空间几何体的表面积和体积(教案)
2021-8-8 空间几何体的表面积和体积(教案)
简单几何体的表面积与体积计算，主要以选择题、填空题的形式呈现，在解答题中，有时与空间线、面位置证明相结合，面积与体积的计算作为其中的一问.核心考点一空间几何体的表面积柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.1.【2018新课标1文5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A．122πB．12πC．82πD．10π2．【2017新课标1文18】如图，在四棱锥P ABCD-中，//AB CD，且90BAP CDP∠=∠=（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA PD AB DC===，90APD∠=，且四棱锥P ABCD-的体积为83，求该四棱锥的侧面积．【解析】（1）由已知90BAP CDP==︒∠∠，得AB AP⊥，CD PD⊥．由于AB CD∥，故AB PD⊥，从而AB⊥平面PAD．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．精讲精练知识梳理空间几何体的表面积和体积（2）在平面PAD 内作PE AD ⊥，垂足为E ．由（1）知，AB ⊥平面PAD ，故AB PE ⊥，可得PE ⊥平面ABCD ． 设AB x =，则由已知可得2AD x =，22PE x =． 故四棱锥P ABCD -的体积31133P ABCD V AB AD PE x -=⋅⋅=． 由题设得31833x =，故2x =．从而2PA PD ==，22AD BC ==，22PB PC ==．可得四棱锥P ABCD -的侧面积为21111sin 606232222PA PD PA AB PD DC BC ⋅+⋅+⋅+︒=+．【变式训练】1．【2018新课标2理16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515，则该圆锥的侧面积为__________．2．【2015新课标1文18】如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ⊥平面ABCD ， （I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积．1、【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为， 因为的面积为，设母线长为，所以，， 因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，因此圆锥的侧面积为． 2、【解析】(Ⅰ) ∵BE ⊥平面ABCD ，∴BE ⊥AC ．∵ABCD 为菱形，∴ BD ⊥AC ，∴AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面BED ． (Ⅱ)设AB=x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC=120°可得， AG=GC=32x ，GB=GD=2x ． 在RtΔAEC 中，可得EG=32x ．∴ 在RtΔEBG 为直角三角形，可得BE=22x ．GEDACBSA SB 78SA SB 158SAB △515l 211551528l ⨯⨯=280l ∴=SA 45︒2cos42l l π=224022rl l π=π=π∴ 31132243E ACD V AC GD BE x -=⨯⋅⋅==，解得x =2．由BA=BD=BC 可得的面积为3，ΔEAD 的面积与ΔECD所以三棱锥E-ACD 的侧面积为核心考点二 空间几何体的体积柱体、锥体和球的体积公式：①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.1．【2018新课标2文16】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若SAB △的面积为8，则该圆锥的体积为________．2.【2019新课标3文理16】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体1111ABCD A BC D -挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB=BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g ．3.【2020新课标1文19】如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC ∆是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，90o APC ∠=． （1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO =，求三棱锥P ABC -的体积．1、【解析】如下图所示，，，又，解得，所以，．2、【解析】由题意得，2146423122EFGHS cm=⨯-⨯⨯⨯=，四棱锥O−EFG的高3cm，∴21123123O EFGHV cm-=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A BC D-的体积为22466144V cm=⨯⨯=，所以该模型体积为22114412132V V V cm=-=-=，其质量0.9132118.8g⨯=．3、【解析】（1）连接,,OA OB OC，D为圆锥顶点，O为底面圆心，OD∴⊥平面ABC，P在DO上，,OA OB OC PA PB PC==∴==，ABC∆是圆内接正三角形，AC BC∴=，PAC PBC≅△△，90APC BPC∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC⊥⊥，PA PB P=，PC∴⊥平面,PAB PC⊂平面PAC，∴平面PAB⊥平面PAC；（2）设圆锥的母线为l，底面半径为r，圆锥的侧面积为,rl rlπ=2222OD l r=-=，解得1,r l==2sin603AC r==，在等腰直角三角形APC中，AP AC==Rt PAO∆中，PO===∴三棱锥P ABC-的体积为11333P ABC ABCV PO S-=⋅==△．【变式训练】1.【2018江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.2.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则四面体ABEF的体积为()30SAO∠=︒90ASB∠=︒211822SABS SA SB SA=⋅==△4SA=122SO SA==AO=2183V OA SO=⋅π⋅⋅=πA.13B.23C.1D.433．【2019新课标2文17】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1．（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，AB =3，求四棱锥11E BB C C -的体积．1、【解析】正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2.则该正八面体的体积为13×(2)2×1×2＝43.2、【解析】∵ ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ，∴ ED ⊥AD . ∵ 在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ，∴ AD ⊥平面CDEF.易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵ V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13＝2×2×1×12×13＝23，∴ V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43，V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B.3、【解析】（1）因为在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面c e a ==BE ⊂平面5c e a ==11B C BE ⊥， 又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，且1EC ⊂平面11EB C ，11B C ⊂平面11EB C ，所以BE ⊥平面11EB C ；（2）设长方体侧棱长为2a ，则1AE A E a ==，由（1）可得1EB BE ⊥；所以22211EB BE BB +=，即2212BE BB =， 又3AB =，所以222122AE AB BB +=，即222184a a +=，解得3a =； 取1BB 中点F ，连结EF ，因为1AE A E =，则EF AB ∥； 所以EF ⊥平面11BB C C ，所以四棱锥11E BB C C -的体积为1111111136318333E BB C C BB C C V S EF BC BB EF -=⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=矩形．核心考点三 多面体与球的切、接问题球的相关性质：1、用一个平面去截球，截面是圆面；经过球心的平面截的圆叫大圆；不经过球心的平面截的圆叫小圆。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积一、教学目标：1. 让学生掌握常见空间几何体的表面积和体积的计算公式。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生对数学知识的兴趣，培养学生的空间想象力。
二、教学内容：1. 立方体、立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体、圆柱体的表面积和体积计算。
3. 球体、球体的表面积和体积计算。
4. 锥体、锥体的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点：重点：掌握常见空间几何体的表面积和体积计算公式。
难点：空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
3. 通过实例分析，让学生学会将空间几何知识应用于实际问题。
五、教学过程：1. 导入新课：回顾平面几何知识，引出空间几何体的概念。
2. 讲解立方体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
3. 讲解圆柱体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
4. 讲解球体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
5. 讲解锥体的表面积和体积计算公式，让学生动手计算实例。
6. 分析空间几何体表面积和体积在实际问题中的应用，让学生尝试解决实际问题。
7. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。
9. 布置课后作业，要求学生运用所学知识解决实际问题。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业，评估学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握情况。
2. 观察学生在解决实际问题时是否能灵活运用所学知识，评价其运用能力。
3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度、合作精神和创新能力进行评价。
七、教学资源：1. 多媒体课件：用于展示空间几何体的形状，增强学生的空间想象力。
2. 练习题：用于巩固学生对空间几何体表面积和体积计算公式的掌握。
第3课时 由三视图确定几何体的表面积或体积(教案)
第3课时由三视图确定几何体的表面积或体积【知识与技能】熟练掌握已知空间几何体的三视图求其表面积和体积的方法.【过程与方法】1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力.2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维.【情感态度】通过研究三视图，研究我国著名建筑物的三视图研究，培养学生的爱国情结. 【教学重点】观察，实践，猜想和归纳的探究过程.【教学难点】如何引导学生进行合理的探究.一、复习提问1.如何求空间几何体的表面积和体积（例如：球，棱柱，棱台等）；2.三视图与其几何体如何转化.二、思考探究，获取新知如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：m)，求该几何体的面积和体积.解该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的高为3cm.则底面边长为2cm，故S底面面积=）2=3÷cm（232S侧面面积=2×3×3=18 (cm2)故这个几何体的表面积S = 2S底面面积十S侧面面积=）2+183（2cm三棱柱的体积是V=）3=3⨯cm（333【教学说明】空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清楚，然后再代公式进行计算.求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积呢？此时应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算思考如何求出四棱台的表面积和体积？请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么（让学生思考）. 【总结归纳】求组合几何体的表面积的时候容易出错.三、典例精析、掌握新知例1 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（）A.52B.32C.24D.9【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，因此这个长方体的体积为4×2×3 = 24(平方单位）【答案】C【教学说明】三视图问题一直是中考考查的高频考点，一般题目难度中等偏下，本题所用的知识是：主视图主要反映物体的长和高，左视图主要反映物体的宽和高，俯视图主要反映物体的长和宽.例2 将棱长是1cm的小正方体组成如图所示的几何体，那么这个几何体的表面积是（）A. 36 cm2B. 33 cm2C. 30 cm2D. 27 cm2【分析】算表面积应该从六个方向去计算，不要忽视了底面.【答案】A四、师生互动，课堂小结通过这节课的探究学习，发现由三视图求几何体的表面积和体积，要先将三视图转化为其几何体的直观图，分清楚直观图中的几何要素，然后再代公式进行计算；特别要分清几何体的侧面积与表面积；平时多动脑筋，挖掘与题目相关联的知识点.1.布置作业：从教材Pm〜1。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积数学教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握空间几何体的表面积和体积的计算方法，能够熟练运用这些方法解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、操作、推理等过程，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新精神和合作意识。
二、教学内容：1. 立方体的表面积和体积计算。
2. 圆柱体的表面积和体积计算。
3. 圆锥体的表面积和体积计算。
4. 球的表面积和体积计算。
5. 空间几何体表面积和体积的综合应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间几何体的表面积和体积的计算方法。
2. 教学难点：空间几何体表面积和体积的综合应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究空间几何体的表面积和体积计算方法。
2. 利用实物模型和多媒体辅助教学，帮助学生直观理解空间几何体的特点和计算方法。
3. 组织小组讨论和动手实践，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过展示各种空间几何体模型，引导学生观察和思考空间几何体的特点。
2. 讲解与示范：讲解立方体、圆柱体、圆锥体、球体的表面积和体积计算方法，并进行示范。
3. 练习与讨论：学生独立完成练习题，小组内讨论解题思路和方法。
4. 拓展与应用：引导学生运用所学知识解决实际问题，如计算实际物体的表面积和体积。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与情况，包括提问、回答问题、小组讨论等。
2. 练习完成情况：检查学生完成练习题的情况，评估学生对知识点的理解和掌握程度。
3. 作业质量：评估学生作业的完成质量，包括解题的正确性、步骤的清晰性等。
4. 学生互评：组织学生进行互相评价，鼓励学生相互学习、相互帮助。
七、教学反思：2. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解学生的学习需求和困惑。
3. 教学内容：评估教学内容的难易程度，根据学生的实际情况进行调整。
高三 一轮复习 空间几何体的表面积及体积 教案
