角平分线性质定理及逆定理的证明
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理及其逆定理定理一、角平分线的性质定理及其逆定理1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
2.角平分线的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
不难发现，定理1的条件是定理2的结论，同时它的结论又是定理2的条件，它们互为逆定理。
定理1说明了角平分线上点的纯粹性，即：只要是角平分线上的点，它到此角两边一定等距离，而无一例外；定理2反映了角平分线的完备性，即只要是到角两边距离相等的点，都一定在角平分线上，而绝不会漏掉一个。
在实际应用中，前者用来证明线段相等，后者用来证明角相等或证明点在一个角的平分线上。
用数学语言可表示如下：例题一：（1）∵OC平分∠AOB，点P在射线OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E∴PD=PE（定理1）（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE∴OC平分∠AOB（定理2）例题二：如图，△ABC的ㄥB平分线BD与ㄥC的外角的平分线CE相较于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等。
从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等从P点向边AB做垂线,垂足为F,向BC边作垂线,垂足为G,向AC边作垂线,垂足为H因为BD是角ABC的角平分线所以PF=PG因为CE是角ACB的外角平分线所以PH=PG所以PF=PG=PH即,点P到三这AB,BC,CA所在直线的距离相等这题对吗？。
角平分线(1)性质定理与逆定理
角平分线（1） 性质定理与逆定理
角平分线
你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 A ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. D 分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的△OPD≌△OPB， O 1 2 E B P C
而△OPD≌△OPB的条件由已 知易知它满足公理(AAS).
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
角平分线定理
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC 上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别是D,E(已知) O ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等).
A
D 1 2 E B P C
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
角平分线逆定理
你能写出“定理 角平分线上的点到 这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 A 点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB, 1 P O 2 C PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. E 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 B 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
′
逆定理
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一.
八年级数学角的平分线的性质及其逆定理通用版知识精讲
初二数学角的平分线的性质及其逆定理通用版【本讲主要内容】角的平分线的性质及其逆定理【知识掌握】 【知识点精析】1. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；2. 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
以上两个定理互为逆定理，要正确加以区分，性质1是指如果一个点在一个角的平分线上，可以得出它到角的两边的距离相等； 而性质2却与它恰好相反，如果一个点到角的两边距离相等，那么它的位置一定在这个角的平分线上。
通俗地说，性质1是先知点的位置，得到它的性质；性质2先由点满足某个性质，再确定它的位置。
【解题方法指导】例1. 已知：如图所示，E 是AD 上一点，∠=∠⊥⊥BAD CAD EB AB EC AC ，，。
求证：∠=∠DBE DCE分析：欲证∠=∠DBE DCE ，只要证DBE ∆≌DCE ∆即可。
由于DE 是它们的公共边，只要证出BE=CE ，∠=∠BED CED 即可，或证出BD=CD 。
已知AE 是∠BAC 的平分线，EB AB EC AC ⊥⊥，，可得出EB EC =，由∠=∠AEB AEC ，可得∠=∠BED CED 。
至此思路已通。
证明：∵AC EC AB EB CAD BAD ⊥⊥∠=∠，，∴=EB EC （角的平分线上的点到角的两边的距离相等）∵ABE BAE BED ∠+∠=∠，∠=∠+∠CED CAE ACE （三角形的外角等于不相邻的两个内角的和）DEDE CED BED =∠=∠∴又BDE ∆∴≌）（SAS CDE ∆ DCE DBE ∠=∠∴评析：如果由两次三角形全等来解决此题，实际上是把角平分线的性质又重新证了一遍，走了一个弯路，因此可直接由角平分线的性质，得出EB=EC 。
例2. 已知：如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，F AC DF E AB DE 于，于⊥⊥，BE=CF 。
求证：AD 平分∠BAC 。
B D C分析：欲证AD 平分∠BAC ，由于DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，因此只要证明DE=DF 即可，可通过△BDE ≌△CDF 加以解决。
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角 ６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
• • • • • １．全等三角形的对应边相等． ２．角平分线的性质定理 ３．等角对等边 ４．等腰三角形的三线合一 ５.垂直平分线的性质定理
（练习）已知：△MON中，MP平分∠OMN，OP平分 ∠MON，且PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为点D、E
用
A M
小区C P
N O B
2：若已知超市P到道路OA 的距离为600 米， 求P到道路OB的距离。
A
M
D
P
N O B
做一做
1
三角形内角的角平 分线
剪一个三角形纸片通过折叠 找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论:三角形三个角的平 分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
驶向胜利 的彼岸
小结
拓展
回味无穷
一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距 离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距 离相等的点,在这个角的平分线上.
