2014中考数学总复习专题2开放性问题

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数学中考专题：统计与概率试题,两套及答案

2014年中考数学总复习专题测试卷1（统计与概率） Fighting, Fighting, Fighting ……一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 1．若一组数据1，2，3，x 的极差为6，则x 的值是（）。

A ．7 B ．8 C ．9 D ．7或－32．样本X 1、X 2、X 3、X 4的平均数是X ，方差是S 2，则样本X 1+3，X 2+3，X 3+3，X 4+3的平均数和方差分别是（）。

A ．x +3，S 2+3 B ． x +3， S 2 C ． x ，S 2+3 D ． x ， S 23．刘翔在出征北京奥运会前刻苦进行110米跨栏训练，教练对他20次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则教练需要知道刘翔这20次成绩的（）。

A 、方差B ．平均数C ．频数D ．众数 4．盒中装有5个大小相同的球，其中3个白球，2个红球，从中任意取两个球，恰好取到一个红球和一个白球的概率是（）。

A ．254 B ．101 C ．53 D ．215．如图所示的两个圆盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（）。

A ．1925 ；B ．1025 ；C ．625 ；D ．5256．其市气象局预报称：明天本市的降水概率为70%，这句话指的是（）。

A ．明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨B ．明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨C ．明天本市一定下雨D ．明天本市下雨的可能性是70% 7．男生中，若随机抽取若干名同学做“是否喜欢足球”的问卷调查，抽到喜欢足球的同学的概率是53，这个53的含义是（）。

A ．只发出5份调查卷，其中三份是喜欢足球的答卷 B ．在答卷中，喜欢足球的答卷与总问卷的比为3∶8 C ．在答卷中，喜欢足球的答卷占总答卷的53D ．发出100份问卷，有60份答卷是不喜欢足球 8．一个袋中装有2个黄球和2个红球，任意摸出一个球后放回，再任意摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为（）。

中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案

中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。

【夺分天天练】(新课标)2014中考数学总复习第2讲整式与因式分解课件(含13年试题)

( C )
(B (B
) )
第2讲┃ 整式与因式分解
4． [2013· 重庆 A 卷 ] 下列运算正确的是 ( D ) A． 3x2＋ 4x2＝ 7x4 B． 2x3· 3x3＝ 6x3 C． x6÷ x3＝ x2 D． (x2)4＝ x8 5．分解因式 a3－ a 的结果是 ( C ) A． a(a2－ 1) B． a(a－ 1)2 C． a(a＋ 1)(a－ 1) D． (a2＋ a)(a－ 1) 6． [2013· 枣庄 ] 如图 2－ 1(1)是一个长为 2a，宽为 2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴 )剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是 ( C ) A． 2ab B．(a＋ b)2 C． (a－ b)2 D． a2－ b2
2
第2讲┃ 整式与因式分解
14． [2013· 衡阳 ] 先化简，再求值：(1＋ a)(1－ a)＋ a(a－ 2)， 1 其中 a＝ . 2
解： (1＋ a)(1－ a)＋ a(a－ 2)＝ 1－ a2＋ a2－ 2a＝ 1－2a. 1 当 a＝时，原式＝ 0. 2
第2讲┃ 整式与因式分解
15． (1)已知 x＋ y＝7， xy＝ 12，求 (x－ y)2 的值； (2)已知 a＋ b＝ 8， a－ b＝ 2，求 ab 的值．
第2讲┃ 整式与因式分解
16． [2013· 扬州 ] 如果 10b＝ n，那么称 b 为 n 的劳格数，记为 b＝ d(n)．由定义可知： 10b＝ n 与 b＝ d(n)所表示的是 b， n 两个量之间的同一关系．－ (1)根据劳格数的定义，填空： d(10) ＝ ____， d(10 2)＝ _____； (2)劳格数有如下运算性质： m 若 m， n 为正数，则 d(mn)＝ d(m)＋ d(n)， d ＝ d(m)－ d(n)． n d（ a3）根据运算性质，填空：＝________(a 为正数)，若 d(2)＝ d（ a） 0.3010，则 d(4)＝ _______， d(5)＝ _______,d(0.08)＝ _______；

