线性代数3-3PPT课件
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线性代数第三章3-3
事实上，α1 ,α2 线性无关是毫无疑问的，此外
α1 = 1⋅ α1 + 0 ⋅ α 2 α 2 = 0 ⋅ α1 + 1⋅ α 2 α3 = 2 ⋅ α1 + 1⋅ α 2
即 α1 ,α2 , α3 中的任一个都可由α1 ,α2 线性表示， 所以 α1 ,α2 就是 α1 ,α2 , α3 的一个极大线性无 关组。
也线性相关； 2）如果 β 1 , β 2 , L , β m 线性无关，那么
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
α 1 , α 2 ,L , α m
也线性无关。
证 1）设 α 1 , α 2 , L , α m 线性相关，则存在一组 不全为零的数k1,k2,…,km，使得
k1α1 + k2α 2 + L + kmα m = 0
即
a11k1 + a12 k2 + L + a1m km = 0 LLLLLLLLLLLL ar1k1 + ar 2 k2 + L + arm km = 0 LLLLLLLLLLLL an1k1 + an 2 k2 + L + anm km = 0
β 1 , β 2 , L , β t 线性表示， 所以可设
α
j
=
∑1 k ij β i ( j = 1,2,L, s ) i=
t
即
α1 = k11β1 + k21β 2 + L + kt1β t α 2 = k12 β1 + k22 β 2 + L + kt 2 β t α s = k1s β1 + k2 s β 2 + L + kts β t
《线性代数》课件
《线性代数》PPT课件
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例 讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质， 包括向量的运算和几何 表示。
解释矩阵的概念、矩阵 的运算和特殊类型的矩 阵。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及 如何对角化一个矩阵。
应用物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习 动力。
介绍高斯消元法解线性方程组 的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和 矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征 值的几何意义和应用。
3 行列式
探讨行列式的计算和性 质，以及行列式在线性 代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算， 以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和 性质，以及数乘对矩阵的影 响。
乘法
解释矩阵的乘法运算，包括 矩阵乘法的定义和运算法则。
线性方程组
什么是线性方程组？
高斯消元法
解释线性方程组的概念和解法， 包括矩阵法和消元法。
通过本PPT课件，帮助您深入了解线性代数的原理和应用，从基本概念到实例 讲解，全面提升您的线性代数知识。
课程介绍
了解线性代数的重要性和应用领域，介绍课程内容和学习目标。
基本概念和定义
1 向量
2 矩阵
介绍向量的定义和性质， 包括向量的运算和几何 表示。
解释矩阵的概念、矩阵 的运算和特殊类型的矩 阵。
对角化
探索对角化矩阵的定义和性质，以及 如何对角化一个矩阵。
应用物理学等领域中的应用实例，激发学习者对线性代数的兴趣和学习 动力。
介绍高斯消元法解线性方程组 的步骤和应用。
矩阵表示
讲解线性方程组的矩阵表示和 矩阵方程的求解。
向量空间
深入研究向量空间的定义和性质，探讨基、维数和子空间的相关概念。
特征值和特征向量
1
特征向量
2
解释特征向量的概念和性质，以及特
征向量与特征值之间的关系。
3
特征值
介绍特征值的定义和求解，以及特征 值的几何意义和应用。
3 行列式
探讨行列式的计算和性 质，以及行列式在线性 代数中的应用。
矩阵运算
加法与减法
介绍矩阵的加法和减法运算， 以及相关的性质和规则。
数乘
详细讲解数乘运算的定义和 性质，以及数乘对矩阵的影 响。
乘法
解释矩阵的乘法运算，包括 矩阵乘法的定义和运算法则。
线性方程组
什么是线性方程组？
高斯消元法
解释线性方程组的概念和解法， 包括矩阵法和消元法。
3-3线性代数
1 2 3 1 1 r2 3r1 1 2 3 1 1 r3 2r1 B = 3 1 5 3 2 0 5 4 0 1 2 1 2 2 3 r3 r2 0 0 4 0 1 2 5 0
显然， 显然， R( A) = 2, R( B ) = 3,