空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体 (棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体 (棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 31．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错． 2．易混侧面积与表面积的概念． [试一试]1.(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝3 cm ，AA 1＝2 cm ，则四棱锥A -BB 1D 1D 的体积为________cm 3.2．(2013·苏州暑假调查)设P ，A ，B ，C 是球O 表面上的四个点，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝PB ＝1，PC ＝2，则球O 的表面积是________．1．求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，①正方体的外接球，则2R＝3a；②正方体的内切球，则2R＝a；③球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.3．旋转体侧面积问题中的转化思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．[练一练]1．(2014·南通一调)已知正四棱锥的底面边长是6，高为7，则这个正四棱锥的侧面积是________．2．在三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′⊥平面ABC，AA′＝2，BC＝23，∠BAC＝π2，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的体积为________．考点一几何体的表面积1．(2013·南通三模)底面边长为2 m，高为1 m的正三棱锥的全面积为________ m2.2．(2013·苏州暑期调查)若正四面体的棱长为a，则其外接球的表面积为________．[类题通法]几何体的表面积问题的求法(1)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理．考点二几何体的体积[典例](1)如图所示，已知三棱柱ABC -A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1 -ABC1的体积为________．(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则三棱锥A-B1D1D的体积为________ cm3.[类题通法]求解几何体体积的策略及注意问题(1)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高．(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．(3)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征．[针对训练](2013·苏北四市二模)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，O为底面正方形ABCD的中心，则三棱锥B1-BCO的体积为________．与球有关的切、接问题考点三与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点.命题角度多变，归纳起来常见的命题角度有： (1)直三棱柱的外接球； (2)正(长)方体的外接球； (3)正四面体的内切球； (4)四面体的外接球； (5)正三棱柱的内切球.角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考改编)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．角度二 正(长)方体的外接球2．一个正方体的棱长为2，则该几何体外接球的体积为________．角度三 正四面体的内切球3．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.角度四 四面体的外接球4．(2014·南通期末)正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为23，则四面体A -B 1CD 1的外接球的体积为________．角度五 正三棱柱的内切球5．点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则PM ·PN 的取值范围是________．[类题通法]解决与球有关的切、接问题的方法(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．(2)若球面上四点P，A，B，C中P A，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．[课堂练通考点]1．(2013·南京三模)已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．(2014·苏北三市统考)若一个长方体的长、宽、高分别为3，2，1，则它的外接球的表面积是________．3．(2014·苏北四市质检)已知棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，B1C1上的点，若BPPD1＝12，则三棱锥M-PBC的体积为________．4．已知三棱锥O-ABC中，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝AC＝7，BC＝11，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．5．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝23，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为________．[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为________．2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．3．(2013·南京、淮安二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm ，圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的高为________ cm.4．设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．5．设M 、N 是球O 半径OP 上的两点，且NP ＝MN ＝OM ，分别过N ，M ，O 作垂直于OP 的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为________．6．(2013·苏北四市三调)在矩形ABCD 中，已知AB ＝2，BC ＝3，以边BC 所在的直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．7．(2014·苏北四市摸底)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为433，则它的体积为________．8.(创新题)如图，在三棱锥D -ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D -ABC 的体积的最大值是________．9.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形， 其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°，△ADP ∽△BAD .(1)求线段PD的长；(2)若PC＝11R，求三棱锥P-ABC的体积．10．(2014·徐州质检)如图，在直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E -BCD的体积．第Ⅱ组：重点选做题1．(2014·苏中三市、宿迁调研(一))若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为2 cm的半圆，则该圆锥的高为________ cm.2．已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为。
高中数学必修2《空间几何体的表面积与体积》教案
⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 ⾼中数学必修2《空间⼏何体的表⾯积与体积》教案 1教学⺫标 1.知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积的求法. 2.能运⽤公式求解柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 2学情分析 通过学习空间⼏何体的结构特征，空间⼏何体的三视图和直观图，了解了空间⼏何体和平⾯图形之间的关系，从中反映出⼀个思想⽅法，即平⾯图形和空间⼏何体的互化，尤其是空间⼏何问题向平⾯问题的转化。
该部分内容中有些是学⽣已经熟悉的，在解决这些问题的过程中，⾸先要对学⽣已有的知识进⾏再认识，提炼出解决问题的⼀般思想——化归的思想，总结出⼀般的求解⽅法，在此基础上通过类⽐获得解决新问题的思路，通过化归解决问题，深化对化归、类⽐等思想⽅法的应⽤。
3重点难点 重点：知道柱体、锥体、台体侧⾯展开图，弄懂柱体、锥体、台体的表⾯积公式。
难点：会求柱体、锥体和台体的表⾯积，并知道柱体、锥体和台体表⾯积之间的关系. 4教学过程 4.1 第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 课时设计课堂实录 1.3 空间⼏何体的表⾯积与体积 1第⼀学时教学活动活动1【导⼊】第1课时 柱体、锥体、台体的表⾯积 (⼀)、基础⾃测： 1.棱⻓为a的正⽅体表⾯积为__________. 2.⻓、宽、⾼分别为a、b、c的⻓⽅体，其表⾯积为___________________. 3.⻓⽅体、正⽅体的侧⾯展开图为__________. 4.圆柱的侧⾯展开图为__________. 5.圆锥的侧⾯展开图为__________. (⼆).尝试学习 1.柱体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱柱的侧⾯展开图是____________，⼀边是棱柱的侧棱，另⼀边等于棱柱的__________，如图①所⽰;圆柱的侧⾯展开图是_______，其中⼀边是圆柱的⺟线，另⼀边等于圆柱的底⾯周⻓，如图②所⽰. (2)⾯积：柱体的表⾯积S表=S侧+2S底.特别地，圆柱的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆柱的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 2.锥体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱锥的侧⾯展开图是由若干个__________拼成的，则侧⾯积为各个三⾓形⾯积的_____，如图①所⽰;圆锥的侧⾯展开图是_______，扇形的半径是圆锥的______，扇形的弧⻓等于圆锥的__________，如图②所⽰. (2)⾯积：锥体的表⾯积S表=S侧+S底.特别地，圆锥的底⾯半径为r，⺟线⻓为l，则圆锥的侧⾯积S侧=__________，表⾯积S表=__________. 3.台体的表⾯积 (1)侧⾯展开图：棱台的侧⾯展开图是由若干个__________拼接⽽成的，则侧⾯积为各个梯形⾯积的______，如图①所⽰;圆台的侧⾯展开图是扇环，其侧⾯积可由⼤扇形的⾯积减去⼩扇形的⾯积⽽得到，如图②所⽰. (2)⾯积：台体的表⾯积S表=S侧+S上底+S下底.特别地，圆台的上、下底⾯半径分别为r′，r，⺟线⻓为l，则侧⾯积S侧=____________，表⾯积S表=________________________. (三).互动课堂 例1：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，∠AA1B1=∠AA1C1=60°，∠BB1C1=90°，侧棱⻓为b，则其侧⾯积为( ) A. B.ab C.(+)ab D.ab 例2:(1)若⼀个圆锥的轴截⾯是等边三⾓形，其⾯积为，则这个圆锥的侧⾯积是( )A.2πB.C.6πD.9π (2)已知棱⻓均为5，底⾯为正⽅形的四棱锥S-ABCD，如图，求它的侧⾯积、表⾯积. 例3：⼀个四棱台的上、下底⾯都为正⽅形，且上底⾯的中⼼在下底⾯的投影为下底⾯中⼼(正四棱台)两底⾯边⻓分别为1,2，侧⾯积等于两个底⾯积之和，则这个棱台的⾼为( ) A. B.2 C. D. (四).巩固练习： 1.⼀个棱柱的侧⾯展开图是三个全等的矩形，矩形的⻓和宽分别为6 cm,4 cm，则该棱柱的侧⾯积为________. 2.已知⼀个四棱锥底⾯为正⽅形且顶点在底⾯正⽅形射影为底⾯正⽅形的中⼼(正四棱锥)，底⾯正⽅形的边⻓为4 cm，⾼与斜⾼的夹⾓为30°，如图所⽰，求正四棱锥的侧⾯积________和表⾯积________(单位：cm2). 3.如图所⽰，圆台的上、下底半径和⾼的⽐为1：4：4，⺟线⻓为10，则圆台的侧⾯积为( )A.81πB.100πC.14πD.169π (五)、课堂⼩结： 求柱体表⾯积的⽅法 (1)直棱柱的侧⾯积等于它的底⾯周⻓和⾼的乘积;表⾯积等于它的侧⾯积与上、下两个底⾯的⾯积之和. (2)求斜棱柱的侧⾯积⼀般有两种⽅法：⼀是定义法;⼆是公式法.所谓定义法就是利⽤侧⾯积为各侧⾯⾯积之和来求，公式法即直接⽤公式求解. (3)求圆柱的侧⾯积只需利⽤公式即可求解. (4)求棱锥侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (5)求圆锥侧⾯积的⼀般⽅法：公式法：S侧=πrl. (6)求棱台侧⾯积的⼀般⽅法：定义法. (7)求圆台侧⾯积的⼀般⽅法：公式法S侧=2(r+r′)l. 五、当堂检测 1.(2011·北京)某四棱锥的三视图如图所⽰，该四棱锥的表⾯积是( )A.32B.16+16C.48D.16+32 ⺴] 2.(2013·重庆)某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的表⾯积为( )A.180B.200C.220D.240 3.(2013⼲东)若⼀个圆台的正视图如图所⽰，则其侧⾯积等于( )A.6B.6πC.3πD.6π 六、作业：(1)课时闯关(今晚交) 七、课后反思：本节课你会哪些?还存在哪些问题? ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、 ⼩编推荐各科教学设计： 、、、、、、、、、、、、。
精品教案：空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积【知识网络】1、球的表面积和体积；2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。
【典型例题】例1：（1）直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1和CC 1上如图，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为 （ ）A ．2V B ．3VC ．4VD ．5V答案：B ；解析：取P 、Q 分别为AA 1、CC 1的中点，设矩形AA 1C 1C 的面积为S ，点B 到底面AA 1C 1C 的距离为h ，则 111111111()()()32323233B APQC ABC S V h Sh AC h AA AA S V -∆=⋅⋅==⋅⋅=⋅=。
（2）半径为R 的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为 （ ）A 、2πR 2B 、4R 2C 、2R 2D 、4πR 2 答案：B 。
解析：222222212,,6423a a R a R a R +=∴=∴=。
（3）平行六面体的棱长都是a ，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该 平行六面体的体积为A ．3a B ．321a C ．322a D ．323a答案：C 。
解析：32sin 603V a a a =⋅⋅=。
（4）已知直平行六面体1111D C B A ABCD -的各条棱 长均为3，︒=∠60BAD ，长为2的线段MN 的一个端点M 在1DD 上运动，另一端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹（曲面）与共一顶点D 的三个面所围成的几何体的体积为为__ ____。
答案：29π。
解析：P 点的轨迹是以D 为球心、半径为1的六分之一球， ∴142639V ππ=⨯=。
（5）已知球的内接正方体的表面积为S ，那么球的体积为 。
32S 。
高中数学必修二 (教案)简单几何体的表面积与体积
