立体几何的解题方法小结

立体几何中的存在惟一性问题存在惟一问题是立体几何中的重要题型，但往往被同学们所忽视。

下面介绍其证明方法。

解决这类题型必须分两步论证。

先证存在性，常用构造法，即作出符合题意的图形，再证惟一性，常用反证法（或同一法）。

例：求证：过两条异面直线中一条有且仅有一个平面与另一条直线平行。

分析；“有一个”——说明图形存在。

“仅有一个”——说明图形惟一。

证明：（1）存在性∴a b //这与a 、b 是异面直线相矛盾，于是假设不成立 故过b 有且仅有一个平面α与直线a 平行立体几何中公理2的一个应用公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

此公理是立体几何中关于平面的基本性质之一，它除了能判断两个平面是否相交之外，还能得出如下性质：若A A l ∈∈=αβαβ，，且I ，则A l ∈。

用此性质可解决如下题型：证明点在直线上。

以下举例说明。

例1. 已知∆ABC 的三边AB 、BC 、AC 所在的直线分别与平面α相交于E 、F 、G 三点，求证：E 、F 、G 三点共线。

证明：如图1，ΘI I AB E BC F EF EF ααα==⊂.，，联结，则又平面平面又，，平面，即是平面与平面的公共点。

因此，、、三点共线。

EF ABC ABC EF AC G G G ABC G ABC G EF E F G ⊂∴==∴∈∈∴∈ααααI I ..图1例2. 如图2，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：CE 、D 1F 、DA 相交于一点。

图2证明：ΘE AB F AA 为的中点，为的中点，1∴∴EF A BA B D C EF D C//////1111又因，评注：证明三点共线或三线共点常常转化为证明点在直线上。

反证法在立体几何中的应用反证法在立体几何中用得最多，课本中有很多定理如直线和平面的平行判定定理、平面和平面的平行判定定理等都是用反证法来证明的。

具体地说，反证法常用来证明以下问题： 一、证明两条直线是异面直线例1. 求证：分别和两条异面直线AB 和CD 同时相交的直线AC 、BD 是异面直线。

证明：假设AC 和BD 不是异面直线，则AC 和BD 在同一平面内，设这个平面为α，由AC BD ⊂⊂αα，，知A B C D 、、、∈α，故AB CD ⊂⊂αα，。

这与AB 和CD 是异面直线矛盾，于是假设不成立，故直线AC 和BD 是异面直线。

二、证明有关“惟一性”的命题例2. 已知a 与b 是异面直线，求证过a 且平行于b 的平面只有一个。

证明：如图1，假设过直线a 且平行于直线b 的平面有两个α和β。

在直线a 上取点A ，过b 和A 确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过A 点的直线c 、d 。

由b//α，知b//c 。

同理b//d 。

故c//d ，这与c 、d 相交于点A 矛盾。

故假设不成立。

从而过a 且平行于b 的平面只有一个。

三、证明直线在平面内例3. 已知：直线a ⊂平面α，点A ∈平面α，直线AB//a ，求证：AB ⊂α。

证明：假设AB 不在平面α内。

因为A ∈α，所以AB A I α=。

由于a ⊂α，从而由异面直线判定定理知AB 与a 是异面直线，这与AB//a 矛盾。

因此假设不成立，故AB ⊂α。

四、证明直线与平面的位置关系例4. 求证：两条平行线中一条与一个平面相交，那么另一条也与这个平面相交。

已知：a b a //，I 平面α=A ，如图2所示。

求证：直线b 和平面α相交。

证明：假设b 和平面α不相交，即b ⊂α或b //α。

（1）若b ⊂α，因为a b a //，⊄α，所以a //α，这与a A Iα=相矛盾。

（2）如果b //α，因为a//b ，所以a 和b 确定一个平面β，显然平面α与平面β相交。

设αβI =c ，因为b //α，所以b c //。

又a b //，从而a c //且a c ⊄⊂αα，。

故a //α，这与a A I α=矛盾。

由（1）、（2）可知，假设不成立。

故直线b 与平面α相交。

浅议立体几何中的“动”与“静”动与静是事物状态的两个方面，动中有静，静中寓动，它们互相依存，并在一定条件下互相转化，在解题中，既要善于动中觅静，以静制动，也要能够静中思动，以动求静，直到动静结合。

一、动中有静例1. 如图1，已知正方体AC 1中，点E 在棱D 1C 1上运动，求A 1D 与AE 所成角的范围。

D E C 1A 1图1B 1D分析：A 1D 与AE 所成角为异面直线所成角，求其大小通常要构造平面角，而AE 是动直线平面角难以构造，若考虑动直线AE 在面AD 1上的射影始终为AD 1且AD 1⊥A 1D ，由三垂线定理可知A 1D 与AE 所成角为90°。

解：略。

例2. 在正方体AC 1中，对角线A 1C 上一线段PQ ＝1，AB ＝2，求三棱锥P —BDQ 的体积。

分析：P 、Q 位置没有具体限定，它只要满足在直线A 1C 上；PQ ＝1，所以只要选取Q （或P ）在C （或A 1）点即可解答。

解：如图2A 1 D 1B（a ）DA 1D 1B （b ） D图2V S S BC CD P BDQ BCD BCD -==⨯=⨯⨯=131212222∆∆， 连AC ，过P 作PH ⊥AC ，则PH h =而PH A A PQ A C PH PQ A C A A 1111123233=⇒=⨯=⨯=所以V P BDQ -=239二、静中有动例3. 如图3，正三棱锥S —ABC 中，求两侧面所成角的范围。

