上海交通大学矩阵理论课件20110927

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矩阵理论_课件_11

2
，且 αxHz 为实数.
α 满足两个特征
证明：当 x=0时，任取单位向量u，则
H ( E 2uu H )0 0 0 z Hx
当 x= αz ≠ 0 时，取单位向量u满足 uHx=0，则有
Hx ( E 2uu H ) x x 2u(u H x ) x = z
5 2 , s1 计算T13. 取 c1 ，则 3 3
5 3 T13 0 2 3
T T T x x e 3(1, 0, 0) 使得 13 12 . 2 1
0 1 0
2 3 0
5 3
□
6.2.3 矩阵的QR分解
定义：设 A Cnn . 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵R，使得
1 1 c s p行 1 Tpq 1 s c q行 1 1
p 列
q 列
T n x ( , , , ) C 定理：对任意定理对任意， 1 1 n
解(1)：取 x
2
(2). x (2i, i, 2)T .
3 ，计算
2 1 x e1 1 1 u 2 1 x e1 2 12 3 2 1 1 2 2 1 H 于是 H E 2uu 2 1 2 , 使得 Hx=3e1. 3 2 2 1
( x z) ( x z) x x x z z x z z
H H H H H
2
x x ( x z ) z x x
H H H H
2 2
2
实数的共轭转置为本身

矩阵理论课件-第二章矩阵的分解

故xH AH Ax=xH x= 2 xH x，因为AH A=I，所以 2 =1.
(因为xH x= x 2 0)
:由条件UHAU=diag{1, , n}共轭转秩得UHAHU=
diag{1,
, n}，所以UHAAT U=diag{ 1 2 ,
,
n
2
}=I
，
n
所以AAT =In .
注1：设A Cnn ,则
Cmr r
,
C
Ir
D
Crn r
.
下设A的前r个列向量线性相关,只需先做列变换，变成
线性无关，
因此存在P
Cmmm，Q
Cnn n
,
满足
PAQ=
Ir 0
D 0
或A=P-1
Ir 0
D 0
Q-1
=P-1
Ir 0
I
r
=BC
D Q-1
其中B=P-1
Ir 0
Cmr r
,C
Ir
D
讨论知AH x1, , AH xp为AH A属于i 0的特征向量，只要证明
AH x1, , AH xp线性无关，就证明了AAH的p重特征值也是AH A 的p重特征值.
下证AH x1, , AH xp线性无关.
设k1AH x1
k p AH xp 0.则( AH x1,
,
AH
xp
)
k1
0
kp
H
=
1 2
11，可知|I-A|无重根，
A为单纯矩阵，但AAH AH A.
推论1：A为正规矩阵,当且仅当A有n个特征向量构成Cn的一组标基，且A的不同特征值的特征向量正交.
推论2：设A R nn ,则

矩阵论第一章第二节PPT课件

分析：设 dimV n, 1, 2, , n 是V的一组基，
线性变换在这组基下的矩阵为A.
设 0是的特征值，它的一个特征向量在基
1,2,
, n 下的坐标记为
x01 ,
x0n
则 ( )在基 1, 2 ,
, n下的坐标为
x01 A ,
x0n
x01
而0
的坐标是
0
x0n
21 11
k 1 k
k k 1
.
例. 在线性空间 P3 中，线性变换定义如下：
(1 ) (2 )
( 5, 0, (0, 1,
3) 6)
,
(3 ) (5, 1,9)
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3, 1,0)
（1）求在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵. （2）求在 1,2 ,3 下的矩阵.
② 若是的属于特征值 0的特征向量，则 k (k P,k 0) 也是的属于0 的特征向量.
(k ) k ( ) k(0 ) 0(k )
由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即
若 ( ) 且 ( ) ，则 .
2、特征值与特征向量的求法
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
1 9
0 2
1 1
1 0
1 7
5 4 27
20 5 18
20
2 24
（2）设在1,2 ,3下的矩阵为B，则A与B相似，且

(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档

列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量的对应系数。若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij

a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】一个一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中

矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质：（M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;

《矩阵论》课件共39页PPT资料

n
x 1
xi ;
i1
1
x
2

n i1
xi
2 2
;
x

max
1 i n
xi
;
1
x
n p i 1
xi
p p ,
p1
x , x , x , x ( p 1)都是 C n上的向量范数。
1
2

p
引6理 .1.1 如果p实 1,q数 1且111,则对 pq
向量范,数1,,n为V的一组,V基中任一向量
n
可唯一地表示为xii, x(x1,, xn)T Pn. i1
则是x1,, xn的连续函. 数
定义6.1.2 设 , 是n维线性V空上间定义的 ab
种向量,范如数果存在两无个关与的正常
其中p 实 1,q 数 1且 111. pq
定理6.1.2（Minkowski不等式）
设 x ( x 1 , ,x n ) T ,y ( y 1 , ,y n ) T C n ,则
1
1
1
i n1xiyi p p i n1xi p p i n1yi p p
定理6.1.5 设V是数域 P上的n维线性空,间 1,,n 为V的一组,基则V中任一向可量唯一地表示
n
xii , x (x1,, xn)T Pn.又设是Pn上的
i1
向量范,数令 v
x,
则是V上的向量范. 数 v
定理6.1.6 设是数域 P上n维线性空V上间的任一

电阻矩阵-上海交通大学

4 J3
J1 1
6
R1 R4

R4
R4
R4 R2 R4 R5 R6
R4 R6
R4 R4 R6
J1 uS1

J2

R6 gmu4

R3 R4 R5 R6 J3 ri2 R6 gmu4
uS1
i1 i3 R3 i4
u4 R4
R2
R5 ri2
i5
i6
R6 gmu4
2
3 J2 5
4 J3
J1 1
6
R1 R4

R4
R4
R4 R2 R4 R5 R6
R4 R6
R4 R4 R6
J1 uS1

J
2

R6 gmu4

1
1 0 1 1
0

1
0

1

j1 j2 j3

i6 0 1 1
10
§2.11 基本回路分析法
4
2
1
5
6
3
4 ①1 5
4
2
②
56
56
③ 3
1 0 0 1 1 0 B 0 1 0 1 1 1
0 0 1 0 1 1
Ib=Gb(Ub-USb)+ISb
③
支路将③→① AIb=AGbUb-AGbUSb+AISb=0
AGbUb=AGbUSb-AISb
④
将②→④
AGbATEn =AGbUSb-AISb

矩阵论课件

三、
基变换与坐标变换基是不唯一的，因此，需要研究基改变时坐标变换的规律。
设 x1 , x 2
, x n 是 V n 的旧基， y1 , y 2
, y n 是 V n 的新基，由于两者都是
基，所以可以相互线性表示
y j = ∑ c ij x i
i =1 n
(i = 1,2
, n)
c1n ⎤ ⎥ c 2n ⎥ = [x1 , x 2 ⎥ ⎥ c nn ⎦
第一讲
一、线性空间的定义及性质
线性空间
[知识预备] ★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（ ∪ ），交（ ∩ ）另外，集合的“和” （＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。 ★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
3
和 O 2 均为零元素，按零元律有 [交换律]
O1 + O 2 = O1 = O 2 + O1 = O 2
所以
O1 = O 2
即 O1 和 O 2 相同，与假设相矛盾，故只有一个零元素。 ②任一元素的负元素也是唯一的。假设 ∀x ∈ V ，存在两个负元素 y 和 z ，则根据负元律有
x+ y=O= x+z y = y + O = y + ( x + z) = ( y + x) + z = O + z = z
念是个非常重要的概念，有了线性相关性才有下面的线性空间的维数、基和坐标。 4．线性空间的维数定义：线性空间 V 中最大线性无关元素组所含元素个数称为 V 的维数，记为 dim V 。本课程只考虑有限维情况，对于无限维情况不涉及。

