概率论第三章题库

第三章 多维随机变量及其分布

一、选择题

1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.⎰

+∞

∞-=1)(dx x f X

B.

⎰

+∞

∞

-=

2

1

)(dx y f Y C.

⎰

+∞

∞

-=0)(dx x f X D.

⎰

+∞

∞

-=0)(dx y f Y

2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσ

B. 221(,)N μσ

C. 2

12

(,)N μσ D. 2

22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2

+y 2

≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1

B. 1(,)0,

x y D f x y ∈⎧=⎨

⎩，

（,）,其他

C. f(x ，y)=1

π

D. 1

(,)0,

x y D f x y π⎧∈⎪=⎨⎪⎩，

（,）,其他

4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）.

A .1,0.8,(,)0,

.x y F x y +>⎧=⎨

⎩其他 B .⎪⎩⎪⎨⎧>>⎰⎰=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e

y x F y x t s C . ⎰⎰=

∞-∞

---y x t

s dsdt e y x F ),( D .⎪

⎩⎪⎨⎧>>=--.

,

0,

0,0,),(其他y x e y x F y

x

5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=⎪⎩⎪⎨⎧<<<<,,

0;

20,20,41

其他y x

则P{0

1

C ．43

D ．1

6、（中等）设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为

则有（ ）

A ．92,91==βα

B ．91

,92==βα

C ．3

2

,31==βα

D ．3

1

,32==βα

7、（中等）设二维随机变量(X ,Y )的联合分布函数为F(,x y ). 其联合概率分布律为

Y

X 0

1 2 -1 0 0 0 2

则F （0,1）=（ ） A.

B. C. D.

8、（难）设随机变量X 和Y 相互独立，且X ~N (3,4)，Y ~N (2,9)，则Z=3X -Y ~（ ） A. N (7，21) B. N (7，27) C. N (7，45) D. N (11，45)

9、（难）设随机变量X ，Y 相互独立，且X ~N （2，1），Y ~N （1，1），则（ ） {X -Y ≤1}=

2

1

B. P{X -Y ≤0}=21

C. P{X +Y ≤1}=

2

1 D. P{X +Y ≤0}=

2

1 10、（易）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则=∞+),(x F （ ） A ．0 B ．)(x F X C ．)(y F Y D ．1

二、填空题

11、（易）设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=

21，P{Y≤1}=3

1

，则P{X ≤1,Y ≤1}=___. 12、（易）设二维随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F ，则(,)F -∞-∞=______.

13、（中等）设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为⎩⎨⎧>>--=--,,0,

0,0),e 1)(e 1(),(其他y x y x F y x ，

则

当x >0时, X 的边缘分布函数F X (x )=__________.

14、（易）已知当0

（x ,y ）的概率密度为f (x ,y ) ，则f (11

48

，）=__________.

15、（中等）设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则{}=≤<2,1Y X P ______.

16、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度 f (x ,y )=⎩

⎨⎧≤≤≤≤，y x ，其他,0,10,101则

P {X +Y ≤1}=____.

17、（中等）设随机变量X

Y =X 2

，记

随机变量Y 的分布函数为F Y （y ），则F Y （3）=__________. 18、（易）设随机变量X 和

Y 相互独立，它们的分布律分别为

，

则{}==+1Y X P ___________.

19、（易）设二维随机变量(X,Y)的分布律为

则P{XY=0}=__________.

三、计算题

20、（中等）.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码 为X ，最大的号码为Y .

（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） 求关于X 和关于Y 的边缘分布； （3） X 与Y 是否相互独立 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表

3 4 5

{}i P X x =

1

35

11C 10= 3522

C 10= 35

33

C 10= 6

10 2

35

11C 10= 3522

C 10= 310 3 0

2511C 10

= 110

{}i P Y y =

1

10 310 610

(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010

P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立

21、（中等）某高校学生会有8名委员，其中来自理科的2名，来自工科和文科的各3名，现从8名委员中随机指定3名担任学生会主席，设X ，Y 分别为主席来自理科、工科的人数，求：（1）（X,Y ）的联合分布律；

（2）X,Y 的边缘分布.

2

31 4

1 Y

X