Boost变换器系统建模及其控制

V pp
vramp (t )
Boost变换器的负反馈控制系统传递函数图
Vref (s )
参考信号

误差信号 E (s )
Gc (s )
Vc (s )
Gm (s )
d (s )
Gvd (s )
Vo (s )

B (s )
反馈信号
H (s )
Gvd (s)
Gm (s)
c
其中 为占空比至输出的传递函数， 为PWM为脉宽调制器的传递函 H G (s) 数，(s ) 表示反馈通路的传递函数， 为补偿网络的传递函数。 其中 为未加补偿网络时的回路增益函数，称之为原始回路增益 G (s) 函数， 为待设计的补偿网络函数.
实际上， DC/DC变换器的输出电压中除直流和低频调制频率电压分量外，还包含开
关频率及其边频带、开关频率谐波及其边频带。

Boost变换器的平均开关网络模型 首先对开关元件的电压或电流变量在一个开关周期内求平均，得到等 效的平均参数电路。从而消除了开关波纹的影响，但此时仍然是一个 非线性电路。这样的电路由于同时包含了直流分量与交流分量的作用， 成为大信号等效电路。 其次将各平均变量表达为对应的直流分量与交流小信号分量之和，消
ˆ v g (t） Ts Vg v g (t )
s s
将扰动引入电路，得到作小信号扰动后的电路，如图5 所示：

图5 加入扰动后的电路模型 其受控电压源的电压：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [D d (t )][V v(t )] D[V v(t )] Vd (t ) v(t )d (t )
0 360 315
Phase (deg)
270 225 180 135 90 10
2
P.M.: -81.7 deg Freq: 3.75e+005 Hz 10
3
10 Frequency (Hz)
4
10
5
10
6

电路的幅值裕度：GM=-59.8dB 相位裕度：-81.7deg 截止频率： Hz 3.75 105 其稳定判据显示系统不稳定
c
c
Go (s) Gvd (s)Gm (s) H (s)
LC参数的选取

P 10.5 103 由已知可得：输出额定电流： 0 0 I 15 A U0 700

占空比： D=1求解临界电感
iL Vg V0 L
Vg V0
=2.857
R0
P02 U0
46.667

有源超前-滞后补偿网络

校正后的系统的波特图
Open-Loop Bode Editor (C) 40 20 0
Magnitude (dB)
-20 -40 -60 -80 -100 360 315 270 G.M.: 10.8 dB Freq: 2.56e+004 Hz Stable loop

为避免原始电路 的影响，补偿后的穿越频率应该小于零点频率，一般取开关频率 的1/5，此处取：
fg
1 f s 1104 Hz 5

补偿网络的两个零点频率设计为原始回路函数两个相近的极点的1/2处，
1 f z1 f z 2 f p1, p 2 2
将补偿网络的两个极点设定为开关频率处。
i1 (t )

v1 (t )
D
i2 (t )


v2 (t )
图2 Boost变换器开关网络子电路
i1 (t )和v2 (t )

在Boost变换器中，端口变量 刚好分别为电感电流和电容电压， 这里将它们定义为开关网络的输入变量。 为开关网络的输出变量 。用受控源等效网络子电路，如图3所示 v1 (t )和i2 (t )
Boost变换器的负反馈控制系统传递函数图
Vref (s )
参考信号

误差信号 E (s )
Gc (s )
Vc (s )
Gm (s )
d (s )
Gvd (s )
Vo (s )

B (s )
反馈信号
H (s )
G ) 其中Gvd (s)为占空比至输出的传递函数，m (s为PWM 脉宽调制器的传递函数， G (s) 表示反馈通路的传递函数， 为补偿网络的传递函数。 H (s ) 其中 为未加补偿网络时的回路增益函数，称之为原始回路增益 G 函数，(s)为待设计的补偿网络函数.
f z1 f z 2 f s
C2
ˆ Vc ( s) GC ( s) ˆ V ( s)
1
求取补偿网络的传递函数： vfb(t)为电压反馈 信号，Vref为给定信 号，由虚短与虚断的 原则可得：
R2
Vc (s )
C1 C 2
R3
R1
C3
V1 ( s )
Vref (s )
(1 s R2 C1 )[1 s( R1 R3 )C3 ] R2 C1C2 s R1 (C1 C 2 )(1 s )(1 s R3C3 ) C1 C 2
1 1

ˆ D[V v(t )]


ˆ v2 v2 (t)

ˆ I1d (t )

图6 经线性化处理后的开关模型 则得Boost变换器的小信号交流模型如图7 所示：
图7 Boost变换器小信号交流模型
用理想直流变压器代替受控源两端口网络，得到变换器小信号交流等效 电路如图8 所示：
DV (1

把传递函数写入MATLAB中的sisotool中，得 到传递函数的对数频率坐标图.

