2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期末数学试题(解析版)
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【答案】B 【解析】1122644230C C C C +表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.2．某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人C ．7人D ．12人【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样原理求出应抽取的管理人数． 【详解】根据分层抽样原理知，应抽取管理人员的人数为：16010424204160--⨯=故选：B 【点睛】本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题． 3．下列命题中正确的是（ ）A ．1y x x=+的最小值是2 B ．2y =的最小值是2C ．()4230y x x x =-->的最大值是2-D ．()4230y x x x=-->的最小值是2-【答案】C 【解析】 因为A.1y x x=+的最小值是2，只有x>0成立。
B.2y =的最小值是2 ，取不到最小值。
C.()4230y x x x =-->的最大值是2-D.()4230y x x x=-->的最小值是2-，不成立。
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题一、单选题1．若复数z 满足()121-=i z （i 为虚数单位），则z 为（ ）A ．BC ．5D ．15【答案】B【解析】利用复数的除法可算出z 的值，再利用公式计算其模. 【详解】()()11+212+12121+255i z i i i i ===--，故||z ==.故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的模，属于基础题.2．设随机变量()~,0.2X B n ，且() 1.6E X =，则n 为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由二项分布的均值公式()E X np =即可求得n 的值. 【详解】()~,0.2X B n()0.2 1.6E X np n ∴===8n ∴=故选：C 【点睛】本题考查二项分布的均值，属于简单题. 3．函数()()922f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．8D ．6【答案】C【解析】对()f x 进行配凑可得()99(2)222f x x x x x =+=-++--，再利用基本不等式求解即可.因为2x >，所以20x ->，所以()99(2)22822f x x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立. 所以()f x 的最小值为8. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和的最小值，关键是构造积为定值，属于基础题. 4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．60 B ．24 C ．12 D ．36【答案】D【解析】采用分步计数原理，分两步，第一步先选取三个数，第二步对选出的三个数进行排列. 【详解】第一步先将三个数取出，有21326C C ⋅=种， 第二步对取出的三个数进行排列，共有336A =种，所以完成两步共有6636⨯=种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一道基础题.5．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15【解析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果. 【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D【解析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361()5C P AB C ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2(|)1()5215P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N .且()881080.683P x ≤≤≈，()781180.954P x ≤≤≈，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（ ） A ．2800 B ．2180C ．1500D ．6230【答案】C【解析】首先根据题意得到正态曲线的对称轴，再计算()108≥P x ，即可得到答案. 【详解】由题知：学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N 所以98μ=，10σ=. 所以()()11081881080.15852⎡⎤≥=-≤≤≈⎣⎦P x P x ， 即数学成绩高于108分的学生占总人数的0.1585，所以王小雅同学的数学成绩在该区的排名大约是94600.15851500⨯≈. 故选：C 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点和曲线所表示的意义，属于简单题. 8．若函数ln y x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,1【答案】C【解析】函数ln y x ax =-有两个零点等价于方程ln 0x ax -=有两个根，等价于y a =与ln (0)xyx x 图象有两个交点，通过导数分析ln (0)xy x x的单调性，根据图象即可求出求出a 的范围. 【详解】函数ln y x ax =-有两个零点，∴方程ln 0x ax -=有两个根，0x ，分离参数得ln xa x=， y a ∴=与ln (0)xyx x图象有两个交点， 令ln ()(0)xg x x x=>， 21ln '()xg x x，令'()0g x =，解得x e = 当0x e <<时，'()0g x >，∴()g x 在()0,e 单调递增，当x e >时，)'(0g x <，∴()g x 在(),e +∞单调递减，且()0>g x()g x ∴在x e =处取得极大值及最大值1(e)g e=， 可以画出函数()g x 的大致图象如下：观察图象可以得出10a e<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.二、多选题9．已知复数()(()()2131z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数13z i =B ．若复数2z =，则3m =C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=【答案】BD【解析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-，()()221420412z z ++=+--++=，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 10．若()()()()102100121021111x a a x a x a x +=+++++++，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．()101021rr rr a C -=-，0,1,2,,10r =C ．12101a a a +++=D ．()()221002101393a a a a a a +++-+++=【答案】AD【解析】对于A ，令1x =-可求出0a 的值；对于B ，由于101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，从而可求出其通项公式，从而可求出r a ；对于C ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再减去0a 可得1210a a a +++的值；对于D ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再令2x =-可求出01210a a a a -+-+的值，然后两式相乘可得()()220210139a a a a a a +++-+++的值.【详解】解：对于A ，令1x =-，则100(21)a -+=，得01a =，所以A 正确；对于B ，因为101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，所以10(2)r r r a C =-，故B 错误；对于C ，令0x =，则012101a a a a ++++=，又因为01a =，所以12100a a a +++=，所以C 错误；对于D ，令2x =-，则012101010(41)3a a a a =-+-+=-+，即()()1002101393a a a a a a +++-+++=，因为()()02101391a a a a a a +++++++=，所以()()221002101393a a a a a a +++-+++=，所以D 正确，故选：AD 【点睛】此题主要考查二项式定理的应用，利用了赋值法求值，考查转化思想和计算能力，属于基础题.11．下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯=B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD【解析】分别计算各选项，即可判断正误. 【详解】 对于A ，121m n A n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn mnn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.12．关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．(1)f 是()f x 的极小值；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(,1)-∞上单调递减；D ．设()()g x xf x =，则1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】ABD【解析】由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A 正确；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e，当1(0,)∈x e 时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e上单调递减； 当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 所以当1=x e时，函数()g x 取得极小值1()g e ，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.三、填空题13．曲线()sin f x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为________________． 【答案】y x =【解析】根据导数的几何意义，求得在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k =，进而可求解切线的方程，得到答案． 【详解】由题意，函数()sin f x x =，则()cos f x x '=，则(0)cos01f '==， 即在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k = 又由(0)sin 00f ==，即切点的坐标为(0,0)， 所以在点(0,0)处的切线的方程为y x =， 故答案为y x = 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．已知随机变量X 的概率分布为：则()3P X ≥=__________________. 【答案】0.38【解析】由分布列的性质求出=3X 时的概率，即可求出()3P X ≥. 【详解】()0.160.220.2430.100.060.01=1P X +++=+++ ()30.21P X ∴==()()()()()3=3=4=5=6=0.210.100.060.01=0.38P X P X P X P X P X ∴≥=++++++故答案为：0.38 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的应用以及求概率，属于基础题. 15．多项式()()3254321012345212x x a x a x a x a x a x a ++=+++++，则1a =_______________.【答案】44【解析】由于()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1a 等于3(21)x +展开式的2次项系数与4乘以3(21)x +展开式的3次项系数的和. 【详解】解：3(21)x +的通项公式为3332r r rr T C x --=，因为()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1203133242123244a C C =⋅+⨯⋅=+=,故答案为：44 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题四、双空题16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________，在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为_______________. 【答案】23 2312【解析】(1)根据恰好答对3个问题的概率是14，可以列式子311424p ⨯⨯=，即可求出p ；(2)先将答对不同题目个数的概率计算出来，再根据数学期望的计算方法即可计算出来. 【详解】 （1）教师甲恰好答对3个问题的概率是14， 311424p ， 23p ∴=； （2）教师甲答对题目的个数X 可取值为0，1，2，3，1111042324P X , 311111112114234234234P X , 11231231111242342342324P X , 134P X , ∴X 的数学期望为111112312324424412. 故答案为：（1）23（2）2312. 【点睛】本题主要考查随机事件的概率的求法以及数学期望的求法，是一道基础题.五、解答题17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J 医院参与救治工作. （1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率； （2）求至少选1名医生的概率.【答案】（1）14（2）1724. 【解析】（1）先计算出所有的选派方法310C ，再计算出志愿者、医生、护士各选1人的方法，即可求出概率；（2）先求出对立事件的概率，即不选医生的概率，即可求出至少选1名医生的概率. 【详解】（1）记“志愿者、医生、护土各选1人”为事件A ，()11123510314C C C P A C ==， 所以志愿者、医生，护士各选1人的概率为14； （2）记“至少选1名医生”为事件B ，则事件B 的对立事件为“不选医生”，记作事件B ，37310724C P BC , ()()17124P B P B ∴=-=, 所以至少选1名医生的概率为1724. 【点睛】本题主要考查排列、组合、及简单计数问题，解决此题的方法是计算对立事件的数目，含有“至多”“至少”等词语的事件一般是从对立事件入手.18．已知多项式12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数. 【答案】（1）8；（2）7.【解析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ； （2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，.即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r rr T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目. 19．已知函数()33f x ax x =-在2x =处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）()3,1--. 【解析】（1）由已知得'02f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，解得2a =，再对函数()f x 求导，验证函数()f x在x =处取得极值； （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.设()32463p x x x t =-++，即需()0p x =有3解，()()'121p x x x =-，令()'p x =得0x =或1x =.需()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得可得实数t 的取值范围.【详解】（1）因为函数()33f x ax x =-在x =处取得极值.由()'233f x ax =-，知2'33022f a ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得2a =；.当2a =时，()323f x x x =-，()263f x x ='-，令()0f x '=，2x =±；∴,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭，()'0f x >，()f x 在,2⎛-∞- ⎝⎭上单调递增；22x ⎛∈- ⎝⎭，()'0f x <，()f x 在,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭单调递减x ⎛⎫∈ ⎝∞ +⎪⎪⎭，()'0f x >，()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以2a =时，函数()f x 在x =处取得极小值. （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，整理得：324630x x t -++=，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切 等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.. 设()32463p x x x t =-++，()()'121p x x x =-，令()'0p x =得0x =或1x =.当(),0x ∈-∞时，()0p x '>，()p x 在(),0-∞上单调递增，当()0,1x ∈时，()0p x '<，()p x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在()1,+∞上单调递增，.()0p x =有3解，则()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得31t -<<-.所以实数t 的取值范围为()3,1--.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数的极值，切线的条数等相关问题，属于较难题. 20．冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.（1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？附1：()()()()()22n ad bcXa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++（2）某地区的新冠肺炎治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，统计数据如下：已知5=11405i i y y ==∑，52=190i i x =∑，5=1885i i i x y =∑，请利用所给数据求t 和回归直线方程ˆˆˆybx a =+； 附2：()1221ˆni ii ni i x y nx ybx n x ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）填表见解析；被统计的60岁以上的人员人数至少为20人；（2）60t =；ˆ8.56yx =+. 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程． 【详解】解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15， 60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，由被统计的60岁以上的人员人数为5x ， 填写22⨯列联表如下；计算()()()()()()22210?·24?355?5?4?63n ad bc x x x x x xX a b c d a c b d x x x x--===++++， 因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以5 6.6353x，519.905x ， 所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人． （2）由统计数据如下表，且511405i i y y ===∑，52190ii x==∑，51885i i i x y ==∑，由40y =，得4052530404560t =⨯----=，所以()51522215?88554408.59054ˆ5i ii i i x y x ybx x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ408.546ay bx =-=-⨯=； 所以y 关于x 的回归方程为ˆ8.56yx =+． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是中档题．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率； （2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.【答案】（1）87400；（2）分布列见解析；期望为3110. 【解析】（1）对于事件“这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”分三种情况：认为值得看的人中有：1名男生，2名女生；无男生，1名女生；无男生，2名女生.分别求得相应的概率，再相加可得答案.（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.分别求得随机变量取值的概率，构成分布列，再利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得答案.【详解】（1）设X 表示2名男生中认为值得看的人数，Y 表示2名女生中认为值得看的人数. 设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A ，. 又因为男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生值得看的概率为34所以()()()()1, 20, 10, 2P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==22221122341113318745554445400C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为87400. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.()()2202211100,054400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()22100212224111311411,00,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==2222201102222222414113137354554454400C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()221221222241343116831,22,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2222224314442,254400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：所以114731681441240310123440040040040040040010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， 所以数学期望为3110. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，概率的加法公式，离散型随机变量的分布列以及其期望公式，属于中档题.22．设函数()xf x xe =，()()xg x a e e=-，（1）设()()()x xf x g x ϕ=-，讨论()ϕx 的单调性；（2）若不等式()()0f x g x +>对()1,∈+∞x 恒成立，求整数a 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）3.【解析】（1）由题可得()()2xxx x e a e eϕ=--，利用()ϕx 的导数来讨论单调性；（2）先将不等式中的参数a 分离，然后构造函数，将不等式的恒成立转化为求函数的最值，然后利用函数的导数讨论函数的单调性，从而求出函数的最值，最终求出a 的最大值. 【详解】（1）因为()xf x xe =，()()xg x a e e=-，()()()x xf x g x ϕ=-，∴()()2x x x x e a e e ϕ=--，()()22x x e x x a ϕ'∴=++，令22y x x a =++，则44a ∆=-，①当1a ≥时，()0x ϕ'≥，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增，②当1a <时，令()0x ϕ'=，1x =-±当(,1x ∈-∞-，()0ϕ'>x ，()ϕx 在(,1-∞-上单调递增，当(11x ∈--+，()0ϕ'<x ，()ϕx 在(11--+上单调速减，当()1x ∈-++∞，()0ϕ'>x ，()ϕx 在()1-++∞上单调递增， 综上：当1a ≥时，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，()ϕx在(,1-∞--，()1-+∞上单调递增；在(11--+上单调递减； （2）当()1,∈+∞x 时，()0xxxe a e e->+恒成立，等价于当()1,∈+∞x 时，xx xe a e e >-恒成立，令()xx xe t x e e=-，()1,∈+∞x ，()()()2x x xe e ex e t x ee --'∴=-，令()xx x e e m e --=，()1,∈+∞x ，()0x m x e e '∴=->， ()x e x e x e m -∴-=在1,上单调递增，()2230m e e =-<，()3340m e e =->，()m x ∴'在()2,3上有唯一零点0x ，且00x e ex e =+，()02,3x ∈，()t x ∴在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()()()00000000min13,4x x x ex e x e t x t x x e e ex +∴====+∈-，()013,4a x ∴<+∈，∴a 的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数解决不等式的恒成立问题，合理的构造函数是解决问题的关键，是一道综合题.。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏淮安市淮阴中学高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1} 2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程＝bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1，2）D．（2.5，4）3．已知α∈{﹣3，﹣2，，2}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．24．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．不等式＞1的解集为（）A．{x＜﹣1或x＞3}B．{x＜﹣1或1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}6．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.87．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．64B．88C．72D．608．若存在实数x使得不等式|x+1|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）9．设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件10．（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7二、多选题（共2小题）.11．下列说法正确的是（）A．函数y＝与函数y＝log33x是同一函数B．函数y＝的值域是（﹣∞，4]C．若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），则f（x）为周期函数D．函数y＝|x|sin x为R上奇函数12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（）A．2B．6C．5D．4三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝的定义域是．14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax为奇函数，则曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为．15．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012p2c2c c 则实数c的值为；随机变量ξ的方差为．16．已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为．四、解答题17．设（1+2x）n＝a0+a1x+…+a n x n，其中n∈N*，a0，a1，……，a n∈R．（1）若n＝6，写出二项展开式第四项；（2）若n＝8，求出a0+a2+a4+a6+a8的值．18．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）19．设函数f（x）＝a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a＝2，b＝且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a＝4，b＝2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．20．设U＝R，A＝{x||x+1|＞1），B＝{x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B＝∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．21．江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量X＝2的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．22．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝x3﹣ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）﹣b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）＝﹣g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1}【分析】利用交集和数轴即可求出A∩B．解：A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}＝{x|﹣1≤x≤2，且x＜8}＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：D．2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程＝bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1，2）D．（2.5，4）【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．解：由题意，＝（0+1+2+6）＝1.5，＝（1+4+5+7）＝4∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）故选：B．3．已知α∈{﹣3，﹣2，，2}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．2【分析】利用幂函数的性质求解．解：∵幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴α为奇数且α＜0，故选：A．4．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】直接利用对数的关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果．解：y＝lg＝lg（x﹣3）﹣1．所以要得到函数y＝lg的图象，只需将函数lgx的图象向右平移3个单位，在将函数的图象向下平移1个单位即可．故选：D．5．不等式＞1的解集为（）A．{x＜﹣1或x＞3}B．{x＜﹣1或1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．解：∵＞1，∴＞0，解得：﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．6．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.8【分析】根据P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X＜2）计算．解：∵随机变量X～N（2，σ2），∴P（X＜2）＝0.5，∴P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X＜2）＝0.3．故选：B．7．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．64B．88C．72D．60【分析】根据题意，分四位偶数的个位是否为0两种情况讨论，求出每种情况下四位偶数的数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①当个位是数字0时，剩下的4个数字中任选3个，安排在千、百、十位，可以组成A43＝24个四位偶数，②当个位不是5时，个位可以是2，4，有两种选法，千位有3种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C26C31A32＝36种四位偶数，故选：D．8．若存在实数x使得不等式|x+1|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】先求出f（x）＝|x+1|+|x﹣1|的最小值为﹣2，转化为a2﹣3a≥﹣2，即可求出a 的范围．解：令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，则﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤|x+6|﹣|x﹣1|≤2，则a2﹣3a≥﹣2，故选：D．9．设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知结合对数不等式的性质可得1＜a＜b＜3，得到3a＜3b；反之，由3a＜3b，不一定有log a3＞log b3＞1成立，再由充分必要条件的判定得答案．解：a，b都是不等于1的正数，由log a3＞log b3＞1，得1＜a＜b＜3，∴4a＜3b；∴“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的充分不必要条件．故选：B．10．（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7【分析】分别求出两个二项式的展开式，相乘，令指数为0，即可求得结论．解：（x2+2）8展开式的通项为T r+1＝2r x6﹣2r（0≤r≤5）（﹣1）5展开式的通项为T k+1＝（﹣1）k x2k﹣14（0≤k≤5）令2k﹣2r﹣8＝0，则k﹣r＝8，所以（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项为故选：B．二、多选题（每题5分，共10分）11．下列说法正确的是（）A．函数y＝与函数y＝log33x是同一函数B．函数y＝的值域是（﹣∞，4]C．若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），则f（x）为周期函数D．函数y＝|x|sin x为R上奇函数【分析】A从函数定义域考虑，B从函数值域考虑，C经过计算得出函数周期为4，D用函数奇偶性判断出是奇函数．解：A选项错在两函数的定义域不同，B选项由指数函数值域恒大于0以及偶次根式一定大于等于0得出该函数值域为[0，4）．C选项由f（x）＝f（2﹣x）得f（﹣x）＝f（7+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x），所以f（4+x）＝f（x），求出周期为4．D选项|x|为偶函数，sin x为奇函数，所以整个函数为奇函数．故选：CD．12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（）A．2B．6C．5D．4【分析】画出函数f（x）的图象，对a分类可得关于f（x）的一元二次方程根的情况，数形结合可得方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数的可能取值．解：画出f（x）＝的图象如图，△＝4﹣4（a2﹣1）＝8﹣4a2．若a＝，则f2（x）﹣2f（x）+a7﹣1＝0化为f2（x）﹣2f（x）+1＝0，即f（x）＝3，若＜a＜﹣1或1＜a＜，则f（x）＝5﹣∈（0，1），或f（x）＝1+∈（1，2），若a＝±1，则f（x）＝0或f（x）＝2，方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝3的根的个数为4个；方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为4个．故选：ACD．三、填空题（每题5分，共20分）13．函数f（x）＝的定义域是（0，2]．【分析】要是解析式有意义，只要1﹣log2x≥0，log2x≤1，结合对数函数的图象或单调性求解即可．解：1﹣log2x≥0，log2x≤1＝log22，故0＜x≤2．故答案为：（0，2]14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax为奇函数，则曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为4x﹣y﹣2＝0．【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，因为f（x）为奇函数，所以a＝1，可得函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝8（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故答案为：4x﹣y﹣2＝0．15．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012p2c2c c 则实数c的值为；随机变量ξ的方差为．【分析】利用分布列的性质求出c，然后求解期望以及方差即可．解：由题意可得：2c2+＝1，解得c＝．所以Eξ＝0×+1×+2×＝，故答案为：；．16．已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为20．【分析】可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，联立y＝t与抛物线的方程，以及y＝t+1与抛物线的方程，运用韦达定理和求根公式，求得|AB|，|CD|，|AD|，再由梯形的面积公式和勾股定理、换元法和基本不等式可得所求最小值．解：可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x5，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x2＜x3，由y＝t与y＝x2+ax+b联立，可得x2+ax+b﹣t＝0，x1+x6＝﹣a，x1x2＝b﹣t，则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝，则△2＝a2﹣4（b﹣t﹣1），由于b≤0，t≥7，可得△2＞0恒成立，可得S＝（|AB|+|CD|）×1＝（+），设u＝，v＝，则v2﹣u2＝4，即v﹣u＝，当且仅当（u+v）7＝即u+v＝4时，上式取得等号．故答案为：20．四、解答题17．设（1+2x）n＝a0+a1x+…+a n x n，其中n∈N*，a0，a1，……，a n∈R．（1）若n＝6，写出二项展开式第四项；（2）若n＝8，求出a0+a2+a4+a6+a8的值．【分析】（1）由二项式展开式公式即可求得第四项；（1）分别令x＝1，x＝﹣1，计算即可得结论．解：（1）n＝6时，二项式展开式第四项为T4＝（2x）3＝160x3．（2）（1+2x）8＝a0+a1x+…+a3x8，令x＝﹣1，1＝a0﹣a1+a2﹣…+a6，所以a0+a2+a4+a6+a7＝，18．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）【分析】（1）根据题意，用捆绑法分析：将三种颜色的球都分别看成整体，再将三个整体之间进行排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式直接计算可得答案；（3）根据题意，由组合数公式计算从7只球中任取4个的情况数目，由加法原理分析三种颜色都有的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：（1）根据题意，将2只不同的红球看成一个整体，有A22＝2种顺序，2只不同的白球，有A26＝2种顺序，三个整体之间进行排列，有A33＝4种情况（2）根据题意，将这7只球分成1，3，8的三堆，有＝70种排法；其中三种颜色都有的情况有C22C71C31+C21C22C31+C21C41C32＝24种，则各种颜色的球都必须取到的概率P＝，19．