2014中考数学总复习专题2开放性问题

2. (2013·威海)如图, 在△A B C 中, ∠A C B = 90°, B C 的垂直平 分线 E F 交 B C 于点 D , 交 A B 于点 E , 且 BE= BF, 添加一个条件, 仍不能证明四边形 B E C F 为正方形的是( A. BC = AC 【答案】 D B. C F ⊥B F C. BD = D F ) D. AC = BF
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4. 如图, 矩形 A B C D 中, ∠A C B = 30°, 将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对 角线 A C , B D 的交点处, 以点 P 为旋转中心转动三角板, 并保证三角板的两直角边 分别与边 A B , B C 所在的直线相交, 交点分别为 E , F. ( 1) 当 P E ⊥A B , P F ⊥B C 时, 如图 1, 则 的值 为 .
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专题考点 0 3 条件和结论都开放问题
此类问题没有明确的条件和结论, பைடு நூலகம்且符合条件的结论具有多样性, 因此必 须认真观察与思考, 将已知的信息集中分析, 挖掘问题成立的条件或特定条件下 的结论, 通过设问方式多方面、多角度、多层次探索认定条件和结论. 组成一个 或多个新命题, 并进行证明或判断.
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(2)四边形 A D C F 是菱形. 理由: 由(1) 知, AF= D C , ∵A F ∥C D , ∴四边形 A D C F 是平行四边形. 又∵A B ⊥A C , ∴△A B C 是直角三角形. ∵A D 是 B C 边上的中线,
1 ∴A D = 2 B C = D C .
AP 1 PB 5 ∴ CD = PC , 即 2 = PC , ∴P C = 2
5. 5.
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(2)①t an∠P E F 的值不变. 理由: 过 F 作 F G ⊥A D , 垂足为 G . 则四边形 A B F G 是矩形. ∴∠A = ∠P G F = 90°, G F = A B = 2. ∴∠A E P + ∠A P E = 90°.
∴平行四边形 A D C F 是菱形.
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3. (2012·三明)在平面直角坐标系中, 点 A 在第一象限, 点 P 在 x 轴上, 若以 P , O, A 为顶点的三角形是等腰三角形, 则满足条件的点共有( A. 2个 C. 4个 【答案】 C B. 3个 D. 5个 )
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【解析】 以①②作为条件构成的命题是真命题.
AO BO 证明: ∵A B ∥C D , ∴△A O B ∽△C O D , ∴ OC OD .
∵A O = O C , ∴O B = O D , ∴四边形 A B C D 是平行四边形. ( 2) 根据①③作为条件构成的命题是假命题, 即如果有一组 对边平行, 而另一组对边相等的四边形时平行四边形, 如等 腰梯形符合, 但不是平行四边形; 根据②③作为条件构成的命题是假命题, 即如果一个四边 形 A B C D 的对角线交于 O , 且 O A= O C , AD = BC , 那么这个 四边形时平行四边形, 如图, 根据已知不能推出 O B = O D 或 A D ∥B C 或 A B = D C , 即四边形不是平行四边形.
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( 2) 过点 P 作 P H ⊥A B , P G ⊥B C , 垂足分别为 H , G. ∵在矩形 A B C D 中, ∠A B C = 90°, ∴P H ∥B C . 又∵∠A C B = 30°, ∴∠A P H = ∠P C G = 30°, ∴P H = A P ·cos 30°=
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例2
(2013·临沂)如图, 在△A B C 中, A D 是 B C 边上的中线, E 是 A D 的中点, 过点
A 作 B C 的平行线交 B E 的延长线于点 F , 连接 C F .
( 1) 求证: AF= D C ; ( 2) 若 A B ⊥A C , 试判断四边形 A D C F 的形状, 并证明你的结论. 【自主解答】 证明: ( 1) ∵E 是 A D 的中点, ∴A E = E D . ∵A F ∥B C , ∴∠A F E = ∠D B E , ∠ F A E = ∠B D E , ∴△A F E ≌△D B E . ∴A F = D B . ∵A D 是 B C 边上的中点, ∴D B = D C , AF= D C .
PF GF 2
②线段 E F 的中点经过的路线长为 O 1O 2( 如图). 则 O 1O 2=
5.
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专题考点 0 4 策略开放问题
策略开放问题是近几年各地中考的热点之一, 其涉及的方面主要是: 一、题 目给出解决问题的多个方案, 利用所学的知识探索出最优方案; 二、题目只提出 要解决的问题, 需要找出解决问题的尽可能多的方案. 此类题目主要考查应用 所学知识解决实际问题的能力.
例1 (2013·无锡)如图, 四边形 A B C D 中, 对角线 A C 与 B D 相交于点 O , 在①A B ∥C D ; ②A O = C O ; ③A D = B C 中任意选取两个作为条件 “四边形 , A B C D 是平行四边形” 为结论构造命题. ( 1) 以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是, 请证明; 若不是, 请举出反例; ( 2) 写出按题意构成的所有命题中的假命题, 并举出反例加以说明. ( 命题请写成 “如果„„, 那么„„”的形式)
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1. (2013·莆田中考)如图, 点 B 、E 、C 、F 在一条直线上, AB∥ D E, BE= C F, 请添加一个条件 , 使△A B C ≌△D E F .
