1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
诱导公式ppt课件
课堂巩固
D 1.已知 cos
3 5
，0
2
，则 cos
2
的值为(
)
A. 4
B. 3
3 C.
4 D.
5
5
5
5
解析：因为 cos 3 ， 0 ，所以sin 4 ，
5
2
5
则 cos
2
sin
4 5
.故选：D.
2.若 为第二象限角,且 tan π 1 ,则
2
1 cos 1 sin( π
x2, tan(π )
y2 x2
.
从而得到公式二
sin(π ) sin
cos(π ) cos
tan(π ) tan
Hale Waihona Puke (2)如果作P关于x轴(或y轴)的对称点P3(或P4)，那么又可以得到什么
结论?
如图，作 P1 关于 x 轴的对称点 P3 ，则以OP3 为终边 的角为 ，并且有
公式三
)
解：
tan( 180) tan[(180 )] tan(180 ) tan ，
cos(180 ) cos[(180 )] cos(180 ) cos ，
所以原式
cos sin ( tan )(cos )
cos
.
作 P1 关于直线
y=x
的对称点
P5，以
OP5 为终边的角
与角 π 2
根据三角形的定义，得
x5 y1 ， y5 x1
从而得
sin
π 2
y5
，
cos
π 2
x5
公式五
sin
π 2
cos
cos
π 2
必修4-1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式
虹屏居
15
欢迎指导 谢谢合作
虹屏居
16
6
(3) cos(3 ) ；(4) sin( 100 ) ．
23
3
虹屏居
13
新知小结
本课所学的知识点有哪些？ 正弦函数、余弦函数的诱导公式．
本课有哪些数学思想？ 数形结合思想、类比思想．
你有何收获？
虹屏居
14
新知强化
1、P24习题1-4，A组6、7、8，B组1、3、4 2、高中同步测控优化设计“训练与测评”P4, 3、预习：P25 5.1正弦函数的图像
3
3
32
(3) cos( 31 ) cos(6 5 ) cos 5 cos 3 .
6
6
6
62
虹屏居
10
新知探究
补例 1 在单位圆中，角的终边与单位圆交于点P
（-12,5），写出点P关于x轴、y轴和原点对称的 点的坐标，并分别求角-α，-α， + α ， 2 - α的 正弦函数值、余弦函数值．
2
2
解 (1) { | 2k 3 ，k Z}{ | 2k 5 ，k Z}
4
4
(2) { | 7 2k 2k ，k Z}
y6
6y
3π 4
x
O 5π
7π
π
6
6
x O
4
虹屏居
12
新知检测
求下列三角函数值：
(1) cos945 ； (2) sin 35 ；
3．情感、态度与价值观
通过本节学习，能注意到数学中的对称美和事物之间的相 互关系．
虹屏居
2
重点难点
必修4正弦函数与余弦函数的诱导公式(说课课件PPT)
二、教学目标分析
1.借助单位圆推导诱导公式，特别是学习单位圆的对称性与 任意角终边的对称性中，发现问题（任意角 的三角函数 值与 ， 等的三角函数值之间有内在的联系），提出 研究方法（利用三角函数定义结合单位圆的对称性得出结论）
2.能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单
sin
4
9 4
4
3 4
5 4
cos
tan
课堂练习
cos( ) sin( 360) 180 2、化简 sin( 180) cos(180 )
课后作业
必做：Ｐ20 习题1、2、3
1 选做：思考题：已知 cos( 75 ) ， 3
《诱导公式（一）》
一、背景分析
二、教学目标分析
三、课堂流程设计
四、教学过程设计 五、教学评价设计
一、背 景 分 析
1.学习内容分析 2.学生情况分析
教学地位：《诱导公式》是人教版必修4第一章第3节的内容。 在此之前，学生已经学习了三角函数的定义和同角三角函数 关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。在此基础上， 学生继续学习这三组公式，体会知识由未知到已知的转化过 程，为以后的三角函数的求值、化简、证明打好基础。 本节共分两课时，第一课时为公式（二～四）；第二课时为 公式（五、六）。 数学思想方法: 数形结合、转化与化归等数学思想方法,培 养学生的类比推理与逻辑论证能力。 教学重点：诱导公式的探究发现与证明，体会把未知 问题化归为已知问题的思想方法。
欢迎大家提出宝贵意见！ 谢谢
江西省抚州市临川十中 陈志平
值的关系，体现转化思想。
4 问题2、 与 的终边有什么关系？它们的三角 3 3
高中数学《诱导公式》课件
sin
α＝y，cos
α＝x，当x≠0时，tan
α＝
y x
.
(1)如图5.2-8(1)，作点P(x，y)关于x轴的对称点P1(x，－y)，则∠xOP1=－α.
由三角函数的定义可得
sin(－α)＝－y＝－sin α，
cos(－α)＝x＝cos α，
当x≠0时，tan(－α)＝
y x
y x
tan.