设函数f（x）＝a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a＝2，b＝且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a＝4，b＝2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）运用偶函数的定义可得f（﹣1）＝f（1），解方程可得m，检验即可；（2）可令t＝2x，t＞0，可设g（t）＝t2+mt，结合二次函数的最值求法可得m的范围；（3）由题意可得（）x＞﹣m，讨论m≥0，m＜0，结合指数函数的值域和单调性，可得解集．解：（1）当a＝2，b＝时，f（x）＝2x+m•（）x，所以f（﹣1）＝+2m，f（1）＝4+m，可得f（﹣1）＝f（1），即+2m＝2+m，此时f（x）＝2x+（）x，f（﹣x）＝（）x+2x，所以m＝3；可令t＝2x，t＞0，则g（t）在（0，+∞）有最小值，可得﹣＞0，（3）f（x）＝a x+m•b x＞6，所以a x＞﹣m•b x，因为a∈（0，1），b＞1，所以，当﹣m≤4即m≥0时，原不等式的解集为R；当﹣m＞0，即m＜0时，原不等式的解集为（﹣log（﹣m））．20．设U＝R，A＝{x||x+1|＞1），B＝{x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B＝∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．【分析】（1）解绝对值不等式即可得出A＝{x|x＜﹣2或x＞0}；（2）B＝∅时，可得出不等式x2+（m+1）x+3m＜0无解，从而得出△≤0，然后即可得出m的取值范围；（3）根据题意，首先根据△＞0得出或，然后根据A∪B＝R即可得出，然后解出m的范围即可．解：（1）A＝{x|x＜﹣2或x＞0}；（2）若B＝∅，则不等式x2+（m+1）x+3m＜0无解，∴m的取值范围为；设x1，x6为x2+（m+1）x+3m＝0的两个根，则B＝（x1，x2），∴，解得m＜﹣2，综上得，m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．21．江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量X＝2的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）①根据二项分布概率计算公式计算即可；②先利用二项分布概率计算公式分别计算出X＝0，1，2，3时的概率，再画出概率分布表，结合数学期望计算公式即可求解数学期望．解：（1）该校最终选地理的学生为事件A，．②，，X6123P．22．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝x3﹣ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）﹣b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）＝﹣g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令m（x）＝f（x）﹣b＝xlnx﹣b，x＞1，求出函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（3）求出a＝，得到lnx1+1＝+，令l（x2）＝+，根据导函数求出x2＝，求出lnx1+1≥3，结合函数的单调性判断即可．解：（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，故1﹣a≥a2，故a∈[，]，故g（x）在[1，+∞）递增，故a∈[，]；故m（x）在（1，+∞）递增，又b＞0，故m（1）•m（e b）＜4，且m（x）的图象不间断，m（x）在（1，+∞）递增，（3）h（x）＝﹣x3+ax2，h′（x）＝﹣3x3+2ax，f′（x）＝lnx+1，l2：y+﹣a＝（﹣3+2ax2）（x﹣x2），即y＝（﹣3+2ax2）x+2﹣a，故lnx8+1＝﹣3+7•x2＝lnx1+1＝+，令l（x2）＝+，l（x）在（8，）递减，在（，+∞）递增，故8≥3﹣lnx7﹣1，令t＝，t＞8，故t（x）在（1，+∞）递增，而n（x）＝3﹣lnx1﹣1＞n（1）＝8，故不存在．。
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若复数z满足（1﹣2i）z＝1（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．5D．2．设随机变量X～B（n，0.2），且E（X）＝1.6，则n为（）A．4B．6C．8D．103．函数的最小值为（）A．5B．3C．8D．64．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．365．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个） 2.534 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当x＝8时，繁殖个数y的预测值为（）A．5.95B．6.15C．5.25D．4.96．某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100）．且P（88≤x≤108）≈0.683，P（78≤x≤118）≈0.954，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）A．2800B．2180C．1500D．62308．若函数y＝lnx﹣ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，1）C．（0，）D．（0，1）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若m＝0则共轭复数＝1﹣B．若复数z＝2，则m＝C．若复数z为纯虚数，则m＝±1D．若m＝0，则4+2z+z2＝010．若∈R，则（）A．a0＝1B．a r＝C210﹣r（﹣1）r，r＝0，1，2，…，10C．a1+a2+…+a10＝1D．（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝31011．下列结论正确的是（）A．3×4×5×6＝AB．C+C＝CC．C＝CD．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为7212．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则三、填空题（共4小题）.13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为．14．已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01则P（X≥3）＝．15．多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a1＝．16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p＝，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．18．已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5．（1）求n的值；（2）求展开式中含x项的系数．19．已知函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．20．病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新病毒是以前从未在人体中发现的病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新病毒患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新病毒患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新病毒患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下60岁以上5x 合计附1：X2＝，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某地区的新病毒治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程，统计数据如下：3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t已知＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，请利用所给数据求t和回归直线方程；附2：＝，＝﹣．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生认为《少年的你》值得看的概率为，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．22．设函数f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x）．（1）设φ（x）＝xf（x）﹣g（x），讨论φ（x）的单调性；（2）若不等式f（x）+g（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若复数z满足（1﹣2i）z＝1（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．5D．【分析】根据复数的运算法则先求出z，结合复数模长公式进行计算即可．解：由（1﹣2i）z＝1得z＝＝＝＝+i，则|z|＝＝＝，故选：B．2．设随机变量X～B（n，0.2），且E（X）＝1.6，则n为（）A．4B．6C．8D．10【分析】利用二项分布的期望的公式，列出方程，即可得出n的值．解：∵随机变量X～B（n，0.2），∴E（X）＝1.6＝np＝n×0.2＝1.6，∴n＝8．故选：C．3．函数的最小值为（）A．5B．3C．8D．6【分析】先变形，f（x）＝x﹣2++2，再利用基本不等式的性质即可得解，注意取等号的条件．解：f（x）＝x+＝x﹣2++2≥2+2＝8，当且仅当x﹣2＝，即x＝5时，取等号．所以函数f（x）的最小值为8．故选：C．4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．36【分析】根据题意，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，在2、4两个偶数中任选1个，②将选出的3个数字全排列，组成三位数，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，有C32＝3种选法，在2、4两个偶数中任选1个，有C21＝2种选法，②将选出的3个数字全排列，组成三位数，有A33＝6种情况，则可以组成3×2×6＝36个没有重复数字的三位数；故选：D．5．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个） 2.534 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当x＝8时，繁殖个数y的预测值为（）A．5.95B．6.15C．5.25D．4.9【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，可得线性回归方程，取x＝8求得y值即可．解：∵，，∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.5＝0.7×，即．∴y关于x的线性回归方程为．取x＝8，得＝5.95．∴当x＝8时，繁殖个数y的预测值为5.95．故选：A．6．某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“男歌手甲被选中”，事件B表示“女歌手乙也被选中”，则P （A）＝＝，P（AB）＝＝，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为P（B|A）＝，由此能求结果．解：某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，设事件A表示“男歌手甲被选中”，事件B表示“女歌手乙也被选中”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率：P（B|A）＝＝＝．故选：D．7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100）．且P（88≤x≤108）≈0.683，P（78≤x≤118）≈0.954，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）A．2800B．2180C．1500D．6230【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知求得P（ξ≥108），乘以9460得答案．解：由学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100），∴μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝[1﹣P（88≤x≤108）]≈0.1585，即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.85%．∴9460×15.85%≈1500．即她的数学成绩在该区的排名大约是1500名．故选：C．8．若函数y＝lnx﹣ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，1）C．（0，）D．（0，1）【分析】函数y＝lnx﹣ax在其定义域内有两个零点⇔函数y＝a与函数g（x）＝的图象有两个交点．利用导数研究函数g（x）的图象与单调性，即可得出结论．解：函数y＝lnx﹣ax在其定义域内有两个零点⇔函数y＝a与函数g（x）＝的图象有两个交点．g′（x）＝，可得x＝e时，函数f（x）取得极大值，即最大值，f（e）＝，又x＞1时，lnx＞0，x→+∞时，g（x）→0，x∈（0，1）时，g（x）＜0，x→0+时，g（x）→﹣∞，∴0＜a＜．即实数a的取值范围是（0，）．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若m＝0则共轭复数＝1﹣B．若复数z＝2，则m＝C．若复数z为纯虚数，则m＝±1D．若m＝0，则4+2z+z2＝0【分析】把m＝0代入，化简后可得A错误；代入4+2z+z2整理，可得D正确；再由实部为2，虚部为0求解m判断B；由实部为0且虚部不为0列式求解m判断C．解：∵，若m＝0，则z＝﹣1+，∴，故A错误；此时4+2z+z2＝4+2（﹣1+）+＝2+﹣2﹣2，故D正确；若复数z＝2，则，即m＝，故B正确；若复数z为纯虚数，则，即m＝﹣1，故C错误．故选：BD．10．若∈R，则（）A．a0＝1B．a r＝C210﹣r（﹣1）r，r＝0，1，2，…，10C．a1+a2+…+a10＝1D．（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝310【分析】分别利用赋值法进行判断即可．解：A．令x＝﹣1得a0＝（﹣2+1）10＝1，故A正确，B．令x+1＝t，则x＝t﹣1，则多项式等价为a0+a1t+a2t2+…+a10t10，＝（2t﹣1）10，则T r+1＝C210﹣r t10﹣r（﹣1）r，则当r＝9时t的系数是a1，不是a9，故B错误，C．令x＝0得，a0+a1+a2+…+a10＝1，即a1+a2+…+a10＝0，故C错误，D．令x＝0得a0+a1+a2+…+a10＝1，令x＝﹣2，得a0﹣a1+a2+…+a10＝310，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝（a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9）（a0+a2+…+a10﹣a1﹣a3﹣…﹣a9）＝1×310＝310，故D正确故正确的是AD，故选：AD．11．下列结论正确的是（）A．3×4×5×6＝AB．C+C＝CC．C＝CD．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72【分析】利用排列、组合的定义和性质直接求解．解：对于A，3×4×5×6＝6×5×4×3＝A，故A正确；对于B，由组合数公式得C+C＝C，故B正确；对于C，由组合数公式得C＝C，故C正确；对于D，将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为：＝72，故D正确．故选：ABCD．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则【分析】①由函数f（x）的定义域{x|x＞0}，可推出C错误，对f（x）求导，分析f（x）的单调性进而可得f（x）极小值＝f（1），可推出A正确．②y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，求导数，分析单调性可得y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，进而可推出B正确．③对g（x）＝xf（x）＝1+xlnx求导数，分析单调性，可推出g（x）最小值＝g（），进而可推出D正确．解：①函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，故C错误，f′（x）＝﹣+＝，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（1）＝1，故A正确．②y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，y′＝﹣+﹣1＝＝＜0，所以函数y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，所以y＝f（x）﹣x有且只有一个零点，故B正确．③g（x）＝xf（x）＝1+xlnx，g′（x）＝x•+lnx＝1+lnx，所以在（e﹣1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（0，e﹣1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）最小值＝g（e﹣1）＝g（），所以g（）＜g（），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．16题第一空2分，第二空3分．13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．【分析】先对函数y＝sin x进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y＝sin x在点x＝π处的切线斜率，进而可得到切线方程．解：∵y′＝cos x，∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝1，∴切线方程为y﹣0＝x﹣0，即x﹣y＝0．故答案为：x﹣y＝0．14．已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01则P（X≥3）＝0.38．【分析】由随机变量X的概率分布求出P（X＝3），再由P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X ＝4）+P（X＝5）+P（X＝6），能求出结果．解：由随机变量X的概率分布知：P（X＝3）＝1﹣0.16﹣0.22﹣0.24﹣0.10﹣0.06﹣0.01＝0.21，P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）＝0.21+0.10+0.06+0.01＝0.38．故答案为：0.38．15．多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a1＝44．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x4的系数就是两个多项式的展开式中x3与x 系数的乘积和x2与x2的系数乘积的和．解：多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则（2x+1）3中，x3的系数为C3023＝8，x2的系数为C3122＝12，（x+2）2中，x的系数为4，x2的系数为1，∴a1＝8×4+12×1＝44．故答案为：44．16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p＝，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为．【分析】由教师甲恰好答对3个问题的概率是，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出p的值．X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．解：对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．∵教师甲恰好答对3个问题的概率是，∴＝，解得p＝．设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（X＝2）＝++＝，P（X＝3）＝＝，∴E（X）＝＝．故答案为：，．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．