5. 一阶线性微分方程组

5
(5.12)

5.1.3
为
存在唯一性定理
定义 5.6 设n维列向量X = (x1 , x2 , · · · , xn )T 和n × n矩阵A = (aij )n×n，定义它们的范数
n n
X =
i=1
|xi |,
A =
i,j =1
|aij |
性质： (1) X ≥ 0且 X = 0当且仅当xi = 0 (i = 1, 2, · · · , n); A ≥ 0且 A = 0当且仅当aij = 0 (i, j = 1, 2, · · · , n); (2) 对任意常数α， 有 αX = |α| X , (3) X + Y ≤ X + Y , (4) AX ≤ A
0 1 0 2 0 n
(5.10)
其中ai (t), (i = 1, 2, · · · , n)和f (t)是[a, b]上的连续函数， t0 ∈ [a, b], ηi (i = 1, 2, · · · , n)是已 知常数。 作变换， 令 x = x1 , 于是 dx1 dx2 dxn−1 = x2 , = x3 , · · · , = xn dt dt dt
的解就是方程组(5.8)在包含t0 的区间α ≤ t ≤ β 上的解u(t)，使u(t0 ) = η。
4
第五章 一阶线性微分方程组
5.1.2
一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的关系
高阶线性微分方程的转化: n阶线性微分方程的初值问题 n dn−1 x dx d x + a ( t ) + · · · + an−1 (t) + an (t)x = f (t) 1 n n − 1 dt dt dt x(t ) = η , x (t ) = η , · · · , x(n−1) (t ) = η
n
Байду номын сангаас


