曲面的面积S为：- S = 2π∫_α^βy(t)√(x'^2)(t)+y'^{2(t)}dt。
- 当曲线C绕y轴旋转一周时，旋转曲面的面积S为：- S = 2π∫_α^βx(t)√(x'^2)(t)+y'^{2(t)}dt。
三、一般曲面面积公式（多元微积分内容，大学知识）1. 设曲面z = f(x,y)在xOy平面上的投影区域为D，z = f(x,y)具有连续偏导数z_x 和z_y。
- 则曲面z = f(x,y)的面积A为：- A=∬_D√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。
2. 如果曲面由参数方程<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z = z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D_uv给出，且(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))存在且连续。
平面曲线的弧长与曲率旋转曲面的面积
11
若 r( )在 [ , ] 上连续,且 r( ) 与 r( ) 不同时为零,
则弧长为
s r 2( ) r2( ) d
2022年9月29日10时14分
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12
例1. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解 因为 x(t) a(1 cos t) ,
y(t) a sin t
2
x
2
s 2 1 y2 d x
2
( y cos x )
2 2 0
1 ( cos x )2 d x
(1 cos
x
2 cos 2
x )
2
2 2
2 cos x d x
0
2
2
2
2 sin
x 2
2
0
4
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16
设光滑曲线 C
25
例6. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
解: 当 x [0,l ]时,
y 1 x2 l 0 2 Rl 2 R
y 1 x Rl
K y 1 x Rl
显然
K x0 0;
o
x
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2
设平面曲线 C 由参数方程
x x(t), y y(t), t
给出，如果 x(t), y(t) 在[, ] 连续，且 [ x(t)]2 [ y(t )]2 0, t [ , ] ,
莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释
莱洛三角形绕自己转的面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述:莱洛三角形是一种特殊的几何形状，具有独特的特性和性质。
在本文中，我们将探讨莱洛三角形绕自身旋转的过程，并分析其在旋转过程中形成的面积变化。
通过研究莱洛三角形的面积变化规律，我们可以更深入地理解几何学中的相关概念，并探讨其在实际生活和科学研究中的应用价值。
本文旨在通过对莱洛三角形的面积计算方法进行探讨，为读者展示一种新颖的数学思维方式，并激发对几何学和数学的兴趣。
1.2 文章结构本文将首先介绍莱洛三角形的基本定义和性质，包括其特殊的形状和构造方式。
接着，将详细描述莱洛三角形绕自身旋转的过程，探讨其在空间中的运动规律和变化特点。
最后，将介绍一种有效的方法来计算莱洛三角形绕自身旋转时形成的曲面的面积，以便读者能够更直观地理解和应用这一概念。
通过这些内容的展示，读者将对莱洛三角形绕自身转动的面积有一个清晰的认识，同时也能够更深入地理解其在几何学和工程学领域中的应用和意义。
1.3 目的本文旨在探讨莱洛三角形绕自身转动时所覆盖的面积，并深入研究这一几何问题的计算方法和应用。
通过对莱洛三角形的定义、旋转过程以及面积计算方法的详细介绍，旨在帮助读者更好地理解这一几何概念，并为后续相关研究提供参考。
同时，本文也旨在引起读者对几何形体旋转运动的兴趣，展示数学几何在现实生活中的丰富应用价值。
通过本文的研究，可以进一步探讨莱洛三角形的特性以及其在几何学和工程学中的实际应用，促进相关领域的学术交流和发展。
2.正文2.1 莱洛三角形的定义莱洛三角形，也称为雷洛三角形，是一种特殊的三角形。
它的特点在于，三角形的三个顶点分别位于一个正方形的三条边上，且与正方形的一个角相接。
这种三角形由纽约大学的艺术家阿奇姆•雷洛（Archim Lo）首次提出，并且被广泛应用于数学和艺术领域。