(1) 图5.2-8
2 诱导公式．
诱导公式揭示了终边具 有某种对称关系的两个角三 角函数之间的关系.
一 诱导公式
例
12
化简：
(1)
sin
3
2
；
(2)
cos
3
2
.
解
(1)
sin
3
2
sin
2
sin
2
cos
；
(2)
cos
3
2
cos
2
cos
2
sin
.
一 诱导公式
例
13
化简：cos cos
探究α与π －α之间的函数 关系，我们还可以从这两个角 的终边关于y轴对称来推导，试 试看.
一 诱导公式
为了使用方便，我们将上述探究得到的公式总结如下：
公式二 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α.
公式三 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α.
利用公式五，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化.
一 诱导公式
当角α的终边不在坐标轴上时，还可以得出以下公式：
公式六
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
= -2sin30°= -2× 答案：-1
2
= -1.
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
3 )=sin = ; 2 3 3
3
对于②，cos(2nπ+
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 1 【解析】f( )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 =cos π=cos(π)= - cos = - 3 . 6 6 6 2
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
【素材】单位圆的对称性与诱导公式
单位圆的对称性与诱导公式教学设计一、教材分析:“单位圆的对称性与诱导公式”是北师大版必修4第一章第四节，其主要内容是三角函数的诱导公式推导和应用.它是圆的对称性的“代数表示”.利用对称性，探究角的终边分别关于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系，体现“数形结合”的数学思想；诱导公式的主要用途是把任意角的三角函数值问题转化为求锐角的三角函数值，体现“转化”的数学思想.诱导公式学习还反映了从特殊到一般的归纳思维形式，对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力具有积极的作用.本节教学内容为公式2,3,4.二、学情分析:本节课的授课对象是本校高一文科实验班同学，本班学生水平处于中等偏下，但学生具有善于动手的良好学习习惯，并且学生已经掌握了正、余弦函数的定义以及它们的周期，所以采用发现式和启发式的教学方法，学生可以探究出诱导公式.三、教学目标:1.知识与技能借助单位圆，推导出诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，掌握有关三角函数求值问题.2.过程与方法经历诱导公式的探索过程，体验未知到已知、特殊到一般的转化过程，培养化归思想.3.情感、态度与价值观通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度.在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神.四、教学重点和难点1.教学重点理解并掌握诱导公式.2.教学难点探究角α与角-α终边位置的几何关系,发现由终边位置关系导出(与单位圆交点)的坐标关系,运用任意角三角函数的定义导出诱导公式的“研究路线图,正确运用诱导公式,求三角函数值,化简三角函数式.五、教学过程设计教学环节教师活动预设学生行为设计意图一：课题引入问题1：在单位圆中，任意角α的正弦、余弦函数是怎样定义的？问题2：用已学的知识能不能求下列三角函数值：（1）sin3π，（2）sin(-3π)，（3）sin43π（4）sin23π.1.给学生2分钟左右的时间独立思考，教师请1小组代表回答问题12.抓住学求-3π，43π，23π的三角函数值时产生思维上认识的冲突，引出课题《单位圆的对称性与诱导公式》.1.学生口述三角函数的单位圆定义：sin=y,cos=x.2.学生独立思考，小组内部交流，可能会尝试用定义解答.3.根据教师的引导产生探索新知识的欲望.1.三角函数的定义是学习诱导公式的基础.2.设置问题情境，产生知识冲突，引发思考，既调动学生学习积极性，激发探究欲望，又顺利导入新课.三：自主合作探究公式2 、公式3 1.引导学生回顾刚才探索公式2的过程，明确研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系.为学生指明探索公式3、公式4的方向.2.探究：（1）角π+a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）角π-a和角a的终边有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？3.组织学生分组探索角π+a和角a、角π-a和角a的三角函数之间的关系.先让学生先独立思考，然后小组交流.在学生交流时教师巡视，让两个小组拿探究成果展台展示.同时派出优秀学生到其他小组提供帮助.4、汇总成果，并求解sin43π和sin23π值5、归纳出公式的口诀：函数名不变，符号看象限.1.体会研究诱导公式的线路图.画出图形，先独立思考尝试自主解答，一定时间后在组长的带领下展开组内讨论.2. 2至3名中等学生到黑板上展示，其他学生分组讨论.3.观察教师的动画演示，验证讨论的结论.得到公式3：sin（π＋）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα公式4：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，4.学生先自由发言，尝试归纳公式的特征.然后在教师的引导下小组交流讨论形成对公式的正确认识.归纳出公式的特征：的三角函数值，等于 a 的同名函数值，前面加上一个把a看成锐角时原函数值的符合，得到公式1.8～1.12在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.四 ： 公 式 运 用 1、随堂练习：教材20P 第一题 集体核对答案 2、教材20P 的例题：利用公式求下列各三角函数值： (1) 7sin()4π- ; (2)2cos 3π（3）cos （-316π）. （1）让3小组展示解题过程，组织全班学生观察纠错. （2）.