故方程组无解． 故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
x1 x2 x3 + x4 = 0 . x1 x2 + x3 3 x4 = 1 x x 2x + 3x = 1 2 1 2 3 4
解 对增广矩阵 进行初等变换 对增广矩阵B进行初等变换
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B = 1 1 1 3 1 ~ 0 0 2 4 1 1 1 2 3 1 2 0 0 1 2 1 2
x1 1 0 1 2 x2 0 0 1 x = c1 0 + c2 2 + 1 2 . (c1 , c2 ∈ R ) 3 0 1 0 x 4
例4 解非齐次线性方程组
2 x1 + 4 x2 x3 = 7, 2 x2 2 x3 = 2, x + 2 x x = 2. 2 3 1
且 1 0 B~ 0 0 1 1 0 0 2 3 2 1 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 ~ 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 8 0 3 1 2 0 0
与原方程组同解的方程 组为
x1 = 8, x 2 + 2 x 3 = 3, x = 2, 4
(c1 , c2 ∈ R)
例２ 求解非齐次线性方程组 x1 2 x2 + 3 x3 x4 = 1, 3 x1 x2 + 5 x3 3 x4 = 2, 2 x + x + 2 x 2 x = 3. 1 2 3 4 解 对增广矩阵B进行初等变换， 对增广矩阵 进行初等变换， 进行初等变换
线性代数3-3 初等矩阵
变换
ri
k
的 逆 变 换 为 ri
1， k
则 E(i(k ))1 E(i( 1 )); k
变换 ri krj 的逆变换为 ri (k )rj ,
则 E( j(k), i)1 E( j(k), i).
对矩阵进行初等变换，可以用相应的初等矩阵左乘 或右乘矩阵来表示.
第三章 矩阵的运算
行变换，相当于在A的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵； 对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相 应的n 阶初等矩阵.
第三章 矩阵的运算
根据定理，可以把矩阵的等价关系用矩阵的乘法表示
推论1 m n矩阵A B的充分必要条件是存在m阶初等 矩阵P1, P2 , , Pl , 及n阶初等矩阵Q1,Q2 , ,Qt ,使得
1 1 4 0 1 0 1 1 4 0 1 0
r3
2 r2
~
0
1
2
1
0
0
r3
3r2
~
0
1
2
1
0
0
0 3 8 0 2 1 0 0 2 3 2 1
第三章 矩阵的运算
1 1 4 0 1 0 1 1 0 6 3 2
r3
3r2
~
0
0
初等行变换
~ 即， A E
E A1
第三章 矩阵的运算
0 1 2
例1 已知A 1 1 4，求A1.
解：
2 1 0
0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0
A E 1
1
4
0
1
0
r1 r2
~
0
1
2 1 0 0
线代3-3_1
V2 是
F 上全体对称矩阵组成的集合，
则V1、V2都是F性空间
8
9.设1， 2， ， m是R n中任意m个向量，则
V k1α 1 k 2α 2 k mα m|ki R,i 1,2 , ,m
是R n的一个子空间，称为由向量1 , 2 , , m生成的子空间
线性代数 第三章 线性空间
5
线性空间的一些性质： 1）零元素唯一； 2）每个元素α 的负元素唯一； 3）0•α ＝0，(-1)•α = -α ,k•0 = 0 4）若kα =0,则 k = 0 或 α = 0 数零
零向量
线性代数 第三章 线性空间
6
线性子空间：
定义3.12 设V 是数域 F 上的一个线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 对于V 的加法和数乘也构成 F 上的 一个线性空间，则称W 是 V 的一个线性子空间，简称子空间。 定理3.5 设V 是数域 F 上的线性空间，W 是V 的非空子集， 如果W 对于V 的两种运算：加法与数乘是封闭的，则W 是V 的 一个子空间。
（4） (α, α) ≥0,当且仅当α=0时有(α, α)＝0 其中α ，β ，γ 是 V 中任意向量，k∈R ，则称实数 (α,β)为向量α与β的内积。 建立了内积的线性空间 V 称为内积空间，也称欧几里 德空间或欧氏空间。
线性代数 第三章 线性空间
15
不同的线性空间，有不同的内积定义，即使同一个线性空 间，也可以有不同的内积定义。
对于n维向量的加法及数与n维向量的乘法，是实数域上的 一个线性空间.
