5. 一阶线性微分方程组

第五章
一阶线性微分方程组
本章, 研究一阶线性微分方程组的理论和一些特殊线性微分方程组的求解方法。 【例1】 试建立地球人造卫星绕地球运动的微分方程。 (忽略其它天体对人造卫星的影 响， 只计及地球引力场对人造卫星的作用) 〖 解〗 设从地球表面上一点A，以倾角α，初速度v0 射出一质量为m的物体，如图5.1所 示，下面求此物体的运动轨道。 过发射点A和地心O的直线作y 轴，y 轴与发射方向所成的平面为xoy 面，平面通过地 心，取垂直于y 轴且过地心的直线为x 轴，取开始发射时间为t = 0，经过时间t后，卫星 位于点P (x, y )。 根据万有引力定律，地球对卫星的引力大小为 F = −f x2 mM + y2
恒成立，则称这组函数是一阶微分方程组(5.6)在[a, b]上的一个解。
5.1 一阶线性微分方程组的一般理论 定义 5.3 含有n个任意常数c1 , c2 , · · · , cn 的解 x1 = φ1 (t, c1 , c2 , · · · , cn ) x = φ (t, c , c , · · · , c ) 2 2 1 2 n ··· ··· xn = φn (t, c1 , c2 , · · · , cn ) 称为一阶微分方程组(5.6)的通解。
的解就是方程组(5.8)在包含t0 的区间α ≤ t ≤ β 上的解u(t)，使u(t0 ) = η。
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第五章 一阶线性微分方程组
5.1.2
一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的关系
高阶线性微分方程的转化: n阶线性微分方程的初值问题 n dn−1 x dx d x + a ( t ) + · · · + an−1 (t) + an (t)x = f (t) 1 n n − 1 dt dt dt x(t ) = η , x (t ) = η , · · · , x(n−1) (t ) = η
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(5.12)

5.1.3
为
存在唯一性定理
定义 5.6 设n维列向量X = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和n × n矩阵A = (aij )n×n，定义它们的范数
n n
X =
i=1
|xi |,
A =
i,j =1
|aij |
性质： (1) X ≥ 0且 X = 0当且仅当xi = 0 (i = 1, 2, · · · , n); A ≥ 0且 A = 0当且仅当aij = 0 (i, j = 1, 2, · · · , n); (2) 对任意常数α， 有 αX = |α| X , (3) X + Y ≤ X + Y , (4) AX ≤ A
n


