复旦大学附属中学初高中数学衔接教学讲义
初高中数学衔接班讲义
第1课时 数与式(一)一、绝对值 |a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＞0，0，a ＝0，－a ，a ＜0． 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．绝对值的性质：两个互为相反数的绝对值相等．即|a |＝|－a |．两个数的差的绝对值的几何意义：|a －b |表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．例1 解方程：（1）|x －1|＝2． （2）|x －1|＋|x －3|＝4．练 习1．填空：(1)若|x |＝5，则x ＝_________；若|x |＝|－4|，则x ＝_________．(2)如果|a |＋|b |＝5，且a ＝－1，则b ＝________；若|1－c |＝2，则c ＝________．3．化简：|x －5|－|2x －13|(x ＞5)．4．解方程：(1)|x －2|＝1； (2)|x ＋2|＋|x －1|＝4； (3)|x －2|＋|2x ＋3|＝6．二、乘法公式(1)立方和公式： (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3；(2)立方差公式： (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(3)三数和平方公式 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ；(4)两数和立方公式 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3；(5)两数差立方公式 (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3．图1－1(1)图1－1(2)图1－2(1)图1－2(2)例1 化简：(x －1)(x +1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1)．例2 若x ＋1x ＝3，求x 2＋1x 2和x －1x的值．例3 已知a ＋b ＋c ＝4，ab ＋bc ＋ca ＝4，求a 2＋b 2＋c 2的值．练 习1． (1)19a 2－14b 2＝(12b ＋13a )( )； (2)(4m ＋ )2＝16m 2＋4m ＋( )； (3)(a ＋2b －c )2＝a 2＋4b 2＋c 2＋( )．2．(1)若x 2＋12mx ＋k 是一个完全平方式，则k 等于 ( ) (A)m 2 (B)14m 2 (C)13m 2 (D)116m 2 (2)不论a ，b 为何实数，a 2＋b 2－2a －4b ＋8的值( )(A)总是正数 (B)总是负数(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数三、二次根式1．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程2．二次根式a 2的意义 a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ＞0，0，a ＝0，－a ，a ＜0．也可以写成a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0． 例1 将下列式子化为最简二次根式：(1)12b ；(2)a 2b (a ≥0)；(3)4x 6y (x ＜0)．例2 计算：3÷(3－3)．例3 试比较下列各组数的大小：(1)12－11和11－10；(2)26＋4和22－6．例 4 化简：(1)9－45；(2)x 2＋1x2－2(0＜x ＜1)．练习1．(1)1－31＋3＝________________； (2)若(5－x )(x －3)2＝(x －3)5－x ，则x 的取值范围是_______； (3)424－654＋396－2150＝______________；(4)若x ＝52，则x ＋1－x －1x ＋1＋x －1＋x ＋1＋x －1x ＋1－x －1＝_________． 2．等式2-x x ＝2-x x 成立的条件是 ( ) (A)x ≠2 (B)x ＞0 (C)x ＞2 (D)0＜x ＜23．若b ＝a 2－1＋1－a 2a ＋1，求a ＋b 的值． 4．比较大小：2－4(填“＞”，或“＜”)．5．(1)(2＋3)18(2；(2)若(1－a )2a 满足的条件是____；(3)11＋2＋12＋3＋13＋4＋14＋5＝_______．第2课时 数与式(二)一 、分式例1 若对于一切不为0且不为－2的实数x ，5x ＋4x (x ＋2)＝A x ＋B x ＋2，求常数A ，B 的值．例2 (1)试证：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1(其中n 是正整数)； (2)计算：11×2＋12×3＋…＋19×10； (3)证明：对任意大于1的正整数n ，有12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＜12；例3 设e ＝c a，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值．练 习1．对任意的正整数n ，1n (n ＋2)＝ (1n －1n ＋2)． 2．若a ＝12，b ＝13，则3a 2－ab 3a 2＋5ab －2b 2＝_______． 3．若x 2＋xy －2y 2＝0，xy ≠0，则x 2＋3xy ＋y 2x 2＋y 2＝______． 4．正数x ，y 满足x 2－y 2＝2xy ，求x －y x ＋y的值． 5．计算：(1)11×2＋12×3＋…＋199×100；(2)11×3＋12×4＋…＋19×11． 6．试证：对任意的正整数n ，有11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)＜14．二、分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)x2－(a＋b)xy＋aby2；(4)xy－1＋x－y．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：(1)x3＋3x2＋3x＋9；(2)2x2＋xy－y2－4x＋5y－6．3．关于x的二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)的因式分解．若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根是x1，x2，则二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)就可分解为a(x－x1)(x－x2)．例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：(1)x2＋2x－1；(2)x2＋4xy－4y2．练习1．多项式2x2－xy－15y2的一个因式为( )(A)2x－5y(B)x－3y(C)x＋3y(D)x－5y2．分解因式：(1)x2＋6x＋8；(2)8a3－b3；(3)x2－2x－1；(4)4(x－y＋1)＋y(y－2x)．3．分解因式：(1)a3＋1；(2)4x4－13x2＋9；(3)b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；(4)3x2＋5xy－2y2＋x＋9y－4．4．在实数范围内因式分解：(1)x2－5x＋3；(2)x2－22x－3；(3)3x2＋4xy－y2；(4)(x2－2x)2－7(x2－2x)＋12．