离散数学题库及答案

数理逻辑部分选择、填空及判断✓下列语句不是命题的（ A ）。

(A) 你打算考硕士研究生吗？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。

(C) 离散数学是计算机系的一门必修课。

(D) 雪是黑色的。

✓命题公式P→(P∨⌝P)的类型是（ A ）(A) 永真式(B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式✓A是重言式，那么A的否定式是( A )A. 矛盾式B. 重言式C. 可满足式D.不能确定✓以下命题公式中，为永假式的是( C )A. p→(p∨q∨r)B. (p→┐p)→┐pC. ┐(q→q)∧pD. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p)✓命题公式P→Q的成假赋值是( D )A. 00,11B. 00,01,11C.10,11D. 10RxxP∧x∀)✓谓词公式中，变元x是 ( B )(y,()A. 自由变元B. 既是自由变元也是约束变元C. 约束变元D. 既不是自由变元也不是约束变元✓命题公式P→(Q∨⌝Q)的类型是( A )。

(A) 永真式 (B) 矛盾式(C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式xA∃x→(B()✓设B不含变元x，等值于( A ))∃)(Bx∃Bxx∧(∃)(x∨AxA→xBA. B. C. D.xA→∀)()x(B)(A✓下列语句中是真命题的是( D )。

A．你是杰克吗？ B．凡石头都可练成金。

C．如果2+2=4，那么雪是黑的。

D．如果1+2=4，那么雪是黑的。

✓从集合分类的角度看，命题公式可分为( B )A. 永真式、矛盾式B. 永真式、可满足式、矛盾式C. 可满足式、矛盾式D. 永真式、可满足式✓命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。

A. ﹁p∨qB. ﹁(p∨q)C. ﹁p∧qD. p→﹁q✓一个公式在等价意义下，下面写法唯一的是( D )。

(A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式✓下列含有命题p，q，r的公式中，是主析取范式的是( D )。

(A) (p ∧ q ∧ r) ∨ (⌝p ∧ q)(B) (p ∨ q ∨ r) ∧ (⌝p ∧ q) (C) (p ∨ q ∨ r) ∧ (⌝p ∨ q ∨ r)(D) (p ∧ q ∧ r) ∨ (⌝p ∧ q ∧ r)✓设个体域是整数集合，P 代表∀x ∀y ((x <y )→(x -y <x ))，下面描述正确的是（ C ）。

(A) P 是真命题 (B) P 是假命题(C) P 是一阶逻辑公式，但不是命题(D) P 不是一阶逻辑公式✓对一阶逻辑公式((,)(,))(,)x y P x y Q y z xP x y ∀∀∧∧∃的说法正确的是( B ).(A) x 是约束的，y 是约束的，z 是自由的；(B) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是自由的；(C) x 是约束的，y 既是约束的又是自由的，z 是约束的；(D) x 是约束的，y 是约束的，z 是约束的；✓n 个命题变元可产生( D )个互不等价的布尔小项。

(A) n (B) n 2 (C) 2n (D) 2n✓命题“没有不犯错误的人”符号化为（ D ）。

设是人，犯错误。

x x M ：)(x x P ：)((A) (B) ))()((x P x M x ∧∀)))()(((x P x M x ⌝→∃⌝(C) (D) )))()(((x P x M x ∧∃⌝)))()(((x P x M x ⌝∧∃⌝✓下列命题公式等值的是（ C ）BB A A Q P Q Q P Q B A A B A A QP Q P ),()D (),()C ()(),()B (,)A (∧∨⌝∨∨⌝∨→→→⌝→→∨⌝∧⌝✓给定命题公式：，则所有可能使它成真赋值为（ B ），成假赋)(R Q P ∧∨值为（ C ）。

(A) 111，011；000(B) 111，011，100，101，110；(C) 000，010，001； (D) 000，110，011，001，100。

✓给定前提：，则它的有效结论为：（ B ）。

R P Q S Q P ⌝∨→→,,)( (A) S ； (B) ； (C) P ； (D) 。

S R →Q R →✓命题：“所有的马都比某些牛跑得快”的符号化公式为：（ C ）。

假设：：x 是马；：x 是牛；：x 比y 跑得快。

)(x H )(x C ),(y x F (A) ； (B) ；))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃∧∀))),()(()((y x F y C y x H x →∃→∀(C) ； (D) 。

))),()(()((y x F y C y x H x ∧∃→∀))),()(()((y x F y C x H x y ∧→∀∃✓设P ：a 是偶数，Q ：b 是偶数.R ：a +b 是偶数，则命题“若a 是偶数，b 是偶数，则a +b 也是偶数”符号化为( C )．(A) P Q R (B) P Q R (C) P Q R (D) P Q R∧∧∧⇔∨→∧→✓表达式中的辖域是( B )．))(),(())(),((z zQ y x R y z Q y x P x ∀→∃∧∨∀x ∀(A) P (x ,y ) (B) P (x ,y )∨Q (z ) (C)R (x ,y ) (D)P (x ,y )∧R (x ,y )✓判断一个语句是否为命题，首先要看它是否为陈述句，然后再看它是否有唯一的真值。

