几何作图问题

讨论本题在0≤α＜π有一解(与弧另一交点不符合)
4. 位似法——先作出形状满足要求的图
形F’，不管大小和位置，然后选择适当的 位似中心和位似比，通过位似变换把F’变 成F，且大小和位置都符合条件。 A 例4 求作一圆，使该圆过两 定点，并与一定直线相切. A’ O B 已知定点A, B和直线l, O’ S l 求作⊙O过A, B且与l相切. 分析：假设符合条件的圆已作出. 本题关键是
A点在⊙O上又在以M为圆心(1/2)R为半径的圆上.
作法： 作PO的中点M, 以M为圆心 (1/2)R为半径作圆,交⊙O于A, M 连结PA并延长交⊙O于B, P A
则PB为所求割线.
O
B1B
证明:过O作OB1∥MA, 交PB于B1,则OB1=R,
即B1就是B点，由OB∥MA可知 O A是PB的中点, 即PB满足条件. M 讨论：当MO>(3/2)R时， P A 即PO>3R时，此题无解； 当PO=3R时，有一解，即割线过圆心； 当R<PO<3R时，有两解.(PO≤R不合条件)
1.. 基本作图——根据作图公法容易解决 的、并常用来作为解决其它作图问题的作 图命题. 常用的基本作图罗列如下： (1)以定射线为一边作一角等于给定的角； (2)已知：1o 三边； 2o 两边及其夹角； 3o 两角及其夹边，可作三角形； (3)过一点，作已知直线的垂线； (4)过一点，作已知直线的平行线；
确定O的位置. 我们知道它在AB的中垂线上, 作 ⊙O’与l相切，O’在中垂线上，以S为位似中心，
SA’/SA为位似比，对
A
⊙O’作位似变换，其对 A’ O 应图形即⊙O, 即O’ →O. B O’ S 由AO∥A’O’即可确定O. l M’ M A 作法：作AB的中垂线与l 交于S，作⊙O’与l相切， A’ O B 且O’在中垂线上， O’ S l 连结AS交⊙O’于A’, M M’ 作AO∥A’O’交中垂线于O, 作⊙O(AO)即得. 证明：略. 讨论：当A、B处于l异侧，或者 都在l上时，无解；若两点之一在l上有一解;
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二、解作图问题的常用方法
1. 交轨法——作图题大多都归结为确定 一个点的位置问题。确定一个点一般需要 两个条件，一个条件决定一个轨迹，做出 两个轨迹及其交点，该题就获得解决。 例1 从已知圆外一点作一割线，使其圆外 部分和圆内部分长度相等.
已知P是定⊙O(R)外一点， O 求作：从P作⊙O(R)割线 M B P A PAB，使PA=AB. 分析： 假定满足要求的图已作出,由图可知, 关键是要确定A(或B)点. 在⊿POB中，A是 PB的中点，设PO中点为M，则MA=(1/2)R.
a
b
b
(14)已知线段a, b，求作线段 x a2 b2 (15)已知线段a, b，求作线段 x a2 b2
2. 解作图题的步骤：
①写出已知与求作：按题目要求写出题设 条件，并说明要作的图形是什么。 ②分析：假设符合条件的图形已经作 出，在所作草图上寻求解题途径。 ③作法：利用作图公法及已知的作图问题 （包括基本作图和已完成的作图题），写 出作图过程。 ④证明：证明按上述作法所作图符合要求。 ⑤讨论：解的个数、位置是否确定等问题。
B
2.三角形奠基法
某些作图题，求作的图形中含有一个特殊 三角形，该三角形一旦作出，整个图形就 容易完成，这种作图法称为三角形奠基法. 例2 已知三角形的一边和该边上的中线与 高，求作三角形.(不定位作图)
A 已知三线段a, ma, ha . ma h 求作⊿ABC，使BC=a, a 中线AM=ma, 高AH=ha. aM H C B 分析：如图所示：在直角⊿AMH中, 有两 边已知, 故可作出, 即A已确定, 再由 BM=MC=a/2 即可确定B, C两点.
几何作图问题
• 按照所给条件，作出符合条件 的图形，这就是几何作图问题. • 作图问题实质上是几何存在性命题的一 种变形，作图过程就是证实图形存在的 一种方法，由此也可获得图形的性质. 一、几何作图的基本知识 • 初等几何作图，对作图工具有一定的限 制，即：只能用无刻度的直尺和圆规，在 有限次步骤内做出符合条件的图形来.
(5)平分一个角； (6)平分一段弧； (7)作给定线段的中垂线； (8)分一条线段成若干等分； (9)作线段的和或差，作角的和或差； (10)已知弓形弦长及其内接角，作弓形弧
α
α
(11)内分或外分一线段成已知比；
a b a
b
C
A
B x c
(12)作三个已知线段的第四比例项； ax 即已知线段a, b, c， bc 求作满足a:b=c:x的线段x. (13)作两个已知线段的比例中项； 即已知线段a, b， x a 求作满足a:x=x:b的线段x.
作法以及证明均易给出——略。
讨论：ma≥ha时有一解， ma<ha时无解. 3.变位法——对图形中某些元素施行适当 的合同变换，然后借助于相关元素的合 同关系作图的方法.
例3 已知底边a, 高ha及两底角 之差∠B－∠C=α, 求作⊿ABC. 分析假设满足条件的⊿ABC已作出. 由已知a可确定B,C两点, 下面只要 确定A的位置即可. 由高ha可知A在 E C’ α 与BC平行的直线PQ上. A P Q 延长BA到E, 则∠B=∠QAE, 作AC’,使∠QAC’=∠C, 则 C a B H ∠EAC’=α, C’可由C关于PQ的 对称点作出, ∠BAC’=π-α, 因此A还在以BC’ 为弦、内接角为π-α的弧上. (作法与证明略）
当A、B处于l同侧时, （1）AB⊥l, 有两解；
(教材上未讨论此情形，其作法不同上述)
A
O B l r O r l
（2）AB不垂直于l 一般情形下有两解. （3）AB∥l, 有一解。
O1 A B B l
O1 r
A
B
A
S
O’
A’
5. 反演法——利用反演变换分析作图方法
S
例5 求作一圆，使其通过两个 l 已知点，且与一个已知圆相切. T’ B 分析：设所求⊙O过A,B两 点且与⊙O1相切的图已作出. O1 T O A 若以A为反演中心,则⊙O将变为直线l, B’ 若把A对⊙O1的幂取作反演幂, 则 l ⊙O1与它自身对应，设B对应B’. 则l过B’且与⊙O1相切,T→T’. T’ B 作法：以A为反演中心，A对 O1 T O ⊙O1的幂为反演幂作B的反演 A 点B’, 过B’作⊙O1的切线l, 切点为T’, 连接AT’交⊙O1于T，过A,B,T三点作⊙O，