5．△ABC三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，试判定△ABC的形状．6．分解因式：x2＋x－(a2－a)．第3课时 一元二次方程一、一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有当△＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2＝－b ±b 2－4ac 2a； (2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a； (3)当△＜0时，方程无实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x 2－3x ＋3＝0； (2)x 2－ax －1＝0；(3)x 2－ax ＋(a －1)＝0； (4)x 2－2x ＋a ＝0．二、根与系数的关系(韦达定理)若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个实数根x 1＋x 2＝－b a ；x 1x 2＝c a． 特别地，对于一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程5x 2＋kx －6＝0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．(1)求| x 1－x 2|的值；(2)求1x 21＋1x 22的值；(3)求x 31＋x 32的值．说明 设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，则|x 1－x 2|＝＝b 2－4ac |a |＝△|a |． 例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练习：1．若关于x 的方程mx 2＋(2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ___________2．(1)若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1x 1＋1x 2＝ ． (2)方程mx 2＋x －2m ＝0(m ≠0)的根的个数情况是 ．(3)以－3和1为根的一元二次方程是 ．3．已知a 2＋8a ＋16＋|b －1|＝0，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．设方程x 2－3x －1＝0的两根分别为x 1和x 2，求(x 1－3)(x 2－3)的值．第4课时二次函数的三种表示方法1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．3．零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．例1 已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－1)，求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．练习1．函数y ＝－x 2＋x －1的图象与x 轴的交点的个数是_________．2．(1)已知二次函数的图象与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该函数的解析式可设为y ＝a (a ≠0)．(2)二次函数y ＝－x 2＋23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．(1)图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；(2)当x ＝3时，函数有最小值5，且函数的图象经过点(1，11)；(3)函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．习题：1．(1)已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C (2，4)，则该二次函数的表达式为 ．(2)已知某二次函数的图象过点(－1，0)，(0，3)，(1，4)，则该函数的表达式为 ．2．已知某二次函数图象的顶点为A (2，－18)，它与x 轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式．3．某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5km 以内，票价2元；(2)5km 以上，每增加5km ，票价增加1元(所增加的里程，不足5km 的按5km 的按5km 计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1km ，如果沿途(包括起点站和终点站)有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象．4．已知二次函数y ＝a (x －12)2＋25的最大值为25，且方程a (x －12)2＋25＝0两根的立方和为19，求函数表达式．第5课时 二次函数的图象与性质例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象．练习：1．下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 ( )(A)y ＝2x 2 (B)y ＝2x 2－4x ＋2(C)y ＝2x 2－1 (D)y ＝2x 2－4x2．(1)二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．(2)已知二次函数y ＝x 2＋(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．(3)函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ．3．用配方法把下列函数式化成k h x a y +-=2)(的形式，并指出开口方向，对称轴和顶点坐标：（1）342--=x x y （2）x x y 422+-=4．画出下列函数的大概图象，并说出x 为何值时y 随x 增大而增大，x 为何值时，y 随x 增大而减小．（1）322+-=x x y ； （2）13212++-=x x y（3）y ＝x 2－2x －3； （4）y ＝1＋6 x －x 2．例2求把二次函数y＝x2－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．例3求把二次函数y＝2x2－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：（1）直线x＝－1；（2）直线y＝1．练习：1．把函数y＝－(x－1)2＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为_____________________．2．把函数y＝－2(x＋3)2＋3的图象关于直线x＝－1对称后，所得图象对应的函数解析式为_____________________．3．把函数y＝2(x－3)2＋3的图象关于直线y＝2对称后，所得图象对应的函数解析式为_____________________．4．把二次函数y＝－2x2+43x＋1的函数图象向平移单位后，得到的图象所对应的解析式为y＝－2x2＋7；再向平移个单位后，得到的图象所对应的解析式为y＝－2x2＋1；再将其关于对称后得到的图象所对应的函数解析式为y＝2x2＋5．