✓命题公式(P ∨Q)→R 的只含联结词和∧的等值式为：⌝。

))((R Q P ⌝∧⌝∧⌝⌝⌝✓为假言推理规则。

B A B A ⇒∧→)(✓在一阶逻辑中符号化命题“有会说话的机器人。

”设M(x):x 是机器人；S(x):x 是会说话的；上述句子可符号化为： (∃x)(M(x)∧S(x)) 。

✓设p:我们爬山,q:我们划船,在命题逻辑中，命题“我们不能既爬山又划船”的符号化形式为（p ∧q ） .¬✓设p:小王走路,q:小王唱歌,在命题逻辑中，命题“小王边走路边唱歌”的符号化形式为 （p ∧q ） .✓量词否定等值式⇔⌝∀)(x xA 。

)(x A x ⌝∃✓设F(x):x 是人，H(x,y):x 与y 一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为.　(()()(,))x y F x F y H x y ∀∀∧→✓若含有n 个命题变项的公式A 是矛盾式，则A 的主合取范式含 2n 个极小项。

✓取个体域为全体整数的集合，给出下列各公式：(1) (2) (3) ()()()()x y z x y z ∀∀∃-=()()x xy x ∀=()()(2)x y x y y ∃∀+= 其中公式 (1) 的真值为真，公式 (3) 的真值为假。

✓若含有n 个命题变项的公式A 是重言式，则A 的主合取范式为 1或T 。

✓命题公式的所有成假赋值为 000,001,010 。

)(R Q P ∧∨✓谓词公式的前束范式为。

()()xP x xQ x ∀→∃(()())x P x Q x ∃⌝∨✓在一阶逻辑中，将命题“没有不能表示成分数的有理数”符号化为✓或（设：x 是有理数；：x 能))()((x G x F x ⌝∧⌝∃))()((x G x F x →∀)(x F )(x G 表示成分数。

）✓设个体域D ＝{1,2},那么谓词公式消去量词后的等值式为)()(y yB x xA ∀∨∃A (1)∨A (2)∨(B (1)∧B (2)) .✓设P ，Q 是两个命题，当且仅当P ，Q 的真值均为1时，的值为1。

Q P ↔( × )✓谓词公式A 是的代换实例，则A 是重言式。

( × )q q p ∧→⌝)(✓重言式的主析取范式包含了该公式的所有的极小项。

( √ )✓命题公式A →(B →C)与(A ∧B)→C 等价。

( √ )✓设A ，B ，C 为命题公式，若，则。

( √ ),A B B C ⇒⇒A C ⇒✓在一阶谓词公式中，同一变元符号不能够既约束出现又自由出现。

( × )✓在一阶逻辑中，公式的前束范式是唯一的。

( × )计算✓求命题公式(((p ∨q)∧p)→q)∧r 的主析取范式。

¬答案：m 1∨m 3∨m 5∨m 7✓用等值演算法求公式的主析取范式，并由主析取范式求主(())P Q R P ∨→∧⌝合取范式。

解：主析取范式：013(())()()()()()()()()P Q R PP Q R PP P Q P R P P Q R P Q R P Q R P Q R m m m ∨→∧⌝⇔∨⌝∨∧⌝⇔∧⌝∨⌝∧⌝∨∧⌝⇔⌝∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⌝∧∧⇔∨∨主合取范式为：24567M M M M M ∧∧∧∧✓求公式（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的主析取范式，并由主析取范式求主合取范式。

解：（P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）的真值表如下：P Q R P ∧Q ﹁P ∧R （P ∧Q ）∨（﹁P ∧R ）0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 00 1 10 0 00 1 10 0 00 0 01 0 11 0 1故主析取范式为：（﹁P ∧﹁Q ∧R ）∨（﹁P ∧Q ∧R ）∨（P ∧Q ∧﹁R ）∨（P ∧Q ∧R ）主合取范式为：（P ∨R ∨Q ）∧（﹁Q ∨P ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨R ）∧（﹁P ∨Q ∨﹁R ）✓化公式为前束范式。

))]},(),((),([),(){(y x B x y A y y x B y x y x yA x →∀∧∀∃→∃∀⌝解：原式))]},(),((),([),({)(y x B x y A y y x B y x y x yA x →∀∧∀∃∨⌝∃⌝∃⇔))]},(),((),([),(){(y x B x y A y y x B y x y x yA x →⌝∃∨⌝∃∀∧∃∃⇔))]},(),((),([),(){(w u B u w A w v u B v u y x yA x →⌝∃∨⌝∃∀∧∃∃⇔))]},(),((),([),({w u B u w A v u B w v u y x A y x →⌝∨⌝∃∃∀∧∃∃⇔ ))]},(),((),([),({w u B u w A v u B y x A w v u y x →⌝∨⌝∧∃∃∀∃∃⇔（或）))]},(),((),([),({w u B u w A v u B y x A w v u y x ⌝∧∨⌝∧∃∃∀∃∃⇔证明✓构造下面推理的证明：任何自然数都是整数；存在着自然数。

所以存在着整数。

个体域为实数集合R 。