线性规划知识复习、题型总结

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高考数学丨线性规划知识点汇总

高考数学丨线性规划知识点汇总一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。

2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。

3 整点：坐标为整数的点叫做整点。

4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。

只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。

5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。

2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。

若直线不过原点，通常选择原点代入检验。

3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。

4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。

5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。

基础知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<03．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。

线性规划的常见题型

线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。

线性规划例题和知识点总结

线性规划例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛且方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

下面通过一些例题来帮助大家更好地理解线性规划，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值问题。

线性约束条件通常是由一组线性等式或不等式组成。

例如：＄2x ＋3y ≤ 12$，＄x y ≥ 1$等。

目标函数一般表示为$Z ＝ ax ＋ by$的形式，其中$a$、＄b$为常数，＄x$、＄y$为决策变量。

可行解是满足所有约束条件的解，可行域是所有可行解构成的集合。

最优解则是使目标函数达到最大值或最小值的可行解。

二、线性规划的例题例 1：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1 件需消耗 A原料 3 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 件需消耗 A 原料 2 千克、B 原料 4 千克。

A 原料有 12 千克，B 原料有 16 千克。

甲产品每件利润为 5 元，乙产品每件利润为 8 元，问该工厂应如何安排生产，才能使利润最大？设生产甲产品$x$件，生产乙产品$y$件。

则约束条件为：＄＼begin{cases}3x ＋2y ≤ 12 ＼＼ 2x ＋4y ≤ 16 ＼＼x ≥ 0, y ≥0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 5x ＋ 8y$画出可行域，通过解方程组找到可行域的顶点坐标，分别代入目标函数计算，可得当$x ＝ 2$，＄y ＝ 3$时，利润最大为$34$元。

例 2：某运输公司有两种货车，每辆大型货车可载货 8 吨，每辆小型货车可载货 5 吨。

现要运输 60 吨货物，且大型货车的使用成本为每次 100 元，小型货车的使用成本为每次 60 元，问如何安排车辆才能使运输成本最低？设使用大型货车$x$辆，小型货车$y$辆。

约束条件为：＄＼begin{cases}8x ＋5y ≥ 60 ＼＼x ≥ 0, y ≥ 0\end{cases}＄目标函数为$Z ＝ 100x ＋ 60y$画出可行域，计算顶点坐标代入目标函数，可知当$x ＝ 5$，＄y ＝4$时，成本最低为$740$元。

线性规划知识点总结

线性规划知识点总结
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线性规划知识点总结
1.线性规划的相关观点： ① 线性拘束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量 x ，y 的拘束条件，这组拘束条件都是对于 x ，y 的一次不等式，故又称线性拘束条件．
② 线性目标函数：
对于 x ，y 的一次式 z=2x+y 是欲达到最大值或最小值所波及的变量 x ，y 的分析式，叫线性目标函数．
③ 线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性拘束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
（3）在可行域内求目标函数的最优解 3.解线性规划实质问题的步骤：（1）将数据列成表格；
（2）列出拘束条件与目标函数；
（3）依据求最值方法： ① 画：画可行域；
② 移：移与目标函数一致的平行直线； ③ 求：
求最值点坐标； ④ 答；求最值；
（4）考证 .
4. 两类主要的目标函数的几何意义 :
（1） -----直线的截距；
（2） -----两点的距离或
圆的半径；
④ 可行解、可行域和最优解：
（3）
-----直线的斜率
知足线性拘束条件的解（ x,y ）叫可行解．由
全部可行解构成的会合叫做可行域．使目标函数
获得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的
最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本
步骤：
（1）找寻线性拘束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面地区做
出可行域；。

线性规划题型总结

3.【安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=获得最大值旳最优解不唯一，则实数 a 旳值为（A ）21或1-（B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-4.【天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目旳函数2z x y =+旳最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．2=2=-当目旳函数线过可行域内A 点时，目旳函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【山东卷（理09）】已知y x,满足旳约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目旳函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下获得最小值52时，22a b +旳最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=旳距离旳平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。