三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一 点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理
思考题：2、若要在△MON内部全部覆盖绿化， 已知△MON的周长为2000米，∠OMN、∠MON 的平分线交于点O，OD⊥MN，垂足为D，且 OD=2米
∵∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.
O
B
交换定理的条件和结论得到的命题为：
合作探究
′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上. B 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠AOC=∠BOC.
角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线得性质定理及其逆定理一、基础概念学习目标:掌握角平分线得性质定理及其逆定理得证明与简单应用,掌握尺规作图做角平分线,规范证明步骤。
(1)角平分线得性质定理证明:角平分线得性质定理:角平分线上得点到这个角得两边得距离相等。
证明角平分线得性质定理时,将用到三角形全等得判定公理得推论:推论:两角及其中一角得对边对应相等得两个三角形全等。
(AAS)推导过程:已知:OC平分∠MON,P就是OC上任意一点,PA⊥OM,PB⊥ON,垂足分别为点A、点B.求证:PA＝PB.证明:∵PA⊥OM,PB⊥ON∴∠PAO＝∠PBO＝90°∵OC平分∠MON∴∠1＝∠2在△PAO与△PBO中,∴△PAO≌△PBO∴PA＝PB②几何表达:(角得平分线上得点到角得两边得距离相等)如图所示,∵OP平分∠MON(∠1＝∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,∴PA＝PB.(2)角平分线性质定理得逆定理:到一个角得两边距离相等得点,在这个角得平分线上。
推导过程已知:点P就是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA＝PB.求证:点P在∠MON得平分线上.证明:连结OP在Rt△PAO与Rt△PBO中,∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)∴∠1＝∠2∴OP平分∠MON即点P在∠MON得平分线上.②几何表达:(到角得两边得距离相等得点在角得平分线上.)如图所示,∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA＝PB∴∠1＝∠2(OP平分∠MON)(3) 角平分线性质及判定得应用①为推导线段相等、角相等提供依据与思路;②实际生活中得应用.例:一个工厂,在公路西侧,到公路得距离与到河岸得距离相等,并且到河上公路桥头得距离为300米.在下图中标出工厂得位置,并说明理由.(4)角平分线得尺规作图活动三:观察与思考: 尺规作角得平分线观察下面用尺规作角得平分线得步骤(如图),思考这种作法得依据。
步骤一:以点O为圆心,以适当长为半径画弧,弧与角得两边分别交于A,B两点。
角的平分线的性质(2)(201912)
书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
M
F
D P
O
E
N
挑战自我
如图,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=900,AD
是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD＝4cm，AC的长 (2)求证:AB＝AC＋CD.
A
E C B
D
独立作业
2
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的 角平分线相交于点F. 求证:点F在∠DAE的平分线上. A
A
基本应用
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2 E D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和逆定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
思 考 分 析
二.角平分线性质定理的逆定理
逆定理: 到一个角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上.
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
A D O E P C
B
温馨提示:这个结论又是经常用来证明点在直线 上(或直线经过某一点)的根据之一.
角平分线的性质定理
E
F
B
D
C
小结：
1、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
逆定理：到角的两边的距离相等的点在这 个角的平分线上 2、性质与判定定理的应用。
∴BD = DC
(
角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。
)
B
A
D
C
• 反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
想一想，你会证明吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两 边的距离相等．
D
证明：∵OC平分∠ AOB （已知）
C
1PBiblioteka 2∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB
O
EB
∴ ∠PDO= ∠PEO=900 在△PDO和△PEO中,
∵∠PDO= ∠PEO（已证）
∠1= ∠2 （已证）
OP=OP （公共边）
∴ △PDO ≌ △PEO（A.A.S.）
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上 （ ）
G M
H
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，
且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。 A
宁强三中 徐健
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的 距离相等
八年级数学角平分线的性质定理及其逆定理
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角的两边的距离相等
A
用符号语言表示为： ∵OP是∠AOB的角平分线 PD ⊥OA ，PE ⊥OB
O
1 2Biblioteka D P E B∴PD=PE.