莱洛三角形可以看作是正方形上的一种特殊构造，通过将正方形的三个顶点连接起来形成的三角形。
旋转曲面侧面积公式
旋转曲面侧面积公式
旋转曲面的侧面积公式是通过求解曲线在绕某条轴旋转一周所得到的曲面的侧面积。
具体公式如下：
侧面积S = 2π∫[a,b] f(x)√(1 + f'(x)²) dx
其中，f(x)是曲线的方程，f'(x)表示f(x)的导数。
这个公式可以通过对曲线在x轴上的一小段弧长进行积分求得，并考虑到旋转所得到的曲面的半径为f(x)。
√(1 + f'(x)²)是因为旋转曲面侧面上的每一点都可以看作是曲线在这一点的切线，所以在计算侧面积时需要考虑该点的斜率。
拓展:
除了上述的旋转曲面侧面积公式，还存在其他带有复杂形式的旋转曲面侧面积公式。
例如，当曲线方程为参数方程形式时，可以使用如下公式计算旋转曲面的侧面积：
S = 2π∫[t1, t2] y(t)√(x'(t)² + y'(t)²) dt
其中，x(t)和y(t)是曲线的参数方程。
x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)的导数。
此外，在计算侧面积时，还可以根据具体曲线方程和旋转轴的特性，采用其他数学方法进行求解。
圆的曲面面积求法
圆的曲面面积求法圆的曲面面积是一个基本的几何问题，也是数学中最具有代表性的问题之一。
圆是一个平面图形，通常被视为一个点和一条线的组合。
圆的面积是由其半径和圆周长的函数决定的。
在本文中，我们将讨论圆的曲面面积求法。
Circle Surface Area圆的面积可以通过多种方法计算。
最常用的方法是使用圆的半径计算面积。
如果圆的半径为r，则圆的面积S可以表示为：S = πr²π是一个非常重要的数学常数，通常等于3.14159。
在圆的曲面面积问题中，这个常数是一个关键因素。
我们可以使用这个公式来计算一个圆的面积，不管它的大小和形状如何。
求圆的曲面面积有几种常用的方法，如下所示。
方法一：求表面积当我们说“圆的曲面面积”时，通常指的是圆的一个表面。
我们可以想象一个无限扩大的球，球的表面即为圆的曲面。
在这种情况下，我们可以使用下面的公式来计算圆的表面积：r是圆的半径。
这个公式可以直接计算一个球的表面积，或者计算任意圆形体的表面积时使用。
方法二：计算圆柱体或圆锥体的侧面积在许多实际问题中，我们需要计算圆柱体或圆锥体的侧面积，这些体积通常是由圆的表面形成的。
当一个圆旋转一个轴线时，即可形成一个圆柱体。
如果圆的中心点在轴线上，则形成的圆柱是通过“搓”圆形而成的。
如果圆的中心点不在轴线上，圆锥体就是旋转的形状。
对于圆柱体来说，侧面积是该体积的最大面积。
它的计算公式如下：r是圆柱体的底面半径，h是圆柱体的高度。
r是圆锥底面的半径，s是圆锥母线的长度。
圆锥母线是从底面到顶部的直线，通过圆锥体心的一个点。
方法三：直接计算圆的贴面积贴面积是指圆形物体表面贴上一个平面纸片所需要的纸片面积。
对于一个圆来说，贴面积可以通过计算一个扇形的面积并减去一个三角形的面积来计算。
这个方法可以用于计算任意大小和形状的圆的曲面面积，而不必担心它是否是圆锥体或圆柱体。
我们可以考虑一个半径为r的圆，将其分为n个等份，形成n个相等的扇形。
每个扇形的中心角为360度/n，扇形的圆心角为2π/n。
扇形绕轴旋转一周得到的几何体-概述说明以及解释
扇形绕轴旋转一周得到的几何体-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述概述扇形绕轴旋转一周得到的几何体是一个引人注目且具有独特特征的几何形状，它可以通过将一个扇形沿着某个轴线旋转一周而形成。
这种几何体常常具有对称性和流线型的外观，因此在各种工程和设计领域中都具有广泛的应用。
本文将探讨扇形绕轴旋转一周所产生的几何体的特点和性质。
我们将从几何体的定义开始，介绍它的基本形态和构造方法。
通过分析扇形旋转后的几何体的特征，我们将讨论其对称性、曲线轮廓以及整体形状的变化。
在正文部分，我们将着重讨论扇形绕轴旋转所得到的几何体的三个重要要点。
首先，我们将探讨几何体的体积和表面积与扇形的大小和旋转轴的位置之间的关系。
其次，我们将研究几何体在不同旋转角度下的变形和变化，并探讨其对称性的特点。
最后，我们将讨论几何体的应用领域以及与其他几何形状的关联性。
通过对扇形绕轴旋转一周得到的几何体进行深入研究，我们可以更好地理解其性质和特点，为工程设计和创新提供理论指导和实践参考。
同时，对于几何体变形和对称性的研究也有助于我们对几何学和空间几何形状的认识和理解。
最后，在结论部分，我们将对整篇文章进行总结，并分析扇形绕轴旋转一周得到的几何体的研究意义。
这将有助于引导未来对该几何体的进一步研究和应用。
