新2021年高考数学专题讲义第24讲 三角恒等变换(2)(解析版)
高考数学复习考点题型专题讲解2 三角恒等变换与解三角形
高考数学复习考点题型专题讲解专题2 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具；2.三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；3.正弦定理与余弦定理以及解三角形是高考的必考内容，主要考查边、角、面积、周长等的计算.1.(2022·新高考Ⅱ卷)若sin(α＋β)＋cos(α＋β)＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin β，则( )A.tan(α－β)＝1B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1D.tan(α＋β)＝－1 答案 C解析 由题意得sin αcos β＋cos αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝22×22(cos α－sin α)sin β，整理，得sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cos(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C. 2.(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为3，B ＝60°，a 2＋c 2＝3ac ，则b ＝________. 答案 2 2解析由题意得S△ABC＝12ac sin B＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝12－2×4×12＝8，则b＝2 2.3.(2021·浙江卷)在△ABC中，B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝________；cos ∠MAC＝________.答案213239 13解析由B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2BC·AB·cos B＝4＋64－2×8×2×12＝52，所以AC＝213，所以在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋AM2－MC22AC·AM＝52＋12－162×213×23＝23913.4.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin(A －B)＝sin B sin(C－A).(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝2531，求△ABC的周长.(1)证明法一由sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，可得sin C sin A cos B－sin C cos A sin B＝sin B sin C cos A－sin B cos C sin A，结合正弦定理asin A ＝bsin B＝csin C，可得ac cos B－bc cos A＝bc cos A－ab cos C，即ac cos B＋ab cos C＝2bc cos A(*).由余弦定理可得ac cos B＝a2＋c2－b22，ab cos C＝a2＋b2－c22，2bc cos A＝b2＋c2－a2，则上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.法二因为A＋B＋C＝π，所以sin C sin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2A cos2B－cos2A sin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，同理有sin B sin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.又sin C sin(A－B)＝sin B sin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，即2sin2A＝sin2B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.(2)解由(1)及a2＝b2＋c2－2bc cos A得，a2＝2bc cos A，所以2bc＝31. 因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，解得b＋c＝9，所以△ABC 的周长l ＝a ＋b ＋c ＝14.热点一 化简与求值(角)1.同角三角函数的基本关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2.诱导公式的记忆口诀：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”.3.熟记三角函数公式的两类变形：(1)和差角公式的变形；(2)倍角公式的变形. 例1 (1)(2022·天津模拟)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.5π12B.π3 C.π4D.π6(2)已知α，β均为锐角，cos(α＋β)＝－513，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3等于( ) A.3365B.－3365 C.6365D.3365或6365答案 (1)C (2)C解析 (1)由α，β为锐角， 则－π2<α－β<π2，由sin(α－β)＝－1010， 得cos(α－β)＝31010，又sin α＝55，所以cos α＝255， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.(2)∵α，β均为锐角，∴α＋β∈(0，π)，β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，∴sin(α＋β)>0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，∵cos(α＋β)＝－513，∴sin(α＋β)＝1213， 又∵sin⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝45， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－35或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝35(舍去)，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β＋π3＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝－513×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋1213×45＝6365.规律方法 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.2.求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解.训练1 (1)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( )A.－53B.－59C.59D.53(2)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.答案(1)A (2)π3解析(1)sin α＋cos α＝33，两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1 3，整理得：2sin αcos α＝－23<0，∴(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝5 3 .∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－15 3，则cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝－53，故选A.(2)由cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，得sin α＝1－cos2α＝437，sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝3314.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∴β＝π3.热点二 三角函数恒等式的证明三角恒等式常从复杂一边向简单的一边转化，或者两边同时推出一个相同式子，有时要证等式先进行等价交换，进而证明其等价命题.例2 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值. (1)证明 因为sin(α＋2β)＝75sin α，所以sin[(α＋β)＋β]＝75sin[(α＋β)－β]，所以sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β ＝75[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]， 所以sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.① 因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π).若cos(α＋β)＝0，则由①得sin(α＋β)＝0， 与α＋β∈(0，π)矛盾，所以cos(α＋β)≠0.又β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos β≠0.由①两边同除以cos(α＋β)·cos β， 得tan(α＋β)＝6tan β.(2)解 由(1)知tan(α＋β)＝6tan β， 则tan α＋tan β1－tan αtan β＝6tan β，因为tan α＝3tan β，所以tan β＝13tan α，所以43tan α1－13tan 2α＝2tan α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＞0，所以43－tan 2α＝2，所以tan 2α＝1. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan α＝1，从而α＝π4.易错提醒 等式两边除以同一个三角函数式时要注意论证这个三角函数式不为零. 训练2 求证：(1)cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos 4α. (2)sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.证明 (1)左边＝2cos 22α－1＋4cos 2α＋3 ＝2(cos 22α＋2cos 2α＋1) ＝2(cos 2α＋1)2 ＝2(2cos 2α－1＋1)2＝2(2cos 2α)2＝8cos 4α ＝右边.(2)左端＝sin[（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α＝右端. 热点三 正弦定理、余弦定理1.正弦定理：在△ABC 中，a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径).2.余弦定理：在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc.例3 (1)(2022·丽水调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝2，且b 2＋c 2－a 2＝2bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为( ) A.2B.22C.2D.1(2)(2022·泰安三模)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A.56B.76C.53D.73答案 (1)D (2)D解析 (1)∵c cos B ＋b cos C＝c ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋c 2－b 2＋a 2＋b 2－c 22a ＝a ，即a ＝ 2.又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝22，∵0<A <π，∴A ＝π4， 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2sinπ4＝2R ，解得R ＝1，故选D.(2)由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，所以AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，则sin A ＝74，故tan A ＝73.故选D. 规律方法 1.利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理.2.涉及边a ，b ，c 的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形.训练3 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos C＝13，a sin A－c sinC＋b sin A＝0，则ba＝( )A.53 B.73C.72 D.52(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3b cos C＝3a－c，且A＝C，则sin A＝________.答案(1)A (2)6 3解析(1)由正弦定理及a sin A－c sin C＋b sin A＝0，得a2－c2＝－ab，又由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c22ab＝b2－ab2ab＝13，∴ba－1＝23，得ba＝53.(2)因为3b cos C＝3a－c，由正弦定理得3sin B cos C＝3sin A－sin C，又A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，即sin A＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，所以3sin B cos C＝3(sin B cos C＋cos B sin C)－sin C，所以3cos B sin C＝sin C，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos B＝1 3，又A＝C，所以cos B＝cos(π－2A)＝－cos 2A＝2sin2A－1＝13，因为A∈(0，π)，所以sin A>0，所以sin A＝63.热点四正弦定理、余弦定理的综合应用1.利用正、余弦定理解决实际问题的一般流程：分析→列关系式→求解→检验2.涉及正、余弦定理与三角形面积的综合问题求三角形面积时常用S＝12ab sin C形式的面积公式.例4 2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(3≈1.732)()A.346B.373C.446D.473 答案 B解析 如图所示，根据题意过C 作CE ∥C ′B ′，交BB ′于E ，过B 作BD ∥A ′B ′，交AA ′于D ，则BE ＝100，C ′B ′＝CE ＝100tan 15°.在△A ′C ′B ′中，∠C ′A ′B ′＝180°－∠A ′C ′B ′－∠A ′B ′C ′＝75°，则BD ＝A ′B ′＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，又在B 点处测得A 点的仰角为45°， 所以AD ＝BD ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°，所以高度差AA ′－CC ′＝AD ＋BE ＝C ′B ′·sin 45°sin 75°＋100＝100tan 15°·sin 45°sin 75°＋100＝100sin 45°sin 15°＋100＝100×2222×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋100＝100(3＋1)＋100≈373.例5(2022·北京海淀区模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin B ＝3b cos A . (1)求A ；(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC 存在且唯一确定，并求△ABC 的面积.第①组条件：a＝19，c＝5.第②组条件：cos C＝13，c＝4 2.第③组条件：AB边上的高h＝3，a＝3.注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.解(1)因为a sin B＝3b cos A，由正弦定理可得sin A sin B＝3sin B cos A，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，则sin A＝3cos A，即tan A＝3，又A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即19＝b2＋25－5b，解得b＝2或3，不符合题意，故不能选第①组条件.若选择第②组条件，因为C∈(0，π)，cos C＝13，所以sin C＝223，由正弦定理asin A ＝csin C可得a＝c sin Asin C＝42×32223＝33，则sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝32×13＋12×223＝22＋36，此时△ABC的面积S＝12ac sin B＝12×33×42×22＋36＝43＋3 2.若选择第③组条件，因为AB边上的高h＝3，所以b sin π3＝3，则b＝332＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋6，此时△ABC的面积S＝12bc sin A＝12×2×(1＋6)×32＝3＋322.规律方法(1)对于解三角形的开放性问题，要根据自己的实际情况，选择自己最熟悉，易转化的条件用以求解.(2)与面积有关的问题，一般要根据已知角来选择三个面积公式(S＝12ab sin C＝12bc sin A＝12ac sin B)中的一个，同时再用正、余弦定理进行边角转化.训练4 (1)(2022·湖南三湘名校联考)如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝732247，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝93247，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).答案 20 m解析 设半球的半径为r m ， 则2πr 2＝1 200，∴r ≈14， ∴BC ＝5r ＝70 m. 在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin ∠BAC，则AB ＝BC sin∠ACB sin∠BAC ＝70×93247×224773＝180(m)，∴BD ＝90 m ， 则CD ＝BD －BC ＝20 m.(2)(2022·青岛二中调研)从①2b sin A ＝a tan B ，②a 2－b 2＝ac －c 2，③3sin B ＝cos B ＋1这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且________. (ⅰ)求B 的大小；(ⅱ)若b ＝2，△ABC 的面积为32，求△ABC 的周长. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解 (ⅰ)若选①：因为2b sin A ＝a tan B ＝a sin B cos B ，所以2ab ＝abcos B， 所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.若选②：因为a 2－b 2＝ac －c 2， 所以a 2＋c 2－b 2＝ac ，所以2ac cos B ＝ac ，所以cos B ＝12，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3. 若选③：因为3sin B ＝cos B ＋1， 所以3sin B －cos B ＝1， 所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6＝12，因为B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6，所以B －π6＝π6，所以B ＝π3. (ⅱ)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 所以a 2＋c 2－ac ＝4，又S △ABC ＝12ac sin B ＝32，所以ac ＝2，所以(a ＋c )2－3ac ＝4， 所以(a ＋c )2＝10， 所以a ＋c ＝10，所以△ABC 的周长为2＋10.一、基本技能练1.(2022·岳阳二模)已知sin α＋2cos α＝0，则sin 2α＝( ) A.－45B.－35C.－34D.23答案 A解析 ∵sin α＋2cos α＝0，即sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2， 则sin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝2×（－2）4＋1＝－45，故选A. 2.计算2cos 10°－sin 20°cos 20°所得的结果为( )A.1B. 2C.3D.2 答案 C 解析2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos 20°＋12sin 20°－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3.3.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝3b ，A －B ＝π2，则角C ＝( )A.π12B.π6C.π4D.π3答案 B解析 因为在△ABC 中，A －B ＝π2， 所以A ＝B ＋π2，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π2＝cos B ，因为a ＝3b ，所以由正弦定理得sin A ＝3sin B ， 所以cos B ＝3sin B ， 所以tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，所以B ＝π6， 所以C ＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π2－π6＝π6，故选B.4.(2022·杭州模拟)若3sin 2α－2sin 2α＝0，且sin α≠0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4等于( )A.－7210B.－22C.－210D.22答案 A解析 由题意可得32sin 2α－sin 2α＝0，所以3sin αcos α－sin 2α＝0， 即sin α(3cos α－sin α)＝0， 又sin α≠0，所以tan α＝3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)＝22⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α－sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－tan 2α－2tan α1＋tan 2α＝－7210. 