正态分布及其经典习题和答案
课时作业12：§2.4 正态分布
§2.4 正态分布一、选择题1．关于正态分布N (μ，σ2)，下列说法正确的是( )A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C ．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D ．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.93．随机变量ξ～N (2,10)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)的概率相等，则k 等于( )A ．1B ．10C ．2 D.104．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ25．设随机变量ξ～N (0,1)，若P (ξ＞1)＝p ，则P (－1＜ξ＜0)＝( )A ．12＋p B ．1－p C ．1－2p D ．12－p 二、填空题6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ＞c ＋1)＝P (ξ＜c －1)，则c 的值为________．7．已知随机变量X 服从正态分布N (0，σ2)，且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X ＞2)＝________.8．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．10．某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N(70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P(μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N(500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．参考答案1．【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P (X ＞μ＋3σ或X ＜μ－3σ)＝1－P (μ－3σ＜X ＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．【解析】 ∵μ＝2，∴P (0<ξ<2)＝P (2<ξ<4)＝0.4，∴P (0<ξ<4)＝0.8.∴P (ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P (ξ<4)＝0.9. 【答案】 D3．【解析】 ∵区间(－∞，k )和(k ，＋∞)关于x ＝k 对称．∴x ＝k 为正态曲线的对称轴，∴k ＝2.【答案】 C4．【解析】 σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．【解析】 如图，P (ξ＞1)表示x 轴、x ＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x 轴、x ＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p ，所以P (－1＜ξ＜0)＝1－2p 2＝12－p .【答案】 D6．【解析】 c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 【答案】 27．【解析】 P (X ＞2)＝12[1－2P (－2≤X ≤0)]＝0.5－0.4＝0.1. 【答案】 0.18．【解析】 依题意，P (60－20＜x ≤60＋20)＝0.9544，P (X ＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】 2299．解 由已知得P (4＜X ≤6)＝0.682 6，P (3＜X ≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x ＝u ＝5对称∴P (3＜X ≤4)＋P (6＜X ≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P (3＜X ≤4)＝P (6＜X ≤7)．所以P (6＜X ≤7)＝0.271 82＝0.135 9. 10．解 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80) ＝12－12×0.682 6 ＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90) ＝12－12×0.954 4 ＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．解 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4， 因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100) ＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)． 于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6. 从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525. 由此可以估计录取分数线约为525分.。
【高中】对数正态分布经典练习题
【高中】对数正态分布经典练习题
在高中数学中，对数正态分布是一个常见的概率分布。
它通常
用于描述一些随机变量的分布情况，特别是在金融、生物学和环境
科学等领域。
本文将介绍一些对数正态分布的经典练题，帮助提高
学生对该分布的理解和应用能力。
练题一
某市的空气质量指数（AQI）服从对数正态分布，其均值为10，标准差为2。
现有一份空气质量报告显示该市二氧化氮（NO2）浓
度的对数值为8。
问：
1. 请计算该市NO2浓度大于10的概率。
2. 如果将该市的AQI限制在20以下，问NO2浓度大于20的
概率是多少？
练题二
一批电子元件的寿命（以小时计）服从对数正态分布，均值为1000，标准差为100。
现从中随机抽取一件电子元件，则它的寿命
大于1200 的概率是多少？
练题三
某家公司的年利润增长率服从对数正态分布，均值为5%，标
准差为3%。
问：
1. 请计算该公司年利润增长率大于10%的概率。
2. 如果将该公司的年利润增长率限制在8%以下，问年利润增
长率大于8%的概率是多少？
练题四
某品牌手机的售价（以元计）服从对数正态分布，均值为5000，标准差为200。
现从中随机抽取一部手机，则它的售价大于6000的概率是多少？
以上是一些对数正态分布的经典练习题，希望能够帮助学生更
好地理解和应用该分布。
通过这些练习，学生可以提升自己对概率
统计的掌握能力，为将来在相关领域的研究和应用打下坚实的基础。
(完整版)正态分布习题与详解(非常有用-必考点)
1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2). 解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x ex f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-0.57930.884810.4642=+-=4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2N ξ 520500500500(500520)()()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200a a aP a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，()0.975200a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200aa ≥⇒≥1设随机变量(3,1),若,,则P(2<X<4)= ( A)( B)l —pC ．l-2pD ．【答案】 C 因为,所以P(2<X<4)=,选 C ．2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．400[答案] B[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.3．设随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝( )A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝59. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2[答案] A[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )21，P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)42，∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝67，∴x ＝3.5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )A.255256B.9256C.247256D.764 [答案] C[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝4np (1－p )＝2， 解之得，p ＝12，n ＝8，∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσie －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则( )A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.6①命题“”的否定是:“”;②若,则的最大值为4;③定义在R 上的奇函数满足,则的值为0;④已知随机变量服从正态分布,则;其中真命题的序号是________(请把所有真命题的序号都填上).【答案】①③④ ①命题“”的否定是:“”;所以①正确.②若,则,即.所以,即,解得,则的最小值为4;所以②错误.③定义在R上的奇函数满足,则,且,即函数的周期是4.所以;所以③正确.④已知随机变量服从正态分布,则,所以;所以④正确,所以真命题的序号是①③④.7、在区间上任取两数m和n,则关于x的方程有两不相等实根的概率为___________.【答案】由题意知要使方程有两不相等实根,则,即.作出对应的可行域,如图直线,,当时,,所以,所以方程有两不相等实根的概率为.8、下列命题:` (1);(2)不等式恒成立,则;(3)随机变量X服从正态分布N(1,2),则(4)已知则.其中正确命题的序号为____________.【答案】(2)(3) (1),所以(1)错误.(2)不等式的最小值为4,所以要使不等式成立,则,所以(2)正确.(3)正确.(4),所以(4)错误,所以正确的为(2)(3).2已知某篮球运动员2012年度参加了40场比赛,现从中抽取5场,用茎叶图统计该运动员5场中的得分如图所示,则该样本的方差为（）A．26 B．25 C．23 D．18【答案】D样本的平均数为23,所以样本方差为,选D．3有一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在内的频数为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 样本数据在之外的频率为,所以样本数据在内的频率为,所以样本数据在的频数为,选 C ．4．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）如图所示,在边长为l 的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】 【答案】B 根据积分的应用可知所求阴影部分的面积为,所以由几何概型公式可得点P 恰好取自阴影部分的概率为,选B ．5从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数,这个数可以构成等差数列的概率为______.【答案】25从集合{}1,2,3,4,5中随机选取3个不同的数有3510C =种.则3个数能构成等差数列的有,1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5;有4种,所以这个数可以构成等差数列的概率为42105=.。
正态分布习题(1)
注：正态分布的定义与性质要牢记。
正态分布典型例题解答
4. 设随机变量 X
N (0,1)，求随机变量 Y 1 2 | X |的概率密度。
返回
1 y 解：当 y 1时， FY ( y ) P{Y y} P{1 2 | X | y} P X 2 y 1 1 y P X P X 2 2 y 1 1 y 1 y 1 2 2 2 2 2 1 y 1 1 y f ( y ) 2 所以， Y 2 2 2
正态分布典型例题解答
1. 填空 (1) 设随机变量 X (2) (3)
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(4) (5) (6) 设 X , Y 服从相同分布 N (, 2 )，则 E (aX bY )(aX bY ) ______.
N (0,1)，则 P{| X | 1} _______. 1 设随机变量 X N (20, 22 )，若 P{ X a} ，则 a ______. 2 2 1 ( x85) e ,( x )，则 P{X 5} ____. 随机变量 X 的概率密度 f ( x) 8 2 设随机变量 X 与 Y 独立且都服从 N (, ) ，则 2 X Y 3 _______. 2 2 设随机变量 X N (3, 4 )，则 E ( X ) ______.