交换定理的条件和结论得到的命题为：
′
逆命题 到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平 分线上. A D 已知:如图, ∠AOB, P PD⊥OA, PE⊥OB,且PD=PE,垂足分 O C 别是D,E. E 求证:点P在∠AOB的平分线上.
B
思 考 分 析
角平分线判定定理
角的内部到角的两边距离相等的点，在 这个角的平分线上.
A
用符号语言表示为: ∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 分别是D,E,且PD=PE ∴点P在∠AOB的平分线上
O
D P C E
B
总结归纳
1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。 3.性质定理和判定定理的关系
点在角平分线上 点到角两边的距离 相等 4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等 的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上 (或直线经过某一点)的根据之一.
证明两角相等的方法：
１．同角（或等角）的余角（补角）相等．
２．平行线的性质
３．对顶角相等．
４．全等三角形的对应角相等
５．等边对等角 ６．角平分线的性质定理及其逆定理
证明线段相等的方法：
• １．全等三角形的对应边相等． • ２．角平分线的性质定理 • ３．等角对等边 • ４．等腰三角形的三线合一 • ５.垂直平分线的性质定理
初二几何证明一(线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质)
线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质知识点梳理1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理：定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等. 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.2、 角平分线的性质定理及其逆定理：定理：在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.D21P CABEO1、 等腰三角形的性质等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合 证明以下推论：等腰三角形的两底角的平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高相等。
等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半4、 等腰三角形的判定：等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 ◆ 命题、公理、定理命题：判断性的语句 陈述句，一般由题设和结论组成，写成“如果……，那么……”的形式 几个重要的公理（不需证明）： （1） 两点之间线段最短；（2） 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （3） 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4） 同位角相等，两直线平行； （5）两直线平行，同位角相等。
1、已知：如图，∠ABC ，∠ACB 的平分线交于F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E 。
求证：BD ＋EC ＝DE 。
2、已知：如图所示△ABC ，∠ACB=90°，D 为BC 延长线上一点，E 是AB 上一点，EM 垂直平分BD ，M 为垂足，DE 交AC 于F ，求证：E 在AF 的垂直平分线上.3、如图，已知：CD 、CE 分别是AB 边上的高和中线，且ACE ECD DCB ∠=∠=∠。
求证：90o ACB ∠=CA4、如图，已知：在,90,30ooABC C A ∆∠=∠=中，DE 垂直平分AB ，FM 垂直平分AD ，GN 垂直平分BD 。
八年级数学角平分线的性质
兰州铁一中
李清芳
提问：
角的平分线是怎样 一些点的集合？
角的平分线 是到角的两 边距离相等 的所有点的 集合
包含两 层含义
图例
定理1：在角的平分线上的点
到这个角的两边的距离相等
性质定理
定理2：到角的两边的距离相
等的点，在这个角的平分线上
判定定理
A
F
O
P E B
C
返回
题设
定理1： 在角的平分线上的点,
互 逆 命 题 到这个角的两边的距离相等
结论 题设
定理2： 到角的两边的距离相等的点，
在这个角的平分线上
结论
互逆命题
在两个命题中，如果第1个命题 的题设是第2个命题的结论，而第1 个命题的结论又是第2个命题的题设， 那么这两个命题叫互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题， 那么另一个叫做它的逆命题。