扇形绕轴旋转一周所得到的几何体具有独特的特点和广泛的应用价值，对于推动几何学和工程设计的发展具有重要的意义。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述扇形绕轴旋转一周得到的几何体的相关内容：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 第一个要点（在这一部分，将介绍扇形绕轴旋转一周的基本概念和相关知识，包括扇形的定义、绕轴旋转的方式以及旋转一周所得到的几何体的特点和性质。
）2.2 第二个要点（在这一部分，将深入探讨扇形绕轴旋转一周得到的几何体的具体例子和实践应用，例如常见的物体如球体、圆柱体和圆锥体等。
第二章第四节曲面面积
第二章曲面论第四节曲面面积1、正则曲面的概念设曲面匚有向量方程r = r(u,v), 其中(u,v) '「是R2中的一个区域。
也就是说，有参数向量方程r = r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，(u,v)，如果，与曲面2上的点有—对1应关系，且r = r(u,v) C C )，r v F 0，(u,vp °，则称》为正则曲面。
2、正则曲面面积的定义设正则曲面匚有参数向量方程表示r = r(u,V)，(u,v)。
我们来定义曲面二的面积用U曲线和v曲线把曲面匚分成小块。
每一小块在曲面的切平面上的投影的面积可以近似地表示为1山u r/ v ||=l|r u r v || u v，这样，和式' |r u r v|p u v就可当作匚的面积的近似值。
加密u曲线和v曲线，通过极限过程，我们就把此极限值定义为曲面匚的面积。
定义18.1设正则曲面匚有参数向量方程表示r = r(u,v)，(u,v),我们称CP ||「u r v ||dudvA ，为曲面匚的面积，并且记d「亿r v ||dudv，称d 为曲面的面积元素，简称面元。
特别地，平面图形的面积：设D是xy平面上的区域，参数方程r = r(x,y)= (x,y,O),其中(x, y) D.这时G = (1,0,0) , I■厂(0,1,0),从而r x r y=(0,0,1),d = || r x r y ||dxdy = dxdy则7(Dp dxdy。
D这正是我们在过去给出的平面图形面积的定义•这说明，一般曲面面积的定义与过去已经给出的平面图形面积的定义没有冲突。
3、曲面面积的几种计算公式(1)设正则曲面:有参数向量方r = r(u,v) = (x(u,v), y(u,v),z(u,v))(u,v)=：(y,z)「- (z,x) .:(x,y )k' (u,v) ' (u,v)：(u,v) ，于是3)2 (3)2 (a )2「2dudv ； A 巩u,v)c(u,v) c (u,v) ‘(2)设正则曲面匚有参数向量方 程r= r(u,v)= (x(u,v), y(u,v), z(u, v))，(u,v)，由于IIG 口||2= |亿『||r v 『sin 2(r u ，r v )/x^z )(7□(x, 点y 冷e v£vij k点X£y cz已u cu cu□X ex L 、 ex&v cvL 、「由于'u守呻（■：z )2,F =「U「V=(X,,z ):u u :ux x -y r u :v-u2 2 2 2 2训「u || ||「v || - ||r u || ||「v || cos (u)M|r u ||2||r v ||2-(r u ,r v )2,G =||r v ||2=(百2(占°v c v从而，有||「u r v ||= \/EG 「F 2,于是「C )二 \ EG - F 2dudv 2 E =||「u :y : z ： Zv u ; v△(3 )当曲面，是由显式z= f(x, y),(x, y) D 表达时，r = (x, y,f(x,y)),(x,y) D，= (1,0, fx(x, y)),「XE=||「x 『=1 ( f )2x「ry于是ff D1+(^)2 + (^)2dxdy x y设曲面 的方程为r y 二(0,1, f y (x, y)),2 2G=||r y 『"(一)2cy，||「x HEG-F 2z 二f (x, y), (x, y) D ，其中D 为有界闭区域, f(x,y)在D 上有连续的偏导数，法向量-yn ={-f x (x,y),-f y (x,y),1},则-的面积表示为7p || n |0xdyD(1)l|n||__________ 1 _________ .1 [f x (x,y)]2 [f x (x, y)]2所以公式(1)也表示为/、 1 . 7n )d D |cos | (2)例1求圆锥面x 2 y 2被圆柱面 x 2 y 2二x 截下的部分的面积S 如图(2).f(x,y) = x 2 y 2图⑴注意到f x (x, y)xx 2 y 2，f y (x ，y 「x 2yy 2Z图⑵例2求球面x2y2• z2二R2的面积S.解球面的参数方程为r ={Rsi n cos 3 Rs in sin 亠Rcos }.r ={Rcos cosv,Rcos sin 比-Rsin },n - { -Rsin sin 亠Rsin cos ：,。
旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积教学目的与要求：1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.2. 理解并掌握微元法的思想及应用.教学重点，难点：1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.2. 微元法的思想及应用.教学内容：定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。
但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。
本节和下一节将采用此法来处理。
一 微元法为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。
设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。
由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b,这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。
（ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即1()n i i i S f x ξ=≈∆∑ ).(1--=∆i i i x x x（iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。
可以想象，当分点无限增多，且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.S=01()().lim n bi i a T i f x f x dx ξ→=∆=∑⎰ 引入问题：这个过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？ 我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二步。
绕y旋转曲面的面积公式
绕y旋转曲面的面积公式
绕y旋转曲面是一种常见的几何曲面，它是由一个曲线（一般为抛物线、圆弧或者椭圆）绕着y轴旋转得到的曲面。
它是一种被广泛应用于工程设计中的几何曲面，比如可以用来制作喷嘴、叶轮、鼓风机、冷却器等。
绕y旋转曲面的面积计算有两种方法，一种是旋转体积公式，另一种是极限区域公式。
旋转体积公式是指将一个曲线绕着y轴旋转后，求得的曲面的面积公式。
极限区域公式是指将一维曲线的极限区域求和，求得曲面面积的公式。
旋转体积公式可以用以下公式来表示：面积=π∫ (y2 - y1)f (y) dy 。
其中，y1和y2是绕y旋转曲面的曲线的两个端点，f (y)是曲线的函数表达式，π是圆周率。
极限区域公式可以用以下公式来表示：面积=2π∫ (y2 - y1) dy。
其中，y1和y2是绕y旋转曲面的曲线的两个端点，π是圆周率。
绕y旋转曲面的面积计算公式是几何学中非常重要的一部分，它被广泛用于工程设计中，为工程师提供了一种计算曲面面积的有效方法。
两种计算曲面面积的公式都可以很容易地得出正确的结果，但是旋转体积公式更加简单明了，而且容易理解，因此更受欢迎。
绕y旋转曲面的面积公式不仅被用于工程设计，而且也是几何学中非常重要的一部分，它可以极大地提高我们对几何学的理解。
只要掌握了绕y旋转曲面的面积公式，我们就可以计算出曲面的面积，从而更好地理解几何学中的基本概念。
旋转曲面的面积公式推导
旋转曲面的面积公式推导
推导旋转曲面的面积公式，需要先了解以下概念：
1. 旋转曲面：将平面上的一条曲线绕着某个轴旋转一周所形成的曲面。
2. 微元法：将曲面分为无数个微小的扇形，计算每个扇形的面积，再将所有扇形面积相加得到整个曲面的面积。
3. 弧长：曲线上两点之间的弧长表示曲线上这两点之间的距离，可用微元法表示为：
在了解以上概念后，就可以开始推导旋转曲面的面积公式了。
假设旋转曲面是由曲线y=f(x)在x轴上旋转一周所得到的，旋转曲面的微元面积dS可以表示为：
dS = 2πy*ds
其中，2πy表示曲线在旋转时所经过的弧度，ds表示曲线上微小的弧长。
由微元法可知，旋转曲面的面积公式为：
S = ∫ 2πy*ds
其中，积分区间为曲线上的所有点。
又由于弧长公式为：