例4某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？第6课时一元二次不等式Array观察图1，可以看出，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(抛物线)位于x轴上方的点所对应的所有的x值．因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x轴的交点坐标，再根据图象写出不等式的解．例1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12＞0；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1＜0；(4)x2－2x＋2＜0．例2 解下列不等式：(1)2x2－5x＋3＜0；(2)3x2－x－4＞0；(3)2x2＋4x＋3＞0；(4)9x2－6x＋1≤0．例3 解关于x的不等式x2－(a＋3)x＋3a＜0．练习：1．解下列不等式：（1）3x2－x－4＞0；（2）x2－x－12≤0；（3）x2＋3x－4＞0；（4）16－8x＋x2≤0．2．解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0（a为常数）．例4 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为区间(－1，3)，你能分别写出下列不等式的解集吗？如果能，你能说出你这样写的理由吗？(1)ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为_______________________； (2)ax 2－bx ＋c ＞0的解集为_______________________； (3)cx 2＋bx ＋a ＞0的解集为_______________________．练习： 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0（a ≠0）的解是2,3x x <>或求不等式bx 2＋ax ＋c ＞0的解．例5 不等式3x 2＋bx ＋2≥0的解为全体实数，求b 的取值范围．例6 解不等式(x ＋2)(x ＋1)2(x －1)2(x －2)≤0．第7课时 函数综合应用例1 已知反比例函数y ＝6x 与一次函数y ＝kx ＋3的图象相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．（1）求k 的取值范围；（2）试用k 表示| x 1－x 2|；（3）若x 12＋x 22＝5，求k 的值和A ，B 两点的坐标．练习：已知反比例函数y ＝kx 与一次函数y ＝－x ＋6的图象相交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），且2x 1－x 2＝6．（1）求k 的值；（2）求△AOB 的面积．小结：（1）函数与方程；（2）待定系数法．例2 在同一坐标系中，利用描点法画出下列函数图象． （1）y ＝2x ；（2）y ＝2x －2；（3）y ＝xx －2．练习：利用图象平移画出函数y ＝2＋1x ＋1的草图．小结：（1）平移变换规律；（2）函数y ＝ax ＋bcx ＋d的草图．例3 如图所示，在边长为2的正方形ABCD 的边上有一个动点P ，从点A 出发沿折线ABCD 移动一周后，回到A 点．设点A 移动的路程为x ，ΔP AC 的面积为y ．（1）求函数y 的解析式；（2）画出函数y 的图像；（3）求函数y 的取值范围．练习：某市空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5km 以内，票价2元；（2）5km 以上，每增加5km ，票价增加1元（所增加的里程，不足5km 的按5km 的按5km 计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1km ，如果沿途（包括起点站和终点站）有21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式，并画出函数图象．小结：分段函数的概念．练习：1．已知函数2,2,24,2x x y x x ->⎧=⎨-+≤⎩ 则当x ＝4时，y ＝ ；当x ＝－4时，y ＝ ．2．作出函数y ＝|x －2|(x ＋1)的图象．3．通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，下面函数表示学生注意力随时间t （分钟）的变化规律（y 越大，表明学生注意力越集中），y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋24t ＋100，0＜t ＜10240，10＜t ≤20，－7t ＋380，(20＜t ≤40)．（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？CP第8课时 分式方程与无理方程问题 甲乙两人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个和乙做60个用到的时间相等，求甲乙每小时各做多少个？例1 解方程4x x 2－4＋22－x ＝1＋1x ＋2．例2 解下列分式方程：（1）x 2－3x x 2－1＋2＝11－x ； （2）x 2－3x ＋5＋6x 2－3x ＝0．练习：解下列分式方程：（1）6x 2－1－3x －1＝1； （2）2(x 2+1)x ＋1＋6(x ＋1)x 2＋1＝7．小结：解分式方程的步骤：例3解下列无理方程：（1）25－x 2＝x ＋1； （2）x 2＋4x ＋3＝x ＋1； （3）2x －1＋12x －1．练习：解下列无理方程：（1）12＋x －2－x －12＋x ＋2－x ＝1； （2）4－x ＝x ＋1．（3）2x －x 2＝2x ．小结：解无理方程的步骤：习题： 1．解方程 21421224x x x x +-=+--．2．解方程 2223()4011x x x x --=--．*3．解方程 23152x x ++=第9课时 三元一次和二元二次方程组的解法例1 解下列三元一次方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＋z ＝13，x ＋y ＋2z ＝7，2x ＋3y －z ＝12． （2）⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4z ＝7，2x ＋3y ＋z ＝9，5x －9y ＋7z ＝8．练习：解方程组：（1）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，y ＋z ＝8，z ＋x ＝4． （2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝26，x －y ＝1，2x －y ＋z ＝18．例2解方程组⎩⎨⎧x 2＋4y 2－4＝0，x －2y －2＝0．例3解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝7，xy ＝12．练习：解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩（3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩习题：1．在等式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，当x ＝－1时y ＝0；当x ＝2时，y ＝3；当x ＝5时，y ＝60．求a 、b 、c 的值．2．解方程组：⎩⎨⎧4x 2－9y 2＝15，2x －3y ＝5．