差分方程

(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
2.差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
yxn a1yxn1 an1yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
例题 教材 208页 例3，例4
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
1
解 a
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
特征方程法
例2 求3 yx yx1 0满足y0 2的特解.
解 原方程可改写为3 yx1 yx 0
特征方程为3 1 0
特征根
1 3
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 3
x；
Bx
C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
2. f ( x) x pn x型
方程2为 yx1 ayx x pn x
0，1 （1） a
y
x
xQn (x)
（2） a
y
x
x xQn (x)
可参照导数的四则运算法则学习
差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 定义
含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx ,的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) 0
定义：
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 ,的方程，称为差分方程.
另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
f ( x) pn x型
(1) 1不是特征方程的根，即1 a 0
令yx Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn
(2) 1是特征方程的根，即1 a 0
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
1.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx 0 （1）
定理 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
例 确定下列方程的阶
(1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a 2 y0
y3 ay2 a3 y0
yx ayx1 a x y0
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx Ca x .
差分方程初步
1.差分的定义
设函数y f (x).当x取非负整数时， 函数值可以排成一个数列 :
f (0)，f (1)，，f (x)，f (x 1)， 将之简记为
y0，y1，y2，，yx，yx1, 称函数的改变量yx1 yx为函数y的差分， 也称为一阶差分，记为yx yx1 yx.
函 数y f ( x)的 二 阶 差 分 为 函 数y的 一 阶 差 分 的 差 分,即
Δ2 y x Δ(Δ y x ) Δ( y x1 y x ) ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) y x2 2 y x1 y x
3yx = (2yx)= yx+3 3yx+2 +3 yx+1 yx
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
代入y0 2，得C 2
所 求 差 分 方 程 的 特 解 为Yx
2
1 x . 3
二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx，
b1 x n1
bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0
k
1
1不 是 特征 方 程 的 根 1是 特 征方 程 的 根
例3 求差分方பைடு நூலகம்y x1 2 y x 3 x 2的通解.
解 特征方程 2 0，
特征根 2，
对应齐次方程通解
Yx C 2x
1不是特征方程的根，设
y
x
Ax2
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
2.差分的四则运算法则
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
形式：F ( x, yx , yx1,, yxn ) 0 或G( x, yx , yx1,, yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；