ds = sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将ds带入面积公式，有：
S = ∫ 2πy*sqrt(1+(dy/dx)^2)dx
将y=f(x)带入公式中，可得：
S = ∫ 2πf(x)*sqrt(1+(f'(x))^2)dx
这就是旋转曲面的面积公式。
用定积分法求面积 (改)
学年论文题目：用定积分法求面积学院：数学与信息科学学院专业：信息与计算科学学生：王生文学号：7指导教师：郭晓斌用定积分法求面积摘要：定积分是数学当中十分重要的一种方法，其中求图形的面积正是它的运用之一，它的思想一般就是切割求和，本文就介绍了几种运用定积分来求面积的方法。
其中，列举了普通的例题以及一些重要的问题解决方法。
关键字：定积分微元法分割With the definite integral method for areaAbstract: the definite integral in the math is very important for a method, which is the area of its graphics, one of the ideas of use, this paper cutting summation is commonly used describes some of the definite integral to beg area method. Among them, lists the ordinary examples, and some important problem solving methods.K eyword：Definite integral Micro element method segmentation1.求平面区域的面积在求平面区域的面积当中，由于围成平面区域的曲线可用不同的形式表示，一般情况下，曲线的形式分为三种情况，每种情况下的求区域面积的方法各有所不同，因而分下面三种情况进行讨论。
1.1 直角坐标系由连续曲线y=f(x) （x≥0），以及直线x=a，x=b（a＜b）和x轴所围成的曲边梯形的面积为： ⎰=badx x f A )(=⎰baydx .如果f(x)在[a, b]上不都是非负的，则所围图形的面积为：⎰=badx x f A )(=⎰badx y .一般地，由上下两条连续曲线y=f 2(x )与y=f 1(x )以及两条直线x=a 与x=b (a ＜b)所围成的平面图形（图 1），它的面积计算公式为：A=[]⎰-b adx x f x f)()(12（1）例题1 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。
几种常见的曲面及其方程
x2 y2 + =z 2 p 2q 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 x2 y2 x2 y2 + 2 + 2 =1 = 1 2 2 a b a b 2 2 x y 椭圆锥面: + 2 = z2 a2 b
( p, q同 ) 号
三,曲线 1,空间曲线的一般方程
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
�
z
2
x y z + 2 2 =1 ( a, b, c 为 数) 正 2 a b c 平 z = z1 上 截 为椭圆. 面 的 痕
平面 y = y1上的截痕情况:
2
2
x
y
1) y1 < b 时, 截痕为双曲线:
a c y = y1
2 y1 x z 2 =1 2 2 2 2
b
(实轴平行于x 轴; 虚轴平行于z 轴)
z
C : f ( y, z) = 0
o x
y
f ( y, ± x + z ) = 0
2 2
例3. 试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程. 解: 在yoz面上直线L 的方程为 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
z
L
α
M(0, y, z)
y
两边平方
x
2
z =a (x + y )
2 2 2
l
z
x y = 0 经过z 轴的平面 平面. 平面
o
以上的柱面母线 都平行于Z轴
o
y
y
x
x
一般地,在三维空间
z
y
方 F(x, y) = 0 表 柱面, 程 示 母线 平行于 z 轴;
微分几何(第三版)【梅向明_黄敬之_编】第三章课后题答案[1]