5.“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D 看楼顶点A 的仰角为30°，沿直线前进79 m 到达点E ，此时看点C 的仰角为45°，若BC ＝2AC ，则楼高AB 约为( )A.65 mB.74 mC.83 mD.92 m 答案 B解析 设AC ＝x (x >0)，则由已知可得AB ＝3x ，BE ＝BC ＝2x ，BD ＝AB tan∠ADB＝33x ，所以DE ＝BD －BE ＝33x －2x ＝79， 解得x ＝7933－2≈24.7，所以楼高AB ≈3×24.7＝74.1≈74(m).6.(多选)(2022·重庆模拟)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ＝60°，b ＝2，c ＝3＋1，则下列说法正确的是( ) A.C ＝75°或C ＝105°B.B ＝45° C.a ＝6D.该三角形的面积为3＋12答案 BC解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝4＋4＋23－2×2×(3＋1)×12＝6，所以a ＝ 6.由正弦定理，得sin B ＝b sin Aa＝2×326＝22， 由于0°<B <120°，所以B ＝45°. 所以C ＝180°－B －A ＝75°.△ABC 的面积为12bc sin A ＝12×2×(3＋1)×32＝3＋32.7.(2022·南通模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝________. 答案 －13解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×13－1＝－13.8.(2022·浙江卷)若3sin α－sin β＝10，α＋β＝π2，则sin α＝________，cos 2β＝________. 答案3101045解析 因为α＋β＝π2，所以β＝π2－α， 所以3sin α－sin β＝3sin α－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝3sin α－cos α＝10sin(α－φ)＝10，其中sin φ＝1010，cos φ＝31010.所以α－φ＝π2＋2k π，k ∈Z ， 所以α＝π2＋φ＋2k π，k ∈Z ，所以sin α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋2k π＝cos φ＝31010，k ∈Z .因为sin β＝3sin α－10＝－1010， 所以cos 2β＝1－2sin 2β＝1－15＝45.9.(2022·绍兴模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，△ABC 的面积为3154，则a ＝________. 答案 4解析 ∵2sin B ＝3sin C ，由正弦定理可知2b ＝3c ， ∵b －c ＝14a ，可得c ＝12a ，b ＝34a ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14，sin A ＝1－cos 2A ＝154， S △ABC ＝12bc sin A ＝12×34a ×12a ×154＝3154，解得a ＝4.10.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c 2＝a 2＋b 2－ab ， sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ，若c ＝3，则a ＋b 的值为________. 答案 3 2解析 因为c 2＝a 2＋b 2－ab ，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，因为C ∈(0，π), 所以C ＝π3. 由正弦定理可得三角形外接圆的半径R 满足2R ＝332＝23， 又sin A ＋sin B ＝26sin A sin B ， 所以23sin A ＋23sin B ＝2×23sin A ×23sin B ， 即a ＋b ＝2ab .因为c＝3，所以由余弦定理得9＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝(a＋b)2－322(a＋b)，解得a＋b＝32或a＋b＝－322(舍去).11.(2022·北京卷)在△ABC中，sin 2C＝3sin C.(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长. 解(1)因为sin 2C＝3sin C，所以2sin C cos C＝3sin C.因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，所以cos C＝3 2，又C∈(0，π)，故C＝π6.(2)因为△ABC的面积S＝12ab sin C＝12×a×6×12＝63，所以a＝4 3.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝43＋6＋23＝6(3＋1).12.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝7，cos ∠ABD＝2 2.(1)求AB的长；(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.解 (1)在△ABD 中，由cos ∠ABD ＝22， 得∠ABD ＝45°.又∠BAD ＝60°，所以∠ADB ＝75°，所以sin ∠ADB ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°＝2＋64，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin ∠BAD ，得AB ＝BD sin ∠ADB sin ∠BAD ＝42＋3146.(2)由∠BAD ＋∠BCD ＝180°，可知∠BCD ＝120°， 设CD ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 则7＝1＋x 2－2x ·cos 120°， 化简，得x 2＋x －6＝0， 解得x ＝2或x ＝－3(舍).所以S △BCD ＝12BC ·CD sin 120°＝12×1×2×32＝32，S △ABD ＝12AB ·BD sin ∠ABD＝12×42＋3146×7×22＝73＋2112. 所以S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD＝73＋2112＋32＝133＋2112.二、创新拓展练13.(多选)(2022·南京模拟)在△ABC中，下列说法正确的是( )A.若A>B，则sin A>sin BB.存在△ABC满足cos A＋cos B≤0C.在△ABC中，若a cos A＝b cos B，则△ABC必是等腰直角三角形D.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形答案AD解析对于A，若A>B，则a>b，则2R sin A>2R sin B，即sin A>sin B，故A正确.对于B，由A＋B<π，得A<π－B，于是cos A>－cos B，即cos A＋cos B>0，故B错误.对于C，在△ABC中，由a cos A＝b cos B，利用正弦定理可得：sin A cos A＝sin B cos B，∴sin 2A＝sin 2B，∵A，B∈(0，π)，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，由于B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2＋c2－ac，可得(a －c )2＝0，解得a ＝c ，可得A ＝C ＝B ＝60°，故D 正确.故选AD.14.(多选)(2022·山东师大附中模拟)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b －2a ＋4a sin2A ＋B 2＝0，则下列结论正确的是( )A.角C 一定为锐角B.a 2＋2b 2－c 2＝0C.3tan A ＋tan C ＝0D.tan B 的最小值为33答案 BC解析 ∵b －2a ＋4a sin 2A ＋B 2＝0，∴b －2a ＋4a sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－C 2＝0，∴b －2a ＋4a cos 2C2＝0，∴b －2a ＋4a ·1＋cos C2＝0， ∴b ＋2a cos C ＝0，∴cos C <0，∴角C 一定为钝角，A 错误；b ＋2a cos C ＝0⇒b ＋2a ·a 2＋b 2－c 22ab＝0⇒a 2＋2b 2－c 2＝0，B 正确；b ＋2a cos C ＝0⇒sin B ＋2sin A cos C ＝0⇒3sin A cos C ＋cos A sin C ＝0⇒3tan A ＋ tan C ＝0，C 正确； tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝－2tan A－3tan 2A －1＝23tan A ＋1tan A≤33， 经检验“＝”取得到，D 错误，综上选BC.15.(2022·湖州调研)在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝2π3，点D 在边BC 上，且满足AD ＝BD .则cos∠ABC ＝________，sin∠DAC ＝________. 答案1114437解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ×AB cos∠BAC ＝25＋9－2×5×3×cos 2π3＝49，所以BC ＝7.又由正弦定理得AC sin∠ABC ＝BCsin∠BAC，即sin∠ABC ＝AC sin∠BAC BC ＝5314.又∠ABC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以cos∠ABC ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫53142＝1114. 在△ABD 中，设AD ＝BD ＝x ，由余弦定理得x 2＝x 2＋9－2×3×1114x ，解得x ＝2111， 所以DC ＝BC －BD ＝5611.在△ABC 中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BC sin∠BAC，所以sin∠ACB ＝AB sin∠BAC BC ＝3314. 在△ADC 中，由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠ACB，所以sin∠DAC＝DC sin∠ACBAD＝437.16.(2022·福州质检)某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形OAB的半径为10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当OP最长时，该奖杯比较美观，此时∠AOB＝________.答案π2解析由题意可知，四边形ABPQ为等腰梯形.如图，连接OP，过点O作OM⊥QP，垂足为点M，交AB于点C，则OC⊥AB，OM平分∠AOB，M为线段PQ的中点.设∠AOC＝θ，则AB＝20sin θ，OC＝10cos θ，设AQ＝QP＝BP＝x，过点Q作QE⊥AB，垂足为点E，过点P作PF⊥AB，垂足为点F，因为∠PBA ＝∠QAB ＝60°， 所以AE ＝BF ＝12x ，CM ＝PF ＝32x ，EF ＝QP ＝x ， 所以AB ＝2x ，所以AB ＝20sin θ＝2x ， 即x ＝10sin θ，所以OM ＝OC ＋CM ＝10cos θ＋32x ＝10cos θ＋53sin θ， 所以OP 2＝OM 2＋MP 2＝(10cos θ＋53sin θ)2＋(5sin θ)2＝100cos 2θ＋75sin 2θ＋1003sin θcos θ＋25sin 2θ＝100＋503sin 2θ， 因为sin 2θ∈[－1，1]， 所以当sin 2θ＝1，即θ＝π4时，OP 2最大，也就是OP 最长，此时∠AOB ＝π2.17.(2022·临沂预测)在①a sin(A ＋C )＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6；②1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )；③2tan B tan A ＋tan B ＝bc.这三个条件中任选一个，补充到下面的横线上并作答.问题：在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＋c ＝23，a ＝6，________， (1)求角A 的大小；(2)求△ABC 的面积.解 (1)选①，由正弦定理得sin A sin B ＝sin B cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6， 化简得sin A ＝32cos A ＋12sin A ， 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选②，因为1＋2cos C cos B ＝cos(C －B )－cos(C ＋B )，所以1－cos(C －B )＋cos(C ＋B )＋2cos C cos B ＝1＋2cos(C ＋B )＝1－2cos A ＝0，所以cos A ＝12， 因为0<A <π，所以A ＝π3. 选③，因为2tan B tan A ＋tan B ＝b c， 由正弦定理，得2tan B tan A ＋tan B ＝sin B sin C， 而2×sin B cos B sin A cos A ＋sin B cos B ＝2sin B cos B sin A cos B ＋sin B cos A cos A cos B ＝2sin B cos B sin C cos A cos B＝2sin B cos A sin C ＝sin B sin C ， 因为sin B ≠0，sin C ≠0，所以cos A＝1 2，因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(2)由(1)知，a2＝b2＋c2－2bc cos π3＝(b＋c)2－3bc，a＝6，b＋c＝23，所以bc＝2，所以S△ABC＝12bc sin A＝12×2·sinπ3＝32.。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题20 简单的三角恒等变换(解析版)
专题二十 简洁的三角恒等变换【高频考点解读】1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4的值．(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×－341＋－34＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．【热点题型】题型二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角， ∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【举一反三】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．【热点题型】题型三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要留意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小肯定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来推断角的大小时，肯定要留意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由3a ＝2c sin A ，依据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3.【热点题型】题型四 解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，精确 理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观看点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. ∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h. 【高考风向标】1．（2022·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．2．（2022·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)由于0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.4．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)由于函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.5．（2022·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)由于f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 6．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-27．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】23 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.8．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．9．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．（2021·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．11．（2021·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cos Acos B＝3 25，cos（α＋A）cos（α＋B）cos2α＝25，求tan α的值．【解析】(1)由于a2＋b2＋2ab＝c2，所以由余弦定理有cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.故C＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B）cos2α＝25，12．（2021·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1【随堂巩固】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2B ．－1－a2C.1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38.答案：388．sin 2B1＋cos 2B －sin 2B ＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3.∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是其次象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)由于f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z时，函数f (x )取得最大值1.。
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】
专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
三角恒等变换复习公开课精华ppt课件
例3 :已知 A、B、C是△ABC三内角，向量
m (1 , 3) , n (cos A , sin A) , m n 1 .
（1）求角
A；（2）若
1 sin2B cos2 B sin2
B
3
,
求
tanC
.
解：(1) m n 1 ,
(1 , 3 ) (cos A , sin A) 1 ,
tan2 sin Asin B tan (sin Acos B cos Asin B) cos Acos B 2
5
典型例题
tan2 sin Asin B tan sin( A B) cos Acos B 2 ①
5
因为 C 3π ，A＋B＝ π ， 所以 sin(A＋B)＝ 2 ，
θ
为第二象限角，若
tan
π 4
1 2
，则
sin θ＋cos θ＝__________.
分析：由 tan
π 4
1 1
tan tan
1 ，得 2
tan
θ＝ 1 ， 3
即 sin θ＝ 1 cos θ. 3
将其代入 sin2θ＋cos2θ＝1，得 10 cos2 1 .
9
因为 θ 为第二象限角，所以 cos θ＝ 3 10 ，sin θ＝ 10 ，
4
4
2
因为 cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即 3 2 －sin Asin B＝ 2 ，解得 sin Asin B＝ 3 2 2 2 .
5
2
5 2 10
由①得 tan2 5 tan 4 0
解得 tan 1或tan 4.
变式3：
（2013·辽宁理）设向量 a
2021年新高考数学专题复习：三角恒等变换与解三角形
根据余弦定理cosA＝ ＝ ＝ ，得A＝30°.]
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝4 ，c＝5，且B＝2C，点D为边BC上一点，且CD＝3，则△ADC的面积为________．
6[在△ABC中，由正弦定理得 ＝ ，又B＝2C，则 ＝ ，又sinC＞0，则cosC＝ ＝ ，又C为三角形的内角，则sinC＝ ＝ ＝ ，则△ADC的面积为 AC·CDsinC＝ ×4 ×3× ＝6.]
∴由正弦定理得：b2＋c2－a2＝bc，
∴cosA＝ ＝ ，
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，
由 a＋b＝2c，及正弦定理得 sinA＋sin(120°－C)
＝2sinC，
即 ＋ cosC＋ sinC＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－ .
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝ ，
11．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.
(1)求A；
(2)若 a＋b＝2c，求sinC.
[解](1)∵(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC，
∴sin2B＋sin2C－2sinBsinC＝sin2A－sinBsinC，
[能力提升练]
(建议用时：20分钟)
9．如图，在△ABC中，C＝ ，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2 ，则cosA＝()
A. B.
C. D.
C[∵DE＝2 ，∴BD＝AD＝ ＝ .∵∠BDC＝2∠A，在△BCD中，由正弦定理得 ＝ ，∴ ＝ × ＝ ，∴cosA＝ ，故选C.]