中考数学专题复习题：开放性问题

2019-2020年中考数学专题复习题：开放性问题开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是能引起同学们产生联想，并会自然而然地往深处想的一种数学问题.简单来说就是答案不唯一，解题的方向不确定，条件(或结论)不止一种情况的试题.解答这类题目时，需要对问题全方位、多层次、多角度思考审视，尽量找到解决问题的方法.根据开放题的特点主要有如下三种题型：(1)条件开放型；(2)结论开放型；(3)综合开放型.题型之一条件开放型例1 (xx·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是边BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E,F，连接BE,CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明.(2)在问题(1)中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.【思路点拨】(1)根据已知条件和图形可知，两个三角形有一组边和一组角相等，因此根据全等三角形的判定方法添加一个条件，然后加以证明即可；(2)由(1)中三角形的全等，易得四边形BFCE是平行四边形，然后根据矩形的判定方法，得出EH与BH应满足的条件.【解答】方法归纳：解这种类型的开放性问题的一般思路是：（1）由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻.(2)添加的条件，使证明过程越简单越好，且不可自己难为自己.1.（xx·湘潭）如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b 平行.2.(xx·内江)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AD∥BC，请添加一个条件：，使四边形ABCD为平行四边形(不添加任何辅助线).3.(xx·六盘水)如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB.(写出一个即可)4.(xx·娄底)先化简，再从不等式2x-3<7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.5.(xx·邵阳)如图所示，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，请添加一个条件，使得四边形ABCD为矩形，并说明理由.题型之二结论开放型例2 (xx·西安模拟)按图所示的流程，输入一个数据x，根据y与x的关系式输出一个数据y，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20~100(含20和100)之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求：(Ⅰ)新数据都在60~100(含60和100)之间；(Ⅱ)新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大.(1)若y与x的关系是y=x+p(100-x)，请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求；(2)若按关系式y=a(x-h)2+k(a>0)将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式.(不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程)【思路点拨】(1)要验证y=x+(100-x)是否满足题中的两个要求，就是①看y是否随x增大而增大；②看当20≤x≤100时，y的值是否满足60≤y≤100；(2)由于规定了a>0，要使抛物线y=a(x-h)2+k满足题中条件,必经过(20,60),(100,100)两点,且这两点在对称轴的右边,因此其中满足条件的抛物线可以是以(20,60)为顶点,且经过点(100,100).故该解析式不难求出.【解答】方法归纳：所谓结论性开放题就是给出问题的条件,让解题者根据条件寻找相应的结论,且符合条件的结论往往呈现多样化,这类问题就是结论开放型问题.其解题思路是:从已知条件出发,沿着不同方向、不同层次进行观察、分析、验证得到相应的结论.1.(xx·滨州)写出一个运算结果是a6的算式 .2.(xx·赤峰)请你写出一个大于0而小于1的无理数 .3.(xx·邵阳)如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.4.(xx·内蒙古)存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过(1，1)点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，请各写出一个满足条件的一次函数、反比例函数和二次函数的解析式.5.(xx·台州)为了估计鱼塘中成品鱼(个体质量在0.5 kg及以上，下同)的总质量，先从鱼塘中捕捞50条成品鱼.称得它们的质量如下表：0.5 0.6 0.7 1.0 1.2 1.6 1.9质量/kg1 8 15 18 5 1 2数量/条然后做上记号再放回水库中，过几天又捕捞了100条成品鱼，发现其中2条带有记号. (1)请根据表中数据补全下面的直方图(各组中数据包括左端点不包括右端点).(2)根据图中数据分组.估计从鱼塘中随机捕一条成品鱼，其质量落在哪一组的可能性最大?(3)根据图中数据分组，估计鱼塘里质量中等的成品鱼，其质量落在哪一组内？(4)请你用适当的方法估计鱼塘中成品鱼的总质量(精确到1 kg).题型之三综合开放型例3 (xx·绍兴有改动)看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x，y满足图示的函数关系，要求：(1)指出变量x和y的含义；(2)利用图中的数据和变化规律提出两个问题，并解答这两个问题.【思路点拨】根据情景说明函数关系，注意只有两个变量，涉及其他的量必须是常量.提出问题时要紧扣图象和(1)中实际意义来提出.【解答】、方法归纳：这是一道自编自解的综合开放型的问题，解题时要认真分析已给出的条件，经过适当的尝试，符合要求的答案定会产生.1.看图说故事.请你编写一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：（1）指出变量x和y的含义；（2）利用图中的数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中必须涉及“速度”这个量.2.A，B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米.乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地.请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程.3.如图是一个反比例函数图象的一部分，点A(1，10)，B(10，1)是它的两个端点.(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；(2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例.33482 82CA 苊37332 91D4 釔/29826 7482 璂24021 5DD5 巕28933 7105 焅 34653 875D 蝝 20534 5036 倶32153 7D99 継 030090 758A 疊B。

中考数学《开放题》复习课件

意清楚，联系生活且其解符合实际。）
不要忘了
条件开放型类型结论开放型策略开放型
综合开放型特点正确答案不唯一
悟字
开放性问题
作用：培养创新意识、创造能力
试
金
石
必做题：1、写出一个图象位于一、三象限的反比例函数表示式_________。 2、小华为班级设计了一个班徽,图中有一菱形.为了检验小华所画的菱形是否准确,请你以带有刻度的三角尺为工作,• 帮小华设计一个检验的方案___ 选做题：编写一道应用题，使得根据题意列