例2.元素属于数域 F 的全体 m×n矩阵的集合，按矩阵的加 法及数与矩阵的乘法构成数域F上的一个线性空间，用Fm×n表 示. 注：1）线性空间也称为向量空间，线性空间的元素也称为向量；
《线性代数》课件第3章
2.加法交换律 : A + B = B + A; 3. A + 0m×n = A; 4. A + (−A) = 0m×n; 5. a(A + B) = aA + bB; 6. (a + b)A = aA + bA; 7. (ab)A = a(bA).
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
定义1.4对于一组m × n矩阵A1,..., At和数c1,...,ct , 矩阵 c1A1 + + ctAt
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a 21
am1
a12 a 22
am 2
a 1n a 2n
amn
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
称为S
上一个m
×
n矩阵，通常简记为
(aij
) m
×n
或
(aij
).
一个n × n矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵.在一个n阶矩阵中,从
左上角至右下角的一串元素a11, a22 ,..., ann称为矩阵的对角线.
+
a2
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 1 0
0
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+
+
an
⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
0 0
0 1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
= a 1ε1 + a 2ε2 +
+ anen .
§3.2 矩阵的乘法
( ) ( ) 定义2.1(矩阵的乘法)设A = aij 是一个m×n矩阵, B = bij 是一个
1. 把A整个分成一块,此时A就是一个1×1的分快矩阵;
2. 把A的每一行(列)或若干行(列)看成一块.比如,把A按列分
线性代数3-3
思考题1
能否利用“行列式”法 求下列非齐次线性方程 组的解情况
− 2 x1 + x2 + x3 = −2 x1 − 2 x2 + x3 = λ x + x − 2 x = λ2 1 2 3
思考题解答
不能！ 虽然是个方阵， 不能！因为其系数矩阵 A虽然是个方阵，但
| A |= 0！无法展开讨论。所以 ，本题只能使用 初等行变换法。
λ
1− λ (1 − λ )(2 + λ )
λ (1 − λ ) 2 (1 − λ )(1 + λ )
λ2
(1) 当λ = 1时,
1 1 1 1 A ~ 0 0 0 0 0 0 0 0
由 r ( A ) = r ( A ) = 1 < 3 , 知方程组有无穷多解 . x1 = 1 − x2 − x3 且其通解为 x 2 = x2 x = x 3 3 x1 − 1 − 1 1 即 x2 = c1 1 + c2 0 + 0 (c1 , c 2 ∈ R ) 0 1 0 x 3
− x2 − x4 = − x1 + 1 2 − 2 x4 = − x 3 + 1 2 x1 1 0 0 若令x1 = c1 , x3 = c2 , x2 1 c − 1 2 − 1 4 . x = c1 0 + 2 1 + 0 则得通解为 3 0 12 −4 x 4 (其中c1 , c2 ∈ R ) 方程组
(λ + 1)2 λ +1 1 x1 = − , x2 = , x3 = . λ+2 λ+2 λ+2
线性代数课件3-3
kx1 = ( kλ1 )a + ( kµ 1 )b ∈ V . k ∈ R
这个向量空间称为由向 量a , b所生成的向量空间 . 一般地， 生成的向量空 一般地， 由向量组 a1 , a 2 , L , a m 所生成的向量空间为
V = {x = λ1a1 + λ2a2 + L+ λmam λ1 , λ2 ,L, λm ∈ R}
x1 y1 x2 y2 ⇒ ξ = (α 1 α 2 L α n ) = (β1 β 2 L β n ) M M x y n n ⇒ AX = BY = ACY ⇒ X = CY .
例6 已知 R3 的两组基 T T T α 1 = (1, 0, −1) , α 2 = ( 2, 2,1) , α 3 = (1,1,1)
二、向量空间的基与维数
定义2 定义 是向量空间， 设 V 是向量空间，如果 r 个向量 α1 ,α2 , L,αr ∈V ，且满足
(1) α 1 , α 2 , L , α r 线性无关 ;
( 2) V中任一向量都可由 α 1 , α 2 , L , α r 线性表示 .
