《2.14定积分与微积分基本定理》 学案

学习过程

一、复习预习

1.导数的概念

2.导数与函数单调性、极值、最值的关系

二、知识讲解

考点1 定积分的概念

在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.

②∫b a[f1(x)±f2(x)]d x＝∫b a f1(x)d x±∫b a f2(x)d x.

③∫b a f(x)d x＝∫c a f(x)d x＋∫b c f(x)d x.

如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫b a f(x)d x＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．

为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|b a，即

∫b a f(x)d x＝F(x)|b a＝F(b)－F(a)．

三、例题精析

【例题1】

【题干】求下列定积分：

(1)∫20|x －1|d x ； (2) 20π⎰1－sin 2x d x .

【解析】(1)|x －1|＝⎩⎨⎧

1－x ， x ∈[0，1)x －1， x ∈[1，2]

故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21 ＝12＋12＝1. (2) 20π⎰

1－sin 2x d x ＝20π

⎰|sin x －cos x |d x ＝40π⎰ (cos x －sin x )d x ＋24ππ

⎰ (sin x －cos x )d x

＝(sin x ＋cos x )40π

＋(－cos x －sin x ) 24π

π

＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.

【例题2】

【题干】已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)d t(x>0)，则f(x)的最大值为________．

【答案】2－1

【解析】因为f (x )＝∫x 02sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4－t d t

＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4－t |x 0＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π

4－x －2cos π

4

＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π

4－1≤2－1，

当且仅当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π4＝1时，等号成立．

【例题3】【题干】

如图，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1，y＝1

4所围成的图形(阴影部分)的面积为()

A.2

3 B.

1

3

C.1

2 D.

1

4

【答案】D

【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧

y ＝14，

y ＝x 2⇒x ＝12或

x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积

S ＝1

20⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝

⎛⎭⎪⎫

x 2

－14d x

＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3

1

20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－1

4x 1

12＝1

4.

【例题4】

【题干】 一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧

10 (0≤x ≤2)3x ＋4 (x >2)(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )

A ．44 J

B ．46 J

C ．48 J

D ．50 J

【答案】B

【解析】力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x

＝10x |20＋⎝ ⎛⎪⎪⎪ ⎭⎪⎫32x 2＋4x 4

2

＝20＋26＝46.

四、课堂运用

【基础】

1.∫e 11＋ln x x d x ＝( )

A ．ln x ＋12ln 2x

B.2e －1

C.32

D.12

2．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若∫30f(x)d x＝3f(x0)，则x0等于() A．±1 B. 2

C．±3 D．2

3．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为()

A.160

3m B.

80

3m

C.40

3m D.

20

3m

【巩固】

4．设a＝∫π0sin x d x，则曲线y＝f(x)＝xa x＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．

5．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，π2，则当∫a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.