二、结论开放型
例1如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AD、 AE分别是∠BAC的邻补角的平分线，AD交⊙O 于点D，交BC于F，由这些条件请直接写出正确的结论：（不再连结其他线段）
∠B=∠C , BF=CF, 给出问题的条件，让解 AB=AC, BD=CD, 题者根据条件探索相应的结 AD⊥BC, AD⊥AE, AE∥BC, 得出的结论应论，而符合条件的结论往往尽可能用上题目及呈现多样性，这样的问题是 AD 是⊙O的直径，图形所给的条件。结论开放性问题。 AE是⊙O的切线… …
填写条件时，应符合题意或给出问题的结论，让解题相关的概念、性质、定理. 者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放性问题。
1、多项式9x2+1加上一个单项式后,• 使它能成为一个整式的完全平方,那么加上的单项式可以是_________。(填上一个你认为正确的即可)zxxk
从练习中悟方法
小明家现有一块三角形菜地，要种植面积相等的四种蔬菜，如方案设计问题应下图所示，你能帮他设计不同的结合题意，依据分割方案吗？定义定理分析

中考数学专题复习开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题

开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。

中考复习专题--开放性问题(导学案)

2014年中考数学专题复习：开放题【问题发现】如图，已知AC ⊥BD 于点P ，AP ＝CP ，请增加一个条件，使得△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是。

问题回顾：三角形全等的判定有：，，，，。

根据什么判定，需要添加条件。

【分析归纳】相信同学已经做过类似的问题。

我们发现题目的条件不完全，答案不唯一。

我们把这类题叫做开放题。

主要分为条件开放，结论开放，综合开放和策略开放四类。

条件开放：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求。

1、已知反比例函数xm y 2-=，其图象在第一、第三象限内，则m 的值可为（写出满足条件的一个k 的值即可）分析：对于反比例函数xk y =（k 是常数，k ≠0）。

当它的图象在第一、第三象限时有，m>0，所以本题中应该是m-2>0，即m>2。

2、在多项式4x 2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是（只写出一个即可）。

分析：要使多项式4x 2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项。

结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍。

3、如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ，DE 交AB 于点E ，M 为BE 的中点，连接DM.在不添加任何辅助线和字母的情况下，图中的等腰三角形是．(写出一个即可) 分析：4、已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图形如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（-1,0），（3,0）.对于下列命题：①b 2-4ac >0；②2a+b<0；③a-b+c=0；④a+b+c>0。

2014中考数学复习方案专题突破篇(点拨交流+思路引导+变式训练)：专题二函数图像【新课标人教版】

专题一专题二专题三
பைடு நூலகம்
探索规律函数图像函数应用
专题四
专题五专题六
变式猜想
操作探究动态综合
专题二函数图像
专题二┃函数图像
以一次函数、反比例函数或者二次函数的图像为主要研究对象，有时添加简单的几何图形，分成 2～3 个小问题，研究函数图像的特征及其与系数的关系，求函数的表达式．
专题二┃函数图像
解
专题二┃函数图像
因为 t≠0，所以两边都除以 t，得 at＋(3a＋1)＝0. 1 即(t＋3)a＋1＝0，则 a＝－ . t＋ 3 －1 要使该抛物线开口向下，则需 a<0，即 <0，则 t＞－3 且 t≠0. t＋ 3 另一方面，从“形”的角度进行研究：由于抛物线确定经过点 A(－3，－3)和原点，在坐标系中画出经过 A，O 两点，且开口向下的图像，如图中的两条抛物线所示．
专题二┃函数图像
【思路导引】用待定系数法确定一次函数或反比例函数表达式用代入法判断一个点是否在函数图像上根据函数性质分析图像特征利用交点或顶点坐标研究几何图形
专题二┃函数图像
点拨交流 (1)一般需要知道直线上两个点的坐标，题目中直线 DE 上的两个已知点坐标是 D(0，3)和 E(6，0)，由此列方程组求得一次函数表达式，并进一步确定点 M，N 的坐标． (2)一般需要知道双曲线上一个点的坐标，故可利用点 M 的坐标求得反比例函数表达式． (3)把这个点的坐标代入函数表达式，看其能否成立．因此，判断点 N 是否在反比例函数的图像上，就是判断点 N 的坐标是否满足反比例函数表达式． (4)转化为函数图像经过该几何图形的顶点的问题，比如本 m 题可以考查反比例函数 y＝ x (x＞0)的图像经过△MNB 三个顶点的情况，m 的值介于三者之间时，方能与△MNB 有公共点．