第10课时 平行线分线段成比例定理引例： 已知线段AB ，求作：线段AB 的四等分点．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 例1在△ABC 中，D ，E 为边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，求证：AD AB ＝AE AC ＝DEBC．结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 练习：1．如图，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ） A ．AD CE DF BC = B ．AD BC BE AF = C ．CE AD DF BC = D.AF BEDF CE= 2．如图，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，D 是△ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则S △ADE ：S 四边形BCDE 等于__________．4．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.5．如图，已知△ABC 周长为1，连结△ABC 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为________________．例2如图，△ABO 中，点C 是B 关于点A 的对称点，点D 是靠近点B 的线段BO 的一个三等分点，DC ，AO 交于点E ．求OE ：OA ．例3在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，求证：AB AC ＝BDDC．E A B DCO角平分线性质定理：角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习：1．如图，在△ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF AC EF AB=.2．如图，BD 、CE 是△ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则PQ ：BC ＝_______．3．如图，已知△ABC 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF FC ＋AF FD的值为_______．4．如图，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD ．（1）求证：OE =OF ；（2）求OE OE AD BC+的值；（3）求证：112AD BC EF+=.例4在△ABC 中，D ，E 为边AB ，AC 上的点，AD AB ＝AE AC，求证：DE ∥BC ．结论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．例5如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M 为AB 的中点，分别连结AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于E ，DB 与MC 交于F ，（1）求证：EF ∥CD ；（2）若AB ＝2a ，CD ＝b ，求EF .第11课时 三角形例1如图，在直角三角形ABC 中，∠BAC 为直角，AD ⊥BC 于D .求证：（1）AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝CD ·CB ；（2）AD 2＝BD ·CD ．注：该题结论称为射影定理．例2 在正方形ABCD 中，已知E ，F 分别为BC ，CD 边的中点，求证：AE ⊥BF ．练习：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC ＝＝14BC ，求证：∠AFE ＝90°.三角形的“四心”：重心，内心，垂心，外心例3求证：三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.例4 若三角形的内心与重心为同一点，求证：该三角形为等边三角形．概念：等边三角形四心合一，该点称为等边三角形的“中心”．例5已知等边三角形ABC 的边长为a ，求其外接圆半径R 和内切圆半径r ．例6已知等边三角形ABC 和其内部一点P ，设点P 到三边AB ，AC ，BC 的距离分别为123,,h h h ，三角形ABC 的高为h ，求证：123h h h h ++=．思考：当点P 在△ABC 外的其它位置时，还有可能得到其它的结论?提醒：面积法．例7在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求（1）△ABC 的面积S △ABC 及AC 边上的高BE ；（2）△ABC 的内切圆的半径r ；（3）△ABC 的外接圆的半径R .练习：1．若△ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________；2．若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是-___________，外接圆半径是___________；3．在△ABC 中，G 是重心，△ABC 的面积为1，则△GBC 的面积是___________；第12课时 圆一、直线与圆相交时研究弦的相关问题1．圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧度数的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等． 推论2：直径所对的圆周角等于90°，90°的圆周角所对的弦为直径．2．圆内接四边形的对角互补．例1 圆内接四边形ABCD 的三个内角∠A ：∠B ：∠C ＝3：2：7，求∠A ，∠B 的度数．3．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧．垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．在Rt △OMA 中，OA 为圆的半径r ，OM 为圆心到直线的距离d ，MA 为弦长AB 的一半，根据勾股定理，有r 2－d 2＝(AB 2)2． 例2 如图，已知⊙O 的半径OB ＝5，弦AB ＝6，D 是弧AB 的中点，求弦BD 的长度．例2 已知圆的两条平行弦的长度为6和26，且这两条线的距离为3，求这个圆的半径．练习1．圆内接四边形ABCD 的四个内角∠A ：∠B ：∠C ：∠D 的可能取值是（ ）A ．1：2：3：4B ．2：3：4：5C ．5：4：3：1D ．5：4：2：32．已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为___________________．3．在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为___________________．4．AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若BE =6，AE =4，则CD 等于_________．5．如图，⊙O 的半径为17，弦AB ＝30，AB 所对的劣弧和优弧的中点分别为D ，C ，求弦AC 和BD 的长．6．