第七章保险的数理基础

二、数学期望与损失期望值
• 一个随机变量的数学期望值是它所能取到 的各个数值与其概率乘积之和。
E X ＝P Pn X n 1 X1 P 2X2 P 3 X3
• 在保险经营中，常常会涉及到损失期望值 概率。损失期望值即损失的不确定性数额 与损失概率的乘积总和。
第一节
保险费率的厘定原则
应用2
• 假设某人（风险规避者）家中被盗的可能 性为 10％。损失为10000美元，我们假定 他有50000美元的财富，若投保需缴纳1000 美元的保费。该人是否愿意投保？
分析
盗窃发生 （P=0.1） 未发生盗窃 （P＝0.9） 期望财富 （美元）
不投保 投保
40000 49000
50000 49000
• 其中X为过去每一年的损失率，a为均值，n为计 算损失率的年数。
• • • •
求出均方差为0.00529 即过去十年中损失率的波动幅度为0.00529。 三、计算稳定系数 偏差系数为：10.58%，波动幅度与算术平均数的 比率为偏差系数。 • 在具体操作中，为抵消实际损失对于往年损失率 均值的偏差，要在算术平均数上加个稳定系数， 这个稳定系数基本上相当于偏差系数，为避免每 次计算均方差的麻烦，实际工作中常将稳定系数 取值确定在10－20%，可保证保险财务的稳定。
49000 49000
启示
• 保险一方面能够满足投保人的安全保障需 求，另一方面也使保险公司凭借收取的保 费完全可以对被保险人进行补偿，并且可 以盈利。 • 损失的可预计性是保险体系得以运行的基 础，同时也是计算保险费率的参考。
第二节
人身保险费率的厘定
• 一、单利、复利和现值、终值 • 二、生命表 • 三、保费支付方式
• 毛费率＝
纯费率（ 1 + 附加费率） 1 + 投资收益率
作业五
• 1、已知某保险公司在四年后要支付某被保 险人1万元保险金，求此保险金的现值。年 复利率为8.8％。
• 2、已知L60=38434 ，L61=37003,试求d60 和 q60的值。
3、请根据表中数据完成下表
x
40 41 42 43 44
分析
• 保险公司所收保费额=1000×110=110,000 • 保险公司每年应赔款额 =1000×0.1%×100000=100,000 • 最后赔余额=110000－100000=10,000 • 遭受火灾风险损失者的损失，由全部房主 共同承担，保险公司只是起组织分摊风险 的作用，并且因有效的组织风险损失分摊 获得相应的报酬。
Ix
94189 93951
qx
px
dx
252
0.00281 0.99705 293
• 4.根据过去十年的经验数据，某财产保险的损失率如 下表所示：
年份 损失 率% 1 5.8 2 4.5 3 5.6 4 5.3 5 5.6 6 4.8 7 5.2 8 5.1 9 6.3 10 5.8
• 若稳定系数是15%，附加费率是20%，每年的投资回 报率是6%，请计算保险费率。
四、确定纯费率
• 纯费率＝损失率算术平均数×（1+稳定系数） • 上例：纯费率＝0.05（1+0.1058）＝5.529% • 或损失率+均方差=0.05+0.00529=0.05529
• 毛费率＝纯费率+附加费率 • 在国际保险业务中，为便于计算，附加费 率经常表示为纯费率（而不是保险总金额） 的一定比例，这时毛费率的计算公式是： • 毛费率＝纯费率（1+附加费率） • 当保险公司收取保费后，多将其中的一部 分资金用于投资，投资收益可以充当保费 收入，使保险的毛费率降低，增强保险产 品的竞争力。
1 2
• 若事件不是相互独立的，即两项非独立事 件的复合，其概率等于其中一个事件发生 的概率，乘以该事件发生后，另一事件发 生的条件概率。 • 如两所房屋，每一所房屋发生火灾的概率 为1/50。在相互独立的条件下，两所房屋均 发生火灾的概率为1/2500，在非独立条件 下，若一所房屋发生火灾，另一所也会发 生火灾的概率上升为1/2，则该所房屋发生 火灾后引起另一所房屋也发生火灾的概率 为1/100