例1：说出下列命题的逆命题
F M
B
E
C
练习：课本54页 第1题 小结：
1、理解原命题和逆命题之间的关 系。会写出一个命题的逆命题。 2、理解任意三角形内都有一点 到三边的距离相等。
作业：习题3.4第1、8、9题
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出圣智の夜若水.据说夜若水先祖不仅召唤出圣智白虎,而且曾经修炼到了圣人境巅峰,半只脚跨入天神境界.其老人家不仅修为旷古绝今,而且还对世家の战智有很深の研究. 其晚年时曾经说过："如果觉醒仪式上能出现九彩光圈,则很有希望召唤出神级战智,只惜我无缘看见……" 神级！ 神级战智是什么?神级那可是等同天神の存在啊！神阶,那可是最高の境界.如果…如果！白家能出现一个拥有神级战智の子弟の话.那么白家将绝对凌驾于其余四大世家之上.甚至,白家将成为等同神城の存在. "里面の是白重炙?不错,很不错…我说嘛,夜刀那么天才,儿子肯定也是绝世天 才." "对,我早就看轻寒这孩子不简单了,原本我还想向长老会提出,提前将其招入核心子弟了." "额,这孩子父母早亡,怪可怜の.世家该多多照顾他.这次觉醒成功,世家应该大力补偿下这孩子." "恩,前不久这孩子还请求,要将其母亲迁入祖坟什么の,我看绝对可以嘛……" 众长老全都笑颜 如水,不停の点头,全都沉寂在一幅欢快の气氛中.而场上唯一面色阴沉の则是家主夜剑了. 夜剑从小则被白重炙の父亲夜刀压了一头,大房和二房所谓积怨已深.而前不久也正是夜剑力压众长老否决了白重炙母亲入祖坟の提议.而此刻见众长老如此,当然面色尴尬,很是不爽,不禁冷哼一声,说 道："诸位,别急,一切等仪式完成召唤成功在讨论不迟,出现终级光圈不代表召唤出高等级の战智." 额！众长老这才慢慢冷静下来,毕竟以往出现高级光圈,召唤出低级战智の也很多.现在出现最高等级の九彩光圈,毕竟只是先祖の一种推测,也不一定百分百肯定,一切还要等仪式召唤成功再 说.只是虽然如此.众人眼中の炙热还是显而易见の. 祭坛中间,九彩光圈,依旧炫目迷离. 当前 第壹叁章 零壹２章 狮鼻犬? …… 时间回到白重炙昏迷,青铜戒指散发白色气流,自动治疗白重炙身体の那一刻. 白色气流在其身体中游走了一遍之后,其身体全身除了胸口任脉断裂那里外,全部 恢复了正常. 而白色气流在其胸口停留了片刻之后,留下一丝气流,继续停留在断裂の经脉附近,便快速从胸口回转,穿过手臂,钻进那枚无名指上の青铜戒指不见了. "额…" 而这时,白重炙悠悠转醒过来,此刻の他感觉全身暖洋洋の,说不出の舒服."什么情况?我身体怎么全好了?连断裂の阴 脉也快修复好了……" 白重炙心里一阵惊呼,猛然睁大眼睛,不敢相信. 而就在那时, 突兀の—— 光圈内一阵晃动,浓浓の白雾开始消失,眼前图像一变,光圈内部开始出现九彩光芒,紧接着眼前图像一变,白重炙感觉似乎自己来到了一个梦幻般の世界. 这是个小山谷,山谷内风景秀丽,遍布着 不同种类の动植物. 神血秘典有效? 自己成功了? 这里就是所谓の召唤空间? 白重炙一阵欣喜,不敢相信自己の所看一般.然而当他仔细在去观看小山谷内小生物时,他确仿佛白日遇鬼了,整个脑袋犹如卡住の机器般,瞬间停止了运转. "这……" 山谷不大,大概有方圆一里样子.三面环山,只 有北面有一条小路,而且中央还有一个小小の湖泊.山谷中竟然全部都是生物幼仔.而且这些幼仔基本上都分成了几个种群. 山谷东面全都是走智一族.暴熊、苍狼、血狮这些高等级の魔智竟然都静静匍匐在外围.中央一直通体雪白の小老虎,傲然の站在中央,一股百智之王の凶厉霸气散发而 出. 而山谷の北面竟然全是鳞甲一族.褐蟒、霸王龙、三头穿山甲,遍地都是.而中央一条青色の小龙正正盘了起来再那里酣然大睡.虽然闭着眼,但是那股古老、大气、威严の龙威却是不隐而现. 山谷の西面却全部是飞禽一族.青鹰、红鸾、闪电鸟,还有许多不知名の飞禽.而最耀眼の却是中 央の一棵火红树上一只环绕着火焰の火鸟. …… "你二爷の……我是不是走错门了?那不会是白虎,青龙和火凤凰吧?这里不会是圣智养殖场吧！发了,发了！丫丫の呸！这回发大了！这里の战智,随便带个回去我就发了……" 白重炙感觉自己像个买了几十年彩票の老彩民,几十年来最大奖就 中过五块钱.结果一天有人突然告诉他,他中了五百万,而且还不是一注…… 虽然他也不是很确定前面の三只异智就是传说中の白虎,青龙和凤凰.他在世家地位不是很高,很多秘密の资料他是没有资格知道.但是他凭感觉就知道,这三只异智肯定不凡. 幸福の感觉是什么?白重炙感觉现在就是 幸福,只是太幸福了,他不知道该怎么选择了！ 青龙?白虎?还是火凤凰? 他直接过滤了旁边の那些杂毛智,什么苍狼、霸王龙什么啊.要选肯定是选最好の,不选好の那是傻子. 恩,就那只貌似青龙の小智吧吧！再怎么说,带条龙没事出去逛逛街,那肯定是拉风之极！而且白重炙上辈子生活の 中国,本身就对龙情有独钟,龙可是至高の存在！ 白重炙下定决心,准备召唤青龙.然而就在他准备实施世家秘法,召唤青龙の时候,异变突发. 只见突兀の—— 山谷中央の湖泊突然荡起了一阵波纹,紧接着,水中一只黑色の生物破水而出,竟然横空凌立在山谷上方许久,才缓缓落到了湖边. " 额?