简单几何体的表面积与体积【第一课时】【教学目标】1．了解柱体、锥体、台体的侧面展开图，掌握柱体、柱、锥、台的体积2．能利用柱体、锥体、台体的体积公式求体积，理解柱体、锥体、台体的体积之间的关系【教学重难点】1．柱、锥、台的表面积2．锥体、台体的表面积的求法【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？3．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是什么？4．柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么？5．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式、体积公式之间分别有怎样的关系？二、新知探究柱、锥、台的表面积例1：（1）若圆锥的正视图是正三角形，则它的侧面积是底面积的（）A.2倍B．3 倍C．2 倍D．5 倍（2）已知正方体的8 个顶点中，有 4 个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为（）A．1∶ 2B．1∶3C．2∶ 2D．3∶6（3）已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3 ，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为（）A．7B．6C．5D．3【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意可知，l＝2r，于是S侧＝πr·2r＝2πr2，S底＝πr2，可知选 C.（2）棱锥B′ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝2，S△B′AC＝3 2.三棱锥的表面积S锥＝4×32＝23，又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝23∶6＝1∶ 3.（3）设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π（r＋3r）＝84π，解得r＝7.【答案】（1）C（2）B（3）A[规律方法]空间几何体表面积的求法技巧（1）多面体的表面积是各个面的面积之和．（2）组合体的表面积应注意重合部分的处理．（3）圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．柱、锥、台的体积例2：如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，过顶点B，D，A1截下一个三棱锥．（1）求剩余部分的体积；（2）求三棱锥AA1BD的体积及高．【解】（1）V三棱锥A1ABD＝13S△ABD·A1A＝13×1 2·AB·AD·A1A＝16a3.故剩余部分的体积V＝V正方体－V三棱锥A1ABD＝a3－16a3＝56a3.（2）V三棱锥AA1BD＝V三棱锥A1ABD＝1 6a 3.设三棱锥AA1BD的高为h，则V三棱锥AA1BD＝13·S△A1BD·h＝13×12×32（2a）2h＝36a2h，故36a2h＝16a3，解得h＝3 3a.[规律方法]求几何体体积的常用方法（1）公式法：直接代入公式求解．（2）等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．（3）补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等．（4）分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．[提醒]求几何体的体积时，要注意利用好几何体的轴截面（尤其为圆柱、圆锥时），准确求出几何体的高和底面积．组合体的表面积和体积例3：如图在底面半径为2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．【解】设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，表面积为 S . 则 R ＝OC ＝2，AC ＝4， AO ＝42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB ∽△AOC ，所以AE AO ＝EB OC ，即323＝r 2，所以 r ＝1，S 底＝2πr 2＝2π，S 侧＝2πr ·h ＝23π. 所以 S ＝S 底＋S 侧＝2π＋23π ＝（2＋23）π.1．[变问法]本例中的条件不变，求圆柱的体积与圆锥的体积之比． 解：由例题解析可知：圆柱的底面半径为 r ＝1，高 h ＝3，所以圆柱的体积 V 1＝πr 2h ＝π×12×3＝3π.圆锥的体积 V 2＝13π×22×23＝833π.所以圆柱与圆锥的体积比为 3∶8.2．[变问法]本例中的条件不变，求图中圆台的表面积与体积．解：由例题解析可知：圆台的上底面半径 r ＝1，下底面半径 R ＝2，高 h ＝3，母线 l ＝2，所以圆台的表面积 S ＝π（r 2＋R 2＋r ·l ＋Rl ）＝π（12＋22＋1×2＋2×2）＝11π.圆台的体积 V ＝13π（r 2＋rR ＋R 2）h ＝13π（12＋2＋22）×3＝733π. 3．[变条件、变问法]本例中的“高为3”改为“高为 h ”，试求圆柱侧面积的最大值．解：设圆锥的底面半径为 R ，圆柱的底面半径为 r ，则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝2 3.如图所示易知△AEB∽△AOC，所以AEAO ＝EBOC，即23－h23＝r2，所以h＝23－3r，S圆柱侧＝2πrh＝2πr（23－3r）＝－23πr2＋43πr，所以当r＝1，h＝3时，圆柱的侧面积最大，其最大值为23π.[规律方法]求组合体的表面积与体积的步骤（1）分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．（2）设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积．（3）计算求值：根据设计的计算方法求值．【课堂总结】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．2．棱柱、棱锥、棱台的体积（1）V棱柱＝Sh；（2）V棱锥＝13Sh；V棱台＝13h（S′＋SS′＋S），其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．3．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积名称图形公式圆柱底面积：S底＝πr2侧面积：S侧＝2πrl表面积：S＝2πrl＋2πr2体积：V＝πr2l[名师点拨]1．柱体、锥体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh .（2）锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh . （3）台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13()S ′＋SS ′＋S h .2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝r S 圆台侧＝π（r ′＋r ）l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系V 柱体＝Sh ――→S ′＝S V 台体＝13（S ′＋S ′S ＋S ）h ――→S ′＝0V 锥体＝13Sh .【课堂检测】1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则该长方体的表面积为（ ）A ．22B ．20C ．10D ．11解析：选A.所求长方体的表面积S ＝2×（1×2）＋2×（1×3）＋2×（2×3）＝22.2．正三棱锥的高为3，侧棱长为23，则这个正三棱锥的体积为（ ）A.274B.94C.2734D.934解析：选D.由题意可得底面正三角形的边长为3，所以V ＝13×34×32×3＝934.故选D.3．已知圆台的上、下底面的面积之比为9∶25，那么它的中截面截得的上、下两台体的侧面积之比是________．解析：圆台的上、下底面半径之比为3∶5，设上、下底面半径为3x ，5x ，则中截面半径为4x ，设上台体的母线长为l ，则下台体的母线长也为l ，上台体侧面积S 1＝π（3x ＋4x ）l ＝7πxl ，下台体侧面积S 2＝π（4x ＋5x ）l ＝9πxl ，所以S 1∶S 2＝7∶9.答案：7∶9 4.如图，三棱台ABC A 1B 1C 1中，AB ∶A 1B 1＝1∶2，求三棱锥A 1ABC ，三棱锥B A 1B 1C ，三棱锥CA 1B 1C 1的体积之比．解：设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S .所以VA 1ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h （S ＋4S ＋2S ）＝73Sh ， 所以VB A 1B 1C ＝V 台－VA 1ABC －VCA 1B 1C 1＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， 所以体积比为1∶2∶4.【第二课时】 【教学目标】1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积 2．能解决与球有关的组合体的计算问题【教学重难点】1．球的表面积与体积 2．与球有关的组合体【教学过程】一、问题导入预习教材内容，思考以下问题：1．球的表面积公式是什么？2．球的体积公式什么？二、新知探究球的表面积与体积例1：（1）已知球的体积是32π3，则此球的表面积是（）A．12πB．16πC.16π3 D.64π3（2）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（）A．17π B．18πC．20π D．28π【解析】（1）设球的半径为R，则由已知得V＝43πR3＝32π3，解得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.（2）由三视图可得此几何体为一个球切割掉18后剩下的几何体，设球的半径为r，故78×43πr3＝283π，所以r＝2，表面积S＝78×4πr2＋34πr2＝17π，选A.【答案】（1）B（2）A[归纳反思]球的体积与表面积的求法及注意事项（1）要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．（2）半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．球的截面问题例2：如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为（）A.500π3cm3 B.866π3cm3C.1 372π3cm3 D.2 048π3cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2（cm），BM＝12AB＝12×8＝4（cm）．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝（R－2）2＋42，所以R＝5，所以V球＝43π×53＝5003π （cm3）．【答案】A[规律方法]球的截面问题的解题技巧（1）有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题．（2）解题时要注意借助球半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d构成的直角三角形，即R2＝d2＋r2.与球有关的切、接问题角度一球的外切正方体问题例3：将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A.4π3B.2π3C.3π2D.π6【解析】由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43×π×13＝4π3.【答案】A角度二球的内接长方体问题例4：一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32＝14，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π. 【答案】14π角度三球的内接正四面体问题例5：若棱长为 a 的正四面体的各个顶点都在半径为 R 的球面上，求球的表面积．【解】把正四面体放在正方体中，设正方体棱长为 x ，则 a ＝2x ，由题意2R ＝3x ＝3×2a 2＝62a ，所以 S 球＝4πR 2＝32πa 2.角度四球的内接圆锥问题例6：球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为________．【解析】①当圆锥顶点与底面在球心两侧时，如图所示，设球半径为 r ，则球心到该圆锥底面的距离是r 2，于是圆锥的底面半径为 r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝3r 2，高为3r 2.该圆锥的体积为 13 ×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 22 ×3r 2＝38πr 3，球体积为43 πr 3，所以11 / 13该圆锥的体积和此球体积的比值为38πr 343πr 3＝932. ②同理，当圆锥顶点与底面在球心同侧时，该圆锥的体积和此球体积的比值为332.【答案】932或332角度五球的内接直棱柱问题例7：设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 2【解析】由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP＝23×32a ＝33a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝712a 2，故 S 球＝4πR 2＝73πa 2. 【答案】B[规律方法]（1）正方体的内切球球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为 r 1＝a 2，过在一个平面上的四个切点作截面如图（1）． （2）长方体的外接球长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为 a ，b ，c ，过球心作长方体的对角线，则球的半径为 r 2＝12 a 2＋b 2＋c 2，如图（2）．12 / 13（3）正四面体的外接球正四面体的棱长 a 与外接球半径 R 的关系为：2R ＝62a .【课堂总结】1．球的表面积设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2．2．球的体积设球的半径为R ，则球的体积V ＝43πR 3．[名师点拨]对球的体积和表面积的几点认识（1）从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R 都有唯一确定的S 和V 与之对应，故表面积和体积是关于R 的函数．（2）由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．（3）球的表面积恰好是球的大圆（过球心的平面截球面所得的圆）面积的4倍．【课堂检测】1．直径为 6 的球的表面积和体积分别是（ ）A ．36π，144πB ．36π，36πC ．144π，36πD ．144π，144π解析：选 B ．球的半径为 3，表面积 S ＝4π·32＝36π，体积 V ＝43π·33＝36π.2．一个正方体的表面积与一个球的表面积相等，那么它们的体积比是（ ） A.6π6 B.π2C.2π2D.3π2π解析：选 A ．设正方体棱长为 a ，球半径为 R ，由 6a 2＝4πR 2 得a R ＝2π3，所以V 1V 2＝a 343πR 3＝34π⎝ ⎛⎭⎪⎫2π33＝6π6. 3．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为（ ）A ．1B ．213 / 13C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r （R >r ），则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎨⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 4．已知棱长为 2 的正方体的体积与球 O 的体积相等，则球 O 的半径为________．解析：设球 O 的半径为 r ，则43πr 3＝23，解得 r ＝36π. 答案：36π5．已知过球面上 A ，B ，C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且 AB ＝BC ＝CA ＝2，求球的表面积．解：设截面圆心为O ′，球心为 O ，连接 O ′A ，OA ，OO ′，设球的半径为 R .因为O ′A ＝23×32×2＝233.在 Rt △O ′OA 中，OA 2＝O ′A 2＋O ′O 2，所以 R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＋14R 2， 所以 R ＝43，所以 S 球＝4πR 2＝649π.。
《空间几何体的表面积和体积》教学设计
《空间几何体的表面积和体积》教学设计教材的地位和作用几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
通常采用直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的几何直观能力、运用图形语言进行交流的能力空间想象能力在本章，学生将从对空间几何体的整体入手，认知空间图形；了解简单几何体的表面积和体积的计算方法。
学情分析学生是在义务教育阶段学习的基础上展开的，具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法。
他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。
同时思维的严密性还有待加强。
学习目标1、认识柱体、锥体、台体及其简单组合体的结构特征，认真了解它们的几何特征。
2、推导柱体、锥体、台体表面积和体积公式，会利用这些公式解决一些简单的实际问题。
3、认识球的结构特征，了解它的有关概念。
4、知道球的表面积和体积公式，并能解决一些简单的实际问题。
5、通过对柱体、锥体、台体及球的侧（表）面积公式和体积公式之间的关系，体验数学发现和创造的过程。
教学过程一、课题引入在初中我们学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，问：你知道①正方体和长方体的表面积与它们的展开图的面积的关系吗？②其他几何体的展开图与其表面积的关系吗？③棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的展开图是什么？④如何计算棱柱、棱锥、棱台的表面积？二、自学检测1、几何体的表面积，它表示___________________________；求多面体的表面积时，可以把多面体展成平面图形，利用__________________________的方法来求。
2、棱长为1的正四面体S－ABC的表面积为_______。
3、圆柱的侧面展开图是_________，若圆柱的底面半径为r，母线长为l,则圆柱的底面积为___，侧面积为_________，全面积为______。
关于空间几何体的表面积和体积数学教案
关于空间几何体的表面积和体积数学教案教案章节一：引言与立方体教学目标：1. 让学生了解空间几何体的概念。
2. 引导学生通过观察立方体来理解表面积和体积的定义。
教学内容：1. 介绍空间几何体的基本概念，如立方体、球体、圆柱体等。
2. 通过观察立方体的实物或模型，让学生理解表面积和体积的定义。
教学步骤：1. 引入空间几何体的概念，展示立方体的实物或模型。
2. 引导学生观察立方体的特征，如六个面、八个顶点等。
3. 解释表面积和体积的定义，让学生理解它们是描述空间几何体大小的重要指标。
作业布置：1. 让学生绘制一个立方体，并标注出它的表面积和体积。