三角恒等变换及解三角形-2021届新高考数学知识点总结与题型归纳(解析版)
第12讲：三角恒等变换及解三角形考点1：三角恒等变形一、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β; (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β(α，β，α+β≠kπ+π2，k ∈Z );变形式tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)（α，β，α+β≠kπ+π2，k ∈Z ）．2. 二倍角公式(1)sin 2α=2sin αcos α; 变形式sin αcos α=12sin 2α．(2)cos 2α=cos 2α−sin 2α=1−2sin 2α=2cos 2α−1; 变形式cos 2α=cos 2α+12；sin 2x =1−cos 2α2．(3)tan 2α=2tan α1−tan 2α． 3. 辅助角公式y =a sin α+b cos α=√a 2+b 2(√a 2+b 2α+√a 2+b 2α)=√a 2+b 2sin (α+φ)，其中φ所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan φ=ba 确定． 4. 化简中常用1的技巧“1”的代换1=sin 2α+cos 2α；1=2cos 2α−cos 2α，1=cos 2α+sin 2α，1=tan π4．典例精讲【典例1】已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2＝6，则z＝x2+4y2的取值范围为（）A．[4，12] B．[4，+∞）C．[0，6] D．[4，6]【分析】x2+2xy+4y2＝6变形为（x+y）2+（√3y）2＝6，设x+y=√6cosθ，√3y＝sinθ，θ∈[0，2π）．代入z＝x2+4y2，利用同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式化简整理即可得出．【解答】解：x2+2xy+4y2＝6变形为（x+y）2+（√3y）2＝6，设x+y=√6cosθ，√3y=√6sinθ，θ∈[0，2π）．∴y=√2sinθ，x=√6cosθ−√2sinθ，∴z＝x2+4y2＝（√6cosθ−√2sinθ）+4（√2sinθ）＝4sin2θ﹣4√3sinθcosθ+6，＝2×（1﹣cos2θ）﹣2√3sin2θ+6＝8﹣4sin（2θ+π6），∵sin（2θ+π6）∈[﹣1，1]．∴z∈[4，12]．故选：A．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【典例2】已知函数f（x）＝sin（2x−π3），若方程f（x）=13在（0，π）的解为x1，x2（x1＜x2），则sin（x1﹣x2）＝（）A．−2√23B．−√32C．−12D．−13【分析】由已知可得x2=5π6−x1，结合x1＜x2求得x1的范围，再由sin（x1﹣x2）＝sin（2x1−5π6）＝﹣cos（2x1−π3）求解．【解答】解：∵0＜x＜π，∴2x−π3∈（−π3，5π3），又∵x 1，x 2是sin （2x −π3）=13的两根，可知x 1+x 22=5π12，∴x 2=5π6−x 1，∴sin （x 1﹣x 2）＝sin （2x 1−5π6）＝﹣cos （2x 1−π3）， ∵x 1＜x 2，x 2=5π6−x 1，∴0＜x 1＜5π12，则2x 1−π3∈（−π3，π2），故cos （2x 1−π3）=2√23， ∴sin （x 1﹣x 2）=−2√23． 故选：A ．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的图象和性质，是中档题．【典例3】已知s in2α=23，则tanα+1tanα=（ ） A ．√3 B ．√2 C ．3D ．2【分析】由二倍角化简，sin2α＝2sin αcos α，可得2sinαcosαsin 2α+cos 2α=23，弦化切，即可求解．【解答】解：由sin2α＝2sin αcos α， 可得2sinαcosαsin 2α+cos 2α=23， ∴2tanαtan 2α+1=23，即tan 2α﹣3tan α+1＝0． 可得tanα+1tanα=3． 故选：C ．【点评】本题主要考察了同角三角函数关系式和二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．【典例4】已知1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，则1tan (1tan αα+=- )AB． C．D．【分析】把已知等式两边平方，求得sin cos αα，进一步得到sin cos αα-的值，联立求得sin α，cos α，得到tan α，代入得答案．【解答】解：由1sin cos 2αα+=，(0,)απ∈，得112sin cos 4αα+=，32sin cos 4αα∴=-， 则sin 0α>，cos 0α<，sin cos αα∴-====联立1sin cos 2sin cos αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-⎪⎩sin α=，cos α=，tan α==．∴11tan 1tan αα-+==- 故选：B ．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题． 【典例5】已知−π2＜α＜π2，2tan β＝tan2α，tan （β﹣α）＝﹣8，则sin α＝（ ）A ．−√53 B ．−2√55 C ．√53D ．2√55【分析】2tan β＝tan2α，∴2tan （β﹣α+α）=2tanα1−tan 2α，变形可得tan α＝﹣2，可得sin α=−2√55．【解答】解：∵2tan β＝tan2α，∴2tan （β﹣α+α）=2tanα1−tan 2α，∴2tan(β−α)+2tanα1−tan(β−α)tanα=2tanα1−tan 2α，∴−16+2tanα1+8tanα=2tanα1−tan 2α，化简得tan α＝﹣2，∴α∈（−π2，0），∴sin α=−2√55． 故选：B ．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．【典例6】若α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)，则cos2α的值为（ ）A ．−4√29 B ．4√29C ．−79D ．79【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简已知等式可求cos α+sin α=√23①，两边平方，解得sin2α=−79，可求cos α﹣sin α=−√(cosα−sinα)2=−43，②由①+②可得cos α=√2−46，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解cos2α的值． 【解答】解：∵α∈(π2，π)，且3cos2α=2sin(π4−α)， ∴3（cos 2α﹣sin 2α）=√2（cos α﹣sin α），∴3（cos α﹣sin α）（cos α+sin α）=√2（cos α﹣sin α）， ∴cos α+sin α=√23①，或cos α﹣sin α＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α=29，解得：sin2α=−79，∴cos α﹣sin α=−√(cosα−sinα)2=−√1−sin2α=−√1−(−79)=−43，②∴由①+②可得：cos α=√2−46，可得：cos2α＝2cos 2α﹣1＝2×（√2−46）2﹣1=−4√29． 故选：A ．【点评】本题主要考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．【典例7】已知sin()4πα+=(0,)απ∈，则cos(2)6πα+= ．【分析】根据条件得到sin cos αα+=，sin cos αα-==，进而求得sin α，cos α，再利用两角和差公式运算即可【解答】解：sin()cos )4πααα+=+=，则有sin cos αα+=， 两边平方可得：11sin 23α+=，则2sin 23α=-，即有2sin cos 0αα<又因为(0,)απ∈，所以sin 0α>，cos 0α<，则sin cos αα-=，（法一）将sin cos αα-与sin cos αα+联立后解得sin α=，cos α=，则22cos 22cos 121αα=-=⨯-=，所以12cos(2)(()623πα+=-⨯-=．（法二）因为22cos 2cos sin (sin cos )(sin cos )ααααααα=-=-+-==所以12cos(2)(()623πα+=-⨯-=．【点评】本题考查两角和差的三角函数的求值，涉及方程思想，属于中档题 【典例8】已知α，β是函数1()sin cos 3f x x x =+-在[0，2)π上的两个零点，则cos()(αβ-= )A ．1-B ．89-C． D ．0【分析】利用函数与方程之间的关系，结合三角函数的诱导公式，同角的三角函数的关系以及两角和差的三角公式分别进行转化求解即可．【解答】解：解法一：依题意，()()0f f αβ==，故1sin cos 3αα+=，由221sin cos 31sin cos αααα⎧+=⎪⎨⎪+=⎩， 得29sin 3sin 40αα--=，29cos 3cos 40αα--=且sin cos αα≠， 所以sin α，cos α是方程29340(*)x x --=的两个异根．同理可证，sin β，cos β为方程(*)的两个异根．可以得到sin sin αβ≠，理由如下：假设sin sin αβ=，则cos cos αβ=，又α，[0β∈，2)π，则αβ=，这与已知相悖，故sin sin αβ≠．从而sin α，sin β为方程(*)的两个异根，故4sin sin 9αβ=-．同理可求4cos cos 9αβ=-，所以8cos()cos cos sin sin 9αβαααβ-=+=-．解法二：令()0f x =，得1sin cos 3x x +=．令()sin cos g x x x =+，即())4g x x π=+，则α，β即为()g x 与直线13y =在[0，2)π上交点的横坐标， 由图象可知，524αβπ+=，故52πβα=-，又1)43πα+=，所以258cos()cos(2)cos[2()3]cos2()12sin ()24449ππππαβααπαα-=-=+-=-+=-++=-．解法三：依题意，不妨设02βαπ<<，则点(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ为直线103x y +-=与单位圆的两个交点，如图所示．取AB 中点为H ，则OH AB ⊥，记AOH θ∠=．则22αβπθ-=-， 所以，2cos()cos(22)cos 22cos 1αβπθθθ-=-==-．另一方面，1|00|OH +-=，1OA =，故cos θ=，从而28cos()219αβ-=⨯-=-．故选：B ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用函数与方程的关系，以及利用三角函数辅助角公式，同角关系以及两角和差的三角公式进行转化计算是解决本题的关键．难度中等．考点2：解三角形一、三角形当中的角与角之间的关系1. A+B+C=π2. sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C3. cos A=−cos(B+C)=−(cos B cos C−sin B sin C)4. tan A=−tan(B+C)=−tan B+tan C1−tan B tan C二、正弦定理1. 正弦定理：asin A =bsin B=csin C=2R；（R为三角形外接圆半径）2. 正弦定理变形式：(1)sin A=a2R ；sin B=b2R：sin C=c2R(2)a:b:c=sin A:sin B:sin C3. 正弦定理的应用(1)已知两角和任意一边，求另一角和其它的两条边(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其中的对角三、余弦定理1. 余弦定理：a2=b2+c2−2bc cos A；b2=c2+a2−2ac cos B；c2=a2+b2−2ab cos C；2. 余弦定理变形式：cos A=b2+c2−a22bc；cos B=a2+c2−b22ac；cos C=a2+b2−c22ab．3. 余弦定理的应用(1)已知三边，求各角(2)已知两边和它们的夹角，求第三个边和其它的两个角(3)已知两边和其中一边的对角，求其它的角和边．四、面积公式1. SΔ=12aℎa=12bℎb=12cℎc(ℎa、ℎb、ℎc分别表示a、b、c上的高)；2. SΔ=12ab sin C=12bc sin A=12ac sin B；3. SΔ=12ab sin C=abc4R；4. SΔ=12r(a+b+c)（r为三角形内切圆半径）．典例精讲【典例1】在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．已知b=3√5，c=6√2，tan（A+π4）＝2，则a＝（）A．15 B．3√5C．3 D．6√2【分析】先根据已知可得cos A的值，再根据余弦定理可得a．【解答】解：由tan（A+π4）=tanA+11−tanA=2，解得tan A=13，∴cos A=3√1010，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝45+72﹣36√10×3√1010=9，∴a＝3．故选：C．【点评】本题考查了余弦定理，属中档题．【典例2】如图，在△ABC中，点D在边BC上，且BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC 的面积为3√3，则线段AB的长度为（）A．3 B．2√2C．2√3D．3√2【分析】由已知可求△ADC的面积为√3，利用三角形的面积公式可求AC＝2√3，根据余弦定理在△ACD中可求CD＝2，由已知可求∠C＝30°，BD＝4，在△ABC中，根据余弦定理即可解得AB的值．【解答】解：∵BD＝2DC，∠DAC＝30°，AD＝2，△ABC的面积为3√3，∴△ADC的面积为√3，可得：12AD⋅AC⋅sin∠DAC=12×2×AC×12=√3，∴解得：AC＝2√3，∵△ACD中，CD2＝12+4﹣2×2√3×2×cos30°＝4，∴解得CD＝2，∵∠DAC＝30°，AD＝2，BD＝2DC，∴∠C＝30°，BD＝4，∴在△ABC中，AB2＝（2√3）2+62﹣2×2√3×6×cos30°＝12，解得：AB＝2√3．故选：C．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，注重考查了运算能力和转化的思想方法，本题的难点在于将△ABC的面积转化为△ADC的面积，这样才能把已知条件转移到同一个三角形中，再根据正弦定理，余弦定理得出相应的边长，属于中档题．【典例3】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sin B sin C，c b =12+√3，则tan B＝（）A．2 B．12C．2+2√33D．3(√3−1)4【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣a2＝﹣bc，再由余弦定理可得cos A=−12，可得A ＝60°，利用正弦函数，三角函数恒等变换的应用化简已知等式从而求得tan B的值．【解答】解：在△ABC中，由sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝﹣sin B sin C，利用正弦定理可得：a2﹣b2﹣c2＝﹣bc，再由余弦定理可得：cos A=b 2+c2−a22bc=bc2bc=12，∴A＝60°，∵cb =12+√3，由正弦定理可得：sin C＝sin B（12+√3），可得：sin（2π3−B）＝sin B（12+√3），√32cos B+12sin B=12sin B+√3sin B，∴可得：tan B=12．故选：B．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，根据三角函数的值求角．【典例4】如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝√3−1 ．【分析】先在△ADB中用正弦定理求得BD，再在△DBC中用正弦定理求得sin∠DCB，然后根据∠DCB＝θ+π2可求得．