几何作图问题
辨士学派与几何三大作图问题
辩士学派（sophists）也称智者学派、诡辩学派，是公元前5世纪－公元前4世纪希腊的一批“收徒取酬”的教师、哲学家的统称.辩士学派在文法、修辞、哲学、科学等方面都有建树.在数学方面提出了“几何三大作图问题”：（1）三等分任意角；（2）利用尺规作一个立方体，使其体积等于已知立方体的2倍（立方倍积）；（3）作一个正方形，使其与给定的圆的面积相等（化圆为方）.并要求只能用圆规和无刻度的直尺来解决这三个问题.直到19世纪，这些问题都以否定有解作为最终定论.历经两千多年，数学家们对之作出多方探索并提出过不少解决方案，但都违反了用尺规作图的规定.正因为这三个问题不能用尺规来解决，常常使人进入新的领域中，促进了数学的发展，如激发了圆锥曲线、割圆曲线以及三、四次代数曲线的出现.这些“副产品”对数学的发展起到了无可估量的作用.下面谈一谈辩士学派内部学者或其同代人对三个问题的研究.一、三等分任意角希庇亚斯（Hippias，约公元前400年前后）曾尝试用割圆曲线将任意角分成三等份.设角∠BAD′为给定的任意角.以定长AB(AB⊥AD)为半径作圆弧，当动径AB（AB⊥AD）绕A点顺时匀速转动到AD′（图1），直线BC（BC∥AD）在同样的时间内以匀速平移到B′C′.在AB、BC运动时，瞬时交点如B′C′，AD′的交点E(x,y)的轨迹就是圆积曲线.角∠BAD′的一条边AD′交曲线于E.作EH⊥AD,作HH′，使HH′=EH.过H′引B′C′，使B′C′∥AD并交曲线于L，那么∠LAD=13∠DAD′.设AB=a，AB转π/2到AD需T秒.又设AD′转动角φ需t T秒，则B′C′平移到AD也需t T秒.从曲线的形成条件知φπ2=y a，又φ=arccot y x，于是割圆曲线BELG的方程是y=x tanπy2a.由割圆曲线的方程可知，等式∠LADπ2=HH′BA,∠DAD′π2 =EH BA成立.但EH=3H H′，显然，不是尺规所能做到的.图1二、立方倍积希波克拉底（Hipocrates，约公元前5世纪下半叶）最先提出立方倍积问题.该问题实质上是要在a与2a之间插入两个比例中项x、y，使得a:x=x:y=y:2a，x就是所求的解x=23a.这就是说以x为边的立方体的体积是以a为边的立方体的体积的2倍.这一理论为后来数学家们的有关工作提供了重要的根据，例如，门内玛斯（Menaechmus，约公元前375-公元前325）设两条抛物线的共顶点为O（原点），使其对称轴正交.二者的正焦弦分别为a、2a，那么它们交点的坐标是a与2a的比例中项.若两条抛物线的方程是x2=ay、y2=2ax，它们异于O（0,0）的交点是（23a，43a），其横坐标就是问题的解.门内玛斯还用抛物线和双曲线来研究立方倍积问题.设抛物线和双曲线的方程为y2=ax、xy=2a2，它们异于原点的交点为（43a，23a），就是2a与a的两个比例中项，其纵坐标就是问题的解.高尔吉亚（Achytas，公元前4世纪）没有把平面曲线的交点作为立方倍积问题的解，而是将问题归结为三种空间曲面：圆柱、圆锥和圆环面的交点.在图2中，取AB=a,AC=b,在平面xAy上作以AC为直径的圆，AB为其中的一条弦.其解法为：（i）让以AC为直径的半圆垂直于平面xAy，并绕吴文俊66图2我们还可以用解析几何方法求证.设锥面的方程为x2+y2+z2=b2x2，柱面的方程为图3辩士学派成员安蒂丰（Antiphon，公元前认为可以不断增加内接多边形的边数来逼近圆。
基本几何作图(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：常见的几何语言有哪些？背诵出来并作出对应的图形．问题2：连接，延长和作垂线的操作要点有哪些？基本几何作图一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，村庄A，B之间有一条河流，要在河流上建造一座大桥P，为使P到村庄A，B之间的距离之和最小，那么这座大桥P应建造在( )A.点E处B.点F处C.连接AB，AB与EF的交点即为所求点PD.河流上的任意处都可以答案：C解题思路：连接AB，AB与EF的交点即为所求点P，利用的原理是两点之间线段最短，从上图也能看出，其他点到村庄A，B之间的距离之和都比线段AB长．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短2.如图，为了解决A，B，C，D四个小区的缺水问题，市政府准备投资修建一个水厂E，使之到A，B，C，D四个小区的距离之和最小，则水厂E应建在( )A.线段AC的中点B.线段BD的中点C.线段AC与线段BD的交点D.直线AB与直线CD的交点答案：C解题思路：如图，根据两点之间线段最短，连接AC，则线段AC是A，C两个小区之间的最短距离；连接BD 与线段AC交于点E，则线段BD是B，D两个小区之间的最短距离．点E到A，B，C，D四个小区的距离之和EA+EB+EC+ED=AC+BD，所以点E到A，B，C，D四个小区的距离之和最小．故选C．试题难度：三颗星知识点：两点之间线段最短3.按照下列要求作图：①作线段AB；②作射线DA；③作直线AC．其中符合要求的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：根据线段有两个端点，没有方向，可得B选项错误；根据射线有一个端点，有方向，射线DA的端点是D，可得A，D选项错误；根据直线没有端点，没有方向，不能度量，可得D选项错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何作图4.已知，点A，B，C，线段a．按照下列要求作图：①连接AB，AC；②延长BA；③在BA 的延长线上截取AD，使得AD=a．其中符合要求的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：由题可知AC是线段，故B选项错误；由延长BA可知C选项错误；AD是在BA的延长线上截取的，故A选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：几何作图5.如图，已知四点A，B，C，D，按要求作图：①作射线AB，射线CD；②连接AC，BD交于点O；③反向延长射线CD交射线AB于点P．下列选项中作图正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：射线有一个端点，并且有方向．作射线AB，则端点为A，故B选项错误；作射线CD，则端点是C；反向延长射线CD，这样CD就变成了一条直线，故A，D错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何作图6.如图，已知线段AB，用尺规作图（保留作图痕迹）：延长线段AB到点C，使BC=2AB．下列尺规作图正确的是( )A.线段BC即为所求B.线段BC即为所求C.线段AC即为所求D.线段BC即为所求答案：A解题思路：根据题意“延长线段AB”，判断选项C和D错误．又因为已知的是线段AB，要使BC=2AB，需要截取两次，因此选项B错误．故选A．试题难度：三颗星知识点：几何作图7.如图，点C，D分别在直线AB上和直线AB外，以下是在此图基础上作图的过程及作法，其中错误的是( )A.连接CDB.连接CD，并延长CD到点E，使DE=2CDC.过点D作DE⊥AB于点ED.过点D作DE∥AB答案：B解题思路：B选项，题目中要求延长CD到点E，因此应该沿着CD的方向延长，如图，故选B．试题难度：三颗星知识点：几何作图8.如图1，已知三点A，B，C，根据下列语言描述作出图2，则下列选项中语言描述错误的是( )A.作直线ABB.作射线CAC.