初中数学-中考复习(21)：开放型问题

专题复习：开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

考点一：条件开放型例1：写出一个过点（0，3），且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数关系式：．（填上一个答案即可）练习：已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）考点二：结论开放型例2：请写一个图象在第二、四象限的反比例函数解析式：．练习：四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极向灾区捐款．如图是该班同学捐款的条形统计图．写出一条你从图中所获得的信息：．（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分）考点三：条件和结论都开放的问题例3：如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．练习：如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．【课堂讲解】1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使得四边形ABCD是平行四边形，应添加的条件是______（只填写一个条件，不使用图形以外的字母和线段）．2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC，OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是_______（写出一个即可）．3．如图，已知△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，要使△ABD≌ACE，则只需添加一个适当的条件是___________．（只填一个即可）4．若反比例函数y＝kx的图象在其每个象限内，y随x的增大而增大，则k的值可以是_______．（写出一个k的值）5．若函数y=1mx的图象在同一象限内，y随x增大而增大，则m的值可以是________（写出一个即可）．6. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足条件时，有MB=MC（只填一个即可）．7. 直线l过点M（-2，0），该直线的解析式可以写为________．（只写出一个即可）8. 如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是_______（添加一个条件即可）．9. 请举反例说明命题“对于任意实数x，x2+5x+5的值总是整数”是假命题，你举的反例是（写出一个x的值即可）10．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，BE=CF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF．11．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件，使得△EAB≌△BCD．12．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是．13．如图，要使△ABC与△DBA相似，则只需添加一个适当的条件是（填一个即可）14．如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是．15．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA、OB．点P是半径OB上任意一点，连接AP．若OA=5cm，OC=3cm，则AP的长度可能是cm（写出一个符合条件的数值即可）16．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t （s）的值为．（填出一个正确的即可）17．已知（x1，y1），（x2，y2）为反比例函数kyx图象上的点，当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则k的一个值可为．（只需写出符合条件的一个k的值）18. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．19. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）20. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E 是线段AC 或AC 延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE 、EF 有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．【课堂训练】1.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判定△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABD=∠CB ．∠ADB=∠ABC C. CD CB BD AB = D. ACAB AB AD =2. 如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为23且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是（）A ．16B ．15C ．14D ．133. 如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF ．（1）请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．4. 复习课中，教师给出关于x 的函数y =2kx 2﹣（4kx +1）x ﹣k +1（k 是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．5. 猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．6. 已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C 重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；2对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．②若正方形ADEF的边长为27. 在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？答：（填“成立”或“不成立”）个性化教案（真题演练）1. （2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s 的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为．（填出一个正确的即可）1对1出门考（_______年______月______日周_____）1. 写出一个你喜欢的实数k 的值，使得反比例函数xk y 2-=的图象在每一个象限内，y 随x 的增大而增大．2. 写出一个x 的值，使|x ﹣1|=x ﹣1成立，你写出的x 的值是．3. 存在两个变量x 与y ，y 是x 的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，这个函数的解析式是（写出一个即可）．4. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，作射线AD ，在线段AD及其延长线上分别取点E 、F ，连接CE 、BF ．添加一个条件，使得△BDF ≌△CDE ，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．5. 先化简22)1111(2-÷+--x x x x ，然后从﹣2≤x≤2的范围内选择一个合适的整数作为x 的值代入求值．6. 在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下a ，b 两个情境：情境a ：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校；情境b ：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．（1）情境a ，b 所对应的函数图象分别是、（填写序号）；（2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境．评语： 3A 作业：周一：周二：周三：周四：周五：作业要求在月日之前完成。

2014年中考数学复习专题讲座(WORD)3：开放性问题

2014年中考数学复习专题讲座三：开放性问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。

三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2012•义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD 及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是．（不添加辅助线）．考点：全等三角形的判定。

810360专题：开放型。

分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF 或∠DEC=∠DFB等）；解答：解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．（2）证明：在△BDF和△CDE中∵∴△BDF≌△CDE．点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2012•宁德）如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD，AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关系和位置关系？并加以证明．考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行线的判定与性质。

浅谈数学开放性试题的复习

浅谈数学开放性试题的复习发表时间：2012-01-04T10:16:56.837Z 来源：《科学教育前沿》2011年第9期供稿作者：潘久清[导读] 近年来，中考数学题中，题型新颖，立意深刻的开放性问题所占比例逐年上升。

潘久清（江苏省江都国际学校江苏江都 225200）中图分类号：Ｇ63 文献标识码：Ａ文章编号：ISSN1004-1621（2011）09-004-02近年来，中考数学题中，题型新颖，立意深刻的开放性问题所占比例逐年上升。

这些问题对学生的创新能力、学习能力、观察能力、以及语言表达能力进行了全面系统的考察。

针对开放题的特征，本人浅谈自己的一些体会：一、开放性试题的概念、类型和意义数学开放题是指那些条件不完整，结论不确定，解法不限制的数学问题。

开放性试题包括条件开放、结论开放、策略开放以及综合开放四种。

1、条件开放：给出问题的结论，让解题的学生分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题是条件开放性问题。

例：三角形的周长是20，若三边比为2：5：，求三条边。

2、结论开放：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，这样的问题是结论开放性问题。

例：如图,直线MN与⊙O相切于点C，AB是⊙O的直径，连结AC、OC、BC，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，BF与⊙O交于点D。

根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。

3、策略开放：一般是指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题。

例有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）4综合开放：例 : 编写一道应用题，使得根据题意列出的方程为：120/x+120/(x-10)=1再解答你所列出的应用题。