上海交通大学矩阵理论课件20110920

内积空间与正定二次型
1
内积空间
内积空间V ：线性空间+内积。内积：对线性空间V 中的任意两个向量α, β ，定义实数域或复数域F中的一个数(α, β )，称为内积。需要满足以下三点： • 共轭对称性：(α, β ) = (β, α)； • 正定性：(α, α) ≥ 0，且等号成立的充要条件是α = 0； • 双线性：(aα + bβ, γ ) = a(α, γ ) + b(β, γ )。
3
3.1
内积与矩阵
酉矩阵
酉矩阵Q：Q = (α1 , α2 , · · · , αn )中列向量是V = Rn 或V = Cn 的一组标准正交基。实的酉矩阵称为正交矩阵。矩阵Q是酉矩阵⇔QQ∗ = I 。实矩阵Q是正交矩阵⇔ QQT = I ⇔ Q−1 = QT 。利用正交矩阵就可以将实对称矩阵对角化。
3.3
内积与正定矩阵
基α1 , α2 , · · · , αn 的度量矩阵或Gram矩阵：A = (aij )，其中aij = (αi , αj )。设V 是n维复线性空间，则其上的内积与正定矩阵意义对应。（通过正定Hermite矩阵可以定义内积，而从已有内积中也可以得到相应的Hermite矩阵）。任意n阶复矩阵A = (aij )，称y ∗ Ax =
3.2
Hermite矩阵
Hermite矩阵：复共轭对称矩阵，即满足A = A∗ 。 Hermite矩阵的特征值均为实数，且不同特征值的特征向量彼此正交。 Hermite矩阵A可以酉对角化，即存在酉矩阵U 使得U ∗ AU = D是对角矩阵。特别地，实对称矩阵可以正交对角化。（复）Hermite二次型（简称二次型）：关于未定元x = (x1 , · · · , xn )T 的复系 n ¯i xj ，其中aij = a¯ 数二次多项式f (x) = ji 。存在唯一的n阶Hermite矩 i,j =1 aij x ∗ 阵A = (aij )使得f = x Ax，该矩阵A称为二次型的矩阵。正定二次型、正定矩阵：设f (x) = x∗ Ax是复二次型，A是Hermite矩阵，若对任意非零向量α ∈ Cn ，均有f (α) = α∗ Aα > 0，则称f (x)是正定二次型，A是正定矩阵。设A是n阶Hermite矩阵，则下列条件等价： • A是正定的； • f (x) = x∗ Ax是正定二次型； • A的特征值均为正实数； • 存在m × n阶列满秩矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵M ，使得A = M ∗ M ； • 存在n阶可逆矩阵P ，使得P ∗ AP = I （即A与I 合同）。 2

矩阵理论课件 (27)

返回
量组的最大无关组(不妨设为其前r个列1,2,L ,r ).
A2 A AgA A A(1,2,L ,r ,L ,n ) = (1,2,L ,r ,L ,n )
Ai = i 1gi (i 1,L ,r)且1,2,L ,r线性无关.
(2)rank(A) r Ax 0共有n r个线性无关解(设为r1,L ,n). 即Ai 0 0gi (i r 1,L ,n).
xH AH (E A)x 0 AH (E A) 0 AH AH A
A
AH
H
AH A H AH A A AH
返回
注： ,0 ( , ) (P , P )
设1,2 ,L
,
n为Vn的基,
且
H i
j
1, 0,
j j
i ,令V i
( 1 ,L
, n ),
则V HV E. 设 n xi i (1, 2 ,L , n )x Vx,则
R( A) C m，N ( AH ) C m R( A) N ( AH ) C m
又 dim R( A) dim N ( AH ) m，故
(7) R( A) N ( AH )=C m
返回
(8)基本结论2：
（1） AH AH 2 , E A E A2
(2) ( A) { Ax x, x 0} {0,1}
返回
6. 幂等矩阵的性质
(1) A C mn ,则
R( A) { y | y Ax,x C n } A的值域；
N ( A)={x | Ax 0, x C n } A的核.
(2)基本结论1：
dim R( A) dim N ( AH ) m
A
C
mn
dim R( AH ) C m R(