华南理工大学数学实验实验四

2．问题1 对一个等边三角形， 每条边按照Koch曲线的方式进行迭代， 产生的分形 图称为Koch雪花。编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积。
2.1 实验原理 1、Koch曲线的产生 Koch曲线是通过图形迭代的方式产生的，其迭代规则为： 对一条线段， 先将其分成三等份，然后将中间的一段替换成以此为底边的等 边三角形的另外两条边。无限迭代下去，最终得到的就是Koch曲线。 2、Koch雪花的产生 Koch雪花是通过对K似。如下所述： 对一个等边三角形，每条边按照上面所述的Koch曲线的迭代规则进行迭代， 1
实验四
地 点： 计算中心
迭代与分形
202 房； 实验台号： 评 分： 刘小兰 03
实验日期与时间： 预习检查纪录： 电子文档存放位置： 电子文档文件名：
2018 年 4 月 25 日
实验教师：
信息工程 4 班-03-陈邦栋实验四.doc
批改意见：
1. 实验目的
- 了解分形几何的基本理论； - 了解通过迭代方式，产生分形图的方法； - 了解分形几何的简单应用。
plot(p(:,1),p(:,2)); %显示各结点的连线图 fill(p(:,1),p(:,2),'b'); %填充颜色 axis off %不要坐标轴 axis equal %各坐标轴同比例 set(findobj(gcf,'type','patch'),'edgecolor','none') %不显示这些正方形的边界 area(s)=polyarea(p(:,1),p(:,2)); %计算每次迭代后 Koch 雪花的面积 end figure(2) hold on; range=1:k; plot(range,area,'go',range,area,'r','linewidth',2); %画出 Koch 雪花的面积值和面积曲线 axis([1 k 50 80]); xlabel('迭代次数'); ylabel('Koch 雪花的面积'); legend('面积大小','面积曲线'); %固定坐标轴的范围
2.3 实验结果
在MATLAB中运行以上的程序，可以得到效果图如下，图1中 (a)~(f) 分别 为不同迭代次数下产生的效果图，图2为不同迭代次数下Koch雪花的面积： 3
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4
图 1 不同迭代次数产生的效果图 (a)迭代次数为 1；(b)迭代次数为 2；(c)迭代次数为 3； (d)迭代次数为 4；(e)迭代次数为 5；(f)迭代次数为 6。
set(gcf,'color','w');
3.2 实验结果 6
在MATLAB中运行以上的程序，可以得到效果图如下：
图 3 分形树叶迭代效果图
4 实验总结和实验感悟 本次实验中，我明白了对于一个程序，虽然使用迭代可以很容易的得到我们 想要的结果，并且代码也不会很长，但是随着迭代次数的增长，程序的运算量将 会增长的越来越快， 对于普通的电脑来说，一般会出现电脑很卡或者直接内存不 足的问题。因此，虽说迭代的代码比较简洁，但是取而代之的是计算机的运算时 间。但是随着计算机硬件的不断发展，加上算法的不断优化，以后的迭代程序将 会越来越快。
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j=j+1;r(j,:)=q1; j=j+1;r(j,:)=q1+d; j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A'; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; end n=4*n; p=[r;q2]; figure(1) hold on;
%原终点作为下条线段的起点，在迭代下条线段时存入 r %全部线段迭代一次后，线段数量乘 4 %重新装载本次迭代后的全部结点 %同一幅图画出不同迭代次数的效果图
每条边都会产生一条Koch曲线，三条边的Koch曲线叠加起来的分形图就叫做 Koch雪花。 3、Koch雪花的面积计算 经过k次迭代的Koch雪花的面积计算公式为：
S (k ) =
i =0
k
i 3 1 i 3 N 4 3
2
（1）