引导学生归纳用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤. 3、反馈练习： 学生独立完成，组内核对解题方法和步骤，选2组的学习成果展台展示 1.学生独立完成练习.2.观察小组代表投影出的解答过程，提出自己的看法.3.通过例题和反馈练习这的解答体会、叙述用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的一般步骤：任意负角的三角函数→任意正角的三角函数→0~ 的三角函数→锐角的三角函数.1.巩固所学公式.调整课本例题所求三角函数值，让知识显得更全面.2.观察、欣赏黑板上的解答，形成规范格式，培养敢于质疑的品质.体会化归思想. 学生学习活动评价设计(1)今天所学内容是什么，新的知识我掌握了吗?自己的课前理解与教师讲解后的差别在哪儿?(2)例题涉及哪些数学思维方法、数学思想方法,这些思想方法是怎样应用的,应用的过程有什么特点,这样的方法是否在其它地方应用过.(3)课上不懂的地方,如何弄清楚?另外,还可对学习态度、情绪、意志自我评价. 这样,就给学生在课后理清自己的思想、评价自己的学习情况、自我评价自己的学习过程创造了条件,从而能够逐步培养学生的自我评价习惯.教学反思1、在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”， 由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦.2、预期效果：本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握诱导公式，并能熟练应用诱导公式了解一些简单的化简问题.3、欠缺之处:备课不仅要备教材还要备足学生.由于对学生的学习习惯和知识水平预判不够，导致在课堂上学生“引而不发”等现象.赣县中学——刘小兰 11.cos(3),4cos παα-=-已知求的值.2.cos(3)sin()sin()cos(3)πααπαππα+⋅+--⋅-化简：。
诱导公式ppt课件
利用诱导公式进行化简、求值
例 1 计算： (1)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)；
1＋cos100°sin170° (2)cos370°＋ 1－sin2170°. • [分析] 利用诱导公式，先化简再求值．
[解析] (1)原式＝sin260°－cos0°＋tan45°－cos230°＋sin30°＝34－1＋
sin
π 3
3； 2
（3）
sin
16π 3
sin 16π 3
sin
5π
π 3
sin
π 3
3； 2
（4） tan(2040) tan 2040 tan((180 60) tan 60 3 .
利用公式一~公式四，可以把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
cos
.
• 诱导公式五
思考 1：(1)角π2－α 与角 α 的终边有什么样的位置关系？ (2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是什么？ 提示：(1)如图，角π2－α 与角 α 的终边关于 y＝x 对称．
(2)点 P1(a，b)关于 y＝x 对称的对称点坐标是 P2(b，a)．
• 诱导公式六
• 口诀是：“负化正，大化小，化到锐角再查表”．
【对点练习】❶
sin－α－32π·sin32π－α·tan22π－α cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2π－α .
[解析] 原式
＝sinc－osα＋ 2π－π2α·[·－cossinπ2＋π2＋αα·c]o·sta2nπ2－2πα－ α
＝csoinsαα··－－scionsαα··ctoasn22αα＝tsainn22αα＝co1s2α.
《诱导公式》PPT教学课件(第2课时诱导公式五、六)
＝－sinπ2＋α＝－cos α.]
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11
合作探究 提素养
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12
利用诱导公式化简求值
【例 1】 (1)已知 cos 31°＝m，则 sin 239°tan 149°的值是( )
A.1－mm2
B. 1－m2
C．－1－mm2
D．－ 1－m2
(2)已知 sinπ3－α＝12，则 cosπ6＋α的值为________．
30
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即sin α＋cos α＞0，sin α－cos α＞0， ∴sin α＋cos α＝1173，③ sin α－cos α＝173，④ (③＋④)÷2得sin α＝1123，(③－④)÷2得cos α＝153.
31
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32
1．公式五反映了终边关于直线 y＝x 对称的角的正、余弦函数值之间 的关系，其中角π2－α 的正弦(余弦)函数值，等于角 α 的余弦(正弦)函数值．
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3
自主预习 探新知
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4
1．公式五 (1)角π2－α 与角 α 的终边关于 直线 y＝x 对称，如图所示． (2)公式：sinπ2－α＝ cos α ， cosπ2－α＝ sin α .
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2．公式六 (1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝π－π2－α . (2)公式：sinπ2＋α＝ cos α ， cosπ2＋α＝ －sin α . 思考：如何由公式四及公式五推导公式六？
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16
2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin76π＋α的值． [解] 因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角， 又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角， 所以cosπ3－α＝－ 23， 所以sin76π＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝ 23.