（要求：所编应用题完整，题意清楚，联系生活且其解符合实际。

）开放性题不同于在固定条件下研究固定结论封闭题，既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力。

中考数学复习：专题2-16 一元二次方程考点新体现

专题16 一元二次方程考点新体现【专题综述】一元二次方程是初中数学重要的内容，对一元二次方程的考查，新课标降低了计算上的难度，但增加了开放性、增强了灵活性，能够较好地考查同学们在基本知识、基本技能和基本解题思路方面的掌握情况.下面就其常见的如下考点，【方法解读】一、开放性问题例1 请你写出一个有一根为1的一元二次方程：__________．【举一反三】（2000年全国竞赛题）已知关于x 的方程 (a-1) 的根都是整数，那么符合条件的整数a 有___________个.二、新定义题定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）.A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c == 【举一反三】在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24x =的解．三、阅读理解题阅读材料：设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：1x +2x ＝－b a ，1x ⋅2x ＝c a.根据该材料填空：已知1x 、2x 是方程2630x x ++=的两实，则21x x +12x x 的值为．【举一反三】阅读材料,理解应用:（江苏省镇江市新区）已知方程x 2+x ﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则y =2x ，所以x =y 2．把x =y 2代入已知方程，得（y 2）2+y 2﹣1=0．化简，得：y2+2y﹣4=0．这种利用方程根的代替求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）；（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数．（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．【强化训练】1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程m-4x+4=0与-4mx+4-4m-5=0的根都是整数。

【中考备战策略】2014中考数学总复习第2讲实数的运算及大小比较课件新人教版

18．若实数 a，b 满足|3a－1|＋b2＝0，则 ab＝ 1 . 1 a＝3， 3a－1＝0，解析：由题意，得 ∴ b＝0， b＝0， 10 ∴a ＝( ) ＝1. 3
b
19．(2013· 苏州)按照下图所示的操作步骤，若输入 x 的值为 2，则输出的值为 20 .
考点一实数的大小比较例 1 (2013· 湛江)下列各数中，最小的数是( ) 1 A．1 B. 2 C．0 D．－1 1 【点拨】∵－1＜0＜＜1，∴最小的数是－1. 2 故选 D. 【答案】 D
考点二实数非负性的应用例2 (2013· 永州)已知(x－y＋3)2＋ 2x＋y＝0， ) C．1 D．5
1 －1 6．设 a＝ 2 ，b＝(－3) ， c＝－ 9， d＝ ( ) ，则 2
0 2
3
a，b， c， d 按由小到大的顺序排列正确的是( A． c＜ a＜ d＜ b C． a＜ c＜ d＜ b
0
A )
B． b＜d＜a＜ c D． b＜ c＜a＜d
2
解析：∵ a＝ 2 ＝ 1， b＝ (－ 3) ＝ 9， c＝－ 9＜ 0， 1 －1 d＝ ( ) ＝ 2， ∴ c＜ a＜ d＜ b.故选 A. 2
实数的混合运算
0 2 013
例 3 (2013· 重庆)计算：( 2－3) － 9－(－1) 1 －2 |－2|＋(－ ) . 3
－
【点拨】本题考查实数的运算、零次幂、负整数指数幂等．解：原式＝1－3＋1－2＋9＝6.
方法总结实数的混合运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最
后算加减；同级运算，从左到右依次进行；如有括号，先做括号内的运算 .
0
B.
3
－9＝－3

2014年中考数学总复习提能训练课件专题三_开放探索题

专题三
开放探索题
开放探索性试题在中考中越来越受到重视，由于条件或结论的不确定性，使得解题的方法与答案呈多样性，学生犹如八仙过海，各显神通．
探索性问题的特点是：问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，需要自己通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法，这类题主要考查学生分析问题和解决问题的能力和创新意识．开放探索题常见的类型有：(1)条件开放型，即问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一；(2)结论开放型，即在给定的条件下，结论不唯一；(3)策略开放型，即思维策略与解题方法不唯一．
解：由题意，可考虑圆心在顶点、直角边和斜边上，设计出符合题意的方案示意图如图Z3-3 的四种方案：
图Z3-3
半径分别为 r1＝2 4 2，r2＝，r3＝2，r4＝4. 2＋1
名师点评：策略开放题要结合分类讨论思想来解题，先选
择一个分类的标准，再进行讨论解题时做到不重不漏．
名师点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础
题，关键在于公共边AB 的应用，这是结论开放型题目，答案不唯一．
策略开放与探索例3：在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料．现找出其中的一种，测得∠C＝90°，AC＝BC＝4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其他边相切．请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径(只要求画出扇形，并直接写出扇形半径)．
AC＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠E.
可以补的间接条件有AB ∥ DE.
答案：AB∥DE(答案不唯一)
名师点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，是条件开放题，解题时，先把判断全等三角形的已知条件确定下来，再利用全等三角形的判定定理SAS，ASA，AAS，SSS 去补充需要的条件，答案不唯一．

