三阶幻方问题的代数解法
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收稿日期： 2011 － 06 － 24 基金项目： 国家自然科学基金资助项目（ 项目编号： 10471096 ） ； 辽宁省高等学校科学研究项目（ 项目编号： 20060842 ） E － mail： lixy@ synu． edu． cn。 作者简介： 郑长波（ 1954 － ） ， 男， 辽宁大连人， 教授， 主要研究方向： 应用数学，
则 B' 对应的方程组即为（ 1 ） 的同解方程组： a = － i + 10 b = － h + 10 c = h + i － 5 d = h + 2 i － 10 （ 2） e = 5 f = － h － 2 i + 20 g = － h － i + 15 h = h i = i i 中为自由未知量。当自由未知量分别 其 h， 1 ， 2 ， 3 ， ……， 9 时， 取 对应的方程组 （ 2 ） 共有 56 组整数解， 但这些解大部分都不是幻方的解。 为 需要确定自由未知量 h 和 i 了找出幻方的全部解， 取值的限制条件， 为此给出如下定理。 定理： 设图 5 是三阶幻方的一个解， 则幻方 4 c， g， i 只能取偶数。 个角位置 a， 证明： 若有一角为奇数， 不失一般性， 设a为 奇数， 则 a 所在对角线的另一对角位置 i 也是奇 由于中心位置 e = 5 ， 则该对角线 3 数。如若不然， 数之和为偶数， 此与 3 数之和为奇数相矛盾， 故当 a 取奇数时， 其所在对角线另一对角 i 只能取奇 数； 此时余下的两个奇数中若有一个位于另一条 由同样道理可知， 该对角线的 对角线上的某一角， 另一角只能取剩下的一个奇数。这样 4 个奇数都 处于四角位置。 但这是行不通的， 因为此时 4 条 边上的 3 数之和都将是偶数， 故此余下的 2 个奇 数不能处在另一条对角线的两顶点位置 ； 这样余下的 2 奇数只能位于 4 条边上的非顶 角位置。但容易发现， 在 4 条边中， 无论哪条边中 间位置放置奇数， 都将使该条边 3 数之和是偶数，
， 戴九覆一， 五居其中 ” 见图 1 所示。 在图 1 中所 有行、 列及对角线上的三数之和都是 15 。 近年来， 在安徽考古发掘出土了被认为是世 — —太乙九宫占盘， 界最早的三阶幻方实物— 据考 证， 距今已有 2180 多年。我国古代数学家对幻方 问题具有深入的研究。宋代数学家杨辉在其所著 《续方摘奇算法》 中， 给出了三阶幻方的构造方 的
第2 期 矛盾。
郑长波， 等： 三阶幻方问题的代数解法 i = 2 。得幻方解如图 6 所示。 9， 当 h = 7 时，
91
于是可知 a 取奇数是错误的， 即 4 个顶角位 置只能取偶数， 证毕。 4， 6， 8 由定理可知， 自由未知量 i 只能取 2 ， 其中之一。由于四个偶数都处在四角位置， 因而 d， f， h 只能取奇数， 于 处在四条边中间位置的 b， 3， 7， 94 个数之一。 是另一自由未知量 h 只能取 1 ， i 的取值情况来探求幻方 以下根据自由未知量 h， 的解。 （ 1 ） 当 i = 2 时， 3， 3 易知 h 不能取 1 、 若取 1 、 9 将导致矛盾， 故 h 只能取 7 、 若 h = 9， 则由方程组（ 2 ） 可得 a = 8， b = 1， c = 6， d = 3， e = 5， f = 7， g = 4， h=
90 法如下：
沈阳航空航天大学学报 1 。杨辉的构造方法可归结为：
第 29 卷
2， ……9 排列成图 2 所示。 第一步： 将 1 ， 第二步： 将图 2 中每一条对角线顶点的两个 — — ＞ 9， 7 ＜— — — ＞ 3， 数对调， 即 1 ＜— 得图 3 所 示。 4 两数沿斜上方和将 8 、 第三步： 将图 3 中 2 、 6 两数沿斜下方移动至图 4 ， 则图 4 实际上就是图
Algebra approach to solve third － order magic square question
ZHENG Changbo 1 ，LI xiaoyi2
（ 1． Dalian Fisheries University ， Dalian Liaoning 116300 ； 2． School of M athematics and System Science， Shenyang Normal University ，Shenyang 110034 ）
a = 8， b = 3， c = 4， d = 1， e = 5， f = 9， g = 6， h= 7， i = 2 。得幻方解如图 7 所示。 （ 2 ） 当 i = 4 时， 此时 h 只能取 3 或 9 （ h 若取 1 或 7 将产生矛盾） 。 若 h = 3， 则 a = 6， b = 7， c = 2， d = 1， e = 5， f = 9， g = 8， h= 3， i = 4 。得幻方解如图 8 。 当 h = 9 时， a = 6， b = 1， c = 8， d = 7， e = 5， f = 3， g = 2， h= i = 4 。得幻方解如图 9 。 9，
第29 卷 第2 期 2 012 年4 月
沈阳航空航天大学学报 Journal of Shenyang Aerospace University
V o l. 29 No. 2 Apr . 2 0 1 2
文章编号： 2095 － 1248 （ 2012 ） 02 － 0089 － 04
三阶幻方问题的代数解法
ຫໍສະໝຸດ Baidu
九子斜排， 上下对易， 左右相反， 四维挺出。 图 1 为三阶幻方的一种形式， 或称为幻方的
［1 － 7 ］ ， 一个解， 后人对幻方的研究也一直没有停止 ［8 － 15 ］ ， 对幻方的解法一直在改进 那么三阶幻方是
否存在其他解？ 下面采用线性代数办法解决这个 问题。