• 一、保险费与保险费率 • 二、保险费率厘定的基本原则
一、保险费与保险费率 （Premium and Premium Rate）
• 1.保险费，简称保费，投保人为获得经济保障而 缴纳给保险人的费用。 • 投保人缴纳的保险费一般称为毛保费，它可以分 解为纯保费和附加保费两部分。 • 其中，纯保费是保险人用来建立保险基金，将来 用于赔偿或给付的那部分保费，也称为净保费； 附加费主要用于保险人的各项业务开支和预期利 润，包括职工工资、业务费、企业管理费、代理 手续费、税金、利润等。
• 互不相容事件 • 不可能同时发生的事件称为互不相容事 件。两两互不相容事件中，任何一件事 情发生的概率等于各件事情分别发生的 概率总和。 • 在任何一年，死亡概率加上生存概率等 于1，因为一个人不是在该时期内生存， 就是在该时期内死亡。
附二：概率分布与期望损失
• 一、概率分布 • 用来描述各种结果及其对应概率的。 • 在保险经营中，由于变量一般都取有限个 值，故概率分布可通过基本上互不相容的 事件及其对应的概率，按顺序排列起来， 用表或图说明。
生命表的选择
1. 按对象：国民生命表、 • 国民生命表：以一个 国家或特定地区人口 经验生命表 为对象，根据该国或 2. 按性别：男子表、女 地区人口统计等资料 编制的一种反映特定 子表、男女混合表 区域普通国民的生死 • 不同寿险业务的精算，应 状况的生命表。 结合不同分类，选择适当 • 经验生命表：根据人 的生命表作为预定死亡率 身保险被保险人的死 的基础 亡经验制成的一种生 • 选择生命表作为精算基础 命表。被保险人的生 时，应考虑生命表人群的 死状况比同年龄普通 民众生死状况好。 死亡状况与计算对象的死
• 2、复利的现值和终值 • 复利的现值公式为： S • P= (1 + i)
n
二、生命表
生命表：又称死亡表，根据一定时期某一国家或
地区的特定人群的有关生存、死亡的统计资料， 加以分析整理形成的表格。
• 几个基本栏目：
–x：被观察的人口年龄 lx – ：生存数，指x岁的生存人数 dx – ：死亡数，指x岁的人在一年内死亡的人数 – p x ：年生存率，指x岁的人在一年后仍生存的 概率 – q x ：年死亡率，指x岁的人在一年内死亡的概 率
一、保险费与保险费率
• 2.保险费率，保险费与保险金额的比例，是每一 单位保险金额的保险费的计收标准，又称保险价 格。通常以每百元、每千元保险金额应缴的保险 费表示（％、‰） • 保险费率与保险费之间存在以下关系： 保险费＝保险金额×保险费率， 保险费率＝保险费/保险金额 • 与保险费的分解相对应，保险费率也有纯费率和 附加费率之分。保险费率＝纯费率＋附加费率
第七章
第一节 第二节 第三节
保险的数理基础
保险费率的厘定原则 人身保险费率的厘定 财产保险的费率厘定
• [教学目的及要求]通过本章的学习，要求学 生了解保险费率厘定的方法；理解保险费 率厘定的原则；掌握保险费及保险费率的 概念。
• ［教学重点及难点］单利、复利、现值、 终值、生命表、财产险纯保费率等的计算。
4.促进防灾防损原则
• 保险费率的厘定要能促进防灾防损，减少 危险事故。 • 一方面要鼓励和引导被保险人从事预防损 失的活动。另一方面，保险公司也应积极 从事防灾防损活动，其所需经费，在厘定 费率时也应予以考虑。
应用1
• 设某一地区有1000栋住房，每栋住房的价 值为100 000元。根据以往的资料知道，每 年火灾发生的频率为每年0.1%，且为全损， 若保险公司提出，如果每栋住房的房主每 年缴纳110元保费，则由保险公司承担全部 风险损失。
保险金额
• 保险金额损失率是保险费率的最低限度。
二、计算均值、均方差
