分式方程竞赛题
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分式方程竞赛题
第一讲 分式方程(组)的解法
分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 例1 解方程
222111
++=0
11828138
x x x x x x +-+---
解 令y ＝x 2＋2x －8，那么原方程为
111
++=0915y y y y x
+-
去分母得
y (y －15x )＋(y ＋9x )(y －15x )＋y (y ＋9x )＝0，
y 2－4xy －45x 2＝0， (y ＋5x )(y －9x )＝0，
所以 y ＝9x 或y ＝－5x ．
由y ＝9x 得x 2＋2x －8＝9x ，即x 2－7x －8＝0，所以x 1
＝－1，x 2＝8；
由y ＝－5x ，得x 2＋2x －8＝－5x ，即x 2＋7x －8＝0，所以x 3＝－8，x 4＝1．
经检验，它们都是原方程的根． 例2 解方程
2247272
18014x x x x x x
+--+＋－＝＋
27272
4x x x
-+－18＝0
解 设y ＝
241
x x x +-，则原方程可化为y ＋72y
－18＝0
y 2－18y ＋72＝0，
所以 y 1＝6或y 2＝12． 当y ＝6时，
24=61
x x
x +-，x 2＋4x ＝6x －6，故x 2－2x ＋6
＝0，此方程无实数根． 当y ＝12时，
24=121
x x
x +-，x 2＋4x ＝12x －12，故x 2－8x
＋12＝0,故x 2－8x ＋12＝0， 所以 x 1＝2或x 2＝6．
分析与解 方程中各项的分子与分母之差都是1，根据这一特点把每个分式化为整式和真分式之和，这样原方程即可化简．原方程化为
1111
11112736
x x x x -
+-=-+-++++，
1111
6723
x x x x -=-
++++
即
11
=
(6)(7)(2)(3)
x x x x ++++，
所以
(x ＋6)(x ＋7)＝(x ＋2)(x ＋3)．
解得x ＝－9
2
．
经检验x ＝－92
是原方程的根． 例5 解方程
11111
+=
(1)(1)(9)(10)12
x x x x x x -+++＋＋．
分析与解 注意到方程左边每个分式的分母中两个一次因式的差均为常数1，故可考虑把一个分式拆成两个分式之差的形式，用拆项相消进行化简．原方程变形为
1111111111
91012
x x x x x x -+-++
-=-+++，
整理得
111111012
x x -=-+
去分母得
x 2＋9x －22＝0，
解得 x 1＝2，x 2＝－11．
经检验知，x 1＝2，x 2＝－11是原方程的根． 例6 解方程
2222232253
=
232253
x x x x x x x x ++-+--+-
分析与解 分式方程如比利式a
b ＝
c d
，且本题分子与分母的一次项与常数项符号相反，故可考虑用合比定理化简．原方程变形为
22222
2(232)(232)(253)(253)
=232253
x x x x x x x x x x x x +++---+++---+-，
22
2244=
232253
x x x x x x --+-，
所以
x ＝0或2x 2－3x －2＝2x 2＋5x －3．
解得x ＝0或x ＝18
．
经检验，x ＝0或x ＝18
都是原方程的根． 例7 解方程
222234141
=
34141
x x x x x x x x +-++---+
分析与解 形式与上例相似．本题中分子与分母只是一次项的符号相反，故可考虑用合分比定理化简．原方程变形为
22222222(341)(341)(41)(41)
=
(341)(341)(41)(41)
x x x x x x x x x x x x x x x x +-+--+++-++----++--+
即
226222
=88x x x x
-+．
当x ≠0时，解得x ＝±
1． 经检验，x ＝±1是原方程的根，且x ＝0也是原方程的根．
说明 使用合分比定理化简时，可能发生增根和失根的现象，需细致检验． 像
11
x a x a
+=+这类特殊类型的方程可以化成一元二次
方程，因而至多有两个根．显然a ≠1时，x 1＝a 与x 2＝1
a
就是所求的根．例如，方程11
33
x x +
=，即
11
33
x x +
=+，所以x 1
＝3，x 2＝1
3
． 例8 解方程
222212219
+=
116
x x x x x x x +++++++
解 将原方程变形为
22221123
+=+
1132
x x x x x x ++++++，