教案章节二：立方体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握立方体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积。
1. 回顾立方体的特征，引导学生理解表面积和体积的计算方法。
2. 介绍立方体的表面积和体积的计算公式，如表面积=6a²，体积=a³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算立方体的表面积和体积，如给定边长a，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同边长的立方体的表面积和体积，并进行比较。
教案章节三：球体的表面积和体积计算教学目标：1. 让学生掌握球体的表面积和体积的计算方法。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教学内容：1. 介绍球体的表面积和体积的计算公式。
2. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积。
教学步骤：1. 引导学生回顾立方体的表面积和体积计算方法，引出球体的概念。
2. 介绍球体的表面积和体积的计算公式，如表面积=4πr²，体积=4/3πr³。
3. 通过实例讲解如何运用公式计算球体的表面积和体积，如给定半径r，计算表面积和体积。
作业布置：1. 让学生运用公式计算不同半径的球体的表面积和体积，并进行比较。
空间几何体的表面积和体积(教案)
41 中高三 数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测 008 年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（ 2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转 体中某些元素有关的计算问题；．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中 S 表示面积， c ′、 c 分别表示上、 下底面周长， h 表斜高， h ′表示斜高， l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式表中 l 、h 分别表示母线、 高，r 表示圆柱、 圆锥与球冠的底半径， r 1 、r 2 分别表示圆台 上、下底面半径， R 表示半径。
四．典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1．一个长方体全面积是 20cm 2，所有棱长的和是 24cm ，求长方体的对角线长解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为 xcm 、ycm 、zcm 、 lcm4(x y z) 24 (2)由( 2)2 得： x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36 (3) 由( 3)－( 1)得 x 2+y 2+z 2=16 即 l 2=16 所以 l=4(cm) 。
依题意得： 2(xy yz zx) 20 (1)点评： 涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主， 而直棱柱中又以正方体、 长方体的表 面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、 体积之间的关系。
例 2．如图，三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，若 E 、 F 分别为 AB 、AC 的中点，平面 EB 1C 1将三棱柱分 成体积为 V 1、V 2的两部分，那么 V 1∶ V 2= 。
解：设三棱柱的高为 h ，上下底的面积为 ∵E 、F 分别为 AB 、AC 的中点，1∴ S △ AEF = S,41 1 1 7 V 1= h （S+ S+ S ）= Sh344 12V 2=Sh-V 1= 5 Sh ，12∴V 1∶V 2=7∶5。
高中数学《空间几何体的表面积与体积-体积》教案7 苏教版必修2
课题：空间几何体的体积
一、教学目标：
⒈知识目标：掌握棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积的推导方法，理解祖暅原理，会应用棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式。
⒉能力目标：通过学习祖暅原理，理解祖暅原理的内涵，体验空间与平面问题互相转化的方法，体会到复杂的体积问题怎样转化为简单的体积问题而得到解决，从而提高学生的数学思维能力。
⒊德育目标：学生通过学习祖暅原理，了解我国古代数学家在这方面作出的突出成就，受到爱国主义教育，提高学习数学的兴趣。
二、教学重点与难点：
重点是棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的推导方法。
难点是对祖暅原理的理解和棱柱、圆柱、棱锥、圆锥的体积公式的应用。
三、教学方法与教学手段：
教学方法：本节课的课型为“新授课”。
虽然学生初中已经学习了圆柱、圆锥的体积的公式，但用的是实验验证的方法，并没有从根本上理解圆柱、圆锥的体积公式的由来，本课采用推导的方法，以长方体的体积公式和祖暅原理为基础推导出几种几何体的体积公式，通过不同形式的探究过程，让学生积极参与到教学活动中来，并且始终处于积极的问题探究和辨析思考的学习气氛中。
教学手段：采用多媒体辅助教学，增强直观性，增大课堂容量，提高效率。
空间几何体的表面积与体积讲义
空间几何体的表面积与体积讲义一、知识梳理1．多面体的表面积、侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台侧面展开图侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)l3.名称几何体表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底 V ＝13Sh 台体(棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下 V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h 球S ＝4πR 2 V ＝43πR 3 注意：1(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．2．几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( )(2)锥体的体积等于底面积与高之积．( )(3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( )(5)长方体既有外接球又有内切球．( )(6)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )题组二：教材改编2．已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cm D.32cm 3．[]如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．题组三：易错自纠4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋45．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A ．12π B.323π C ．8π D ．4π 6．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为________．二、典型例题题型一：求空间几何体的表面积1．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.73B.172 C ．13 D.17＋3102思维升华：空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．题型二：求空间几何体的体积命题点1：以三视图为背景的几何体的体积典例 某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( )A.π2＋1B.π2＋3C.3π2＋1 D.3π2＋3 命题点2：求简单几何体的体积 典例已知E ，F 分别是棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AA 1，CC 1的中点，则四棱锥C 1—B 1EDF 的体积为________．思维升华：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练 (1)已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.323B.163C.83D.43 (2)如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A.23B.33C.43D.32题型三：与球有关的切、接问题典例 在封闭的直三棱柱ABC —A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球．若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( )A ．4πB.9π2 C ．6π D.32π3引申探究：1．若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上”，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，求球O 的表面积．2．若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O 的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．思维升华：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．跟踪训练如图所示，在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD ，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD ，使平面ABD ⊥平面BCD ，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为( )A.3π2 B ．3π C.2π3 D ．2π四、反馈练习1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．6π＋1B.(24＋2)π4＋1C.(23＋2)π4＋12D.(23＋2)π4＋1 2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．303．已知A ，B ，C 三点都在以O 为球心的球面上，OA ，OB ，OC 两两垂直，三棱锥O —ABC 的体积为43，则球O 的表面积为( )A.16π3B ．16π C.32π3 D ．32π4．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．24πB ．30πC ．42πD ．60π5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋42C ．6＋6 2D ．6＋22＋436．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P —ABC 为鳖臑，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ＝2，AC ＝4，三棱锥P —ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π7．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．9.如图所示，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ∥BC ，BC ＝2CD ＝2AD ＝2，若将该直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得的几何体的表面积为______．10．如图所示，一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水．若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则R r ＝________.11.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积为63，求该三棱锥的侧面积． 12如图，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，EB ＝ 3.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)设AC ＝x ，V (x )表示三棱锥B －ACE 的体积，求函数V (x )的解析式及最大值．2＝4－x 2，即x ＝2时取等号，∴当x ＝2时，体积有最大值33. 13.如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N —P AC 与三棱锥D —P AC 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶8C ．1∶6D ．1∶314．在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )A.4π3B ．4πC ．8πD ．20π15．已知三棱锥O —ABC 的顶点A ，B ，C 都在半径为2的球面上，O 是球心，∠AOB ＝120°，当△AOC 与△BOC 的面积之和最大时，三棱锥O —ABC 的体积为( )A.32B.233C.23D.13 16．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体P —BCD 的体积的最大值是________．。
高中数学必修2第一章第三节《空间几何体的表面积与体积》全套教案
空间几何体的表面积与体积1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】（1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。
（2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。
（3）培养学生空间想象能力和思维能力。
【教学重点难点】【教学重点】：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算【教学难点】：台体体积公式的推导【学前准备】：多媒体，预习例题（3）初中时，我们已经学习了计算特殊的柱体——正方体、长方体以及圆柱的体积公式：如图，把正方体截去四个角，得到一个体比2a和积此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱的高等于圆锥底面半径，且圆柱的全面积：圆锥的底面积3:2=．）求圆锥母线与底面多成的角的正切值；（2）圆锥的侧面积参考答案：1. B 2. C 3. 1 , 3 4. A 5. B 6. B 7. 1:3 3a π或32aπ9．已知圆锥有一个内接圆柱此圆柱的底面在圆锥的底面上，圆柱. 三棱锥的外接球问题【教学目标】⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。
⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】【教学重点】：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。
【教学难点】：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【学前准备】：多媒体，预习例题4：如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为.类型四：一条测棱垂直底面，底面为非直角三角形的四面体的外接球问题5已知点A,B,C,D,四点在同一个球面上，DA⊥平面ABC,DA=AB=AC=3,∠ABC=60，则球半径是类型五：正三棱锥的外接球问题6：已知正三棱锥底面边长为1，侧棱长为2，求外接球半径。
高二第1讲 空间几何体及表面积与体积(教师)
2.画几何体的高：在已知图形中过O点作垂直于xOy平面的z轴，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍_平行于_z′轴且长度_不变_.
五、柱体、锥体、台体的表面积
1．多面体的表面积
(1)我们可以把多面体展成_平面图形_，利用_平面图形_求面积的方法，求多面体的表面积；
(2)棱柱、棱锥、棱台是由多个平面图形围成的多面体，它们的侧面积就是各_側面面积____之和，表面积是_各个面的面积_之和，即_側面积_与_底面积__之和．
2．旋转体的面积与体积
名称
图形
侧面积
表面积
体积
圆柱
S侧＝2πrl_
S＝_ 2πr2＋2πrl
或S＝_ 2πr(r＋l)
V=Sh
圆锥
S侧＝πrl
S＝πr2＋πrl
(2)（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（）
（3）已知正三角形ABC的边长为1，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
思考流程(1)分析：将直观图还原为平面图形；推理：将斜二测画法画直观图的要求逆用；结论：根据规则画出原来图形．(2)分析：观察俯视图，用淘汰法。
(2)如图7－37－8所示，已知△ABC的水平放置的直观图是等腰Rt△A′B′C′，且∠A′＝90°，A′B′＝，则△ABC的面积是()
A.B．2C．4D．1
[答案](1)2a2(2)B
[解析](1)一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，而直观图面积S′＝a2，所以原平面四边形的面积为＝2a2.
