二次根式的概念和性质PPT课件
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《二次根式》课件
《二次根式》
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
知识梳理
一般地，我们把形如
概念
（a≥0）
的式子叫做二次根式. 其中“
1 ”
称为二次根号.
二
次
根
式
有意义
的条件
被开方数（式子）为非负数，
（a≥0）
性质
（a≥0）,二次根式的被开方数非负
≥0（a≥0），二次根式的值非负
二
次
根
式
（ ）2 = a （a≥0）
拓展
(
≥
0)
2 = = ቊ
.
3.已知 + 2与 − + 3 互为相反数，
求（ + ）2020 的值.
技巧点拨：解答本类问题时，常先依据“若几
个非负数的和为0，那么这几个非负数都为0”
列出方程组，然后解方程组求出字母的值，再
把字母的值代入相关式子求值.
解： ∵
+ 2与 − + 3 互为相反数，
（4）原式 = 3 − = − 3.
7
− .
4
注意：（1）三类常见的非负数： ， ，2 .
2
（2）若 + + = 0，则 = 0， =
0， = 0，即若几个非负数的和等于0，则这几
个非负数均为0.
（3）化简形如 2 的式子时，要先转化为 ，
再根据a的符号去掉绝对值符号.
① （a≥0），二次根式的被开方数非负；
② ≥0（a≥0），二次根式的值非负.
（2）（ ）2 = （a≥0）.
（3）
2
≥0 ,
= =ቊ
− < 0 .
4. 代数式
用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘
《二次根式和它的性质》PPT课件
二次根式和它的性质
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月15 日发射成功．
（1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？
( 双重非负性)
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， y ≥0，（x+2）2+ y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数
（2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度 为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什 么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s
《二次根式》PPT课件
二次根式的双重非负性
a 0, a 0.
二次根式的性质
2 a a(a 0) a2 =∣a∣=
a (a>0) 0 (a=0) -a (a＜0)
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
有意1 义,那A(a,
) a
a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0
∴点A(－,＋)
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 2 12 2 1 3
实数p在数轴上的位置如下图，化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4x2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
∴ 4x2 3 （2x）2 （ 3）2
(2x 3)(2x 3)
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例 求以下二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
说一说: 以下各式是二次根式吗?
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a -1
(7) a2 2a 3 (8) x2 1
(9) 4
2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 x取何值时,以下根式有意义?
所以，当x取任何实数时，1 x2有意义
a 0, a 0.
二次根式的性质
2 a a(a 0) a2 =∣a∣=
a (a>0) 0 (a=0) -a (a＜0)
1、练习册16.1 2、一课一练P1-2
有意1 义,那A(a,
) a
a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0
∴点A(－,＋)
?
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 2 12 2 1 3
实数p在数轴上的位置如下图，化简
(1 p)2
2
2 p
1 p (2 p) p 1 2 p 1
在实数范围内分解因式: 4x2 3
解:
∵ 3 （ 3）2
∴ 4x2 3 （2x）2 （ 3）2
(2x 3)(2x 3)
a2 先平方,后开方
2.从取值范围来看,
2 a
a≥0
a2 a取任何实数
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
思考：若 (m 4)2 4 m,则m的取值范围是 _m____4____
例 求以下二次根式的值
(1) (3 )2 (2) x2 2x 1(x
说一说: 以下各式是二次根式吗?
(1) 32 (2) 12 (3) 3 8 (4) 4 a2 (5) -m (m 0) (6) 2a -1
(7) a2 2a 3 (8) x2 1
(9) 4
2 (10)
1 3
?
a 有意义 ， 被开方数a≥0
被开方数a可以是数也可以是式
例1 x取何值时,以下根式有意义?
所以，当x取任何实数时，1 x2有意义
二次根式的概念PPT课件
变式练习:若二次根式 x2 的值为3，
求x的值.
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例题学习 1 例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) (a 3)2
隋堂练习 1
1、求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) x 1 (2) 4 x 2 (3) 1
x (4) 3x
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：
（1）面积为5的正方形的边长为
方形的边长为
求x的值.