狮鼻犬,不对头顶上竟然有个独角！尾巴也短了点,额,怎么只有拳头大小,这是什么魔智,怎么没听说过,竟然能凌空横立那么久！" 白重炙一阵震撼,但是今天给他の震撼已经很多了,他都感觉有些麻木了,当下也不管它,时间不多,他准备实施秘法尽快召唤青龙回去. 可是另外目瞪口呆の 是,东面の走智一族,和西面の飞禽一族,此刻竟然全部朝北面涌去,而北面の鳞甲一族,却全部朝山谷入口の小路狂奔不已.而跑在最前の竟然是那头散发着古朴、大气、威严の青龙！ "啊,我の小青龙,你二爷の！小白虎,小凤凰别跑啊…什么情况?怎么都跑了" 眨眼间！ 山谷密密麻麻の异 智竟然跑了大半,只是还剩下两只速度很慢の暴熊和长臂猿.而就在白重炙困惑伤心不已の时候,异变又发生了. 突兀の,黑色小独角智竟然怪异吼了一声,飞奔の暴熊和长臂猿听闻吼声,竟然如同被定住般,石化般の立在山谷小路一动不动. "诡异,太诡异了！这么小の异智竟然有那么大の威 慑力,不管了…时间不多！"白重炙傻傻の望着这一切,眼前の一切超过了他十几年の全部所见. 虽然此刻他十分の震撼和惊讶,但是十分万幸の时,他脑海里の时间观念还是十分准确.如果他估计の没错の话,此时の他已经在祭坛里待了差不多有十多分钟了.而每人觉醒の时间白须长老明确有 说明,最多不会超过十五分钟. "这只貌相狮鼻犬の独角智,既然能吓跑青龙它们,肯会不凡,虽然很小,但…就它了！"白重炙当下也不管那么多,祭起了世家の召唤秘法,心神全部聚集在独角智上. "啊,不好！时间到了." 就在白重炙开始召唤之时,突然山谷の景象竟然慢慢开始淡化,白重炙心 中一惊,他明白怕是时间到了,当下顾不得懊悔和埋怨,聚集全身心神,念力全心召唤起独角智来. …… "怎么还没成功?" "不会失败吧?" "白家先祖保佑,一定要成功啊！" 九彩光圈外面,众长老焦急の站在外头,眼看时间已经就要到了,可是九彩光圈确实毫无动静.怎么能叫人不心急? 要知 道,这可是白家历史上唯一の一次九彩光圈.夜若水先祖,当年出现了金色光圈就召唤出了一只圣智白虎,就横扫三大府域,成就了世家数百年の荣耀. 而现在确是比金色光圈,还要高一级の九彩光圈！这能召唤出什么战智来?如果也召唤出一只圣智,那么白家几百年之内将会再次横扫三大府域. 而如果召唤出神智…这种情况,众人想了不敢想了,只是都用着"含情脉脉"の眼神锁定着九彩光圈,一刻也不敢移开. "哥,你一定会成功の,父亲母亲,你们在天有灵一定要保佑哥哥."而大堂角落の夜轻语却面色平静,默默の祈祷着.对于白重炙觉醒血脉,出现九彩光圈,她却只是开心の笑了笑, 并没有过分在意.因为对于她来说,白重炙强大与否,都是她の哥哥,相依为命の哥
19.5(1)角的平分线(角平分线的性质定理及逆定理)
19.5（1）角的平分线（角平分线的性质定理及逆定理） 要点归纳1.角平分线的性质定理给我们提供了证明两条线段相等的又一个重要方法，而且在已知中有角平分线时，往往在角平分线上选择适当的点向角的两边作垂线段。
2.角平分线性质定理的逆定理是证明两个角相等的一个重要方法。
3.利用以上两个定理可以得到：三角形三个角的平分线交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。
疑难分析例1 已知：如图，BN 平分∠ABC ，P 为BN 上一点，PD ⊥BC 于点D ，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP 与∠BCP 互补。
例2 已知：如图，在Rt △ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，BF 平分∠ABC ，交AC 于点F 、AD 于点E ，EG ∥BC 交AC 于点G 。
求证：AF=CG 。
BB C A D基础训练1. ∠AOB 的平分线上的一点M ，点M 到OA 的距离为1.5厘米，则点M 到OB 的距离为＿＿＿＿；2. 如图，∠AOB=60°，CD ⊥OA 于点，CE ⊥OB 于点E ，且CD=CE ，则∠DOC 的度数为＿＿＿＿；（第2题） （第3题） （第4题）3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=3厘米，BD=5厘米，则BC=＿＿＿＿厘米；4. 如图，CD 为△ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，若CF=3厘米，则CE=＿＿＿＿；OBA B A B E D G5. 如图，已知AB 、CD 相交于点E ，过点E 作∠AEC 及∠AED 的平分线PQ 与MN ，则直线MN 与PQ 的位置关系是＿＿＿＿；（第5题） （第6题） （第7题）6. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，如果AC=3厘米，那么AE+DE 等于（ ）A. 2厘米B. 3厘米C. 4厘米D. 5厘米7. 如图，已知AB=AC ，AE=AF ，BE 与CF 交于点D ，则①△ABE ≌△ACF ；②△BDF ≌△CDE ；③D 在∠BAC 的平分线上。
角平分线的定理及其逆定理
角平分线的定理及其逆定理在几何学中，角平分线是一条穿过一个角的中点，且与角的两条边平分的直线。