【解答】解：∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，在△ADB中，由正弦定理得：ABsin∠ADB =BDsin∠DAB，∴BD=ABsin∠ADBsin∠DAB═25（√6−√2），在△DBC中，CD＝25，∠DBC＝45°，BD＝25（√6−√2），由正弦定理BDsin∠DCB =CDsin∠DBC，∴sin∠DCB=BDsin45°CD=√3−1，∴sin（θ+π2）=√3−1，∴cosθ=√3−1．故答案为：√3−1．【点评】本题考查了正弦定理以及诱导公式，属中档题．【典例5】如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D 处的北偏西15︒、北偏东45︒方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60︒方向，则A，B两处岛屿间的距离为()A ．B ．C ．20(1海里D ．40海里【分析】分别在ACD ∆和BCD ∆中利用正弦定理计算AD ，BD ，再在ABD ∆中利用余弦定理计算AB ． 【解答】解：连接AB ，由题意可知40CD =，105ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，30ACD ∠=︒，45CAD ∴∠=︒，60ADB ∠=︒，在ACD ∆中，由正弦定理得40sin30sin 45AD =︒︒，AD ∴=， 在Rt BCD ∆中，45BDC ∠=︒，90BCD ∠=︒，BD ∴==在ABD ∆中，由余弦定理得AB = 故选：A ．【点评】本题考查了解三角形的应用，合理选择三角形，利用正余弦定理计算是关键，属于中档题．【典例6】已知ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，若满足22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为( )A B C D ．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求222221(83)416c S a b -=-，进而利用基本不等式，从而可求222458()5165S c --，从而利用二次函数的性质可求最值． 【解答】解：由三角形面积公式可得：1sin 2S ab C =， 可得：222222222211(1cos )[1()]442a b c S a b C a b ab+-=-=-，22228a b c ++=，22282a b c ∴+=-，可得：222822a b c ab +=-，解得：24ab c -，当且仅当a b =时等号成立，22222221[1()]42a b c S a b ab+-∴=-2222183[1()]42c a b ab -=- 22221(83)416c a b -=-22221(83)(4)416c c ---42516c c =-+22458()5165c =--，当且仅当a b =时等号成立，∴当285c =时，42516c c -+取得最大值45，S ． 故选：B ．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．【典例7】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a、b 、c，已知sin sin sin sin a b B c C a A c B =+=+，则ABC ∆的周长的最大值是()A．B．3+C．D．4【分析】由已知利用余弦定理可求A ，利用3a =和sin A 的值，根据正弦定理表示出b 和c ，代入三角形的周长a b c ++中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．【解答】解：sin sin sin sin a b B c C a A c B +=+，∴由正弦定理可得：222bc a bc +-=，2221cos 222b c a bc A bc bc +-∴===，(0,)A π∈，3A π∴=， ∴由a2sin sin sin a b cA B C===，2sin b B ∴=，2sin c C =，则2sin 2sin a b c B C +++22sin 2sin()3B B π+-3sin B B =+)6B π++，可知周长的最大值为故选：A．【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．综合练习一．选择题（共5小题）1．已知函数()sin 2cos f x x x =+，若直线x θ=是曲线()y f x =的一条对称轴，则cos2θ=35． 【分析】引入辅助角ϕ，根据对称性的性质可得，sin()1θϕ+=±，从而12k θϕππ+=+，k z ∈，结合诱导公式及二倍角公式即可求解．【解答】解：()sin 2cos )(sin f x x x x ϕϕ=+=+=，cos ϕ=的一条对称轴方程是x θ=， sin()1θϕ∴+=±，12k θϕππ∴+=+，k z ∈．12k θϕππ∴=-++，k z ∈．222k θϕππ∴=-++，k z ∈，23cos22cos 15ϕϕ=-=-，3cos2cos25θϕ∴=-=．故答案为：35．【点评】本题考查正弦函数的性质，突出考查其对称性，考查分析、运算能力，属于中档题．2．若关于x 的方程（sin x +cos x ）2+cos2x ＝m 在区间[0，π）上有两个根x 1，x 2，且|x 1﹣x 2|≥π4，则实数m 的取值范围是（ ）A．[0，2）B．[0，2] C．[1，√2+1] D．[1，√2+1）【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．【解答】解：关于x的方程（sin x+cos x）2+cos2x＝m在区间[0，π）上有两个根x1，x2，方程即sin2x+cos2x＝m﹣1，即 sin（2x+π4）=√2，∴sin（2x+π4）=√2在区间[0，π）上有两个根x1，x2，且|x1﹣x2|≥π4．∵x∈[0，π），∴2x+π4∈[π4，9π4），∴−√22≤2≤√22，求得 0≤m≤2，故选：B．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象和性质，属于中档题．3．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形的一个锐角为α，且小正方形与大正方形面积之比为9：25，则sin2α的值为（）A．49B．59C．916D．1625【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系可得 5sinα﹣5cosα＝3，两边平方并利用二倍角的正弦公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵小正方形与大正方形面积之比为9：25，设小正方形的边长为3，则大正方形边长为5，由题意可得，小直角三角形的三边分别为5cosα，5sinα，5，∵4个小直角三角形全等，故有5cosα+3＝5sinα，即 5sinα﹣5cosα＝3，平方可得sin2α=1625，故选：D ．【点评】本题主要考查直角三角形中的边角关系，二倍角的正弦公式的应用，属于中档题． 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示ABC ∆的面积，若cos cos sin c B b C a A +=，222)S b a c =+-，则(B ∠= )A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin 1A =，结合A 的范围可求090A =，由余弦定理、三角形面积公式可求tan C ，结合范围00090C <<，可求C 的值，根据三角形面积公式可求B 的值．【解答】解：由正弦定理及cos cos sin c B b C a A +=， 得2sin cos sin cos sin C B B C A +=，可得：2sin()sin C B A +=， 可得：sin 1A =， 因为000180A <<， 所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及222)S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =， 整理得tan C = 又00090C <<， 所以060C =， 故030B =． 故选：D ．【点评】本题主要考查正、余弦定理、两角和的正弦函数公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝2√3，b sin A=acos(B+π6)，则b=（）A．1 B．√2C．√3D．√5【分析】由正弦定理得b sin A＝a sin B，与b sin A＝a cos（B+π6），由此能求出B．由余弦定理即可解得b的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理得：asinA =bsinB，得b sin A＝a sin B，又b sin A＝a cos（B+π6）．∴a sin B＝a cos（B+π6），即sin B＝cos（B+π6）＝cos B cosπ6−sin B sinπ6=√32cos B−12sin B，∴tan B=√33，又B∈（0，π），∴B=π6．∵在△ABC中，a＝3，c＝2√3，由余弦定理得b=√a2+c2−2accosB=√2=√3．故选：C．【点评】本题考查角的求法，考查两角差的余弦值的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．二．填空题（共4小题）6．已知sin2（α+π6）+cos2（α−π3）=32，若α∈（0，π），则α＝π6或π2【分析】根据α−π2=α+π6−π2以及诱导公式变形可得．【解答】解：由sin 2（α+π6）+cos 2（α−π3）=32得sin 2（α+π6）+cos 2（α+π6−π2）=32，得sin 2（α+π6）+sin 2（α+π6）=32．得sin 2（α+π6）=34，得sin （α+π6）＝±√32，∵α∈（0，π），∴α+π6∈（π6，7π6），∴α+π6=π3或α+π6=2π3，α=π6或α=π2．故答案为：π6或π2．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．7．在△ABC 中，若tan A +tan B +tan A tan B ＝1，则cos 2A +cos 2B 的范围为 （32，√22+1]【分析】将已知条件切化弦可得A +B =π4，B =π4−A ，再把cos 2A +cos 2B 化成1+√22sin （2A +π4）后，利用三角函数的性质可得．【解答】解：由tan A +tan B +tan A tan B ＝1得sinAcosA+sinB cosB+sinAsinB cosAcosB=1，得sin （A +B ）＝cos （A +B ），得tan （A +B ）＝1， ∵0＜A +B ＜π，∴A +B =π4，∴B =π4−A ，0＜A ＜π4， ∴cos 2A +cos 2B ＝cos 2A +cos 2（π4−A ）=1+cos2A2+1+cos(π2−2A)2=1+12（cos2A +sin2A ）＝1+√22sin （2A +π4） ∵0＜A ＜π4，∴2A +π4∈（π4，3π4），∴sin （2A +π4）∈（√22，1]， cos 2A +cos 2B 的范围为（32，√22+1]．故答案为：（32，√22+1]．【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题． 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a =√3，√3+b c=sinC+sinAsinC+sinA−sinB ，则b +2c 的最大值等于 2√7 ．【分析】先根据正弦定理化为边的关系，再根据余弦定理得A ，最后根据正弦定理以及三角形内角关系化基本三角函数，根据正弦函数性质得最大值． 【解答】解：原等式可化为a+b c=c+a c+a−b，整理，得：a 2＝b 2+c 2﹣bc ，故：cos A =b 2+c 2−a 22bc=12，由A ∈（0，π），可得A =π3． 因为bsinB =csinC =asinA =2，可得：b +2c ＝2sin B +4sin C ＝2sin B +4sin （2π3−B ）＝4sin B +2√3cos B ＝2√7sin （B +θ）， 其中θ为锐角，tan θ=√32． 由于：B ∈(0，2π3)，故当B +θ=π2时，b +2c 取得最大值为2√7． 故答案为：2√7．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题．9．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a =√2，a cos B +b sin A ＝c ，则△ABC 的面积的最大值为√2+12．【分析】运用正弦定理和诱导公式、两角和的正弦公式，同角的商数关系，计算即可得到A 的值，由余弦定理，结合基本不等式，即可得到bc 的最大值，利用三角形的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵a cos B+b sin A＝c，∴由正弦定理得：sin C＝sin A cos B+sin B sin A①又∵A+B+C＝π，∴sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B②∴由①②得sin A＝cos A，即：tan A＝1，又∵A∈（0，π），∴A=π4；∵a=√2，∴由余弦定理可得：2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2−√2bc≥2bc−√2bc＝（2−√2）bc，可得：bc≤2−√2，当且仅当b＝c时等号成立，∴△ABC的面积为S=12bc sin A=√24bc≤√24×2−√2=√2+12，当且仅当b＝c时，等号成立，即面积最大值为√2+12．故答案为：√2+12．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查三角函数的恒等变换公式的运用，属于中档题．。
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
2021高考数学二轮专题复习2.2三角恒等变换与解三角形课件
(3)[2020·山东青岛二中月考]化简：sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝ ________.
【解析】
(3)sin 50°(1＋
3tan
10°)＝sin
cos 50°
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin 50°2sinc1o0s°1＋0°30°＝2sinc4o0s°1c0o°s 40°＝csoins 8100°°＝1.
【答案】 (3)1
三角函数恒等变换“四大策略” 1．常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45° 等； 2．项的分拆与角的配凑：如 sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋ cos2α，α＝(α－β)＋β 等； 3．降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次； 4．弦、切互化：一般是切化弦.
2．给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的 差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备 应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知求得的函数值代入， 从而达到解题的目的． 3．给值求角 实质上是转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含 已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得 角，有时要压缩角的取值范围．
∵tan(A＋B)＝－tan C，∴tan C＝1.
又 0<C<π，∴C＝4π，cos C＝cosπ4＝ 22.故选 B. 答案：B
2．[2020·山东济南质量评估]已知 sinα－π3＝－3cosα－π6，则 tan 2α 的值为________．
解析：由于 sinα－π3＝－3cosα－6π，
3
232＝－4 2
3.