2. 某工厂生产的电子管的寿命 X(小时)服从 N (160, 2 ), 若要求概率 P{120 X 200} 0.80
3. 某物体的温度T(。F)是一个随机变量，已知 T
足 S 5 (T 32) ，求S的概率密度。 解答
正态分布(习题版)
正态分布（共62道题）1．在某次学科知识竞赛中（总分100分），若参赛学生成绩ξ服从N（80，σ2）（σ＞0），若ξ在（70，90）内的概率为0.8，则落在[90，100]内的概率为（）A．0.05B．0.1C．0.15D．0.22．设X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（）（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.26%，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝95.44%）A．7539B．6038C．7028D．65873．已知某次数学考试的成绩服从正态分布N（102，42），则114分以上的成绩所占的百分比为（）（附P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974）A．0.3%B．0.23%C．1.3%D．0.13%4．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩X～N（100，σ2）（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为（）A．120B．160C．200D．2405．随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（）A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9756．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，16），且P（ξ＜﹣2）+P（ξ≤6）＝1，则μ＝（）A．﹣4B．4C．﹣2D．27．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为f（x）＝，则下列命题中不正确的是（）A．该市在这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为1027．设随机变量X～N（3，σ2），若P（X＞a）＝0.2，则P（X＞6﹣a）＝．28．某一部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3或元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．29．某超市经营的某种包装优质东北大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（25，0.04），任意选取一袋这种大米，质量在24.8～25.4kg的概率为．（附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.6826，P（μ﹣σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544）30．设随机变量ξ服从正态分布N（1，2），若p（ξ＜2a﹣3）＝p（ξ＞3a+2），则a的值为．31．按照国家规定，某种大米每袋质量（单位：kg）必须服从正态分布ξ～N（10，σ2），根据检测结果可知P（9.9≤ξ≤10.1）＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1000名职工，则分到的大米质量在9.9kg以下的职工人数大约为．32．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.15，则P（2≤ξ＜4）等于．33．某个部件由四个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2或元件3正常工作，且元件4正常工作，则部件正常工作．设四个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能正常相互独立工作，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．34．已知随机变量服从正态分布X～N（2，σ2），若P（X＜a）＝0.32，则P（a＜X＜4﹣a）＝．35．某种袋装大米的质量X（单位：kg）服从正态分布N（50，0.01），任意选一袋这种大米，质量在49.8～50.1kg的概率为．36．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞3）＝a，P（1＜ξ≤3）＝b，则+的最小值是．1．已知随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（﹣1＜ξ＜0）＝p，则P（ξ＞1）＝（）A．﹣B．+C．+p D．﹣p2．经统计，某市高三学生期末数学成绩X﹣N（85，σ2），且P（80＜X＜90）＝0.3，则从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是（）A．0.35B．0.65C．0.7D．0.853．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X近似服从正态分布N（84，σ2），且P（78＜X≤84）＝0.3．该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（）A．60B．80C．100D．1204．如果随机变量X～N（μ，σ2），且EX＝3，DX＝1，则P（0＜X＜1）等于（）A．0.021 5B．0.723C．0.215D．0.645．在某次高三联考数学测试中，学生成绩服从正态分布（100，σ2）（σ＞0），若ξ在（85，115）内的概率为0.75，则任意选取一名学生，该生成绩高于115的概率为（）A．0.25B．0.1C．0.125D．0.56．随机变量X服从正态分布X～N（10，σ2），P（X＞12）＝m，P（8≤X≤10）＝n，则的最小值为（）A．B．C．D．7．在某项测量中，测得变量ξ﹣N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，2）内取值的概率为0.8，则ξ在（1，2）内取值的概率为（）A．0.2B．0.1C．0.8D．0.48．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105，σ2）（σ＞0），试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150B．200C．300D．4009．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，4）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）（附：X⁓N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545．）A．906B．2718C．339.75D．341310．设随机变量X服从正态分布X～N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.6826，则函数f（t）＝t2+4t+X不存在零点的概率是（）A．0.5B．0.3174C．0.1587D．0.682611．若随机变量X～N（2，1），且P（X＞1）＝0.8413，则P（X＞3）＝（）A．0.1587B．0.3174C．0.3413D．0.682612．若随机变量X～N（3，σ2），且P（X≥5）＝0.2，则P（1＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.313．设随机变量X～N（2，9），P（X＞m）＝P（X＜m﹣4），则m的值为（）A．1B．2C．3D．414．吸烟有害健康，远离烟草，珍惜生命．据统计一小时内吸烟5支诱发脑血管病的概率为0.02，一小时内吸烟10支诱发脑血管病的概率为0.16．已知某公司职员在某一小时内吸烟5支未诱发脑血管病，则他在这一小时内还能继吸烟5支不诱发脑血管病的概率为（）A．B．C．D．不确定15．若随机变量X服从分布X～N（2，σ2），且2P（X≥3）＝P（1≤X≤2），则P（X＜3）＝（）A．B．C．D．16．若随机变量ξ～N（﹣2，4），则ξ在区间（﹣4，﹣2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率（）A．（2，4]B．（0，2]C．[﹣2，0）D．（﹣4，4] 17．设随机变量ξ～N（2，4），若P（ξ＞2a+1）＝P（ξ＜2a﹣1），则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．418．已知随机变量X～B（2，p），Y～N（2，σ2），若P（X≥1）＝0.64，P（0＜Y＜2）＝p，则P（Y＞4）＝（）A．0.1B．0.2C．0.4D．0.819．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若P（ξ＜2）＝P（ξ＞6）＝0.2，则P（2≤ξ＜4）等于（）A．0.3B．0.5C．0.4D．0.620．已知X～N（1，σ2），P（0＜X≤3）＝0.7，P（0＜X≤2）＝0.6，则P（X≤3）＝（）A．0.6B．0.7C．0.8D．0.921．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜0）＝P（ξ＞a﹣2），则a＝（）A．﹣2B．2C．4D．622．已知随机变量X服从正态分布N（5，σ2），且P（X＜7）＝0.8，则P（3＜X＜5）＝（）A．0.6B．0.4C．0.3D．0.223．若随机变量X～N（3，1），且P（X＜4）＝0.8413，则P（X＞2）＝（）A．0.1587B．0.3413C．0.6826D．0.841324．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（0，σ2），若ξ在（﹣∞，﹣1）内取值的概率为0.1，则ξ在（0，1）内取值的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.125．设随机变量X服从正态分布N（4，σ2），若P（X＞m）＝0.4，则P（X＞8﹣m）＝（）A．0.6B．0.5C．0.4D．与σ的值有关26．某工厂生产的零件外直径（单位：cm）服从正态分布N（10，0.04），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm和9.35cm，则可认为（）A．上午生产情况异常，下午生产情况正常B．上午生产情况正常，下午生产情况异常C．上、下午生产情况均正常D．上、下午生产情况均异常27．设两个正态分布N1（μ1，σ）和N2（μ2，）的密度函数曲线如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ228．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X（单位：辆）均服从正态分布N（600，σ2），若P（500＜X＜700）＝0.6，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A．B．C．D．29．设随机变量ξ：N（2，2），则D（ξ）＝（）A．1B．2C．D．430．某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102），已知P（90≤ξ≤100）＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为（）A．20B．10C．14D．2131．当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3时，正态曲线N（0，σ2）的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A．σ1＜σ2＜σ3B．σ1＜σ3＜σ2C．σ2＜σ1＜σ3D．σ3＜σ2＜σ1 32．