【分析】（1）记“志愿者、医生、护士各选1人”为事件A，利用古典概型、排列组合能求出志愿者、医生、护士各选1人的概率．（2）记“至少选1名医生”为事件B，利用对立事件概率计算公式能求出至少选1名医生的概率．解：（1）记“志愿者、医生、护士各选1人”为事件A，则P（A）＝＝．∴志愿者、医生、护士各选1人的概率为．（2）记“至少选1名医生”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，∴至少选1名医生的概率为．18．已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5．（1）求n的值；（2）求展开式中含x项的系数．【分析】（1）由二项式系数求出展开式中第3项与第5项的二项式系数列出方程求出n 的值．（2）将求出n的值代入通项，求出通项公式，令x的指数为1求出r的值，将r的值代入通项求出含x项的系数．解：（1）因为多项式展开式中第3项与第5项的二项式系数分别为，，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5，∴，即＝，化简得n2﹣5n﹣24＝0，解得n＝8 或n＝﹣3（舍），故n的值为8．（2）∵展开式的通项为T r+1＝•＝当＝1时，解得r＝2，所以T3＝＝7x∴展开式中含x项的系数为7．19．已知函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．【分析】（1）先求导得f′（x）＝3ax2﹣3，再根据题意可得f′（）＝0，解得a ＝2，再检验是否符合题意．（2）设切点为（x，2x3﹣3x），根据导数的几何意义可得k切＝6x2﹣3，进而可得＝6x2﹣3，化简得：4x3﹣6x2+3+t＝0有3个不同的实数解⇒p（x）＝4x3﹣6x2+3+t有3个零点，再分析p（x）有3个零点时t的取值范围．解：（1）因为函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值，由f′（x）＝3ax2﹣3，知f′（）＝3a（）2﹣3＝0，解得a＝2，当a＝2时，f（x）＝2x3﹣3x，f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0，得x＝±，所以x∈（﹣∞，﹣），f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，x∈（﹣，），f′（x）＜0，f（x）在（﹣，）上单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（，+∞）上单调递增，所以a＝2时，函数f（x）在x＝处取得极小值．（2）设切点为（x，2x3﹣3x），则切线的斜率为＝6x2﹣3，整理得：4x3﹣6x2+3+t＝0，则过点P存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，等价于方程4x3﹣6x2+3+t＝0有3个不同的实数解，设p（x）＝4x3﹣6x2+3+t，p′（x）＝12x（x﹣1），令p′（x）＝0得x＝0或x＝1，当x∈（﹣∞，0）时，p′（x）＞0，p（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x∈（0，1）时，p′（x）＜0，p（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，p′（x）＞0，p（x）在（1，+∞）上单调递增，p（x）＝0有3解，则，解得﹣3＜t＜﹣1，所以实数t的取值范围为（﹣3，﹣1）．20．病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新病毒是以前从未在人体中发现的病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新病毒患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新病毒患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新病毒患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下60岁以上5x 合计附1：X2＝，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某地区的新病毒治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程，统计数据如下：3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t已知＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，请利用所给数据求t和回归直线方程；附2：＝，＝﹣．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程．解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，由被统计的60岁以上的人员人数为5x，填写2×2列联表如下；潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下x4x5x60岁以上3x2x5x 合计4x5x10x计算X2＝＝＝，因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以≥6.635，5x≥19.905，所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人．（2）由统计数据如下表，3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t且＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，由＝40，得t＝40×5﹣25﹣30﹣40﹣45＝60，所以＝＝＝8.5，＝﹣＝40﹣8.5×4＝6；所以y关于x的回归方程为＝8.5x+6．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生认为《少年的你》值得看的概率为，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．【分析】（1）设X表示2名男生认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生值得看的概率为，wwdmjP（A）＝P （X＝1，Y＝2）+P（Y＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2），由此能求出结果．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）设X表示2名男生认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，又∵男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生值得看的概率为，∴P（A）＝P（X＝1，Y＝2）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2）＝（）2•（）（）+（）2•（）（）+（）2（）2＝，∴这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝P（X＝0，Y＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝P（X＝2，Y＝0）+P（X＝1，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2）＝+（）2＝，P（ξ＝3）＝P（X＝1，Y＝2）+P（X＝2，Y＝1）＝＝，P（ξ＝4）＝P（X＝2，Y＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ01234PE（ξ）＝+4×＝．22．设函数f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x）．（1）设φ（x）＝xf（x）﹣g（x），讨论φ（x）的单调性；（2）若不等式f（x）+g（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值．【分析】（1）根据题意可得φ（x）＝xf（x）﹣g（x）＝x2e x﹣a（e﹣e x），对φ（x）求导得φ′（x）＝e x（x2+2x+a），△＝4﹣4a，分①a≥1时，②a＜1时，讨论φ′（x）的正负，φ（x）的单调性．（2）根据题意问题可转化为当x∈（1，+∞）时，恒成立，令t（x）＝，x∈（1，+∞），只需a＜t（x）min即可．对t（x）求导，分析单调性，进而得t（x）的最小值即可得出答案．解：（1）因为f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x），φ（x）＝xf（x）﹣g（x）＝x2e x﹣a（e﹣e x），φ′（x）＝e x（x2+2x+a），△＝4﹣4a，①当a≥1时，φ′（x）≥0，φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，②当a＜1时，令φ′（x）＝0，x＝﹣1±，当x∈（﹣∞，﹣1﹣），φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣∞，﹣1﹣）上单调递增，当x∈（﹣1﹣，﹣1+），φ′（x）＜0，φ（x）在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减，当x∈（﹣1+，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上得：当a≥1时，φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜1时，φ（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递增，φ（x）在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减，（2）当x∈（1，+∞）时，xe x+a（e﹣e x）＞0恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，恒成立，令t（x）＝，x∈（1，+∞），则t′（x）＝，令m（x）＝e x﹣ex﹣e，x∈（1，+∞），m′（x）＝e x﹣e＞0，所以m（x）＝e x﹣ex﹣e在（1，+∞）上单调递增，又因为m（2）＝e2﹣3e＜0，m（3）＝e3﹣4e＞0，所以m（x）在（2，3）上有唯一零点x0，且e＝ex0+e，x0∈（2，3），所以t（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以t（x）min＝t（x0）＝＝＝x0+1∈（3，4），所以a＜x0+1∈（3，4），故整数a的最大值为3．。
江苏省淮阴中学高二下学期期末考试理数试题解析(解析
一、填空题（本大题共14小题，每题5分，满分70分．）1.计算：121lg lg 410025-⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭的值为___________． 【答案】20-考点：指数对数的运算． 2.参数方程4125x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）化为普通方程为______________．【答案】092=++y x 【解析】试题分析：消去参数可得092=++y x ,故答案为092=++y x . 考点：参数方程与普通方程的互化． 3.若命题“()10,,x m x x∀∈+∞≤+”为真命题，则实数m 的取值范围为__________．【答案】]2,(-∞ 【解析】 试题分析：因21≥+xx ,故2≤m ，故答案为]2,(-∞. 考点：基本不等式的运用．4.已知二阶矩阵11a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦属于特征值5λ=的一个特征向量为11e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则a b +=__________．【答案】8【解析】试题分析：由特征向量的定义,则⎩⎨⎧=⨯-+-=-⨯-01)5(1011)5(b a ,解之得4==b a ,故8=+b a ,应填8.考点：矩阵的特征值和特征向量． 5.函数()f x =的定义域为A ，函数()()lg 1g x x =+的定义域为B ，则A B ⋂=_____________．【答案】]1,1(- 【解析】试题分析：因}1|{},112|{->=≤≤-=x x B x x A ,故}11|{≤<-=x x B A ，应填]1,1(-.考点：不等式组的解法与集合的运算．6.现有3个不同的红球，2个相同的黄球排成一排，则共有_________排法（用数字作答）． 【答案】60 【解析】试题分析：由于两个黄球是相同的,因此所有排列种数为602155=A ，故应填60. 考点：排列数的计算．7.设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨+>⎩，则满足()3f x ≤的x 的取值范围为__________．【答案】]4,3log 1[2-考点：分段函数及指数对数不等式．【易错点晴】本题设置的目的意在考查分类整合思想和解指数对不等式的能力.由于指数不等式和对数不等式都是超越不等式,解答的过程中都借助指数函数与对数函数的单调性进行合理的等价的转化与化归,以达与原不等式等价之目的.如在解不等式321≤-x时,考虑到底数2大于1,是递增函数,所以两边取2为底的对数进行等价转化,求出3log 12-≥x 的解集,但要注意前提1≤x ,这也是容易出错的地方之一.8.53x ⎛ ⎝的展开式中8x 的系数为____________．【答案】52考点：二项式定理及通项公式的运用．9.“函数()()log 0,1a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数”是“log 20a <”的__________条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要不充分”“充要” “既不充分也不必要”）． 【答案】充要 【解析】试题分析：由函数是减函数可得10<<a ,由此可得log 20a <;当log 20a <时,可得10<<a .因此是充充分必要条件,故应填充要.考点：充分必要条件的判定．10.如图，用A B C 、、三个不同的元件连接成一个系统N ，已知每个元件正常工作的概率都是0.8，则此系统N 正常工作的概率为___________．【答案】928.0 【解析】试题分析：由图可知:当A 正常工作,无论C B ,是否正常,整个系统都能正常工作；当A 不能正常工作,C B ,两个必须都正常工作,整个系统才能正常工作,所以系统正常工作的概率为 928.08.02.08.02=⨯+=P .考点：独立事件的概率及计算．11.已知()f x 是R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =，则()()20152f f +=____________．【答案】2- 【解析】试题分析：因2)1()1()3()2015(-=-=-==f f f f ,故应填答案2-. 考点：函数的周期性、奇偶性．【易错点晴】本题设置的目的是考查与检测函数的奇偶性、周期性等基本性质和分析问题解决问题的能力.解答本题的关键是求)2015(f 的值,考虑到2015不是区间)2,0(中的数,因此须将其转化到区间)2,0(上,这里借助的就是()()4f x f x +=这一条件,根据周期函数的定义可知这是一个周期为4的周期函数,因此有)1()3()34503()2015(-==+⨯=f f f f ,到这里注意到)2,0(1∉-,所以还须继续转化,当然这时应借助函数是奇函数这一条件,从而使本题获解.12.已知函数()()2,4f x x a x f x x =++-≤-的解集为A ，若[]1,2A ⊆，则实数a 的取值范围为__________________． 【答案】[]3,0-考点：绝对值不等式及解法．【易错点晴】本题重点考查的分类整合思想和解绝对值不等式的能力.解答本题时,借助[]1,2A ⊆,即对任意21≤≤x 中的数不等式|4||2|||-≤-++x x a x 都成立,所以得到了2||≤+a x ,即a x a -≤≤--22,再利用[]1,2A ⊆,并凭借数轴的直观,很容易建立不等式组⎩⎨⎧≥-≤--2212a a ,最后通过解不等式组,求出实数a 的取值范围.13.将边长为4正三角形薄片，用平行于底边的两条直线剪成三块（如图所示），这两条平行，其中间一块是梯形记为ABCD ，记()2ABCD S ABCD=梯形的周长梯形，则S 的最小值为___________．考点：基本不等式及运用．【易错点晴】本题以简单的平面图形为背景考查的是数学建模的意识和思想,检测的是求解最值的思想和方法.解答本题的关键是依据题设条件选取合适的变量建立目标函数,解答中选梯形的上底AB 的长为x 做变量,然后求出下底的长为2+x ,再解直角三角形求出腰的长为2,建立目标函数)1(3)3(4)(2++==x x x f S ,进而巧妙地运用基本不等式求出了这个函数的最小值为3332. 14.对任意实数x ，总存在[]1,2y ∈，使得2223x xy y x my ++≥++成立，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】]21,(-∞考点：不等式恒成立的条件和存在性不等式成立的条件及运用．【易错点晴】本题设置的不等式恒成立的问题为背景,考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.解答时先将变量x 视为主元,由于对任意的实数x 都成立,借助二次函数的图象列出不等式0)3(4)2(22≤----my y y ,进而将不等式中的参数(包括常数和系数)分离出来,由于题设中是存在实数[]1,2y ∈,因此在解答时,应求函数yy y h 163)(-=的最大值,这一点很容易出错哦. 二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知命题:p “函数()222x xf x m -=-在R 上有零点”．命题:q “函数()22f x x mx n =++在[]1,2上单调递增”． （1）若p 为真命题，则实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为真命题，则实数m 的取值范围． 【答案】(1)12m ≥；（2）12m ≥. 【解析】试题分析：(1)运用等价转化的方法将问题进行转化与化归；(2)借助题设条件将复合命题分类转化进行求解. 试题解析:（1）p 为真命题：因为函数()222x xf x m -=-在R 上有零点，所以()2220x xf x m -=-=有解，所以222x xm -=有解，所以12m ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为函数()22f x x mx n =++在[]1,2上单调递增，所以1m -≤，所以1m ≥-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为p q ∧，所以,p q 均为真，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 所以12m ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 考点：命题及复合命题的真假的运用．16.已知矩阵11a A a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（a 为实数）． （1）若矩阵A 存在逆矩阵，求实数a 的取值范围；（2）若直线:40l x y -+=在矩阵A 对应的变换作用下变为直线:20l x y a '-+=，求实数a 的值；（3）在（2）的条件下，求5A ． 【答案】(1)1a ≠±；(2)2a =；(3)122121121122⎡⎤⎢⎥⎣⎦.2212154121245A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3）45454414045454041A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦5414021122121404112121122A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 考点：矩阵与变换的有关知识及运用．17.在极坐标系中，圆A 与圆:2cos 4sin C ρθθ=+关于直线34πθ=对称． （1）求圆A 的极坐标方程；（2）为圆A 上任意一点，求OP OC （其中O 为极点）的取值范围． 【答案】(1) 4cos 2sin 0ρθθ++=；(2)]1,9[-.考点：直角坐标与极坐标的互化及运用．【易错点晴】极坐标与参数方程是苏教版的选修教材之一，也是高考必考的内容之一．这类问题一般都不是太难，解答这类问题的思路都是将其等价地合理的转化为平面直角坐标的问题进行处理,体现了数学中化归与转化的数学思想和方法的运用.极坐标与直角坐标的互化公式是θρθρsin ,cos ==y x ,这是解答极坐标问题中变换的依据.参数方程与直角坐标的互化是消去参数(代入法和加减法等).本题中的第二问是参数方程的利用.本题设置的目的考查的是运用所学知识分析问题解决问题的能力.18.江苏高考新方案采用“3+3”模式，语数外三门必考，然后在物理、化学、生物、历史、政治、地理六门学科中任选三六进行测试，现有甲、乙、丙三人进行模拟选择：甲的物理非常优秀，所以甲必要选择物理，其余两门随机选择；乙的政治比较薄弱，所以乙一定不选政治，其余随机选择；丙的各门成绩比较平均，所以丙随机选择三门． （1）则甲、乙、丙三人分别有多少种选择方法； （2）三人中恰有2人选择物理的概率；（3）随机变量ε表示三人中选择物理的人数，写出ε的概率分布及数学期望．【答案】(1) 甲：2510C =，乙：2510C =，丙：3620C =；(2)21；(3)概率分布见解析，2110.所以()2110E ε=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 答：期望为2110．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分考点：组合数公式概率公式及随机变量的分布列和数学期望公式． 19.已知函数()()21f x x ax a R =++∈．（1）若()f x 在[]0,2上的最小值为1，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥； （3）若关于x 的方程()()()10ff x f x -+=无实数解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)0≥a ；(2)当22a -≤≤时，x R ∈，当2a >或2a <-时，,22a a x ⎛⎡⎫--∈-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；(3)12a -<<.考点：函数的最值、不等式的解法、导数的运用及灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力．20.已知()()()()20121111n n n x a a x a x a x +=+-+-++-． （1）求0a 及12n n S a a a =+++的值；（2）比较n S 与()2222n n n -+的大小，并说明理由；（3）求1004442n n a n -=∑的值． 【答案】(1) 02n a =，32n n n S =-；(2) ()112233,,,4n n S b S b S b S b n ><<>≥；(3)410041C . 【解析】试题分析：(1)运用赋值法求解；(2)借助题设条件和数学归纳法进行分类推证；(3)借用组合数的性质求解.试题解析:（1）令1x =，则02n a = ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分令2x =，则03n n a S +=，所以32n n n S =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）令()2222n n b n n =-+，则由计算得()112233,,,4n n S b S b S b S b n ><<>≥．．．．．．．．．．．（6分） 下证，()4n n S b n >≥，考点：赋值法、数学归纳法和组合数的性质等有关知识和方法的运用．【易错点晴】本题是一道将二项式定理与数列知识有机整合的综合问题,考查的是赋值法、验证法、简单枚举法等简单数学思想方法.同时也检测数学归纳法在证明与自然数有关的问题中运用,应用数学归纳法时一定要严格按照数学归纳法证明的步骤进行.也就是说先验证特殊情况的成立，再在此基础上假设k n =时成立,想方设法证明1+=k n 也成立,叙述的格式与语言都要注意符合格式.。