1
三阶幻方的解
b， c， d， e， f， g， h， i｝ = ｛ 1， 2， 3， 4， 5， 记 M = ｛ a， 6， 7， 8， 9｝ ， 设三阶幻方的一种形式为图 5 ， 易知 a， b， c， d， e， f， g， h， i 诸元满足下列方程组： a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15 a + d + g = 15 b + e + h = 15 c + f + i = 15 a + e + i = 15 c + e + g = 15 对其增广矩阵 B 实施初等变换， 得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 1 1 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 1 1 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 1 1 15 B= → 1 0 0 1 0 0 1 0 0 15 0 0 1 0 0 1 0 0 1 15 1 0 0 0 1 0 0 0 1 15 0 0 1 0 1 0 1 0 0 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 －1 －1 0 1 1 0 0 1 －1 －2 0 2 1 0 0 100 －5 －10 5 = B' （ 1） 20 15 0 0
（ 3 ） 当 i = 6 时， 此时 h 不能取 3 或 9 （ 否则产 生矛盾） 故 h 的值只能取 1 或 7 。 若 h = 1， 则 a = 4， b = 9， c = 2， d = 3， e = 5， f = 7， g = 8， h= 1， i = 6 。得幻方解如图 10 所示。 当 h = 7 时， a = 4， b = 3， c = 8， d = 9， e = 5， f = 1， g = 2， h= 7， i = 6． 得幻方解如图 11 所示。
Abstract： This paper introduces a constructor of third － order magic square put forw ard by the tw o ancient Chinese mathematicians Yang Hui and Zhen Luan． 56 groups of integer solutions correspond the equations in total，w hen the third － order magic square constraint equations are constructed in a linear algebra w ay and the freedom unknow ns are taken by 1 ， 2， 3， …， 9 respectively． To find all solutions in the magic square， restrictions of the freedom unknow n values are to be ascertained． Thus，the values of the freedom unknow n in the equations are discussed in classifications to calculate all the solutions of third － order magic square． The method of exploring the solutions of third － order magic square by using linear algebra methods is obviously not the simplest， how ever， it can be guaranteed by a complete theory． In addition， the article provides an example of how to use linear algebra to solve practical problems and briefly introduces the w onderful properties of the third － order magic square． ． Key words： magic square； constraint equations； integer solutions 世界上公认幻方为中国人所发明， 早期称九 宫算， 也叫三行纵横图或洛书。 文献记载最早见 《数术记遗 》 ， 于汉朝徐岳所著 说的是在三行三列 九个格子的排列图中， 填入 1 —9 这 9 个数 （ 每格 一个数） ， 使其位于各行列及对角线上的三个数 之和相等。北周的甄鸾在该书的注释中给出的解 “九宫者， 即二、 四为肩， 六、 八为足， 左三右七， 为
1 2 郑长波 ，李晓毅
（ 1． 大连海洋大学 辽宁 大连 116300 ； 2． 沈阳师范大学 数学与系统科学学院， 沈阳 110034 ）
摘要： 介绍了中国古代数学家甄鸾和杨辉关于三阶幻方的一个构造方法 。用线性代数的方法构造 2， 3， …， 9 时， 三阶幻方约束方程组时， 当自由未知量分别取 1 ， 对应的方程组共有 56 组整数解， 为 了找出幻方的全部解， 需要确定自由未知量取值的限制条件， 由此对方程组中的自由未知量的取 进而求出三阶幻方的全部解 。利用线性代数的方法去探求三阶幻方的解法种 值进行了分类探讨， 数显然不是最简捷的， 但却有完备的理论做保证 。 此外， 提供了一个如何利用线性代数知识来解 决实际问题的实例， 并简介了三阶幻方所具有的奇妙的特性 。 关键词： 幻方； 约束方程组； 整数解 中图分类号： O157 文献标志码： A doi： 10． 3969 / j． issn． 2095 － 1248． 2012． 02． 021