连接BCD.取线段BC的中点D，作线段AD答案：B解题思路：射线只有一个端点，并且有方向，作射线CA，C是端点，故B选项错误．故选B．试题难度：三颗星知识点：几何作图9.如图1，点C和点D分别是直线AB外两点，根据下列语言描述作出图2，则下列选项中语言描述正确的是( )A.作直线CD交直线AB于点EB.连接CD，并延长CD交直线AB于点EC.过点C作直线CF⊥AB，垂足为CD.过点C作直线CF⊥CD交AB于点F答案：D解题思路：直线没有方向，没有端点，因此选项A说法错误；图2中是延长DC，因此选项B说法错误；图2中CF⊥CD，因此选项C说法错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：几何作图10.如图1，已知四点A，B，C，D，根据下列语言描述作出图2，则下列选项中语言描述正确的是( )A.作射线ADB.作直线BC，过点A作AF∥BCC.过点B作BE⊥AD于点ED.连接AD，连接BC，交点为E答案：C解题思路：选项A，射线有一个端点，而且有方向，射线AD表示端点是点A，所以A选项错误；选项B，图2中是连接BC，BC是线段不是直线，所以B选项错误；选项D，AD与BC的交点是G，E点是BE⊥AD的垂足，所以D选项错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：几何作图。
古希腊三大几何作图问题
古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规，这种作图工具的限制使得三大几何作图问题成为数学史上的难解之题．三等分角问题即将任意一个角进行三等分．1837年，法国数学家旺策尔第一个证明了三等分角问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．但如果放宽作图工具的限制，该问题还是可以解决的．阿基米德创立的方法被誉为最简单的方法，他仅利用只有一点标记的直尺和圆规就巧妙地解决了这个问题．三等分角问题的深入研究导致了许多作图方法的发现及作图工具的发明．倍立方体问题即求作一个立方体，使其体积是已知一立方体的两倍，该问题起源于两千年希腊神话传说：一个说鼠疫袭击提洛岛（爱琴海上的小岛），一个预言者宣称己得到神的谕示，须将立方体的阿波罗祭坛的体积加倍，瘟疫方能停息；另一个说克里特旺米诺斯为儿子修坟，要体积加倍，但仍保持立方体的形状．这两个传说都表明倍立方体的问题起源于建筑的需要．1837年，洁国数学家旺策尔证明了倍立方体问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题．倍立方体问题的研究促进了圆锥曲线理论的建立和发展．化圆为方问题即求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积．这是历史上最能引起人们强烈兴趣的问题之一，早在公元前5世纪就有许许多多的人研究它．希腊语中甚至有一个专门名词表示“献身于化圆为方问题”．1882年，德国数学家林德曼证明了化圆为方问题是古希腊那种尺规作图不可能的问题，从而解决了2000多年的悬案．如果放宽作图工具的限制，则开始有多种方法解决这个问题，其中较为巧妙的是文艺复兴时期的著名学者达·芬奇设计的：用一个底与己知圆相等，高为己知圆半径一半的圆柱在平面上滚动一周；所得矩形的面积等于已知圆面积，再将矩形化为等面积的正方形即化圆为方问题的研究促使人们开始用科学的方法计算圆周率的值，对穷竭法等科学方法的建立产生了直接影响．。
专题8几何作图题与最短路径问题(原卷版)
专题8 几何作图题与最短路径问题（原卷版）类型一尺规作图1．（2022秋•镇原县期中）已知等腰三角形的底边长为a，底边上的高为h，如图所示，利用尺规作图，求作这个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹）．2．（2022•凉州区模拟）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且BD＝BA．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法），作∠ABC的角平分线交AD于点E；（2）F为CD中点，连接EF，直接写出线段EF和AC的数量关系及位置关系．3．（2017秋•重庆月考）尺规作图：如图，某区拟在新竣工的四边形广场的内部修建一个音乐喷泉M，现设计要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到自行车道AD、步行栈道DC的距离也相等，请在图中找出M的位置．（不写已知、求作、作法，保留作图痕迹）类型二无刻度作图4．（2021•前郭县三模）如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点，仅用无刻度的直尺按下列要求作图．（1）在图①中，作线段AB的垂直平分线；（2）在图②中，作∠ABC的平分线．5．（2021•江西模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图．（保留作图痕迹）（1）在图1中，作△ABC的高AM．（2）在图2中，作△ABC的高AN．（提示：三角形的三条高所在的直线交于一点）6．（2023春•抚州期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，G，P，Q均在格点上，请用无刻度直尺按下面要求作图．（1）在图1中，以D为顶点，作∠EDF＝∠ABC；（2）在图2中，作△GPQ的对称轴GH．类型三网格作图或画图7．（2023春•农安县期末）如图，在正方形网格上有一个△ABC．（1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积．（3）在直线MN上求作一点P，使P A+PB最小．8．（2023春•渝中区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣3，2）．请按要求分别完成下列各小题：（1）把△ABC向下平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）画出A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在y轴上找一点P，使得它到点A和点B的距离和最小（不要求写作法）．9．（2023春•西乡塘区校级月考）按要求完成作图：（1）作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；（2）在x轴上画出点Q，使△QAC的周长最小；（3）判断△ABC的形状，并说明理由．10．请在网格中完成下列问题：（1）如图①，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形，请用所学轴对称的知识作出△ABC与△DEF的对称轴l；（2）如图②，请在图中作出△ABC关于直线MN成轴对称的图形△A'B'C'；（3）在直线MN上找一点E，使BE+CE最小．类型四 坐标系里画图11．（2022秋•西青区期末）如图，△ABC 在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为A （﹣2，1），B （﹣4，3），C （﹣5，2）（Ⅰ）请在平面直角坐标系内画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1，其中，点A ，B ，C 的对应点分别为A 1，B 1，C 1，并写出△ABC 上任意一点D （x ，y ）关于y 轴对称的点D 1的坐标．