2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析
2019-2020年高二下学期期末考试理数试题 含解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则在复平面上表示的点位于 （ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()(){}3,3,,202y M x y N x y ax y a x ⎧-⎫===++=⎨⎬-⎩⎭且，则 （ ）A ．-6或-2B ．-6C ．2或-6D ．2【答案】 【解析】试题分析：，若,则两直线平行，或直线过点两种情况，当平行时，，当过点时，代入，解得：，故先A.考点：1.集合的运算；直线的位置关系.3.已知具有线性相关的两个变量x,y 之间的一组数据如下：0 1 2 3 42.24.3t4.86.7且回归方程是,则t= （ ） A ．2.5 B ．3.5 C ．4.5 D ．5.54.设是两个单位向量,其夹角为,则“”是“”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.设集合,,从集合中任取一个元素,则这个元素也是集合中元素的概率是( )A. B. C. D.【答案】【解析】试题分析：，，，所以考点：1.解不等式；2.几何概型.6.下列四个结论：①若，则恒成立；②命题“若”的逆命题为“若”；③“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；④命题“”的否定是“”.其中正确结论的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个 D.4个7.已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是( ) A． B． C． D．8.设随机变量X服从正态分布，则成立的一个必要不充分条件是（）A．或2 B．或2 C． D．【答案】【解析】试题分析：若等式成立，那么，解得，解得或，所以必要不充分条件是.考点：1.正态分布；2.必要不充分条件.9.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”左端需增乘的代数式为（）A.2k+1B.2（2k+1）C.D.10.设，则的最小值为（）A. 2B.3C.4D.11.从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标，若是3的倍数，则满足条件的点的个数为（）A．252 B．216 C．72 D．42【答案】【解析】试题分析：将集合分为：,,,若是3的倍数，那么3个集合各取3个数，共有,或各取1个，共,所以考点：排列12.设函数，则函数的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中，含项的系数为_________.（用数字作答）14.已知函数是上的奇函数，且为偶函数．若，则__________ 【答案】 【解析】试题分析：因为是偶函数，所以，所以函数关于对称，那么，所以函数满足，所以函数是的周期函数，所以 考点：函数的性质15.函数的图象存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是______.据此规律，第个等式可为____________________________________. 【答案】nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+- 【解析】试题分析：根据归纳推理，观察所得，等号左边，第行有个数字加减，等号有边，第行有个数字相加，并且是后个，所以，猜想第个等式是nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-.考点：归纳推理三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共10分）已知函数 （1）解关于的不等式;（2）若的解集非空，求实数的取值范围.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.含绝对值不等式的性质.18.（本小题共12分）在极坐标系中，曲线23)3cos(:),0(cos 2=->=πθρθρl a a C ：,曲线C 与有且仅有一个公共点. （1）求的值；（2）为极点，A ，B 为C 上的两点，且，求的最大值.1 9.（本题满分12分）某中学一名数学老师对全班名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分分），其中分（含分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：（I）根据以上两个直方图完成下面的列联表：（II）根据中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？（Ⅲ）若从成绩在的学生中任取人，求取到的人中至少有名女生的概率．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）【解析】试题分析：(Ⅰ)每一个小矩形的面积，表示此分数段的频率，频率=人数，将不同等级的燃烧，填入表格；（Ⅱ）根据表格，计算相关系数，根据表，得到结论；（Ⅲ）根据频率分布直方图得到成绩在的学生共有男生4人，女生2人，取到2人至少有1名女生的对立事件是2人都是男生，所以可以先按对立事件计算概率，然后用1减.试题解析：解：(1)成绩性别优秀不优秀总计男生13 10 23女生7 20 27总计20 30 50……………4分20.（本小题满分12分）如图，是半圆的直径，是半圆上除、外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，∥，，，．⑴证明：平面平面；⑵当三棱锥体积最大时，求二面角的余弦值．【答案】(1)详见解析；（2）.【解析】试题分析：(1)根据面面垂直的判定定理，线面垂直，则面面垂直，，所以证明平面,又可证明,得证；（2）第一步，要先证明点在什么位置时，体积最大，首先根据上一问的垂直关系，和即，可以判断与二面角的平面角互补二面角的余弦值为.…………………12分考点：1.面面垂直的判定定理；2.空间向量求二面角；3.基本不等式求最值.21.已知中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆过点,且它的离心率.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)与圆相切的直线交椭圆于两点,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(Ⅱ) 因为直线:与圆相切22.（本小题满分12分）已知函数，（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若k为正常数，设，求函数的最小值；（Ⅲ）若，证明：.【答案】(Ⅰ)的单调递增区间是，单调递减区间是;(Ⅱ)；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：利用导数考察函数的综合问题，（Ⅰ）第一步，求函数的导数，定义域，第二步，求函数的极值点，并判断导数的正负区间，即单调区间；（Ⅱ）首先求函数和函数的定义域，然后求函数的导。
2019—2020学年度高二数学下学期期末考试测试卷(含答案解析)
所以抛物线为
。
设点
，因为
，
所以过点 P 的切线 EF 的方程为
，
。设边缘线 所在的抛
令 ，得
；令 得
所以
的面积为
，
即
，
而
=
由
得，
，
； [来源:学,科,网 Z,X,X,K]
所以 在
上是增函数，在
上是减函数，
所以 S 在
上有最大值
。
三、解答题
17．（1）
（2）1
18．（1）a＝﹣3，b＝﹣9，c＝2；（2）f（x）最小值＝﹣25，f（x）最大值＝2.
恒成立，求实数 a 的取值范围．
21．已知函数
（a＞0）．
（1）讨论函数 f（x）的单调性；
（2）证明：对任意 x∈[1，＋∞），有 f (x) 2x a2 ．
22．已知函数
.
（1）若函数 在
上是增函数，求正数 的取值范围；
（2）当 时，设函数 的图象与 x 轴的交点为 ， ，曲线
分别为 ， ，求证： + <0
16．国务院批准从 2009 年起，将每年 8 月 8 日设置为“全民健身日”，为
响应国家号召，各地利用已有土地资源建设健身场所．如图，有一个长
方形地块
，边 为 ， 为 ．地块的一角是草坪（图中阴
影部分），其边缘 线 是以直线 为对称轴，以 为顶点的抛物线的一部
分．现要铺设一条过边缘线 上一点 的直线型隔离带 ， ， 分别在
在 ， 两点处的切线斜率
[来源
参考答案
一、选择题 1．C 2．C 3．D 6．B 7．D 8．D 9．D 11. 【详解】
4． C 10．A
江苏省2019-2020年高二下学期期末考试数学试题
第二学期普通高中教学质量监控高二数学试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至3页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
第Ⅰ卷选择题部分（共60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
不能答在试题卷上。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 双曲线的焦点坐标是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意求出，则，可得焦点坐标详解：由双曲线，可得，故双曲线的焦点坐标是选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题.2. 下列命题错误的是A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交【答案】D【解析】分析：利用空间中线线、线面间的位置关系求解．详解：A. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与平行，正确；B. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与异面，正确；C. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与垂直，正确，可能异面垂直；D. 若直线平行于平面，则平面内存在直线与相交，错误，平行于平面，与平面没有公共点.故选D.点睛：本题主要考查命题的真假判断，涉及线面平行的判定和性质，属于基础题．3. “”是“方程所表示的曲线是椭圆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分析：根据椭圆的方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．详解：若方程表示的曲线为椭圆，则，且，反之，“”不能得到方程所表示的曲线是椭圆”，如故“”是“方程所表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件.选B.点睛：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属基础题.．4. 如图，在正方体中，分别是,的中点，则四面体在平面上的正投影是A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正投影的概念判断即可.详解：根据正投影的概念判断选C.选C.点睛：本题考查正投影的概念，需基础题.5. 若二次函数图象的顶点在第四象限且开口向上，则导函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：先根据二次函数的判断出的符号，再求导，根据一次函数的性质判断所经过的象限即可．详解：∵函数的图象开口向上且顶点在第四象限，∴函数的图象经过一，三，四象限，∴选项A符合，故选：A．点睛：本题考查了导数的运算和一次函数，二次函数的图象和性质，属于基础题．6. 已知函数，若，则A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：求出函数的导数，由可求得.详解：函数的导数，由可得选D.点睛：本题考查函数的导函数的概念及应用，属基础题.7. 由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有A. 6 个B. 8个C. 10个D. 12个【答案】B然后求数字0，2相邻的情况：，先把0，2捆绑成一个数字参与排列，再减去0在千位的情况，由此能求出其中数字0，2相邻的四位数的个数．最后，求得0与2不相邻的四位数详解：由数字0，1，2，3组成没有重复数字的四位数有：．其中数字0，2相邻的四位数有：则0与2不相邻的四位数有。
2019—2020学年度下学期期末考试高二数学试题+答案+评分标准
高二数学 第 6 页 共 6 页2019—2020学年度下学期期末考试高二数学试题考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、不等式02≤-x x 的解集为M ，函数)1ln()(x x f -=的定义域为N ，则N M 为（ ）A 、(]0,1-B 、()1,0C 、[]1,0D 、[)1,02、设是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（ ） A 、2 B 、-2 C 、 D 、3、2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（ ） A 、14 B 、13 C 、23 D 、344、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足 m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）。
已知太阳的星等是−26.7， 天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A 、1010.1 B 、10.1 C 、lg10.1 D 、10−10.15、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：i 12-12高二数学 第 6 页 共 6 页根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A 、63.6万元B 、65.5万元C 、67.7万元D 、72.0万元6、已知函数)(x f 在R 上可导，且)2(2)(2f x x x f '+=，则)1(-f 与)1(f 的大小关系为（ ）A 、)1()1(f f =-B 、)1()1(f f >-C 、)1()1(f f <-D 、不确定7、在复平面内，复数z =a +bi(a ∈R,b ∈R)对应向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ （O 为坐标原点），设|OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=r ，以射线Ox 为始边，OZ 为终边逆时针旋转的角为θ，则z =r (cosθ+isinθ)，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z 1=r 1(cosθ1+isinθ1)，z 2=r 2(cosθ2+isinθ2)，则z 1z 2=r 1r 2[cos (θ1+θ2)+isin (θ1+θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：z n =[r (cosθ+isinθ)]n =r n (cosnθ+isinnθ)，则(−1+√3i)10=（ ）A 、1024−1024√3iB 、−1024+1024√3iC 、512−512√3iD 、−512+512√3i8、已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax=b 的充要条件是（ ）A 、∃x ∈R,12ax 2−bx ≥12ax 02−bx 0B 、∃x ∈R,12ax 2−bx ≤12ax 02−bx 0C 、∀x ∈R,12ax 2−bx ≥12ax 02−bx 0D 、 ∀x ∈R,12ax 2−bx ≤12ax 02−bx 0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