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§4.直纹面和可展曲面1. 证明曲面r =}32,2,31{2432v u u uv u v u 是可展曲面.证法一： 已知曲面方程可改写为r =},2,{432u u u +v }32,,31{2u u ，令()a u r =},2,{432u u u ，()b u r =}32,,31{2u u ，则r =()a u r + v ()b u r ，且()b u r 0，这是直纹面的方程 ，它满足(',,')a b b r r r =23226412334013u u u u u u =0 ,所以所给曲面为可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）2。
证明曲面r={cosv-(u+v)sinv, sinv+(u+v)cosv,u+2v}是可展曲面。
证法一： 曲面的方程可改写为 r =()a v r + u ()b v r ，其中()a v r ={cosv-vsinv, sinv+vcosv, 2v}，()b v r ={-sinv, cosv,1} ，易见()b v r0，所以曲面为直纹面，又因为(',,')a b b r rr =2sin cos 2cos sin 2sin cos 1cos sin 0v v v v v v v v vv=0，所以所给曲面为可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
（略）3．证明正螺面r={vcosu,vsinu,au+b}(a0)不是可展曲面。
证法一：原曲面的方程可改写为r =()a u r+ v ()b u r ，其中()a u r={0,0,au+b},()b u r ={cosu,sinu,0}.易见()b u r0, 所以曲面为直纹面,又因为(',,')a b b r r r=00cos sin 0sin cos 0au u u u =a 0.故正螺面不是可展曲面。
证法二：证明曲面的高斯曲率为零。
几种常见的曲面及其方程(精)
母线 平行于 z 轴; 准线 xoy 面上的曲线 l1.
方程 G( y, z) 0 表示柱面,
母线 平行于 x 轴;
准线 yoz 面上的曲线 l2.
方程 H (z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xoz 面上的曲线 l3. 0表示母线平行 z 轴的柱面.
又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
2. 二次曲面
三元二次方程
• 椭球面
• 抛物面:
( p, q 同号)
椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q
双曲抛物面
• 双曲面: 单叶双曲面
双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
1
• 椭圆锥面:
(二次项系数不全为 0 ) 的图形通常为二次曲面. 其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍 . 研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
1. 椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a,b, c为正数)
(1)范围：
ay
ay
x
x2 z2 a2 (x 0, z 0) y0
作业
P32 3， 4，5，6， 7， 8， 9，10，11，12
y z l2
x z l3
x
y y
3、旋转曲面
一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
四旋转体的侧面积补充
它的面积为
因此椭球体体积为
特别当 a = b = c 时就是球体体积 .
的体积.
例18. 求曲线
与 x 轴围成的封闭图形
绕直线 y＝3 旋转得的旋转体体积.
(94 考研)
解: 利用对称性 ,
故旋转体体积为
在第一象限
四、旋转体的侧面积 (补充)
设平面光滑曲线
积分后得旋转体的侧面积
求它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
尖点:
面积:
弧长:
参数的几何意义
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
解: 利用对称性 ,
所求面积
例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 ,
则所求面积为
思考: 用定积分表示该双纽线与圆
所围公共部分的面积 .
答案:
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
有
例13. 计算由椭圆
所围图形绕 x 轴
旋转而转而成的椭球体的体积.
