保险精算例题

保险精算例题

第二章

【例2.1】某人1997年1月1日借款1000元，假设借款年利率为5%，试分别以单利和复利计算：

（1）如果1999年1月1日还款，需要的还款总额为多少？

（2）如果1997年5月20日还款，需要的还款总额为多少？

（3）借款多长时间后需要还款1200元。

解：（1）1997年1月1日到1999年1月1日为2年。

在单利下，还款总额为：

A(2)=A(0)(1+2i)=1000×(1+2×5%)=1100（元）

在复利下，还款总额为：

A(2)=A(0)(1+i)²=1000×(1+5%)²=1102.5（元）

（2）从1997年1月1日到1997年5月20日为140天，计息天数为139天。

在单利下，还款总额为：

1000×（1+ 139

365×5%）=1019.04（元）

在复利下，还款总额为：

1000×139365

%

（1+5）=1018.75（元）（4）设借款t年后需要还款1200元。

在单利下，有

1200=1000×（1+0.05t）

可得：

t=4（年）

在复利下，有

1200=1000×（1+0.05）t

可得：

t≈3.74（年）

【例2.2】以1000元本金进行5年投资，前2年的利率为5%，后3年的利率为6%，以单利和复利分别计算5年后的累积资金。 解：在单利下，有

A(5)=1000×(1+2×5%+3×6%)=12800(元)

在复利下，有

A(5)+1000×(1+5%)² ×(1+6%)³=13130.95(元)

【例2.3】计算1998年1月1日1000元在复利贴现率为5%下1995年1月1日的现值及年利率。

解：（1）1995年1月1日的现值为：

1000×（1-0.05）³=857.38（元）

（2）年利率为：

i=d 1-d =0.050.95

=0.053 【例2.4】1998年8月1日某投资资金的价值为14000元，计算：

（1） 在年利息率为6%时，以复利计算，这笔资金在1996年8月1

日的现值。

（2） 在利率贴现率为6%时，这笔资金在1996年8月1日的现值。 解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值，14000元2年前的现值

为：

14000×（11.06

）2=12459.95（元） （3） 用贴现率计算现值，14000元2年前的现值为：

14000×（1-0.06）²=12370.4（元）

6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率 m

1 2 3 4 6 12 ∞ d (m

) 0.05660 0.05743 0.05771 0.05785 0.05799 0.05813 0.05827

【例2.5】某人以每月3%的利率从银行贷款1000元，那么在复利计息下，3年后他欠银行都少钱？

解：3%是月结利率，3年后的累积欠款额可以直接按36个月的复利计算本息，有

1000×（1.03）36=2898.28（元）

故三个月后他欠款2898.28元。

【例2.6】(1)求每月结算的年利率为12%的实际利率。（2）求每月结算的年贴现率为10%的实际贴现率。（3）求相当于每月结算的年利率为12%的半年结算的贴现率。

解：（1）实际利率为：

i=（1+m i m )

(）m —1 =（1+12%12

）12—1

=12.68%

故实际利率为12.68%。

（2）实际贴现率为：

d=1—（1—m d ）

（m ）m

=1—（1—10%4

）4 =9.63%

因此，实际贴现率为9.63%。

（3）由（1+i ）-1=1—d ，有

（1+m i m )(）-m =（1—n

d n ）

（）n

（1+12%12 ）-12=（1—2d 2）（）2 d 2）（=2×[1—（1+12%12

）-6]=11.59% 【例2.7】某人从银行借款4000元，这笔借款的利息每年结算4次，年利率为16%。那么，他在借款21个月后欠银行的歀为多少？

解：年利率为16%，每年结算4次，也就是每3个月结算一次，每次结算的利息率为4%（16%/4=4%），21个月共结算7次（21/7=7）。这样，4000元本金在结算7次后的本利和为：

4000×（1+4%）7=5263.73（元）

值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名义利率和实际利率的区别。

【例2.8】某人在1998年7月22日贷款4000元，如果利息力是14%，

在复利下，试求解以下问题：

（1） 贷款额在2003年7月22日的价值。

（2） 年利率i 。

（3） 名义利率i 12）（

解：（1）如果一致年利率i ，4000元贷款额在2003年7月22日的值为4000（1+i ）5。

有公式（2.20），利息力与利率有如下关系：

e &=1+i

从而

4000×（1+i ）5=4000×e 0.7=8055.01（元）

（2）由（1+i ）= e 0.14，的年利率为：

i= e 0.14—1=0.15027

（3）由（2.14a ）式和（2.20）式，有

（1+12i 12）

（）12=1+i = e 0.14

i 12=12×（e 0.14/12—1）=0.14082

【例2.9】某人以每半年结算一次的年利率6%借款50000元，两年后他还了30000元，又过了3年再还了20000元，求7年后的欠款额为多少？

解：设他在7年后的欠款额为X ，有

X=50000×1.0314—30000×1.0310—20000×1.034=12801.82（元）

【例2.10】某人在1995年1月1日存入银行8000元，两年后又存入6000元，2001年1月1日取出12000元。如果利率为5%，计算