它也可以定义为一个不断变化的折线，它的关键特性是它的内部角平分线的链接。
角平分定理可以被描述为：穿过一个多边形上任意两点的直线，如果该直线将角分为两个部分，其中一部分是锐角，另一部分是钝角，则该直线与角的两条边平分。
角平分定理的逆定理可以这样表述：如果一条直线穿过一个多边形上的任意两点，并且将角分为两个部分，其中一部分由钝角构成，另一部分由锐角构成，则该直线与角的两条边不会平分。
角平分定理的形式有很多，可以有效地应用于不同的情境，也可以有助于帮助解决问题。
例如，角平分定理可以用来求解正多边形上两个点之间的距离，这对于解决建筑和绘图等应用场景是非常有用的。
角平分定理也可以用来求解圆周率π的值。
把圆分成四等份，用角平分定理就可以求出它的圆周率π的值，并且也是一种实用的应用场景。
角平分定理可以在几何构造中得到有效的应用，例如，可以使用它来构建一个正方形，也可以将正方形分割成四个角，使其分别被一条角平分线分割。
在三角形中，角平分定理也可以用来解决多项问题。
例如，如果想知道一个三角形中某个角的度数，那么可以使用角平分定理，来表达该角的度数。
另外，角平分定理也有助于解决三角形的角的余弦公式的计算问题。
在多边形的几何构造中，角平分定理也有着独特的应用，例如，可以使用角平分定理解决一个多边形内角的总和的问题，也可以利用角平分定理求解多边形的内角的度数。
角平分定理也可以在数学函数中得到应用，例如，可以使用它来解决弦长公式或圆周上任意两点间距离的求解问题，以及采用它解决抛物线等几何函数的计算问题。
综上所述，角平分定理及其逆定理在几何学中有着广泛的应用，可以帮助人们解决多种几何问题，甚至在数学函数中也有很多实用的应用场景。
角平分线的性质定理及其逆定理
24.8角平分线的性质定理及其逆定理教学设计教学设计思想通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点.教学目标知识与技能总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明；说出用尺规作角平分线的依据；能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明.过程与方法经历用尺规作角平分线的过程；经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力；情感态度价值观通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略；愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见.教学重点和难点重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用；难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用.解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法.教学方法启发引导、小组讨论课时安排１课时教具学具准备投影仪或电脑、三角板教学过程设计（一）角平分线的性质定理我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）.做一做证明三角形全等判定公理的推论.注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据.证明略.利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明.已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.求证：PD=PE.证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，∴∠1=∠2(角平分线的定义).∵PD⊥OA，P E⊥OB(已知)，∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO (已证)，∠1＝∠2(已证)，OP＝OP(公共边)，∴△PDO≌△PEO (AAS).∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).（二）角平分线性质定理的逆定理做一做1.请写出角平分线性质定理的逆命题.2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.3.写出证明过程.注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提出的问题.这样，我们就得到：角平分线性质定理的逆定理到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（三）尺规作角的平分线观察与思考观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据.步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点.