【答案】 A B = D E 或∠A = ∠D 或∠A C B = ∠F ( 答案不唯一)
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又∵∠E P F = 90°, ∴∠A P E + ∠G P F = 90°. ∴∠A E P = ∠G P F . ∴△A P E ∽△G P F . ∴ PE AP 1 = 2.
PF ∴R t △E P F 中, t an∠P E F = PE = 2. ∴t an∠P E F 的值不变.
( 2) 当α= 90°时, 判断四边形 E D B C 是否为菱形, 并说明理由.
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【思路点拨】 (1)将问题转化为“若四边形 E D B C ”是等腰梯形(或直角梯形) 时, 求α的值. (2)先证明四边形是平行四边形, 再证明其邻边相等, 否则说明四边形不是菱形. 【自主解答】 ( 1) ①30 1 ②60 1. 5 ( 2) 当∠α= 90°时, 四边形 E D B C 是菱形. ∵∠α= ∠A C B = 90°, ∴B C ∥ E D . ∵ C E ∥A B , ∴四边形 E D B C 是平行四边形. ∵点 O 是 A C 的中点, D E ∥B C , ∴O D 是△A B C 的中位线. ∴A D = B D = 2. ∴B D = B C . 又∵四边形 E D B C 是平行四边形, ∴四边形 E D B C 是菱形.
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专题二
开放性问题
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开放性问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索 等, 这类题目一般比较新颖, 思考方向不确定, 所以比一般综合题更能考查综合运 用能力, 因此近几年受到各地中考的热捧. 多以填空题、解答题为主.
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5. (2011·三明中考)在矩形 A B C D 中, 点 P 在 A D 上, A B = 2, A P = 1. 将直角尺的 顶点放在 P 处, 直角尺的两边分别交 A B , B C 于点 E , F, 连接 E F ( 如图①) .
( 1) 当点 E 与点 B 重合时, 点 F 恰好与点 C 重合( 如图②) , 求 P C 的长; ( 2) 探究: 将直尺从图②中的位置开始, 绕点 P 顺时针旋转, 当点 E 与点 A 重合时停 止. 在这个过程中, 请你观察、猜想, 并解答; ①t an∠P E F 的值是否发生变化?请说明理由; ②直接写出从开始到停止, 线段 E F 的中点经过的路线长.
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【解析】 ( 1) 在矩形 A B C D 中, ∠A = ∠D = 90°, A B = 1, C D = A B = 2, 则 PB= ∴∠A B P + ∠A P B = 90°. 又∵∠B P C = 90°, ∴∠A P B + ∠D P C = 90°, ∴∠A B P = ∠D P C . ∴△A P B ∽△D C P .
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例3
如图, 在R t △A B C 中, ∠A C B = 90°, ∠B = 60°, B C = 2. 点 O 是 A C 的中点,
过点 O 的直线 l从与 A C 重合的位置开始, 绕点 O 作逆时针旋转, 交 A B 边于点 D . 过点 C 作 C E ∥A B 交直线 l于点 E , 设直线 l的旋转角为α. ( 1) ①当α= 为 ②当α= ; 度时, 四边形 E D B C 是直角梯形, 此时 A D 的长为 ; 度时, 四边形 E D B C 是等腰梯形, 此时 A D 的长
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∴ PF =
PE
3.
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( 3) 变化
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证明: 过点 P 作 P H ⊥A B , P G ⊥B C , 垂足分别为 H , G.
PE 根据( 2) , 同理可证 PF =
又∵A P ∶P C = 1∶2
3 AP PC
PE 3 ∴ PF = 2
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3 2
AP,
1 P G = P C ·s i n30°= 2 P C ,
由题意可知∠H P E = ∠G P E = ∠α,
3 AP PE PH 3 AP 2 ∴R t △P H E ∽△R t △P G F . ∴ PF PG 1 PC . PC 2
又∵点 P 在矩形 A B C D 对角线交点上, ∴A P = P C .
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例4
(2010·衢州中考)如图, 方格纸中每个小正方形的边长为 1, △A B C 和
△D E F 的顶点都在方格纸的格点上.
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专题考点 0 1 条件开放问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放即: 问题的条件不完备或满足结论 的条件不唯一, 解决此类问题的思路是从所给结论出发, 逆向探求, 逐步探寻其合 乎要求的一些条件, 从而进行逻辑推理证明, 确定满足结论的条件.
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( 2) 现将三角板绕点 P 逆时针旋转α( 0°< α < 60°) 角, 如图 2, 求 的值; ( 3) 在( 2) 的基础上继续旋转, 当 60°< α< 90°,
PE 且使 A P ∶P C = 1∶2 时, 如图 3,PF 的值是否变化?证明你的结论.
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【解析】 ( 1) 3
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专题考点 0 2 结论开放问题
结论开放问题就是给出问题的条件, 根据已知条件探究问题的结论, 并且将 符合条件的结论一一罗列出来, 或者对相应的结论的“存在性”加以推断, 甚至探 求条件变化中的结论, 这些问题都是结论开放性问题, 解决此类题目要求利用条 件大胆而合理的猜想, 发现规律, 得出结论; 其基本的解题思路是: 首先认真剖析题 意, 充分挖掘题设信息, 再由因寻果, 顺向推理或联想, 最后获得所求结论.