其中，N为初始的等边三角形的边长。 在 MATLAB 仿 真 中 ， 我 们 可 以 直 接 使 用 计 算 封 闭 图 形 面 积 的 函 数 polyarea(X,Y)，其基本的语法所示： A = polyarea(X,Y) A = polyarea(X,Y,dim) 其中，A = polyarea(X,Y) 返回向量 X 和 Y 中顶点所指定多边形的面积。 如果 X 和 Y 是大小相同的矩阵，则 polyarea 返回 X 和 Y 的各列所定义多 边形的面积。如果 X 和 Y 是多维数组，则 polyarea 返回 X 和 Y 第一个非 单一维度中的多边形的面积。A = polyarea(X,Y,dim) 沿着标量 dim 指定的维度 进行运算。
close all; %关闭已经打开的所有图片 clear,clc; %清空工作区和命令行窗口 k=6; %迭代次数，修改该值可以得到不同的效果图 area=zeros(1,k); %存放不同迭代次数下的 Koch 雪花的面积 p=[0 0;5 5*sqrt(3);10 0;0 0];%存放结点坐标，每行一个点，初始值为两结点的
2
坐标 n=3; for s=1:k j=0; %存放线段的数量，初始值为 1 %实现迭代过程，计算所有的结点的坐标 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %用于计算新的结点
%以下根据线段两个结点的坐标，计算迭代后它们之间增加的三个 %结点的坐标，并且将这些点的坐标按次序存暂时放到 r 中 for i=1:n q1=p(i,:); q2=p(i+1,:); d=(q2-q1)/3; %每条边计算一次 %目前线段的起点坐标 %目前线段的终点坐标 %原起点存入 r %新 1 点存入 r %新 2 点存入 r %新 3 点存入 r
2.2 算法与编程 2.2.1 算法描述 根据上面所述的迭代原理，在等边三角形的三条边上分别按照 Koch曲线的 迭代规律进行迭代，即可形成Koch雪花。Koch曲线的迭代规律为将一条线段三 等份， 并将中间段用以该段为边的等边三角形的另外两边替代。每次迭代在原图 形的每条边上重新生成一个边长为原边长三分之一的小等边三角形。在仿真中， 每次迭代产生的结点的坐标都可以得到并保存，因此可以利用 MATLAB自带的 计算封闭图形的函数polyarea(X, Y)，计算Koch雪花的面积。 2.2.2 编程
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3．问题2
（选做）自己构造生成元（要有创意） ，按照图形迭代的方式产生分形图， 用计算机编制程序绘制出它的图形
3.1 编程
close all; clear,clc; %关闭已经打开的所有图片 %清空工作区和命令行窗口
x=[0.5;0.5]; %初始点的设置 plot(x(1),x(2),'.'); %绘制初始点 p=[0.89 0.92 0.98 1];%用于概率判断分类的数组 b1=[0;1.6]; b2=[0;1.6]; b3=[0;0.44]; b4=[0;0]; %构造变换矩阵 A1=[0.8,0.02;-0.02,0.8]; A2=[0.2,-0.25;0.23,0.22]; A3=[-0.15,0.28;0.5,0.3]; A4=[0,0;0,0.2]; %开始迭代，修改 i 可以修改迭代次数 for i=1:10000 r=rand; %产生随机数 if r<p(1) %依照随机概率进行分类 x=A1*x+b1; elseif r<p(2) x=A2*x+b2; elseif r<p(3) x=A3*x+b3; else x =A4*x+b4; end plot(x(1),x(2),'g');%画出迭代产生的点 hold on; %绘制在同一张图片上 end axis off; axis equal %不显示坐标轴 %各坐标轴同比例 %设置图象背景为白色
80 面积大小 面积曲线
75
Koch雪花的面积
70
65
60
55
50
1
2
3
迭代次数
4
5
6
图 2 不同迭代次数下 Koch 雪花的面积
2.3 结果分析
迭代与分形的运算过程比较复杂，当迭代次数比较小的时候，程序运行比较 快，但是当迭代次数比较大时，程序运行时间会比较长，甚至可能死机。由公式 (1)的极限值可以知道，当迭代次数取无限大的时候，Koch雪花的总面积将趋于 无穷大，但在实验中，由于实验硬件的限制，测试的迭代次数比较小，加上随着 迭代次数的增大，Koch雪花的面积增长速度越来越慢，因此如图2所示效果并不 明显。从图1的(e)和(f)可以看出，迭代5次和迭代6次的效果图在肉眼看起来并没 有太大的区别，因此，在本次试验中，设置迭代次数为无限大的做法也是没有意 义的，只会增加计算机的负载。