如图，已知在RT △ACB ，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12以C 为圆心，CA 为半径的圆交斜边于D ，求AD ．7．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，AB ＝8，CD ＝6，⊙O 的半径等于5，求梯形ABCD 的面积．二、直线与圆相切1．当圆心到直线的距离d＞r时，直线和圆相离；当圆心到直线的距离d＝r时，直线和圆相切，当圆心到直线的距离d＜r时，直线和圆相交．2．切点与圆心的连线与圆的切线垂直，同时过切点且与圆的切线垂直的直线过圆心．3相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段的积相等．4切割线定理：从圆外一点引圆的一条切线和一条割线，切线长是这一点到割线与圆的两个交点的线段的等比中项．例3 如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1，EB＝5，∠DEB＝60°，求CD的长．练习1．⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D，若⊙O的半径为3，则CD的长为_________．2．如图，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB＝10，OE＝12，∠OEB＝30°，求AB．三、圆与圆例4 设⊙O1与⊙O2的半径分别为3和2，O1O2＝4，A，B为两圆的交点，试求两圆公共弦AB的长度．例5 设⊙O1与⊙O2的半径分别为2和7，O1O2＝13，求⊙O1与⊙O2的外公切线长．练习1．设⊙O1与⊙O2的半径分别为3和8，O1O2＝13，求⊙O1与⊙O2的公切线长．第13课时分类讨论一、几何量的位置关系或数量关系不确定引起的分类讨论例1平面上A、B两点到直线k距离分别是2－3与2＋3，则线段中点C到直线k的距离是．二、数学概念和公式引起的分类讨论有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定限制条件下才成立，这就要在教学的过程中逐步体现分类讨论思想。
初三升高中数学衔接教案讲义大全
初三升高中数学衔接教案讲义大全初三升高中数学衔接教材教案讲义第一讲：数与式的运算——绝对值绝对值的代数意义是：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零。
即：当a>0时，|a|=a；当a=0时，|a|=0；当a<0时，|a|=-a。
绝对值的几何意义是：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离。
两个数的差的绝对值的几何意义是：a-b表示在数轴上，数a和数b之间的距离。
例1：解不等式：x-1+x-3>4.练1：1) 若x=5，则x=5；若x=-4，则x=-4.2) 如果a+b=5，且a=-1，则b=6；若1-c=2，则c=-1.练2：下列叙述正确的是(A)若a=b，则a=b；(B)若a>b，则a>b；(C)若a<b，则a<b；(D)若a=b，则a=±b。
练3：化简：|x-5|-|2x-13| (x>5)。
练4：观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与-2，3与5，-2与-6，-4与3，并回答下列各题：1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？2) 若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|a-(-1)|=|a+1|。
3) 结合数轴求得x-2+x+3的最小值为，取得最小值时x的取值范围为x≥5/3.4) 满足x+1+x+4>3的x的取值范围为x>-2/3.阅读理解题：阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|。
当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1。
AB|=|OB|=|b|=|a-b|;当AB两点都不在原点时。
①如图2，点A、B都在原点的右边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|。
初升高数学衔接讲义 (五)
（一）十字相乘法
（1）因为(x+a)(x+b)= x2+(a+b)x+ab ，所以可运用
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
分解因式，例如：
第一组（1）x2+6x+5 （2）x2-6x+5 （3）x2+5x+6 （4）x2-5x+6
第二组（1）x2+5x-6 （2）x2-5x-6 （3）x2+8x+12 （4）x2-14x+24
分解因式，例如：
（1）2x2+7x+5 （2）2x2-7x+5 （3）3x2+10x+7
（4）5x2-11x+6 （5）5x2-13x+6 （6）6x2-29x-42
☆十字相乘法强化训练题：（熟能生巧，请勿抱怨题目多）
1、 2、
3、 4、
5、 6、
7、 8、
9、 10、
11、 12、
13、 14、
15、 16、
1.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：
(1) (2)
2.分解因式：
(1) (2)
（三）分组分解法
☆分组后能提取公因式
3．把 分解因式．
4．把 分解因式．
☆组后能直接运用公式
5．把 分解因式．
6．把 分解因式．
☆无组可分，拆项添项。适用部分三次方三项式.
7.分解因式：
8.分解因式：
作业
1．分解因式：
17、 18、
19、 20、
21、 22、
23、 24、
25、 26、
27、 28、
《初高中数学的衔接》课件(2024)
03
数的概念扩展
从有理数扩展到实数，包 括无理数和复数，理解数 的连续性和完备性。
2024/1/30
式的概念深化
掌握代数式、多项式、分 式等概念，理解式的运算 和化简方法。
数论基础
了解整除、同余等基本概 念，掌握质数、合数、最 大公约数、最小公倍数等 知识点。
8
方程与不等式解法提升
方程解法提升
从一元一次方程、一元二次方程到高 次方程和分式方程，掌握各种方程的 解法，理解方程解的存在性和唯一性 。
回顾初中平面几何的基本概念、 性质和定理，如点、线、面、角
、三角形、四边形等。
总结初中平面几何的常见题型和 解题方法，如相似三角形、全等
三角形、圆的性质等。
强调平面几何在实际生活中的应 用，如测量、建筑、设计等。
2024/1/30
12
立体几何初步认识及空间想象力培养
介绍立体几何的基本概念，如点、线 、面、体、平行、垂直等。
课后复习
及时复习学过的知识，巩固记 忆并加深对知识点的理解。
独立思考
遇到问题时，尝试独立思考并 解决问题，培养自己的数学思
维和解决问题的能力。
2024/1/30
25
备考技巧分享：如何有效复习和应对考试
系统复习
做题训练
在考试前进行系统的复习，梳理知识脉络 和重点难点，确保对知识点的全面掌握。
通过大量的做题训练，提高解题速度和准 确性，培养自己的应试能力。
、切线等。
14
04 概率统计部分衔 接要点
2024/1/30
15
概率论基本概念及计算方法
2024/1/30
事件的概率定义及性质
01
了解概率的直观意义，掌握概率的加法公式、乘法公式等基本
初高中数学衔接讲座课件
概率与统计衔接点
概率初步知识
初中数学中的概率初步知识在高中阶段将更加深入，涉及 到条件概率、事件的独立性等，需要学生掌握概率的基本 思想和方法。
统计初步知识 初中数学中的统计初步知识在高中阶段将更加详细，涉及 到数据的收集与整理、概率分布等，需要学生提高数据处 理和分析能力。
随机变量及其分布