那末， 那末，向量组 α 1 ,α 2 ,L ,α r 就称为向量 V 的一个
六 、练习题
1、设 V1 = ( x1 , L , xn ) x1 , L , xn ∈ R且x1 + L + xn = 0
V2
{ = {( x , L , x ) x , L , x
1 n 1
n
∈ R且x1 + L + xn
(C M X ) 行变换→(E MY )
思考题
1、空间解析几何中,向量 =(x,y,z)的坐标 、空间解析几何中,向量α ( )的坐标x,y,z是什 是什 么基下的. 么基下的 2 向量空间的基是唯一的吗？ 2、向量空间的基是唯一的吗 向量空间的基是唯一的吗 解： 1、在基i=(1,0,0) 2、不唯一. j=(0,1,0) k=(0,0,1)下的坐标
3-3 矩阵的秩和解的存在性定理 线性代数电子课件
对 (1)(,2)两种情B 形 中， D 与 r对 显 应 然 的 子D 式 rD r0,故 R (B)r.
对情形 (3)，
Dr ri kjrri krj Dr kD ˆr,
2020年7月2日3时48分
若D ˆr 0, 因 D ˆr中不 i行 含A 知 中 第有i不 行r含 的 阶第 非零 , 子式
注：利 用 定 义 求 A 秩 时 ， 从 高 阶 向 低 阶 逐 个 子 式 进 行 检 验 ;
如 果 k1阶 子 式 均 为 0， 而 某 个 k阶 子 式 不 等 于 0,则 R （ A ） rk.很 麻 烦 ！
2020年7月2日3时48分
例3 ：求矩阵的秩
解：
1 2 3 4 5
B
0
0
2
3
解一 ：x1 x2 (1 t)x3 t （3）有无穷多解，求通解.
1t 1 1 0 r1 r3
B
1
1
1t 1
1 1t
3 t
r2 r1
r3 (1t)r1 r3 r2
(1)t0且 t3时 ,R (A )R (B)3, 方程组有唯一解
(2)t 0时, R (A 3成2 求4462解3 8022A x0361614320 b rrrr,3r44rr33则 426 326315rr出rr232r231r1现0=R 4 1(矛A ,盾b )方3 程,R ，(A 无) 解2.
无解 出现0=1矛盾方程 R(A)R(A,b)
2020年7月2日3时48分
(3)t 3时, R(A)R(B)2,方程组有无穷多解
2020年7月2日3时48分
例6 讨论当t 为何值时，
（1x1 t)(x11tx)x2 2xx3 30,3,（ （12） ）有 无唯 解一 ；解；
对情形 (3)，
Dr ri kjrri krj Dr kD ˆr,
2020年7月2日3时48分
若D ˆr 0, 因 D ˆr中不 i行 含A 知 中 第有i不 行r含 的 阶第 非零 , 子式
注：利 用 定 义 求 A 秩 时 ， 从 高 阶 向 低 阶 逐 个 子 式 进 行 检 验 ;
如 果 k1阶 子 式 均 为 0， 而 某 个 k阶 子 式 不 等 于 0,则 R （ A ） rk.很 麻 烦 ！
2020年7月2日3时48分
例3 ：求矩阵的秩
解：
1 2 3 4 5
B
0
0
2
3
解一 ：x1 x2 (1 t)x3 t （3）有无穷多解，求通解.
1t 1 1 0 r1 r3
B
1
1
1t 1
1 1t
3 t
r2 r1
r3 (1t)r1 r3 r2
(1)t0且 t3时 ,R (A )R (B)3, 方程组有唯一解
(2)t 0时, R (A 3成2 求4462解3 8022A x0361614320 b rrrr,3r44rr33则 426 326315rr出rr232r231r1现0=R 4 1(矛A ,盾b )方3 程,R ，(A 无) 解2.
无解 出现0=1矛盾方程 R(A)R(A,b)
2020年7月2日3时48分
(3)t 3时, R(A)R(B)2,方程组有无穷多解
2020年7月2日3时48分
例6 讨论当t 为何值时，
（1x1 t)(x11tx)x2 2xx3 30,3,（ （12） ）有 无唯 解一 ；解；
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
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0 0
(2)时, (1)显然成立.
而(2)式有非0解,故存在不全为0的数x1, x2, x3 使(1)成立.
定理5的逆否命题 推论1
如果向量组1,2 , ,s可由向量组1, 2 , , t 线性表出,且1,2, ,s线性无关,则s t.
推论2
任意n 1个n维向量组必线性相关.
推论3
两个线性无关的等价的向量组,必含有相同个数 的向量.