6.【全国新课标Ⅰ（理09）】不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩旳解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.7.【全国新课标Ⅱ（理09）】设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-旳最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2【答案】 B【解析】..8,)2,5(07-013--2B z y x y x y x z 故选取得最大值处的交点与在两条直线可知目标函数三角形，经比较斜率，画出区域，可知区域为==+=+=9.【北京卷（理06）】若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-旳最小值为-4，则k 旳值为（）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，由kx ﹣y+2=0，得x=，∴B （﹣）．由z=y ﹣x 得y=x+z ．由图可知，当直线y=x+z 过B （﹣）时直线在y 轴上旳截距最小，即z 最小．此时，解得：k=﹣．故选：D11.【广东卷（理03）】若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且旳最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5【答案】C【解析】由题画出如图所示旳可行域；由图可知当直线2z x y +通过点(2,1)B -时，max 2213z =⨯-=，当直线2z x y =+通过点(1,1)A --时，min 2(1)13z =⨯--=-，因此6M N -=，故选C.2246510y = -1x +y -1=0y = xBAC O1 ．（高考湖南卷（理））若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y +则的最大值是（）A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】C2 ．（一般高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知0a >,,x y满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若2z x y =+旳最小值为1,则a =（）A ．14B ．12C ．1D ．2【答案】B3 ．（一般高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目旳函数z = y -2x 旳最小值为（）A ．-7B ．-4[来源:学.科.网]C ．1D ．2【答案】A4．（一般高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））在平面直角坐标系xoy 中,M为不等式组220,210,380,x y x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩所示旳区域上一动点,则直线OM 斜率旳最小值为（）A ．2B ．1C ．13-D ．12-5．（高考北京卷（理））设有关x ,y 旳不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表达旳平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 旳取值范围是（）[来源:学#A ．4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭D ．5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭[来源:学,科,网Z,X,X,K]【答案】C 二、填空题6．（一般高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所示旳平面区域为D ,若直线()1y a x =+与D 公共点,则a 旳取值范围是______.【答案】1[,4]27．（高考陕西卷（理））若点(x , y )位于曲线|1|y x =-与y =2所围成旳封闭区域, 则2x -y 旳最小值为___-4_____.【答案】- 48．（高考四川卷（理））已知()f x 是定义域为R 旳偶函数,当x ≥0时,2()4f x x x =-,那么,不等式(2)5f x +<旳解集是____________.【答案】(7,3)- 910．（一般高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设y kx z +=,其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ,若z 旳最大值为12,则实数=k ________.[来源:学_科_网Z_X_X_K]【答案】2。

高中数学线性规划各类习题精选

线性规划基础知识：一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二：积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

高中简单线性规划基础题型总结

高中简单线性规划基础题型总结熊明军简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。

下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。

线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类：类型一（直线）：by ax z +=【理论】点到直线的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出直线by ax +=0；③判断可行域顶点到直线by ax +=0的距离：()max max ,z y x P d ⇒⇒和()min min ,'z y x P d ⇒⇒【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求y x z 2-=的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出直线y x 20-=：③判断直线y x 20-=到可行域顶点C B A 、、间的距离：平移、目测或代点都能判断，得()()11231,3,max max =⨯-=⇒⇒=z B l B d d ；()()119279,7,min min -=⨯-=⇒⇒=z C l C d d 。

类型二（圆）：()()22b y a x z -+-= 【理论】两点之间的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出圆()()222b y a x d -+-=；③判断可行域上的点到圆心()b a ,的距离（即半径r ）：()max max max ,z y x P d r ⇒⇒=和()min min min ,'z y x P d r ⇒⇒=【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求()()2211-+-=y x z 的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出圆()()22211-+-=y x d ：r d =且半径r 由小到大逐渐作圆。

③判断圆心()1,1到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径r 的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得()()()()10019179,7,22max max max =-+-=⇒⇒==z C D C d d r ；()()211411,2222min min min min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==⇒==d z l D d d r AB . 类型三（斜率）：m n x a b y m a m n x m a b y a n mx b ay z --⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--= 【理论】两点确定的直线的斜率。