已知随机变量X～N（2，σ2），若P（X≤1﹣a）+P（X≤1+2a）＝1，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．433．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）＝34．随机变量X～N（3，σ2），且P（0＜X＜3）＝0.35，则P（X＞6）＝．35．设随机变量X～N（1，δ2），且P（X＞2）＝，则P（0＜X＜1）＝．36．若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z≤μ+2σ）＝0.9544．已知随机变量X～N（6，4），则P（2＜X≤8）．37．随机变量ξ服从正态分布ξ：N（μ，σ2），若p（μ﹣2＜ξ≤μ）＝0.241，则P（ξ＞μ+2）＝．37．某中学为了了解该校高中学生的体重情况，现随机抽取该校150名高中学生，并测量每个人的体重后得到如图5的频率分布直方图．（1）求这150名高中学生体重的样本平均数和样本方差s2；（同一组中的数据用该区间的中点值代替）（2）根据频率分布直方图，我们认为该校高中学生的体重Z服从正态分布N（u，δ2），其中u近似为样本平均数，δ2近似为样本方差s2；如果体重Z满足Z＜33.4或Z＞106.6，则该生的体重有严重问题．①利用该正态分布，求P（Z＜33.4）；②某机构从该校高中学生中任取1000名学生，记X表示这1000名学生中体重有严重问题的人数，求EX．附：≈12.2，若Z～N（u+δ2），则P（u﹣δ＜Z＜u+δ）＝0.6826，P（u﹣2δ＜Z＜u+2δ）＝0.9544，P（u﹣3δ＜Z＜u+3δ）＝0.9974．38．为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954539．甲市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N（168，16）．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164），第2组[164，168），…，第6组[180，184]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（I）根据50名高三男生身高的频率分布直方图，求这50名高三男生身高的中位数的估计值；（II）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（III）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．40．从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值（记为Z），由测量结果得如下频率分布直方图：（1）公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z＜95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2（同一组中的数据用该区间的中点值作代表）．①利用该正态分布，求P（87.8＜Z＜112.2）；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间（87.8，112.2）的产品件数，利用①的结果，求E（X）．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544．38．党的十八大以来，党中央从全面建成小康社会全局出发，把扶贫工作摆在治国理政的突出位置，全面打响脱贫攻坚战，2018年6月《中共中央、国务院关于打赢脱贫攻坚战三年行动的指导意见》发布，对精准脱贫这一攻坚战做出了新的部署，2019年3月，十三届全国人大二次会议召开，3月7日，国务院扶贫办刘永富回答记者问时表示：“我国脱贫攻坚取得显著成就，贫困人口从2012年的9899万人减少到2018年的1660万人，连续6年平均每年减贫1300多万人．并表示：“今年再努力一年，攻坚克难，再减少贫困人口1000万人以上，再摘帽300个县左右．”根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.2万元的家庭确定为“贫困户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2018年的全年收入进行调查，抽查结果如下频率分布直方图：（1）求这200户家庭的全年收人的样本平均值和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这200户家庭收入Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（Z＜1.2）；（ii）若从该县100万户中随机抽取100户，记X为这100户家庭中“贫困户的数量，利用（i）的结果求E（X）；附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.683，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954．39．为了改善市民的生活环境，信阳市决定对信阳市的1万家中小型化工企业进行污染情况摸排，并出台相应的整治措施．通过对这些企业的排污口水质，周边空气质量等的检验，把污染情况综合折算成标准分100分，发现信阳市的这些化工企业污染情况标准分基本服从正态分布N（50，162），分值越低，说明污染越严重；如果分值在[50，60]内，可以认为该企业治污水平基本达标．（1）如图信阳市的某工业区所有被调查的化工企业的污染情况标准分的频率分布直方图，请计算这个工业区被调查的化工企业的污染情况标准分的平均值，并判断该工业区的化工企业的治污平均值水平是否基本达标；（2）大量调査表明，如果污染企业继续生产，那么标准分低于18分的化工企业每月对周边造成的直接损失约为10万元，标准分在[18，34）内的化工企业每月对周边造成的直接损失约为4万元．长沙市决定关停80%的标准分低于18分的化工企业和60%的标准分在[18，34）内的化工企业，每月可减少的直接损失约有多少？（附：若随机变量X∼N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝68.3%，P（μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.4%，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝99.7%）40．2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．。
高二数学-正态分布练习题
xyO 正态分布㈠ 知识点回顾：1、正态分布概念：若连续型随机变量ξ的概率密度函数为),(,21)(222)(∞+-∞∈=--x e x f x σμσπ，其中,σμ为常数，且0σ>，则称ξ服从正态分布，简记为ξ～()2,N μσ。
()f x 的图象称为正态曲线。
2、正态分布的期望与方差若ξ～()2,N μσ，则2,E D ξμξσ==3、正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．②曲线关于直线x=μ对称．③曲线在x=μ时位于最高点．④当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线，向它无限靠近．⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4、在标准正态分布表中相应于0x 的值()0x Φ是指总体取值小于0x 的概率即 ()()00x P x x Φ=<00≥x 时，则)(0x Φ的值可在标准正态分布表中查到00<x 时，可利用其图象的对称性获得)(1)(00x x -Φ-=Φ来求出，)()()()()(121221x x x P x P x x P Φ-Φ=<-<=<<ξξξ5、两个重要公式：① ②)(0x Φ())()(1221x x x x P Φ-Φ=<<ξ())(100x x -Φ-=Φ)(0x Φ)(10x -Φ-（6）、()2,N μσ与()0,1N 的关系： ①若ξ～()2,N μσ，有()()000x P x F x μξσ-⎛⎫<==Φ ⎪⎝⎭②若ξ～()2,N μσ，则()2112x x P x x x μμσσ--⎛⎫⎛⎫<<=Φ-Φ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二）习题一、选择题1.某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为)(1021)(200)80(2R x e x f x ∈⋅=--π，则下列命题不正确的是 （ B ） A ．该市这次考试的数学平均成绩为80分；B ．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C ．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D ．该市这次考试的数学成绩标准差为10.2.设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（D ）A.2p B. 1p - C. 12p - D. 12p - 3.设随机变量),(~2σμξN ，且 )()(c P c P >=≤ξξ，则c 等于（ D ）μμσ...0.D C B A -4. 已知正态分布曲线关于y 轴对称，则μ值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．0 D.不确定5.正态分布N （0，1）在区间（－2，－1）和（1，2）上的取值的概率分别为12,p p ，则12,p p 的大小关系为（ ）A ．12p p <B ．12p p >C ．12p p = D.不确定6.设随机变量),(~2σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)11(≤<-ξP =( B )1)2(2.)4()2(.)2()4(.1)1(2.-ΦΦ-ΦΦ-Φ-ΦD C B A7.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（ A ）A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ，0.848.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( B )A.1B.2C.3D.49.已知随机变量ζ服从正态分布N (3,a 2),则P (3)ζ<＝（ D ） (A)15 (B)14 (C)13 (D)121x 2x10.若φ(3)=0.9987，则标准正态总体在区间(－3，3)内取值的概率为 (B)A ．0.9987B ．0.9974C ．0.944D ． 0.841311、设随机变量服从正态分布N(0,1),p(ξ＞1)＝P ，则P(－1＜ξ＜1)＝ （ C ）A ．12PB ．1－PC ．1－2PD ．12－P12.（07湖南卷,5）设随机变量ξ服从标准正态分布()0,1N 。
正态分布课后练习题
正态分布课后练习题正态分布是概率论与统计学中非常重要的一个概念，它在现实生活中的应用非常广泛。
为了更好地掌握正态分布的相关知识，下面我将给大家提供一些正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家巩固所学知识。
练习题1：某公司的员工薪资服从正态分布，均值为5000元，标准差为1000元。
请计算以下几个问题：1. 员工薪资在4000元以上的概率是多少？2. 员工薪资在6000元以下的概率是多少？3. 员工薪资在4000元到6000元之间的概率是多少？练习题2：某学校的学生身高服从正态分布，均值为165厘米，标准差为5厘米。
请计算以下几个问题：1. 学生身高在170厘米以上的概率是多少？2. 学生身高在160厘米以下的概率是多少？3. 学生身高在160厘米到170厘米之间的概率是多少？练习题3：某超市的顾客购买的商品金额服从正态分布，均值为50元，标准差为10元。
请计算以下几个问题：1. 顾客购买的商品金额在60元以上的概率是多少？2. 顾客购买的商品金额在40元以下的概率是多少？3. 顾客购买的商品金额在40元到60元之间的概率是多少？练习题4：某地区的降雨量服从正态分布，均值为50毫米，标准差为10毫米。