（Ⅱ）请在平面直角坐标系内画出△ABC 关于关于直线m （直线m 上各点的纵坐标都为﹣1）对称的△A 2B 2C 2，其中，点A ，B ，C 的对应点分别为A 2，B 2，C 2．类型五 最短路径问题12．（2023春•小店区校级月考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，分别以点A 、B 为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E ，F ，作直线EF ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上任意一点．若BC ＝4，△ABC 面积为10，则BM +MD 长度的最小值为（ ）A ．52B ．3C ．4D ．513．如图，两条公路OA 、OB 相交，在两条公路中间有一个油库，设为点P ，如在两条公路上各设置一个加油站，请你设置一个方案，把两个加油站设在何处，可使油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短．14．如图所示，某条护城河在CC′处直角转弯，河宽均为5m，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，恰当地造桥可使从A到B的路程最短，请确定两座桥的位置．类型六作图与计算或说理的综合15．（2022秋•潜江期末）如图，若△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝5，∠BCD＝15°，P为CD上的动点，则|P A﹣PB|的最大值是（）A．3B．4C．5D．616．（2023春•竞秀区期末）如图，△ABC，（1）在△ABC中，按要求完成尺规作图；①求作BC边上一点D，使∠BAD＝∠DAC；②已知点A，C关于直线l对称，求作直线l，交AD于点G；③连接GC；（要求：在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法；铅笔完成作图后，用黑色水笔描画，以保证阅卷扫描清晰）（2）（1）中得到的图形中；①若∠B＝45°，∠BCA＝55°，求∠AGC的度数；②若∠B＝α，∠BCA＝β，则∠AGC＝．17．（2023春•连城县期末）如图，B、F、C、E是直线l上的四点，AB∥DE，AB＝DE，BF＝CE．（1）将△ABC沿直线l翻折得到△A′BC，用直尺和圆规在图中作出△A′BC（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）连接A′D，则直线A′D与l的位置关系是，并证明你的结论．18．（2023•龙岩模拟）如图，已知△ABC中，∠DAB＝∠ABC，AC＝BD．（1）求作点D关于直线AB的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下连接AE，BE，求证：∠AEB+∠C＝180°．。
数学万花筒(2) 数学经典——几何作图的三大问题
数学万花筒(2)数学经典——几何作图的三大问题尺规作图，是指限制了作图工具——只能用直尺和圆规.而这里的直尺是指没有刻度只能画直线的尺.用直尺与圆规，虽然可以作出许多种图形.但有些图形如正七边形、正九边形就作不出来.有些问题看起来好像很简单，但真做起来却很困难，甚或根本不可能.在历史上，数学家们曾先后提出三大几何作图问题，期盼有人给出正确的、严格的解答.它们分别是：1.化圆为方——求作一正方形，使其面积等于一已知圆的面积；2.三等分任意角；3.倍立方——求作一立方体，使其体积是一已知立方体体积的二倍.圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形与一已知圆的面积相等呢？若已知圆的半径为1，则其面积为π×12=π，所以化圆为方的问题相当于，求作一正方形，使其面积为π，也就是用尺规作出长度为的线段.对于某些角如900、1800，三等分并不难，是否所有角都可以用尺规三等分呢？例如600，若能三等分，则可以作出200的角，那么正18边形及正九边形也都可以作出来了（注：圆内接正十八边形每一边所对的圆周角为=200).第三个问题是倍立方.埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到，说有一个先知者得到神谕，必须将立方形祭坛的体积加倍，有人主张将每条棱长加倍，但我们都知道这是绝对错误的，因为这样一来，体积将变成原来的8倍.上述问题曾困扰数学家一千多年都不得其解.而实际上这三大作图问题，都不可能用直尺、圆规，经有限步骤来实现.1637年法国数学家笛卡儿(Descartes，1596—1650)创建了解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究.1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明.1882年林得曼(Linderman)也证明了π的超越性(即π不是任何整数系数多项式方程的根)，化圆为方的不可能性也得以确立.人们在研究“三等分角”的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线.在二十世纪之前，数学家们对三大作图问题均已给出了否定的结论，并用现代数学的艰深理论给出了严格的证明(有关的概念、公式很多).因为这些证明过程所用到的知识，业已远离中学数学，因此中学生一般来说是很难涉足其中的.在此，建议中学生不必再对这几个作图问题去作深入的探究，只要对相关问题有个初步了解即可.1。
平面几何作图三大问题
平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。
用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。
有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。
三大几何问题是: 1.化圆为方：求作一正方形使其面积等于一已知圆；圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等于去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π/2的线段（或者是π的线段）。
2. 三等分任意角的问题。
对于某些角如90。
、180。
三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。
，若能三等分则可以做出20。
的角，那么正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。
/18=20。
）。
其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。
3.倍立方问题：求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。
解析几何诞生之后，人们知道直线和圆，分别是一次方程和二次方程的轨迹。
而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题，从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题，最后的解是可以从方程的系数（已知量）经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。