高考数学线性规划题型总结

线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件,探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为 ;解析：如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A3,4处,目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.,是一道较为简单的送分题;数形结合是数学思想的重要手段之一;习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z=x+2y 的取值范围是A 、2,6B 、2,5C 、3,6D 、3,5解：如图,作出可行域,作直线l ：x+2y ＝0,将l 向右上方平移,过点A2,0时,有最小值2,过点B2,2时,有最大值6,故选A二、已知线性约束条件,探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域,而22x y +表示可行域内一点到原点的距离的平方;由图易知A1,2是满足条件的最优解;22x y +的最小值是为5;点评：本题属非线性规划最优解问题;求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下,作出可行域,寻求最优解; 习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是 A 、13,1 B 、13,2C 、13,45D 、13,255图2x y O2 2 x=2y =2 x + y =2BA 2x + y - 2= 0= 5x – 2y + 4 = 3x – y – 3 =Oyx A解：如图,作出可行域,x 2+y 2是点x,y 到原点的距离的平方,故最大值为点A2,3到原点的距离的平方,即|AO|2=13,最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方,即为45,选 C 练习2、已知x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ,则xy 的最大值为___________,最小值为____________． 2,0三、设计线性规划,探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中,不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是A 42 B4 C 22 D2解析：如图６,作出可行域,易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形;容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ０,２,B2,0,C-2,0.于是三角形的面积为：11||||42 4.22S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ; 点评：有关平面区域的面积问题,首先作出可行域,探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键;习题3、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图,作出可行域,△ABC 的面积即为所求,由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可,选B四、已知平面区域,逆向考查约束条件;例4、已知双曲线224x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是2x + y – 6= 0 = 5x ＋y – 3 =Oyx A BC M y =2A 0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩B 0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩C 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩D 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±,与直线3x =围成一个三角形区域如图4所示时有0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩;点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题;验证法或排除法是最效的方法;习题4、如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是A 232600y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩B 232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩C 232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩C五、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题;例5、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下,当35s ≤≤时,目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是A.[6,15]B. [7,15]C. [6,8]D. [7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意,作出可行域,寻求最优解条件,然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键;六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点0,0和－1,1,则m 的取值范围是 A 、-3,6 B 、0,6 C 、0,3 D 、-3,3解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3,选CCO2x – y =y2x – y + 3 = 0习题6、不等式3|2|<++m y x 表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(-则m 的取值范围是A ．32<<-mB ．60<<mC ．63<<-mD ．30<<mA七、已知最优解成立条件,探求目标函数参数范围问题;例7、已知变量x ,y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩;若目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值,则a 的取值范围为 ;解析：如图5作出可行域,由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为斜率为a -,纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y =+其中0a >仅在点(3,1)处取得最大值;则直线y ax z =-+过Ａ点且在直线4,3x y x +==不含界线之间;即1 1.a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞;点评：本题通过作出可行域,在挖掘a z -与的几何意义的条件下,借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解;求解本题需要较强的基本功,同时对几何动态问题的能力要求较高;习题7、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩,使z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则a 的值为A 、－3B 、3C 、－1D 、1解：如图,作出可行域,作直线l ：x+ay ＝0,要使目标函数z=x+aya>0取得最小值的最优解有无数个,则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合,故a=1,选D八、研究线性规划中的整点最优解问题例8、某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是A80 B 85 C 90 D95解析：如图７,作出可行域,由101010zz x y y x =+⇒=-+,它表示为斜率为1-,纵截距为x + y = 5x – y + 5 =Oyxx=310z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值;当直线1010z x y =+通过119(,)22A z 取得最大值;因为,x y N ∈,故Ａ点不是最优整数解;于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ５,４,Ｃ４,４,经检验直线经过Ｂ点时,max 90.Z =点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时,可在去掉限制条件求得的最优解的基础上,调整优解法,通过分类讨论获得最优整数解;九、求可行域中整点个数例9、满足|x|＋|y|≤2的点x,y 中整点横纵坐标都是整数有 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y xy+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图,是正方形内部包括边界,容易得到整点个数为13个,选C 习题9、不等式3<+y x 表示的平面区域内的整点个数为A ． 13个B ． 10个C ． 14个D ． 17个 AxyO。

八种经典线性规划例题最全总结(经典)

线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。

一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，D、，解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为，选C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于由右图可知,故0＜m＜3，选C七、比值问题当目标函数形如时,可把z看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。