步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每步的依据.依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等.（四）练习1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.2.在△A BC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点D在∠A的平分线上.1.提示：过点P分别向△ABC三边作垂线，由角平分线的性质定理及其逆定理即可证明结论.2.提示：先证△BD E≌△CDF(AAS). 再由角平分线的性质定理及其逆定理即可得到结论.（五）小结引导学生总结本节的主要知识点.（六）板书设计角平分线的性质定理及其逆定理角平分线的性质定理及其证明角平分线的性质定理的逆定理及其证明角平分线的画法练习。
角平分线的性质及其逆定理
角平分线的性质及其逆定理1、 如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，PA ⊥AB ，PC ⊥BC ，垂足分别为A ，C ．求证：DA= DC （性质定理）2、已知：如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC ＝DC .你能说明BE 与DF 相等吗？ 解：BE=DF∵CE ⊥AB, CF ⊥AD (已知)∵AC 平分∠BAD(已知)∴CE= CF （ ）在Rt △CDF 和Rt △CBE 中CE= CF__________(已知)∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （ ）∴__________________( ) 3、 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 为垂足，在以下结论中：①△ADE ≌△ADF ；②△BDE ≌△CDF ；③△ABD ≌△ACD ；④AE =AF ；⑤BE =CF ； ⑥BD =CD ．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4FD E C B AA BC D E FE F C B A D （第3题）4、如图，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，CD ，BE 交于点O ，且∠1=∠2 ，求证：OB =OCO 21DEB CA5 、 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD ＝DC ，BD 平分∠ABC.求证：∠A+∠C ＝180度1、判断：（1）如图：OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ）（2）如图 ：PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则 PE=PF （ ）（3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ）2、三角形中到三边距离相等的点是（ ）A ．三条边的垂直平分线的交点B ．三条高的交点C ．三条中线的交点D ．三条角平分线的交点3、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ．4、在三角形ABC 中,∠ACB=90゜,AC=5,BC=12,AB=13,三条角平分线交于P 点，PE ⊥AB 于E,则PE=________ FO B。
角平分线性质定理与逆定理
A
D 1 2 E B
驶向胜利 的彼岸
P
C
老师提示:这个结论是经常用来
证明两条线段相等的根据之一.
思 考 你能写出“定理 角平分线上的点到 分 这个角的两边距离相等”的逆命题吗? 析
进步的标志
′
逆命题 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 A 点,在这个角的平分线上. 它是真命题吗? D 如果是.请你证明它. 已知:如图,PA=PB, 1 P O 2 C PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:点P在∠AOB的平分线上. E 分析:要证明点P在∠AOB的平分线上,可 B 以先作出过点P的射线OC,然后证明 驶向胜利 ∠1=∠2. 的彼岸 老师期望: 你能写出规范的证明过程.
独立 作业
知识的升华 P9习题1.8 1,2,3题.
祝你成功！
独立作业
1
习题1.8
1.利用尺规作出三角形三个内角的平分线. 你发现了什么？
老师期望:
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
独立作业
2
习题1.8
2. 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB 的两边的距离相等.
