角平分线性质定理及逆定理的证明

A P

B F E C

角平分线的性质与判定

教学目标：

1、 能够对角平分线的性质定理及逆定理进行严密的证明。

2、 能够灵活运用两个定理进行相关问题的计算或者证明。 教学重点：定理的证明及应用。 教学难点：定理的证明。 教学过程： 一.复习引入：

在第二章，我们利用角的轴对称性质，通过实验的方法，探索出了角平分线的性质。

你还记得角平分线的性质吗？你能用推理的方法证明它们的真实性吗？ 角平分线的性质：___________________________________________________ 角平分线的性质的逆命题是： 二、新课学习： 知识点一、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 已知：OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，若CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D 求证：CF ＝DF. 证明： 应用格式： 例 1.已知：如图，点B 、C 在∠A 的两边上，且AB=AC ，P 为∠A 内一点，PB=PC ， PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，垂足分别是E 、F 。求证：PE=PF

知识点二、证明：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

已知：如图5，点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，PC ＝PD 求证：点P 在∠AOB 的平分线上. 证明：

应用格式： 例2. 已知： PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ，求证：BP 为∠MBN 的平分线。

知识点三. 关于三角形三条角平分线交点的定理：

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 已知：如图6，AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、∠ABC 、∠ACB 的平分线 求证：① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 证明：

三、课堂总结：总结本节课的收获 四．课堂检测 1、有一点P 到三角形三条边的距离相等，则点P 一定是 的交点 2．如图2，在△ABD 中，AD=4，AB=3，AC 平分∠BAD ，则= 图4D

O B F E F

D I

P R

Q

A

3．如图3，在△ABC中，∠C=，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD

平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB 。其中正确的有

4．如图4，AD∥BC，∠D=，AP平分∠DAB，PB平分∠ABC，点P恰好在CD上，则PD与PC的大小关系是PD PC

5、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AD于E，F

在BC上，并且BF＝AB，则下列四个结论：①EF∥AC，②∠EFB＝∠BAD，③AE＝EF，

④△ABE≌△FBE，其中正确的结论有

5题图 6题图 7题图

6、如图所示，在中，∠C＝90°， AC＝4㎝，AB＝7㎝，AD平分∠BAC交BC

于D，DE⊥AB于E，则EB的长是

7、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇

的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。A、1 B、2 C、3 D、4 8、已知：如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．

求证：（1）∠PAB=∠PBA （2）OP垂直平分AB （3）OA=OB

五．课下作业：

A．作业精,80-81页中，5-8题，13-16题

B．1．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，

PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，下列结论：

①AS=AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP．其中正确的是( )．

(A)①③ (B)②③ (C)①② (D)①②③

2．如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂

足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C

的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③AD⊥BC

且BD=CD；④∠BDE=∠CDF．其中正确的是( )．

(A)②④ (B) ②④ (C)②③④ (D)①②③④

3．已知：如图，∠C=900，AC=BC，AD是∠BAC的角平分线．求证：AC+CD=AB．

4、如图13，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，PR⊥AB于R，

PS⊥AC于S，若AQ=PQ，RP=PS。则PQ与AB是否平行？请说

明理由.

5、已知：如图，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，且∠BAD与∠BCD互补

求证：AD＝CD.