高中数学第一章三角函数1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4单位圆的对称性与诱导
2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学案北师大版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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4。
3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式（一）学习目标 1.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质,并能初步运用性质解决相关问题（重点）。
2.了解正弦函数、余弦函数的诱导公式的意义和作用。
3.理解诱导公式的推导过程(重点）.4.能运用有关诱导公式解决一些正弦函数、余弦函数的求值、化简和证明问题(难点）．知识点1 单位圆与正弦函数、余弦函数的性质正弦函数y＝sin x 余弦函数y＝cos x定义域R值域[－1,1］周期2π在［0,2π]上的单调性在错误!，错误!上是增加的；在错误!上是减少的在［π,2π］上是增加的；在[0,π］上是减少的（正确的打“√”，错误的打“×”)（1)正弦函数y＝sin x与余弦函数y＝cos x的定义域都是R。
（√）(2）函数y＝sin x在［0，π］上是单调减函数．(×)（3）函数y＝cos x在［0，π］上的值域是[0，1］．(×)（4)函数y＝sin x的最大值为1，最小值为－1.(√）知识点2 2kπ±α，－α，π±α（k∈Z)的诱导公式对任意角α，有下列关系式成立：sin（2kπ＋α)＝sin α,cos(2kπ＋α）＝cos α.（1。
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 1.4.4 单位圆的对
4．3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式知识点一 正弦线与利用单位圆看y ＝sin x 性质[填一填]1．根据单位圆理解正弦函数y ＝sin x 的性质 (1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]； (3)它是周期函数，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性：在[0，π2]上是增加的；在[π2，π]上是减少的；在[π，3π2]上是减少的；在[3π2，2π]上是增加的．2．正弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M .线段MP 叫作角α的正弦线．当角α的终边在x 轴上时，M 与P 重合，此时正弦线变成一个点．[答一答]1．正弦线的长度等于y ＝sin x 的函数值吗？提示：不等于，正弦线的长度等于y ＝sin x 的函数值的绝对值．知识点二 余弦线与利用单位圆看y ＝cos x 性质[填一填]3．根据单位圆理解余弦函数y ＝cos x 性质 (1)定义域是全体实数；(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1,1]； (3)它是周期函数，其最小正周期是2π；(4)在[0,2π]上的单调性：在[0，π2]上是减少的；在[π2，π]上是减少的；在[π，32π]上是增加的；在[32π，2π]上是增加的．4．余弦线如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作x 轴的垂线PM ，垂足为M .线段OM 叫做α的余弦线．与角α的终边在y 轴上时，M 与O 重合，此时余弦线变成一个点．[答一答]2．余弦线的长度等于y ＝cos x 的函数值吗？提示：不等于，余弦线的长度等于y ＝cos x 的函数值的绝对值．知识点三 诱导公式[填一填]5．诱导公式(函数名称不变) sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α. sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α. sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α.sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α. 文字概括：－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．6．诱导公式(函数名称改变) sin(π2＋α)＝cos α，cos(π2＋α)＝－sin α. sin(π2－α)＝cos α，cos(π2－α)＝sin α. 文字概括：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．[答一答]3．怎样记忆七组诱导公式？提示：这七组诱导公式可以统一用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，即k ·π2±α(k∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名三角函数值；当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后前面加上一个把α看成锐角时原三角函数值的符号，口诀中的“奇”和“偶”指k 的奇偶性．例如，sin(11π2＋α)，因为11π2中的k ＝11是奇数，且把α看成锐角时，11π2＋α是第四象限角，第四象限角的正弦函数值是负数，所以sin(11π2＋α)＝－cos α.1．诱导公式的实质诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系．2．解读诱导公式(－α)(1)主要应用是把负角转化为正角，这也是我们在化简角时常用的一个策略．(2)角α与角－α关于x 轴对称． 3．解读诱导公式(2π－α)(1)由三角函数的定义知，三角函数值由角终边的位置决定，故终边相同的角一定有相同的三角函数值．(2)角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．4．解读诱导公式(π＋α，π－α)(1)角α与α＋(2k ＋1)π(k ∈Z )两角的终边在同一条直线上，关于原点对称，故两角的正弦值与余弦值分别是互为相反数的．(2)可以把任意角的三角函数求值问题进一步缩小为[0，π2]内的角的三角函数求值问题．5．解读诱导公式(π2＋α，π2－α)诱导公式(π2＋α，π2－α)不同于前面的四个诱导公式，原因是等号左右两边的函数名称发生了改变，正弦变成余弦，同样余弦也变成正弦，其他规则不变．类型一 正、余弦函数的定义域、值域、最值【例1】 (1)函数y ＝sin x3的定义域是( )A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎡⎦⎤－13，13 D ．