因此，一个几何量能否用直尺圆规作出的问题，等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。
这样一来，在解析几何和高斯等人已有经验的基础上，人们对尺规作图可能性问题，有了更深入的认识，从而得出结论：尺规作图法所能作出的线段或者点，只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方（指正数开平方，并且取正值）所能作出的线段或者点。
1637年笛卡儿创建解析几何以后，许多几何问题都可以转化为代数问题来研究。
1837年旺策尔(Wantzel)给出三等分任一角及倍立方不可能用尺规作图的证明。
他是如此证明的：假设已知立方体的棱长为a，所求立方体的棱长为x，按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。
三大几何作图问题的产生、研究与解决
２０ 多年 来 ， ００ 历代 数学 家 为 了解决 这
三 个 问题 ， 费 了许 多 心 血 ， 都失 败 了． 耗 但 不 过 自从 １ ３ 年笛 卡儿 创 立 了解 析 几 何 ６７ 学 之后 ， 规作 图 的可 能 性就 有 了 判定 准 尺 则．１ ３ 年 万 泽 尔 在 研 究 挪 威 数 学 家 阿 ８７ 贝 尔 定 理 的 化 简 时 ． 明 了６ 。 不 可 能 证 ０角 用 尺规 作 图 的方 法加 以三 等分 ． 然后 又 证
是想 使 希腊 人 为 忽 视 几何 学 而 感 到羞 愧 ．
由于 这一 传 说 ． 方倍 积 问题 亦 称 为 提洛 立
斯 问 题．
当时 的古希 腊 人认 为 ， 几何 作 图 只许
辩 学 派 的学 者们 于公 元 前５ 世纪 提 出并 进
行 研 究 的几 何 学 三 大 问 题 ．那 时 希 腊 数
教学 研究 ） 课参 备 考
数学教学通讯 （ 师版 ） 教
投 箱： ｊ ｖ １６３．ｏｒ 稿邮 ｓ ｋ ｉ ｃ ｎ ｘ＠ ｐ
．
三大几何作图问题的产生 、 研究与解决
陈 督武
什么是“几何三大问题”
什么是“几何三大问题”大约在二千四百多年前，古希腊流传下列三个几何作图题：1．立方倍积问题：就是作一个立方体，使它的体积等于一个已知体积的2倍。
2．三等分角问题：就是把一个已知角三等分。
3．化圆为方问题：就是求作一个正方形，使它的面积等于一个已知圆的面积。
这三个几何作图题如果用先进的工具或曲线可以轻易地作出答案，然后只需用圆规和直尺来完成，而且还有一些限制：①直尺是没有刻度的；②不能把直尺和圆规同时在一起合并使用；③在作图时，直尺和圆规是不能无限使用多次的。
两千多年来，许多著名的数学家和学者都曾经对这三题进行过无数次的探讨、尝试，但连当时负有盛誉的学者柏拉图，也觉得茫无头绪，都始终没有成功。
于是，三个几何作图题成为著名的古典难题，一向被人们称为“几何三大问题”。
关于第一个问题，还流传着一个美丽的神话：大约在两千三百年前，雅典城流行了可怕的伤寒病。
人们为了消除这个灾难，便向“太阳神阿波罗”求助。
太阳神告诉人们说：必须把我殿前神坛上香案的体积扩大一倍，才能使瘟疫不再流行。
他的香案是一个立方体形状的，人们便觉得这个条件并不苛刻，于是人们马上做了一个新的香案。
然而，瘟疫依旧非常猖獗。
雅典人再去祈祷太阳神，才知道这个新的香案体积并不等于原来的两倍。
同学们也算一算，人们新做香案的每条棱长是原来棱长的2倍，这怎能符合要求呢？那么究竟怎么做呢？可把当时的人们难住了。
这虽是个神话，但经过人们的努力，在1973年，万芝尔首先证明这个立方倍积问题是不能用直尺和圆规来解决的，而且第二个问题也得到了同样的证明。
最难的是第三个化圆为方的问题因为它牵涉到π是超越数的证明。
什么叫超越数呢？通俗地说，是不可由某种具有有理系数的方程算出来的数。
证明一个数是超越数的方法，首先由数学家阿基米德创立的，后来德国数学家林德曼在1882年证明了π是一个超越数。
从此，这三个古典难题的公案便宣告结束。
这三个问题在生产生活中却有一定的实用性。
如果允许使用工具，或有刻度的直尺冲破原来的那些限制，三等分一个角是可能的，阿基米德就做了成功的尝试。
中考数学复习《几何作图》真题练习题含答案
中考数学复习 几何作图一、选择题1．(2017·宜昌)如图，在△AEF 中，尺规作图如下：分别以点E ，点F 为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧相交于G ，H 两点，作直线GH ，交EF 于点O ，连接AO ，则下列结论正确的是( C )A ．AO 平分∠EAFB ．AO 垂直平分EFC ．GH 垂直平分EFD ．GH 平分AF,第1题图) ,第2题图)2．(2017·南宁)如图，△ABC 中，AB ＞A C ，∠CAD 为△ABC 的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是( D )A ．∠DAE ＝∠B B ．∠EAC ＝∠C C.AE ∥BCD ．∠DAE ＝∠EAC3．(2017·襄阳)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以点C 为圆心，CB 长为半径作弧，交AB 于点D ；再分别以点B 和点D 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧相交于点E ，作射线CE 交AB 于点F ，则AF 的长为( B )A ．5B ．6C ．7D ．8,第3题图) ,第4题图)4．(2017·东营)如图，在▱ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E.若BF ＝8，AB ＝5，则AE 的长为( B )A ．5B ．6C ．8D ．125．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB ，AC 于点M 和N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是( D )①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④S △DAC ∶S △ABC ＝1∶3A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题6．(2017·北京)图①是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程． 已知：Rt △ABC ，∠C ＝90°，求作Rt △ABC 的外接圆． 作法：如图②.(1)分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于P ，Q 两点；(2)作直线PQ ，交AB 于点O ；(3)以O 为圆心，OA 为半径作⊙O.⊙O 即为所求作的圆．请回答：该尺规作图的依据是__到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线__90°的圆周角所对的弦是直径；圆的定义__．7．(2017·邵阳)如图，已知∠AOB ＝40°，现按照以下步骤作图： ①在OA ，OB 上分别截取线段OD ，OE ，使OD ＝OE ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧交于点C ；③作射线OC.则∠AOC 的大小为__20°__．8．(2017·绍兴)以Rt △A BC 的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D.