请计算以下几个问题：1. 降雨量在60毫米以上的概率是多少？2. 降雨量在40毫米以下的概率是多少？3. 降雨量在40毫米到60毫米之间的概率是多少？以上是一些关于正态分布的课后练习题，希望能够帮助大家更好地理解和应用正态分布的知识。
在解答这些问题时，可以利用标准正态分布表或者统计软件进行计算。
同时，在计算过程中要注意将问题转化为标准正态分布的问题，再进行计算，以便得到准确的结果。
正态分布在实际生活中有着广泛的应用，比如在质量控制中，我们可以利用正态分布来判断产品是否合格；在心理学研究中，我们可以利用正态分布来分析人群的智力水平分布；在金融领域，我们可以利用正态分布来分析股票价格的变动情况等等。
因此，掌握正态分布的相关知识对我们的学习和工作都具有重要意义。
医学统计学正态分布习题及答案
1.96
二、是非题
1．对于偏态分布资料， 1.96
范围内也包含了95%的变量值（ ）
答案：错
2．正态分布在横轴上的位置由均数决定 （）
答案：对
3．任何一个正态分布都可以通过标准化 变换转化为标准正态分布（ ）
答案：对
4．设随机变量的值在(0，+)范围中， 从该变量值的总体中抽样，若样本的标 准差大于样本均数，则可推断不服从正 态分布（ ）
4．在排放的工业废水中规定有害物质含 量不能超过0.005。现从某企业排出的废 水中抽取10份水样，测出有害物质的平 均含量为：0.0053，标准差为：0.0004。
假设某企业排出的废水符合标准，从该 企业排出的废水中抽到的含量为10的样 本是否小概率事件？
5．某医院要求除内科之外的各科室住院 病人的平均住院日均不超过20天。该院 某科对科室全部病人计算出平均住院日 为15天。科主任认为：该科室目前已达 到了医院的要求。这个看法是否正确？
10．某市500名10岁正常男孩中，有95% 的人体重在 18～30kg范围内，由此可知 此500名男孩体重的标准差等于（ ） kg
A 2.000
B 2.326
C 6.122
D 3.061
E 6.000 答案：D
11．对于服从标准正态分布的变量，有 （）
A 的概率是0.10 B 的概率是0.025 C 的概率是0.05 D 的概率是0.01 E 的概率是0.005 答案：B
二、是非判断题
1．对于一个含量为n样本，为了推断该 样本是否取自均数为μ0的总体，需要对 该样本的均数与μ0之间的差别是否是抽 样误差进行假设检验（ ）
2．从均数为μ0的总体中抽取一个含量为 n样本，必须对样本均数与μ0之间的差别 是否是抽样误差进行假设检验（ ）
正态分布及其经典习题和答案
25.3正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观〔如实际问题的直观图〕，认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：〔1〕随机变量X 服从二项分布，且E 〔X 〕=2.4，V 〔X 〕=1.44，那么二项分布的参数n ，p 的值为 〔 〕 A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
〔2〕正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定〔与标准差的大小有关〕 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
〔3〕某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 〔 〕A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)， 80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
〔4〕从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。
答案：8.5。
解析：设两数之积为X ，∴ 〔5〕如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，那么1μ2μ，1σ2σ〔填大于，小于〕答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进展测试，至少答对2题才算合格.〔Ⅰ〕求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； 〔Ⅱ〕求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：〔Ⅰ〕依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. 〔Ⅱ〕设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，那么P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： 〔1〕求a,b 的值； 〔2〕比拟两名射手的水平. 答案：〔1〕a=0.3,b=0.4; 〔2〕23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规那么为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该"心动〞.。
正态分布练习题
正态分布一、选择题１. ［2016·原创信息卷］设随机变量X 服从正态分布N (3,4),若P (Ｘ＞ａ2-４)=P (Ｘ<６-3a ）,则实数a 的值为()A. -5或2 Ｂ. -1或4 C. -5或４ D. -５或－1或2或42. 某班有41的学生数学成绩优秀,如果从班中随机地找出5名同学,那么其中数学成绩优秀的学生数X ～B )41,5(,则Ｅ(2X +1)等于 ()Ａ. 45 B. 25 C ． ３ D. 27 3. 已知X~Ｂ（ｎ,21)，Y~B （ｎ，31）,且Ｅ(X )＝15,则E （Y ）等于 () Ａ. 5 B. １0 C. 1５ D ． ２0 4． 已知随机变量X 服从正态分布N （1,σ2),若Ｐ(X ≤2)=0.7２，则P （X ≤０）＝()A ． 0.22 B. 0.２８ Ｃ. 0.36 D ． 0．６45. 已知随机变量ξ服从正态分布Ｎ(1,σ2）,且P (ξ<2)=0.8,则Ｐ(０<ξ＜1）=()A. 0.2B. 0.3C. ０.4D. 0.6６． 如果随机变量ξ~Ｎ(μ,σ2),Eξ=3,Dξ=1,则Ｐ(－1≤ξ＜1)等于(）A. 2Φ(4)-1B. Φ(4)－Φ(2)C. Φ(2)-Φ（4) D ． Φ(-４)-Φ（-２）7． 设随机变量Ｘ服从正态分布N (μ,σ2),且函数f (x ）=x 2+4x +X 没有零点的概率为21,则μ为 () A. 1 B ． ４ C ． 2 D. 不能确定8. 已知随机变量X 服从正态分布N （0，σ２）,Ｐ(Ｘ＞2)=0.０23,则P (-2≤X ≤2）等于 （)A. 0.477 Ｂ. ０.６28 C. 0.９54 D. ０.９779． 已知随机变量Ｘ～N （2,σ２),若P (X ＜a ）＝０.３2，则P （a ≤X <４-a )等于 (）A. 0.36B. 0.６４C. 0.48D. ０.5210． 某次数学考试中考生的分数X~N (90，１00),则分数在70~１10分的考生占总考生数的百分比是 (）A ． ３1.74%B ． 68.２6％C ． 95.４４%D ． 99.74%二、填空题11. 有学生６00人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分）服从正态分布Ｎ(1００,σ2）,统计结果显示学生考试成绩在８0分到100分之间的人数约占总人数的31,则此次考试成绩不低于120分的学生约有人． 12. 已知Ｘ~N (０，σ２),且Ｐ(-2<Ｘ<0)＝0．4，则Ｐ(X >２)的值为.13. 如果随机变量X 服从N (μ,σ2)(σ＞０),且E (Ｘ)=3,Ｄ（X ）=１，则μ=_＿＿_＿＿_，σ=___＿___. 14. 某中学高三年级共有学生１ 20０人,一次数学考试的成绩（满分150分)服从正态分布N (100,σ2），统计结果显示学生成绩在8０分到１００分之间的人数约占总人数的31，则此次考试成绩不低于120分的学生约有人.１5.已知正态分布的数据落在区间(－3，-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态分布的均值为.16. 设随机变量X～N(2,9),若P（X>c+１)=P(Ｘ<c-1）,c的值是.参考答案１．【答案】B【解析】本题考查正态分布的几何性质.由随机变量X服从正态分布N(３,４）可知正态函数关于x＝３对称,又P(X＞ａ2－４)=P(Ｘ<6－3a),所以ａ2-4＋6-3ａ=6,解得ａ=－1或4．2.【答案】D【解析】3.【答案】B【解析】4. 【答案】B【解析】因为X服从正态分布N(1,σ2）,所以对称轴是ｘ=1，所以Ｐ（X≤0)=P(X≥2)=1－ P(X≤２)=1-0.７２＝０.28,所以选Ｂ.5.【答案】B【解析】因为ξ服从正态分布N（１,σ２),即对称轴是x=1,所以P(ξ≤1)＝０.5，且Ｐ(0<ξ<１)=P(1<ξ<2)．因为P(ξ＜2)=０.8，所以P(１<ξ<2)=P(ξ＜2)-P(ξ≤1）=0.3,即P(0<ξ<１)=0.3. 6．【答案】B【解析】7.【答案】B【解析】二次函数没零点，则判别式小于零，据此得到,所以8．【答案】C【解析】由题意得,∵P(X>2)＝０.02３,∴P（Ｘ＜－2)=０.023，故P(－2≤X≤2)=1-P(X＞2）-P(X<-2)=0．9５4.9.【答案】A【解析】1０. 【答案】C【解析】X～N(9０，100),则μ=9０,σ=10．则μ-2σ=7０，μ+2σ=110．故分数在70~1１0分的考生占总考生数的百分比是９5．44%.11. 【答案】１00【解析】因为数学考试成绩X~N(100,σ２)，所以对称轴为x=10０，因为P(８0≤X≤100)＝，所以P（100≤X≤120)=，且P(X≥12０)=P(Ｘ≤80),所以Ｐ(X≥120)＝，所以成绩不低于120分的学生约为600×＝１00(人).１2. 【答案】0.1【解析】由题意知,∵正态曲线关于直线x=0对称,∴Ｐ(0＜X<2)＝0.４.∴Ｐ（X>2)＝P(X>0)-P(0<X<２)＝０.５-0.4=0.１.1３.【答案】31【解析】由题意知,∵X~N（μ,σ2)，∴E(X)＝μ=3，D(X)＝σ2=１.∴σ=１．１4. 【答案】2０0【解析】由于成绩服从正态分布N(100，σ2), 且在80分到100分之间的人数约占总人数的, 因此100分到1２０分之间的人数也约占总人数的，而80分以下与不低于120分的人数共占总人数的，且比例相同,故要求的学生约有×１ 20０=200 (人).１５. 【答案】１【解析】该正态曲线在区间(－３,-1)和区间(３,5)上是对称的．∵区间(-３,-1)和区间(３,5)关于直线x=1对称, ∴正态分布的均值就是1.1６．【答案】2【解析】由Ｘ~N(２,９)可知，密度函数关于直线x=2对称，如图所示，由题意知2-（c-1）=(c+１)－2,故c=２.。
2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册7.5正态分布 同步课时练习题含答案解析