4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．
空间几何体的表面积与体积教案
空间⼏何体的表⾯积与体积教案空间⼏何体的表⾯积与体积⼀、柱体、锥体、台体的表⾯积A .多⾯体的表⾯积1.多⾯体的表⾯积求法：求平⾯展开图的⾯积注：把多⾯体的各个⾯平铺在平⾯上，所得图形称之为多⾯体的平⾯积展开图.2.直棱柱的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：S cl =（其中c 为底⾯周长，l 为侧棱长）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积. （3）推论：①正棱柱的侧⾯积：S cl =（其中c 为底⾯周长，l 为侧棱长）.②长⽅体的表⾯积：2()S ab bc ca =++.（其中,,a b c 分别为长⽅体的长宽⾼）③正⽅体的表⾯积：26S a =（a 为正⽅体的棱长）. 3.斜棱柱侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积：①求法：作出直截⾯（如图）；注：这种处理⽅法蕴含着割补思想.②公式：S cl =（其中c 为直截⾯周长，l 为侧棱长）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积. 4.正棱锥的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：12S ch '=（其中c 为底⾯周长，h '为斜⾼）；（2）表⾯积：侧⾯积＋底⾯积.5.正棱台的侧⾯积与全⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：1()2S c c h ''=+（其中c 、c '为底⾯周长，h '为斜⾼）；（2）表⾯积：侧⾯积＋两底⾯积.6.正棱柱、正棱锥、正棱台的侧⾯积公式间的内在联系：B .旋转体的表⾯积2r πlr①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：2S rl π=（r 为两底半径，l 为母线长）；（2）表⾯积：2()S r r l π=+.2.圆锥的侧⾯积与表⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：S rl π=；（2）表⾯积：()S r r l π=+（r 为两底半径，l 为母线长）.事实上：圆锥侧⾯展开图为扇形，扇形弧长为2r π，半径为圆锥母线l ，故⾯积为122r l rl ππ??=.3.圆台的侧⾯积与表⾯积（1）侧⾯积①求法：侧⾯展开（如图）；②公式：()S r R l π=+；事实上：圆台侧⾯展开图为扇环，扇环的弧长分别为2r π、2R π，半径分别为x 、x l +，故圆台侧⾯积为112()2()22S R x l r x R r x Rl ππππ=??+-??=-+，∵()x l R r x rl r R r=?-=-，∴()S r R l π=+.（2）表⾯积：22()r R r R l πππ+++.（r 、R 分别为上、下底⾯半径，l 为母线长） 4.圆柱、圆锥、圆台的侧⾯积公式间的内在联系：⼆、柱体、锥体、台体的体积A .棱柱、棱锥、棱台的体积1.棱柱体积公式：V Sh =（h 为⾼，S 为底⾯⾯积）；2.棱锥体积公式：13V Sh =（h 为⾼，S 为底⾯⾯积）；3.棱台体积公式：121()3V S S h =棱台（h 为⾼，1S 、2S 分别为两底⾯⾯积）.事实上，设⼩棱锥⾼为x ，则⼤棱锥⾼为x h +.于是212211111()()3333V S x h S x S h S S x =+-=+-.∵V S h x S h S S h =+=+=.4.棱柱、棱锥、棱台体积公式间的内在联系：2r πllrh2Sx1S2R π2rπ xRrxlB .圆柱、圆锥、圆台的体积1.圆柱的体积：2V r h π=（h 为⾼，r 为底⾯半径）.2.圆锥的体积：213V R h π=（h 为⾼，R 为底⾯半径）.3.圆台的体积：221()3事实上，设⼩圆锥⾼为x ，则⼤圆锥⾼为x h +（如图）.于是2221111()()()3333V R x h r h R r R r x R h ππππ=+-=+-+.∵()x r x r R r x rh x h R h R r =?=?-=+-，∴222111()()333V R r rh R h r rR R h πππ=++=++. 4.圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系：三、球的体积与表⾯积1.球的体积 343V R π=.2.球的表⾯积 24S R π=.四、题型⽰例A.直⽤公式求⾯积、求体积例1 （1）⼀个正三棱柱的底⾯边长为4，侧棱长为10，求其侧⾯积、表⾯积和体积；侧⾯积：120；表⾯积：120+；体积（2）⼀个圆台，上、下底⾯半径分别为10、20，母线与底⾯的夹⾓为60°，求圆台的侧⾯积、表⾯积和体积；侧⾯积：600π；表⾯积：1100π. （3）已知球的表⾯积是64π，求它的体积. 结果：2563π.（4）在长⽅体1111ABCD A B C D -中，⽤截⾯截下⼀个棱锥11C A DD -，求棱锥11C A DD -的体积与剩余部分的体积之⽐.结果1:5.练习：Rrx lh1.已知正四棱锥底⾯正⽅形的边长为4cm ，⾼与斜⾼的夹⾓为30，求正四棱锥的侧⾯积和表⾯积. 结果：232cm ，2结果：.3.正⽅体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则沿⾯对⾓线AC 、1AB 、1CB 截得的三棱锥1B ACB -的体积为 CA .12B .13C .16D .1 4.已知正四棱台两底⾯均为正⽅形，边长分别为4cm 、8cm ，求它的侧⾯积和体积.结果：侧⾯积：33. 5.正四棱锥S ABCD -各侧⾯均为正三⾓形，侧棱长为5，求它的侧⾯积、表⾯积和体积.结果：侧⾯积：25(1. 6.，则以该正⽅体各个⾯的中⼼为顶点的凸多⾯体的体积为 .B.根据三视图求⾯积、体积例3 ⼀空间⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为A.2π+ B.4π+ C.2π+D练习：1.⼀个底⾯为正三⾓形，侧棱于底⾯垂直的棱柱的三视图如图所⽰，则这个棱柱的体积为 .结果：2.下图是⼀个空间⼏何体的正视图、侧视图、俯视图，如果直⾓三⾓形的直⾓边长均为1，那么这个⼏何体的体积为 A .1 B .1 2C .13D .16答案：C.俯视图22正（主）视图2 侧（左）视图222正视图侧视图俯视图4正视图侧视图俯视图3.如图是某⼏何体的三视图，其中正视图是腰长为3的等腰三⾓形，俯视图是半径为1的半圆，该⼏何体的体积是 A .2π B .22π C .π D .434.已知⼀个组合体的三视图如图所⽰，请根据具体的数据，计算该组合体的体积.提⽰：该组合体结构为：上部是⼀个圆锥，中部是⼀个圆柱，下部也是⼀个圆柱. 结果：1763π.5.下图是⼀个⼏何体的三视图，根据图中数据，可得该⼏何体的表⾯积是 DA .9πB .10πC .11πD .12πC.⼏何体表⾯上最短距离问题例三棱锥P ABC -的侧棱长均为1，且侧棱间的夹⾓都是40?，动点M 在PB 上移动，动点N 在PC 上移动，求AM MN NA ++的最⼩值. 结果：3.D.与球有关的组合问题例1（1）若棱长为3的正⽅体的顶点都在同⼀球⾯上，则该球的表⾯积为 . 结果:27π.（2）若⼀个球内切于棱长为3的正⽅体，则该球的体积为 . 结果:92π.例2 有⼀个倒圆锥形容器，它的轴截⾯是⼀个正三⾓形，在容器内放⼀个半径为的铁球，并注⼊⽔，使球浸没在⽔中并使⽔⾯正好与球相切，然后将球取出，求这时容器中⽔的深度.结果：315r .变式训练：1.长⽅体1111ABCD A B C D -中，3AB =，4AD =，15AA =，则其外接球的体积为 .2.求棱长为1的正四⾯体的外接球、内切球的表⾯积.注：棱长为的正四⾯体中常⽤数据：（1）⾼：6a ，中⼼到顶点距离：6a ，中⼼到⾯距离：6a ，中⼼到顶点距离：中⼼到⾯的距离=3：1. （2）全⾯积：23a ，体积：32a .（3）对棱距离：2a . （4）棱⾯⾓：3aiccosa 或6aicsin ，⾯⾯⾓：1aiccos 3或22aicsin .正视图侧视图俯视图俯视图10110142E.⼏个重要结论的补充及应⽤结论1 锥体平⾏截⾯性质锥体平⾏截⾯与锥体底⾯相似，且与底⾯积⽐等于两锥侧⾯积⾯积⽐，等于两锥全⾯积⾯积⽐，等于两锥对应线段（对应⾼、对应斜⾼、对应对⾓线、对应底边长）⽐的平⽅.结论2 若圆锥母线长为l ，底⾯半径为r ，侧⾯展开图扇形圆⼼⾓为θ，则2rlπθ=. 结论 3 若圆台母线长为l ，上、下底⾯半径分别为r 、R ，侧⾯展开图扇环圆⼼⾓为θ，则2R rlθπ-=?. 证明：设⼩圆锥母线长为x ，则有22r x r x πθπθ=?=.∵x r x r rlx x l R l R r R r=?=?=+--，∴22()2r r R r R rx rl lππθπ--===?. 应⽤1.⼀个圆锥的侧⾯积是底⾯积的2倍，则圆锥侧⾯展开图扇形的圆⼼⾓度数为 B A .120? B .180? C .240? D .300?2.⼀个圆锥的⾼是10cm ，侧⾯展开图是半圆，求圆锥的侧⾯积.解：设圆锥底⾯半径为r ，圆锥母线长为l ，则扇形弧长为222lr ππ=，∴2l r =.在Rt SOA △中，22210l r =+，有此得r，l .∴圆锥侧⾯积为2003S rl π的半径为1．扇形的圆⼼⾓等于120°，则此扇形的半径为 CA .13BC .3D .64.圆台的上、下底⾯半径分别为10cm 和20cm ，它的侧⾯展开图的扇环的圆⼼⾓是180，那么圆台的表⾯积是多少？结果：21100cm π.5.圆锥母线长为1，侧⾯展开图的圆⼼⾓为240?，则圆锥体积为 C AB .881π CD .1081π 6.若圆锥的侧⾯展开图是圆⼼⾓为120?、半径为l 的扇形，则这个圆锥的表⾯积与侧⾯积的⽐是 A .3:2 B .2:1 C .4:3 D .5:3结果：C.F.空间⼏何体体积求法例析 A .公式法例1 四棱锥P ABCD -的顶点P 在底⾯中的射影恰好是A ，其三视图如图，则四棱锥P ABCD -的体积为 .解：根据三视图可已将四棱锥P ABCD -的底⾯是边长为a 的正⽅形，⾼为a ，利⽤锥体体积公式231133P ABCD V a a a -=?=.点评：1.计算⼏何体体积需要区别锥体、柱体、台体、球体.它们的体积各⾃有不同的特征，注意准确运⽤体积公式.BDAP2.如果是只求体积，根据“长对正，宽相等，⾼平齐”分别求出⼏何体的底⾯积和⾼，直接计算体积即可，若⼏何体⽐较复杂或涉及⾯积等计算时，则需复原⼏何体（本⼏何体复原后的图形如图）.例2 ⼀个⼏何体的俯视图是⼀个圆，正视图和侧视图是全等的矩形，它们⽔平放置时（⼀边在⽔平位置上），它们的斜⼆测直观图是边长为6和4的平⾏四边形，则该⼏何体的体积为 .例3 ⽤⼀块长3m ，宽2m 的矩形⽊板，在墙⾯互相垂直的墙⾓处，围出⼀个直三棱柱形⾕仓，在下⾯的四种设计中，容积最⼤的是 A解：略.B .分割法例4 已知⼀个多⾯体的表⾯积为36，它的内切球的半径为2，求该多⾯体的体积.解：设多⾯体有n 个⾯，每个⾯的⾯积分别为12,,,n S S S ，则1236n S S S +++=.∵多⾯体内切球的球⼼到多⾯体个个⾯的距离都等于球的半径R ，运⽤分割法，以内切球球⼼为顶点，多⾯体的每个⾯为底⾯，将多⾯体分割成n 个棱锥，于是多⾯体的体积等于这个棱锥的体积和，即1111211111()3622433333n V S R S R S R R S S S =+++=+++=??=.例5 如图3，在多⾯体ABCDEF 中，已知⾯ABCD 是边长为3的正⽅形，//EF AB ，32EF =，EF 与AC ⾯的距离为2，则该多⾯体的体积为 .解：取AB 、CD 边的中点M 、N ，将多⾯体分割成斜三棱柱和四棱锥，利⽤三棱柱体积公式及四棱锥体积公式，不难求得多⾯体积：13131532222322V ??=+??=. 点评：本题中的⼏何体是不规则的，设法将⼏何体分割（或补）成规则的常见的⼏何体，是解题的关键，由于//EF AB ，并没有说明ADE 的确切位置，因此可以将其位置特殊化，从⽽得到直三棱柱ADB MNF -和四棱锥F MNCB -，这是本题解法⼀个巧妙之处.C .补形法例6 已知三棱柱的⼀个侧⾯⾯积为S ，相对的棱距离该侧⾯的距离是h ，求证：该三棱柱的体积是12V Sh =.证明：设三棱柱111ABC A BC -的侧⾯11ABB A 的⾯积为S ，侧棱1CC 到该侧⾯的距离为h . 以三棱柱的侧⾯11ABB A 为底⾯，将三棱柱补形得到四棱柱，如图.则四棱柱的⾼恰等于h .四棱柱的体积为V Sh =，它的⼀半，即为三棱柱的体积12V Sh =.∴三棱柱的体积为12V Sh =.点评：本体的结论可以作为结论⽤.例7 已知PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PAB △、PAC △、PBC △的⾯积分别为21.5cm ，2 2 2 23 3 3 3 30?45?30?ABCD1D1C1B1ABCDFEMNABCDAFE22cm ，62cm ，则过P 、A 、B 、C 四点的外接球的体积为 2cm .解：PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则以它们为基础，补形成为⼀个长⽅体，长⽅体的对⾓线是外接球的直径.设三条棱长分别为,,x y z ，则3xy =，4xz =，12yz =，解得12xyz =，1x =，3y =，4z =.从⽽2222(2)134r =++，2426r =，26r =. ∴334426132633V r r πππ??. 点评：对于三条棱两两互相垂直或者3个侧⾯两两互相垂直的三棱柱以及正四⾯体或对棱分别相等的三棱锥，都可以补形成为长⽅体或者正⽅体，它们有共同的外接球，外接球的直径正好是长⽅体或正⽅体的体对⾓线，这样就很容易将球体和三棱锥联系起来.D .特殊化法例8 如图，直三棱柱111ABC A B C -体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱1AA 、1DD 上，1AP D Q =，则四棱锥B APQD -的体积为 .解：将条件1AP DQ =特殊化，使得P 和1A 重合，Q 和D 重合，四棱锥B APQD -就变成三棱锥1B ADA -，它和直三棱柱等底等⾼，∴四棱锥B APQD -的体积等于1133ABD S h V ?=△.E .等体积转化（变换⾓度）例9 如图，在长⽅体1111ABCD A B C D -中，如果分别过BC 、11A D 的2个平⾏平⾯将长⽅体分成体积相等的3部分，那么11C NND = . 解：将长⽅体站⽴放置，从⽽更容易观察到相关的⼏何体分别是直三棱柱、直四棱柱、直三棱柱.∵长⽅体被分成体积相等的三部分，即111111D HD AGA D NCH A MBG NC C MB B V V V ---==.