2014年全国中考数学试卷解析分类汇编：开放性问题

开放性问题1. （2014•四川巴中，第28题10分）如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．考点：矩形的判定．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH 时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）答：添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大．2. （2014•山东威海，第24题11分）猜想与证明：如图1摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B、C、G三点在一条直线上，CE在边CD 上，连接AF，若M为AF的中点，连接DM、ME，试猜想DM与ME的关系，并证明你的结论．拓展与延伸：（1）若将”猜想与证明“中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为DM=DE．（2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立．知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．，4. （2014•山东烟台，第25题10分）在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动．（1）如图①，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图②，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图③，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图④，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP的最小值．考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先证得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性质得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（2）是．四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因为∠CDF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；（3）成立．由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；（4）由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可．解答：（1）AE=DF，AE⊥DF．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．∵DE=CF，∴△ADE≌△DCF．∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，由于∠CDF+∠ADF=90°，∴∠DAE+∠ADF=90°．∴AE⊥DF；（2）是；（3）成立．理由：由（1）同理可证AE=DF，∠DAE=∠CDF延长FD交AE于点G，则∠CDF+∠ADG=90°，∴∠ADG+∠DAE=90°．∴AE⊥DF；（4）如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在Rt△ODC中，OC=，∴CP=OC﹣OP=．点评：本题主要考查了四边形的综合知识．综合性较强，特别是第（4）题要认真分析．5. （2014•浙江杭州，第23题，12分）复习课中，教师给出关于x的函数y=2kx2﹣（4kx+1）x﹣k+1（k是实数）．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论（性质）写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选出以下四条：①存在函数，其图象经过（1，0）点；②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值比为正数，若函数有最小值，则最小值比为负数．教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．，﹣﹣。

014年中考数学第二轮专题复习--开放型问题-3.doc

2014年中考数学第二轮专题复习--开放型问题答案一.共同探索：1.解析:在直角三角形BCO 中，∠CBO=45°OB=3，可得OC=3，因此点C 的坐标为（0,3）；（2）∠BCP= 15°，只是提及到了角的大小，没有说明点P 的位置，因此分两种情况考虑：点P 在点B 的左侧和右侧；（3）⊙P 与四边形ABCD 的边（或边所在直线）相切，而四边形有四条边，肯定不能与AO 相切，所以要分三种情况考虑。

解（1）∵∠BCO=∠CBO=45° ∴OC=OB=3又∵点C 在y 轴的正半轴上，∴点C 的坐标为（0,3）（2）当点P 在点B 右侧时，如图2.若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故OP=OCtan30°=3 此时34+=t当点P 在点B 左侧时，如图3，由. ∠BCP=15°得∠PCO=60°故PO=OCtan60°=33，此时t=4+33∴t 的值为4+3或4+33（3）由题意知，若⊙P 与四边形ABCD 的边都相切，有以下三种情况：①当⊙P 与BC 相切于点C 时，有∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1②当⊙P 与CD 相切于点C 时，有PC ⊥CD ，即点P 与点O 重合，此时t=4③当⊙P 与AD 相切时，由题意，∠DAO=90°， ∴点A 为切点，如图4，()2229t PA PC -==， ()224-=t PO ，于是()()222349+-=-t t ，解得t=5.6 ∴t 的值为1或4或5.6点评:本题主要是分情况讨论和解直角三角形的应用，在今后的教学中多渗透考虑问题要全面（不重不漏），培养学生优秀的学习品质。

有一定难度。

2.解析：探究根据三角函数和勾股定理可以很快求出AH 和AC 的值，进而求出三角形的面积。

拓展（1）利用所给数据，写出表示两个三角形面积的代数式；（2）利用（1）中的式子，用x 表示m 和n ，再求（m+n ）的值。

【中考备战策略】2014中考数学(人教版)总复习课件：专题三开放型问题

2
1 又∵ BE＝x＝3＝ BC， 2 ∴点 E 为 BC 的中点． ∴ AE⊥ BC，∴ AE＝ AB2－ BE2＝ 4. 12 此时， EF⊥ AC，∴ EM＝ 16 12 96 ∴ S△ AEM＝ AM · EM＝ × × ＝ . 2 2 5 5 25
考点二例2
结论开放型
(2013· 吉林)如图，AB 是⊙O 的弦，OC⊥AB
于点 C，连接 OA，OB.点 P 是半径 OB 上任意一点，连接 AP.若 OA＝5 cm，OC＝3 cm，则 AP 的长度可能是 _______cm(写出一个符合条件的数值即可)．
【点拨】因为 OC⊥AB，所以由垂径定理，可得 AC＝BC.在 Rt△AOC 中，OA＝5 cm，OC＝3 cm，由勾股定理，可得 AC ＝ 4 cm ，所以 AB ＝ 8 cm. 因为 AO≤AP≤AB，所以 5 cm≤AP≤8 cm，当点 P 与点 O 重合时，AP＝AO＝5 cm；当点 P 与点 B 重合时，AP ＝AB＝8 cm；当点 P 在 O 与 B 之间时，AO＜AP＜AB. 所以 AP 可以是 5 cm 与 8 cm 之间的任意数值．【答案】 6(答案不唯一，5 cm≤AP≤8 cm 即可)
专题三
开放型问题
开放型问题是中考题多样化和时代发展要求的产物，是中考的热点题型，是考查学生探索能力、创新能力的重要方式．开放型问题是相对于封闭型问题而言，是指那些条件不完整、结论不确定、解法不限制的数学问题，它的显著特点是正确答案不唯一，从所呈现问题的方式看，有下列几种基本形式：
1．条件开放型：称条件不充分或没有确定已知条件的开放型问题为条件开放题．由于满足结论的条件不唯一，解题时需执果寻因，根据结论和已有的已知条件，寻找使得结论成立的其他条件．