江苏省名校2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．2．已知：()2X N μ,δ～，且EX 5=，DX 4=，则P(3x 7)(<≤≈ ) A ．0.0456 B ．0.50 C ．0.6826 D ．0.95443．已知函数()(ln )()xe f x k x x k R x=-+∈，如果函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是A ．(]0,1B ．(],1-∞C ．(],e -∞D ．[),e +∞ 4．设123log 2,ln 2,5a b c -===则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 5．已知幂函数()()22322n n f x n n x -=+- ()n Z ∈的图象关于y 轴对称，且在()0,+∞上是减函数，则n =（ ）A ．3--B ．1或2C ．1D ．26．已知直线y ＝3x ﹣1与曲线y ＝ax+lnx 相切，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 7．()i 23i +=A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+ 8．若复数z 满足()211z i i -=+，其中i 为虚数单位，则z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的22⨯列联表．根据列联表的数据判断有多少的把握认为“成绩与班级有关系”（ ）优秀 非优秀 合计 甲班10 50 60 乙班20 30 50 合计30 80 110临界值表：()2P K k ≥ 0.100 0.050 0.0250.010 0.001 k 2.706 3.841 5.0246.635 10.828 参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++． A ．90% B ．95% C ．99% D ．99.9%10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设(),,0a b m m > 为整数，若a 和b 被m 除得的余数相同，则称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡．若0122202020202020222a C C C C =+⋅+⋅++⋅，()mod8a b ≡，则b 的值可以是A ．2015B ．2016C ．2017D ．201811．把一枚质地均匀、半径为1的圆形硬币抛掷在一个边长为8的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（ ）A ．18B ．916C ．4πD ．151612． “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>， O 为坐标原点， A ， B 为抛物线上的点，若OAB 为等边三角形，且面积为483p 的值为__________．14．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为___15．在621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,第4项的二项式系数是______（用数字作答）. 16．若28C x ＝3828C x -，则x 的值为_______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知数列{}n a 中，11a =，136n n na a a +=-. （1）写出234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.18．函数()x m f x e +=，()2x x g x e=，实数m 为常数. （I ）求()g x 的最大值；（II ）讨论方程()()20x f x e g x +=的实数根的个数. 19．（6分）已知圆C ：22230x y mx +--=(R)m ∈． （Ⅰ）若1m =，求圆C 的圆心坐标及半径；（Ⅱ）若直线:0l x y -=与圆C 交于A ，B 两点，且AB 4=，求实数m 的值．20．（6分）已知直线l 过点M （﹣3，3），圆()22:40C x y y m m R +++=∈． （Ⅰ）求圆C 的圆心坐标及直线l 截圆C 弦长最长时直线l 的方程；（Ⅱ）若过点M 直线与圆C 恒有公共点，求实数m 的取值范围．21．（6分）已知抛物线Ω：24y x =的焦点为F ，过F 作互相垂直的直线AB ,CD 分别与Ω交于点A 、B 和C 、D .（1）当AB 的倾斜角为45时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.22．（8分）3名男生、2名女生站成一排照相：（1）两名女生都不站在两端，有多少不同的站法？（2）两名女生要相邻，有多少种不同的站法？参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A【解析】【分析】 把函数为增函数，转化为在上恒成立，得到，构造新函数，利用导数求得的单调性与最值，即可求解.【详解】 由题意，函数为增函数， 则在上恒成立，则， 设 则 令，得到 ，则函数 在上单调递增，在上单调递减，则， 即的取值范围是，故选A.【点睛】 本题主要考查了利用函数的单调性与极值（最值）求解参数问题，其中解答中根据函数的单调性，得到，构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.2．C【解析】分析：由题目条件，得随机变量x 的均值和方差的值，利用375252P x P x ≤=-≤+（＜）（＜），即可得出结论．．详解：由题意，52μδ==，，3752520.682?6P x P x （＜）（＜）．≤=-≤+≈ 故选：C ． 点睛：本题主要考查正态分布的参数问题，属于基础题，正态分布涉及到连续型随机变量的分布密度，是概率统计中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布．3．C【解析】分析：求函数()f x 的导函数，并化简整理，结合函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数()f x 的定义域为(0, +∞)∴()()()22111x x x x e kx xe e f x k x x x ---⎛⎫=-+= ⎪⎝'⎭ ①当0k ≤时，0x e kx ->恒成立，令()'0f x >，则1x >，即()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，则()f x 在1x =处取得极小值，符合题意；②当0k >时，1x =时'0f x ，又函数()f x 在定义域为(0, +∞)只有一个极值点，∴()f x 在1x =处取得极值.从而0x e kx ->或0x e kx -<恒成立，构造函数()(),xh x e g x kx ==， ()x h x e '=，设()g x kx =与()x h x e =相切的切点为()00,x x e ，则切线方程为()000x x y e e x x -=-， 因为切线过原点，则()00000x x e ex -=-，解得01x =， 则切点为()1,e此时k e =.由图可知：要使0x e kx ->恒成立，则k e ≤.综上所述：(],k e ∈-∞.故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点．所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点．4．C【解析】【分析】 由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log 3,2254a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <． 又3311log 2log 3,2254a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.5．C【解析】分析：由22221,3n n n n +-=-为偶数，且230n n -<，即可得结果. 详解：幂函数()()()22322n n f x n n x n Z -=+-∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上是减函数，22221,3n n n n ∴+-=-为偶数，且230n n -<，解得1n =，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力. 6．B【解析】【分析】对函数求导，设切点()00,x y ，表示出切线方程，与已知切线相同，从而得到关于a 和0x 的方程组，解出a 的值.【详解】设切点()00,x y ，因为ln y ax x =+，所以1y a x '=+所以切线斜率01k a x =+ 则切线为()()00001ln y ax x a x x x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭整理得001ln 1y a x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ 又因为切线方程为31y x =- 所以得0013ln 11a x x ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩ 故选B 项.【点睛】本题考查利用导数的几何意义，未知切点表示切线方程，属于中档题.7．D【解析】分析：根据公式21i =-，可直接计算得(23)32i i i +=-+详解：2i(23i)2i 3i 32i +=+=-+ ，故选D.点睛：复数题是每年高考的必考内容，一般以选择或填空形式出现，属简单得分题，高考中复数主要考查的内容有：复数的分类、复数的几何意义、共轭复数，复数的模及复数的乘除运算，在解决此类问题时，注意避免忽略21i =-中的负号导致出错.8．B【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标即可得到结论.详解：()211z i i -=+， ()()()221i i 1i1i 2i 2i 1i z +++∴===---1i 11i 222-+==-+， z ∴在复平面内所对应的点坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限，故选B. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.9．C【解析】【分析】计算出2K 的观测值，利用临界值表找出犯错误的概率，可得出“成绩与班级有关系”的把握性.【详解】由表格中的数据可得()22110103020507.48660503080K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 所以，()2 6.6350.01P K ≥=，因此，有99%的把握认为“成绩与班级有关系”， 故选C.【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，解题的关键就是计算出2K 的观测值，并利用临界值表找出犯错误的概率，考查计算能力，属于基础题.10．C【解析】分析：首先求得a 的表达式，然后列表猜想205的后三位数字，最后结合除法的性质整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得：()()20202021385a =+==-，结合二项式定理可得： ()()()()0119200201191912002020202085858585a C C C C =⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-，计算()*5n n N ∈的数值如下表所示：底数指数幂值5 1 55 2 255 3 1255 4 6255 5 31255 6 156255 7 781255 8 3906255 9 19531255 10 9765625据此可猜想205最后三位数字为625，则：205除以8的余数为1，所给选项中，只有2017除以8的余数为1，则b的值可以是2017.本题选择C选项.点睛：本题主要考查二项式定理的逆用，学生归纳推理的能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．B【解析】分析：求出硬币完全落在托盘上硬币圆心所在区域的面积，求出托盘面积，由测度比是面积比得答案.详解：如图：要使硬币完全落在托盘上，则硬币圆心在托盘内以6为边长的正方形内，硬币在托盘上且没有掉下去，则硬币圆心在托盘内，由测度比为面积比可得，硬币完全落在托盘上的概率为6698816 P⨯==⨯.故选B.点睛：本题考查几何概型概率的求法，正确理解题意是关键，是基础题.12．D【解析】【分析】【详解】选项A 错，并无周期变化，选项B 错，并不是不断减弱，中间有增强．C 选项错，10月的波动大小11月分，所以方差要大．D 选项对，由图可知，12月起到1月份有下降的趋势，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．选D.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．2【解析】设11(,)B x y ，22(,)A x y ，∵||||OA OB =，∴22221122x y x y +=+．又2112y px =，2222y px =， ∴2221212()0x x p x x -+-=，即2112()(2)0x x x x p -++=．又1x 、2x 与p 同号，∴1220x x p +=≠．∴210x x -=，即12x x =．根据抛物线对称性可知点B ，A 关于x 轴对称，由OAB 为等边三角形，不妨设直线OB的方程为3y x =，由22y x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得(6,)B p ，∴OB ==．∵OAB的面积为2)= 解得24p =，∴2p =．答案：2点睛：本题考查抛物线性质的运用，解题的关键是根据条件先判断得到点A,B 关于x 轴对称，然后在此基础上得到直线直线OB （或OA ）的方程，通过解方程组得到点B （或A ）的坐标，求得等边三角形OAB 的边长后，根据面积可得2p =．14．1【解析】【分析】 确定系统抽样间隔，根据样本中含编号为28的产品，即可求解，得到答案．【详解】 由系统抽样知，抽样间隔， 因为样本中含编号为28的产品，则与之相邻的产品编号为12和44，故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，1，即最大编号为1．【点睛】本题主要考查了系统抽样的应用，其中解答中熟记系统抽样的方法，确定好抽样的间隔是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．20【解析】【分析】利用二项式的通项公式即可求出.【详解】 二项式621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：62361661()()(1)r r r r r r r T C x C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅. 令3r =, 所以第4项的二项式系数是3620C = 故答案为：20【点睛】本题考查了二项式某项的二项式系数,解决本题要注意与二项式某项的展开式系数的不同.16．4或9.【解析】分析：先根据组合数性质得383828x x x x 或=-+-=，解方程得结果详解：因为28C x ＝3828C x -，所以383828x x x x 或=-+-=因此49.x x ==或点睛：组合数性质：11111,,.m n m m m m k k n n n n n n n C C C C C kC nC -++-+-=+==三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）235a =，313a =，4317a =，猜想321n n a =+（2）见解析 【解析】【分析】（1）依递推公式计算234,,a a a ，并把各分子都化为3，可归纳出n a ；（2）用数学归纳法证明即可．【详解】解：（1）11a =，136n n n a a a +=-，∴235a =，33193a ==，4317a =， 猜想321n n a =+ （2）用数学归纳法证明如下： ①当1n =时，由13121a ==+知猜想成立； ②假设()*n k k N =∈时，猜想成立，即321k k a =+ 则()()119393321362162132211621k k k k k k k k a a a +++=====-++-+--+ ∴1n k =+时，猜想成立，根据①②可知，猜想对一切正整数n 都成立.【点睛】本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明1n k =+时的命题时一定要用到n k =时的归纳假设，否则不是数学归纳法．18．（Ⅰ）2e（Ⅱ）见解析 【解析】【分析】（1）直接对函数()g x 进行求导，研究函数的单调性，求最大值；（2）对方程根的个数转化为函数零点个数，通过对参数m 进行分类讨论，利用函数的单调性、最值、零点存在定理等，判断函数图象与x 轴的交点个数.【详解】（Ⅰ）()2x x g x e =的导数为()()21x x g x e-'=. 在区间(),1-∞，()0g x '>，()g x 是增函数；在区间()1,+∞上，()0g x '<，()g x 是减函数. 所以()g x 的最大值是()21g e=. （Ⅱ）()()211x m x m x xe f x e e g x x x++++=+=，方程()()20x f x e g x +=的实数根个数，等价于函数()1x m h x xe +=+的零点个数.()()1x m h x x e +'=+.在区间(),1-∞-上，()0h x '<，()h x 是减函数；在区间()1,-+∞上，()0h x '>，()h x 是增函数.()h x 在1x =-处取得最小值()111m h e --=-.①当1m <时，()()10h x h ≥->，()h x 没有零点；②当1m =时，()h x 有唯一的零点；③当1m 时，在区间()1,-+∞上，()h x 是增函数，并且()1110m h e --=-<.()010h =>，所以在区间()1,-+∞上有唯一零点；在区间(),1-∞-上，()h x 是减函数，并且()1110m h e --=-<，()22221110m m m h m m e e--=-+=->->，所以在区间(),1-∞-上有唯一零点. 综上所述，当1m <时，原方程没有实数根；当1m =时，原方程有唯一的实数根；当1m 时，原方程有两个不等的实数根.【点睛】在使用零点存在定理时，证明在某个区间只有唯一的零点，一定要证明函数在该区间是单调的，且两个端点处的函数值相乘小于0；本题对数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等进行综合考查，对解决问题的综合能力要求较高.19． (Ⅰ)2214x y -+=（），圆心坐标为1,0（），半径为2；(Ⅱ)m =【解析】【分析】(Ⅰ)将m=1代入圆C 的方程，化为标准方程的形式，即可得到圆心坐标和半径；(Ⅱ)将圆C 化为标准方程222()3x m y m -+=+，圆心到直线l圆的半径已知，||4AB =，则有2243m +=+，解方程即得m 。
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案
2019-2020年高二下学期期末考试数学试题 含答案一、选择题（共12小题，共60分） 1．设，则下列不等式一定成立的是（ ） (A) (B) (C) (D)2．已知实数x ，y 满足，则z ＝4x ＋y 的最大值为( ) A 、10 B 、8 C 、2 D 、03．若不等式组0220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.或4．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．2975．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 7．已知，则“”是“成立”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．已知变量x,y 满足约束条件 则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．(3,6] 9．当时，的最小值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．16 10．已知实数满足，则目标函数的最大值为（ ） A ． B ． C ． D ． 11．在中，内角的对边分别为，若,,,则等于( )A ．1B ．C ．D ．2 12．已知数列是公比为2的等比数列，若，则= ( )A ．1B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题）二、填空题（4小题，共20分）13．已知向量，若⊥，则16x +4y 的最小值为 ．14．在锐角中,，三角形的面积等于，则的长为___________. 15．已知数列中，，，则=___________. 16．不等式的解是___________. 三、解答题（8小题，共70分）17．已知等比数列{a n }满足：a 1=2，a 2•a 4=a 6． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）记数列b n =，求该数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知数列的各项均为正数，是数列的前n 项和，且． （1）求数列的通项公式；（2）n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．19．在中，已知内角，边.设内角,面积为. (1)若，求边的长； (2)求的最大值. 20．等差数列中，，（），是数列的前n 项和. （1）求；（2）设数列满足（），求的前项和．21．已知的三个内角成等差数列，它们的对边分别为，且满足，． （1）求；（2）求的面积．22．已知函数，且的解集为． （1）求的值；（2）若，且，求证：． 23．已知数列满足首项为，，．设，数列满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列的前项和． 24．已知正实数、、满足条件， （1）求证：；（2）若，求的最大值．参考答案 1．D 【解析】试题分析：本题主要考查不等式的性质，在不等式的性质中，与乘除相关的性质中有条件“均为正数”，否则不等式不一定成立，如本题中当都是负数时，都不成立，当然只能选D ，事实上由于函数是增函数，故是正确的． 考点：不等式的性质． 2．B 【解析】试题分析：画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z ＝4x ＋y 取得最大值为8考点：线性规划. 3．D【解析】根据0220x y x y y -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩画出平面区域（如图1所示），由于直线斜率为，纵截距为，自直线经过原点起，向上平移，当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图2所示）；当时，0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个四边形区域（如图3所示），当时，220x y x y y x y a-≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形区域（如图1所示），故选D.图1 图2 图3 考点：平面区域与简单线性规划. 4．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.5．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 6．B【解析】由已知及等差数列的性质得， 所以，19464699(a a )9(a a )13,9,S 99,22a a ++=====选B. 考点：等差数列及其性质，等差数列的求和公式.7．B【解析】解得其解集，解得， 因为，所以，”是“成立”的必要不充分条件，选. 考点：充要条件，一元二次不等式的解法. 8．A 【解析】试题分析：画出可行域，可理解为可行域中一点到原点的直线的斜率,可知可行域的边界交点为临界点（），（）则可知k ＝的范围是. 考点：线性规划，斜率. 9．D 【解析】试题分析：因为所以＝16.考点：基本不等式的应用.10．C【解析】试题分析：作出可行域如图：再作出目标函数线，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点时纵截距最小但最大，此时.故C正确.考点：线性规划问题.11．A【解析】试题分析：由正弦定理得，即。