7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量ξ服从正态分布()10,4N ξ，则标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．10D ．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为ξ服从正态分布()10,4N ξ可知:方差为4，故标准差为2，2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布()~0,0.64X N ，()~0,1Y N ，()~0,4Z N 的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为（ ）.A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得()0.8X σ=，()1Y σ=，()2Z σ=，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且()()()X Y Z σσσ<<， 所以三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量X 的概率分布密度函数()()()2212x f x x σ--=∈R ，其图象如图所示，设()2P X p ≥=，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．pB ．2pC ．12p -D ．12p -A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B ．若X 是随机变量，则()()()()2121,2141E X E X D X D X +=++=+.C ．已知随机变量()0,1N ξ，若(1)P p ξ>=，则(1)12P p ξ>-=-D ．设随机变量ξ表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则()14D ξ≤某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布()29,1N ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=. A ．12 B ．16C ．30D ．32所以每天学习时间超过10小时的人数为1000.158716⨯≈，6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X 服从正态分布()22,N σ（单位：m ），()1.90.1P X <=，则()2.1P X <=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【答案】D【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为()()1.9 2.10.1P X P X <=>=， 所以()1.9 2.110.10.10.8P X <<=--=，所以()()()2.1 1.9 2.1 1.90.9P X P X P X <=<<+<=，7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4XN ，则下列说法错误的是（ ）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间低于4h 的人数约占2.28% ()8,4N 知)100.6826≤≈46h 的人数约占(62P X -≤，所以C 错误；0.95442.28%=从N （90，2σ），若()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为500.210⨯=人， 9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(1)(5)P X P X >-=<，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3μ=B ．2μ=C ．3σ=D ．2σ=分）服从正态分布()285,N σ，且(8387)0.3,(7883)0.26P P ξξ<≤=<≤=，则(78)P ξ≤=（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.0911．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为1 【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A 对，根据对称性可知B 对，根据3σ原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由()282.5,5.4N Z ～，可知82.5, 5.4μσ==，所以平均分为82.5μ=，故A 对.12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知121,X N σ~，220,Y N σ~，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12σσ=，则()()10P X P Y >>>B ．若12σσ=，则()()101P X P Y >+>=C ．若12σσ>，则()()0211P X P Y ≤≤<-≤≤D ．若12σσ>，则()()0101P X P Y ≤≤>≤≤13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量()2,X N μσ，X 的正态密度函数为()22x f x -，则μ=______.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，若()310.5P a ξ≤+=，则实数=a ______．【答案】3【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（），结合题意得到a 的值．【详解】随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（）， 由()310.5P a ξ≤+=，可知3110a +=，解得3a =．15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=．16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()2110,10N ．已知(100110)0.34P X <≤=，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量X 服从正态分布，即()10,9X N ~，随机变量23Y X =-，则()E Y =__________，()D Y =__________． 【答案】 17 36【分析】首先根据正态分布的知识得()(),E X D X ，然后可得答案. 【详解】因为()10,9X N ~，所以()()10,9E X D X ==，因为23Y X =-，所以()()2320317E Y E X =-=-=，()()436D Y D X ==， 五、解答题18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ． (1)求μ和σ；(2)已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈． (200,36N )200180.9974+≈所以五个零件的内径中恰有1态分布()2N 500,5（单位：g ）．(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？。
概率分布的正态分布与均匀分布练习题
概率分布的正态分布与均匀分布练习题1. 问题描述：设随机变量X服从正态分布N(μ1, σ1^2)，随机变量Y服从均匀分布U(a, b)。
根据给定的参数，回答以下问题：1.1 正态分布题a) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(X ＜ 8)。
b) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(X＞6)。
c) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(8＜X＜12)。
d) 若X的均值μ1为10，标准差σ1为2，求P(|X - 10| ≤ 2)。
1.2 均匀分布题a) 若Y服从均匀分布U(0, 2)，求P(Y＞1)。
b) 若Y服从均匀分布U(-1, 1)，求P(Y ≥ -0.5)。
c) 若Y服从均匀分布U(2, 6)，求P(3＜Y＜5)。
d) 若Y服从均匀分布U(3, 9)，求P(Y - 6 ≤ 1)。
2. 解答：2.1 正态分布题a) 根据正态分布的性质，转化为标准正态分布求解：Z = (X - μ1) / σ1 = (8 - 10) / 2 = -1标准正态分布表中查得P(Z ＜ -1) = 0.1587因此，P(X ＜ 8) = P(Z ＜ -1) = 0.1587b) 同样转化为标准正态分布求解：Z = (X - μ1) / σ1 = (6 - 10) / 2 = -2标准正态分布表中查得P(Z ＞ -2) = 0.9772因此，P(X ＞ 6) = P(Z ＞ -2) = 0.9772c) 根据性质转化为标准正态分布求解：Z1 = (8 - μ1) / σ1 = (8 - 10) / 2 = -1Z2 = (12 - μ1) / σ1 = (12 - 10) / 2 = 1P(8＜X＜12) = P(-1＜Z＜1)在标准正态分布表中查得P(-1＜Z＜1) = 0.6827因此，P(8＜X＜12) = P(-1＜Z＜1) = 0.6827d) 将不等式转化为两个等式，并根据性质求解： |X - 10| ≤ 2 --> -2 ≤ X - 10 ≤ 2X - 10 ≥ -2 --> X ≥ 8X - 10 ≤ 2 --> X ≤ 12P(|X - 10| ≤ 2) = P(8 ≤ X ≤ 12)P(8 ≤ X ≤ 12) = P((8 - μ1) / σ1 ≤ Z ≤ (12 - μ1) / σ1)P(8 ≤ X ≤ 12) = P((-1) ≤ Z ≤ 1)在标准正态分布表中查得P(-1 ≤ Z ≤ 1) = 0.6827因此，P(8 ≤ X ≤ 12) = P((-1) ≤ Z ≤ 1) = 0.68272.2 均匀分布题a) 根据均匀分布的概率密度函数，计算概率： P(Y＞1) = (b - 1) / (b - a)P(Y＞1) = (2 - 1) / (2 - 0) = 1/2b) 同样利用概率密度函数求解：P(Y ≥ -0.5) = (1 - (-0.5)) / (1 - (-1))P(Y ≥ -0.5) = 1.5 / 2 = 3/4c) 根据概率密度函数计算概率：P(3＜Y＜5) = (5 - 3) / (6 - 2)P(3＜Y＜5) = 2 / 4 = 1/2d) 利用概率密度函数求解：P(Y - 6 ≤ 1) = (1 - (3 - 6)) / (9 - 3)P(Y - 6 ≤ 1) = (1 + 3) / 6 = 4/6 = 2/3以上就是给定问题的解答，涉及到正态分布和均匀分布的概率计算及性质运用。
课时作业10：2.4 正态分布
§2.4 正态分布1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则下列说法中正确的是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙总体的平均数不相同 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 A解析 由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差 答案 C解析 因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P (ξ>4)＝12＝1－P (ξ<4)，故P (ξ<4)＝12，所以μ＝4.3．已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布N (90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有( ) A ．997人 B ．972人 C ．954人D ．683人考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 C解析 依题意可知μ＝90，σ＝15，故P (60<X <120)＝P (90－2×15<X <90＋2×15)＝0.954,1 000×0.954＝954，故大约有学生954人．4．在某项测量中，测量结果X 服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)．若X 在(0,1)内取值的概率为0.4，则X 在(0,2)内取值的概率为________． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 答案 0.8解析 如图，易得P (0<X <1)＝P (1<X <2)，故P (0<X <2)＝2P (0<X <1)＝2×0.4＝0.8.5．设随机变量X ～N (0,1)，求P (X <0)，P (－2<X <2)． 