[－3,3](2)函数y ＝2cos x ＋12的值域是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．⎣⎡⎦⎤－32，52 D ．R 【解析】 (1)∵y ＝sin x 的定义域是R ， 即x3∈R ，∴x ∈R .(2)由y ＝cos x 的值域是[－1,1]，得－2≤2cos x ≤2， ∴－32≤2cos x ＋12≤52.∴该函数的值域是⎣⎡⎦⎤－32，52. 【答案】 (1)A (2)C(1)函数y ＝1sin x －1的定义域是{x |x ∈R ，且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }．(2)函数y ＝2cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3的最大值是1；最小值是－1. 解析：(1)∵sin x ≠1，∴函数定义域为{x |x ∈R ，且x ≠2k π＋π2，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3时，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， ∴y ＝2cos x 的最大值是1，最小值为－1.类型二 正、余弦函数的单调性【例2】 函数y ＝－23cos x ，x ∈(0,2π)，其单调性是( )A ．在(0，π)上是增加的，在[π，2π)上是减少的B ．在⎝⎛⎦⎤0，π2，⎣⎡⎦⎤3π2，2π上是增加的，在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是减少的 C ．在[π，2π)上是增加的，在(0，π)上是减少的D ．在⎣⎡⎦⎤π2，3π2上是增加的，在⎝⎛⎦⎤0，π2，⎣⎡⎭⎫3π2，2π上是减少的 【解析】 ∵y ＝cos x 在(0，π)是单调递减函数，在[π，2π)上是单调递增函数．∴y ＝－23cos x在(0，π)是单调递增函数，在[π，2π)上是单调递减函数，A 成立．【答案】 A规律方法 函数y ＝A sin x ＋B 或y ＝A cos x ＋B 型函数的单调性常常利用y ＝sin x 与y ＝cos x 的单调性解决．但要注意A >0，A <0情况的讨论．函数y ＝3sin x 的定义域是⎣⎡⎦⎤π3，5π6，值域是[a ，b ]，则b －a ＝32. 解析：y ＝3sin x 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤π2，5π6上是减函数，所以y ∈⎣⎡⎦⎤32，3.所以b ＝3，a ＝32，b －a ＝32. 类型三 利用诱导公式求值【例3】 (1)求sin(－1 200°)·cos1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)的值； (2)计算：cos π7＋cos 2π7＋cos 3π7＋cos 4π7＋cos 5π7＋cos 6π7.【思路探究】 (1)注意观察角，将角化为360°·k ＋α，180°±α，360°－α等形式后，再利用诱导公式求解．(2)根据两互补角的余弦值互为相反数求解． 【解】(1)原式＝－sin(3×360°＋120°)·cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)·sin(2×360°＋330°)＝－sin(180°－60°)·cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝(cos π7＋cos 6π7)＋(cos 2π7＋cos 5π7)＋(cos 3π7＋cos 4π7)＝[cos π7＋cos(π－π7)]＋[cos2π7＋cos(π－2π7)]＋[cos 3π7＋cos(π－3π7)]＝(cos π7－cos π7)＋(cos 2π7－cos 2π7)＋(cos 3π7－cos 3π7)＝0.规律方法 本题第(1)问主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为0°～360°的角，最后化为锐角求值．对本题第(2)问进行推广，可以得到下面规律：cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos(n －2)πn＋cos (n －1)πn ＝[cos πn ＋cos (n －1)πn ]＋[cos 2πn ＋cos (n －2)πn]＋…＝0(n ∈N ＋)．求cos 73π＋sin 74π－cos ⎝⎛⎭⎫－176π的值． 解：cos 73π＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3＝cos π3＝12. sin 74π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝－sin π4＝－22. cos ⎝⎛⎭⎫－176π＝cos 17π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋5π6＝cos 5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6＝－cos π6＝－32. 所以cos 73π＋sin 74π－cos ⎝⎛⎭⎫－176π＝1＋3－22. 类型四 利用诱导公式进行化简【例4】 设k 为整数， 化简：sin (k π－α)cos [(k －1)π－α]sin [(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α).【思路探究】 求解本题时，可以将整数k 分为奇数、偶数两种情况进行讨论；也可以根据(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，[(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π并结合诱导公式将题目中的角均转化为k π＋α；也可以直接利用公式进行化简．【解】 方法1：当k 为偶数时，设k ＝2m(m ∈Z )，则 原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1.当k 为奇数时，设k ＝2m ＋1(m ∈Z )，则原式＝sin[(2m ＋1)π－α]cos (2m π－α)sin[(2m ＋2)π＋α]cos[(2m ＋1)π＋α]＝sin (π－α)cos (－α)sin αcos (π＋α)＝sin αcos αsin α(－cos α)＝－1.综上可得，原式＝－1.方法2：由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π， [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π， 得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)，cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)． 又sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)， 故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)][－sin (k π＋α)]cos (k π＋α)＝－1.方法3：原式＝(－1)k －1sin α·(－1)k －1cos α(－1)k ＋1sin α·(－1)k cos α＝－1.规律方法 三角函数式的化简是对式子进行某种变形以清晰地显示式子中所有项之间的关系，其变形过程就是统一角、统一函数名称的过程，所以对式子变形时，一方面要注意角与角之间的关系，另一方面要根据不同的变形目的，对公式进行合理选择．化简的基本要求是：(1)能求出值的求出值；(2)使三角函数名称尽量少；(3)使项数尽量少；(4)使次数尽量低；(5)使分母尽量不含三角函数；(6)使被开方数(式)尽量不含三角函数．化简：sin (θ－5π)cos (3π－θ)·cos ⎝⎛⎭⎫π2－θsin (θ－3π)·cos (8π－θ)sin (－θ－4π).解：原式＝－sin (5π－θ)cos (π－θ)·sin θ－sin (3π－θ)·cos θ－sin (4π＋θ)＝－sin (π－θ)－cos θ·sin θ－sin (π－θ)·cos θ－sin θ＝－sin θ－cos θ·sin θ－sin θ·cos θ－sin θ＝1.——易错警示——应用诱导公式时忽略对参数的讨论致误【例5】 化简：sin (α＋n π)＋sin (α－n π)sin (α＋n π)cos (α－n π)(n ∈Z )＝________.【错解】2cos α(或－2cos α) 【正解】 当n 为偶数时①，设n ＝2k ，k ∈Z ， 原式＝sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)sin (α＋2k π)cos (α－2k π)＝2cos α；当n 为奇数时②，设n ＝2k ＋1，k ∈Z ， 原式＝sin[α＋(2k ＋1)π]＋sin[α－(2k ＋1)π]sin[α＋(2k ＋1)π]cos[α－(2k ＋1)π]＝－2cos α.【错解分析】 忽略①②处对n 为奇数或n 为偶数的讨论，只作为一种情况求解，而导致答案错误．【答案】 ⎩⎨⎧2cos α，n 为偶数，－2cos α，n 为奇数【防范措施】 分类讨论意识在处理含参数的式子时，常常要对参数进行讨论，有时是对参数的正负的讨论，有时是对参数的奇偶的讨论，要视题目而定，如本例中，因诱导公式中角α＋2k π与角α＋(2k ＋1)π的公式不同，所以要对n 的奇偶分情况讨论．化简：sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)(n ∈Z )．解：方法1：当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈Z ，原式＝sin[2k π－(π4＋α)]＋cos[2k π＋(π4－α)]＝sin[－(π4＋α)]＋cos(π4－α)＝－sin(π4＋α)＋cos[π2－(π4＋α)]＝－sin(π4＋α)＋sin(π4＋α)＝0；当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1，k ∈Z ，原式＝sin[(2k ＋1)π－(π4＋α)]＋cos[(2k ＋1)π＋(π4－α)]＝sin(π2＋π4－α)＋cos(π＋π4－α)＝cos(π4－α)－cos(π4－α)＝0.综上可知，原式＝0.方法2：因为4n ＋14π－α＝π2＋(4n －14π－α)，所以sin(4n －14π－α)＋cos(4n ＋14π－α)＝sin(4n －14π－α)＋cos[π2＋(4n －14π－α)]＝sin(4n －14π－α)－sin(4n －14π－α)＝0.方法3：原式＝sin[n π－(π4＋α)]＋cos[n π＋(π4－α)]＝(－1)n －1sin(π4＋α)＋(－1)n cos(π4－α)＝(－1)n －1sin(π4＋α)＋(－1)n cos[π2－(π4＋α)]＝(－1)n －1·sin(π4＋α)＋(－1)n sin(π4＋α)＝0.一、选择题1．函数y ＝2cos x ＋1的最小正周期为( C ) A ．π B ．2π＋1 C ．2πD.π2解析：函数y ＝2cos x ＋1的最小正周期与函数y ＝cos x 的最小正周期相同，故选C.2．sin585°的值为( A )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32解析：本题主要考查三角函数的概念及诱导公式．sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 3．已知cos α＝12，α∈(370°，520°)，则( B )A ．α＝60°B ．α＝420°C ．α＝120°D ．α＝300°解析：∵cos α＝12，∴在(0°，360°)内α＝60°或300°，∴在(370°，520°)内为420°.二、填空题4．(1)cos 11π4＝－22； (2)sin(π2＋π6)＝32.解析：(1)cos 114π＝cos(2π＋34π)＝cos 34π＝－22. (2)sin(π2＋π6)＝cos π6＝32.5．设sin x ＝t －3，x ∈R ，则t 的取值范围为[2,4]．解析：因为－1≤sin x ≤1，所以－1≤t －3≤1，由此解得2≤t ≤4.三、解答题6．若sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)3cos (π－α)－sin (－α)的值．解：由sin(α－π)＝2cos(2π－α)得，－sin α＝2cos α，即sin α＝－2cos α.∴sin (π－α)＋5cos (2π－α)3cos (π－α)－sin (－α)＝sin α＋5cos α－3cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－3cos α－2cos α＝－35.。
高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
4.3单位圆与诱导公式
sin(π－α)＝sin α 诱导公式三 cos(π－α)＝－cos α
tan(π－α)＝－tan α
[π/2, π)转化为[0, π/2)
sin(－α)＝－sin α 诱导公式二 cos(－α)＝cos α [-π/2, 0)转化为[0, π/2)
tan(－α)＝－tan α
负化正
知识点四 诱导公式四
1、第三象限角与第一象限角的 关系？ 2、角α与角π＋α有怎样的关系？
3、角π＋α的终边与单位圆的交点 P3(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点 P(cos α，sin α)有怎样的关系？
sin(π＋α)＝－sin α 诱导公式四 cos(π＋α)＝－cos α
tan(π＋α)＝tan α
[π, 3π/2)转化为[0, π/2) [π, 2π)转化为[0, π)
但是正切函数的诱导公式中，α的取值必须使公式中 角的正切值有意义.