• 为避免偶然性，不能以某一次或某一很短 时期的损失率作为制定纯费率的依据，通 常保险人根据以往若干年（至少5年）资料 计算损失率，求均值，得平均损失率，再 加上一定的安全加成作为纯费率。
例
• 下表为过去十年某财产险的损失率资料。
亡状况接近。
三、人身保险费的支付方式
– 趸缴保费：一次性付清（除年金保险以 外，很少有人寿保险是以趸缴的方式购 买，但趸缴是费率计算的基础） – 定期缴纳均衡保费：定期缴纳固定款额 – 定期缴纳非均衡保费（自然保费）：定 期缴纳可变款额
第三节 财产保险费率的厘定
• 一、损失率 • 损失率指保险财产价值遭受损失的比率， 是计算纯费率的关键。 • 损失率＝ 保险赔偿
年份
损失 率%
1
2
3
5.6
4
5.3
5
4.6
6
4.8
7
5.2
8
4.1
9
5.3
10
5.8
4.8 4.5
wenku.baidu.com
• 则均值为：
α＝
∑X
n 4.8% + 4.5% + 5.6% + 4.6% + 4.8% + 5.2% + 4.1% + 5.3% + 5.8% = 10 = 5%
• 从上表的实际损失率看，没有一年为5%， 最高年份达5.8%，最低年份达4.1%，具有 不稳定性，这种不稳定性，在统计学上称 为某种指标的波动率，测定波动率的方法 就是计算均方差，这就是计算损失率的波 动幅度。 2 ( ) ∑ X－ a • 均方差的公式为： σ＝ n
附一：随机事件和概率
• 一、随机现象和随机事件 • 随机现象是在一定条件下，某一实验结果 或观察结果可能发生，也可能不发生，可 能这样发生，也可能那样发生。 • 在实验或观察中，我们关心某个结果是否 出现，这个结果被称为随机事件。
二、概率
• 随机事件发生的可能性的大小，称之为随机事件的概 率。
• 确定性法则。确定性可以用1表示。 • 简单概率。一个事件将会发生或不会发生 的概率可以用一个分数表示，取值范围从0 到1 。 • 复合概率。两个相互独立的事件将会同时 发生的概率是事件将会分别发生的单个概 率的乘积，即 p p
2.充分原则
• 收取的保费在支付赔款及合理的营业费用、 税收后，仍有一部分利润。 • 确保保险人的偿付能力。
3.相对稳定原则
• 在一定时期内应保持保险费率的稳定。 • 保险费率的相对稳定性对保险双方都有好处。 • 从被保险人的角度来看，如果费率经常波动，会 诱发投保人的投机心理，也会使投保人难以确定 保费预算，增加对保险公司的反感，导致保险公 司业务量的减少。 • 从保险人的角度来看，稳定的费率有利于稳定成 本核算和业务经营。 • 当然，费率的稳定也是相对的,应当根据实际情况 加以调整。
二、保险费率厘定的基本原则
1. 公平合理原则 指保险费率在保险人与投保人之间及各投 保人之间要体现公平合理的原则。 • 保险人与投保人之间的公平合理，一方面 表现为必须贯彻补偿原则，另一方面强调 保险费率不能偏高。 • 各投保人之间的公平合理，是指保险人向 投保人收取的保险费，应与保险标的所面 临的危险程度相适应。
一、单利、复利和现值、终值
• （一）单利、复利 • 1、单利 • 不管贷款期限长短，仅按本金计算利息， 对利息不再付息。 • I=P×i ×n; • S=P(1+i ×n) • 式中，I为利息额；P为本金；i为利息率；n 为借贷期限；S为本利和。
2、复利
• 将所生利息加入本金， • 逐年计算利息。 • 按复利计算的本利和 公式是： •
S = P(1 + i)
n
I = P[(1 + i)
n
1]
单利的实质利率逐期 递减，复利的实质利 率保持恒定。 短期业务一般单利计 息。 • 长期业务一般复利计 息。
（二）现值和终值
• 为了在一个特定时期 末取得一定金额而现 在需要投资的本金称 现值。现值即本金， 终值即本利和。 • 1、单利的现值和终值 • 在单利中，现值公式 为：P= 1 +Sin