高中数学引入随机变量及其分布，为描述随机现象提供数 学模型，需要学生掌握离散型随机变量及其分布列、连续 型随机变量及其概率密度等知识。
古典概型和几何概型的计算 和应用
02
01
03
统计图表的认识和制作，如 条形图、折线图、扇形图等
数据的收集和整理，包括数 据的来源、数据的分类和整
理方法等
04
05
平均数、中位数、众数等统 计量的计算和应用
03
高中数学新增知识点介绍
函数与导数
一次函数、二次函数、指数函数、 对数函数等基本函数的图像与性 质。
初高中数学衔接讲座 课件
目录
• 引言 • 初中数学知识点回顾 • 高中数学新增知识点介绍 • 初高中数学衔接点分析 • 学习方法与技巧分享 • 案例分析：成功跨越初高中衔接阶
段
01
引言
目的和背景
帮助学生了解初高中数学知识的差异和联系 01
提高学生的数学素养和综合能力，为高中数学学 02 习打下基础
针对高中数学的特点，指 导学生掌握正确的学习方 法和思维习惯。
个性化辅导
心理疏导
针对不同学生的实际情况， 制定个性化的辅导计划， 帮助学生解决学习困难。
关注学生的心理状态，及 时进行心理疏导，帮助学 生保持积极的学习态度。
案例三：家长如何助力孩子跨越衔接阶段
新教材 初升高数学衔接讲义【最新】
第一章集合与常用逻辑用语第1节集合的概念一、集合的有关概念：1、集合的概念（1）集合：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。
通俗理解为：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素2、元素对于集合的关系（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……（2）元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……（3）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作Aa ∈（4）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉3、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）4、特定集合及其记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN *(或N ＋)ZQR1N；1.5N；2Z ；二、集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例：（1）、由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为（2）、方程组⎩⎨⎧=-=+2-0y x y x 的解的集合，可以表示为（3）、所有正奇数组成的集合：2、描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．格式：{x ∈A|P （x ）}即{研究对象|具有的性质}其中x 表示该集合的代表元素，()p x 表示该集合中所有的元素具有性质。
例：（1）大于1的数组成的集合可以表示为：（2）小于3的自然数组成的集合可以表示为：（3）直线y=2x-1的点组成的集合可以表示为：（4）所有直角三角形的集合可以表示为：（5）函数2-x y =的自变量的所有取值组成的集合可以表示为：（6）函数2-x y =的因变量的所有取值组成的集合可以表示为：（7）奇数集我们可以记为．注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{全体直角三角形}；{大于104的所有实数}；{大于104的实数集}3、图示法：①数轴表示，例如，不等式73x -<的解集为{|10}x R x ∈<，可以表示为②坐标平面表示法（用点和图形来表示）③用韦恩图（Venn 图）表示：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形1.1四个公式 知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
重庆复旦中学高2017级数学暑假自主研修初高中衔接教材
重庆复旦中学高2017级数学暑假自主研修校本教材初高中衔接教材整理：黄益全二〇一五年六月目录前言 (3)第一篇初高中数学的变化 (5)第二篇数学中的思想与方法 (10)第三篇初高中衔接知识 (35)第1讲数与式的运算 (35)第2讲因式分解 (41)第3讲一元二次方程根与系数的关系 (45)第4讲一元高次方程的解法 (51)第5讲三元一次方程组的解法举例 (52)第6讲简单的二元二次方程组的解法举例 (55)第7讲一元二次不等式的解法 (58)第8讲平面上任意两点间距离 (62)第9讲三角形的“四心” (63)第10讲函数图象的平移变换与对称变换 (66)前言亲爱的重庆复旦中学新高一的同学们：祝贺你们步入高中时代，下面有一个摆在我们面前的棘手问题急需我们师生共同努力才能解决，即“初高中衔接问题”。
由于课程改革，目前我区初中是新课标，而高中也是新课程的学习，初高中不衔接问题现在显得比较突出。
面对教学中将存在的问题，我们高中数学组的老师们拟定了一份校本衔接教材，意在培养大家自学能力，同时降低同学们初高中衔接中的不适应度，希望大家将假期利用起来，为高中学习做好准备。
高中新课程改革已在我市实施了3年，经过新课程的教学，我们都有一个这样的感觉：这届学生比任何历届学生都要“笨”，都要来的“随意”，都要来的“会说”，课堂气氛很活跃，运算动不动就按计算器，心算，口算，笔算的能力相当差，这是初中新课标实施的结果．教材叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记忆，学生掌握比较方便．虽然“九年制义务教育”课程标准倡导“不同的学生在学习上得到不同的发展”，但是家长的愿望、升学的压力，学校之间、班级之间的竞争，驱使初中数学教学普遍执行的是课程标准的基本要求，即“课程标准中明确规定的要求”，有的甚至在执行中考必考的要求．我们看到了初中新课程带来的普及性教育成果，也看到了中考“指挥棒”选拔出来的数学成绩，每个学生几乎都是三位数，校校之间、班班之间平均分差距也不大，初中数学教学谈化了为学生的升学而应做的准备．初中教学中的“讨论式”教学法，“自学式”教学法等多种体现学生自主学习、自我探索的方法的开展，导致课堂教学密度小，规范性差．进入高中以后，“高中课程标准实验教材”内容多，课时少，例题和练习简单，习题、复习参考题，特别是B组题难度大，所谓的“新课标”辅导用书泛滥，题目偏、怪、难，直接导致了学生学习困难，学习兴趣下降，上课不专心听讲，作业不认真做，长时间不解决问题，学生成绩下滑，教师将无法继续开展有效的教学．为了解决这些矛盾，使你顺利完成高中数学的学习，结合我们实施新课程三年的经验，我们编写了初高中衔接知识，为你学好高中数学做好过渡。
2024高中数学衔接教材初三升高一暑假讲义 第一讲 数与式的运算(导学案)