下面只需证:存在不全为0的数x1, x2 , x3, 使得
即 , x11 x22 x33 0, (1)
(x1k11 x2k12 x3k13 )1 (x1k21 x2k22 x3k23 )2 0,
当 kk2111xx11
k12 x2 k22 x2
k13 x3 k23 x3
3.3 极大线性无关组
一、极大线性无关组 二、向量组的秩的性质 三、向量组的秩与矩阵的秩 四、小结
返回
例 1 =(1,1,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) . 1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2, 3 线性无关.
最大线性无关组
一、极大线性无关组
定义8 设向量组( A) :1,2,
15
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败 也是伟大的，所以不要放弃，坚持 就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
,
,
T m
)(
i为行向量组时);
(2)用初等行变换化A为行阶梯形矩阵B, 则B中
非零行的行数即等于向量组的秩r;
(3)i1 ,i2 , ,ir 是该向量组的一个极大无关组,
其中i1,i2 , ,ir是B中各非零行的第1个非零元素 所在的列.
例 1 求向量组
1 (1, 2, 0,3), 2 (2, 1,3,1), 3 (4, 7,9, 3) 的秩和一个极大无关组,并判断它的线性相关性.
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
矩阵A的行向量组的秩，称为矩阵A的行秩; 矩阵A的列向量组的秩，称为矩阵A的列秩。 定理6
矩阵的秩等于它的列秩，也等于它的行秩.
求向量组的秩和极大线性无关组的方法:
(1)将向量组1,2, ,m排成矩阵A :
A (1,2 , ,m )(i为列向量组时)
或A
(1T
,
T 2
注：由零向量构成的向量组的秩规定为零.
注： (1) 极大线性无关组一般不唯一，但秩是唯一的；
(2) 一线性无关向量组的极大线性无关组就是 它本身；
(3) 向量组的任一极大线性无关组与该向量组 等价；
(4) 向量组的所有极大线性无关组等价．
定理5
如果向量组1,2 , ,s可由向量组1, 2 , , t
故 a1, a2 , a4 ,为列向量组的一个最大 无关组.
例3
设 Cmn Ams Bsn，则
R(C ) R( A), R(C ) R(B).
证 设矩阵C和A用其列向量表示为
C
( 1,
, n ), A
( 1,
,
b11
s ),
而B
b1n
(bij )，
由 ( 1, , n) ( 1, , s)
A
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组.
解 对A施行初等行变换变为 行阶梯形矩阵
~ A 初等行变换
知R( A) 3，
1 1 2 1 4
0 0
1 0
1 0
1 1
03 ，
0 0 0 0 0
故列向量组的最大无关 组含3个向量. 而三个非零行的非零首 元在1、2、4三列，
二、向量组秩的性质
(1)1,2 , ,s线性无关 R(1,2, ,s ) s;
1,2 ,
,
线性相关
s
R(1,2 ,
,s ) s;
(2)若向量组( A)可由向量组(B)线性表示,则
R( A) R(B);
(3)等价的向量组的秩相等;
(4)若向量组( A)的秩为r,则( A)中任意r个线性无关 向量都是( A)的极大线性无关组.
解
(
T 1
,
T 2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
T 3
)
12
4
1 2
4
2 0
1 3
7 9
0 0
5 3
15 9
3 1 3 0 5 15
124 013
, 000 000
所以,秩(1, 2, 3) = 2< 3, 1, 2 ,3 线性相关. 1, 2； 1 , 3为一个极大无关组.
例2 设矩阵
2 1 1 1 2
bs1
bsn
知矩阵C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此R(C ) R( A).
又，R(C) = R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B).
即R(C ) R(B).
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
线性表示,且s t,则1,2,
,
必线性相关.
s
例如,若向量组1,2 ,3可由向量组1, 2线性 表示，即， j k1 j 1 k2 j 2 ( j 1, 2, 3),
下面只需证:存在不全为0的数x1, x2 , x3, 使得
x11 x22 x33 0, (1)
例如,若向量组1,2 ,3可由向量组1, 2线性表示, 即, j k1 j 1 k2 j 2 ( j 1, 2, 3),
,
的一个部分组
s
i1,i2 , ,ir满足 :
(1)i1,i2 , ,ir线性无关;
(2) j ( A), j都可由i1,i2 , ,ir线性表示,
or(2) j ( A),i1,i2 ,
,
ir
,
线性相关,
j
则称i1,i2 , ,ir是( A)的一个极大线性无关组. 数r称为此向量组的秩,记为R(1,2, ,s ).