若∠ADB ＝60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为__23__．9．(2017·济宁)如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点P(a ，b )，则a 与b 的数量关系是__a ＋b ＝0__．,第9题图) ,第10题图)10．(2017·成都)如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点P ；③作射线AP ，交边CD 于点Q ，若DQ ＝2QC ，BC ＝3，则平行四边形ABCD 周长为__15__．三、解答题11．(2017·青岛)已知：四边形ABCD.求作：点P ，使∠PCB ＝∠B ，且点P 到边AD 和CD 的距离相等．解：作法：①作∠ADC的平分线DE，②过C作CP1∥AB，交DE于点P1，③以C为角的顶点作∠P2CB＝∠P1CB，则点P1和P2就是所求作的点12．(2017·自贡)如图，13个边长为1的小正方形，排列形式如图，把它们分割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中(网格的边长为1)中，用直尺作出这个大正方形．解：如图所示：所画正方形即为所求13．(2017·贵港)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹)：已知线段a和∠AOB，点M在OB上(如图所示)．(1)在OA边上作点P，使OP＝2a；(2)作∠AOB的平分线；(3)过点M作OB的垂线．解：(1)点P即为所求作(2)OC即为所求作(3)MD即为所求作14．(2017·温州)在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A(2，3)，B(4，4)，请在所给网格区域(含边界)上按要求画整点三角形．(1)在图①中画一个△PAB，使点P的横、纵坐标之和等于点A的横坐标；(2)在图②中画一个△PAB，使点P，B横坐标的平方和等于它们纵坐标和的4倍．解：(1)设P(x，y)，由题意x＋y＝2，∴P(2，0)或(1，1)或(0，2)(不合题意，舍去)，△PAB如图1所示(2)设P(x，y)，由题意x2＋42＝4(4＋y)，整数解为(2，1)或(0，0)，△PAB 如图2所示。
七年级上册数学几何作图(习题及答案)
几何作图（习题）➢例题示范例1 ：在直线l 上任取一点 A ，截取AB=20cm ，再截取BC=50cm，则AB 的中点D 与AC 的中点E 之间的距离为，并作图说明．思路分析首先，理解题意，找关键词，其中l 为直线，AB，BC 为l 上的两条线段．其次，设计作图方案，作图．作直线l，任取一点作为A，取适当长作为AB；此时点B 位置固定，但点C 可在点B 左侧或右侧，位置不定，故分两种情况．①点C 在点 B 左侧，如图，接着取AB 的中点D，AC 的中点E．设计算法：DE =AD +AE=1AB +1AC 2 2=1 BC 2= 25②点C 在点 B 右侧，如图，接着取AB 的中点D，AC 的中点E．设计算法：DE =AE -AD=1AC -1AB 2 2=1 BC 2= 25综上，DE 的长度为25cm．➢巩固练习1.如图1，点C，D 是直线AB 外两点，按下列要求作图：（1）；（2）．得到的图形如图2，请在横线填上作法．2.如图，已知线段AB，按要求作图：①分别以点A 和点B 为圆心、以AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和点D；②作直线CD，交线段AB 于点E；③请通过测量猜想线段AB 和直线CD 的位置关系，线段AE 与线段BE 的数量关系．23.作图：已知线段a，b（a>b），作一条线段，使它等于a-b．（保留作图痕迹，不必写作法）4.已知线段AB=15cm，点C 在直线AB 上，且BC=2AB，则线段AC 的长为，并作图说明．5.已知点C 在直线AB 上，若AC=4cm，BC=6cm，E，F 分别为线段AC，BC 的中点，则EF 的长为，并作图说明．6.已知线段AB=24，点C 在直线AB 上，BC=3AC，M，N 分别为线段AB，AC 的中点，则MN 的长为，并作图说明．7.已知从点O 出发的三条射线OA，OB，OC，若∠AOB=60°，∠AOC 1∠AOB ，则∠BOC 的度数为，3并作图说明．8.已知∠AOB 为直角，∠BOC=40°，OM 平分∠AOB，ON 平分∠BOC，则∠MON 的度数为，并作图说明．9.已知∠AOB=120°，∠AOC=4∠BOC，OD 平分∠AOB，OE平分∠AOC，则∠EOD 的度数为，并作图说明．➢思考小结1. 我们学过的需要分类讨论的情况：第一类：由定义本身引起的．比如：已知x + 2 = 3 ，y = 3 ，求xy的值．思路分析由绝对值的定义，得x= ，y=然后借助进行分类讨论，求解可得xy=．第二类：位置不确定引起的．比如：习题中的第9题．思路分析首先可画出∠AOB，然后根据题意画出射线OC，但射线OC 的位置不确定，所以要分情况讨论：①射线OC在∠AOB的内部；②射线OC在∠AOB的．【参考答案】➢巩固练习1.（1）作射线DC 交AB 于点E（2）过点C 作CF⊥DE 于点C，交AB 于点 F2.作图略，AB⊥CD，AE=BE3.作图略4.15cm 或45cm，作图说明略5.1cm 或5cm，作图说明略6.9 或18，作图说明略7.40°或80°，作图说明略8. 25°或65°，作图说明略9. 12°或20°，作图说明略➢思考小结1. -5 或1，±3，树状图，±3 或±15．外部，图略。
中考数学复习《几何作图》
又∵BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AF＝AB，
∴四边形ABEF是菱形
4．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知：线段c，直线l及l外一点A； 求作：Rt△ABC，使直角边为AC(AC⊥l，垂足为C)，斜边AB＝c.
【解析】在直线l另一侧取点P，以点A为圆心，AP为半径画弧交直线l于点 M，N，再作线段MN的垂直平分线交l于点C，然后以点A为圆心，c为半径画 弧交l于点B，连结AB，则△ABC为所求作．
(2)设 AB 的垂直平分线交 ME 于点 N，且 MN＝2( 3＋1) km， 在 M 处测得点 C 位于点 M 的北偏东 60°方向， 在 N 处测得点 C 位于点 N 的北偏西 45° 方向，求点 C 到公路 ME 的距离．
解：(1)到城镇A，B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距
解：如图，△ABC为所求作的三角形
5．如图，已知△ABC，∠BAC＝90°，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC
分成两个相似的三角形．(保留作图痕迹，不写作法)
【解析】过点A作AD⊥BC于D，利用等角的余角相等可得到∠BAD＝∠C， 则可判断△ABD与△CAD相似．
解：如图，AD为所求作的直线
解：(1)如图所示：
(2)∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝50°，∴∠AEC＝∠EAB＋∠B＝100°