考点 正态分布的概念及性质 题点 正态分布下的概率计算 解 对称轴为X ＝0，故P (X <0)＝0.5， P (－2<X <2)＝P (0－2×1<X <0＋2×1)＝0.954.1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这两个特点． ①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等； ②P (X <a )＝1－P (X >a )，P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.一、选择题1．若随机变量X的概率密度函数是f(x)＝2(1)81e2x--⋅2π，x∈(－∞，＋∞)，则E(2X＋1)的值是()A．5 B．9 C．3 D．2考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线性质的应用答案 C解析由f(x)＝2(1)81e2x--⋅2π知，μ＝1，∴E(X)＝1，∴E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝3.2．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，且P(ξ<c)＝P(ξ>c)，则c的值为()A．0 B．μC．－μD．σ考点正态分布密度函数的概念题点正态曲线性质的应用答案 B解析由正态分布密度曲线的性质知，曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，且曲线与横轴之间的面积为1，则有c＝μ.3．如图所示是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3答案 D解析当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f(x)22x-2π在x＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2<X<0)＝0.4，则P(X>2)等于()A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4考点正态分布的概念及性质题点正态分布下的概率计算答案 A解析 ∵X ～N (0，σ2)，∴μ＝0.又∵P (－2<X <0)＝0.4，∴P (X >2)＝12(1－0.4×2)＝0.1.5．设X ～N (μ1，σ21)，Y ～N (μ2，σ22)，这两个正态曲线如图所示．则下列结论中正确的是( )A ．P (Y >μ2)≥P (Y >μ1)B ．P (X <σ2)≤P (X <σ1)C ．对任意正数t ，P (X <t )>P (Y <t )D ．对任意正数t ，P (X >t )>P (Y >t ) 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线 答案 C解析 由题图可知μ1<0<μ2，σ1<σ2， ∴P (Y >μ2)<P (Y >μ1)，故A 错； P (X <σ2)>P (X <σ1)，故B 错；当t 为任意正数时，由题图可知P (X <t )>P (Y <t )， 而P (X <t )＝1－P (X >t )，P (Y <t )＝1－P (Y >t )， ∴P (X >t )<P (Y >t )，故C 正确，D 错．6.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X <μ＋σ)＝0.683， P (μ－2σ＜X <μ＋2σ)＝0.954.A ．2 386B ．2 718C ．3 415D ．4 772 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的综合应用 答案 C解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X <1)＝0.683， ∴P (0<X <1)＝12×0.683＝0.341 5，故S ≈0.341 5.∴落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1，∴x ＝10 000×0.341 5＝3 415，故选C.7．在某市2018年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N (98,100)．已知参加本次考试的全市理科学生约有9 450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第( ) A ．1 498名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 A解析 因为理科生的数学成绩X 服从正态分布N (98,100)，所以P (X >108)＝12[1－P (88<X <108)]＝12[1－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12×(1－0.683)＝0.158 5，所以0.158 5×9 450≈1 498，故该学生的数学成绩大约排在全市第1 498名．8．若随机变量X 的密度为f (x )22x -，X 在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p 1，p 2，则p 1，p 2的关系为( ) A ．p 1>p 2 B ．p 1<p 2 C ．p 1＝p 2 D ．不确定答案 C解析 由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2. 二、填空题9．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ>3)＝P (ξ＜－1)，则E (ξ)＝________. 考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差 答案 1解析 根据题意ξ～N (μ，σ2)，∴μ＝3＋(－1)2＝1，∴E (ξ)＝μ＝1.10．已知某正态分布的概率密度函数为f (x )2(1)2x --，x ∈(－∞，＋∞)，则函数f (x )的极值点为________，X 落在区间(2,3)内的概率为________． 考点 正态分布密度函数的概念 题点 正态曲线性质的应用 答案 x ＝1 0.136解析 由正态分布的概率密度函数，知μ＝1，σ＝1， 所以正态曲线关于直线x ＝1对称， 且在x ＝1处取得最大值．根据正态曲线的特点可知x ＝1为f (x )的极大值点． 由X ～N (1,1)知，P (2<X <3) ＝12[P (－1<X <3)－P (0<X <2)] ＝12[P (1－2×1<X <1＋2×1)－P (1－1<X <1＋1)]＝12×(0.954－0.683)≈0.136. 11．据抽样统计显示，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X 服从正态分布N (60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名． 考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 231解析 依题意，得P (60－20<x <60＋20)＝0.954， P (X >80)＝12(1－0.954)＝0.023，故成绩高于80分的考生人数为10 000×0.023＝230. 所以该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第231名． 三、解答题12．已知随机变量X ～N (μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上为增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P (72<X <88)＝0.683. (1)求参数μ，σ的值； (2)求P (64＜X <72)．考点 正态分布的概念及性质 题点 求正态分布的数学期望或方差解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数， 在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80. 又P (72<X <88)＝0.683.结合P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，可知σ＝8. (2)因为P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (64<X <96)＝0.954. 又因为P (X <64)＝P (X >96)， 所以P (X <64)＝12(1－0.954)＝0.023，所以P (X >64)＝0.977.又P (X <72)＝12[1－P (72<X <88)]＝12×(1－0.683)≈0.159， 所以P (X >72)＝0.841，P (64<X <72)＝P (X >64)－P (X >72)≈0.136.13．在一次全国高中五省大联考中，有90万名学生参加考试，考后对所有学生的成绩统计发现，英语成绩服从正态分布N (μ，σ2)．用如下茎叶图列举了20名学生的英语成绩，巧合的是这20个数据的平均数和方差恰好比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9.(1)求μ，σ；(2)给出正态分布的数据：P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.①若从这90万名学生成绩中随机抽取1名学生的成绩，求该学生英语成绩在(82.1,103.1)内的概率；②若从这90万名学生成绩中随机抽取1万名学生的成绩，记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，求X 的数学期望． 解 (1)由茎叶图得这20个数据的平均数： x ＝120×(79＋80＋81＋82＋87＋87＋88＋88＋89＋90×4＋91＋92＋93＋93＋100＋101＋109)＝90，∵这20个数据的平均数和方差恰比所有90万个数据的平均数和方差都多0.9，且这20个数据的方差为49.9，英语成绩服从正态分布N (μ，σ2)， ∴μ＝90－0.9＝89.1，σ＝49.9－0.9＝7. (2)①∵英语成绩服从正态分布N (89.1,49)，P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954，∴P (82.1＜X ＜96.1)＝0.683，P (75.1＜X ＜103.1)＝0.954，由题意知x 服从正态分布N (89.1,49)，作出相应的正态曲线，如图，依题意P (82.1<X <96.1)＝0.683，P (75.1<X <103.1)＝0.954，即曲边梯形ABCD 的面积为0.954，曲边梯形EFGH 的面积为0.683，其中A ，E ，F ，B 的横坐标分别是75.1，82.1,96.1,103.1，由曲线关于直线x ＝89.1对称，可知曲边梯形EBCH 的面积为0.954－0.954－0.6832≈0.819，即该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率约为0.819.②∵从这90万名学生中随机抽取1名，该生英语成绩在(82.1,103.1)的概率为0.819， 且从这90万名学生中随机抽取1万名，记X 为这1万名学生中英语成绩在(82.1,103.1)的人数，∵X ～B (10 000,0.819)，∴X 的数学期望E (X )＝0.819×10 000＝8 190. 四、探究与拓展14．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg 小于62.5 kg 属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．考点 正态分布的应用 题点 正态分布的实际应用 答案 683解析 依题意可知，μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X <62.5)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，从而属于正常情况的人数为1 000×0.683≈683.15．某市教育局为了了解高三学生的体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试(满分为100分)，经分析，全市学生体能测试成绩X 服从正态分布N (80，σ2)，已知P (X <75)＝0.3，P(X>95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(80,85)，(85,95)，(95,100)内各有一位同学的概率；(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间(75,85)内的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解(1)P(80<X<85)＝0.5－P(X<75)＝0.2，P(85<X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，故所求概率P＝A33×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75<X<85)＝1－2P(X<75)＝0.4，故ξ服从二项分布B(3,0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝C13×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝C23×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝C33×0.43＝0.064.所以随机变量ξ的分布列为E(ξ)＝3×0.4＝1.2.。