2.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × )
题型一、给角求值问题
例1 求下列各三角函数式的值. (1)cos 210°； 解 cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝
(4)cos(－1 920°). .
(4)cos(－1 920°). 解 cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) ＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝ .
2、求下列各三角函数式的值. (1)sin 1 320°；
(3)tan(－945°).
解 方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝ . 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝ .
《诱导公式》PPT教学课件(第1课时诱导公式二、三、四)
34
1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α 的三角 函数值，等于 α 的同名函数值，前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的 符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．
2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数， 一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
[解] 因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角， 所以α－75°是第四象限角．
sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，
由csoinsαα－－7755°°＝－5，
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解得sinα－75°＝－5 2626，
cosα－75°＝
26 26
或sinα－75°＝52626， (舍) cosα－75°＝－ 2266.
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[思路点拨] (1) 化简已知和所求三角函数式
→ 根据sin α±cos α，sin αcos α的关系求值
105°＋α－α－75°＝180°
(2)
cosα－75°＝－13，α为第四象限角
→
求sinα－75° → 用sin180°＋α＝－sin α求值
20
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(1)A [sin(α－360°)－cos(180°－α)
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12
4．求值：(1)sin23π＝________.
3 (1) 2
(2)cos－76π＝________.
sinπ－π3
(2)－
3 2
[(1)sin
2π 3
＝
＝sinπ3＝ 23.
(2)cos－76π＝cos76π＝cosπ＋π6
＝－cosπ6＝－ 23.]
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13
合作探究 提素养
单位圆与诱导公式
求 角的三角函数值问题。
4
你能把以上变换的过程，
用三角关系式表示出来吗？
y
5
4
o
P' (- 2 ,- 2 ) 22
P（ 2 ， 2 ） 22
4
x
5 44
、2 、 、 与终边的位置关系？
观察单位圆，
角、2 、 、 与角的正弦、余弦函数值的 关系？
我希望自己能慢慢进步，多看书吧，发现自己好 久没看书了。
2013/11/26
第一次在18班试上的，发现效果不是很好， 便拿着教案找了好几位老师，便改了又改。我 跟小琴老师讲，我上的效果不是很好，她说再 上呀，借班上，后来又上了一次，效果好多了 。但其实可以更好的。我觉得一件事情只要你 用心了，总是会出成效的。
其实这次去参加比赛，真的是学习的，至少在反 复的练习中，在比赛的过程中确是能发现自己 的不足的，平时上课备课真的的特别注意到自 己的问题，不然这次公开课就成了无效公开课 。在此也感谢指导过自己的老师，
y
公式（5）
o
sin sin
cos －cos
例 : sin 2 sin( ) sin 3
3
3
32
P(u,v) x
3. 诱导公式： k 与的三角函数值得关系
sin( 2k) sin 公式（1） cos( 2k) cos （k Z） 公式（4）
2k (k Z), , , 2 的三角函数值,等于 的同 名函数值，前面加上一个把 看成锐角时,原函数值的符号.
即：函数名不变，符号看象限 （2）诱导公式的应用: ①把任意角的正弦函数、余弦函数值转化锐角的正
1.4.3《单位圆与诱导公式》课件(北师大版必修4)
即asin α+bcos β=-1.
∴f(2 008)=asin(2 008π+α)+bcos(2 008π+β)+4 =asin α+bcos β+4 =-1+4 =3.
Байду номын сангаас
二、填空题（每题4分，共8分）
5.sin315°-cos135°+2sin570°的值是_____________.
【解析】原式=sin(360°-45°)-cos(180°-45°)+ 2sin(360°+210°) = -sin45°+cos45°+2sin210° = 2+ 2 2 +2sin(180°+30°) 2
2
1 . 2
2
cos(-
x 3.已知函数f(x)=cos 2 （A）f(2π -x)=f(x)
（B）f(2π +x)=f(x) （C）f(-x)=f(x) （D）f(-x)=-f(x)
，则下列等式成立的是(
)
2-x )=cos(π- x ) 【解析】选C.（1）f(2π-x)=cos( 2 2 x = -cos = -f(x). 2 2 x )=cos(π+ x )= -cos x （2）f(2π+x)=cos( 2 2 2 = -f(x), x （3）∵f(x)=cos 为偶函数. 2 ∴f(-x)=f(x),故C正确.