2019-2020学年淮安市高二下期末考试数学试卷(文)含解析
淮安市高二第二学期期末调研测试数学试题（文）填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合，集合，则__________.【答案】【解析】由交集的定义可得.2. 已知是虚数单位，若是实数，则实数_______.【答案】4【解析】由复数的运算法则：,该数为实数，则： .3. 若函数的最小正周期为，则正数的值为___________【答案】3【解析】由正弦型函数的最小正周期公式可得： .4. 函数的定义域为________.【答案】【解析】函数有意义，则：，求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为.点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．5. 若角的终边经过点，则的值为_____________.【答案】【解析】试题分析：根据三角函数定义：，其中，所以考点：三角函数定义6. 已知幂函数的图象经过点，则的值为___________.【答案】2【解析】设幂函数的解析式为：，则：，即：.7. 已知函数，则_________.【答案】【解析】由函数的解析式有：，...则： .8. 已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为___________.【答案】【解析】设扇形的弧长为，则：，则此扇形的周长为.9. 函数的单调递增区间为_____________.【答案】（0，1）【解析】函数有意义，则：，且：，由结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为（0，1）.10. 已知，且，则___________.【答案】【解析】由题意可得：,结合角的范围和同角三角函数可知：，即.11. 已知函数在区间上存在零点，则___________.【答案】5【解析】函数的零点满足：,即：，绘制函数的图象观察可得 .12. 已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】由题意可得，函数是定义在区间上的减函数，不等式即：，据此有：，求解关于实数t的不等式可得实数的取值范围为.点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．13. 函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.【答案】3...【解析】当时，不等式即：，令，则，函数在区间内单调递减，，此时，同理当时可得，则实数的取值为3.14. 已知函数对任意的，都有，求实数的取值范围__________.【答案】【解析】问题等价于在区间上，，分类讨论：当时，函数在区间上单调递增，则：，即，此时；当时，函数在区间上单调递减，则：，即，此时，当时，不等式明显成立，综上可得实数的取值范围是.二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15. 已知复数，（为虚数单位，）（1）若复数在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数的值；（2）当实数时，求的值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数,m的方程，解方程可得；(2)首先求得复数z的值为，然后利用复数模的运算法则可得的值为.试题解析：（1）因为复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，所以，解得.（2）当实数时，.，所以的值为.16. 已知函数（1）化简；...（2）若，求，的值.【答案】(1) (2) ，【解析】试题分析：(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得(2)利用同角三角函数基本关系结合题意可得，.试题解析：(1)(2)由，平方可得，即. ，，又，，，,.17. 已知函数的部分图象如图所示（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在区间上的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)首先求得函数的解析式为.据此可得函数的单调递减区间为；(2)由函数的定义域结合(1)中的解析式可得的取值范围是.试题解析：（1）由图象得A=2. 最小正周期T=.,由得，，又得，所以，所求函数的解析式为.由得.所以，函数的单调减区间为.（2），即的取值范围是.点睛：三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．...18. 生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需要另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完 .（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大.【答案】(1) (2) 当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.【解析】试题分析：(1)由题意将利润函数写成分段函数的形式：(2)利用导函数讨论函数的单调性，结合函数的定义域可得当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.试题解析：(1)因为每件．．商品售价为万元,则千件．．商品销售额为万元,依题意得，当时,=当时,.(2)当时, .，.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950（万元）当时, ，当且仅当,即x=100时,L(x)取得最大值1000（万元）. 因为，所以当年产量为100千件时,生产该商品获利润最大.答：当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.19. 已知函数是奇函数.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性并说明理由；（3）当时，函数的值域为，求实数的值.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】试题分析：(1)由奇函数的定义可得；(2)利用题意结合函数单调性的定义可得当时在上是减函数，当时在上是增函数；(3)利用题意分类讨论可得.试题解析：（1）由已知条件得对定义域中的均成立，所以,即即对定义域中的均成立，得，当时显然不成立，所以. ...（2）由（1）知，其定义域为设，当时，，所以；当时，，即，所以当时在上是减函数，同理：当时在上是增函数；（3），其定义域为，(i) ,所以在上为增函数，要使值域为，则（无解）.(ii) ，则，所以在上为减函数，要使值域为，则所以.20. 已知函数（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值；（3）若存在，当时，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)见解析（3）【解析】试题分析：(1)利用题意首先求得函数的解析式，然后利用导函数与切线的关系可得切线方程为.(2)由函数的解析式对参数分类讨论即可求得函数的极值；(3)分离系数后构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围是.试题解析：（1）当时，=.令，又为偶函数，所以，当时，，由点斜式方程得切线方程为.（2）由已知.所以，当所以上单调递增，无极值.若，则当，...当，所以，当时，,无极小值.（3）由已知，令 ,当时恒成立.,,即，不合题意.解得，.当从而当即，综上述，.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。
江苏省淮安市淮阴区开明中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析
江苏省淮安市淮阴区开明中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，若AC=BD=2，且AC与BD成60°，则四边形EFGH的面积为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】平面的基本性质及推论．【分析】如图所示，由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，利用三角形中位线定理可得四边形EFGH是平行四边形，同理可得AC，可得四边形EFGH是菱形．根据AC与BD成60°，可得∠FEH=60°或120°．可得四边形EFGH的面积．【解答】解：如图所示，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EH∥FG∥BD，EH=FH=AC=1．∴四边形EFGH是平行四边形，同理可得AC=1，∴四边形EFGH是菱形．∵AC与BD成60°，∴∠FEH=60°或120°．∴四边形EFGH的面积==．故选：B．2. 已知定义域为的函数满足，且当时，单调递增，如果且，则的值（）A、恒大于0B、恒小于0C、可能为0D、可正可负参考答案：B3. 过点(0, 2)与抛物线只有一个公共点的直线有 ( )A 1条B 2条C 3条 D无数条参考答案：C略4. 在一次射击比赛中，“某人连续射击了8次，只有4枪中靶，且其中3枪是连续命中的”，则这一事件发生的概率是A. B. C. D.参考答案：A5. 若如图所示的程序框图输出的S的值为126，则条件①为( )A．n≤5? B．n≤6? C．n≤7? D．n≤8?参考答案：B6. 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…按照上面的规律，第个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A． B． C． D．参考答案：C7. 定义在上的单调递减函数，若的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.参考答案：A略8. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值．【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0）∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1）可得?=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=， =3，向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角，设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ==故选A【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题．9. 已知回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为（）A．y=1.2x﹣0.2 B．y=1.2x+0.2 C．y=0.2x+1.2 D．y=0.2x﹣0.2参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线经过样本中心点，代入样本中心点的坐标求得回归系数值，可得回归直线方程．【解答】解：∵回归直线=x+的估计值为0.2，样本点的中心为（4，5），∴5=4+0.2，∴=1.2∴回归直线方程为y=1.2x+0.2．故选：B．10. 若直线（）A.1B.-1C.D.参考答案：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1各个表面的对角线中，与直线异面的有__________条;参考答案： 6 略12. 已知tanα=，则tan2α=．参考答案：考点： 二倍角的正切． 专题：三角函数的求值．分析： 由条件利用二倍角的正切公式，求得tan2α的值．解答：解：∵tanα=，∴tan2α===，故答案为：点评： 本题主要考查二倍角的正切公式的应用，属于基础题．13. 已知抛物线C ：的焦点为F ，准线是，点P 是曲线C 上的动点，点P 到准线的距离为，点，则的最小值为 ．参考答案：14. 随机变量的分布列如下：其中a ，b ，c 成等比数列，若，则的值为__________．参考答案：【分析】根据分布列可得，再根据及数学期望可解出，再根据公式计算方差.【详解】，所以，又且，所以，解得∴.故填.【点睛】本题考查离散型随机变量概率分布列的性质、数学期望和方差的计算，属于基础题.15. 已知p ：|x －3|≤2， q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0， 若是的充分而不必要条件，则实数m 的取值范围是____________．参考答案：[2,4] 略16. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程为__________. 参考答案：略17. 如图，将全体正奇数排成一个三角形数阵，根据以上排列规律，数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是．参考答案：95【考点】归纳推理．【分析】斜着看，根据数阵的排列规律确定第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数即可．【解答】解：根据三角形数阵可知，斜着看，第n斜行奇数的个数为n个，则前n﹣1斜行奇数的总个数为1+2+3+…+（n﹣1）=，则斜着看，第10行（n≥3）从左向右的第3个数为第+3=48个奇数，所以数阵中第8行（从上向下数）第3个数（从左向右数）是2×48﹣1=95．故答案为95．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省淮阴中学高二下学期期末考试(数学理)
江苏省淮阴中学-第二学期期末考试高二数学试题（理科）一、填空题：1．5)121(+x 的二项展开式中x 3的系数为____▲_____.2．已知{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是___▲___.3．已知幂函数αkx x f =)(的图象过点)22,21(，则=+αk ____▲_____. 4．有5件不同的产品排成一排，其中A 、B 两件产品排在一起的不同排法有___▲___种.5．三个数60．7，0．76，log 0．76中，最大的数是____▲_____.6．已知x x f x f 3)1(2)(=+，则=)2(f ____▲_____. 7．定义)(21),(b a b a b a F -++=，若2)(,)(2+-==x x g x x f ，则 ))(),((x g x f F 的最小值为____▲_____.8．已知,0>x 则xx y 22+=的最小值为____▲_____. 9．方程012=+-mx x 的两根为βα,，且1,12αβ<<<，则实数m 的取值范围是 ____▲_____.10．已知)(x f 12-=x 的定义域为],[b a ，值域为]21,0[，则a b -的最大值为___▲___.11．已知}0log {2=+∈x x x a ，则)32(log )(2--=x x x f a 的增区间为____▲_____.12．已知函数)(x f x x +=1，若0)1()sin (>-+m f m f θ对]2,0[πθ∈恒成立，则实数m 的取值范围是____▲_____.13．已知映射B ，A f →：,,R B R A ==+xx y x f 1ln +=→：，若,B k ∈且k 在A 中没有原象，则k 的取值范围是____▲_____.14．函数)(x f b a x x -++=2的图象上存在点))(,(11x f x P 对任意]3,1[-∈a 都不在x 轴的上方，则b 的最小值为____▲_____.二、解答题：15．已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．16．若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3cos 2πθρ，它们相交于B A ,两点，求线段AB 的长．17．设p 为常数，函数)(x f )1(log )1(log 22x p x ++-=为奇函数。
2019-2020学年江苏省淮安市数学高二下期末质量检测试题含解析
2019-2020学年江苏省淮安市数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ） A ．12种 B ．24种 C ．48种 D ．60种【答案】D 【解析】 【分析】直接根据乘法原理得到答案. 【详解】根据乘法原理，一共有54360⨯⨯=种选法. 故选：D . 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题.2．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意12,[0,)x x ∈+∞，12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，且对于任意的[1,3]t ∈，都有2()(2)0f mt t f m -+>恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A ．13m <B ．311m <C．4m <D ．103m <<【答案】B 【解析】 【分析】由()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦可判断函数为减函数，将2()(2)0f mt t f m -+>变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，再将函数转化成恒成立问题即可【详解】()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，又()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x ∴为R 上减函数，故2()(2)0f mt t f m -+>可变形为2()(2)(2)f mt t f m f m ->-=-，即2()(2)f mt t f m ->-，根据函数在R 上为减函数可得22mt t m -<-，整理后得2212t m t t t+<=+，2y t t=+在t ∈为减函数，t ∈为增函数，所以112y t t=+在t ∈为增函数，t ∈为减函数2212t m t t t +<=+在[1,3]t ∈恒成立，即1min m y <，当3t =时，1y 有最小值311所以311m <答案选B 【点睛】奇偶性与增减性结合考查函数性质的题型重在根据性质转化函数，学会去“f ”；本题还涉及恒成立问题，一般通过分离参数，处理函数在某一区间恒成立问题3．命题“*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x ≥”的否定形式是（ ） A ．*,x R n N ∀∈∃∈，使得2n x < B ．*,x R n N ∀∈∀∈，使得2n x < C ．*,x R n N ∃∈∃∈，使得2n x < D ．*,x R n N ∃∈∀∈，使得2n x <【答案】D 【解析】试题分析：∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ． 【考点】全称命题与特称命题的否定．【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定． 4．已知函数()y f x =的导数是()'y f x =，若()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，则( )A ．23f f >B ．()21f f<C ．()432f f <D ．()()412f f >【答案】D 【解析】分析：由题意构造函数()()()20f x g x x x=>，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令()()()20f x g x x x=>，则：()()()()()243'2'2'f x x f x xxf x f x g x xx⨯-⨯-==，由()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，可得()'0g x <在区间()0,∞+内恒成立， 即函数()g x 是区间()0,∞+内单调递减，据此可得：()()12g g >，即()()221212f f >，则()()412f f >.本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.5．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若301C c a =︒==，，ABC ∆的面积为A ．4B ．2C ．34D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求出b 的值，再求三角形的面积. 