X +
0 0 . . . 0 f (t)
(5.11)
高阶线性方程组的降阶：
5.1 一阶线性微分方程组的一般理论 假设如下线性方程组 3 dx dx d2 x dy = a ( t ) x + a ( t ) + b1 (t)y + b2 (t) + f1 (t) + a ( t ) 1 2 3 3 2 dt dt dt dt d2 y dx d2 x dy = c ( t ) x + c ( t ) + d1 (t)y + d2 (t) + f2 (t) + c ( t ) 1 2 3 2 2 dt dt dt dt 令 dx1 dx2 dy1 = x2 , = x3 ; y = y1 , = y2 dt dt dt 则可将(5.12)化为含有5个未知函数x1 , x2 , x3 , y1 , y2 的一阶线性微分方程组 0 x 0 1 0 0 0 x1 1 x 0 0 1 0 0 x2 0 2 x3 = a1 (t) a2 (t) a3 (t) b1 (t) b2 (t) x3 + f1 (t) y 0 0 0 0 1 1 y1 0 x = x1 , y2 c1 (t) c2 (t) c3 (t) d1 (t) d2 (t) y2 f2 (t)
其 方 向 指 向 地 心，其 中f 是 引 力 系 数， f = 6.685 × 10−20 km3 /kg · s2， M 是 地 球 质 量，M = 5.98 × 1024 kg， x2 + y 2 是地球与卫星间的距离。 如图5.2所示。 引力F 在x, y 轴 方向上的分力分别为 Fx = F cos θ = − f mM x (x2 + y 2 ) 2 f mM y (x2 + y 2 ) 2
3 3
Fy = F sin θ = − 卫星在x, ywk.baidu.com轴上所获得的分加速度分别为 方程为
d2 x d2 y 和 。由牛顿第二定律，得到卫星的运动 dt2 dt2
d2 x f mM x m = − 3 2 (x2 + y 2 ) 2 dt d2 y f mM y m 2 =− 2 3 dt (x + y 2 m) 2 这就是一个含有两个未知函数的微分方程组。■ 【例2】 (Volterra 捕食－被捕食模型) 设有捕食种群和被捕食(或称食饵)种群生活在 同一小环境中， 由于生育、 生死和相互作用， 两种群个体的数量将随时间变化。 试建立 两种群个体数量随时间变化的数学模型。 1 (5.1)
由于捕食者存在，将使食饵的增长率减少，设单位时间内每个捕食者吃掉食饵的数 量与该时刻食饵的总量成正比，则t 时刻有y (t)个捕食者，它们在单位时间内吃掉食饵的 总量为bxy，b > 0为比例常数。于是(5.3)又改写为 dx = x(r1 − ax − by ) dt 类似的可得到捕食种群的增长规律 dy = y (−r2 + cx − dy ) dt 其中d > 0, r2 > 0, c > 0。 (5.4)和(5.5)构成的系统就是捕食一被捕食两种群相互作用的数学模型，这是含有两 个未知函数的微分方程组。■ (5.5) (5.4)
(5.7)
称(5.7)为一阶线性微分方程组。其中，aij (i, j = 1, 2, · · · , n)及fi (t) (i = 1, 2, · · · , n)在区 间[a, b]上连续。 一阶线性方程组的向量表示： 记 a21 (t) a22 (t) · · · a2n (t) A(t) = ··· ··· ··· ··· an1 (t) an2 (t) · · · ann (t) 则方程组(5.7)可写成向量形式 X = A(t)X + F (t) 定义 5.5 初值问题 X = A(t)X + F (t), X (t0 ) = η (5.9) (5.8) a11 (t) a12 (t) ··· a1n (t) , F (t) = f2 (t) ··· fn (t) f1 (t) , X (t) = x2 (t) ··· xn (t) x1 (t)
b
αA = |α| A ; B ;
b b
A+B ≤ A + B ; A(t)dt ≤
a a
X ,
b a
AB ≤ A X (t) dt;
(5)
a
X (t)dt ≤
A(t) dt。
定义 5.7 向 量 序 列{Xk }, Xk = (x1k , x2k , · · · , xnk )T 称 为 收 敛 的，如 果 对 每 个i (i = 1, 2, · · · , n)，数列{Xik }都是收敛的。 定义 5.8 向量函数序列{Xk (t)}, Xk (t) = (x1k (t), x2k (t), · · · , xnk (t))T 称为在区间[a, b]上
0 1 0 2 0 n
(5.10)
其中ai (t), (i = 1, 2, · · · , n)和f (t)是[a, b]上的连续函数， t0 ∈ [a, b], ηi (i = 1, 2, · · · , n)是已 知常数。 作变换， 令 x = x1 , 于是 dx1 dx2 dxn−1 = x2 , = x3 , · · · , = xn dt dt dt
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第五章 一阶线性微分方程组
〖 解〗 设在给定的小环境中，t时刻食饵与捕食者的数量分别为x(t)和y (t)。 假设个体不 区分大小，而且没有个体向环境输入或从环境输出，当环境中不存在捕食者时，食饵种 群的增长规律用Logistic方程描述为 1 dx x = r1 (1 − ) x dt k1 其中r1 为常数，等于出生率b1 减去死亡率，k1 为大于0常数。 将(5.2)改写为 dx r1 = x(r1 − ax), a = dt k1 (5.3) (5.2)
定义 5.1 称
(5.6)
为含有n个未知函数x1 , x2 , · · · , xn 的一阶微分方程组。 定义 5.2 如果存在一组函数x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)，使得在[a, b]上有下面n个式子 dxi (t) = fi (t, x1 , x2 , · · · , xn ), dt i = 1, 2, · · · , n
dx dx1 = = x2 dt dt d2 x = x3 dt2 ··· dn−1 x = xn dtn−1
dn x = −an (t)x1 − an−1 (t)x2 − · · · − a1 (t)xn + f (t) dtn 而且 x(t0 ) = η1 = x1 (t0 ), x (t0 ) = η2 = x2 (t0 ), · · · , x(n−1) (t0 ) = ηn = xn (t0 ) 则(5.10)就可转化为下列一阶线性微分方程组 0 1 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 X = ··· ··· ··· ··· ··· −an (t) −an−1 (t) −an−2 (t) · · · −a1 (t) η1 η2 =η X (t0 ) = . . . η
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定义 5.4 如果一阶微分方程组(5.6)中的每一个fi (t, x1 , x2 , · · · , xn )对所有未知函数都是 一次的，即 dx1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + · · · + a1n (t)xn + f1 (t) dt dx2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + · · · + a2n (t)xn + f2 (t) dt ··· ··· dxn = a (t)x + a (t)x + · · · + a (t)x + f (t) n1 1 n2 2 nn n n dt
5.1
5.1.1
一阶线性微分方程组的一般理论
一阶线性微分方程组的基本概念
dx1 = f1 (t, x1 , x2 , · · · , xn ) dt dx2 = f2 (t, x1 , x2 , · · · , xn ) dt ··· ··· dxn = fn (t, x1 , x2 , · · · , xn ) dt