线性规划题型总结

线性规划题型总结一、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x 【类型一：已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题】例1.求y x z 32+=的最大值.【类型二：已知线性约束条件，探求分式目标关系最值问题】例2.求112++=y x z 的取值范围.【类型三：已知线性约束条件，探求平方和目标关系最值问题】例3.求22)2(-+=y x z 的最值，以及此时对应点的坐标.【类型四：已知线性约束条件，探求区域面积与周长问题】例4.试求所围区域的面积与周长.【类型五：已知最优解，探求目标函数参数问题】例5.已知目标函数z ax y =+（其中0<a ）仅在（3,4）取得最大值，求a 的取值范围.【类型六：已知最优解，探求约束条件参数问题】例6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥-≤-122y x m y x y x ，目标函数y x z 32+=在（4,6）取得最大值，求m .二、线性规划的实际应用线性规划的实际应用题型大体有两类，一类是一项任务确定后，如何统一安排，做到以最少的人力物力完成任务；另一类是在人力物力一定的条件下，如何安排使得最大化的发挥效益.两类题型是同一个问题的两面，主要依据以下步骤：1.认真分析实际问题的数学背景，将对象间的生产关系列成表格；2.根据问题设未知量，并结合表格将生产关系写出约束条件；3.结合图形求出最优解.例1.配制A 、B 两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3 mg ，乙料5 mg ；配一剂B 种药需甲料5 mg ，乙料4 mg.今有甲料20 mg ，乙料25 mg ，若A 、B 两种药至少各配一剂，问共有多少种配制方法?例2. 某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工作时数最少？针对练习一、选择题1.下列四个命题中真命题是（）A .经过点P (x o ,y o )的直线都可以用方程y －y o =k (x －x o )表示；B .经过任意两不同点P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)=(x －x 1)(y 2－y 1)表示；C .不经过原点的直线都可以用方程1=+by a x 表示； D .经过定点A (0,b )的直线都可以用方程y =kx +b 表示2.设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（）.A 1=+b a .B 1=-b a .C 0=+b a .D 0=-b a3.下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（）Ａ.(02)，Ｂ.(20)-，Ｃ.(02)-，Ｄ.(20)， 4.若变量x 、y 满足约束条件 1.0.20.y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则z ＝x-2y 的最大值为A.4B.3C.2D.15.在约束条件0024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+最大值的变化范围是（） A.[6,15] B. [7,15] C. [6,8] D. [7,8]6.在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）A. B.4C. D.27.某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是( )A.80B.85C. 90D.958.已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪⎨⎪+-⎩≤，≥，≤，则y x 的取值范围是（）.A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,59 .B [)965⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦，，.C (][)36-∞+∞，， .D [36]，二、填空题 9.已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是；10.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为；11.已知变量x ，y 满足约束条件1422x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。

线性规划知识点

线性规划基础知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

高中线性规划知识点及高考真题

高中必修5线性规划
简单的线性规划问题
一、知识梳理
1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数,称为目标函数．
2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.
3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．
4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．
5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．
二、疑难知识导析
1.对于不含边界的区域,要将边界画成虚线．
2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法,常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点,检验它的坐标是否满足所给的不等式,若适合,则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则,直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点,通常选择原点代入检验．
3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时,直线必须经过可行域．
4.对于有实际背景的线性规划问题,可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域,此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解,无论此类题目是以什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的：1寻找线性约束条件,线性目标函数；2由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3在可行域内求目标函数的最优解.
积储知识：。