【详解】在ABC ∆中，301C c a =︒==，， 由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅， 即2320b b -+=， 解得：1b =或2b =.∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.∴ABC ∆的面积为111sin 12224ab C =⨯=. 故选A. 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．3B ．-6C ．10D ．12 【答案】C 【解析】 试题分析：当时，为奇数，，；当时，为偶数，，； 当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，； 当时，输出． 考点：程序框图．7．已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈，且(2)()k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为 A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】由2x >,则()()2k x f x -<= ln x x x +可化简为ln 2x x xk x +<-,构造函数()ln ,22x x x g x x x +=>-,()()()()()()22ln 22ln 2ln 422x x x x x x x g x x x +--+--==-'-,令()()222ln 4,10x h x x x h x x x-=--=-='>则,即()h x 在()2,+∞单调递增,设()00h x =,因为()842ln80h =-<,()952ln90h =->,所以089x <<,且004ln 2x x -=,故()g x 在()02,x 上单调递减, ()0,x +∞上单调递增,所以()()00000000min004·ln 924,2222x x x x x x x g x g x x x -++⎛⎫====∈ ⎪--⎝⎭,又()min k g x <,4k ∴≤,即k 的最小值为4,故选B.点睛:本题考查函数的恒成立和有解问题,属于较难题目.首先根据自变量x 的范围,分离参数和变量,转化为新函数g(x)的最值,通过构造函数求导判断单调性,可知()g x 在()02,x 上单调递减, ()0,x +∞上单调递增,所以()()0min g x g x =,且004ln 2x x -=,089x <<,通过对最小值化简得出()0g x 的范围,进而得出k 的范围.8．如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形,高为3,由此可求得几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为【点睛】本题主要考查三视图的还原，几何体的表面积的计算，难度一般，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力.9． “四边形是矩形，四边形的对角线相等”补充以上推理的大前提是（ ） A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形【答案】B【解析】 【分析】根据题意，用三段论的形式分析即可得答案． 【详解】根据题意，用演绎推理即三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据， ∵由四边形是矩形，得到四边形的对角线相等的结论， ∴大前提一定是矩形都是对角线相等的四边形，故选B ． 【点睛】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握演绎推理的形式，属于基础题.10．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式，由充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果. 【详解】因为{}n a 是公比为q 的等比数列，若1n n a a +>对任意*N n ∈成立，则111n n a q a q ->对任意*N n ∈成立，若10a >，则1q >；若10a <，则01q <<；所以由“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”不能推出“1q >”；若1q >，10a <，则111n n a q a q -<，即1n n a a +<；所以由“1q >”不能推出“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”； 因此，“1n n a a +>对任意*N n ∈成立”是“1q >”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查既不充分也不必要条件的判断，熟记概念即可，属于基础题型.11．在四边形ABCD 中，如果0AB AD ⋅=，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是（ ） A ．矩形 B ．菱形C ．正方形D ．直角梯形【答案】A 【解析】 【分析】由AB DC =可判断出四边形ABCD 为平行四边形，由0AB AD ⋅=可得出AB AD ⊥，由此判断出四边形ABCD的形状.【详解】AB DC=，所以，四边形ABCD为平行四边形，由0AB AD⋅=可得出AB AD⊥，因此，平行四边形ABCD为矩形，故选A.【点睛】本题考查利用向量关系判断四边形的形状，判断时要将向量关系转化为线线关系，考查转化与化归思想，同时也考查了推理能力，属于中等题.12．复数21ii-的虚部为（）A．i B．i-C．1 D．-1 【答案】C【解析】【分析】先化简复数，即得复数的虚部.【详解】由题得21ii-2(1)22=1(1)(1)2i i iii i+-+==-+-+.所以复数的虚部为1.故选C【点睛】本题主要考查复数的运算和虚部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题：本题共4小题13．已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的交点，若为正三角形，则双曲线的离心率是____【答案】【解析】分析：求得抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，焦点F（1，0），把x=﹣1代入双曲求得y的值，再根据△FAB 为正三角形，可得tan30°=，解得a的值，可得的值．详解：已知抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，焦点F（1，0），把x=﹣1代入双曲线求得y=±，再根据△FAB 为正三角形，可得tan30°==，解得 a=．故 c 2=+4，∴，故答案为： ．点睛：（1）本题主要考查椭圆、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的有直接法和方程法，本题利用的是直接法，直接先求a 和c 的值,再求离心率.14．()()2221z m m i m R =-+-∈，其共轭复数z 对应复平面内的点在第二象限，则实数m 的范围是____．【答案】12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据共轭复数对应的点所在的象限，列出不等式组求解. 【详解】由已知得：()2221z m m i =---，且在第二象限，所以：220210m m ⎧-<⎨-⎩＜ ，解得：2212m m ⎧-<<⎪⎨⎪⎩＜ ， 所以12.2m -<<故答案为 12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查共轭复数的概念和其对应的点所在的象限，属于基础题.15．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .【答案】1．8 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯-⨯⨯⨯=， 四棱锥O−EFG 的高3cm ， ∴31123123O EFGH V cm -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144V cm =⨯⨯=， 所以该模型体积为22114412132V V V cm =-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=． 【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解． 16．已知集合{}{},,2,3,4a b c =，且下列三个关系：3,3,4a b c ≠=≠有且只有一个正确，则函数()()22,,x x b f x x c a x b⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩的值域是_______． 【答案】[3,)+∞ 【解析】分析：根据集合相等的条件，列出a 、b 、c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出a ，b ，c 的值，结合的最值即可求出函数的值域．详解：由{a ，b ，c}={2，3，4}得，a 、b 、c 的取值有以下情况： 当a=2时，b=3、c=4时，a ≠3，b=3，c≠4都正确，不满足条件． 当a=2时，b=4、c=3时，a ≠3成立，c ≠4成立，此时不满足题意； 当a=3时，b=2、c=4时，都不正确，此时不满足题意； 当a=3时，b=4、c=2时，c ≠4成立，此时满足题意； 当a=4时，b=2，c=3时，a ≠3，c≠4成立，此时不满足题意； 当a=4时，b=3、c=2时，a ≠3，b=3成立，此时不满足题意；综上得，a=3、b=4、c=2，则函数()22()x x b f x x c a x b ⎧=⎨-+≤⎩，＞，=224{(2)34x x x x -+≤，＞，， 当x ＞4时，f （x ）=2x ＞24=16， 当x ≤4时，f （x ）=（x ﹣2）2+3≥3， 综上f （x ）≥3，即函数的值域为[3，+∞）， 故答案为[3，+∞）．点睛：本题主要考查函数的值域的计算，根据集合相等关系以及命题的真假条件求出a ，b ，c 的值是解决本题的关键．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
江苏省淮安市2019_2020学年高二数学下学期期末调研测试试题
y 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足(12)1i z -= (i 为虚数单位)，则|z |为（▲）51.5 B. C. 5 D.55A 2．设随机变量~(,0.2)XB n ，且E (X )＝1.6，则n 为（▲）A ．4B ． 6C ．8D ． 103．函数9()(2)2f x x x x =+>-的最小值为（▲） A ． 5 В． 3 C ． 8 D ． 64．从1，2， 3，4，5，这5个数中任取两个奇数， 1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（▲）A ．60B ． 24C ． 12D ． 365．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当x ＝8时，繁殖个数y 的预测值为（▲）A ． 5．95B ． 6．15C ． 5．25D ． 4．96．某小区有6名歌手，其中4名男歌手， 2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（▲）A ．若m ＝0则共轭复数1z =；B ．若复数z ＝2，则m ＝3；C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±；D ．若m ＝0，则2420z z ++=． 10(a x +++102210100210139 B. 2(1),0,1,2,,10;1; D. ()()3r a C r a a a a a a a =-=++=+++-+++=B ．函数y ＝f （x ）－x 有且只有1个零点C ． f (x )在(－∞，1)上单调递减；D ．设g (x )＝xf (x )，则1()()g g e e<．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．16题第一空2分，第二空3分．13．曲线y ＝sin x 在点O （0，0）处的切线方程为________14．已知随机变量X 的概率分布为：则(3)P x ≥=________15．多项式3254321012345(21)(2)x x a x a x a x a x a x a ++=+++++，则1a =________16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12， p ．若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p ＝________，在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为________四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17． （本小题满分10分）某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J 医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．18．（本小题满分12分）已知多项式1()2n x x-的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5． (1)求n 的值；2）求展开式中含x 项的系数．19． （本小题满分12分）已知函数32()32f x ax x x=-=在处取得极值．(1)求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．20．（本小题满分12分）冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同， 60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15， 60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，若研究得到在犯错误概率不超过0．010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人?附1：22()()()()()n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++（2）某地区的新冠肺炎治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，统计数据如下：已知5552=1=1=1140,90,8855i i i ii i iy y x x y====∑∑∑请利用所给数据求t和回归直线方程ˆˆˆy bx a=+；。
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D.因为函数 ，
所以函数 为R上奇函数，故正确；
故选：CD
【点睛】
本题主要考查函数的概念，函数的奇偶性，周期性，属于中档题.
【详解】
当 时，函数 ，此时函数 的定义域为 关于原地对称，且 ，所以函数 为奇函数，且在 上单调递减，满足题意；
当 时，函数 ，此时函数 满足 ，所以函数 为偶函数，不满足题意；
当 时，函数 ，此时函数 的在 上单调递增，不满足题意；
当 时，函数 ，此时函数 的在 上单调递增，不满足题意.
故选：A.
D．函数 为R上奇函数
【答案】CD
【解析】A.根据函数定义域是否相同判断；B.直接求得函数 的值域判断；C.根据奇函数 对定义域内任意x都有 ，由 求解判断；D.利用函数奇偶性的定义判断.
【详解】
A.函数 定义域为 ，函数 的定义域为 ，所以不是同一函数，故错误；
B.函数 的值域是 ，故错误；
C.因为奇函数 对定义域内任意x都有 ，所以 ，
【详解】
的通项公式为 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
又 ，
所以 展开式中常数项为 ，
故选：B
【点睛】
本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
二、多选题
11．下列说法正确的是（）
A．函数 与函数 是同一函数
B．函数 的值域是
C．若奇函数 对定义域内任意x都有 ，则 为周期函数
5．不等式 的解集为（）
A． 或 B． 或
C． 或ห้องสมุดไป่ตู้D． 或
【答案】C
【解析】将原不等式转化为 ，然后因式分解，再转化为高次不等式求解.
【详解】
原不等式可化为 ，即 ，则 ，
如图，利用穿针引线法得： 或 ，
所以原不等式的解集为： 或 .
故选：C.
【点睛】
本题考查分式不等式的解法，较简单.解答时，注意合理变形，将原不等式转化为高次不等式求解问题，然后利用“穿针引线法”求解.
6．已知随机变量 ， ，那么 的值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据已知条件得出 ，且有 ，由此可求得结果.
【详解】
已知随机变量 ， ，则 ，
根据正态密度曲线的对称性得出 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.
7．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
【答案】D
【解析】先将 化简得 ，再由 变换到 ，再变换到 ，得到答案.
【详解】
，为了得到函数 的图象，
只需把函数 的图象上所有的点向右平移3个单位长度，
再向下平移 个单位长度而得到.
故选：D.
【点睛】
本题考查了对数的运算，函数图象的平移变换，要熟悉“左加右减，上加下减”基本原则的应用，考查推理能力，属于基础题.
【点睛】
本题主要考查了幂函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记幂函数的单调性与奇偶性是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
4．为了得到函数 的图象，只需把函数 的图像上所有的点（）
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
本题考查不等式能成立，求参数的取值范围，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是将不等式能成立，转化为求函数的最小值.
9．设a，b都是不等于1的正数，则“ ”是“ ”的（）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由已知结合对数不等式的性质可得 ，得到 ；反之，由 ，不一定有 成立，再由充分必要条件的判定得答案．
【详解】
因为 ， ，
所以 与 之间的线性回归方程 必过点 .
故选：D.
【点睛】
本题考查线性回归直线及其性质，牢记线性回归直线过样本中心即可求解，属于简单题.
3．已知 ，若幂函数 为奇函数，且在 上单调递减，则 的值为（）
A．-3B．-2C． D．2
【答案】A
【解析】根据幂函数的单调性与奇偶性，逐项判定，即可求解.
千位数字从剩下的不是0的数字中任选一个，有 种选法，
百位和十位可以从剩下的3个数字中任选2个，有 种选法，
由分步计数原理，可得共有 个四位偶数，
在由分类计数原理，可得无重复数字的四位偶数的个数为 个.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了分类计数原理和分步计数原理，以及排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类是解答的关键，属于基础题.
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．集合 ， ,则A∩B=
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题主要考查集合基本运算中的交集的运算问题． ．故选D．
2．已知x，y之间的一组数据
则 与 之间的线性回归方程 必过点（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】回归直线恒过样本中心 .
A．64B．88C．72D．60
【答案】D
【解析】根据题意，可分四位偶数的个位是否为0两种情况讨论，求出每种情况下的四位偶数的种数，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】
根据题意，可分2种情况讨论：
（1）当个数是数字0时，剩下的4个数字中任选3个，安排再千、百、十位，共有 个四位偶数；
（2）当各位数字不是0时，各位数字可以是 ，有 两种选法，
【详解】
解： ， 都是不等于1的正数，
由 ，得 ， ；
反之，由 ，得 ，若 ， ，则 ，故 不成立．
“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：B．
【点睛】
本题考查指数不等式与对数不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．
10． 展开式中常数项是（）
A．15B．-15C．7D．-7
【答案】B
【解析】先求得 展开式的通项公式，分别令r=4,5,6,7，求得对应的四项，又 ，则 展开式中所有x的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果.
8．若存在实数x使得不等式 成立，则实数a的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可转化为 ，转化为求 的最小值，解不等式，求 的取值范围.
【详解】
若存在实数x使得不等式 成立，
可知
当 时， ，
当 时， ， ，
当 时， ，
所以 的最小值为-2，
所以 ，解得： 或 .
故选：D
【点睛】