则 B' 对应的方程组即为（ 1 ） 的同解方程组： a = － i + 10 b = － h + 10 c = h + i － 5 d = h + 2 i － 10 （ 2） e = 5 f = － h － 2 i + 20 g = － h － i + 15 h = h i = i i 中为自由未知量。当自由未知量分别 其 h， 1 ， 2 ， 3 ， ……， 9 时， 取 对应的方程组 （ 2 ） 共有 56 组整数解， 但这些解大部分都不是幻方的解。 为 需要确定自由未知量 h 和 i 了找出幻方的全部解， 取值的限制条件， 为此给出如下定理。 定理： 设图 5 是三阶幻方的一个解， 则幻方 4 c， g， i 只能取偶数。 个角位置 a， 证明： 若有一角为奇数， 不失一般性， 设a为 奇数， 则 a 所在对角线的另一对角位置 i 也是奇 由于中心位置 e = 5 ， 则该对角线 3 数。如若不然， 数之和为偶数， 此与 3 数之和为奇数相矛盾， 故当 a 取奇数时， 其所在对角线另一对角 i 只能取奇 数； 此时余下的两个奇数中若有一个位于另一条 由同样道理可知， 该对角线的 对角线上的某一角， 另一角只能取剩下的一个奇数。这样 4 个奇数都 处于四角位置。 但这是行不通的， 因为此时 4 条 边上的 3 数之和都将是偶数， 故此余下的 2 个奇 数不能处在另一条对角线的两顶点位置 ； 这样余下的 2 奇数只能位于 4 条边上的非顶 角位置。但容易发现， 在 4 条边中， 无论哪条边中 间位置放置奇数， 都将使该条边 3 数之和是偶数，
， 戴九覆一， 五居其中 ” 见图 1 所示。 在图 1 中所 有行、 列及对角线上的三数之和都是 15 。 近年来， 在安徽考古发掘出土了被认为是世 — —太乙九宫占盘， 界最早的三阶幻方实物— 据考 证， 距今已有 2180 多年。我国古代数学家对幻方 问题具有深入的研究。宋代数学家杨辉在其所著 《续方摘奇算法》 中， 给出了三阶幻方的构造方 的
第2 期 矛盾。
郑长波， 等： 三阶幻方问题的代数解法 i = 2 。得幻方解如图 6 所示。 9， 当 h = 7 时，
91
于是可知 a 取奇数是错误的， 即 4 个顶角位 置只能取偶数， 证毕。 4， 6， 8 由定理可知， 自由未知量 i 只能取 2 ， 其中之一。由于四个偶数都处在四角位置， 因而 d， f， h 只能取奇数， 于 处在四条边中间位置的 b， 3， 7， 94 个数之一。 是另一自由未知量 h 只能取 1 ， i 的取值情况来探求幻方 以下根据自由未知量 h， 的解。 （ 1 ） 当 i = 2 时， 3， 3 易知 h 不能取 1 、 若取 1 、 9 将导致矛盾， 故 h 只能取 7 、 若 h = 9， 则由方程组（ 2 ） 可得 a = 8， b = 1， c = 6， d = 3， e = 5， f = 7， g = 4， h=
90 法如下：
沈阳航空航天大学学报 1 。杨辉的构造方法可归结为：
第 29 卷
2， ……9 排列成图 2 所示。 第一步： 将 1 ， 第二步： 将图 2 中每一条对角线顶点的两个 — — ＞ 9， 7 ＜— — — ＞ 3， 数对调， 即 1 ＜— 得图 3 所 示。 4 两数沿斜上方和将 8 、 第三步： 将图 3 中 2 、 6 两数沿斜下方移动至图 4 ， 则图 4 实际上就是图
Algebra approach to solve third － order magic square question
ZHENG Changbo 1 ，LI xiaoyi2
（ 1． Dalian Fisheries University ， Dalian Liaoning 116300 ； 2． School of M athematics and System Science， Shenyang Normal University ，Shenyang 110034 ）
a = 8， b = 3， c = 4， d = 1， e = 5， f = 9， g = 6， h= 7， i = 2 。得幻方解如图 7 所示。 （ 2 ） 当 i = 4 时， 此时 h 只能取 3 或 9 （ h 若取 1 或 7 将产生矛盾） 。 若 h = 3， 则 a = 6， b = 7， c = 2， d = 1， e = 5， f = 9， g = 8， h= 3， i = 4 。得幻方解如图 8 。 当 h = 9 时， a = 6， b = 1， c = 8， d = 7， e = 5， f = 3， g = 2， h= i = 4 。得幻方解如图 9 。 9，
第29 卷 第2 期 2 012 年4 月
沈阳航空航天大学学报 Journal of Shenyang Aerospace University
V o l. 29 No. 2 Apr . 2 0 1 2
文章编号： 2095 － 1248 （ 2012 ） 02 － 0089 － 04
三阶幻方问题的代数解法
ຫໍສະໝຸດ Baidu
九子斜排， 上下对易， 左右相反， 四维挺出。 图 1 为三阶幻方的一种形式， 或称为幻方的
［1 － 7 ］ ， 一个解， 后人对幻方的研究也一直没有停止 ［8 － 15 ］ ， 对幻方的解法一直在改进 那么三阶幻方是
否存在其他解？ 下面采用线性代数办法解决这个 问题。
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三阶幻方的解