（1）二次根式的概念 （2）根号内字母的取值范围 （3）二次根式的值
课堂小结
1、什么叫做二次根式？ 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
2、二次根式有哪两个形式上的特点？
（1）根指数为 2；
（2）被开方数必须是非负数。
3、二次根式具有哪些性质？ 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例题学习 1 例1、求下列二次根式中字母a的取值范围：
(1) a 1
(2) 1 1 2a
(3) (a 3)2
隋堂练习 1
1、求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) x 1 (2) 4 x 2 (3) 1
x (4) 3x
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：
（1）面积为5的正方形的边长为
方形的边长为
《二次根式的性质》PPT课件
表示一个实数 a
的平方的算术平方根
02
练一练
计算：
1） 16
2）
3）
=
(−5)2 =
3.14 −
42 =4
52 =5
2
= |3.14 − |=π-3.14
02
练一练
1．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|| + ( − )2 的结果是（
A．−2 +
B．2 −
C．−
D．
a
【答案】A
【详解】
由图可知：a＜0，a−b＜0，
则|| + ( − )2
＝−a−（a−b）
＝−2a＋b．
故选：A．
0
b
）
02
练一练
2．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣ 2 ﹣ 2
a
【答案】－b
【解析】
∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴|a|﹣ 2 ﹣ 2
=|a|﹣|a|﹣|b|
=﹣|b|
=﹣b．
0
b
课后回顾
01
理解二次根式性质的探索过程
02
掌握二次根式的性质
03
通过二次根式性质进行计算
【第一单元 二次根式】
感谢您的聆听
EIGHT
GRADE
MATHEMATICS
COURSEWARE
八年级下 册
VOLUME
II
二次方根，即如果 2 = ，那么x叫做a的平方根。
01
二次根式的性质一
2
= ≥0
计算：
1）
1.5
2） 2 5
或 2 5
2
2
2
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
二次根式的概念及性质课件
当x=9时， x 2 9 2 7.
（3）要使式子
1 x 1
有意义，则x的取值范围是（ A）
A. x>1
B. x>-1
C. x ≥1
D. x ≥-1
归纳 要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等
式求解即可.若二次根式处在分母的位置，应同时考虑分母不为零.
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平 方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
a≥0
a→ a→( a )2
a为任意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
( a )2 （a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察：两者有什么关系？
活动1 ：根据前面得出的结论填一填
4 2 4
1 3
2
1 3
2
(1) a 1
(2) 2a 3
(1) a-1 0，a 1. (2) 2a 3 0，a 3 .
2
(3) a
(4) 2
5a
(3) a 0，a 0.
(4) 5 a＞0，a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
它的长、宽各应是多少？
A
D
解：设长方形的宽为xcm,根据得意得
x 3 x 24
2
B
C
解得 x 16 4（负值舍去）.
所以宽为4cm，长为6cm.
通过今天的学习, 能说说你的收获和体会吗? 你有什么经验与收获让同学们共享呢？
初中数学二次根式PPT课件图文
【解析】选C.若二次根式 有意义,则2x+6≥0, 解得x≥-3,在数轴上时从表示-3的点向右画,且用实心 圆点.
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
3.(2014·南通中考)若 在实数范围内有意义, 则x的取值范围是 ( ) A.x≥ B.x≥- C.x> D.x≠
【解析】选C.由题意得 解得x>
一、二次根式的相关概念 1.二次根式:一般地,形如 (_____)的式子. 2.最简二次根式:同时满足:(1)被开方数不含_____. (2)被开方数中不含能开得尽方的___________.
a≥0
字母
因数或因式
二、二次根式的性质
两个重要性质
( )2=__(a≥0).
=|a|=
【名师点津】理解二次根式的性质需注意的两个问题 (1) (a≥0)的双重非负性: ①被开方数a非负; ② 本身非负.
