相交线

对 顶 角
①两条直线相 交形成的角； ②有公共顶点;
③没有公共边
对顶 角相 等
①都是两条 直线相交而 成的角；
①有无公共边 ②两直线相
邻 补
①两条直线相 交而成； ②有公共顶点;
②都有一个 公共顶点； 邻补
角互 ③都是成对
交时，对顶 角只有两Leabharlann Baidu 邻补角有四 对
角
③有一条公共 边
补
出现的
随堂练习
1．判断
A C
2
1
3
O
4
D B
∠1与∠2有一条公共边OA，它们的另一 边互为反向延长线．
知识要点
邻补角
如果两个角有一条公共边，它们的另一边 互为反向延长线，那么这两个角互为邻补角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
图中互为邻补角的有：∠1与∠2， ∠2与∠3， ∠3与∠4， ∠1与∠4．
判断两个角是不是邻补角：
（1）有一个公共顶点； （2）有一条公共边．
O
书写形式1：
C
B
因为∠AOD=90°（已知）
所以AB⊥CD（垂直的定义）
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那 么，∠AOD=90°．
书写形式2：因为AB⊥CD （已知）
所以∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
判断两条直线互相垂直的关键：
只要找到两条直线相交时四个交角 中一个角是直角．
两条直线相交，有__2__组对顶角． 三条直线相交于一点，有__6__组对顶角．
四条直线相交于一点，有__1_2_组对顶角． ｎ条直线相交于一点，有_n_（__n_－__1_）_组对顶角．
A
2
D
1 O3
C
4
B
∠1与∠2互补， ∠2 与∠3互补
∠1＝ ∠3 （同角的补角相等）
∠2＝∠4
对顶角相等．
A．60° B．100° C．120° D．140°
1
2
O a
b
2．直线AB、CD交于点O，OP是∠BOC的
平分线，已知∠AOC=54°．求∠BOP的度数．
P
解： 由邻补角的定义可得：
C
B
∠BOC＝180°－∠AOC
＝180°－54°
＝126°；
因为OP平分∠BOC，
AO D
所以∠BOP= 12∠AOD
12
12
1
2
如图1所示，∠1与∠3有什么特点？
A
2
D
1O3
4
B
C
∠1与∠3是直线AB与CD相交得到的， 它们有一个公共顶点O，没有公共边．
知识要点
对顶角
如果一个角的两边是另一个角的两边的反向 延长线，那么这两个角互为对顶角．
右图中互为对顶角的为： ∠1与∠3； ∠2与∠4．
A
2
D
1 O3
C
4
B
判断两个角是不是对顶角：
（1）两个角是由两条直线相交而形成的 （由两条直线相交保证了所形成的角有公共 顶点）；
（2）两个角的两边无公共边．
下列各图中∠1、∠2是对顶角吗？为什么？
1 2
1
12
2
A
2
D
1 O3
A2
D
O
4
C
4
B
O
C
B
对顶角是成对出现的．上图中，∠2和∠4它们 是相互的，∠2是∠4的对顶角， ∠4是∠2的对顶 角，而单独的一个∠2或一个单独的∠4都不能叫 对顶角．
一对邻补角一定互补吗？ 一对互补的角一定是邻补角吗？
A
2
DA
O
1 O3
1O
4
C
4
BC
C
B
图中，∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4，∠1 和∠4都是邻补角，它们是相互的、成对出现的， 如∠2是∠3的邻补角，∠1是∠4的邻补角，单独的 一个∠1或单独的一个∠4都不能叫邻补角．
下列图中∠1、∠2还是邻补角吗？
（1）有公共顶点且相等的两个角是对顶
角．（ × ） （2）两条直线相交，有两组对顶角．（ √ ）
2．如右图直线AB、CD交于点O，OP为 射线，那么（ C ）
A．∠AOC和∠BOC是对顶角
B．∠BOC和∠AOP是对顶角
C．∠BOC和∠AOD是对顶角
D．∠AOC和∠DOP是对顶角
C
B
O
A
D
P
3．如图，直线a，b相交于点O，若∠1＝ 40°，则∠2＝（ D ）
m
图中m与n互相垂直， 其 中，m叫n的垂线， n叫m的 垂线，垂足为O．
┓
n
O
垂直的表示：
用“⊥”和直线字母表示垂直
例如，如图，m、n互相垂直， 垂足 为O，则记为：m⊥n或n⊥m．
m
┓n O
若要强调垂足，则记为：a⊥b， 垂足为O．
垂直的书写形式：
A
D
如图，当直线AB与CD相交于O点，
∠AOD=90°时，AB⊥CD，垂足为O．
知识要点
对顶角性质
对顶角相等.
例：如图所示，直线m，n相交， ∠1＝60°，求∠2，∠3，∠4的度数．
解：由邻补角的定义，可得：
∠2＝180°－∠1 ＝180°－60°
2
1
n
3
＝120°；
4
由对顶相等，可得：
∠3＝∠1＝60°，
m
∠4＝∠2＝120°．
角的 名称
特 征 课性质堂小相结同 点 不 同 点
生活中常见的互相垂直的例子
例2 如图．直线AB、CD相交于点O，
OE⊥AB于O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°，
解:
求∠AOC、 ∠ EOF、 ∠ COF的度数．E
因为AB⊥OE （已知）
D
所以 ∠EOB=90°(垂直的定义)
因所所为以以∠∠∠DADOOOECB===54∠00°°DO(（互B=已余4知0的°）定（义对) 顶A角C相等）O
新课导入
生 活 中 的 相 交 直 线
生 活 中 的 相 交 直 线
知识要点
相交线的定义
23
●O
14
二线四角图
有一个公共点的两条直线形成相交直线．
请你画出任意两条相交直线，看看这四 个角有什么关系?
两条相交直线形成的小于平角的角有几个?
如图1所示，∠1与∠2有什么特点？
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= 1 ×126°
2
＝63°.
生活中的垂线
生 活 中 的 垂 线
C
当∠BOD＝90°时．
∠AOD＝__9_0_°___； A ∠AOC＝__9_0_°___；
B O
∠BOC＝__9_0_°___； D
此时我们说，AB与CD互相垂直．
当∠BOD＝α°（ α≠90°）时．
∠AOD＝（ 180－ α ）°
∠AOC＝（ α ）°
A
∠BOC＝（ 180－ α ）°
C
B O
D
当α ≠90°时，AB与CD不垂直，此时我们说 AB与CD斜交．
两条直线相交
斜交
垂直——相交的特殊情况
┓
知识要点
垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 是直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫 另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．