最新2021-2022年高考数学(理)教学案： 三角恒等变换 Word版含解析
第3讲三角恒等变换考纲展示命题探究考点三角函数的化简与求值1两角和与差的三角函数公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；(Sα＋β)sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.(Sα－β)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(Cα＋β)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.(Cα－β)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；(Tα＋β)tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.(T α－β) 2 二倍角公式sin2α＝2sin αcos α；(S 2α)cos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(C 2α)tan2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α) 3 公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．(2)升幂公式1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2. (3)降幂公式sin 2α＝1－cos2α2；cos 2α＝1＋cos2α2. (4)其他常用变形sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α； cos2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2±cos α22； tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2. 5 角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋π3. (2)互余与互补关系例如，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝π， ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2. (3)非特殊角转化为特殊角例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.注意点 先看角，再求值在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”.1．思维辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( )(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意α，β都成立．( )(4)存在实数α，使得tan2α＝2tan α.( )(5)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值有关．( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)√2．(1)化简cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( )A.12B.32 C ．－12D ．－32 (2)1－tan 275°tan75°的值为( )A ．2 3 B.233C ．－2 3D ．－233 答案 (1)A (2)C解析 (1)cos15°cos45°－cos75°sin45°＝cos15°cos45°－sin15°sin45°＝cos(15°＋45°)＝cos60°＝12.故选A.(2)由题意知2tan150°＝－2 3.3．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3C.π6D.π4答案 A解析 由已知可得tan A ＋tan B ＝3(tan A ·tan B －1)，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3， 又0<A ＋B <π，∴A ＋B ＝23π，∴C ＝π3.[考法综述] 此部分考查内容题型多样，但一般属于中低档题型，难度不大．主要侧重于两角和与差的三角函数公式、倍角公式为化简基础，化简三角函数关系式或求值．利用同角三角函数的基本关系式变异名为同名的三角函数，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式进行恒等变形为高考热点，常与三角函数式的化简求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查．命题法 利用基本公式及变形式进行化简和求值典例 (1)3cos10°－1sin170°＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－4(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( ) A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2D ．2α＋β＝π2(3)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32. ①求A 的值；②若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ.[解析] (1)3cos10°－1sin170°＝3cos10°－1sin10°＝3sin10°－cos10°sin10°cos10°＝2sin (10°－30°)12sin20°＝－2sin20°12sin20°＝－4，故选D. (2)由条件得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α(1＋sin β)，sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为－π2＜α－β＜π2，0＜π2－α＜π2，所以α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2，故选B.(3)①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝32， ∴A ·32＝32，A ＝ 3.②f (θ)＋f (－θ)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－θ＋π4＝32， ∴3⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(sin θ＋cos θ)＋22(－sin θ＋cos θ)＝32，∴6cos θ＝32，cos θ＝64，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin θ＝1－cos 2θ＝104，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－θ＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. [答案] (1)D (2)B (3)见解析【解题法】 三角函数的化简与求值方法(1)三角函数式化简遵循的三个原则①一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．②二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．③三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．(2)三角函数求值的类型及方法①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．②“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．③“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．1．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A ．－32 B.32C ．－12 D.12答案 D解析 原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝12.2．化简cos40°cos25°1－sin40°＝( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2答案 C 解析 原式＝cos 220°－sin 220°cos25°sin 220°－2sin20°cos20°＋cos 220°＝cos 220°－sin 220°cos25°(cos20°－sin20°)＝2sin65°cos25°＝2cos25°cos25°＝ 2.3．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( )A ．－34 B ．－14 C.34 D.14答案 B 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－ 3＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14.4.已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 答案 3解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17＋21－27＝3. 5．sin15°＋sin75°的值是________．答案 62解析 解法一：sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°·cos30°＝62.解法二：sin15°＋sin75°＝sin15°＋cos15°＝2sin(45°＋15°)＝2sin60°＝62.6．已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．答案 π6解析 显然交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，故有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π＋φ＝12， ∴23π＋φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，或23π＋φ＝2k π＋56π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2或φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0≤φ≤π，故φ＝π6.7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且2sin 2α－sin α·cos α－3cos 2α＝0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.答案268解析 解法一：由2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0，得(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＋cos α>0，∴2sin α＝3cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos α＝21313，sin α＝31313，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22(sin α＋cos α)(sin α＋cos α)2＋(－sin 2α＋cos 2α)＝268. 解法二：同解法一得2sin α＝3cos α，即tan α＝32，由三角函数定义令y ＝3，x ＝2，则r ＝13，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故cos α＝21313.(或对式子2sin 2α－sin αcos α－3cos 2α＝0两边同时除去cos 2α得2tan 2α－tan α－3＝0，即(2tan α－3)(tan α＋1)＝0，得tan α＝32或tan α＝－1(舍)．)以下同解法一．8．化简tan π12－1tan π12＝________.答案 －2 3解析 原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3.9.如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角． (1)证明：tan A 2＝1－cos Asin A ；(2)若A ＋C ＝180°，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，求tan A2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2的值．解 (1)证法一：tan A2＝sin A 2cos A 2＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝1－cos A sin A .证法二：1－cos A sin A ＝2sin 2A 22sin A 2cos A 2＝tan A2.(2)由A ＋C ＝180°，得C ＝180°－A ，D ＝180°－B .由(1)，有tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D 2＝1－cos A sin A ＋1－cos B sin B ＋1－cos (180°－A )sin (180°－A )＋1－cos (180°－B )sin (180°－B )＝2sin A ＋2sin B .连接BD .在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ，在△BCD 中，有BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ，所以AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝BC 2＋CD 2＋2BC ·CD cos A .则cos A ＝AB 2＋AD 2－BC 2－CD 22(AB ·AD ＋BC ·CD )＝62＋52－32－422(6×5＋3×4)＝37.于是sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫372＝2107. 连接AC .同理可得cos B ＝AB 2＋BC 2－AD 2－CD 22(AB ·BC ＋AD ·CD )＝62＋32－52－422(6×3＋5×4)＝119， 于是sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫1192＝61019. 所以tan A 2＋tan B 2＋tan C 2＋tan D2＝2sin A ＋2sin B ＝2×7210＋2×19610＝4103.10.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010.(2)由(1)知sin2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎪⎫－255＝－45， cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos2α＋sin 5π6sin2α＝⎝⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310.已知α，β为三角形的两个内角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则β＝________.[错解][答案]π3或23π[错因分析](1)错解中没有明确α＋β的范围，导致求cos(α＋β)时不能正确判断符号．(2)所求函数值不是sinβ，而是cosβ，导致在(0，π)中角β有两解的错误．[正解] 因为0<α<π，cos α＝17，所以sin α＝1－cos 2α＝437，故π3<α<π2，又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝5314<32，所以0<α＋β<π3，或2π3<α＋β<π，由π3<α<π2知2π3<α＋β<π，所以cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1114，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫－1114×17＋5314×437＝12，又因为0<β<π，所以β＝π3.[答案] π3[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2021·衡水二中猜题]若sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝25，则sin2α等于( )A ．－825 B.825 C ．－1725 D.1725答案 C解析 sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝2sin 2⎝⎛ π4＋α⎭⎫ －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252－1＝－1725，故选C.2．[2021·衡水二中一轮检测]若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝( )A ．－78 B ．－14 C. 14 D. 78答案 A解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，得sin ⎣⎢⎡ π2－⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(π6＋α)＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π6＋α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.3．[2021·冀州中学周测]在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C ＝( )A.365B.3665C.1665D.3365 答案 C解析 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，从而sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665.4．[2021·衡水二中月考]已知π2<α<π，3sin2α＝2cos α，则cos(α－π)等于( )A.23B.64C.223D.326答案 C解析 由3sin2α＝2cos α得sin α＝13.因为π2<α<π，所以cos(α－π)＝－cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.故选C. 5．[2021·枣强中学周测]函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤x ≤π2的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 3答案 B解析 依题意，f (x )＝1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，此时f (x )的最大值是3，选B.6.[2021·冀州中学预测]若0<α<π2，－π2<β<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2， 而π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539. 7．[2021·枣强中学一轮检测]若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3答案 D解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即sin 2α＝34，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D. 8．[2021·冀州中学月考]关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )·cos x 的四个结论：p 1：最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的图象；p 3：单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z .其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案 B解析 因为f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－1，所以最大值为2－1，所以p 1错误． 将g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位后得到h (x )＝2·sin2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2－1的图象，所以p 2错误． 由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π，k ∈Z ，即增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8＋k π，3π8＋k π，k ∈Z ，所以p 3正确． 由2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k 2π＋π8，k ∈Z ，所以图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2π＋π8，－1，k ∈Z ，所以p 4正确，所以选B.9.[2021·衡水中学月考]如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－513，∠AOC ＝α.若|BC |＝1，则3cos 2α2－sin α2cos α2－32的值为________．答案 513解析 由题意得|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，∴sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513，又∵3cos 2α2－sin α2cos α2－32＝3·1＋cos α2－sin α2－32＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513.10．[2021·衡水中学期中]已知13sin α＋5cos β＝9,13cos α＋5sin β＝15，那么sin(α＋β)的值为________．答案 5665解析 将两等式的两边分别平方再相加，得169＋130sin(α＋β)＋25＝306，所以sin(α＋β)＝5665.11.[2021·武邑中学期中]已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋cos2ωx ＋12－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.由题意知f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6.(2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1，所以－32<k ≤32或k ＝－1.12．[2021·衡水中学期末]已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，求： (1)sin2α； (2)tan α－1tan α.解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛2α＋π3⎭⎪⎫＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，注意到α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2， 故2α＋π3∈⎝⎛⎭⎪⎫π，4π3， 从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32，∴sin2α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛2α＋π3⎭⎪⎫cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝－12×12＋32×32＝12.(2)∵2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π，sin2α＝12，∴cos2α＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×－3212＝2 3.⎝⎛或者由(1)知2α＋π3＝7π6，∴α＝5π12，∴sin2α＝sin 5π6＝12，cos2α＝cos 5π6＝－32，∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－cos2α12sin2α＝⎭⎪⎫ 2 3.能力组13.[2021·冀州中学猜题]设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79 B ．－19 C.19 D.79答案 A解析 sin2θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2θ＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1＝－79.14．[2021·衡水中学模拟]已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为________．答案 ±35解析 ∵θ为第二象限角，∴θ2为第一、三象限角．∴cos θ2的值有两个．由sin(π－θ)＝2425，可知sin θ＝2425，∴cos θ＝－725，∴2cos 2θ2＝1825.∴cos θ2＝±35.15．[2021·衡水中学仿真]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8的值；(2)设α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，证明：5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α. 解 (1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin2x ＝cos2x cos π6－sin2x sin π6＋sin2x ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝32cos2x ＋12sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π8＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3 ＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64.(2)证明：由(1)，知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝sin ⎣⎢⎡ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＋⎦⎥⎤π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4＝22sin2α－22cos2α.因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，sin α＝255，所以cos α＝1－sin 2α＝55.所以sin2α＝2sin αcos α＝45，cos2α＝1－2sin 2α＝－35，tan2α＝sin2αcos2α＝－43.所以tan4α＝2tan2α1－tan 22α＝247. 所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2α＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤22×45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝722，又122tan4α＝122247＝722，所以5f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－7π24＝122tan4α.16.[2021·冀州中学一轮检测]已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α3＝45cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos2α，求cos α－sin α的值．解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)，即sinα＋cosα＝42(sinα＋cosα)．5(cosα－sinα)＋2kπ，k∈当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4Z.此时，cosα－sinα＝－ 2.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝54.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－52.综上所述，cosα－sinα＝－2或－52.。