SB C图3分析：求两侧面所成角就要构造其二面角的平面角，再通过解三角形将角求出，而本题中棱长并未告之，显然常规处理难以奏效，若以运动的眼光，设三棱锥的高SO 无限增大，此时侧棱可近似看作与底面ABC 垂直，则△ABC 中的三个角可看作两侧面所成角即为π3；同理当SO 无限缩短时，则三个侧面与面ABC 重合，两侧面所成角为π，综上可知两侧面所成角范围为ππ3，⎛⎝⎫⎭⎪。

例4. 如图4，四面体一条棱长为x ，其余棱长为1，体积为V ，求V f x =()的定义域和单调区间。

C BB B ED A1 D图4分析：对于这类几何图形运用运动的观点极限的思想方法去观察分析，可获得意想不到的效果。

解：设AB x=其余各棱长为1得：V f x S g x g xBCD===()()()13312∆·（g x()表示点A到底面BCD的距离）（1）固定△BCD，让△ACD绕CD转动，当A→B时x→0，当A A→1（A1∈平面BCD）时x→3，所以03<<x。

（2）当面ACD绕CD从面BCD的位置转到与面BCD垂直的过程中，x由0增大到BE AE2262+=，A到△CBD的距离g x()不断增大，所以062，⎛⎝⎫⎭⎪为f x()递增区间，同理可得递减区间为623，⎛⎝⎫⎭⎪。

三、动静结合例5. 如图5，在棱长为a的正方体AC1中，EF是棱AB上滑动一条线段，且EF b a=<，若Q是A1D1上的定点，P是C1D1的动点，则四面体PQEF的体积（）D C1A1B1图5A. 是变量有最大值B. 是变量有最小值C. 是变量且无最值D. 是常量分析：在四面体PQEF中，只有顶点Q是固定的，其它都是动点，所以四面体的形状极不稳定，很难求出其体积的表达式，深入观察，图形在动的形式下所包含的不变量：线段EF是运动的，但是EF的长度是不变的，P是动点，但P到EF的距离是不变的，△PEF是变化的，但Q到△PEF所在平面ABC1D1的距离是不变的，因此可把△PEF看成底面，把Q看成顶点，从而V Q PEF-是定值。

通过平面展开图理解立体图形中的关系在立体几何中，当立体图形中量与量的关系不好理解时，常常通过它的平面展开图来理解；同样当平面图形能否围成立体图形不好确定时，也常常通过立体图形来判断。

这种通过立体图形与它平面展开图来理解图形中的相关关系的方法是立体几何中常用的方法之一。

一. 通过展开图判断空间线段之间的关系例1. 将三棱锥P ABC -，如图1（甲）所示沿三条侧棱剪开后，展成如图乙所示的形状，其中P B P 12，，共线，且P P P P 1223=，则在三棱锥P ABC -中，PA 与BC 所成的角的大小是________________。

图1解：在所得图1（乙）中，P B P 12，，共线，且P P P P 1223=，又P B BP 13=、P C CP P A P A 3212==，，有：P C P B P C P B BP A CP A 332112==∠=∠、，。

所以，在图1（甲）中，PC PB AC AB ==、，故在三棱锥P ABC -中，PA 与BC 所成的角的大小是90°。

二. 通过展开图理解空间三个角和为定值的条件例2. 如图2所示，在四面体ABCD 中，顶点D 处的三个角均为直角，顶点A 处的三个面角之和等于90°，若DB a DC b ==，，则四面体ABCD 的体积为______________。

图2解：分别将△DAB 、△DAC 绕AB 、AC 旋转到△ABC 所在平面 得∆D AB 1与∆D AC 2并设D B D C 12，的延长线交于E 可知AD ED 12为正方形且D B a 1=，D C b BC a b 222==+， 设AD AD x 12==，则有()()x a x b a b -+-=+2222解得x a b =+ 因此AD a b =+ 故V S AD ab a b ab a b A BCD BCD -==+=+13131216∆···()()三. 通过空间图形探索平面图中的关系例3. 如图3所示，铁皮ABCD 是等腰梯形，两底AD=12cm 和BC=6cm ，高EF=3cm 且EF 是梯形的对称轴。

现将铁皮沿EB 、EF 、EC 折成几何体的其中四个面，并使EA 与ED 重合，试探寻一个简明条件使四点A 、B 、F 、C 共面。

图3解：在所得几何体中，易知EA cm BF CF EF cm BA CA BE CE cm ========633，，2 由勾股定理的逆定理得：∠=∠∠=∠=EFB EFC ABE ACE ，°90 于是EF BCF ⊥平面 则平面BEF BCF ⊥平面 欲使四点A 、B 、C 、F 共面 即AB BCF ⊂平面只要AB BF AF cm ⊥=，即33故当几何体中的AF cm =33时，四点A 、B 、C 、F 共面。

以棱柱为载体的立体几何三大问题例析棱柱是一个重要的几何体，以棱柱为背景的空间线线、线面、面面的平行与垂直问题；空间的各种距离问题；空间的各种角的问题，是高考命题的热点，应引起高度重视。