第一讲数与式的运算在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．一、乘法公式【公式1】ca bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++证明：2222)(2)(])[()(c c b a b a c b a c b a ++++=++=++ca bc ab c b a c bc ac b ab a 222222222222++++++++++=∴等式成立【例1】计算：22)312(+-x x 解：原式=22]31)2([+-+x 913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x 说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．【公式2】3322))((b a b ab a b a +=+-+(立方和公式)证明:3332222322))((b a b ab b a ab b a a b ab a b a +=+-++-=+-+说明:请同学用文字语言表述公式2.【例2】计算：))((22b ab a b a ++-解：原式=333322)(])()()][([b a b a b b a a b a -=-+=-+---+我们得到：【公式3】3322))((b a b ab a b a -=++-(立方差公式)请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．【例3】计算：（1）)416)(4(2m m m +-+（2）)41101251)(2151(22n mn m n m ++-（3）)164)(2)(2(24++-+a a a a （4）22222))(2(y xy x y xy x +-++解：（1）原式=333644mm +=+（2）原式=3333811251)21()51(n m n m -=-（3）原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a （4）原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=说明：（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．【例4】已知0132==-x x ，求331x x +的值．解：0132==-x x 0≠∴x 31=+∴xx 原式=18)33(3]311()111(2222=-=-++=+-+x x x x xx x x 说明：本题若先从方程0132==-x x 中解出x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．【例5】已知0=++c b a ，求111111(()()a b c b c c a a b+++++的值．解：b ac a c b c b a c b a -=+-=+-=+∴=++,,,0∴原式=abba c ac c ab bc c b a +⋅++⋅++⋅abcc b a ab c c ac b b bc a a 222)()()(++-=-+-+-=①abc c ab c c ab b a b a b a 3)3(]3))[((32233+-=--=-++=+abc c b a 3333=++∴②，把②代入①得原式=33-=-abcabc说明：注意字母的整体代换技巧的应用．引申：同学可以探求并证明：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++二、根式0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：【例6】化简下列各式：(1)+(2)1)x ≥解：(1)原式=2||1|211-+-=-=(2)原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例7】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)(2)(3)-+解：(1)原式6=--(2)原式=ab=(3)原式=x -+说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如或被开方数有分母(如)形式()，转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如化为，其中2+2-)．【例8】计算：(1)21)(1++-+-(2)+解：(1)原式=22(1()21a b a+--+=--(2)原式=+=a b=-说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例9】设x y==，求33x y+的值．解：22(27714,123x y x y xy+===+=-⇒+==-原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy+-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、分式当分式AB的分子、分母中至少有一个是分式时，AB就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质．【例10】化简11xxxxx-+-解法一：原式=222(1)11(1)1(1)(1)11x xx x x x xx x x x xx x x xx xxxx xx xx++=====--⋅+-+-+++--+解法一：原式=22(1)1(1)(1)111()x xx x x xx x x x x xx x xxx xxxx xx++====-⋅-+--+++--⋅说明：解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质A A mB B m⨯=⨯进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．【例11】化简222396162279x x x x xx x x ++-+-+--解：原式=22239611612(3)3(3)(3)2(3)(3)(39)(9)x x x x x x x x x x x x x x x ++--+-=--+-+---++-22(3)12(1)(3)(3)32(3)(3)2(3)(3)2(3)x x x x x x x x x x +-------===+-+-+说明：(1)分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式．A组1a =-成立的条件是()A ．a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是()A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算：(1)2(34)x y z --(2)2(21)()(2)a b a b a b +---+(3)222()()()a b a ab b a b +-+-+(4)221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(1)(2)a(3)(4)+-5(1)102m +-(2)0)x y ÷>>B组1．若112x y -=，则33x xy yx xy y+---的值为()：A ．35B ．35-C ．53-D ．532．计算：(1)+--(2)1÷-3．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．4．当22320(0,0)a ab b a b +-=≠≠，求22a b a b b a ab+--的值．5．设x 、y 为实数，且3xy =，求+6．已知11120,19,21202020a x b x c x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．7．设12x -=，求4221x x x ++-的值．8．展开4(2)x -9．计算(1)(2)(3)(4)x x x x ----10．计算()()()()x y z x y z x y z x y z ++-++-++-11．化简或计算：(1)3-÷(2)-(3)-(4)+÷第一讲习题答案A 组1．C 2．A3．(1)2229166824x y z xy xz yz++--+(2)22353421a ab b a b -++-+(3)2233a b ab --(4)331164a b -4．2()22 12a b +----5．B 组1．D 2．a c b +--3．4．3,2-5．±6．37．3-8．4328243216x x x x -+-+9．43210355024x x x x -+-+10．444222222222x y z x y x z y z---+++11．3,3-。