(2) 与( )2的异同: 中的a可以取任何实数,而( )2中的a必须取非负 数,只有当a取非负数时, =( )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如 图所示,化简|a|+ 的结果是 ( ) A.-2a+b B.2a-b C.-b D.b
【解析】选A.由题干图知:a<0,a-b<0, 则|a|+ =-a-(a-b)=-2a+b.
2.(2015·资阳中考)已知:(a+6)2+ =0,则 2b2-4b-a的值为________. 【解题指南】首先根据非负数的性质可求出a的值和 b2-2b=3,进而可求出2b2-4b-a的值.
3.二次根式的混合运算:与实数的运算顺序相同,先算 乘方,再算_____,最后算加减,有括号的先算括号里面 的(或先去括号).
二次根式的性质课件(共31张PPT)
(1) ( a)2 a
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
(2) (a)2 a
(3) (a2)2 2a
例5:已知:x<0,化简: 16x2
解 :1 6 x 2(4x)24x
∵x<0 , ∴4x＜0, ∴原式 = -4x
练一练:
化 :x 2 简 6 x 9 x 2 2 x 1
(其 中 -1x3)
化简：
(1) 210 （2） a 4
算 一 算 ： (1 ) （ -9 ） 2 (2 )
(
1 3
)2
(3 ) 6 4
(4 ) (x 2+ 1 )2
归纳
a2 a
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
由 a2 aa0,可以得 a a2a0。
利用这个式子，可以把任何一个非负数写成 带有“ ”的形式，例： 5 25,
x1 y 3 0
∴ x 1 ＝０， y 3 ＝０
∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２
例 求下列二次根式的值
解：(1)
∵3 0
∴ (3 )2
3
(2)
当x＝ 3 时，x－１<０
∴ x2 2x11x 1 3
∴当x＝ 3 时， x2 2x 1 1 3
初中阶段的三个非负数： (a≥０) ≥０
题型:二次根式的非负性的应用.
(2)(3)a 2b 2
(a＜0,b＞0)
(4) 12aa2 (a＞1 )
(5) (x1)296xx2
(1＜x＜3 )
( a)2 a(a0)
a(a0)
a 2 a a(a0)
注意区a别 2与( a） 2
1. 求式子 x＋1－5－有x意义时X的取值范围。
《二次根式》PPT(第1课时)
，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
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它必须具备如下特点： 1、 根 指 数 为 2； 2、 被 开 方 数 必 须 是 非 负 数 。
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
.
4
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
3 a32
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，. 要保证分母不为零8 。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x0
x
(5) x 3 x0
(7) 1 a < 1 1 2a 2
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值. 范围是＿x＿＿7 15
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
?
.
16
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
.
2
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04;方数是非负数 即:a0
.
3
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
6、
x-1 x-2
.
17
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2 x 5
由 3x0得x： 3 由 2x50得： x5
2
（３） 1 x
x
由 1xx00得x： 1且 . x0
14
2．（１） (3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1x)2 __x__1
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
.
10
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解 ： 由 x-2≥ 0， 且 x-3≠ 0, 得 x≥ 2 且 x≠ 3。
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有意义，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
.
6
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
.
7
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
2 1
1 2a
的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴ 2 a -b + c= 2 × (-2 ). -3 + 4 = -3 。
1 (6) x 2 (8) 3 x
|x |4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
.
9
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解 ： 由 x -1 ≥ 0 ， 得 x ≥ 1 。
问 ： 将 式 子 x -1 改 为 1 -x ， 则 字 母 x 的 取 值 必 须 满足什么条件呢？
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
.
12
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 ( 2 ) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 25x 5 2x12
6 x532x
7 2 x 1
1 x
（8）
.
13
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
.
5
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
18
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 x- 1+ y+3=0，求x＋y的值
解：∵ x - 1 ≥０， y + 3 ≥０，
x- 1+ y+3=0
∴ x - 1 ＝０， y + 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２ .