正态分布应用练习题
正态分布应用练习题正态分布（也称为高斯分布）是统计学中一种常见的概率分布。
它是以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名的，因为他在研究测量误差时首先提出了这个分布。
正态分布在实际问题中的应用非常广泛，包括经济学、自然科学、社会科学等领域。
在本文中，我们将通过一些练习题来应用正态分布。
练习题一：考试成绩假设一门考试的平均分为80分，标准差为10分，试求该门考试的成绩分布情况。
解答：根据正态分布理论，我们可以利用正态分布的概率密度函数来计算某个分数的概率。
设考试成绩为X，则X服从正态分布N(80, 10^2)。
现假设有一名学生的考试成绩为90分，我们可以计算该成绩在整个考试成绩中的排名。
根据正态分布的概率密度函数，我们可以得到：P(X ≤ 90) = Φ((90-80)/10)其中，Φ表示标准正态分布的累积分布函数。
查找标准正态分布表可得Φ(1) ≈ 0.8413。
因此，P(X ≤ 90) ≈ 0.8413，也就是说，该学生的考试成绩在所有考试成绩中排名约为84.13%。
练习题二：产品质量控制某公司生产的产品每天的重量符合正态分布，平均重量为500克，标准差为10克。
该公司规定产品的合格范围在490克到510克之间。
现在，我们要求计算该公司生产的产品中，重量符合规定范围的比例。
解答：设产品重量为X，X服从正态分布N(500, 10^2)。
我们可以计算该产品的重量在规定范围内的概率。
P(490 ≤ X ≤ 510) = Φ((510-500)/10) - Φ((490-500)/10)通过查找标准正态分布表，我们可以得到Φ(1) ≈ 0.8413 和Φ(-1) ≈ 0.1587。
因此，P(490 ≤ X ≤ 510) ≈ 0.8413 - 0.1587 ≈ 0.6826。
即该公司生产的产品中，重量在490克到510克之间的比例约为68.26%。
练习题三：房屋租金某城市的房屋租金符合正态分布，平均租金为5000元，标准差为1000元。
正态分布公式练习题
正态分布公式练习题正态分布是统计学中的一种重要概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。
它在自然界和社会科学的许多现象中都有广泛应用。
了解正态分布的公式和运用方法对于统计学学习和实践具有重要意义。
本文将针对正态分布的公式进行练习题，并帮助读者加深对该概率分布的理解。
练习题一：某服装店销售的服装裤子的腰围（cm）符合正态分布，均值为80，标准差为5。
计算：1. 高于85cm的裤子的概率是多少？2. 低于75cm的裤子的概率是多少？解答：1. 高于85cm的裤子概率 = 1 - P(X <= 85)其中，X为服装裤子的腰围，符合正态分布，均值为80，标准差为5。
首先将85转化为标准分数（Z-Score）：Z = (X - μ) / σ = (85 - 80) / 5 = 1然后查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。
高于85cm的裤子概率 = 1 - 0.8413 = 0.15872. 低于75cm的裤子概率 = P(X < 75)同样地，将75转化为标准分数：Z = (75 - 80) / 5 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。
低于75cm的裤子概率 = 0.1587练习题二：某班级的学生成绩符合正态分布，均值为75，标准差为10。
计算：1. 该班级有多少学生的成绩在65分以上？2. 该班级有多少学生的成绩在85分以下？解答：1. 成绩在65分以上的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在65分以下的学生数量首先计算成绩在65分以下的学生概率：P(X < 65)将65转化为标准分数：Z = (65 - 75) / 10 = -1查找标准正态分布表，找到Z为-1对应的累积概率为0.1587。
成绩在65分以下的学生概率 = 0.1587成绩在65分以上的学生概率 = 1 - 0.1587 = 0.84132. 成绩在85分以下的学生数量 = 所有学生数量 - 成绩在85分以上的学生数量计算成绩在85分以上的学生概率：P(X > 85)将85转化为标准分数：Z = (85 - 75) / 10 = 1查找标准正态分布表，找到Z为1对应的累积概率为0.8413。
正态分布练习题
正态分布练习题正态分布练习题正态分布是概率统计中非常重要的一种分布形式，它在自然界和社会现象中都有广泛的应用。
掌握正态分布的概念和计算方法，对于我们理解和分析各种数据具有重要意义。
本文将通过一些练习题来帮助读者更好地理解和应用正态分布。
练习题一：某高中的学生身高符合正态分布，均值为165cm，标准差为5cm。
请计算以下问题：1. 该高中学生身高在160cm以上的概率是多少？2. 该高中学生身高在170cm以下的概率是多少？3. 该高中学生身高在160cm到170cm之间的概率是多少？解答：1. 根据正态分布的性质，我们可以计算出标准差对应的Z值。
对于160cm，其对应的Z值为(Z = (160-165)/5 = -1)。
然后利用标准正态分布表，我们可以查到Z值为-1时的概率为0.1587。
所以该高中学生身高在160cm以上的概率为1-0.1587=0.8413，即84.13%。
2. 同理，对于170cm，其对应的Z值为(Z = (170-165)/5 = 1)。
查表可得Z值为1时的概率为0.8413。
所以该高中学生身高在170cm以下的概率为0.8413，即84.13%。
3. 要计算该高中学生身高在160cm到170cm之间的概率，我们需要计算两个Z 值。
对于160cm，其对应的Z值为-1；对于170cm，其对应的Z值为1。
查表可得Z值为-1时的概率为0.1587，Z值为1时的概率为0.8413。
所以该高中学生身高在160cm到170cm之间的概率为0.8413-0.1587=0.6826，即68.26%。
练习题二：某服装店销售的女装尺码符合正态分布，均值为M，标准差为S。
已知有70%的顾客的身高在160cm以上，请计算该服装店女装尺码的均值和标准差。
解答：根据正态分布的性质，我们可以利用标准正态分布表来计算。
已知有70%的顾客的身高在160cm以上，即对应的Z值为(Z = (160-M)/S = 0.5244)。
课时作业13：2.4 正态分布
2.4 正态分布1．若ξ～N (1，14)，η＝6ξ，则E (η)等于( )A ．1 B.32 C ．6D ．362．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ≤0)＝( )A ．0.16B ．0.32C ．0.68D ．0.843．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X >4)＝( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 54．若随机变量ξ～N (0,1)，则P (|ξ|>3)等于( )A ．0.997 4B ．0.498 7C ．0.974 4D ．0.002 6 5．若随机变量ξ～N (－2,4)，则ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在下列哪个区间上取值的概率( )A ．(2,4]B ．(0,2]C ．(－2,0]D ．(－4,4]6．已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.87．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115]8．设离散型随机变量ξ～N (0,1)，则P (ξ≤0)＝________；P (－2<ξ<2)＝________.9．某种零件的尺寸X (cm)服从正态分布N (3,1)，则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件约占总数的________．10．某人从某城市的A 地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X ～N (50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．12．设随机变量ξ～N (3,4)，若P (ξ>c ＋2)＝P (ξ<c －2)，求c 的值．13．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2，求(1)X在(0,4)内取值的概率；(2)P(X>4)．14．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且X～N(110,202)，满分为150分，这个班的学生共有54人，求这个班在这次数学考试中及格(不小于90分)的人数和130分以上(不包括130分)的人数．15．设随机变量X服从正态分布X～N(8,1)，求P(5<X≤6)．参考答案1．【解析】 ∵ξ～N (1，14)，∴E (ξ)＝1，∴E (η)＝6E (ξ)＝6.【答案】 C2．【解析】 利用正态分布图像的对称性，P (ξ≤0)＝1－P (ξ≤4)＝1－0.84＝0.16. 【答案】 A3．【解析】 由正态密度函数的对称性知P (X >4)＝1－P (2≤X ≤4)2＝1－0.682 62＝0.158 7，故选B.【答案】 B 4【答案】 D 5．【答案】 C 6．【答案】 A7．【解析】 由于X ～N (110,52)，所以μ＝110，σ＝5，因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4，由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6＝41人，60×0.954 4＝57人，60×0.997 4＝60人． 【答案】 C8．【解析】 因为标准正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (ξ≤0)＝P (ξ>0)＝12.而P (－2<ξ<2)＝P (－2σ<ξ<2σ)＝0.954 4. 【答案】 12，0.954 49．【解析】 属于区间(μ－2σ，μ＋2σ)即区间(1,5)的取值概率约为95.44%，故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.44%＝4.56%. 【答案】 4.56%10．【解析】 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X ≤70)＝P (50－20<X ≤50＋20)＝0.954 4. 【答案】 0.954 4 11．【答案】 0.812．解 由ξ～N (3,4)可知，密度函数关于直线x ＝3对称(如下图所示)，又P (ξ>c ＋2)＝P (ξ<c －2)，故有 3－(c －2)＝(c ＋2)－3，∴c ＝3.13．解 (1)由于X ～N (2，σ2)，对称轴x ＝2，画出示意图，∵P (0<X <2)＝P (2<X <4)，∴P (0<X <4)＝2P (0<X <2)＝2×0.2＝0.4. (2)P (X >4)＝12[1－P (0<X <4)]＝12(1－0.4)＝0.3. 14．解 ∵X ～N (110,202)，∴μ＝110，σ＝20.∴P (110－20<X ≤110＋20)＝0.682 6. ∴X >130的概率为12×(1－0.682 6)＝0.158 7.∴X ≥90的概率为0.682 6＋0.158 7＝0.841 3. ∴及格的人数为54×0.841 3≈45(人)， 130分以上的人数为54×0.158 7≈9(人)． 15．解 由已知得μ＝8，σ＝1，∵P (6<X ≤10)＝0.954 4，P (5<X ≤11)＝0.997 4， ∴P (5<X ≤6)＋P (10<X ≤11)＝0.997 4－0.954 4＝0.043.如图，由正态曲线分布的对称性，得P (5<X ≤6)＝P (10<X ≤11)＝0.0432＝0.021 5.。