X +
0 0 . . . 0 f (t)
(5.11)
高阶线性方程组的降阶：
5.1 一阶线性微分方程组的一般理论 假设如下线性方程组 3 dx dx d2 x dy = a ( t ) x + a ( t ) + b1 (t)y + b2 (t) + f1 (t) + a ( t ) 1 2 3 3 2 dt dt dt dt d2 y dx d2 x dy = c ( t ) x + c ( t ) + d1 (t)y + d2 (t) + f2 (t) + c ( t ) 1 2 3 2 2 dt dt dt dt 令 dx1 dx2 dy1 = x2 , = x3 ; y = y1 , = y2 dt dt dt 则可将(5.12)化为含有5个未知函数x1 , x2 , x3 , y1 , y2 的一阶线性微分方程组 0 x 0 1 0 0 0 x1 1 x 0 0 1 0 0 x2 0 2 x3 = a1 (t) a2 (t) a3 (t) b1 (t) b2 (t) x3 + f1 (t) y 0 0 0 0 1 1 y1 0 x = x1 , y2 c1 (t) c2 (t) c3 (t) d1 (t) d2 (t) y2 f2 (t)
dx dx1 = = x2 dt dt d2 x = x3 dt2 ··· dn−1 x = xn dtn−1
dn x = −an (t)x1 − an−1 (t)x2 − · · · − a1 (t)xn + f (t) dtn 而且 x(t0 ) = η1 = x1 (t0 ), x (t0 ) = η2 = x2 (t0 ), · · · , x(n−1) (t0 ) = ηn = xn (t0 ) 则(5.10)就可转化为下列一阶线性微分方程组 0 1 0 ··· 0 0 0 1 ··· 0 X = ··· ··· ··· ··· ··· −an (t) −an−1 (t) −an−2 (t) · · · −a1 (t) η1 η2 =η X (t0 ) = . . . η
3 3
Fy = F sin θ = − 卫星在x, y 轴上所获得的分加速度分别为 方程为
d2 x d2 y 和 。由牛顿第二定律，得到卫星的运动 dt2 dt2
d2 x f mM x m = − 3 2 (x2 + y 2 ) 2 dt d2 y f mM y m 2 =− 2 3 dt (x + y 2 m) 2 这就是一个含有两个未知函数的微分方程组。■ 【例2】 (Volterra 捕食－被捕食模型) 设有捕食种群和被捕食(或称食饵)种群生活在 同一小环境中， 由于生育、 生死和相互作用， 两种群个体的数量将随时间变化。 试建立 两种群个体数量随时间变化的数学模型。 1 (5.1)
由于捕食者存在，将使食饵的增长率减少，设单位时间内每个捕食者吃掉食饵的数 量与该时刻食饵的总量成正比，则t 时刻有y (t)个捕食者，它们在单位时间内吃掉食饵的 总量为bxy，b > 0为比例常数。于是(5.3)又改写为 dx = x(r1 − ax − by ) dt 类似的可得到捕食种群的增长规律 dy = y (−r2 + cx − dy ) dt 其中d > 0, r2 > 0, c > 0。 (5.4)和(5.5)构成的系统就是捕食一被捕食两种群相互作用的数学模型，这是含有两 个未知函数的微分方程组。■ (5.5) (5.4)
3
定义 5.4 如果一阶微分方程组(5.6)中的每一个fi (t, x1 , x2 , · · · , xn )对所有未知函数都是 一次的，即 dx1 = a11 (t)x1 + a12 (t)x2 + · · · + a1n (t)xn + f1 (t) dt dx2 = a21 (t)x1 + a22 (t)x2 + · · · + a2n (t)xn + f2 (t) dt ··· ··· dxn = a (t)x + a (t)x + · · · + a (t)x + f (t) n1 1 n2 2 nn n n dt
(5.7)
称(5.7)为一阶线性微分方程组。其中，aij (i, j = 1, 2, · · · , n)及fi (t) (i = 1, 2, · · · , n)在区 间[a, b]上连续。 一阶线性方程组的向量表示： 记 a21 (t) a22 (t) · · · a2n (t) A(t) = ··· ··· ··· ··· an1 (t) an2 (t) · · · ann (t) 则方程组(5.7)可写成向量形式 X = A(t)X + F (t) 定义 5.5 初值问题 X = A(t)X + F (t), X (t0 ) = η (5.9) (5.8) a11 (t) a12 (t) ··· a1n (t) , F (t) = f2 (t) ··· fn (t) f1 (t) , X (t) = x2 (t) ··· xn (t) x1 (t)
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第五章 一阶线性微分方程组
〖 解〗 设在给定的小环境中，t时刻食饵与捕食者的数量分别为x(t)和y (t)。 假设个体不 区分大小，而且没有个体向环境输入或从环境输出，当环境中不存在捕食者时，食饵种 群的增长规律用Logistic方程描述为 1 dx x = r1 (1 − ) x dt k1 其中r1 为常数，等于出生率b1 减去死亡率，k1 为大于0常数。 将(5.2)改写为 dx r1 = x(r1 − ax), a = dt k1 (5.3) (5.2)
恒成立，则称这组函数是一阶微分方程组(5.6)在[a, b]上的一个解。
5.1 一阶线性微分方程组的一般理论 定义 5.3 含有n个任意常数c1 , c2 , · · · , cn 的解 x1 = φ1 (t, c1 , c2 , · · · , cn ) x = φ (t, c , c , · · · , c ) 2 2 1 2 n ··· ··· xn = φn (t, c1 , c2 , · · · , cn ) 称为一阶微分方程组(5.6)的通解。
b
αA = |α| A ; B ;
b b
A+B ≤ A + B ; A(t)dt ≤
a a
X ,
b a
AB ≤ A X (t) dt;
(5)
a
X (t)dt ≤
A(t) dt。
定义 5.7 向 量 序 列{Xk }, Xk = (x1k , x2k , · · · , xnk )T 称 为 收 敛 的，如 果 对 每 个i (i = 1, 2, · · · , n)，数列{Xik }都是收敛的。 定义 5.8 向量函数序列{Xk (t)}, Xk (t) = (x1k (t), x2k (t), · · · , xnk (t))T 称为在区间[a, b]上
定义 5.1 称
(5.6)
为含有n个未知函数x1 , x2 , · · · , xn 的一阶微分方程组。 定义 5.2 如果存在一组函数x1 (t), x2 (t), · · · , xn (t)，使得在[a, b]上有下面n个式子 dxi (t) = fi (t, x1 , x2 , · · · , xn ), dt i = 1, 2, · · · , n