离散优化数学建模

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用的最多的方法是优化方法和概率统计 用到优化方法的共有 26个题，其中整数规划 4 个，线性规划7个，非线性规划14个,多目标规划 6个。 用到概率统计方法的有21个题，平均每年至 少有一个题目用到概率统计的方法。 用到图论与网络优化方法的问题有6个； 用到层次分析方法的问题有３个；
简写为： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
xj 0
线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
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max(min) Z CX AX ( ) B X 0
线性规划：目标函数与约束函数均为线性函数； 非线性规划：目标函数与约束函数中至少有一个 是变量x的非线性函数；
Fra Baidu bibliotek
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三、最优化问题分类
整数规划 动态规划 网络规划 随机规划 多目标规划
分类3 （根据决策变量、 目标函数和要求 不同）
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三、最优化问题分类
分类４ 函数最优化 组合最优化
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题：
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（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原材料、人工、时间等）去 完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
例1 某企业计划生产甲、乙两种产品。这些产品分别 要在A、B、C、D、四种不同的设备上加工。按工艺 资料规定，单件产品在不同设备上加工所需要的台时 如下表所示，企业决策者应如何安排生产计划，使企 业总的利润最大？
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用到插值拟合的问题有6个； 用灰色系统理论的4个; 用到时间序列分析的至少2个; 用到综合评价方法的至少3个； 大部分题目都可以用两种以上的方法来解决, 即综合性较强的题目有26个
最优化概论
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从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法， 即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的 目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意 义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下， 使经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完 成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力 和财力等资源为最少。
其中： C (c1 c 2 c n )
a11 a1 n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
3. 线性规划问题的标准形式
参考网站
[1] 全国大学生数学建模竞赛网：
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http://www.mcm.edu.cn
[2] 数学中国网站
http://www.madio.net
[3] 中国数学建模网站：
http://www.shumo.com
从问题的解决方法上分析
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涉及到的数学建模方法： 几何理论、组合概率、统计(回归)分析; 优化方法（规划）、图论与网络优化、层次 分析; 差分方法、微分方程、模糊数学、随机决 策、多目标决策; 插值与拟合、灰色系统理论、神经网络、时 间序列; 综合评价、机理分析等方法;
设 备 产 品 甲 乙 有效台时 A 2 2 12 B 1 2 8 C 4 0 16 D 0 4 12 利润（元） 2 3
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线性规划问题的数学模型
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解：设x1、x2分别为甲、乙两种产品的产量，则数学模型为： max Z = 2x1 + 3x2 2x1 + 2x2 ≤ 12 x1 + 2x2 ≤ 8 s.t. 4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
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这是一个典型的利润最大化的生产计划问题。 其中，“Max”是英文单词“Maximize”的缩写， 含义为“最大化”；“ s.t.”是“ subject to” 的缩写，表示“满足于…”。因此，上述模型的 含义是：在给定条件限制下，求使目标函数 z 达 到最大的x1 ,x2 的取值。
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的数学模型
（2）如何化标准形式 目标函数的转换
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如果是求极小值即 minz ，则可将目标函数乘以 (-1)，可化 cj xj 为求极大值问题。 即
z 也就是：令 z ，可得到上式。
变量的变换
若存在取值无约束的变量 x ,可令 j 其中：xj , xj 0
数学建模竞赛中的优化问题
2000B 钢管订购和运输问题— 组合优化 2001B 公交车优化调度—图论 2002B 彩票中的数学— 决策分析 2003B 露天矿生产的车辆安排问题— 离散优化
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2004A 奥运会临时超市网点设计问题 —图论
2005B DVD在线租赁— 离散优化 2006A 出版社的资源配置问题 — 决策分析
2008年B题 高等教育学费标准探讨
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请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、 家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几 类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说 服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和 重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结 论明确。 最后，根据你们建模分析的结果，给有关部门写一份报告， 提出具体建议。