【优质文档】初升高数学衔接教材第一讲～第十六讲
的垂心在三角形外。
5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三 角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。
二、例题解析
例 1：在锐角△ ABC 中，内角为 A 、B、C 三边为 a、b、c，则内心到三边的距离之比
为
，重心到三边的距离为
，外心到三边的距离之比为
，
垂心到三边的距离之比为
（ 5） a3 b3 c3 3abc ( a b c)( a2 b2 c2 ab bc ac) ；
（ 6） a n b n (a b)( a n 1 a n 2 b
abn 2 bn 1); ??n N * ；
（ 7）当 n 为正奇数时 a n b n ( a b)( a n 1 a n 2b
abn 2 bn 1 )
bc
bc
a c ac
2、乘法：
b d bd
a c a d ad
3、除法：
b d b c bc
4、乘方： ( a )n b
an bn
（二）分式的基本性质
a am
1、
( m 0)
b bm
（三）比例的性质
2、 a a m (m 0) b bm
（ 1）若 a b
（ 2）若 a b
（ 3）若 a b
（ 4）若 a b
则 DG ： GA ＝
；
A E GF
B
M DN C
例 4：设△ ABC 的重心为 G，GA ＝ 2 3 ，GB 2 2 ，GC 2 ，则 S ABC ＝
；
14
例 5：若 H 为△ ABC 的重心， AH ＝ BC ，则∠ BAC 的度数是
；
A 、45°
B 、30°
初升高衔接数学讲义
第1章代数式与恒等变形1.1四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一计算和化简例1计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二利用乘法公式求值；例2已知0132=+-x x ，求331xx +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三利用乘法公式证明例3已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a 习题精练1化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2化简)1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-aa a a a a a a 3已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值； 5已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
初升高数学衔接讲义新高一数学衔接讲义一
（一）韦达定理（一元二次方程中根与系数的关系）
对于一元二次方程
2
ax
bx
c
0( a
0) ，如果方程有两个实数根
x1, x2 ，
那么
x1 x2
b , x1x2 c
a
a
说明： （ 1）定理成立的条件
例题 .若 x1 , x2 是方程
2
x
2x
0 （2）注意公式中 x1 x2
b 的负号与 b 的符号的区别 .
.
☆总结：高中阶段韦达定理相关知识点的常用等式变形：
（1）
（ 2）
（3）
（ 4）
（二）第一小单元重要知识点复习
1
2
1. （ 1）画出函数 y x 2 x 3 的图象 .
（ 2）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有三个实根，求 k 的值；
（ 3）已知关于
x的方程
2
x
2x
3
k 有四个实根，求 k 的取值范围；
（ 4）已知关于
x的不等式
2
x
2x
3＞ k 对于一切实数都成立，求
k 的取值范围 .
2. 利用学到的图象对称变换的方法，画下列函数的图象： （ 1） y x 2 ； （ 2） y x 2 .
4. 已知函数 y g ( x ) 图象关于点（ -3,-2 ）成中心对称，且 y
A(x1, y1)、 B( x2 , y2 ) 两点， 则 x1 x2
， y1 y2
g ( x) 的图象与函数 .
f (x)
1 2 交于 x3
5. 分解因式：
（1） x 2 (a 2)x 2a
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形 1.1 四个公式 知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式； （2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+ 二 利用乘法公式求值； 例2 已知0132=+-x x ，求331xx +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a 变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a 习题精练 1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
初高中数学衔接讲座 精品优选公开课件
例 1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） x2 (a b)xy aby2 ；
（4） xy 1 x y ．
课堂练习
1.填空题：把下列各式分解因式：
（1） x2 5x 6 __________________________________________________。
例 3. 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）x13＋x23．
例 4 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于 零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围．
练习 1．选择题：
（1）方程 x2 2 3kx 3k 2 0 的根的情况是 （A）有一个实数根 （C）有两个相等的实数根
是初高中数学衔接的重要内容．二次函数作为一种简单 而基本的函数类型，是历年来高考的一项重点考查内容， 经久不衰，以它为核心内容的重点试题，也年年有所变 化．
【初中】确定二次函数的表达式，会用描点法画出 二次函数的图象，并能从图象上认识二次函数的性质， 会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
【高中】结合二次函数的图像，判断一元二次方程 根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根 的联系。
A(－1,4) y
函数 y＝ax2＋bx＋c 图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数 a 决定 （2） 确定对称轴：对称轴方程为 x b
2a
（3） 确定图象与 x 轴的交点情况，①若△>0 则与 x 轴有 两个交点，可由方程 x2＋bx＋c=0 求出②①若△=0 则 与 x 轴有一个交点，可由方程 x2＋bx＋c=0 求出③①若 △<0 则与 x 轴有无交点。