b， c， d， e， f， g， h， i｝ = ｛ 1， 2， 3， 4， 5， 记 M = ｛ a， 6， 7， 8， 9｝ ， 设三阶幻方的一种形式为图 5 ， 易知 a， b， c， d， e， f， g， h， i 诸元满足下列方程组： a + b + c + d + e + f + g + h + i = 45 a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15 a + d + g = 15 b + e + h = 15 c + f + i = 15 a + e + i = 15 c + e + g = 15 对其增广矩阵 B 实施初等变换， 得： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 45 1 1 1 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 1 1 1 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 1 1 1 15 B= → 1 0 0 1 0 0 1 0 0 15 0 0 1 0 0 1 0 0 1 15 1 0 0 0 1 0 0 0 1 15 0 0 1 0 1 0 1 0 0 15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 －1 －1 0 1 1 0 0 1 －1 －2 0 2 1 0 0 100 －5 －10 5 = B' （ 1） 20 15 0 0
（ 3 ） 当 i = 6 时， 此时 h 不能取 3 或 9 （ 否则产 生矛盾） 故 h 的值只能取 1 或 7 。 若 h = 1， 则 a = 4， b = 9， c = 2， d = 3， e = 5， f = 7， g = 8， h= 1， i = 6 。得幻方解如图 10 所示。 当 h = 7 时， a = 4， b = 3， c = 8， d = 9， e = 5， f = 1， g = 2， h= 7， i = 6． 得幻方解如图 11 所示。
Abstract： This paper introduces a constructor of third － order magic square put forw ard by the tw o ancient Chinese mathematicians Yang Hui and Zhen Luan． 56 groups of integer solutions correspond the equations in total，w hen the third － order magic square constraint equations are constructed in a linear algebra w ay and the freedom unknow ns are taken by 1 ， 2， 3， …， 9 respectively． To find all solutions in the magic square， restrictions of the freedom unknow n values are to be ascertained． Thus，the values of the freedom unknow n in the equations are discussed in classifications to calculate all the solutions of third － order magic square． The method of exploring the solutions of third － order magic square by using linear algebra methods is obviously not the simplest， how ever， it can be guaranteed by a complete theory． In addition， the article provides an example of how to use linear algebra to solve practical problems and briefly introduces the w onderful properties of the third － order magic square． ． Key words： magic square； constraint equations； integer solutions 世界上公认幻方为中国人所发明， 早期称九 宫算， 也叫三行纵横图或洛书。 文献记载最早见 《数术记遗 》 ， 于汉朝徐岳所著 说的是在三行三列 九个格子的排列图中， 填入 1 —9 这 9 个数 （ 每格 一个数） ， 使其位于各行列及对角线上的三个数 之和相等。北周的甄鸾在该书的注释中给出的解 “九宫者， 即二、 四为肩， 六、 八为足， 左三右七， 为
1 2 郑长波 ，李晓毅
（ 1． 大连海洋大学 辽宁 大连 116300 ； 2． 沈阳师范大学 数学与系统科学学院， 沈阳 110034 ）
摘要： 介绍了中国古代数学家甄鸾和杨辉关于三阶幻方的一个构造方法 。用线性代数的方法构造 2， 3， …， 9 时， 三阶幻方约束方程组时， 当自由未知量分别取 1 ， 对应的方程组共有 56 组整数解， 为 了找出幻方的全部解， 需要确定自由未知量取值的限制条件， 由此对方程组中的自由未知量的取 进而求出三阶幻方的全部解 。利用线性代数的方法去探求三阶幻方的解法种 值进行了分类探讨， 数显然不是最简捷的， 但却有完备的理论做保证 。 此外， 提供了一个如何利用线性代数知识来解 决实际问题的实例， 并简介了三阶幻方所具有的奇妙的特性 。 关键词： 幻方； 约束方程组； 整数解 中图分类号： O157 文献标志码： A doi： 10． 3969 / j． issn． 2095 － 1248． 2012． 02． 021