解: 方法1 利用直角坐标方程
则
(利用对称性)
方法2 利用椭圆参数方程
则
特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积
例14. 计算摆线
的一拱与
y＝0所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
解: 利用对称性 ,
所围图形的面积 .
有
利用椭圆的参数方程
应用定积分换元法得
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
按顺时针方向规定起点和终点的参数值
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加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
提出用曲线积分解决投影为曲线的一类曲面积分的方法,证明了方法的可行性.并通过实例表明该方法在解决问题时所带来的方便.
7.会议论文 于兴江.孟晗 区间值函数与Fuzzy值函数的曲线积分和曲面积分 1998
该文在文［１］的基础上，定义了区间值函数与Ｆｕｚｚｙ值函数在平面或空间的可度量的几何体上的积分，从而给出了区间值函数与 Ｆｕｚｚｙ值函数的曲线积分和曲面积分，讨论了它们的性质和计算方法。
２．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式 证：任意插入分点ａ＝‰＜‘＜…＜Ｘｎ＝ｂ，
分［ａ＇ｂ】为ｎ个小区间Ａ ｆ＝工，一‘一１（＝１，２…，
线￡的距离，ｄ（工）＝盥等。 ｎ），设ｄ（工）为Ｃ：），＝ｆ（ｘ）上点（工，，（工））到直
鲋面；积ｚ尢【ｄ（工Ｈ）＋毗）厄萌而
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２．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 在【ａ＇ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的小
学术论坛
Ｉｎｎｏｖａ试百ｉ赢 Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
２００９ ＮＯ？ｃ
利用曲线积分计算旋转曲面面积的公式及几种证法
李淑俊 田红晓 刘兴薇 （内蒙古科技大学数理与生物工程学院 包头０１ ４０１ ０）
摘要：介绍了利用由线积分计算旋转曲面面积的公式及其几种证法。
关键词：曲线积分 曲面积分 旋转曲面 曲面面积
Ａ＝烛乏ＡＡ；
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Ａ２麟｛缸ｔ｝ ：’，（工）在【ａ，ｂｌ－－ｆ，．燧续，ｖ占＞０，弓Ｊ＞０，
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Ｉ，（葺一。）一，（毒）Ｉ＜占，
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Ａ＝ｌ…ｉｒａ百了－＂Ａ Ａｉ
＝慨∑砸，∽）＋，（¨】√ｌ＋，“（磊）△墨
中图分类号：０１ ５１
文献标识码：Ａ
文章编号：１６７４—０９８Ｘ（２００９）１２（ｂ）一０２４９一０１
１平面曲线绕坐标轴旋转一周所得旋转曲 面面积的计算公式
定理：设ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（口ｓｘ≤ｂ）是平面上一 条光滑的曲线，绕ｘ周旋转一周得一旋转曲 面，则此旋转曲面面积Ａ＝２ｎＩ ｆ（ｘ）ｄｓ其中
ｄｓ＝再７丽ｄｘ
截锥面积近似于此小旋转曲面的面积．
设坂工）：—ｌａ、ｘｌ／＋彳—。ａｆ＋Ｂ—。（ｘ一）＋ｃ１。得面积元素
鲥捌州一等警山
嘲彳＝ｅｐ＝掣知￡历公ｄ譬工如 上√爿２＋Ｂ２’。…“
参考文献 【ｌ】同济大学应用数学系．高等数学【Ｍ】．北
京：高等教育出版社，２００２（５）． 【２】张春跃．利用球面坐标及柱面坐标计算
曲面面积［Ｊ】．大学数学，１６７２～１４５４ （２００３）０４～００９８～０３．
万方数据
科技创新导报Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｉｎｎｏｖａｔｉｏｎ Ｈｅｒａｌｄ
２４９
利用曲线积分计算旋转曲面面积的公式及几种证法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
李淑俊， 田红晓， 刘兴薇 内蒙古科技大学数理与生物工程学院,包头,014010
本文提供了一种将第一型曲面积分转化为第一型曲线积分计算的方法,并且讨论了第一型曲线积分和定积分的换序情形.