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专题：正态分布【知识网络】1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念；2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。
【典型例题】例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1答案：B 。
解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。
（2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。
A ．95%B ．50%C ．97.5%D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。
解析：由正态曲线的特点知。
（3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ）A 32B 16C 8D 20 答案：B 。
解析:数学成绩是X —N(80,102)，80809080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --⎛⎫≤≤=≤≤=≤≤≈⨯≈ ⎪⎝⎭。
（4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。
答案：8.5。
解析：设两数之积为X ，∴E(X)=8.5.（5）如图，两个正态分布曲线图：1为)(1,1x σμϕ，2为)(22x σμϕ，则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望E ξ=5961321210313010=⨯+⨯+⨯+⨯. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=310361426C C C C +=321202060=+，P (B )=15141205656310381228=+=+C C C C . 因为事件A 、B 相互独立， 方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为 ()()()45115141321=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=⋅B P A P B A P ∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 ()454445111=-=⋅-=B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544． 方法二：∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为()()()454415143215143115132=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A P B A P B A P P 答：甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544.例3：甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，其分布列如下： （1）求a,b 的值； （2）比较两名射手的水平. 答案：（1）a=0.3,b=0.4; （2）23.034.023.01,3.26.031.023.01=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=EY EX 6.0,855.0==DY DX所以说甲射手平均水平比乙好，但甲不如乙稳定.．例4：一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元.而且游戏是免费的.很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”.。
答案：设取出的红球数为X ，则X —H （6，6，12），666612()k kC C P X k C -⋅==，其中k=0,1,2,…,6设赢得的钱数为Y ，则Y 的分布列为∴1675100()100502010029.4446277154231E Y =⨯+⨯+⨯-⨯=-，故我们不该“心动”。
【课内练习】1．标准正态分布的均数与标准差分别为( )。
A ．0与1 B ．1与0 C ．0与0 D ．1与1 答案：A 。
解析：由标准正态分布的定义知。
2．正态分布有两个参数μ与σ，( )相应的正态曲线的形状越扁平。
A ．μ越大 B ．μ越小 C ．σ越大 D ．σ越小答案： C 。
解析：由正态密度曲线图象的特征知。
3．已在n 个数据n x x x ,,,21 ，那么()∑=-ni i x x n 121是指A ．σB ．μC ．2σD ．2μ（ ） 答案：C 。
解析：由方差的统计定义知。
4．设),(~p n B ξ，()12=ξE ，()4=ξV ，则n 的值是 。
答案：4。
解析：()12==np E ξ，()4)1(=-=p np V ξ5．对某个数学题，甲解出的概率为23，乙解出的概率为34，两人独立解题。
记X 为解出该题的人数，则E（X ）= 。
答案：1712。
解析：11121145(0),(1),3412343412P X P X ==⨯===⨯+⨯=231(2)342P X ==⨯=。
∴15117()012212212E X =⨯+⨯+⨯=。
6．设随机变量ξ服从正态分布)1,0(N ，则下列结论正确的是 。
(1))0)(|(|)|(|)|(|>=+<=<a a P a P a P ξξξ (2))0(1)(2)|(|>-<=<a a P a P ξξ (3))0)((21)|(|><-=<a a P a P ξξ (4))0)(|(|1)|(|>>-=<a a P a P ξξ答案：(1),(2),(4)。
解析：(||)0P a ξ==。
7．抛掷一颗骰子，设所得点数为X ，则V （X ）= 。
答案：3512。
解析：1(),1,2,,66P X k k ===，按定义计算得735(),()212E X V X ==。
8．有甲乙两个单位都想聘任你，你能获得的相应的职位的工资及可能性如下表所示：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位并说明理由。
答案： 由于E （甲）=E （乙），V （甲）<V （乙），故选择甲单位。
解析：E （甲）=E （乙）=1400，V （甲）=40000，V （乙）=160000。
9．交5元钱，可以参加一次摸奖。
一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和（设为ξ），求抽奖人获利的数学期望。
答案：解：因为ξ为抽到的2球的钱数之和，则ξ可能取的值为2，6，10.4528)2(21028===C C P ξ，4516)6(2101218===C C C P ξ，451)10(21022===C C P ξ 51845162451104516645282==⨯+⨯+⨯=ξE 设η为抽奖者获利的可能值，则5-=ξη，抽奖者获利的数学期望为5755185)5(-=-=-=-=ξξηE E E 故，抽奖人获利的期望为-75。
10．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92. （1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差.答案：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A 、B. 设甲独立解出此题的概率为P 1，乙为P 2. 则P （A ）=P 1=0.6, P(B)=P 2222()(0 1.4)0.08(1 1.4)0.44(2 1.4)0.480.15680.07040.17280.4V ξ=-⨯+-⨯+-⨯=++=，或利用22()()() 2.36 1.960.4V E E ξξξ=-=-=。
【作业本】A 组1．袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X 表示取出球的最大号码，则E （X ）等于 （ ）A 、4B 、5C 、4.5D 、4.75答案：C故E （X ）=32．下列函数是正态分布密度函数的是 （ ） A ．()σσπ2221)(r x ex f -=B ．2222)(x e x f -=ππC ．()412221)(-=x ex f πD ．2221)(x e x f π=答案：B 。
解析：选项B 是标准正态分布密度函数。
3．正态总体为1,0-==σμ概率密度函数)(x f 是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数 答案：B 。
解析：22()x f x -=。
4．已知正态总体落在区间()+∞,2.0的概率是0．5，那么相应的正态曲线在=x 时达到最高点。
答案：0.2。
解析：正态曲线关于直线x μ=对称，由题意知0.2μ=。
5．一次英语测验由40道选择题构成，每道有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得3分，选错或不选均不得分，满分120分，某学生选对一道题的概率为0.7，求该生在这次测验中的成绩的期望为 ；方差为 。
答案：84；75.6。
解析：设X 为该生选对试题个数，η为成绩，则X ～B （50，0.7），η=3X ∴E(X)=40×0.7=28 V(X)=40×0.7×0.3=8.4故E(η)=E(3X)=3E(X)=84 V(η)=V(3X)=9V(X)=75.66．某人进行一个试验，若试验成功则停止，若实验失败，再重新试验一次，若试验三次均失败，则放弃试验，若此人每次试验成功的概率为32，求此人试验次数X 的分布列及期望和方差。
解：X 的分布列为故22113()1233999E X =⨯+⨯+⨯=，22211338()149()399981V X =⨯+⨯+⨯-=。
7．甲、乙两名射击运动员，甲射击一次命中10环的概率为0.5，乙射击一次命中10环的概率为s ，若他们独立的射击两次，设乙命中10环的次数为X ，则EX=34，Y 为甲与乙命中10环的差的绝对值.求s 的值及Y 的分布列及期望.答案：解：由已知可得),2(~s B X ，故32,342===s s EX 所以．有Y 的取值可以是0，1，2.甲、乙两人命中10环的次数都是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是1次的概率是92)32313132)(21212121(=⨯+⨯⨯+⨯，甲、乙两人命中10环的次数都是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36139192361)0(=++==Y P ； 甲命中10环的次数是2且乙命中10环的次数是0次的概率是361)31()21(22=⨯，甲命中10环的次数是0且乙命中10环的次数是2次的概率是91)3232)(2121(=⨯⨯所以36591361)2(=+==Y P ，故21)2()0(1)1(==-=-==Y P Y P Y P所以 Y 的期望是E （Y ）=9。