新高考数学二轮复习考点知识专题讲解2---三角恒等变换与解三角形
新高考数学二轮复习考点知识专题讲解三角恒等变换与解三角形【考点一】利用三角恒等变换求值1．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12＝() A ．12 B ．33 C ．22 D ．322.若sin (π6 －α)＝33 ，则sin (π6＋2α)＝() A ．63 B ．223C ．33D ．13【变式】若把本题条件改为sin (π6 －α)＝13 ，则2cos 2(π6 ＋α2)－1＝() A ．13 B ．－13 C ．79 D ．－793．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A ．－53B ．－59C ．59D ．534．(2021·长春二模)已知cos α＝13 ，cos (α＋β)＝－13 ，且α，β∈(0，π2)，则cos (α－β)＝()A ．－12B ．12C ．－13D ．2327【考点二】利用三角恒等变换求角1．(2021·乌鲁木齐二调)已知tan α，tan β是方程x 2＋3 3 x ＋4＝0的两根，且α，β∈(－π2 ，π2)，则α＋β＝() A ．π3 B ．π3 或－2π3C ．－π3 或2π3D ．－2π32．设α∈(0，π2 )，β∈(0，π2 )，且tan α＝1＋sin βcos β，则() A ．3α－β＝π2 B ．2α－β＝π2C ．3α＋β＝π2 D ．2α＋β＝π23. (2021·银川模拟)已知cos (2α－β)＝－1114 ，sin (α－2β)＝437 ，0＜β＜π4＜α＜π2 ，则α＋β＝________． 4．已知cos α＝17 ，cos (α－β)＝1314 ，且0<β<α<π2，则β＝________． 【考点三】利用正弦定理、余弦定理解三角形1. (2021·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝ 2 ，且b 2＋c 2－a 2＝ 2 bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为 ()A ． 2B ．22C ．2D ．1 2. (2021·朝阳二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝2A ，a ＝1，b ＝ 3 ，则c ＝()A ．1或2B ．2C ． 2D ．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 依次成等差数列，且B ＝π3 ，则△ABC 的形状为()A ．等边三角形B ．直角边不相等的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形4.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B ，BA → ·BC →＝2，则△ABC 的面积为________．5.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．6.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45 ，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14 ，则b c＝() A ．6 B ．5 C ．4 D ．38．(2021·晋城二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知sin B ＋sin A(sin C －cos C)＝0，a ＝2，c ＝ 2 ，则C ＝()A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．参考答案【考点一】利用三角恒等变换求值1．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12＝() A ．12 B ．33 C ．22 D ．32【解析】选D.由题意可知cos 2π12－cos 25π12＝cos 2π12－sin 2π12＝cos π6＝32. 2.若sin (π6 －α)＝33 ，则sin (π6＋2α)＝() A ．63 B ．223C ．33D ．13【解析】选D.由题意，根据诱导公式可得sin (π6 ＋2α)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－（π6＋2α） ＝cos (π3－2α)， 又由余弦的倍角公式，可得cos (π3 －2α)＝1－2sin 2(π6 －α)＝1－2×(33 )2＝13 ，即sin(π6 ＋2α)＝13. 【变式】若把本题条件改为sin (π6 －α)＝13 ，则2cos 2(π6 ＋α2 )－1＝()A．13B．－13C．79D．－79【解析】选A.2cos2(π6＋α2)－1＝cos(π3＋α)＝cos (π2－π6＋α)＝sin (π6－α)＝13 .3．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59C．59D．53【解析】选A.方法一：因为sin α＋cos α＝33，所以sin 2α＝－23，又α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，所以2kπ＋π2＜α＜2kπ＋3π4(k∈Z)，所以4kπ＋π＜2α＜4kπ＋3π2(k∈Z)，所以2α为第三象限角，所以cos 2α＝－1－sin22α＝－53 .方法二：因为sin α＋cos α＝33，所以sin 2α＝－23，因为α为第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝153， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－53 . 4．(2021·长春二模)已知cos α＝13 ，cos (α＋β)＝－13 ，且α，β∈(0，π2)，则cos (α－β)＝()A ．－12B ．12C ．－13D ．2327 【解析】选D.因为α∈(0，π2 )，所以2α∈(0，π). 因为cos α＝13， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－79 ， 所以sin2α＝1－cos 22α ＝429 ，而α，β∈(0，π2)，所以α＋β∈(0，π)，所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β） ＝223， 所以cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β)＝(－79 )×(－13 )＋429 ×223＝2327. 【考点二】利用三角恒等变换求角1．(2021·乌鲁木齐二调)已知tan α，tan β是方程x 2＋3 3 x ＋4＝0的两根，且α，β∈(－π2 ，π2)，则α＋β＝() A ．π3 B ．π3 或－2π3C ．－π3 或2π3D ．－2π3【解析】选D.由题意得tan α＋tan β＝－3 3 ＜0，tan αtan β＝4＞0，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β ＝ 3 ，且tan α＜0，tan β＜0.又由α，β∈(－π2 ，π2 )，得α，β∈(－π2 ，0)，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－2π3 .2．设α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，且tan α＝1＋sin βcos β，则()A．3α－β＝π2B．2α－β＝π2C．3α＋β＝π2D．2α＋β＝π2【解析】选B.由tan α＝1＋sin βcos β，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，所以sin (α－β)＝cos α＝sin (π2－α).因为α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，所以α－β∈(－π2，π2)，π2－α∈(0，π2)，由sin (α－β)＝sin (π2－α)，得α－β＝π2－α，所以2α－β＝π2 .3. (2021·银川模拟)已知cos (2α－β)＝－1114，sin (α－2β)＝437，0＜β＜π4＜α＜π2，则α＋β＝________． 【解析】因为0<β<π4 <α<π2 ， 所以π2 <2α<π，－π4 <－β<0所以π4<2α－β<π. 又因为cos (2α－β)＝－1114 ， 所以sin (2α－β)＝5314 .因为0<β<π4 <α<π2 ， 所以－π2 <－2β<0，所以－π4 <α－2β<π2. 又因为sin (α－2β)＝437， 所以cos (α－2β)＝17. 所以cos (α＋β)＝cos [(2α－β)－(α－2β)]＝cos (2α－β)cos (α－2β)＋sin (2α－β)sin (α－2β)＝－1114 ×17 ＋5314 ×437 ＝12. 又因为π4 ＜α＋β＜3π4 ，所以α＋β＝π3. 答案：π34．已知cos α＝17 ，cos (α－β)＝1314 ，且0<β<α<π2，则β＝________． 【解析】因为0<β<α<π2 ，所以0<α－β<π2 . 又因为cos (α－β)＝1314， 所以sin (α－β)＝1－cos 2（α－β） ＝3314. 因为cosα＝17 ，0<α<π2 ，所以sin α＝437. 所以cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos α·cos (α－β)＋sin αsin (α－β)＝17×1314 ＋437 ×3314 ＝12. 因为0<β<π2 ，所以β＝π3. 答案：π3【考点三】利用正弦定理、余弦定理解三角形1. (2021·洛阳三模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c cos B ＋b cos C ＝ 2 ，且b 2＋c 2－a 2＝ 2 bc ，则三角形ABC 的外接圆半径的长为 ()A ． 2B ．22C ．2D ．1【解析】选D.把余弦定理代入c cos B＋b cos C＝ 2 ，得a＝ 2 ，由b2＋c2－a2＝ 2bc得2bc cos A＝ 2 bc，所以cos A＝22，所以A＝π4，所以asin A＝222＝2R.所以R＝1.2. (2021·朝阳二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b ＝ 3 ，则c＝()A．1或2B．2C． 2 D．1【解析】选B.因为B＝2A，a＝1，b＝ 3 ，所以由正弦定理asin A＝bsin B，得1sin A＝3sin B＝3sin 2A＝32sin A cos A，所以cos A＝32.又由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A，即1＝3＋c2－3c，解得c＝2或c＝1(经检验不合题意，舍去)，所以c＝2.3．在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c依次成等差数列，且B＝π3，则△ABC的形状为()A．等边三角形B．直角边不相等的直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形【解析】选A.因为a ，b ，c 依次成等差数列，所以b ＝a ＋c 2，由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12 将b ＝a ＋c 2 代入上式整理得(a －c)2＝0，所以a ＝c ，又B ＝π3 ，可得△ABC 为等边三角形．4.在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b cos C ＝3a cos B －c cos B ，BA → ·BC → ＝2，则△ABC 的面积为________．【解析】因为b cos C ＝3a cos B －c cos B ，由正弦定理得sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ，即sin B cos C ＋sin C cos B ＝3sin A cos B ，所以sin (B ＋C)＝3sin A cos B.又sin (B ＋C)＝sin(π－A)＝sin A ，所以sin A ＝3sin A cos B ，又sin A≠0，解得cos B ＝13 ，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－19 ＝223 .由BA → ·BC → ＝2，可得ca cos B ＝2，解得ac ＝6. 所以S △ABC ＝12 ac·sin B＝12 ×6×223 ＝2 2 .答案：2 25.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，则B ＝________．【解析】方法一：由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 及正弦定理，得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ．所以2sin B cos B ＝sin (A ＋C).又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B.所以2sin B cos B ＝sin(π－B)＝sin B.又sin B≠0，所以cos B ＝12 .所以B ＝π3. 方法二：因为在△ABC 中，a cos C ＋c cos A ＝b ，所以条件等式变为2b cos B ＝b ，所以cos B ＝12. 又0＜B ＜π，所以B ＝π3. 答案：π36.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45 ，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝________．【解析】在△ABC 中，因为cos A ＝45 ，cos C ＝513， 所以sin A ＝35 ，sin C ＝1213， 所以sin B ＝sin (A ＋C)＝sin A cos C ＋cos A sin C＝35 ×513 ＋45 ×1213 ＝6365. 又因为a sin A ＝b sin B， 所以b ＝a sin B sin A ＝1×636535＝2113. 答案：21137．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14 ，则b c＝() A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【解析】选A.因为a sin A －b sin B ＝4c sin C ，所以由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－（4c2＋b2）2bc＝－3c22bc＝－14，所以bc＝6.8．(2021·晋城二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝ 2 ，则C＝()A．π12B．π6C．π4D．π3【解析】选B.因为a＝2，c＝ 2 ，所以由正弦定理可知，2sin A ＝2sin C，故sin A＝ 2 sin C．又B＝π－(A＋C)，故sin B＋sin A(sin C－cos C)＝sin (A＋C)＋sin A sin C－sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A sin C－sin A cos C ＝(sin A＋cos A)sin C＝0.又C为△ABC的内角，故sin C≠0，则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.又A∈(0，π)，所以A＝3π4.从而sin C ＝12sin A ＝22 ×22 ＝12 . 由A ＝3π4 知C 为锐角，故C ＝π6. 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC 的面积为________．【解析】由b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，得sin B sin C ＋sin C sin B ＝4sin A sin B sin C ，因为sin B sin C≠0，所以sin A ＝12. 因为b 2＋c 2－a 2＝8，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ， 所以bc ＝833， 所以S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×833 ×12 ＝233. 答案：233。
三角函数解三角形三角恒等变形课件理ppt
利用倍角、半角、和差角等公式，以及辅助角公式进行变换。
三角恒等变换的思路及技巧
三角恒等变换的应用实例
求三角函数的值域或最值；
应用1
应用2
应用3
应用4
解三角方程或三角不等式；
证明三角恒等式；
将不同名的三角函数式化简为同名三角04
03
化二次为一次
将二次三角函数式化为一次三角函数式，以便利用三角恒等变换公式进行化简。
xx年xx月xx日
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三角函数基础知识回顾解三角形基础知识介绍三角恒等变换的原理及方法解三角形中的三角恒等变换三角恒等变换的常见问题及解决方案总结与回顾
三角函数基础知识回顾
01
三角函数是研究三角形中边和角之间关系的一组函数，包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x)、正切函数tan(x)等。
2
3
利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为三角形中只含有一个未知数的方程
解三角形时，通常先根据已知条件解出三角形中一个角的大小，再根据三角形的内角和定理求出其他两个角
解三角形时，通常需要多次运用三角恒等式对已知条件进行化简和变形
三个角都是 $60^\circ$ ，任意两边长度相等
特殊三角形解法的应用
1
三角函数的应用场景
2
3
三角函数在几何学中有广泛应用，如解三角形、证明三角形相似等。
几何学
三角函数在物理中有广泛应用，如简谐振动、交流电等。
物理
三角函数在金融中有广泛应用，如复利计算、期权定价等。
金融
解三角形基础知识介绍
02
正弦定理
余弦定理
勾股定理
高考数学复习：三角恒等变换 课件
π 0<α<2.
因为 tan2α＝1－2tatannα2α＝12－×13132＝34>0，所以 0<2α<π2，所以 tan(2α－β)＝1t＋an2taαn－2αttaannββ＝
1－34＋34×17 17＝1.因为 tanβ＝－17<0，所以π2<β<π，所以－π<2α－β<0，所以 2α－β＝－34π.
三角函数的求值思路：(1) 先化简所求式子；(2) 观察已知条件与所求式子之间的 联系(从三角函数名及角入手)；(3) 将已知条件代入所求式子，化简求值．
三角函数的求角思路：(1) 先求角的某一个三角函数值；(2) 确定角的取值范围；(3) 根据角的取值范围写出所求的角的大小．
(1) 计算：cosπ9·cos29π·cos－239π＝__－__18____.
第2课时 三角恒等变换
研题型 ·融会贯通
分类解析
目标 1 三角函数式的化简
(1)
当
π<α<2π
1＋sin 时，化简：
α＋2c＋os2αcossiαnα2－cosα2＝__c_o_s_α___.
【解析】 原式＝2cos2α2＋2sinα2cosα2sinα2－cosα2 4cos2α2
＝2cosα2cosα2＋sinα2αsinα2－cosα2 2cos2
目标 3 辅助角公式应用 (2020·武汉一模)已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2cos2x＋1(x∈R)．
(1) 求 f(x)的单调增区间； (2) 当 x∈－π6，π4时，求 f(x)的值域． 【解答】 (1) f(x)＝ 3sin 2x－2cos2x＋1＝ 3sin 2x－cos 2x＝2sin2x－π6， 令 2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)， 得 kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)， 故函数 f(x)的单调增区间为kπ－π6，kπ＋π3(k∈Z)．
高考数学 专题四 解三角形 2 三角恒等变换课件 理
4.2 三角恒等变换
12/10/2021
考向基础
考点清单
考点 三角函数的化简和求值
1.两角和与差的三角函数公式
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β; (Sα+β) sin(α-β)=① sin αcos β-cos αsin β ; (Sα-β)
cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β; (Cα+β) cos(α-β)=② cos αcos β+sin αsin β ; (Cα-β)
b
a2 b2
a2 b2
a
12/10/2021
考向突破
考向一 三角函数的化简和求值
例1 已知1s=inθ,则cotsaθn θ=1 ( )
1sinθcosθ 2
A. 4
3
解析
B3 .
C3 .-
4
4
因为 1=sinθ c=osθ
1sinθ cosθ
4 D.-
3
2sin θ cos θ 2cos2 θ
=( 3sin 4x+cos 4x)(sin 8xcos 4x-cos 8xsin 4x)
=( 3sin 4x+cos 4x)sin(8x-4x)
=( 3sin 4x+cos 4x)sin 4x = 3sin24x+sin 4xcos 4x
= ×3 1 +c o s 8sixn 81 x
22
= 1 sin 8x- 3 cos 8x+ 3
例2 (2018山东天成第二次联考,19)已知函数f(x)=2sin 8x·cos 4xsin
高考数学复习知识点讲解教案第24讲 简单的三角恒等变换
1
cos
2
3
∘
10 − sin
2
10∘
=
sin 20∘
4sin 30∘ −10∘
=
1
，故选B.
4
[总结反思]
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,
或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
变式题（1）
cos 20∘
计算：
cos 35∘ 1−sin 20∘
− sin
∘
10
［思路点拨］（1）利用正弦、余弦的二倍角公式化简即可.
[解析] 原式=
∘
1+cos 20∘
2
∘
+ 1 − sin
∘
∘
20
∘
=
1+ 2cos2 10∘ −1
2
∘
cos 10 + cos 10 − sin 10 = 2cos 10 − sin 10 .故选D.