(2)整个数学建模过程应当由三个阶段： 1.建立模型：实际问题→数学问题； 2.数学解答：数学问题→数学解； 3.模型检验：数学解→实际问题的解决。
解决问题涉及到的计算软件分析
赛题常用的计算软件： Matlab, SPSS， EXCEL等
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重要的是参赛选手具备编程计算、计算机仿真 、模拟能力。
称为剩余变量
x n i 0
0 变量 x j 的变换
可令 xj x j
x j 0
线性规划问题的数学模型
4. 线性规划问题的解 线性规划问题
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max Z c j x j (1)
j 1
n
n a ij x j bi ( i 1,2, , m ) ( 2) s.t j 1 x j 0, j 1,2, , n ( 3)
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max Z c j x j
j 1
n
n a ij x j bi s.t j 1 i 1,2, , m x j 0, j 1,2, , n
特点： (1) 目标函数求最大值。 (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
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约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
一、最优化概念
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所有类似的这种课题统称为最优化问题，研究解决这些问 题的科学一般就总称之为最优化理论和方法 另外也可用学术味更浓的名称：“运筹学”。由于最优化 问题背景十分广泛，涉及的知识不尽相同，学科分枝很多， 因此这个学科名下到底包含哪些分枝，其说法也不一致。 比较公认的是：“规划论”（包括线性和非线性规划、整 数规划、动态规划、多目标规划和随机规划等），“组合 最优化”，“对策论”及“最优控制”等等。
赛题发展的特点：
1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：
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赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算 不能完成; 某些问题需要使用计算机软件，如01A; 问题的数据读 取需要计算机技术，如04A（数据库数据，数据库方 法，统计软件包）。 计算机模拟和以算法形式给出最终结果,如09B，11B。 2. 赛题的开放性增大 :题意的开放性，思路的开放 性，方法的开放性，结果的开放性。 开放性还表现在 对模型假设和对数据处理上。如10B
线性规划问题的数学模型
3. 线性规划数学模型的一般形式
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目标函数： max (min) z c1 x1 c 2 x 2 c n x n
a1 1 x1 a1 2 x 2 a1 n x n ( ) b1
约束条件：






a m 1 x1 a m 2 x 2 a m n x n ( ) bm x1 0 x n 0
maxz z c j x j
x j xj xj
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
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a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
称为松弛变量
x n i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
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拿到赛题后大家需要思考的问题
题目属于哪种类型：连续的、离散的
需要解决什么问题:最优化方案、预测模型、 最短路径等等；将问题分解。 可以用哪些相关模型、算法求解、需 要什么 数学工具。
1、数学建模的过程
(1)流程图 问题分析 模型假设 建立模型 模型求解
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模型检验
模型分析
模型应用
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3.
试题向大规模数据处理方向发展:
从05年开始，基本上每年都有一大数据量的赛题；数 据结构的复杂性：数据的真实性，数据的海量性，数 据的不完备性，数据的冗余性
4.
求解算法和各类现代算法的融合；如：11B 5.实用性：问题和数据来自于实际，解决方法切合于 实际，模型和结果可以应用于实际。 6.即时性：国内外的大事，社会的热点，生活的焦点， 近期发生和即将发生被关注的问题。
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从数学上来看，所谓最优化问题可以概括为这样一种数学模 型：给定一个“函数”，F(X)，以及“自变量”X应满足的 一定条件，求X为怎样的值时，F(X)取得其最大值或最小值。 通常，称F(X)为“目标函数”，X应满足的条件为“约束条 件”。约束条件一般用一个集合D表示为：X∈D。
求目标函数F(X)在约束条件X∈D下的最小值或最大值问题， 就是一般最优问题的数学模型．
函数最优化：决策变量是一定区间内的连续变量． 组合最优化：决策变量是离散状态，同时可行域是
由有限个点组成的集合
最优化方法解决问题的步骤
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（1）确定变量，写出目标函数和有关约束条件，建 立数学模型。
（2）分析模型，搞清它属于运筹学哪一分枝，选择 合适的最优化方法； （3）编程求解；尽量利用现有的数学软件或最优化 软件，比如 Matlab，Mathematica， Lindo， Lingo等，来计算。 （4）最优解的验证和实施。
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07B 乘公交，看奥运 —图论 整数规划 08B 高等教育学费探讨— 层次分析法 多目标优化
09B 眼科病床的合理安排—动态规划
10B 上海世博会经济影响力定量评估 —决策分析 11B 交巡警服务平台的设置与调度—图论 多目标规划 12B 太阳能小屋的设计 — 离散优化 13A 车道被占用对城市道路通行能力的影响 — 离散 优化
二、最优化问题的一般形式
无约束最优化问题
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目标函数
min f ( x )
xR n
约束最优化问题 min f ( x )
s.t . ci ( x ) 0, i E ci ( x ) 0, i I
最优解；最优值
约束函数
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三、最优化问题分类
分类1： 分类2： 无约束最优化 约束最优化 线性规划 非线性规划