由于它们的等⾼且等体积，∴底⾯积也相等，就是说111AGA A MBG MB B S S S ==△△△，即1112AG AA GB AA ?=?，∴2AG GB =，∴112C N ND =.例10 如图，已知E 、F 分别是棱长为a 的正⽅体1111ABCD A B C D -的棱1AA 、1CC 的中点，求三棱锥11C B EF -的体积.解：1111311312C B EF E B FCB C F V V S AB a --==?=△. 点评：在三棱锥求体积问题中，变换⾓度就是换顶点、换底⾯，它是计算三棱锥体积问题长见的转化策略之⼀，它的基本依据是变换前后等体积.转换的标准是相应的底⾯和⾼是否容易求解.显然本题直接按照题中所给的⾓度或者转换成三棱锥都不便于求底⾯和⾼.练习：1.正六棱锥P ABCDEF -中，G 为PB 的中点，则三棱锥D GAC -与三棱锥P GAC -体积之⽐为 CA .1:1B .1:2C .2:1D .3:22.如图，在多⾯体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正⽅形，且ADE △、BCF △均为正三⾓形，//EF AB ，2EF =，则该多⾯体的体积为 AA .2B .3C .43D .32EF 1BD1D 1C A1A BCHM1B D 1D1C A1A BCNP1BD1DA1AB3.某⼏何体的三视图如下，根据图中标出的尺⼨（单位：cm ），则这个⼏何体的体积是BA .34000cm 3 B .38000cm 3C .32000cmD .34000cm 4.⼀个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表⾯积为 AA.48+B.48+C.36+ D.36+5.若正⽅体外接球的体积是323π，则正⽅体的棱长为 A. BCD选D7.如图，已知多⾯体ABC DEFG -，AB ，AC ，AD 两两垂直，平⾯//ABC 平⾯DEFG ，平⾯//BEF 平⾯ADGC ，2AB AD DG ===，1AC EF ==，则该多⾯体的体积为A .2B .4C .6D .89.⼀个长⽅体的某3则这个长⽅体的体积是 .10.设等边三⾓形ABC △的边长为a ，P 是ABC △内的任意⼀点，且P 到三边AB ，BC ，CA 的距离分别为1d ，2d ，3d ，则有123d d d ++⾯体ABCD 的棱长为a ，P 是正四⾯体ABCD 内的任意⼀点，且P 到四个⾯的距离分别为1d ，2d ，3d ，4d ，则有1234d d d d +++为定值是 .. 11.某球的外切圆台上下底⾯半径分别为r ，R ，则该球的体积是 .12.在三棱锥A BCD -中，6AB CD ==，5AC BD AD BC ====，则该三棱锥的外接球的表⾯积为 .解：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补成长⽅体，设该长⽅体的长、宽、⾼分别为,,a b c ，且其外接球的半径为R ，则2222222226,5,5a b b c c a ?+=?+=??+=?，得22243a b c ++=，即2222(2)43R a b c =++=.∴三棱锥外接球的表⾯积为2443S R ππ==.俯视图侧视图66侧视图俯视图正视图13.各顶点都在⼀个球⾯上的正四棱柱的⾼为4，体积为16，则球的体积是 . 结果：86π.11.体积为8的⼀个正⽅体，其全⾯积与球O 的表⾯积相等，则球O 的体积等于 . 结果：86ππ.14.如图是⼀个⼏何体的三视图，若它的体积是33，则a =_____.结果：3.15.三棱锥的顶点为P ，PA ，PB ，PC 为三条侧棱，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，⼜2PA =，3PB =，4PC =，则三棱锥P ABC -的体积为_____. 结果：4.14.半径为R 的球的外切圆柱的表⾯积为，体积为 . 结果：26R π；32R π.16.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同⼀球⾯上，若12AB AC AA ===，120BAC ?∠=，则此球的表⾯积等于 .结果：20π.17.三个球的半径123,,R R R ，满⾜12323R R R +=，则它们的表⾯积123,,S S S ，满⾜的关系是 .结果：12323S S S +=.18.如图，已知底⾯半径为r 的圆柱被⼀个平⾯所截，剩下部分母线长的最⼤值为a ，最⼩值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .解：补形（如图），结果：2()2r a b π+.19.某⾼速公路收费站⼊⼝处的安全标识墩如图4所⽰.墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长⽅体ABCD EFGH -.图5、图6分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）请画出该安全标识墩的侧视图；（2）求该安全标识墩的体积.结果：（1）与正视图⼀样；（2）364000cm .P2 侧视图正视图俯视图1rbara b -b。
长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计（5篇范例）
长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计（5篇范例）第一篇：长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计《长方体与正方体表面积和体积复习课》教学设计一、教学目标1、通过整理与复习，使学生进一步长方掌握体和正方体的特征内在联系，表面积、体积、容积的概念以及相邻单位间进率；2、熟练掌握长方体和正方体表面积和体积的计算方法，以及不规则图形体积的计算方法，并在具体情境中正确运用。
3、进一步培养学生的空间观念，提高空间想象能力。
二、教学重难点重点：归纳整理有关长方体和正方体的知识，形成知识体系。
熟练掌握不同长方体和正方体表面积和体积的计算方法。
难点：灵活运用所学知识，解决实际问题。
三、教具准备长方体正方体模具四：教学过程（一）复习导入师：这一节课我们来进行长方体和正方体表面积和体积的复习，对于这一章，你还能记住哪些内容？生：长方体和正方体都有六个面、八个顶点、12条棱。
生：长方体和正方体体积和表面积的计算方法… …师：本单元的主要内容就是从同学们刚才所说的特征、表面积、体积这三方面展开的。
（板书）下面请同学们独立、认真、快速的完成复习提纲（二）整理1、组内整理2、小组汇报（1）特征。
分别从长方体和正方体的面、棱、顶点三方面汇报，其他小组补充。
（2）表面积。
分别从概念、长方体和正方体各自的计算方法、常用单位三方面汇报，其他小组补充（3）体积。
分别从概念、长方体和正方体各自的计算方法、常用单位三方面汇报，其他小组补充3、教师总结：对于空间几何体来说，特征是核心。
特征是区分表面积和体积的依据，正因为特征不同，表面积和体积的计算方法不同，单位也不同。
长方体和正方体在计算各自的体积和表面积时，计算方法也不一样。
（三）巧设练习，运用知识师：通过刚才同学们的汇报，大家已经对本单元的知识有了系统的了解，下面我们一起做几个练习题，检查一下同学们能否灵活运用这些知识。
本环节共四关，同学们做好准备了吗？开始：第一关：一、填空：1、一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、2厘米、1厘米。
高考数学一轮复习教学案空间几何体的表面积和体积
第二节空间几何体的表面积和体积[知识能否忆起]柱、锥、台和球的侧面积和体积面积 体积 圆柱 S 侧＝2πrl V ＝Sh ＝πr 2h圆锥S 侧＝πrlV ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)lV ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝Ch V ＝Sh 正棱锥 S 侧＝12Ch ′V ＝13Sh正棱台 S 侧＝12(C ＋C ′)h ′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h球 S 球面＝4πR 2V ＝43πR 3[小题能否全取]1．(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a 时，该三棱锥的全面积是( )A.3＋34a 2B.34a 2C.3＋32a 2D.6＋34a 2解析：选A ∵侧面都是直角三角形，故侧棱长等于22a ， ∴S 全＝34a 2＋3×12×⎝⎛⎭⎫22a 2＝3＋34a 2. 2．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为32，则这个四棱锥的外接球的表面积为( )A ．12πB ．36πC ．72πD ．108π解析：选B 依题意得，该正四棱锥的底面对角线长为32×2＝6，高为 (32)2－⎝⎛⎭⎫12×62＝3，因此底面中心到各顶点的距离均等于3，所以该四棱锥的外接球的球心为底面正方形的中心，其外接球的半径为3，所以其外接球的表面积等于4π×32＝36π.3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为5的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为5的等腰三角形，则该几何体的体积为( )A ．24B ．80C ．64D ．240解析：选B 结合题意知该几何体是四棱锥，棱锥底面是长和宽分别为8和6的矩形，棱锥的高是5，可由锥体的体积公式得V ＝13×8×6×5＝80.4．(教材习题改编)表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ， 则πrl ＋πr 2＝3π，πl ＝2πr . 解得r ＝1，即直径为2. 答案：25.某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是________．解析：由三视图可知此几何体的表面积分为两部分：底面积即俯视图的面积，为23；侧面积为一个完整的圆锥的侧面积，且圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以侧面积为2π.两部分加起来即为几何体的表面积，为2(π＋3)．答案：2(π＋3)1.几何体的侧面积和全面积：几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和，而全面积是侧面积与所有底面积之和．对侧面积公式的记忆，最好结合几何体的侧面展开图来进行．2．求体积时应注意的几点：(1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解决．(2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性．3．求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理．几何体的表面积典题导入[例1](·安徽高考)某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．[自主解答]由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD中，作DE⊥AB，垂足为E，则DE＝4，AE＝3，则AD＝5.所以其表面积为2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.[答案]92由题悟法1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．以题试法1．(·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图，已知该饰物的正视图、侧视图都是面积为32，且一个内角为60°的菱形，俯视图为正方形，那么该饰物的表面积为( )A.3 B ．2 3 C ．43 D ．4解析：选D 依题意得，该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成，正四棱锥的底面边长和侧面上的高均等于菱形的边长，因此该饰物的表面积为8×⎝⎛⎭⎫12×1×1＝4.几何体的体积典题导入[例2] (1)(·广东高考)某几何体的三视图如图所示，它的体积为( )A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π(2)(·山东高考)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 上的一点，则三棱锥A －DED 1的体积为________．[自主解答] (1)由三视图知，该几何体是由圆锥和半球组合而成的，直观图如图所示，圆锥的底面半径为3，高为4，半球的半径为3.V ＝V 半球＋V 圆锥＝12·43π·33＋13·π·32·4＝30π.(2)VA －DED 1＝VE －ADD 1＝13×S △ADD 1×CD ＝13×12×1＝16.[答案] (1)C (2)16本例(1)中几何体的三视图若变为：其体积为________．解析：由三视图还原几何体知，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V ＝V 圆柱－V 圆锥＝π×32×4－13π×32×4＝24π.答案：24π由题悟法1．计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解．2．注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握．3．等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面．①求体积时，可选择容易计算的方式来计算；②利用“等积法”可求“点到面的距离”．以题试法2．(1)(·长春调研)四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，N 为PB 中点，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶8解析：选C 设正方形ABCD 面积为S ，PD ＝h ，则体积比为13Sh －13·12S ·12h －13·12Sh 13Sh ＝14.(·浙江模拟)如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A ．32B ．24C ．8D.323解析：选B 此几何体是高为2的棱柱，底面四边形可切割成为一个边长为3的正方形和2个直角边分别为3,1的直角三角形，其底面积S ＝9＋2×12×3×1＝12，所以几何体体积V ＝12×2＝24.