2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：41 开放性问题

开放性问题
一、选择题
二.填空题
1. （2014•湘潭，第13题，3分）如图，直线a、b被直线c
所截，若满足∠1=∠2，
则a、b平行．[来源:学|科|网]
（第1题图）
考点：平行线的判定．[来源]
专题：开放型．
分析：
[来源]
根据同位角相等两直线平行可得∠1=∠2时，a∥B．
解答：解：∵∠1=∠2，[来源:学§科§网]
∴a∥b（同位角相等两直线平行），
故答案为：∠1=∠2．
点评：此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．[来源:学§科§网]
2.（2014•滨州，第14题4分）写出一个运算结果是a6的算式a2•a4．[来源:学科网]
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；同底数幂的除法
专题：开放型．
分析：根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可得答案．[来源:学科
网]
解答：[来源]解：a2•a46，
故答案为：a2•a46．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相
加．。

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专题突破区
专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
专题考点 0 3 条件和结论都开放问题
此类问题没有明确的条件和结论, 并且符合条件的结论具有多样性, 因此必须认真观察与思考, 将已知的信息集中分析, 挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论, 通过设问方式多方面、多角度、多层次探索认定条件和结论. 组成一个或多个新命题, 并进行证明或判断.
重点解析
真题演练
又∵∠E P F = 90°, ∴∠A P E + ∠G P F = 90°. ∴∠A E P = ∠G P F . ∴△A P E ∽△G P F . ∴ PE AP 1 = 2.
PF ∴R t △E P F 中, t an∠P E F = PE = 2. ∴t an∠P E F 的值不变.
2. (2013·威海)如图, 在△A B C 中, ∠A C B = 90°, B C 的垂直平分线 E F 交 B C 于点 D , 交 A B 于点 E , 且 BE= BF, 添加一个条件, 仍不能证明四边形 B E C F 为正方形的是( A. BC = AC 【答案】 D B. C F ⊥B F C. BD = D F ) D. AC = BF
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专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
【解析】 ( 1) 在矩形 A B C D 中, ∠A = ∠D = 90°, A B = 1, C D = A B = 2, 则 PB= ∴∠A B P + ∠A P B = 90°. 又∵∠B P C = 90°, ∴∠A P B + ∠D P C = 90°, ∴∠A B P = ∠D P C . ∴△A P B ∽△D C P .
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专题视点· 考向解读
重点解析
真题演练
例4
(2010·衢州中考)如图, 方格纸中每个小正方形的边长为 1, △A B C 和
△D E F 的顶点都在方格纸的格点上.
AP 1 PB 5 ∴ CD = PC , 即 2 = PC , ∴P C = 2
5. 5.
专题突破区
专题视点· 考向解读
(2)①t an∠P E F 的值不变. 理由: 过 F 作 F G ⊥A D , 垂足为 G . 则四边形 A B F G 是矩形. ∴∠A = ∠P G F = 90°, G F = A B = 2. ∴∠A E P + ∠A P E = 90°.
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真题演练
专题二
开放性问题
专题视点·考向解读
开放性问题有条件开放与探索、结论开放与探索、条件结论都开放与探索等, 这类题目一般比较新颖, 思考方向不确定, 所以比一般综合题更能考查综合运用能力, 因此近几年受到各地中考的热捧. 多以填空题、解答题为主.
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重点解析
真题演练
( 2) 过点 P 作 P H ⊥A B , P G ⊥B C , 垂足分别为 H , G. ∵在矩形 A B C D 中, ∠A B C = 90°, ∴P H ∥B C . 又∵∠A C B = 30°, ∴∠A P H = ∠P C G = 30°, ∴P H = A P ·cos 30°=
重点解析
真题演练
专题考点 0 1 条件开放问题
条件开放问题主要是指问题的条件开放即: 问题的条件不完备或满足结论的条件不唯一, 解决此类问题的思路是从所给结论出发, 逆向探求, 逐步探寻其合乎要求的一些条件, 从而进行逻辑推理证明, 确定满足结论的条件.
专题突破区
专题练
PF GF 2
②线段 E F 的中点经过的路线长为 O 1O 2( 如图). 则 O 1O 2=
5.
专题突破区
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真题演练
专题考点 0 4 策略开放问题
策略开放问题是近几年各地中考的热点之一, 其涉及的方面主要是: 一、题目给出解决问题的多个方案, 利用所学的知识探索出最优方案; 二、题目只提出要解决的问题, 需要找出解决问题的尽可能多的方案. 此类题目主要考查应用所学知识解决实际问题的能力.