在MATLAB中的波特图如下所示：
Open-Loop Bode Editor (C) 80
Magnitude (dB)
60
40
20 G.M.: -59.8 dB Freq: 6.41e+003 Hz Unstable loop

不稳定的原因是原始回路中频以-40dB/dec的斜率穿越0dB线，此时对应最小相位 系统相频图中相移为-180度，-20dB/dec对应-90度，所以应使校正后的系统以20dB/dec的斜率穿越0dB线，这样就会有较好的相位稳定性，低频处设一极点以 提高系统的型别，可以使补偿后的系统成为无差系统，使静差为零，同时减少了 低频误差，高频处设置极点，以减小高频开关波纹。

经过开关周期平均变换后Boost变换器的等效电路如图4所示：
i2 (t） Ts d (t ) i1 (t ) Ts
图4 经开关周期平均后的等效电路 对电路作小信号扰动，即令：
ˆ ˆ d (t ) D d (t ) d (t ) D d (t ) ˆ i(t） T i1 (t ) T I i (t ) v (t） T v2 (t )Ts V v(t ) ˆ s ˆ ˆ v1 (t） Ts V1 v1 (t ) i2 (t） Ts I 2 i2 (t )
当变换器工作在临界状态时，其电感电流波形如图所示：
V0 V0 DTs (1 D)Ts 2 I 0 2 L R
iL
IL
1 I0 I L 2

由此，得出临界电感值如下：
Vo D(1 D) 2 LC 2I O f s
Boost变换器临界状态电感电流波形

计算得 选取
LC 0.068mH
图1与图2分别为Boost变换器电路和它的开关网络子电路，其开关网络 子电路可用两端口网络表示，端口变量为 v1 (t )、i1 (t )、v2 (t )和i2 (t )
i1 (t )
L
D
i2 (t )

ic (t) CR

vg (t )
v1 (t )

v(t )


v2 (t )
图1 Boost变换器开关网络

临界电容由公式得
t
D I0 0.2857 15 CC 7.1 F 3 f s V 50 10 12
V0
V0

在此选C CC ,取
C 9 F
DTS
D TS
t

小信号模型的建立
占空比D(t)经低频
调制后， Dc/Dc变
换器的输出电压也 被低频调制，即输出 低频调制频率电压分 量的幅度与Dm成正比，频率与占 空比扰动信号调制频率相 同，这就是线性电路的特征，
去直流分量后即可得到只含有小信号分量的表达式，达到分离小信号
的目的； 最后对只含小信号分量的表达式作线性化处理，从而将非线性系统在
直流工作点附近近似为线性系统，为线性系统的各种分析与设计方法
的应用做好准备。
开关周期平均算子的定义：
1 x(t ) Ts Ts


t 量； s为开关周期。对电压、电流等 式中， (t ) T 电量进行开关周期平均运算，将保留原信号的低频部分，而滤除 开关频率分量、开关频率谐波分量。 可以证明：经过开关周期平均算子作用后，电感的电流和电感两端的 电压仍然满足法拉第电磁感应定律，即电感元件特性方程中的电压、 电流分别用他们各自的开关周期平均值代替后，方程仍然成立。 类似的，电容元件的特性方程中的电压电流被代替后，方程仍然成立
L LC ,在此选L=0.08mH
电容值的选取
二极管关闭时，电容向负载提供直流电流， V 二极管开通，同时向电容以及负载提供 电流，电容充放电荷量相同。 V Q I 0 D1Ts V0 Vo D1Ts C C RC i 取纹波 V 12V

D
t
0
D
0
Q Q
I D I0
此有源超前—滞后网络有两个零点、三个极点。 w 1 零点为： f z1 wz1 1 fz2 z2 2 2R2C1 2 2 ( R1 R3 )C3 极点为：