1．如图，已知锐角△ABC. (1)过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D； (用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法) 3 (2)在(1)条件下，若 BC＝5，AD＝4，tan∠BAD＝4，求 DC 的长．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. (1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心， OC为半径作⊙O；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)请你判断(1)中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．
三大几何作图问题
三大几何作图问题三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角．由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究．早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius，约480～？）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes，约276B.C.～195B.C.）、阿波罗尼奥斯（Apollonius，约262B.C.～190B.C.）和帕波斯（Pappus，约300～350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法．当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响．三大作图问题自智人学派提出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼［C.L.F.Lindemann］证明了π的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）．关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料．以下选录部分内容，各节作者与出处将随文注明．倍立方A．赛翁论倍立方问题的可能起源于埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当先知得到神的谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图．柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视．B．普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的简化．“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造出的问题或定理，使得原命题清晰明了．例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，即依赖于找到两个比例中项．从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索．据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的其他发现．说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底．历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显然这是一个错误．因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍．当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径．这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其变为两倍”．当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作出已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立方体就变成两倍．这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题．“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境．于是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法．这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项．据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯①（尽管他只是很勉强地做到），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项．应用这一发现，我们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性．……化圆为方A．安蒂丰化圆为方安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形．我们假设这个内接图形是正方形．然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段．接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形．他以同样的方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形．他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合．正如我们从《原本》中所知，既然通常我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么注意到与圆重合的多边形与圆相等，事实上我们就作出了等于一个圆的正方形．B．布里松化圆为方他作一个正方形外切于圆，作另一个正方形内接于圆，在这两个正方形之间作第三个正方形．然后他说这两个正方形（即内接和外切正方形）之间的圆及中间的正方形都小于外部的正方形且大于内部的正方形，他认为分别比相同的量大和小的两个量相等．因此他说圆被化成正方形．三等分角帕波斯论三等分一个角的方法当早期的几何学家们用平面方法探究上述关于角的问题时他们无法解决它，因为这个问题从性质来看是一个立体问题,由于他们还不熟悉圆锥曲线，因此陷于困惑．但是他们后来借助于圆锥曲线用以下描述的斜伸法将角三等分．用斜伸法解已知一个直角平行四边形ABΓΔ,延长BΓ，使之满足作出AE，使得线段EZ等于已知线段．假设已经作出这些，并作ΔH，HZ平行于EZ，EΔ．由于ZE已知且等于ΔH，所以ΔH 也已知.Δ已知，所以H位于在适当位置给定的圆周上．由于BΓ，ΓΔ包含的矩形已知且等于BZ，EΔ包含的矩形已知，即BZ，ZH包含的矩形已知，故H位于一双曲线上．但它也位于在适当位置给定的圆周上，所以H已知．证明了这一点后，用下述方法三等分已知直线角．首先设ABΓ是一个锐角，从直线AB上任一点作垂线AΓ，并作平行四边形ΓZ，延长ZA至E，由于Γz是一个直角的平行四边形，在EA，AΓ间作线段EΔ,使之趋于B且等于AB 的两倍——上面已经证明这是可能的，我认为EBΓ是已知角ABΓ的三分之一．