线性规划知识点及题型总结教师版

目录线性规划 (2)模块一：线性规划的概念 (2)考点1：求可行域 (2)模块二：常见目标函数 (5)考点2：一次函数型 (5)考点3：斜率型 (9)考点4：距离型 (13)课后作业： (15)线性规划模块一：线性规划的概念1．二元一次不等式表示的区域对于直线0Ax By C ++=，当0A >时，0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=的右方区域；0Ax By C ++<表示直线0Ax By C ++=的左方区域；当0A <时，0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=的左方区域；0Ax By C ++<表示直线0Ax By C ++=的右方区域；当0B >时，0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=的上方区域；0Ax By C ++<表示直线0Ax By C ++=的下方区域；当0B <时，0Ax By C ++>表示直线0Ax By C ++=的下方区域；0Ax By C ++<表示直线0Ax By C ++=的上方区域．可以用推理的方式辅助记忆：当0A >时，随着x 的增大，Ax By C ++会变大，因此直线0Ax By C ++=的右方区域满足0Ax By C ++>，左方区域满足0Ax By C ++<；当0A <时，随着x 的增大，Ax By C ++会变小，因此直线0Ax By C ++=的左方区域满足0Ax By C ++>，右方区域满足0Ax By C ++<． 2．可行域⑴ 不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．⑵ 满足线性约束条件的解()x y ，叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．考点1：求可行域例1.（1）若点(2,1)A -，点(2,1)B -在直线10x ay +-=的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(-∞，1)(3⋃，)∞ C ．(3,1)--D ．(-∞，3)(1--⋃，)+∞【解答】解：Q 点(2,1)A -，点(2,1)B -在直线10x ay +-=的两侧，(21)(21)0a a ∴-+---<，即(3)(1)0a a --<，得(3)(1)0a a -->，得3a >或1a <，即实数a 的取值范围是(-∞，1)(3⋃，)∞，故选：B ．（2）不等式组24020x y x y -+⎧⎨-+<⎩…表示的平面区域是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：240x y -+…表示在直线240x y -+=的下方及直线上， 20x y -+<，表示在直线20x y -+=的上方，则对应的区域为B ，故选：B ．（3）不等式||||x y …所表示的平面区域是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：不等式组等价为x y x y ⎧⎨-⎩……或x yx y ⎧⎨-⎩……，则对应的平面区域为D ，故选：D ．（4）已知实数x ，y 满足不等式组22020x y x y y -+⎧⎪+⎨⎪⎩………，则该不等式组表示的区域面积为．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则(0,1)A ，(1,0)B -，(2,0)C ，故答案为：3（5）不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域的面积等于14，则k = ．【解答】解：Q 不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点(2,0)，解得：1k =．故答案为：1．模块二：常见目标函数1．线性规划⑴ 在线性约束条件下，z Ax By =+是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数．由于z Ax By =+又是关于x 、y 的一次解析式，所以又叫做线性目标函数．⑵ 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．⑶ 在可行域中，可行解11()x y ，和22()x y ，分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行域． 2．主要方法用“图解法”解决简单的线性规划问题的基本步骤：⑴ 首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）． ⑵ 设0z =，画出直线0l ．⑶ 观察、分析，平移直线0l ，从而找到最优解． ⑷ 最后求得目标函数的最大值及最小值．考点2：一次函数型例2.（1）目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义为（） A ．该直线的横截距 B ．该直线的纵截距C ．该直线纵截距的12的相反数 D ．该直线纵截距的2倍的相反数【解答】D（2）若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩………，则3z x y =+的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩………，作出可行域如图，联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得(3,4)A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5．故选：D ．（3）设变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩………，则目标函数3z x y =-的最大值为( ) A ．0 B ．3- C ．18 D ．21【解答】解：作出变量x 、y 满足约束条件为2600x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩………的可行域，如图所示的阴影部分，如图：由3z x y =-可得3y x z =-可得z -为该直线在y 轴上的截距，截距越小，z 越大，作直线:30L x y -=，可知把直线平移到(6,0)A 时，Z 最大，故18max z =．故选：C ．（4）给出平面区域如图所示，若目标函数(0)z x ay a =+…仅在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．103a <<B ．13a …C ．13a >D ．102a <<【解答】解：根据画出的约束条件表示的可行域为ABC ∆内部（包括边界），易知当0a =时，z x =的最大值不是2，不符合题意；故选：C ．（5）已知实数x ，y 满足13y x y ax ++剟?，若2y x -的最大值是3，则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞，3]B ．[1，3]C ．(-∞，2]D ．[2，)+∞【解答】解：不等式13y x y ax ++剟?，等价于13y x y y x y ax ⎧⎪+⎨⎪++⎩………，化简得10(1)3y x y a x ⎧⎪⎨⎪-+⎩………，设2z y x =-，则2y x z =+；且z 的最大值是3，由图形知，12a -…，解得3a …，所以实数a 的取值范围是(-∞，3]．故选：A ．（6）若关于x ，y 的不等式组223000x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点0(P x ，0)y 满足00230x y --=，则实数m 的取值范围是( )A ．(1,3)-B ．(3,)+∞C ．