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
2
（C） 3
2
（D）- 3
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8.（2010·聊城高一检测）已知角α 终边上一点P(-4,3)，
cos( )sin(- - ) 2 求 的值. 11 9 cos( - )sin( ) 2 2
【解题提示】
【解析】点P到原点O的距离|OP|=
(-4 )2 3 2 =5，
4 根据三角函数的定义得：sin α= 3 ，cos α= . 5 5 cos( )sin(- - ) 2 11 9 cos( - )sin( ) 2 2 -sin -sin ( ) = cos 6 - ( ) sin(4 ) 2 2
3
对于②，cos(2nπ+
④化简的结果为-
3 . 2
2
答案：②③⑤
三、解答题（每题8分，共16分）
7.（2010·东莞高一检测）化简
sin(2 - ) sin( ) cos(- ) sin(3 - ) cos( )
(-sin) (-sin) (-cos) 【解析】原式= sin (-cos)
2
1 . 2
2
cos(-
x 3.已知函数f(x)=cos 2 （A）f(2π -x)=f(x)
（B）f(2π +x)=f(x) （C）f(-x)=f(x) （D）f(-x)=-f(x)
，则下列等式成立的是(
)
2-x )=cos(π- x ) 【解析】选C.（1）f(2π-x)=cos( 2 2 x = -cos = -f(x). 2 2 x )=cos(π+ x )= -cos x （2）f(2π+x)=cos( 2 2 2 = -f(x), x （3）∵f(x)=cos 为偶函数. 2 ∴f(-x)=f(x),故C正确.
4.（2010·聊城高一检测）已知f(x)=asin(π x+α )+
bcos(π x+β )+4,(a,b,α ,β 为非零实数)，f(2 007)=5则 f(2 008)=( （A）3 （C）1 ) （B）5 （D）不能确定
【解析】选A.∵f(2 007)=5, ∴asin(2 007π+α)+bcos(2 007π+β)+4=5, ∴asin(π+α)+bcos(π+β)=1, ∴-asin α-bcos β=1.
sin (-sin ) sin sin( ) = -sin cos cos( )sin( ) 2 2 3 5 3 = = . 4 5 4
=
= sin
cos
9.（10分）若f(sin x)=cos 17x,x∈(0, 2 )求f( 17 【解析】f( 1 )=f(sin )=cos π=cos(2π+ 6 2 6 5 3 =cos π=cos(π)= - cos = . 6 2 6 6
= -2sin30°= -2× 答案：-1
1 = -1. 2
6.下列三角函数值： ①sin(nπ + 4 );
3
②cos(2nπ + );
6 ③sin(2nπ + ); 3
④cos［(2n+1)π - ］;
6 ⑤sin［(2n+1)π - ］(n∈Z) 3 与sin 的值相同的是__________________. 3
2.若sin(3π +α )= - 1 ,则cos( 7 -α )等于(
2
)
（A）- 1
2
（B）
1 2
2
2
（C） 3
2
（D）- 3
【解析】选A.∵sin(3π+α)=sin(2π+π+α)=
sin(π+α)= -sin α= - 1 ,
∴sin α=
2
cos( 7 -α)=cos(4π-α)= -α)=cos( +α)= -sin α 2 2 = - 1 . 2
1 )的值. 2
5 π) 6
【解析】sin = 3. 2 3
对于①，当n是偶数时，
4 sin(nπ+ 4 )=sin =sin(π+ )= - 3 , 3 2 3 3 当n是奇数时，sin(nπ+ 4 )
=sin(nπ+π+
)=cos = 3 ; 6 6 2 同理可知③⑤化简的结果均为 3 ,
3 )=sin = ; 2 3 3
学习目标定位
基础自主学习
典例精析导悟
课堂基础达标
知能提升作业
一、选择题（每题4分，共16分） 1.（2010·上饶高一检测）sin(-1 560°)的值是( （A）- 3 2
1 （B）2
)
（C）1
（D） 3
2 3 2
2
【解析】选A.sin(-1 560°)=sin(1 800°-1 560°)= sin 240°=-sin 60°= ,故应选A.
即asin α+bcos β=-1.
∴f(2 008)=asin(2 008π+α)+bcos(2 008π+β)+4 =asin α+bcos β+4 =-1+4 =3.
二、填空题（每题4分°+2sin570°的值是_____________.
【解析】原式=sin(360°-45°)-cos(180°-45°)+ 2sin(360°+210°) = -sin45°+cos45°+2sin210° = 2+ 2 2 +2sin(180°+30°) 2