+ 1 − 2sin
∘
10 cos
2
（2）
2
2
sin ± cos
2
2
1 ± sin =___________________.（升幂公式）
2tan
2
2
1+tan
2
2
1−tan
2
2
1+tan
=_________,tan
2
2tan
2
2
1−tan
=_________.（万能公式）
2
（3）
sin =
2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类(解析版)
三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1 2024年高考数学专项三角恒等变换4种常见考法归类（解析版）T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sinα1+cosα=1-cosαsinα，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2α2=1-cosα2，cos2α2=1+cosα2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos-75°的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+2415(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.116(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．17(2023·全国·高三专题练习)sin220°-cos220°sin45°cos155°1-sin40°=.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sinα=23，cosβ=-75，则cos(α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.2141519(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cosα=13，cosα-β=223，则cosβ=()A.89B.79C.429D.020(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tanα+π4=15，则tanα=()A.-23B.23C.-13D.1321(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A卷))已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β= 22，则cosβ=()A.-31010B.31010C.-1010D.101022(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tanαtanβ=2，cosα+β=-15，则cosα-β=()A.35B.-35C.115D.-11523(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cosα-π4=210，则sinα+π3=24【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sinα=13，cos(α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin(α+β)=±13B.cosβ=-79C.cos2β=-1781D.sin(α-β)=-232725(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan(α+β)=3，tanα+π4=-3，则tanβ=()A.-15B.15C.-17D.1726(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sinα=2sinβ，2cosα=cosβ，则sinα-β=.(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cosα=17,cos(α+β)=-1114，则β=.28(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=17，cos(α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．29(2023·河南·校联考模拟预测)设tanα，tanβ是方程x2+33x+4=0的两根，且α,β∈-π2 ,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π330(2023·全国·高三专题练习)已知cosα=255，sinβ=1010，且α∈0,π2，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π431【多选】(2023·全国·高三专题练习)若tan α+tan β=3-3tan αtan β，则α+β的值可能为()A.π3 B.π6C.-2π3D.-5π632(2023·全国·高三专题练习)已知0<α<π2，cos α+π4 =13．(1)求sin α的值；(2)若-π2<β<0，cos β2-π4=33，求α-β的值．33(2023·全国·高三专题练习)已知角α为锐角，π2<β-α<π，且满足tan α2=13，sin β-α =7210(1)证明：0<α<π4；(2)求β.34(2023·全国·高三专题练习)已知sin π4-α=-55,sin 3π4+β =1010，且α∈π4,3π4,β∈0,π4，求α-β的值为．(四)三角函数式的化简35(2023·福建厦门·统考模拟预测)已知sin α+sin α+2π3=sin π3-α ，则sin α=()A.0B.±217C.±22D.±3236(2023春·山西·高三校联考阶段练习)已知2sin θ+π4 =3cos θ，则sin θsin θ-cos θ=.37(2023·湖北·校联考模拟预测)已知sin x +π4 =-35,3π4<x <5π4，则sin x 1-tan x =()A.21100B.-21100C.7280D.-728038(2023·全国·高三专题练习)已知θ≠k π+π4k ∈Z ，且cos2θcos 3π2-θ=cos θ-sin θ，则tan θ-π4-tan2π2-θ =()A.83B.53C.-13D.-13339(2023·湖南长沙·长郡中学校考一模)已知α,β∈0,π2,sin (2α+β)=2sin β ，则tan β的最大值为()A.12B.33C.22D.3240(河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题)已知向量a=2cos75°,2sin75°，b =cos15°,-sin15° ，且(2a +b )⊥(a -λb )，则实数λ的值为()A.8B.-8C.4D.-441(2023·陕西·统考一模)在△ABC 中，点D 是边BC 上一点，且AB =4，BD =2.cos B =1116，cos C =64，则DC =.42【多选】(2023·江苏南通·模拟预测)重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱.古人曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长”.荣昌折扇平面图为下图的扇形COD ，其中∠COD =2π3，OC =3OA =3，动点P 在CD 上(含端点)，连结OP 交扇形OAB 的弧AB 于点Q ，且OQ =xOC +yOD，则下列说法正确的是()A.若y =x ，则x +y =23B.若y =2x ，则OA ⋅OP=0C.AB ⋅PQ≥-2D.PA ⋅PB ≥11243(广东省潮州市2023届高三二模数学试题)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3tan A tan C =tan A +tan C +3.(1)求角B 的大小；(2)求cos A +cos C 的取值范围.考点二二倍角公式(一)给角求值44【多选】(2023·全国·高三专题练习)下列等式成立的是()A.sin275°-cos275°=32B.12sin15°+32cos15°=22C.sin75°cos75°=14D.1-tan15°1+tan15°=3345(2023·河南开封·开封高中校考模拟预测)4sin40°-tan40°sin75°-cos75°sin75°+cos75°的值为()A.66B.12C.63D.146(2023·重庆·统考模拟预测)式子2sin18°3cos29°-sin29°-1cos6°+3sin6°化简的结果为()A.12B.1C.2sin9°D.247(2023·全国·高三专题练习)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为m=2sin18°，若m2+n=4，m n2cos227°-1 =.48(2023·全国·高三专题练习)若λsin160°+tan20°=3，则实数λ的值为()A.4B.43C.23D.433(二)给值(式)求值49【多选】(2023·山西·校联考模拟预测)已知sin x=35，其中x∈π2,π，则()A.tan x=-43B.cos x2=1010C.sin2x=-2425D.cos x-π4=-21050(2023·福建泉州·校考模拟预测)已知cosα=-35,π2≤α≤π，则cos2α+π4=．51(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中)已知sinα-cosα=-23，则sin2α=．52【多选】(2023·全国·高三专题练习)已知cosα+β=-55，cos2α=-45，其中α，β为锐角，则以下命题正确的是()A.sin2α=35B.cosα-β=-2255C.cosαcosβ=510D.tanαtanβ=1353(2023春·山西太原·高三山西大附中校考阶段练习)已知α∈0,π，cosα=-35，则cos2α2+π4=．54(2023秋·辽宁葫芦岛·高三统考期末)已知α∈0,π2，sin2α=cosπ4-α，则cos2α的值为()A.0B.12C.32D.-3255(2023·全国·高三专题练习)已知sinαsinπ3-α=3cosαsinα+π6，则cos2α+π3=()A.-32B.-1 C.12D.3256(2023·全国·高三专题练习)已知cos2π4+α=45，则sin2α=()A.35B.-35C.15D.-15(三)给值求角57(2023·全国·高三专题练习)已知tan α=13,tan β=-17,且α,β∈(0,π)，则2α-β=()A.π4B.-π4C.-3π4D.-3π4或π458(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π ，cos2α=sin 2α2-cos 2α2，则α=．(四)与同角三角函数的基本关系综合59(2023·全国·高三专题练习)已知α∈π4,π2，且sin2α=45，则3sin α-cos α4sin α+2cos α=60(2023·海南·校联考模拟预测)已知tan α=2，则1-3cos 2αsin2α=．61(2023秋·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)已知tan α=2，则sin2αsin 2α+sin αcos α-cos2α-1的值为()A.12B.1C.2D.-1(五)与诱导公式的综合62(2023春·江西南昌·高三统考开学考试)已知tan (π-α)=22，则sin2α=()A.429B.229C.-229D.-42963(2023·全国·高三专题练习)若cos π3-2x =-78，则sin x +π3的值为( ).A.14B.78C.±14D.±7864(2023·河北·统考模拟预测)已知sinα-π6=-25，则cos2α+5π3=()A.825B.1725C.255D.5565(2023·湖北武汉·统考二模)已知sinα+π3=35，则sin2α+π6=()A.2425B.-2425C.725D.-725(六)利用二倍角公式化简求值66(2023·全国·高三专题练习)已知tanα=3，则sinα-π4cosα+π4sin2α=．67(2023·全国·高三专题练习)若sinθ1-cosθ=2，则1+2sin2θ+3cos2θ1-2sin2θ+3cos2θ=()A.5B.43C.2D.468(2023·全国·高三专题练习)已知函数f x =sin2x+cos2x-2sinπ-xcosπ+xsin9π2-x-cos13π2+x．(1)求fπ12的值；(2)已知fα =23，求sin2α的值．考点三辅助角公式的应用69(2023·全国·高三专题练习)函数y =cos x +cos x -π3x ∈R 的最大值为，最小值为.70(2023·陕西铜川·统考二模)已知函数f x =cos x +π2 cos x +π4，若x ∈-π4,π4，则函数f x 的值域为.71(2023·山东泰安·统考二模)已知sin α+3cos α=233，则sin 5π6-2α =.72(2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校联考模拟预测)若sin 2α+π6+cos2α=-3，则tan α=.73(2023·辽宁丹东·统考二模)若cos α≠0,2(sin2α+5cos α)=1+cos2α，则tan2α=()A.-43B.-34C.34D.4374(2023秋·福建莆田·高三校考期中)已知函数f (x )=23sin x cos x -2cos 2x +1.(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间-5π12,π6的值域；考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用75(2023秋·河北石家庄·高三统考期末)已知1+cos θsin θ=33，则tan θ2=.76(2023·全国·高三专题练习)若α∈0,π2 ，sin α2-cos α=tan α2，则tan α=( )．A.33B.3C.34D.6277(2023·全国·高三专题练习)若cos α=-45，α是第三象限的角，则1-tan α21+tan α2=()A.2B.12C.-2D.-1278(2023·浙江·校联考二模)数学里有一种证明方法叫做Pr oofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH ⊥AB ，垂足为H ，记∠COB =θ，则由tan ∠BCH =BHCH可以直接证明的三角函数公式是()A.tanθ2=sin θ1-cos θB.tanθ2=sin θ1+cos θC.tanθ2=1-cos θsin θD.tanθ2=1+cos θsin θ(二)三角恒等式的证明79(2023·全国·高三专题练习)已知α，β∈0,π2 ，且满足sin βsin α=cos α+β ．(1)证明：tan β=sin αcos α1+sin 2α；(2)求tan β的最大值．80(2023·高三课时练习)小明在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°+cos217°-sin13°cos17°；②sin215°+cos215°-sin15°cos15°；③sin218°+cos212°-sin18°cos12°；④sin2-18°cos48°；+cos248°-sin-18°⑤sin2-25°+cos255°-sin-25°cos55°．(1)请依据②式求出这个常数；(2)相据(1)的计算结果，将小明的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．81(2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习)已知△ABC为斜三角形．(1)证明：tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C；(2)若△ABC为锐角三角形，sin C=2sin A sin B，求tan A+tan B+tan C的最小值．(三)三角恒等变换的综合问题82(2023春·北京·高三清华附中校考期中)已知函数f x =sin x +cos x 2-2sin 2x .(1)求函数f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f x 在区间0,π2上的最大值和最小值，并求相应的x 的值.83(2023·上海浦东新·统考三模)已知向量a =3sin x ,cos x ，b =sin x +π2,cos x .设f x =a ⋅b .(1)求函数y =f x 的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若f A =1，b =4，三角形ABC 的面积为23，求边a 的长.84(2023·浙江绍兴·统考模拟预测)在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，且满足a +b +c a +b -c =3ab .(1)求角C 的大小；(2)若△ABC 是锐角三角形，求a +2bc的取值范围.85(2023春·四川成都·高三成都外国语学校校考期中)已知向量a =sin x +π6,cos 2x ，b =cos x ,-1 ．设函数f x =2a ⋅b +12，x ∈R ．(1)求函数f x 的解析式及其单调减区间；(2)若将y =f x 的图像上的所有点向左平移π4个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数h x 的图像．当x ∈m ,m +π2(其中m ∈0,π2 )时，记函数h x 的最大值与最小值分别为h x max 与h x min ，设φm =h x max -h x min ，且使对∀m ∈0,π2都有k ≥φm 成立，求实数k 的最小值．86(2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中)嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高三年级学生中征集解决方案.如图所示，AB=BC=AC=2km,D是BC中点，E､F分别在AB､AC上，△CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成教学区，△BDE拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，∠EDF=90°，记∠CDF=θ.(1)若θ=30°，求教学区所在四边形AEDF的面积；(2)当θ取何值时，可使快速通道E-D-F的路程最短？最短路程是多少？三角恒等变换4种常见考法归类高频考点考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)三角函数式的化简(五)两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用考点二二倍角公式(一)给角求值(二)给值(式)求值(三)给值求角(四)与同角三角函数的基本关系综合(五)与诱导公式的综合(六)利用二倍角公式化简求值考点三辅助角公式的应用考点四简单的三角恒等变换(一)半角公式的应用(二)三角恒等式的证明(三) 三角恒等变换的综合问题解题策略1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)C(α-β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβC(α+β)cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白”S(α-β)sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)S(α+β)sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β(异名相乘、加减一致)记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应”T (α-β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ；(两式相除、上同下异)．