10.期刊论文 吴世玕.杜红霞.WU Shi-gan.DU Hong-xia 曲线积分与曲面积分中值定理 -赣南师范学院学报
2006,27(6)
给出了第一类曲线积分和第一类曲面积分中值定理,利用两类曲线积分的联系得出第二类曲线、曲面积分的中值定理.
１．１用曲线积分证明计算旋转曲面面积公式 证：任意插入分点ａ＝Ｘｏ＜Ｘｌ＜…＜Ｊ。＝ｂ，
分【ａ，ｂ】为ｎ个小区间Ａ置＝ｘｔ一工“（ｉ＝１， ２…，ｎ）及ｎ个小窄旋转曲面，
＝研，（‘）＋，（¨听而△Ｘｉ， △Ａｉ＊丽，（‘）＋厂（而－１）】、／（缸；）２＋（缈，）２
Ｖ磊∈Ｉｘｐｌ，工ｆ】，（ｉ＝ｌ，２…，ｎ）。
转曲面的面积Ａ＝ｆｄＡ＝２ｘ；ｆ（ｘ）ｄｓ
１．３用曲面积分求面积的方法证明计算旋 转曲面面积公式
证：设曲线Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）绕ｘ周旋 转一周得旋转曲面方程为
∑：ｍ）＝：√万了
小一妒＝４孵Ⅲｙ 令∑。：ｚ＝护丽了，工＞０，Ｙ＞０
＝４∽√巧丽ｘｒ丽ｄＹ
＝２兀ｆｆ（ｘ）４１＋厂’２＠）ｄｘ＝２兀ｆｆ（ｘ）ｄｓ
1.期刊论文 殷月竹.杨忠连.Yin Yuezhu.Yang Zhonglian 巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分 -科技
信息2008,""(30)
本文探讨了对称性在第二类曲线积分和第二类曲面积分中的应用,给出了一些有用的结论,并举例说明.利用对称性,使许多用"正规"的方法处理十分 麻烦的第二类曲线积分和第二类曲面积分都能简单解决,事半功倍.
本文链接：/Periodical_kjzxdb200935212.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：ec7cfc8c-db08-4fba-8d97-9dce0110eeb2
下载时间：2010年8月10日
就曲线积分与曲面积分的多解问题作一探究.尽可能多地找出它的解决途径和方法,不仅能拓宽思路,也可总结规律、积累经验,并找到解决问题的最 佳途径和方法.
5.期刊论文 程希旺.CHENG Xi-wang 对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 -遵义师范学院学报2007,9(5)
引进了函数关于点、直线与平面的奇偶性的概念,对文[1]-[4]中所给出的关于利用积分孤段与积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性计算曲线积分 与曲面积分的结果作了进一步推广,得到了一些更为一般性的结果.
证毕。
２平面曲线绕平面上任一直线旋转一周所 得旋转曲面面积的计算公式
定理设Ｃ：ｙ＝ｆ（ｘ）（ａ≤ｘ≤ｂ）是平面上一 条光滑的曲线．绕直线三：Ａｘ＋研＋Ｃ＝Ｏ。 （Ａ，Ｂ，ｃ常数）旋转一周得一旋转曲面，则此 旋转曲面面积
Ａ＝２兀￡了ｌａｘ＋露缈Ｆ＋ｃｌ ｄｓ
＝２兀占ｅ ｌＡ√＝４＋：Ｓ＋Ｙ口＋：Ｃ１．…，ｄ工
科技创新导报 SCIENCE AND TECHNOLOGY INNOVATION HERALD 2009，""(35) 0次
参考文献(2条)
1.同济大学应用数学系 高等数学[期刊论文]-北京:高等教育出版社 2002 2.张春跃 利用球面坐标及柱面坐标计算曲面面积[期刊论文]-大学数学
相似文献(10条)