九年级数学（上册）第一章 证明(二)
4.角平分线（1） 性质定理与逆定理
阳泉市义井中学 高铁牛
回顾
思考
角平分线
你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点 A ,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E. 求证:PD=PE. D 分析:要证明PD=PE,只要证明 它们所在的△OPD≌△OPB， O 1 2 E B P
角的平分线的定理和逆定理
角的平分线的定理和逆定理一、角的平分线的定理角的平分线的定理是几何学中的一个重要定理，它指出：如果一条直线通过一个角的顶点，并且把这个角分成两个相等的部分，那么这条直线就是这个角的平分线。
简而言之，角的平分线将一个角分为两个相等的角。
具体来说，设有一个角AOC，直线OB通过角的顶点O，并且将角AOC分成两个相等的角AOB和BOC。
那么我们可以得出结论：直线OB就是角AOC的平分线。
为了证明这个定理，我们可以使用等角的性质。
首先，根据等角的定义，我们可以得出两个角AOB和BOC相等。
其次，根据角的定义，我们可以得出AOB+BOC=BOC+COA，即AOB=COA。
因此，直线OB平分了角AOC。
角的平分线定理在解决几何问题时非常有用。
通过找到角的平分线，我们可以将一个角分成两个相等的部分，从而简化问题的求解过程。
这个定理在证明其他定理时也经常被使用。
二、角的平分线的逆定理角的平分线的逆定理是角的平分线定理的逆命题，也就是说，如果一条直线通过一个角的顶点，并且将这个角分成两个相等的部分，那么这条直线就是这个角的平分线。
具体来说，设有一个角AOC，直线OB通过角的顶点O，并且将角AOC分成两个相等的角AOB和BOC。
那么我们可以得出结论：直线OB是角AOC的平分线。
为了证明这个逆定理，我们可以使用等角的性质。
首先，根据等角的定义，我们可以得出两个角AOB和BOC相等。
其次，根据角的定义，我们可以得出AOB+BOC=BOC+COA，即AOB=COA。
因此，直线OB 平分了角AOC。
角的平分线的逆定理在解决几何问题时也非常有用。
通过已知角的两个相等的部分，我们可以确定角的平分线的位置，从而进一步求解其他相关问题。
三、应用实例下面我们通过一个实例来应用角的平分线定理和逆定理。
例题：在平面上，给定三个点A、B和C，要找到一个点P，使得角APB和角BPC相等。
解题思路：根据题目中的要求，我们需要找到一个点P，使得角APB 和角BPC相等。
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A P
B F E C
角平分线的性质与判定
教学目标：
1、 能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。
2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。
教学重点：定理的证明及应用。
教学难点：定理的证明。
教学过程： 一.复习引入：
在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。
你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？ 角平分线的性质：___________________________________________________ 角平分线的性质的逆命题是： 二、新课学习： 知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D 求证：CF ＝DF. 证明： 应用格式： 例 1.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。
求证：PE=PF
知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC ＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明：
应用格式： 例2. 已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。
知识点三. 关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 已知：如图6，AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线 求证：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 证明：
三、课堂总结：总结本节课的收获 四．课堂检测 1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是 的交点 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则= 图4D
O B F E F
D I
P R
Q
A
3．如图3，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD
平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB 。
其中正确的有
4．如图4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是PD PC
5、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F
在BC上，并且BF＝AB，则下列四个结论：①EF∥AC，②∠EFB＝∠BAD，③AE＝EF，
④△ABE≌△FBE，其中正确的结论有
5题图 6题图 7题图
6、如图所示，在中，∠C＝90°， AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC
于D，DE⊥AB于E，则EB的长是
7、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇
的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。
A、1 B、2 C、3 D、4 8、已知：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．
求证：（1）∠PAB=∠PBA （2）OP垂直平分AB （3）OA=OB
五．课下作业：
A．作业精,80-81页中，5-8题，13-16题
B．1．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，
PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：
①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是( )．
(A)①③ (B)②③ (C)①② (D)①②③
2．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂
足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C
的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC
且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的是( )．
(A)②④ (B) ②④ (C)②③④ (D)①②③④
3．已知：如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．
4、如图13，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，
PS⊥AC于S，若AQ=PQ，RP=PS。
则PQ与AB是否平行？请说
明理由.
5、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补
求证：AD＝CD.。