与球有关的几何体的表面积与体积问题典题导入[例3] (·新课标全国卷)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B.36C.23D.22[自主解答] 由于三棱锥S －ABC 与三棱锥O －ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S －ABC 的高是三棱锥O －ABC 高的2倍，所以三棱锥S －ABC 的体积也是三棱锥O －ABC 体积的2倍． 在三棱锥O －ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝⎛⎭⎫332＝63，∴V S －ABC ＝2V O －ABC ＝2×13×34×63＝26.[答案] A由题悟法1．解决与球有关的“切”、“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．2．记住几个常用的结论：(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②正方体的内切球，则2R ＝a ； ③球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为1∶3.以题试法3．(1)(·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为( )A ．23π B.8π3 C ．4 3D.16π3(2)(·潍坊模拟)如图所示，已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示．其中侧面DBC ⊥底面ABC ，取BC 的中点O 1，连接AO 1，DO 1知DO 1⊥底面ABC 且DO 1＝3，AO 1＝1，BO 1＝O 1C ＝1.在Rt △ABO 1和Rt △ACO 1中，AB ＝AC ＝2， 又∵BC ＝2，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为底面ABC 外接圆的直径，O 1为圆心， 又∵DO 1⊥底面ABC ，∴球心在DO 1上， 即△BCD 的外接圆为球大圆，设球半径为R ， 则(3－R )2＋12＝R 2，∴R ＝23. ∴S 球＝4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫232＝16π3.(2)如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，所以R ＝62. 故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：(1)D (2)6π1．(·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是( )A ．8 B.83 C ．4D.43解析：选D 将三视图还原，直观图如图所示，可以看出，这是一个底面为正方形(对角线长为2)，高为2的四棱锥，其体积V ＝13S 正方形ABCD ×P A ＝13×12×2×2×2＝43. 2．(·山西模拟)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝3，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为( )A.51 B ．351 C ．251D ．651解析：选A 依题意得，球心O 在底面ABCD 上的射影是矩形ABCD 的中心，因此棱锥O －ABCD 的高等于42－⎝⎛⎭⎫1232＋222＝512，所以棱锥O －ABCD 的体积等于13×(3×2)×512＝51. 3．(·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图，则它的表面积为( )A ．4π B.154π C ．5πD.174π 解析：选D 由三视图可知该几何体是半径为1的球被挖出了18部分得到的几何体，故表面积为78·4π·12＋3·14·π·12＝174π. 4．(·济南模拟)用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示，则此立体模型的表面积为( )A ．24B ．23C ．22D ．21解析：选C 这个空间几何体是由两部分组成的，下半部分为四个小正方体，上半部分为一个小正方体，结合直观图可知，该立体模型的表面积为22.5． (·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积为( )A.112 B ．5 C.92D ．4解析：选D 由三视图可知，所求几何体是一个底面为六边形，高为1的直棱柱，因此只需求出底面积即可．由俯视图和主视图可知，底面面积为1×2＋2×12×2×1＝4，所以该几何体的体积为4×1＝4.6.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为4，动点E ，F 在棱AB 上，且EF ＝2，动点Q 在棱D ′C ′上，则三棱锥A ′－EFQ 的体积( )A ．与点E ，F 位置有关B ．与点Q 位置有关C ．与点E ，F ，Q 位置都有关D ．与点E ，F ，Q 位置均无关，是定值解析：选D 因为V A ′－EFQ ＝V Q －A ′EF ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×4×4＝163，故三棱锥A ′－EFQ 的体积与点E ，F ，Q 的位置均无关，是定值．7．(·湖州模拟)如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析：由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案：268．(·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________．解析：因为半圆的面积为2π，所以半圆的半径为2，圆锥的母线长为2.底面圆的周长为2π，所以底面圆的半径为1，所以圆锥的高为3，体积为33π.答案：33π 9．(·郑州模拟)在三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．解析：依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝62，b 2＋c 2＝52，c 2＋a 2＝52，得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2＝43π.答案：43π10．(·江西八校模拟)如图，把边长为2的正六边形ABCDEF 沿对角线BE 折起，使AC ＝ 6.(1)求证：面ABEF ⊥平面BCDE ； (2)求五面体ABCDEF 的体积．解：设原正六边形中，AC ∩BE ＝O ，DF ∩BE ＝O ′，由正六边形的几何性质可知OA ＝OC ＝3，AC ⊥BE ，DF ⊥BE .(1)证明：在五面体ABCDE 中，OA 2＋OC 2＝6＝AC 2， ∴OA ⊥OC ，又OA ⊥OB ，∴OA ⊥平面BCDE .∵OA ⊂平面ABEF ， ∴平面ABEF ⊥平面BCDE .(2)由BE ⊥OA ，BE ⊥OC 知BE ⊥平面AOC ，同理BE ⊥平面FO ′D ，∴平面AOC ∥平面FO ′D ，故AOC －FO ′D 是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥B －AOC 和E －FO ′D 为大小相同的三棱锥，∴V ABCDEF ＝2V B －AOC ＋V AOC －FO ′D ＝2×13×12×(3)2×1＋12×(3)2×2＝4.11．(·大同质检)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是直角梯形ABCD ，其中AD ⊥AB ，CD ∥AB ，AB ＝4，CD ＝2，侧面P AD 是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直，E 为P A 的中点．(1)求证：DE ∥平面PBC ； (2)求三棱锥A －PBC 的体积．解：(1)证明：如图，取AB 的中点F ，连接DF ，EF .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，CD ＝2，所以BF 綊CD . 所以四边形BCDF 为平行四边形． 所以DF ∥BC .在△P AB 中，PE ＝EA ，AF ＝FB ，所以EF ∥PB . 又因为DF ∩EF ＝F ，PB ∩BC ＝B ， 所以平面DEF ∥平面PBC .因为DE ⊂平面DEF ，所以DE ∥平面PBC . (2)取AD 的中点O ，连接PO . 在△P AD 中，P A ＝PD ＝AD ＝2， 所以PO ⊥AD ，PO ＝ 3.又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以PO ⊥平面ABCD .在直角梯形ABCD 中，CD ∥AB ，且AB ＝4，AD ＝2， AB ⊥AD ，所以S △ABC ＝12×AB ×AD ＝12×4×2＝4.故三棱锥A －PBC 的体积V A －PBC ＝V P －ABC ＝13×S △ABC ×PO ＝13×4×3＝433.12．(·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，其正视图、俯视图均为矩形，侧视图为直角三角形．(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1.解：(1)几何体的直观图如图所示，四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝3，BC＝B1C1＝1，四边形AA1C1C是边长为3的正方形，且平面AA1C1C垂直于底面BB1C1C，故该几何体是直三棱柱，其体积V＝S△ABC·BB1＝12×1×3×3＝3 2.(2)证明：由(1)知平面AA1C1C⊥平面BB1C1C且B1C1⊥CC1，所以B1C1⊥平面ACC1A1.所以B1C1⊥A1C.因为四边形ACC1A1为正方形，所以A1C⊥AC1.而B1C1∩AC1＝C1，所以A1C⊥平面AB1C1.1．(·潍坊模拟)已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC 把△ACD折起，则三棱锥D－ABC的外接球表面积等于()A．8πB．16πC．482πD．不确定的实数解析：选B设矩形长为x，宽为y，周长P＝2(x＋y)≥4xy＝82，当且仅当x＝y＝22时，周长有最小值．此时正方形ABCD沿AC折起，∵OA＝OB＝OC＝OD，三棱锥D－ABC的四个顶点都在以O为球心，以2为半径的球上，此球表面积为4π×22＝16π.2．(·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________cm 3.解析：由题意得VA －BB 1D 1D ＝23VABD －A 1B 1D 1＝23×12×3×3×2＝6.答案：63．(·深圳模拟)如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，AB ＝2，BD ＝2，沿BD 将△BCD 折起，使二面角A －BD －C 是大小为锐角α的二面角，设C 在平面ABD 上的射影为O .(1)当α为何值时，三棱锥C －OAD 的体积最大？最大值为多少？ (2)当AD ⊥BC 时，求α的大小．解：(1)由题知CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥BD ， 又BD ⊥CD ，CO ∩CD ＝C ，∴BD ⊥平面COD . ∴BD ⊥OD .∴∠ODC ＝α.V C －AOD ＝13S △AOD ·OC ＝13×12·OD ·BD ·OC＝26·OD ·OC ＝26·CD ·cos α·CD ·sin α ＝23·sin 2α≤23， 当且仅当sin 2α＝1，即α＝45°时取等号．∴当α＝45°时，三棱锥C －OAD 的体积最大，最大值为23.(2)连接OB ，∵CO ⊥平面ABD ，∴CO ⊥AD ， 又AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面BOC . ∴AD ⊥OB .∴∠OBD ＋∠ADB ＝90°.故∠OBD ＝∠DAB ，又∠ABD ＝∠BDO ＝90°， ∴Rt △ABD ∽Rt △BDO . ∴OD BD ＝BD AB. ∴OD ＝BD 2AB ＝(2)22＝1，在Rt △COD 中，cos α＝OD CD ＝12，得α＝60°.1．两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内部，且互相外切，若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切，球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切，则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为( )A ．(6－33)πB ．(8－43)πC ．(6＋33)πD ．(8＋43)π解析：选A 设球O 1、球O 2的半径分别为r 1、r 2， 则3r 1＋r 1＋3r 2＋r 2＝3， r 1＋r 2＝3－32，从而4π(r 21＋r 22)≥4π·(r 1＋r 2)22＝(6－33)π. 2．已知某球半径为R ，则该球内接长方体的表面积的最大值是( ) A ．8R 2 B ．6R 2 C ．4R 2D ．2R 2解析：选A 设球内接长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则a 2＋b 2＋c 2＝(2R )2，所以S 表＝2(ab ＋bc ＋ac )≤2(a 2＋b 2＋c 2)＝8R 2，当且仅当a ＝b ＝c ＝233R 时，等号成立．3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是( )A ．20＋3πB ．24＋3πC ．20＋4πD ．24＋4π解析：选A 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中，正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2.故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×12π＝20＋3π.4．(·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式d ≈ 3169V .人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是( )A ．d ≈ 3169VB ．d ≈ 32V C ．d ≈3300157V D ．d ≈32111V 解析：选D ∵V ＝43πR 3，∴2R ＝d ＝ 36V π，考虑到2R 与标准值最接近，通过计算得6π－169≈0.132 08，6π－2≈－0.090 1，6π－300157≈－0.001 0，6π－2111≈0.000 8，因此最接近的为D 选项．5．(·上海高考)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC ＝2.若AD ＝2c ，且AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，其中a ，c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是________．解析：如图过点B 在平面BAD 中作BE ⊥AD ，垂足为E ，连接CE ，因为BC ⊥AD ，所以AD ⊥平面BCE .所以四面体ABCD 的体积为13S △BCE ·AD .当△BCE 的面积最大时，体积最大．因为AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝2a ，所以点B ，C 在一个椭圆上运动，由椭圆知识可知当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝a 时，BE ＝CE ＝a 2－c 2为最大值，此时截面△BCE 面积最大，为12×2a 2－c 2－1＝a 2－c 2－1，此时四面体ABCD 的体积最大，最大值为13S △BCE ·AD ＝2c3·a 2－c 2－1.答案：23c a 2－c 2－1。