19
例 求下列二次根式的值
(1 )(3 -p )2 (2 )x 2-2 x + 1 (x= - 3 )
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
二次根式
1.二次根式的概念
.
1
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
.
11
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 x≤__3___时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
想 一 想 ： 10 、 -5 、 3 8 5 3 、 (-2)2 a (a＜ 0﹚ 、 a 2+ 0 . 1 、 - a ( a ＜ 0 ﹚ 是 不 是 二 次 根 式 ？
.
4
s
定义： 像 a2 2500 , , b 3 这样表示的算术 平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二 次根式。
3 a32
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，. 要保证分母不为零8 。
练习： x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3x x0
(3) 4x2 x为全体实数 (4) 1 x0
x
(5) x 3 x0
(7) 1 a < 1 1 2a 2
(x 7)2 1
，
x7
则Ｘ的取值. 范围是＿x＿＿7 15
小结一下
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
?
.
16
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
.
2
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1, 0.04;方数是非负数 即:a0
.
3
1.二次根式的概念
a (a ≥ 0 )表 示 非 负 数 a 的 算 术 平 方 根 ，
形 如 a (a ≥ 0 )的 式 子 叫 做 二 次 根 式 。
6、
x-1 x-2
.
17
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性 质 1 ： a ≥ 0 (a ≥ 0 ) （ 双 重 非 负 性 ）
引 例 ： |a - 1 |+ ( b + 2 ) 2 = 0 , 则 a =
b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c
的取值范围
1
（１） 3 x （２） 2 x 5
由 3x0得x： 3 由 2x50得： x5
2
（３） 1 x
x
由 1xx00得x： 1且 . x0
14
2．（１） (3)2 ____3
（２）当 x 1 时， (1x)2 __x__1
（３） (x2)2 x2 ，
则Ｘ的取值范围是＿x＿＿2
（４）若
.
10
例
3：要使
x-2 x-3
有意义，字母
x
的取值必须满足
什么条件？
解 ： 由 x-2≥ 0， 且 x-3≠ 0, 得 x≥ 2 且 x≠ 3。
想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使
x-2 x-1
有意义，
字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什 么 条 件 ？ x≥2
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
.
6
例1 : 判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 00..0044,, a a2 , 2 ,
5,
aa , , 3 8 .
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
.
7
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
2 1
1 2a
的值。 解 ： ∵ a+2 ≥ 0、 |3b-9|≥ 0、 (4-c) 2≥ 0，
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴ 2 a -b + c= 2 × (-2 ). -3 + 4 = -3 。
1 (6) x 2 (8) 3 x
|x |4
x0
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数大于等于零；
.
9
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
例 2：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
什么条件？ 解 ： 由 x -1 ≥ 0 ， 得 x ≥ 1 。
问 ： 将 式 子 x -1 改 为 1 -x ， 则 字 母 x 的 取 值 必 须 满足什么条件呢？
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
.
12
练习：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 ( 2 ) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 25x 5 2x12
6 x532x
7 2 x 1
1 x
（8）
.
13
练习与反馈
1．要使下列式子有意义，求字母Ｘ
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
.
5
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根
2. a可以是数,也可以是式.
3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
18
二次根式的双重非负性解析
经常作为隐含条件，是解题的关键
例 已知 x- 1+ y+3=0，求x＋y的值
解：∵ x - 1 ≥０， y + 3 ≥０，
x- 1+ y+3=0
∴ x - 1 ＝０， y + 3 ＝０ ∴x＝１，y＝－３
∴x＋y＝－２ .
19
例 求下列二次根式的值
(1 )(3 -p )2 (2 )x 2-2 x + 1 (x= - 3 )
解：(1) (3- p)2 =|3- p|
∵ 3- p< 0
二次根式
1.二次根式的概念
.
1
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相反数； 0有一个平方根就是它0； 负数没有平方根。
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
.
11
题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1. 当 x≤__3___时， 3 x 有意义。
2. a 4+ 4 a 有意义的条件是 a4 .
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②