变形：①tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)②tanα·tanβ=tanα-tanβtan(α-β)-1T (α+β)tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β；(两式相除、上同下异)．变形：①tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)②tan α·tan β=1-tan α+tan βtan (α+β)(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.S 2αsin 2α=2sin _αcos _α；变形：sin αcos α=12sin2α，cos α=sin2α2sin α，⇒1±sin2α=sin 2α+cos 2α±2sin αcos α=(sin α±cos α)2C 2αcos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α；变形：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2T 2αtan 2α=2tan α1-tan 2α(α≠k π+π2且α≠k π2+π4，k ∈Z )2.简单的三角恒等变换(1)降幂公式sin 2α=1-cos2α2.cos 2α=1+cos2α2.sin αcos α=12sin2α.(2)升幂公式1+cos α=2cos 2α2. 1-cos α=2sin 2α2. 1+sin α=sin α2+cos α2 2. 1-sin α=sin α2-cos α22.注：1+cos2α=2cos 2α；1−cos2α=2sin 2α；1+sin2α=(sin α+cos α)2；1−sin2α=(sin α−cos α)2(3)万能公式sin α=2tan α21+tan 2α2,cos α=1-tan 2α21+tan 2α2,tan α=2tan α21-tan 2α2(4)其他常用变式sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α；cos2α=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α=1−tan 2α1+tan 2α；cos 4x -sin 4x =(cos 2x +sin 2x )(cos 2x -sin 2x )=cos2x 3.辅助角公式(同角异名1次)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中cos φ=a a 2+b 2，sin φ=b a 2+b 2，或tan φ=ba . 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定．4.半角的正弦、余弦、正切公式(1)sin α2=±1-cos α2.(2)cosα2=±1+cosα2.(3)tanα2=±1-cosα1+cosα=sinα1+cosα=1-cosαsinα.5.常用的拆角、拼角技巧(1)15°=45°-30°=60°-45°=30°2.(2)β=α-a-β，α=(α+β)-β=β-(β-α)，2α=(α+β)+(α-β)，α=12[(α+β)+(α-β)]β=α+β2-α-β2=(α+2β)-(α+β). α-β=(α-γ)+(γ-β)(3)π3-α=π2-π6+α，π6-α=π2-π3+α，π3+α=π-2π3-α，π4+α=π-3π4-α. π4+α=π2-π4-α6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”；(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；(2)和差角公式变形：sinαsinβ+cos(α+β)=cosαcosβ；cosαsinβ+sin(α-β)=sinαcosβ；tanα±tanβ=tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)；(3)倍角公式变形：降幂公式．(4)tanαtanβ，tanα+tanβ(或tanα-tanβ)，tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题． 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式子的值．9.三角函数式的化简要遵循“三看”原则注：三角函数式化简、求值的一般思路：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化等. 10. 给值(式)求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有：①α=(α-β)+β；②α=α+β2+α-β2；③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β)．(3)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．(4)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(5)给值求值型恒等变换问题，重在对所给条件进行挖掘，如由某角正弦值可得其余弦、正切值，由所给值的符号判断角所在的象限等. 必要时还要进行估算，如锐角α的余弦值为35，由12<35<22，及余弦函数在0，π2上单调递减可知45°<α<60°，从而2α∈(90°，120°)，或3α∈(135°，180°)等. 另外，注意三种主要变换：①变角，通常是“配凑”，常用的角的拆拼有2α=(α+β)+(α-β)，α=(α+β)-β=(α-β)+β等；②变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手段通常有“切化弦”“升幂与降幂”等；③变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手段通常有：“常值代换”如1=tan π4，1=sin 2α+cos 2α“逆用变换公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等. 其中角的变换居核心地位.11. 已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．(在给值求角时，一般地选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角的范围，利用三角函数的单调性求出角. 确定角的范围是关键，一定要使所选的函数在此范围内是单调的，必要时，还需根据已知三角函数值缩小角的范围.)(2)求所求角的某种三角函数值．为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数(已知三角函数值求角，选三角函数时可按下列规则：(i )已知正切值，常选正切函数；(ii )已知正、余弦值，常选正弦或余弦函数；(iii )若角的范围是0，π2 ，π，3π2 ，常选正、余弦函数；(iv )若角的范围是π2，3π2 或-π2，π2 ，常选正弦函数；(v )若角的范围是(0，π)或(π，2π)，常选余弦函数. )(3)结合三角函数值及角的范围求角．12. 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2=sin α1+cos α=1-cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2α2=1-cos α2，cos 2α2=1+cos α2计算．13. 三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般是化繁为简．(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子．(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同．(4)比较法：设法证明“左边-右边=0”或“左边/右边=1”．(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．考点精析考点一两角和与差的正弦、余弦和正切公式(一)给角求值14(2023·全国·高三专题练习)cos -75° 的值是A.6-22B.6+22C.6-24D.6+24【答案】C【解析】变形cos -75° =cos 45°-120° 后，根据两角差的余弦公式计算可得答案.【详解】cos -75° =cos 45°-120° =cos45°⋅cos120°+sin45°sin120°=22×-12+22×32=6-24，故选：C .【点睛】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.15(2023·全国·模拟预测)sin20°cos40°+sin70°sin40°=()A.32B.12C.22D.1【答案】A【分析】根据诱导公式及三角恒等变换化简求值即可.【详解】已知可化为：sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin 20°+40° =32.故选：A16(2023·广东湛江·统考一模)cos70°-cos20°cos65°=．【答案】-2【分析】根据三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，准确化简，即可求解.【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的余弦公式，可得：cos70°-cos20°cos65°=cos (90°-20°)-cos20°cos65°=sin20°-cos20°cos 45°+20°=sin20°-cos20°cos45°cos20°-sin45°sin20°=- 2.故答案为：- 2.17(2023·全国·高三专题练习)sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=.【答案】2【分析】根据三角恒等变换公式化简求值即可.【详解】因为sin 220°-cos 220°=sin20°-cos20° sin20°+cos20° ，cos155°=-cos25°=-cos 45°-20° ，1-sin40°=cos 220°+sin 220°-2sin20°cos20°=cos20°-sin20° =cos20°-sin20°，所以sin 220°-cos 220°sin45°cos155°1-sin40°=cos20°+sin20°22cos 45°-20° =cos20°+sin20°22×cos45°cos20°+sin45°sin20°=cos20°+sin20° 12cos20°+sin20°=2故答案为：2.(二)给值(式)求值18(2023·江西九江·统考三模)已知0<α<π2<β<π，且sin α=23，cos β=-75，则cos (α-β)=()A.-115B.-1315C.-41415D.21415【答案】A【分析】先根据0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75求出cos α，sin β，再利用两角差的余弦公式求cos (α-β)【详解】解析：∵0<α<π2<β<π，sin α=23，cos β=-75，∴cos α=1-sin 2α=1-29=73，sin β=1-cos 2β=1-725=325，∴cos (α-β)=cos αcos β+sin αsin β=73×-75 +23×325=-115，故选：A .19(江西省九江市2023届高三三模数学(理)试题)已知0<α<β<π，且cos α=13，cos α-β =223，则cos β=()A.89B.79C.429D.0【答案】D【分析】利用三角恒等变换计算即可，注意整体思想的运用.【详解】解法一：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，又-π<α-β<0,cos α-β =223⇒-π2<α-β<0，∴sin α-β =-13，∴cos β=cos α-α-β =cos αcos α-β +sin a sin α-β=13×223+223×-13 =0，故选：D ．解法二：∵0<α<π，cos α=13，∴sin α=223，∴cos α-β =sin α，即cos β-α =cos π2-α ∵0<β-α<π，0<π2-α<π2∴β-α=π2-α⇒β=π2,cos β=0，故选：D ．20(2023·陕西榆林·统考模拟预测)若tan α+π4 =15，则tan α=()A.-23B.23C.-13D.13【答案】A【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.【详解】因为tan α+π4 =15，所以tan α=tan α+π4 -π4 =15-11+15×1=-23.故选：A .21(山西省晋中市2023届高三三模数学试题(A 卷))已知α，β为锐角，且tan α=2，sin α+β =22，则cos β=()A.-31010B.31010C.-1010D.1010【答案】D【分析】由条件，结合同角关系求sin α,cos α，再由特殊角三角函数值求α+β，再利用两角差的余弦公式求cos β.【详解】因为tan α=2，所以sin α=2cos α，又sin 2α+cos 2α=1，α为锐角，所以sin α=255，cos α=55，且α>π4．因为α，β为锐角，α>π4，所以π4<α+β<π，又sin (α+β)=22，所以α+β=3π4，故cos β=cos 3π4-α =cos 3π4cos α+sin 3π4sin α=1010．故选：D .22(河南省名校青桐鸣2023届高三下学期4月联考文科数学试题)已知tan αtan β=2，cos α+β =-15，则cos α-β =()A.35B.-35C.115D.-115【答案】A【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出sin αsin β,cos αcos β，代入两角差的余弦公式即可.【详解】由题意可得tan αtan β=sin αsin βcos αcos β=2cos α+β =cos αcos β-sin αsin β=-15，即sin αsin β=2cos αcos βcos αcos β-sin αsin β=-15 ，sin αsin β=25cos αcos β=15，故cos α-β =cos αcos β+sin αsin β=35.故选：A .23(2023·全国·高三专题练习)若α∈π2,3π4，cos α-π4 =210，则sin α+π3=【答案】4-3310【分析】根据同角三角函数的基本关系求出sin α-π4，由cos α=cos π4+α-π4 求出cos α，从而求出sin α，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】∵cos α-π4 =210，α∈π2,3π4 ，所以α-π4∈π4,π2，∴sin α-π4 =1-cos 2α-π4 =7210，∴cos α=cos π4+α-π4 =cos π4cos α-π4 -sin π4sin α-π4 =22×210-7210×22=-35，sin α=1-cos 2α=45，所以sin α+π3 =sin αcos π3+cos αsin π3=45×12-35×32=4-3310.故答案为：4-331024【多选】(河北省承德市2023届高三下学期4月高考模拟数学试题)已知0<α<π2<β<π，sin α=13，cos (α+β)=-223，下列选项正确的有()A.sin (α+β)=±13B.cos β=-79C.cos2β=-1781D.sin (α-β)=-2327【答案】BD【分析】根据同角关系以及诱导公式可得可得α+β=π-α，进而可判断A ，根据和差角公司以及二倍角公式即可代入求解BCD .【详解】由于0<α<π2且sin α=13，所以cos α=223，又α+β∈π2,3π2 ，cos (α+β)=-223=-cos α，故α+β=π-α或α+β=π+α，当α+β=π+α时，β=π显然不满足，故α+β=π-α，所以sin (α+β)=13，故A 错误，对于B ，cos β=cos α+β cos α+sin α+β sin α=-223×223+13×13=-79，故B 正确，对于C , cos2β=2cos 2β-1=2×-792-1=1781，故C 错误，对于D ，由B 可知sin β=1-cos 2β=429，所以sin (α-β)=sin αcos β-cos αsin β=13×-79-223×429=-2327，故D 正确，故选：BD25(2023·陕西商洛·统考三模)已知tan (α+β)=3，tan α+π4=-3，则tan β=()A.-15B.15C.-17D.17【答案】D【分析】由tan α+π4 =-3求得tan α，再使用凑配角由tan (α+β)=3求tan β.【详解】tan α+π4 =1+tan α1-tan α=-3，解得tan α=2，则tan β=tan [(α+β)-α]=tan (α+β)-tan α1+tan (α+β)tan β=17．故选：D 26(2023·江西上饶·校联考模拟预测)已知α、β均为锐角，且sin α=2sin β，2cos α=cos β，则sin α-β =.【答案】35/0.6【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得α、β角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】因为sin α=2sin β，2cos α=cos β，即cos α=12cos β，所以sin 2α+cos 2α=4sin 2β+14cos 2β=1，又4sin 2β+14cos 2β=154sin 2β+14sin 2β+14cos 2β=1，即sin 2β=15，则cos 2β=45，又α、β均为锐角，所以sin β=55，cos β=255，所以sin α=255，cos α=55，所以sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=255×255-55×55=35.故答案为：35(三)给值求角27(2023·全国·高三专题练习)已知α,β都是锐角，cos α=17,cos (α+β)=-1114，则β=.【答案】π3/60°【分析】要求β，先求cos β，结合已知可有cos β=cos [(α+β)-α]，利用两角差的余弦公式展开可求.【详解】∵α、β为锐角，∴0<α+β<π∵cos α=17，cos (α+β)=-1114∴sin α=1-cos 2α=437，sin (α+β)=1-cos 2α+β =5314∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α=-1114 ×17+5314×437=12由于β为锐角，∴β=π3故答案为：π328(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=17，cos (α-β)=1314，若0<β<α<π2，则β=．【答案】π3【详解】因为cos α=17,0<α<π2,所以sin α=437,又因为0<α-β<π2,所以sin (α-β)=3314,所以sin β=sin [α-(α-β)]=sin αcos (α-β)-cos αsin (α-β)=437×1314-17×3314=32,又因为0<β<π2,所以β=π3.29(2023·河南·校联考模拟预测)设tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，且α,β∈-π2,π2，则α+β=( )．A.π3B.-2π3C.π3或-2π3D.2π3【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求解即可.【详解】因为tan α，tan β是方程x 2+33x +4=0的两根，所以tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=3，因为tan α+tan β=-33,tan αtan β=4,所以tan α<0,tan β<0,且α,β∈-π2,π2，所以α,β∈-π2,0 ，所以α+β∈-π,0 ，所以α+β=-2π3，故选:B .30(2023·全国·高三专题练习)已知cos α=255，sin β=1010，且α∈0,π2 ，β∈0,π2，则α+β的值是()A.3π4B.π4C.7π4D.5π4。