因为设EΔ被H平分，连接AH，则三条线段ΔH，HA，HE相等，所以ΔE是AH的两倍．但它也是AB的两倍，所以BA等于AH，角ABΔ等于角AHΔ．由于AHΔ等于AEΔ,即ΓBΔ的两倍，所以ABΔ等于ΔBΓ的两倍．如果我们平分角ABΔ,那么就三等分了角ABΓ．用圆锥曲线的直接解法这种立体轨迹提供了另一种三分已知弧的方法，不必用到斜线．设过A,Γ的直线在适当的位置给定，从已知点A,Γ作折线ABΓ,使得角AΓB是角ΓAB 的2倍，我认为B位于一双曲线上．因为设BΔ垂直于AΓ并且截取ΔE等于ΓΔ,当连接BE时，它将与AE相等．设EZ等于ΔE,所以ΓZ=3ΓΔ.现在置ΓH等于AF/3，所以点H将给定，剩下部分AZ等于3*HΔ.由于BE*BE-EZ*EZ＝BΔ*BΔ，且BE*BE一EZ*EZ=ΔA*AZ，所以ΔA*AZ=BΔ*BΔ，即3*A Δ*ΔH=BΔ*BΔ，所以B位于以AH为横轴，AH为共轭轴的双曲线上．显然Γ点在圆锥曲线顶点H截取的线段ΓH是横轴AH的二分之一．综合也是清晰的．因为要求分割AΓ使得AH是HΓ的2倍 ,就要过H以AH为轴画共轭轴为AH的双曲线，并且证明它将使我们作出上面提到的具有2倍之比的角度．如果A，Γ两点是弧的端点，那么以这种方法画的双曲线截得已知圆上的一段弧的三分之一就易于理解了．。
几何三大问题为尺规作图不能问题的证明
1.立方倍积问题假设已知立方体的棱长为c，所求立方体的棱长为x.按给定的条件，应有x3=2a3.令a＝1，则上述方程取更简单的形式x3-2=0.根据初等代数知识，如果上述的有理系数三次方程含有有理根，不外是±1，±2.但经逐一代入试验，均不符合.可见方程x3-2=0必不能用尺规作出，这就证明了立方倍积问题是尺规作图不能问题.2.三等分任意角问题对于已知的锐角∠O=θ，设OP、OS是它的三等分角线.以O为圆心，单位长为半径画弧，交∠O的两边于点A、B，交三等分角线OS于点C.过点C作CD⊥OA，交OA于点D.这样，OS能否用尺规来作出，就等价于点C能否用尺规作出，也就是点D能否用尺规来作出.令OD=x，则有4x3-3x-cosθ＝0.如果能证明上述三次方程的根一般不能仅用尺规作出，则点D不可得，于是射线OS也就不能作出.欲证明此事，可选一特例考察之.8x3-6x-1=0.以2x=y代入此方程，可得较简单的形式y3-3y-1=0.根据代数的知识，如果有理系数一元三次方程y3-3y-1=0含有有理根，不外是±1.但经逐一代入试验后，均不符合，可见此方程没有有理根.于是，根据本书第14页定理2可知，方程y3-3y-1=0的任何实根不能用尺规作图来完成，即60°角不能用尺规三等分.三等分60°角尚且不能,这就表明了三等分任意角属于尺规作图不能问题.当然，这个结论是对一般情形而言的，假如θ等于某些特殊值，则作图未必就不可能.例如，当θ=90°时，便有cos90°=0，此时方程4x3-3x-cosθ=0就变为4x3-3x=0.解之，得(见图6).注意，当cosθ取值为无理数时，如θ=30°、45°等，则我们所用的定理2就不再适用了.3.化圆为方问题假设已知圆的半径为r，求作的正方形的边长为x(图7).按条件，应有x2=πr2.令r=1，即得不可作.但π是超越数，自然不是有理系数的代数方程的根，更不是从1出发通过有限次加、减、乘、除及正实数开平方所能表示，即π不能仅用尺规作图来完成，所以化圆为方问题属尺规作图不能问题.4.正七边形和正九边形的作图问题正多边形的作图，亦即等分圆周问题，自古以来就一直吸引着人们.古希腊时期，人们已会运用尺规作出3，4，5，6.10，15边数的正多边形，但是企图作正七边形或正九边形却终归失败.现在来证明正七边形和正九边形都属尺规作图不能问题.(图8).∵7θ=2π，∴3θ=2π-4θ，∴ cos3θ=cos(2π－4θ)＝cos4θ.根据三角恒等式，有cos3θ=4cos3θ-3cosθ，cos4θ=8cos4θ-8cos2θ＋1，所以4cos3θ-3cosθ=8cos4θ-8cos2θ＋1.即8cos4θ-4cos3θ-8cos2θ＋3cosθ＋1=x4-x3-4x2+3x＋2=0.分解因式，得(x-2)(x3+x2-2x-1)=0.x3+x2-2x-1=0.由试验，知±1均不能满足这方程，可见上述三次方程无有理根.于是，运用本书第14页的定理2，可知上述三次方程的任何实根均不能用尺规作图来完成，因而正七边形属于尺规作图不能问题.的作图，而θ=40°角属于尺规作图不能问题(否则，利用作角平分线的办法，可作出20°角，将导致三等分60°角成为可能).所以正九边形也属尺规作图不能问题.由正七边形和正九边形是尺规作图不能问题，可直接推得边数为2n×7和2n×9(n为正整数)的正多边形也是尺规作图不能问题.对于尺规作图不能问题，除了直接应用本书第14页的定理来判断外，通常还有两种间接判断方法：1°有的作图问题，经过分析后发现可以归结为已知的作图不能问题，则可断定该问题也属尺规作图不能问题.例如正九边形属尺规作图不能问题的上述证明所采用的方法就是.2°有时，对问题的一般情形进行讨论既繁且难，而取其特例考察，则简易得多.因此欲决定某题属作图不能问题时，不妨相机证明它的特例不能作图，特例既经证实，一般情形的不能作图便不言而喻了(但特例可行则不等于这问题可作).例如解决三等分角问题时所采用的方法即是.。
平面几何中的作图问题
平面几何中的作图技巧
利用几何定理进行作图
勾股定理：利用勾股定理进 行作图
三角形全等：利用三角形全 等定理进行作图
平行线性质：利用平行线性 质进行作图
角度关系：利用角度关系进 行作图
利用代数方法进行作图
代数方法的定义：利用代数方程来表示几何图形，通过解方程来找到图形的关键点或线段。
代数方法的优势：可以处理更复杂的几何问题，特别是那些难以用传统几何方法解决的问题。
代数方法的常见应用：例如，通过解方程来找到圆的中心或切线，或者通过解方程组来找到两条直线的交点。 代数方法的使用技巧：需要熟练掌握代数和几何之间的转换，以及如何将几何问题转化为代数问题。
利用坐标系进行作图
定义坐标系：确定原点和坐标轴， 为图形中的点确定坐标。
在实际生活中的应用
建筑设计：利用平面几何作图确定建筑物的位置、角度和距离 机械制造：在机械零件制造中，利用平面几何作图确定零件的尺寸和形状 电子工程：在电路板设计中，利用平面几何作图确定元件的位置和连接方式 艺术创作：在绘画和设计中，利用平面几何作图创造出具有美感和比例的作品
在工程设计中的应用
机械设计：通过几何作图优 化机械零件的形状和尺寸
三角形垂心作图问题
定义：三角形垂心作图问题是平面几何中一类复杂的作图问题，要求通过给定的 条件和工具，画出三角形的垂心。
解决方法：通常需要利用三角形的性质和几何定理，通过一系列的推理和计算， 才能准确地画出三角形的垂心。
难度：三角形垂心作图问题难度较大，需要较高的平面几何知识和推理能力。
应用：三角形垂心作图问题在数学竞赛、数学教育和数学研究中有着广泛的应用， 是检验学生数学综合素质的重要手段之一。
几何作图
几何作图单项选择题1.圆锥体高度为40mm底圆半径为10mm，则该圆锥的锥度为( A)。
A.1︰2B.4︰1C.1︰4D.10︰402.圆弧连接的实质是( A)。
A.使连接圆弧与相邻线段相切B.圆弧与圆弧连接C.直线与圆弧光滑过度D.直线与圆弧连接3.图样中通常把斜度的( B)化成1︰n的形式。
A.比例B.比值C.长度D.对称度4.基准是标注尺寸的( C)。
A.起止点B.范围C.起点D.方向5.以下说法错误的是( C)。
A.确定图形中各部分几何形状大小的尺寸称为定形尺寸B.确定图形中各个组成部分与基准之间相对位置的尺寸称为定位尺寸C.平面图形的尺寸分为定形尺寸、定位尺寸和总体尺寸D.平面图形中标注和分析尺寸时，首先必须确定基准6.以下说法正确的是( D)。