例1 (2013·无锡)如图, 四边形 A B C D 中, 对角线 A C 与 B D 相交于点 O , 在①A B ∥C D ; ②A O = C O ; ③A D = B C 中任意选取两个作为条件 “四边形 , A B C D 是平行四边形” 为结论构造命题. ( 1) 以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是, 请证明; 若不是, 请举出反例; ( 2) 写出按题意构成的所有命题中的假命题, 并举出反例加以说明. ( 命题请写成 “如果„„, 那么„„”的形式)
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重点解析
真题演练
4. 如图, 矩形 A B C D 中, ∠A C B = 30°, 将一块直角三角板的直角顶点 P 放在两对角线 A C , B D 的交点处, 以点 P 为旋转中心转动三角板, 并保证三角板的两直角边分别与边 A B , B C 所在的直线相交, 交点分别为 E , F. ( 1) 当 P E ⊥A B , P F ⊥B C 时, 如图 1, 则的值为 .
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重点解析
真题演练
例3
如图, 在R t △A B C 中, ∠A C B = 90°, ∠B = 60°, B C = 2. 点 O 是 A C 的中点,
过点 O 的直线 l从与 A C 重合的位置开始, 绕点 O 作逆时针旋转, 交 A B 边于点 D . 过点 C 作 C E ∥A B 交直线 l于点 E , 设直线 l的旋转角为α. ( 1) ①当α= 为 ②当α= ; 度时, 四边形 E D B C 是直角梯形, 此时 A D 的长为 ; 度时, 四边形 E D B C 是等腰梯形, 此时 A D 的长
重点解析
真题演练
5. (2011·三明中考)在矩形 A B C D 中, 点 P 在 A D 上, A B = 2, A P = 1. 将直角尺的顶点放在 P 处, 直角尺的两边分别交 A B , B C 于点 E , F, 连接 E F ( 如图①) .
( 1) 当点 E 与点 B 重合时, 点 F 恰好与点 C 重合( 如图②) , 求 P C 的长; ( 2) 探究: 将直尺从图②中的位置开始, 绕点 P 顺时针旋转, 当点 E 与点 A 重合时停止. 在这个过程中, 请你观察、猜想, 并解答; ①t an∠P E F 的值是否发生变化?请说明理由; ②直接写出从开始到停止, 线段 E F 的中点经过的路线长.
( 2) 现将三角板绕点 P 逆时针旋转α( 0°< α < 60°) 角, 如图 2, 求的值; ( 3) 在( 2) 的基础上继续旋转, 当 60°< α< 90°,
PE 且使 A P ∶P C = 1∶2 时, 如图 3,PF 的值是否变化?证明你的结论.
专题突破区
专题视点· 考向解读
【解析】 ( 1) 3
∴平行四边形 A D C F 是菱形.
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真题演练
3. (2012·三明)在平面直角坐标系中, 点 A 在第一象限, 点 P 在 x 轴上, 若以 P , O, A 为顶点的三角形是等腰三角形, 则满足条件的点共有( A. 2个 C. 4个【答案】 C B. 3个 D. 5个 )
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∴ PF =
PE
3.
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( 3) 变化
重点解析
真题演练
证明: 过点 P 作 P H ⊥A B , P G ⊥B C , 垂足分别为 H , G.
PE 根据( 2) , 同理可证 PF =
又∵A P ∶P C = 1∶2
3 AP PC
PE 3 ∴ PF = 2
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重点解析
真题演练
1. (2013·莆田中考)如图, 点 B 、E 、C 、F 在一条直线上, AB∥ D E, BE= C F, 请添加一个条件 , 使△A B C ≌△D E F .
【答案】 A B = D E 或∠A = ∠D 或∠A C B = ∠F ( 答案不唯一)
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真题演练
【解析】以①②作为条件构成的命题是真命题.
AO BO 证明: ∵A B ∥C D , ∴△A O B ∽△C O D , ∴ OC OD .
∵A O = O C , ∴O B = O D , ∴四边形 A B C D 是平行四边形. ( 2) 根据①③作为条件构成的命题是假命题, 即如果有一组对边平行, 而另一组对边相等的四边形时平行四边形, 如等腰梯形符合, 但不是平行四边形; 根据②③作为条件构成的命题是假命题, 即如果一个四边形 A B C D 的对角线交于 O , 且 O A= O C , AD = BC , 那么这个四边形时平行四边形, 如图, 根据已知不能推出 O B = O D 或 A D ∥B C 或 A B = D C , 即四边形不是平行四边形.
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真题演练
例2
(2013·临沂)如图, 在△A B C 中, A D 是 B C 边上的中线, E 是 A D 的中点, 过点
A 作 B C 的平行线交 B E 的延长线于点 F , 连接 C F .
( 1) 求证: AF= D C ; ( 2) 若 A B ⊥A C , 试判断四边形 A D C F 的形状, 并证明你的结论. 【自主解答】证明: ( 1) ∵E 是 A D 的中点, ∴A E = E D . ∵A F ∥B C , ∴∠A F E = ∠D B E , ∠ F A E = ∠B D E , ∴△A F E ≌△D B E . ∴A F = D B . ∵A D 是 B C 边上的中点, ∴D B = D C , AF= D C .