1[1].3空间几何体的表面积和体积(第一课时)
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D A O D1 A1 B1 B
C A
D B O D1 A1 B1
C
略解：
Rt B 1 D 1 D 中 : B1 D 2 R ， B1 D 2a
2
C1
C1
( 2 R ) a ( 2 a ) , 得： R
2 2
3 2
a
S 4 R 3 a
2
2
变题1.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。 2 a 变题2.如果球O和这个正方体的各条棱都相切，则有S=——。
①
Vi
1
Si R
3 球的体积: V R 3 由①② 得:
4
②
S 4πR
2
典型例题
• 球不柱体，椎体台体的结合
例1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个 顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可 知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi 1 3
Vi
S i hi
由第一步得： V V 1 V 2 V 3 ... V n
V 1 3 S 1 h1 1 3 S 2 h2 1 3 S 3 h 3 ... 1 3 S n hn
把正三棱台侧面沿一条侧棱展开，得到什么图形？ 侧面积怎么求？
h'
h'
S 正棱台侧
1 ＝ （ c c ' )h' 2
思考：把圆柱、圆锥、圆台的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
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41中高三数学第一轮复习—空间几何体的表面积和体积一．命题走向由于本讲公式多反映在考题上，预测008年高考有以下特色： （1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；二．要点精讲1．多面体的面积和体积公式表中S 表示面积，c ′、c 分别表示上、下底面周长，h 表斜高，h ′表示斜高，l 表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式 表中l 、h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r 1、r 2分别表示圆台 上、下底面半径，R 表示半径。
四．典例解析题型1：柱体的体积和表面积例1．一个长方体全面积是20cm 2，所有棱长的和是24cm ，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm 、ycm 、zcm 、lcm 依题意得：⎩⎨⎧=++=++24)(420)(2z y x zx yz xy )2()1(由（2）2得：x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2xz=36（3）由（3）－（1）得x 2+y 2+z 2=16 即l 2=16所以l =4(cm)。
P AB CDO点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。
我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。
例2．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若E 、F 分别为AB 、AC 的中点，平面EB 1C 1将三棱柱分成体积为V 1、V 2的两部分，那么V 1∶V 2= ____ _。
解：设三棱柱的高为h ，上下底的面积为S ，体积为V ，则V=V 1+V 2＝Sh 。
∵E 、F 分别为AB 、AC 的中点，∴S △AEF =41S, V 1=31h(S+41S+41⋅S )=127ShV 2=Sh-V 1=125Sh ， ∴V 1∶V 2=7∶5。
点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。
最后用统一的量建立比值得到结论即可。
题型2：锥体的体积和表面积例3．（2006上海，19）在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠DAB ＝60 ，对角线AC 与BD 相交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成的角为60，求四棱锥P －ABCD 的体积？解：（1）在四棱锥P-ABCD 中，由PO ⊥平面ABCD,得∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，∠PBO=60°。
在Rt △AOB 中BO=ABsin30°=1, 由PO ⊥BO ，于是PO=BOtan60°=3，而底面菱形的面积为23。
∴四棱锥P －ABCD 的体积V=31×23×3=2。
点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。
在能力方面主要考查空间想象能力。
例4．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O ，且与BC ，DC 分别截于E 、F ，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A －BEFD 与三棱锥A －EFC 的表面积分别是S 1，S 2，则必有（ ）A ．S 1<S 2B ．S 1>S 2C ．S 1=S 2D ．S 1，S 2的大小关系不能确定DB A O CEF解：连OA 、OB 、OC 、OD ，则V A －BEFD ＝V O －ABD ＋V O －ABE ＋V O －BEFDV A －EFC ＝V O －ADC ＋V O －AEC ＋V O －EFC 又V A －BEFD ＝V A －EFC ，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故S ABD ＋S ABE ＋S BEFD ＝S ADC ＋S AEC＋S EFC 又面AEF 公共，故选C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。
题型3：棱台的体积、面积 例5．（1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S 、S ′，中截面的面积是S 0，那么（ ） A ．S S S '+=02B ．S S S '=0C ．2S 0＝S ＋S ′D ．S 02＝2S ′S（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（ ） A ．323B ．283C ．243D ．203解析：（1）解析：设该棱台为正棱台来解即可，答案为A ； （2）正六棱台上下底面面积分别为：S 上＝6·43·22＝63，S 下＝6·43·42＝243，V 台＝328)(31=+⋅+下下上上S S S S h ，答案B 。
点评：本题考查棱台的中截面问题。
根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。
题型6：圆柱的体积、表面积及其综合问题例6．（2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（ ）A ．ππ221+B ．ππ441+C ．ππ21+D ．ππ241+解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则由题设知h =2πr . ∴S 全=2πr 2+（2πr ）2=2πr 2（1+2π）.S 侧=h 2=4π2r 2， ∴ππ221+=侧全S S 。
答案为A 。
点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。
例7．（2003京春理13，文14）如图9—9，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则rR= 。
解析：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR2·r。
恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有34πr3=πR2r。
故332=rR。
答案为332。
点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。
题型4：圆锥的体积、表面积及综合问题例8．（1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（）A．29πB．27πC．25πD．23π（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（）A．3πB．33πC．6πD．9π解析：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。
∴23133125331πππ=⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=-=--ADEBADECVVV，答案D。
（2）∵S＝21ab sinθ，∴21a2sin60°＝3，∴a2＝4，a＝2，a=2r，∴r＝1，S全＝2πr＋πr2＝2π＋π＝3π，答案A。
点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。
而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。
图例9．（2000全国文，12）如图所示，OA 是圆锥底面中心O 到母线的垂线，OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（ ） A ．321 B ．21C ．21 D ．421解析：如图所示，由题意知，31πr 2h ＝61πR 2h ， ∴r ＝2R． 又△ABO ∽△CAO ， ∴R OA OA r =，∴OA 2＝r ·R ＝422,2R OA R =， ∴cos θ＝421=R OA ，答案为D 。
点评：本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。
题型5：球的体积、表面积例10．已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积。
解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R ，则23232323O A '=⨯⨯=， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+， ∴222231()34R R =+， ∴43R =， ∴26449S R ππ==。
点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。
图图例11．如图所示，球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ，求这个球的表面积。
解析：如图，设过A 、B 、C 三点的球的截面圆半径为r ，圆心为O ′，球心到该圆面的距离为d 。
在三棱锥P —ABC 中，∵PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=a ,∴AB=BC=CA=2a ,且P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心O ′。
由正弦定理，得︒60sin 2a =2r,∴r=36a 。
又根据球的截面的性质，有OO ′⊥平面ABC ，而PO ′⊥平面ABC ，∴P 、O 、O ′共线，球的半径R=22d r +。
又PO ′=22r PA -=2232a a -=33a ， ∴OO ′=R －33a =d=22r R -,(R －33a )2=R 2 – (36a )2，解得R=23a ,∴S 球=4πR 2=3πa 2。
点评：本题也可用补形法求解。
将P —ABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=23a ,下略。
题型9：球的面积、体积综合问题例12．（1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π（26，求球的表面积和体积。
解析：（1）如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO=R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=，所以2116233R R ⋅⋅=，R=2，球O 的表面积是16π，选D 。
（2）作轴截面如图所示，6CC '=，2623AC =⋅=，设球半径为R ， 则222R OC CC '=+22(6)(3)9=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球。
点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。