A.根据已知的定形尺寸画出的圆弧称为已知弧B.根据已知的定位尺寸画出的圆滑称为中间弧C.根据已知的定形尺寸和定位尺寸画出的圆弧称为连接弧D.平面图形的线段分为已知线段、中间线段和连接线段三类7.图样上的锥度符号应配置在( A)。
A.基准线上B.图形的轮廓线上C.中心对称线上D.尺寸线上8.图样上斜度的符号应和图形中的( D)保持一致。
A.对称中心线B.斜度C.基准线D.斜度的方向9.画平面图形的底稿时，应先画出( B)。
A.主要的基准线B.图框和标题栏C.图形D.尺寸界线和尺寸线10.以下描深图形应遵循的顺序错误的是( D)。
A.先曲后直B.先细后粗C.先水平后垂、斜D.先大后小１．圆弧连接的作图可归纳为：（１）求连接圆弧的圆心；（２）找出连接点（切点）；（３）在两连接点之间画出连接圆弧。
２．常用的椭圆画法有同心圆法和四心圆法两种。
同心圆法为理论画法，四心圆法为近似画法。
３．斜度是指一直线（或平面）相对于另一直线（或平面）的倾斜程度。
其大小用该两直线（或两平面）间夹角的正切值来表示。
锥度是指正圆锥体底圆直径与锥高之比。
４．平面图形的尺寸分析和线段分析就是分析每个尺寸的作用以及尺寸间的关系，从而解决以下三个问题：（１）该图形能否画出，也就是所给的尺寸是否够用或多余；（２）在标注平面图形尺寸时，能分析出哪个尺寸该注，哪个尺寸不该注，使标注的尺寸恰到好处；（３）在画图时能知道先画哪些线段，后画哪些线段，最后再画哪些线段。
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SA’/SA为位似比，对
A
⊙O’作位似变换，其对 A’ O 应图形即⊙O, 即O’ →O. B O’ S 由AO∥A’O’即可确定O. l M’ M A 作法：作AB的中垂线与l 交于S，作⊙O’与l相切， A’ O B 且O’在中垂线上， O’ S l 连结AS交⊙O’于A’, M M’ 作AO∥A’O’交中垂线于O, 作⊙O(AO)即得. 证明：略. 讨论：当A、B处于l异侧，或者 都在l上时，无解；若两点之一在l上有一解;
1.. 基本作图——根据作图公法容易解决 的、并常用来作为解决其它作图问题的作 图命题. 常用的基本作图罗列如下： (1)以定射线为一边作一角等于给定的角； (2)已知：1o 三边； 2o 两边及其夹角； 3o 两角及其夹边，可作三角形； (3)过一点，作已知直线的垂线； (4)过一点，作已知直线的平行线；
a
b
b
(14)已知线段a, b，求作线段 x a2 b2 (15)已知线段a, b，求作线段 x a2 b2
2. 解作图题的步骤：
①写出已知与求作：按题目要求写出题设 条件，并说明要作的图形是什么。 ②分析：假设符合条件的图形已经作 出，在所作草图上寻求解题途径。 ③作法：利用作图公法及已知的作图问题 （包括基本作图和已完成的作图题），写 出作图过程。 ④证明：证明按上述作法所作图符合要求。 ⑤讨论：解的个数、位置是否确定等问题。
几何作图问题
• 按照所给条件，作出符合条件 的图形，这就是几何作图问题. • 作图问题实质上是几何存在性命题的一 种变形，作图过程就是证实图形存在的 一种方法，由此也可获得图形的性质. 一、几何作图的基本知识 • 初等几何作图，对作图工具有一定的限 制，即：只能用无刻度的直尺和圆规，在 有限次步骤内做出符合条件的图形来.
B
2.三角形奠基法
某些作图题，求作的图形中含有一个特殊 三角形，该三角形一旦作出，整个图形就 容易完成，这种作图法称为三角形奠基法. 例2 已知三角形的一边和该边上的中线与 高，求作三角形.(不定位作图)
A 已知三线段a, ma, ha . ma h 求作⊿ABC，使BC=a, a 中线AM=ma, 高AH=ha. aM H C B 分析：如图所示：在直角⊿AMH中, 有两 边已知, 故可作出, 即A已确定, 再由 BM=MC=a/2 即可确定B, C两点.
二、解作图问题的常用方法
1. 交轨法——作图题大多都归结为确定 一个点的位置问题。确定一个点一般需要 两个条件，一个条件决定一个轨迹，做出 两个轨迹及其交点，该题就获得解决。 例1 从已知圆外一点作一割线，使其圆外 部分和圆内部分长度相等.
已知P是定⊙O(R)外一点， O 求作：从P作⊙O(R)割线 M B P A PAB，使PA=AB. 分析： 假定满足要求的图已作出,由图可知, 关键是要确定A(或B)点. 在⊿POB中，A是 PB的中点，设PO中点为M，则MA=(1/2)R.
(5)平分一个角； (6)平分一段弧； (7)作给定线段的中垂线； (8)分一条线段成若干等分； (9)作线段的和或差，作角的和或差； (10)已知弓形弦长及其内接角，作弓形弧
α
α
(11)内分或外分一线段成已知比；
a b a
b
C
A
B x c
(12)作三个已知线段的第四比例项； ax 即已知线段a, b, c， bc 求作满足a:b=c:x的线段x. (13)作两个已知线段的比例中项； 即已知线段a, b， x a 求作满足a:x=x:b的线段x.
作法以及证明均易给出——略。
讨论：ma≥ha时有一解， ma<ha时无解. 3.变位法——对图形中某些元素施行适当 的合同变换，然后借助于相关元素的合 同关系作图的方法.
例3 已知底边a, 高ha及两底角 之差∠B－∠C=α, 求作⊿ABC. 分析假设满足条件的⊿ABC已作出. 由已知a可确定B,C两点, 下面只要 确定A的位置即可. 由高ha可知A在 E C’ α 与BC平行的直线PQ上. A P Q 延长BA到E, 则∠B=∠QAE, 作AC’,使∠QAC’=∠C, 则 C a B H ∠EAC’=α, C’可由C关于PQ的 对称点作出, ∠BAC’=π-α, 因此A还在以BC’ 为弦、内接角为π-α的弧上. (作法与证明略）
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。
O1 A B B l
O1 r
A
B
A
S
O’
A’
5. 反演法——利用反演变换分析作图方法 已知点，且与一个已知圆相切. T’ B 分析：设所求⊙O过A,B两 点且与⊙O1相切的图已作出. O1 T O A 若以A为反演中心,则⊙O将变为直线l, B’ 若把A对⊙O1的幂取作反演幂, 则 l ⊙O1与它自身对应，设B对应B’. 则l过B’且与⊙O1相切,T→T’. T’ B 作法：以A为反演中心，A对 O1 T O ⊙O1的幂为反演幂作B的反演 A 点B’, 过B’作⊙O1的切线l, 切点为T’, 连接AT’交⊙O1于T，过A,B,T三点作⊙O，
讨论本题在0≤α＜π有一解(与弧另一交点不符合)
4. 位似法——先作出形状满足要求的图
形F’，不管大小和位置，然后选择适当的 位似中心和位似比，通过位似变换把F’变 成F，且大小和位置都符合条件。 A 例4 求作一圆，使该圆过两 定点，并与一定直线相切. A’ O B 已知定点A, B和直线l, O’ S l 求作⊙O过A, B且与l相切. 分析：假设符合条件的圆已作出. 本题关键是
A点在⊙O上又在以M为圆心(1/2)R为半径的圆上.
作法： 作PO的中点M, 以M为圆心 (1/2)R为半径作圆,交⊙O于A, M 连结PA并延长交⊙O于B, P A
则PB为所求割线.
O
B1B
证明:过O作OB1∥MA, 交PB于B1,则OB1=R,
即B1就是B点，由OB∥MA可知 O A是PB的中点, 即PB满足条件. M 讨论：当MO>(3/2)R时， P A 即PO>3R时，此题无解； 当PO=3R时，有一解，即割线过圆心； 当R<PO<3R时，有两解.(PO≤R不合条件)