(,1)-∞-D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则要使平面区域内存在点0(P x ，0)y ，满足0023x y -=，则只需点A 在直线23x y -=的下方即可，由200x m y m ⎧-=⎨-=⎩，解得2(A m ，)m ，则点A 的坐标满足23x y -<，即：223m m -<，2230m m ∴--<，解得：13m -<<，即m 的取值范围是(1,3)-，故选：A ．考点3：斜率型例3.（1）已知x ，y 满足约束条件10220220x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………，则11x y +-的取值范围是( )A ．11[,]23-B ．[2-，3]C ．11(,][,)-∞-+∞U D ．(-∞，2][3-U ，)+∞作出可行域，可知点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的范围故选：D．（2）已知实数x，y满足3,26,8x yx yx-⎧⎪+⎨⎪⎩………则13yx--的取值范围为()A．1[4，5]8B．1[8-，1]4C．[0，4]5D．2[5-，4]5【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由(8,5)A，(8,1)B-，故选：D．（3）已知变量x，y满足约束条件12,1,x yx+⎧⎨-⎩剟…则x yy+的取值范围是()A．12[,]23B．(0，2]3C．(1-，1]3-D．3[,2]23y故23x yy+<…．故选：B．（4）已知x，y满足203010yxx y-⎧⎪+⎨⎪--⎩………，则264x yx+--的取值范围是() A．17[1,]7-B．17[1,]7C．19[0,]7D．[2-，0]由x，y满足203010yxx y-⎧⎪+⎨⎪--⎩………，所确定的可行域如图所示，结合图形可得，故选：A．（5）已知实数x ，y 满足430401x y x y x -+⎧⎪+-⎨⎪⎩………，若x y z y x =+，则z 的最大值为( ) A ．447 B ．4613 C ．103 D ．43x 137y x y y y 10故选：C ．考点4：距离型例4.（1）已知x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩………，则22x y +的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩………作出可行域如图，22x y +的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，A 到原点O 的距离最小，由3531x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解得(1,2)A ，则22x y +的最小值为：5．故选：D ．（2）设点(,)P x y 在不等式组02030x x y x y ⎧⎪-⎨⎪+-⎩………表示的平面区域上，则z 为( )A ．1BC ．2D 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由图象知D 到直线20x y -=的距离最小，故选：D ．（3）若实数x ，y 满足1200y x x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………，则z 的最大值是( ) A B C D 【解答】解：实数x ，y 满足1200y x x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩………对应的平面区域如图：三角形ABO 的三边及其内部部分：(1,0)A -，(1,2)B ，(0,0)O由图数形结合可知，点(1,0)A -到直线的距离最大，故选：B ．课后作业：1.不等式组24020x y x y -+⎧⎨-+<⎩…表示的平面区域是( ) A ． B ．C ．D ．【解答】解：240x y -+…表示在直线240x y -+=的下方及直线上， 20x y -+<，表示在直线20x y -+=的上方，则对应的区域为B ，故选：B ．2.不等式组210y x y kx y -+⎧⎪-⎨⎪⎩………所表示的平面区域的面积等于14，则k = ．【解答】解：Q 不等式组10y kx y ⎪-⎨⎪⎩……所表示的平面区域三角形，如图：平面为三角形所以过点(2,0)，解得：1k =．故答案为：1．3.若x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩………，则3z x y =+的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件24010220x y x y x y -+⎧⎪++⎨⎪+-⎩………，作出可行域如图，联立10220x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得(3,4)A -，化目标函数3z x y =+为3y x z =-+，由图可知，当直线3y x z =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为5．故选：D ．4.已知x ，y 满足约束条件220220x y x y ⎪--⎨⎪-+⎩……，则11x y +-的取值范围是( ) A ．11[,]23- B ．[2-，3]C ．11(,][,)23-∞-+∞U D ．(-∞，2][3-U ，)+∞作出可行域，可知点(,)x y 与点(1,1)-连线的斜率的范围故选：D ．5.已知x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩………，则22x y +的最小值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解答】解：由x ，y 满足约束条件43531x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩………作出可行域如图，22x y +的几何意义为原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，A 到原点O 的距离最小，由3531x y x y -=-⎧⎨-=⎩ 解得(1,2)A ，则22x y +的最小值为：5．故选：D ．。

线性规划总结

线性规划题型总结知识点（1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线．（2以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解．（3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By ＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解．题型一：给出具体的变量,x y满足约束条件，求线性目标函数的最值。

常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。

例1、已知变量,x y满足约束条件241yx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y=+的最大值为( )【解析】选B约束条件对应ABC∆边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C则3[8,11]z x y =+∈例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩；则x y -的取值范围为_____【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]-约束条件对应ABC ∆边际及内的区域：3(0,3),(0,),(1,1)2A B C则[3,0]t x y =-∈-练习题：1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2+3x y 的最大值为（D ）.A ．20B ．35C ．45D ．552、若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为。